Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних
За допомогою методу крокiв побудовано розв’язок основної початкової задачi сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та виродженою матрицею при похiдних. By using of the step-method, we construct a solution of the initial value problem for a singularly perturbed system of d...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2002 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176108 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних / П.Ф. Самусенко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 527-539. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176108 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Самусенко, П.Ф. 2021-02-03T16:42:28Z 2021-02-03T16:42:28Z 2002 Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних / П.Ф. Самусенко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 527-539. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176108 517.91/943 За допомогою методу крокiв побудовано розв’язок основної початкової задачi сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та виродженою матрицею при похiдних. By using of the step-method, we construct a solution of the initial value problem for a singularly perturbed system of differential equations with a delay and a degenerate matrix at the derivatives. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних A construction of asymptotic solutions of partial systems of differential equations with a deviation of the argument and a degenerate matrix at the derivatives Построение асимптотических решений систем дифференциальных уравнений с отклонением аргумента и вырожденной матрицей при производных Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних |
| spellingShingle |
Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних Самусенко, П.Ф. |
| title_short |
Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних |
| title_full |
Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних |
| title_fullStr |
Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних |
| title_full_unstemmed |
Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних |
| title_sort |
побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних |
| author |
Самусенко, П.Ф. |
| author_facet |
Самусенко, П.Ф. |
| publishDate |
2002 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
A construction of asymptotic solutions of partial systems of differential equations with a deviation of the argument and a degenerate matrix at the derivatives Построение асимптотических решений систем дифференциальных уравнений с отклонением аргумента и вырожденной матрицей при производных |
| description |
За допомогою методу крокiв побудовано розв’язок основної початкової задачi сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та виродженою матрицею при похiдних.
By using of the step-method, we construct a solution of the initial value problem for a singularly perturbed
system of differential equations with a delay and a degenerate matrix at the derivatives.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176108 |
| citation_txt |
Побудова асимптотичних розв'язків систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та виродженою матрицею при похідних / П.Ф. Самусенко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 527-539. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT samusenkopf pobudovaasimptotičnihrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzvídhilennâmargumentutavirodženoûmatriceûpripohídnih AT samusenkopf aconstructionofasymptoticsolutionsofpartialsystemsofdifferentialequationswithadeviationoftheargumentandadegeneratematrixatthederivatives AT samusenkopf postroenieasimptotičeskihrešeniisistemdifferencialʹnyhuravneniisotkloneniemargumentaivyroždennoimatriceipriproizvodnyh |
| first_indexed |
2025-11-25T21:09:30Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:09:30Z |
| _version_ |
1850551579989508096 |
| fulltext |
УДК 517 .91/943
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ
ТА ВИРОДЖЕНОЮ МАТРИЦЕЮ ПРИ ПОХIДНИХ
П. Ф. Самусенко
Нац. пед. ун-т
Україна, 01030, Київ, вул. Пирогова, 9
By using of the step-method, we construct a solution of the initial value problem for a singularly perturbed
system of differential equations with a delay and a degenerate matrix at the derivatives.
За допомогою методу крокiв побудовано розв’язок основної початкової задачi сингулярно збу-
реної системи диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та виродженою матрицею при похiдних.
Дана робота присвячена побудовi асимптотичних розв’язкiв систем диференцiальних рiв-
нянь
B(τ)
dx(τ, ε)
dt
= A(τ)x(τ, ε) + C(τ)x(τ −∆, ε), τ ∈ [0;L], (1)
де x(τ, ε) — шуканий n-вимiрний вектор, A(τ), B(τ) та C(τ) — квадратнi матрицi порядку
n, ∆ > 0 — стале вiдхилення, τ = tε, ε, 0 < ε ≤ ε0 << 1 — малий параметр.
У випадку невиродженостi матрицi B(τ) для всiх τ ∈ [0;L] система (1) розглядалась у
роботах багатьох авторiв. Бiблiографiю з цього питання можна знайти, наприклад, в [1].
Здебiльшого дослiджувались системи
dx(τ, ε)
dt
= A(τ)x(τ, ε) + C(τ)x(τ −∆, ε), τ ∈ [0;L]. (2)
При цьому за допомогою методу крокiв будувався розв’язок основної початкової задачi,
тобто розв’язок системи (2), який при −∆ ≤ τ ≤ 0 (∆ > 0) задовольняє умову
x(τ, ε) = ϕ(τ, ε), (3)
де
ϕ(τ, ε) =
p∑
k=0
εkϕk(τ).
Всi попереднi дослiдження стосувались випадку, коли матриця коефiцiєнтiв при похiдних
є невиродженою на вiдрiзку [0;L].
У данiй роботi за допомогою методу крокiв побудовано розв’язок основної початко-
вої задачi (1), (3) у випадку, коли detB(τ) ≡ 0, τ ∈ [0;L].
Нехай для системи (1) виконуються умови:
c© П. Ф. Самусенко, 2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4 527
528 П. Ф. САМУСЕНКО
1) елементи матриць A(τ), B(τ), C(τ) та векторiв ϕk(τ), k = 1, 2, ..., p, нескiнченно
диференцiйовнi вiдповiдно на вiдрiзках [0;L] та [−∆; 0];
2) жмуток матриць A(τ)− λB(τ) регулярний на вiдрiзку [0;L];
3) „нескiнченнi” елементарнi дiльники жмутка A(τ) − λB(τ) зберiгають сталу крат-
нiсть для всiх τ ∈ [0;L];
4) коренi λi(τ), i = 1, 2, ..., ν, ν < n, характеристичного рiвняння
det ||A(τ)− λB(τ)|| = 0 (4)
простi на вiдрiзку [0;L] i такi, що:
41) для будь-якого τ ∈ [0;L]
λi(τ) 6= 0, i = 1, 2, ..., ν;
42) дiйснi частини коренiв рiвняння (4) для всiх τ ∈ [0;L] не додатнi, тобто
Re(λi(τ)) ≤ 0, i = 1, 2, ..., ν;
43) для будь-яких τ1 < τ2, τ1, τ2 ∈ [0;L],
λi(τ1) 6= λj(τ2), i, j = 1, 2, ..., ν.
Наслiдуючи [1], покладемо
x(τ, ε) = Um1(τ, ε)y(τ, ε) + pm1(τ, ε), m ≥ 1, (5)
де y(τ, ε) — новий шуканий ν-вимiрний вектор,
Um1(τ, ε) =
m∑
s=0
εsU
(s)
1 (τ)
— прямокутна матриця розмiрiв n× ν, а
pm1(τ, ε) =
m∑
s=0
εsp
(s)
1 (τ)
— n-вимiрний вектор (матриця Um1(τ, ε) i вектор pm1(τ, ε) також пiдлягають визначен-
ню). Тодi система (1) на першому кроцi (0 ≤ τ ≤ ∆) набере вигляду
B(τ)Um1(τ, ε)
dy
dt
= (A(τ)Um1(τ, ε)− εB(τ)U ′m1(τ, ε))y +A(τ)pm1(τ, ε)−
− εB(τ)p′m1(τ, ε) + C(τ)ϕ(τ −∆, ε), τ ∈ [0;L].
Елементи матрицi Um1(τ, ε) та вектора pm1(τ, ε) визначимо так, щоб виконувались рiвно-
стi
A(τ)Um1(τ, ε)− εB(τ)U ′m1(τ, ε) = B(τ)Um1(τ, ε)(Λm1(τ, ε) + εm+1Cm1(τ, ε)), (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ . . . 529
A(τ)pm1(τ, ε)− εB(τ)p′m1(τ, ε) + C(τ)ϕ(τ −∆, ε) = εm+1B(τ)Um1(τ, ε)qm1(τ, ε), (7)
де
Λm1(τ, ε) =
m∑
s=0
εsΛ
(s)
1 (τ)
— дiагональна матриця ν-го порядку, а елементи квадратної матрицiCm1(τ, ε) та ν-вимiрного
вектора qm1(τ, ε) нескiнченно диференцiйовнi для всiх τ ∈ [0;L], ε ∈ [0; ε0].
Розглянемо спочатку матричну рiвнiсть (6). Прирiвнявши в нiй коефiцiєнти при εs, s =
= 0, 1, . . . ,m+ 1, дiстанемо систему рiвнянь
A(τ)U
(0)
1 (τ)−B(τ)U
(0)
1 (τ)Λ
(0)
1 (τ) = 0, (8)
A(τ)U
(s)
1 (τ)−B(τ)U
(s)
1 (τ)Λ
(0)
1 (τ) = F
(s)
1 (τ), s = 1, 2, . . . ,m, (9)
B(τ)Um1(τ, ε)Cm1(τ, ε) = Q1(τ, ε), (10)
де
F
(s)
1 (τ) = B(τ)
(
dU
(s−1)
1 (τ)
dτ
+
s−1∑
i=1
U
(i)
1 (τ)Λ
(s−i)
1 (τ)
)
, s = 1, 2, . . . ,m,
Q1(τ, ε) = −B(τ)
dU (m)
1 (τ)
dτ
+
m∑
i=1
εi−1
m∑
j=i
U
(j)
1 (τ)Λ
(m+i−j)
1 (τ)
.
Можна показати [2], що системи (8), (9) розв’язнi вiдносно U (s)
1 (τ), Λ
(s)
1 (τ), s = 0, 1, . . . ,m,
i критерiєм розв’язностi системи (10) є умова
rankB(τ)Um1(τ, ε) = rank (B(τ)Um1(τ, ε), Q1(τ, ε)), τ ∈ [0; ∆], (11)
де пiд (B(τ)Um1(τ, ε), Q1(τ, ε)) розумiємо розширену матрицю системи (10). При цьому
Cm1(τ, ε) = −(B(τ)Um1(τ, ε))−Q1(τ, ε),
де (B(τ)Um1(τ, ε))− — напiвобернена матриця вiдносно матрицi B(τ)Um1(τ, ε) [3].
Оскiльки з [3] випливає нескiнченна диференцiйовнiсть на вiдрiзку [0; ∆] елементiв
знайдених матриць U (s)
1 (τ), Λ
(s)
1 (τ), s = 0, 1, . . . ,m, то елементи матрицi Cm1(τ, ε) на вiд-
рiзку [0; ∆] також нескiнченно диференцiйовнi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
530 П. Ф. САМУСЕНКО
Перейдемо до визначення коефiцiєнтiв вектора pm1(τ, ε). Для цього в (7) прирiвняємо
коефiцiєнти при εs, s = 0, 1, . . . ,m. Тодi
A(τ)p
(0)
1 (τ) + C(τ)ϕ0(τ −∆) = 0,
A(τ)p
(s)
1 (τ)−B(τ)
dp
(s−1)
1 (τ)
dτ
+ C(τ)ϕs(τ −∆) = 0, s = 1, 2, . . . ,m.
Звiдси, враховуючи умову 41, отримуємо
p
(0)
1 (τ) = −A−1(τ)C(τ)ϕ0(τ −∆),
p
(s)
1 (τ) = A−1(τ)
(
B(τ)
dp
(s−1)
1 (τ)
dτ
− C(τ)ϕs(τ −∆)
)
, s = 1, 2, . . . ,m.
Отже, якщо p < m+ 1 i для всiх τ ∈ [0; ∆] виконується умова (11), то
qm1(τ, ε) = −(B(τ)Um1(τ, ε))−B(τ)
dp
(m)
1 (τ)
dτ
.
Звiдси випливає нескiнченна диференцiйовнiсть на вiдрiзку [0; ∆] координат вектора
qm1(τ, ε). Таким чином, система диференцiальних рiвнянь (1) набирає вигляду
B(τ)Um1(τ, ε)
dy
dt
= = B(τ)Um1(τ, ε)(Λm1(τ, ε) + εm+1Cm1(τ, ε))y+
+ εm+1B(τ)Um1(τ, ε)qm1(τ, ε), τ ∈ [0; ∆].
Зрозумiло, що кожен розв’язок системи
dy
dt
= (Λm1(τ, ε) + εm+1Cm1(τ, ε))y + εm+1qm1(τ, ε) (12)
задовольняє також попередню систему. Тому надалi розглядатимемо систему (12). Оскiль-
ки система (12) еквiвалентна системi iнтегральних рiвнянь
y(τ, ε) = exp
1
ε
τ∫
0
Λm1(τ, ε)dτ
c1 + εm
τ∫
0
exp
1
ε
τ∫
τ1
Λm1(τ, ε)dτ
Cm1(τ1, ε)y(τ1, ε)dτ1+
+ εm
τ∫
0
exp
1
ε
τ∫
τ1
Λm1(τ, ε)dτ
qm1(τ1, ε)dτ1, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ . . . 531
де c1 — сталий вектор, то застосовуючи до системи (17) метод послiдовних наближень [1],
маємо
y(τ, ε) = exp
1
ε
τ∫
0
Λm1(τ, ε)dτ
c1 + εmαm1(τ, ε),
αm1(τ, ε) — вектор, компоненти якого нескiнченно диференцiйовнi на вiдрiзку [0; ∆] i рiв-
номiрно обмеженi в околi точки ε = 0 [4].
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1 – 3, 41, 42 та (11), то у випадку простих коре-
нiв рiвняння (4) система диференцiальних рiвнянь (1) на першому кроцi (0 ≤ τ ≤ ∆) має
розв’язок вигляду
x(τ, ε) = Um1(τ, ε) exp
1
ε
τ∫
0
Λm1(τ, ε)dτ
c1 + pm1(τ, ε) + εmαm1(τ, ε),
причому компоненти вектора αm1(τ, ε) нескiнченно диференцiйовнi на вiдрiзку [0; ∆] i
рiвномiрно обмеженi в околi точки ε = 0.
Побудуємо тепер розв’язок системи (1) на другому кроцi (∆ ≤ τ ≤ 2∆). Для цього
запишемо її у виглядi
B(τ)
dx(τ, ε)
dt
= A(τ)x(τ, ε) + C(τ)Um1(τ −∆, ε) exp
1
ε
τ−∆∫
0
Λm1(τ, ε)dτ
c1+
+ C(τ)pm1(τ −∆, ε) + εmC(τ)αm1(τ −∆, ε).
Покладаючи
x(τ, ε) = Um2(τ, ε)y(τ, ε) +Rm2(τ, ε) exp
1
ε
τ−∆∫
0
Λm1(τ, ε)dτ
c1 + pm2(τ, ε),
де y(τ, ε) — новий шуканий ν-вимiрний вектор,
Um2(τ, ε) =
m∑
s=0
εsU
(s)
2 (τ)
та
Rm2(τ, ε) =
m∑
s=0
εsR
(s)
2 (τ)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
532 П. Ф. САМУСЕНКО
— прямокутнi матрицi розмiрiв n× ν, а
pm2(τ, ε) =
m∑
s=0
εsp
(s)
2 (τ, ε)
— n-вимiрний вектор (матрицi Um2(τ, ε), Rm2(τ, ε) i вектор pm2(τ, ε) пiдлягають визначен-
ню), отримуємо систему
B(τ)Um2(τ, ε)
dy
dt
= (A(τ)Um2(τ, ε)− εB(τ)U ′m2(τ, ε))y+
+ (A(τ)Rm2(τ, ε)− εB(τ)R′m2(τ, ε)−B(τ)Rm2(τ, ε)Λm1(τ −∆, ε)+
+ C(τ)Um1(τ −∆, ε)) exp
1
ε
τ−∆∫
0
Λm1(τ, ε)dτ
c1 +A(τ)pm2(τ, ε)−
− εB(τ)p′m2(τ, ε) + C(τ)pm1(τ −∆, ε) + εmC(τ)αm1(τ −∆, ε) = 0.
(14)
Компоненти матрицi Um2(τ, ε) та вектора pm2(τ, ε) визначатимемо аналогiчно вiдповiд-
ним компонентам матрицi Um1(τ, ε) та вектора pm1(τ, ε) з теореми 1, а матрицю Rm2(τ, ε)
побудуємо так, щоб
A(τ)Rm2(τ, ε) − εB(τ)R′m2(τ, ε)−B(τ)Rm2(τ, ε)Λm1(τ −∆, ε)+
+ C(τ)Um1(τ −∆, ε) = εm+1B(τ)Um2(τ, ε)Lm2(τ, ε). (15)
Тут Lm2(τ, ε) — матриця, елементи якої нескiнченно диференцiйовнi на вiдрiзку [∆; 2∆].
Для цього в (15) прирiвняємо коефiцiєнти при εs, s = 0, 1, . . . ,m. Тодi отримаємо
A(τ)R
(s)
2 (τ)−B(τ)R
(s)
2 (τ)Λ(τ −∆) = M
(s)
2 (τ), s = 0, 1, . . . ,m, (16)
де
Λ(τ) = diag {λ1(τ), λ2(τ), . . . , λν(τ)},
(17)
M
(s)
2 (τ) = B(τ)
(
dR
(s−1)
2 (τ)
dτ
+
s−1∑
i=1
R
(i)
2 (τ)Λ
(s−i)
1 (τ −∆)− C(τ)Um1(τ −∆, ε)
)
,
s = 0, 1, . . . ,m.
Перейдемо в рiвняннi (16) до векторної форми запису:
(A(τ)− λi(τ −∆)B(τ))r
(s)
2i (τ) = m
(s)
2i (τ), s = 0, 1, . . . ,m, i = 1, 2, . . . , ν. (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ . . . 533
Тут r(s)
2i (τ) та m(s)
2i (τ) — стовпцi матриць R(s)
2 (τ) та M (s)
2 (τ) вiдповiдно.
Оскiльки жмуток матриць A(τ) − λB(τ) регулярний на вiдрiзку [0;L] i на цьому вiд-
рiзку його елементарнi дiльники зберiгають сталу кратнiсть, то iснують неособливi ма-
трицi P (τ) i Q(τ), елементи яких нескiнченно диференцiйовнi такi, що P (τ)A(τ)Q(τ) =
= Ω(τ), P (τ)B(τ)Q(τ) = H, де
Ω(τ) =
(
E1 0
0 Λ(τ)
)
, H =
(
J 0
0 E2
)
,
E1, E2 — одиничнi матрицi порядку n − ν та ν вiдповiдно, J — нiльпотентна матриця
(n− ν)-го порядку, а Λ(τ) — матриця вигляду (17). Тодi рiвняння (18) набере вигляду
(Ω(τ)− λi(τ −∆)H)r̄
(s)
1i (τ) = m̄
(s)
1i (τ), s = 0, 1, . . . ,m, i = 1, 2, . . . , ν,
де
r̄
(s)
1i (τ) = Q−1(τ)r
(s)
1i (τ), m̄
(s)
1i (τ) = P (τ)m
(s)
1i (τ).
Звiдси
r̄
(s)
1i (τ) = (Ω(τ)− λi(τ −∆)H)−1m̄
(s)
1i (τ), s = 0, 1, . . . ,m, i = 1, 2, . . . , ν.
Тодi якщо на вiдрiзку [∆; 2∆] виконується умова, аналогiчна умовi (11) (назвемо її (111)),
то маємо
Lm2(τ, ε) = −(B(τ)Um2(τ, ε))−B(τ)
dR(m)
2 (τ)
dτ
+
m∑
i=0
εi
m∑
j=i
R
(j)
2 (τ)Λ
(m+1+i−j)
1 (τ −∆)
.
Таким чином, система диференцiальних рiвнянь (14) набирає вигляду
B(τ)Um2(τ, ε)
dy
dτ
= B(τ)Um2(τ, ε)(Λm2(τ, ε) + εm+1Cm1(τ, ε))y+
+ εm+1B(τ)Um2(τ, ε)qm2(τ, ε)+
+ εm+1B(τ)Um2(τ, ε)Lm2(τ, ε) exp
1
ε
τ−∆∫
0
Λm1(τ, ε)dτ
c1.
Як i в попередньому випадку, розглядаючи систему
dy
dt
= (Λm2(τ, ε) + εm+1Cm2(τ, ε))y + εm+1(qm2(τ, ε) + Lm2(τ, ε)),
можна показати справедливiсть теореми 2 [4].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
534 П. Ф. САМУСЕНКО
Теорема 2. Якщо виконуються умови 1 – 4 та (111 ), то система диференцiальних
рiвнянь (1) на другому кроцi (∆ ≤ τ ≤ 2∆) має розв’язок вигляду
x(τ, ε) = Um2(τ, ε) exp
1
ε
τ∫
∆
Λm2(τ, ε)dτ
c2 +Rm2(τ, ε) exp
1
ε
τ−∆∫
0
Λm1(τ, ε)dτ
c1+
+ pm2(τ, ε) + εmαm2(τ, ε),
де c2 — сталий вектор, а компоненти вектора αm2(τ, ε) нескiнченно диференцiйовнi на
вiдрiзку [∆; 2∆] i рiвномiрно обмеженi в околi точки ε = 0.
Скориставшись методом математичної iндукцiї, останню теорему можна узагальнити
на довiльний крок (r∆ ≤ τ ≤ (r + 1)∆, r ≥ 1) [4].
Теорема 3. Якщо виконуються умови 1 – 4 та (11r−1), то система диференцiальних
рiвнянь (1) на r-му кроцi має розв’язок вигляду
x(τ, ε) = Umr(τ, ε) exp
1
ε
τ∫
(r−1)∆
Λmr(τ, ε)dτ
cr+
+
r−1∑
j=1
Rmj(τ, ε) exp
1
ε
τ−j∆∫
(r−1−j)∆
Λmr−j(τ, ε)dτ
cj+
+ pmr(τ, ε) + εmαmr(τ, ε),
де cj , j = 1, 2, . . . , r, — сталi вектори, αmr(τ, ε) — вектор, компоненти якого нескiнчен-
но диференцiйовнi на вiдрiзку [r∆; (r+ 1)∆] i рiвномiрно обмеженi в околi точки ε = 0, а
матрицi Umr(τ, ε), Λmr(τ, ε), Rmj(τ, ε) i вектор pmr(τ, ε) мають розвинення вигляду
Umr(τ, ε) =
m∑
s=0
εsU (s)
r (τ), Λmr(τ, ε) =
m∑
s=0
εsΛ(s)
r (τ), pmr(τ, ε) =
m∑
s=0
εsp(s)
r (τ, ε),
Rmj(τ, ε) =
m∑
s=0
εsR
(s)
j (τ), j = 1, 2, . . . , r − 1, r ≥ 1.
Зазначимо, що умова розв’язностi (11) системи (10) виконується, якщо, наприклад,
многочлен det(A(τ)− λB(τ)) задовольняє критерiй „ранг-степiнь” [2].
Розглянемо тепер систему диференцiальних рiвнянь
B(τ)
dx(t, ε)
dt
= A(τ)x(t, ε) + C(t)x(t−∆(τ), ε)), τ ∈ [0;L], (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ . . . 535
де x(t, ε) — шуканий n-вимiрний вектор, а матрицi A(τ), B(τ) та C(τ) тi ж самi, що й в
системi (1).
Теорема 4. Якщо виконуються умови 1 – 3 та:
5) функцiя ∆(τ) нескiнченно диференцiйовна на вiдрiзку [0;L];
6) ∆(τ) ≥ 0, t−∆(τ) ≥ 0 для всiх τ ∈ [0;L];
7) характеристичне рiвняння
det ||A(τ)− λB(τ) + C(τ) exp(−∆(τ)λ)|| = 0
має простий корiнь λ = λ(τ);
8) rankG(λ(τ), τ) = n− 1, де
G(λ, τ) = A(τ)− λB(τ) + C(τ) exp(−∆(τ)λ),
то система диференцiальних рiвнянь (19) має формальний частинний розв’язок вигля-
ду
x(t, ε) = u(τ, ε) exp
1
ε
τ∫
0
λ(τ)dτ,
, (20)
де u(τ, ε) — n-вимiрний вектор, причому
u(τ, ε) =
∞∑
s=0
εsu(s)(τ).
Доведення. Пiдставляючи x(t, ε) в систему (19), маємо
εu′(τ, ε) = (A(τ)− λ(τ)B(τ))u(τ, ε)+
+ C(τ)u(τ − ε∆(τ), ε) exp
1
ε
τ−ε∆(τ)∫
τ
λ(τ)dτ
. (21)
Вважаючи вектори u(s)(τ), s = 0, 1, . . . , нескiнченно диференцiйовними на вiдрiзку [0;L]
(дане твердження доведено нижче), розкладаємо у формальний ряд за степенями ε век-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
536 П. Ф. САМУСЕНКО
тор u(τ − ε∆(τ), ε) i функцiю exp
1
ε
τ−ε∆(τ)∫
τ
λ(τ)dτ
, тобто
u(τ − ε∆(τ), ε) = u(0)(τ) +
ε
1!
(
u(1)(τ)−∆(τ)
du(0)(τ)
dτ
)
+
+
ε2
2!
(
2u(2)(τ)− 2∆(τ)
du(1)(τ)
dτ
+ ∆2(τ)
d2u(0)(τ)
dτ2
)
+ . . . ,
(22)
exp
1
ε
τ−ε∆(τ)∫
τ
λ(τ)dτ
= exp (−∆(τ)λ(τ))
(
1 +
ε∆2(τ)λ′(τ)
2
+
+
ε2∆3(τ)
2
(
1
4
∆(τ)λ
′2(τ)− 1
3
λ′′(τ)
)
+ . . . .
Для визначення векторiв u(s)(τ), s = 0, 1, . . . , в рiвностi (21) прирiвняємо коефiцiєнти
при однакових степенях параметра ε. Зокрема, враховуючи (32), при ε0 та ε1 отримуємо
C(τ)u(0)(τ) = 0, (23)
C(τ)u(1)(τ) = f(τ), (24)
де
f(τ) = −C(τ)∆2(τ)λ′(τ)− C ′λ(λ(τ), τ).
У роботi [1] доведено, що системи (23), (24) сумiснi i вектори u(0)(τ) та u(1)(τ) на вiд-
рiзку [0;L] нескiнченно диференцiйовнi.
Використовуючи метод математичної iндукцiї, можна показати [1] розв’язнiсть систе-
ми (21) вiдносно u(s)(τ), s = 2, 3, . . . . Теорему доведено.
Вкажемо умови, при виконаннi яких формальний розв’язок (20) має асимптотичний
характер.
Теорема 5. Якщо для системи диференцiальних рiвнянь (19) виконуються умови те-
ореми 4, а також:
9) Re(λ(τ)) ≤ 0, τ ∈ [0;L];
10) ∆(τ) > 0, τ ∈ [0;L];
11) вектор
xm(t, ε) =
m∑
s=0
εsu(s)(τ) exp
1
ε
τ∫
0
λ(τ)dτ
, m ∈ N, (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ . . . 537
на початковiй множинi (t ∈ Ed) збiгається з точним розв’язком системи (19)
xm(t, ε) = x(t, ε), t ∈ Ed;
12) жмуток матриць A(τ) − λB(τ) на вiдрiзку [0;L] задовольняє критерiй „ранг-
степiнь”;
13) коренi рiвняння (4) простi на вiдрiзку [0;L], причому виконується умова 42,
то iснує стала cr, яка не залежить вiд ε i така, що для всiх t ∈ [rd; (r + 1)d], де 1 ≤ r ≤
≤
[
L
ε
]
+ 1, d = min
τ∈[0;L]
∆(τ), справджується нерiвнiсть
||xm(t, ε)− x(t, ε)|| ≤ εm+1−rcr. (26)
Доведення. Пiдставляючи (25) у диференцiальний вираз
B(τ)
dx(t, ε)
dt
−A(τ)x(t, ε)− C(τ)x(t−∆(τ), ε),
отримуємо
B(τ)
dxm(t, ε)
dt
= A(τ)xm(t, ε) + C(τ)xm(t−∆(τ), ε) + εm+1rm(τ, ε),
де rm(τ, ε) — вектор, рiвномiрно обмежений в околi точки ε = 0. Тому вектор
y(t, ε) = xm(t, ε)− x(t, ε)
задовольняє систему диференцiальних рiвнянь
B(τ)
dy(t, ε)
dt
= A(τ)y(t, ε) + C(τ)y(t−∆(τ), ε) + εm+1rm(τ, ε), (27)
причому
y(t, ε) = 0, t ∈ Ed.
Згiдно з умовами 12, 13 iснують неособливi матрицi P (τ) та Q(τ), елементи яких нескiн-
ченно диференцiйовнi такi, що P (τ)A(τ)Q(τ) = Ω(τ), P (τ)B(τ)Q(τ) = H, де
Ω(τ) =
(
E1 0
0 Λ(τ)
)
, H =
(
0 0
0 E2
)
,
E1, E2 — одиничнi матрицi порядку n− ν та ν вiдповiдно, а Λ(τ) — матриця вигляду (17).
Тодi, виконавши в системi (27) замiну
y(t, ε) = Q(τ)z(t, ε), z(t, ε) = 0, t ∈ Ed, (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
538 П. Ф. САМУСЕНКО
та помноживши обидвi її частини злiва на P (τ), дiстанемо
H
dz(t, ε)
dt
= Ω(τ)z(t, ε)− εHQ−1(τ)Q′(τ)z(t, ε)+
+ P (τ)C(τ)Q(τ)z(t−∆(τ), ε) +O
(
εm+1
)
. (29)
Нехай
z(t, ε) =
(
z1(t, ε)
z2(t, ε)
)
, K(τ) = HQ−1(τ)Q′(τ) ≡
(
0 0
K1(τ) K2(τ)
)
,
P (τ)C(τ)Q(τ) =
(
C1(τ) C2(τ)
C3(τ) C4(τ)
)
,
де z1(t, ε) — (n−ν)-вимiрний вектор, координатами якого є першi n−ν координат вектора
z(t, ε), а z2(t, ε) — ν-вимiрний вектор, координатами якого є решта координат z(t, ε).
Тодi система (29) набирає вигляду
z1(t, ε) = −C1(τ)z1(t−∆(τ), ε)− C2(τ)z2(t−∆(τ), ε) +O
(
εm+1
)
, (30)
dz2(t, ε)
dt
= Λ(τ)z2(t, ε)− εK1(τ)z1(t, ε)− εK2(τ)z2(t, ε)+
+ C3(τ)z1(t−∆(τ), ε) + C4(τ)z2(t−∆(τ), ε) +O
(
εm+1
)
. (31)
Замiнимо систему (31) рiвносильною системою iнтегральних рiвнянь. Враховуючи (28),
на r-му кроцi ((r − 1)d ≤ t ≤ rd) маємо
z2(t, ε) = − ε
t∫
(r−1)d
exp
t∫
t1
Λ(τ)dt
(K1(τ1)z1(t1, ε) +K2(τ1)z2(t1, ε)) dt1+
+
t∫
(r−1)d
exp
t∫
t1
Λ(τ)dt
(C3(τ1)z1(t1 −∆(τ1), ε) + C4(τ1)z2(t1 −∆(τ1), ε)) dt1+
+
t∫
(r−1)d
exp
t∫
t1
Λ(τ)dt
O
(
εm+1
)
dt1 + y((r − 1)d, ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ . . . 539
Згiдно з умовою 13 ∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
t∫
t1
Λ(τ)dt
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1.
Тому
‖z2(t, ε)‖ ≤ ε
t∫
(r−1)d
‖K1(τ1)z1(t1, ε) +K2(τ1)z2(t1, ε)‖dt1+
+
t∫
(r−1)d
‖C3(τ1)z1(t1 −∆(τ1), ε) + C4(τ1)z2(t1 −∆(τ1), ε)‖ dt1+
+ O (εm) + ‖y((r − 1)d, ε)‖. (32)
Подальше доведення теореми проведемо методом iндукцiї. Для цього спочатку покладе-
мо 0 ≤ t ≤ d. Тодi з (30) та (32) матимемо оцiнку
||z(t, ε)|| ≤ Mεm.
Таким чином, для t ∈ [0; d] теорему доведено. Використовуючи метод математичної
iндукцiї, можна показати справедливiсть оцiнки (26) на r-му кроцi [1, 3]. Теорему доведе-
но.
1. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Пидченко Ю.П., Сотниченко Н.А. Асимптотические методы в теории
линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — Киев: Наук. думка, 1981.
— 296 с.
2. Шкiль М.I., Самусенко П.Ф. Про асимптотичнi формули для розв’язкiв систем лiнiйних диференцiаль-
них рiвнянь з виродженою матрицею при похiдних // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, N◦ 9. — С. 1278 –
1285.
3. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с вырождениями. — Киев: Выща шк., 1991. — 207 с.
4. Самойленко А.М., Шкiль М.I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
Одержано 19.09.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
|