О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм
Описуються нескiнченнi частково впорядкованi множини з додатно означеною формою Тiтса. We describe infinite partially ordered sets with a positive Tits form.
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2003 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176155 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм / В.М. Бондаренко, А.М. Полищук // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 3-14. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176155 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бондаренко, В.М. Полищук, А.М. 2021-02-03T19:18:56Z 2021-02-03T19:18:56Z 2003 О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм / В.М. Бондаренко, А.М. Полищук // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 3-14. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176155 512.647.2 + 512.562 Описуються нескiнченнi частково впорядкованi множини з додатно означеною формою Тiтса. We describe infinite partially ordered sets with a positive Tits form. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм Про критерій додатної визначеності для одного класу нескінченних квадратичних форм Positive definiteness criteria for a certain class of infinite quadratic forms Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм |
| spellingShingle |
О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм Бондаренко, В.М. Полищук, А.М. |
| title_short |
О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм |
| title_full |
О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм |
| title_fullStr |
О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм |
| title_full_unstemmed |
О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм |
| title_sort |
о критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм |
| author |
Бондаренко, В.М. Полищук, А.М. |
| author_facet |
Бондаренко, В.М. Полищук, А.М. |
| publishDate |
2003 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про критерій додатної визначеності для одного класу нескінченних квадратичних форм Positive definiteness criteria for a certain class of infinite quadratic forms |
| description |
Описуються нескiнченнi частково впорядкованi множини з додатно означеною формою Тiтса.
We describe infinite partially ordered sets with a positive Tits form.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176155 |
| citation_txt |
О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм / В.М. Бондаренко, А.М. Полищук // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 3-14. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bondarenkovm okriteriipoložitelʹnoiopredelennostidlâodnogoklassabeskonečnyhkvadratičnyhform AT poliŝukam okriteriipoložitelʹnoiopredelennostidlâodnogoklassabeskonečnyhkvadratičnyhform AT bondarenkovm prokriteríidodatnoíviznačenostídlâodnogoklasuneskínčennihkvadratičnihform AT poliŝukam prokriteríidodatnoíviznačenostídlâodnogoklasuneskínčennihkvadratičnihform AT bondarenkovm positivedefinitenesscriteriaforacertainclassofinfinitequadraticforms AT poliŝukam positivedefinitenesscriteriaforacertainclassofinfinitequadraticforms |
| first_indexed |
2025-11-27T02:36:31Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:36:31Z |
| _version_ |
1850794746857914368 |
| fulltext |
УДК 512.647.2 + 512.562
О КРИТЕРИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА БЕСКОНЕЧНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
В. М. Бондаренко, А. М. Полищук
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
e-mail: vit-bond@imath.kiev.ua
We describe infinite partially ordered sets with a positive Tits form.
Описуються нескiнченнi частково впорядкованi множини з додатно означеною формою Тiтса.
Квадратичные формы играют важную роль в различных областях математики. Это отно-
сится как к алгебре, так и к теории обыкновенных дифференциальных уравнений, диф-
ференциальных уравнений в частных производных, интегральных и функциональных
уравнений, теории операторов и др. (см., например, [1 – 9]). В настоящей статье рассма-
триваются квадратичные формы для одного класса бесконечных объектов как „предель-
ный случай” известных конечных форм.
1. Формулировка основного результата. Пусть S — бесконечное частично упорядо-
ченное множество и Z — множество целых чисел. Рассмотрим в декартовом произведе-
нии ZS∪0 подмножество ZS∪0
0 , состоящее из всех векторов z = (zi) с конечным числом
ненулевых координат. Квадратичной формой Титса для S назовем (по аналогии с конеч-
ным случаем [1]) форму qS : ZS∪0
0 → Z, задаваемую равенством
qS(z) = z2
0 +
∑
i∈S
z2
i +
∑
i<j,i,j∈S
zizj − z0
∑
i∈S
zi.
Форму Титса qS(z) назовем положительно определенной, если qS(z) > 0 для всех векто-
ров z ∈ ZS∪0
0 , за исключением нулевого.
При изучении свойств многих конечных объектов явные закономерности проявля-
ются лишь для „достаточно больших” объектов, и поэтому рассмотрение бесконечных
объектов как „предельных” случаев представляет особый интерес. В этой статье та-
кая ситуация рассматривается для частично упорядоченных множеств с положительно
определенной формой Титса. Более точно, мы изучаем такие множества в случае, ко-
гда они бесконечны, не накладывая на них никаких дополнительных условий (наиболее
„чистый” случай, когда не существует минимальных и максимальных элементов, рассма-
тривался в [10]).
Пусть S = {S0,6} — (конечное или бесконечное) частично упорядоченное множе-
ство, тогда частично упорядоченным является и каждое подмножество X ⊂ S0 (с ин-
дуцированным частичным порядком). В дальнейшем (из соображений удобства) мы в
каком-то смысле отождествляем S и S0. В частности, под словами „подмножество (в) S”
мы понимаем подмножество (в) S0 вместе с индуцированным частичным порядком (ко-
торый обозначается тем же символом 6), вместо x ∈ S0 пишем x ∈ S и т. п. Если S —
c© В. М. Бондаренко, А. М. Полищук, 2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1 3
4 В. М. БОНДАРЕНКО, А. М. ПОЛИЩУК
объединение своих попарно непересекающихся подмножеств A,B, .., C, то говорят, что
S является суммой A,B, . . . , C и пишут S = A + B + . . . + C; понятно, что элементы
различных слагаемых могут быть сравнимыми между собой. Если же элементы, принад-
лежащие различным слагаемым, всегда несравнимы, то будем говорить, что S является
прямой суммой заданных подмножеств. Множество S назовем неразложимым, если оно
не является прямой суммой своих (собственных) подмножеств.
Понятие прямой суммы частично упорядоченных множеств можно ввести и внешним
образом: прямая сумма множеств A,B, . . . , C — это их объединение без попарных пе-
ресечений (с естественным частичным порядком, т. е. таким, который индуцируется за-
данными порядками). Что касается суммы, то внешним образом она определяется неод-
нозначно — для задания суммы множеств A,B, . . . , C нужно дополнительно зафиксиро-
вать подмножество P0 в множестве всех пар (x, y), где x и y — элементы из различных
множеств; тогда суммой заданных множеств будет их объединение без пересечений с час-
тичным порядком, являющимся наименьшим среди всех, которые продолжают заданные
порядки и таких, что x < y, если (x, y) ∈ P0. Понятно, что с формальной точки зрения бо-
лее удобно пользоваться внутренним определением суммы, когда рассматриваются под-
множества частично упорядоченных множеств. В дальнейшем мы будем пользоваться
именно этим определением.
Введем теперь одно понятие, которое мы называем минимаксной суммой частично
упорядоченных множеств.
Для непересекающихся подмножеств X и Y некоторого частично упорядоченного
множества запись XCY будет означать, что существуют элементы x ∈ X и y ∈ Y такие,
что x < y. Пусть частично упорядоченное множество S является суммой подмножеств
A,B, . . . , C. Будем называть эту сумму минимаксной, если выполняется следующее усло-
вие:
a) x является минимальным, а y — максимальным элементом множества S, если x и y
принадлежат разным слагаемым и при этом x < y.
Очевидно, что частным случаем минимаксной суммы является прямая сумма. Однако
в дальнейшем, говоря о минимаксной сумме, будем считать (из формальных соображе-
ний), что кроме условия a) выполняется также следующее условие:
b) S не является прямой суммой подмножеств A,B, .., C.
Понятно, что в общем случае условие b) не гарантирует неразложимости множества
S; однако это так, если число слагаемых равно двум и при этом каждое из них неразло-
жимо.
Минимаксную сумму подмножеств A,B, .., C назовем односторонней, если отноше-
ние@, порожденное рассматриваемым на множестве всех слагаемых отношениемC (т. е.
X @ Y дляX 6= Y означает, чтоX = X0CX1 . . .CXs = Y для некоторыхX0, X1, . . . , Xs,
s > 0), является отношением частичного порядка. Другими словами, сумма является
односторонней, если слагаемые можно занумеровать натуральными числами таким обра-
зом, что для каждой пары слагаемых X и Y , удовлетворяющих условию X C Y , выпол-
няется неравенство i(X) < i(Y ), где i(X) и i(Y ) — номера (соответственно) X и Y .
Понятие минимаксной суммы (в том числе односторонней) можно задавать и
внешним образом, если дополнительно зафиксировать некоторое подмножество P0 (см.
выше), удовлетворяющее соответствующим условиям. Однако наша договоренность от-
носительно использования внутренного определения суммы множеств сохраняется и в
рассматриваемом частном случае.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
О КРИТЕРИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА БЕСКОНЕЧНЫХ . . . 5
Любое линейно упорядоченное множество мы называем цепным, а частично упоря-
доченное множество с единственной парой несравнимых элементов — почти цепным.
Заметим, что в дальнейшем мы допускаем и пустые цепные множества. Отметим еще,
что мы отождествляем одноэлементные множества с элементами.
Основной целью настоящей статьи является доказательство следующей теоремы, ко-
торая полностью описывает строение бесконечных частично упорядоченных множеств
с положительно определенной формой Титса.
Основная теорема. Пусть S — бесконечное частично упорядоченное множество.
Тогда форма Титса qS(x) положительно определена в том и только в том случае, когда
выполняется одно из следующих условий:
1) S — прямая сумма двух цепных подмножеств;
2) S — прямая сумма цепного и почти цепного подмножеств;
3) S — односторонняя минимаксная сумма двух цепных подмножеств.
2. Вспомогательные леммы. При доказательстве основной теоремы нам понадобя-
тся некоторые вспомогательные леммы. Определяемые при этом конечные частично
упорядоченные множества обозначаются через T ; для удобства их элементами являются
целые числа и соответствующие (частичные) порядки обозначаются знаком ≺ (чтобы
отличать их от естественной линейной упорядоченности целых чисел); при этом порядок
всегда определяется с точностью до транзитивности. Координаты zi (конечного) вектора
z ∈ Z0∪T располагаются в естественном порядке (в порядке возрастания i ∈ 0 ∪ T как
целого числа). Доказательство сформулированных ниже лемм очевидно — оно сводится
к вычислению значений конкретных квадратичных форм.
Лемма 1. Пусть T = {1, 2, 3, 4} (без сравнимых i 6= j). Тогда qT (2, 1, 1, 1, 1) = 0 и,
следовательно, форма qT (z) не является положительно определенной.
Лемма 2. Пусть T = {1, 2, 3, 4 | 1 ≺ 4, 2 ≺ 4, 3 ≺ 4}. Тогда qT (1, 1, 1, 1,−1) = 0 и,
следовательно, форма qT (z) не является положительно определенной.
Лемма 3. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 2 ≺ 3, 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8}. Тогда qT (6, 3, 2, 2,
1, 1, 1, 1, 1) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно определенной.
Лемма 4. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 7, 2 ≺ 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7}. Тогда
qT (4, 3, 1, 1, 1, 1, 1,−2, 2) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно
определенной.
Лемма 5. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8, 2 ≺ 4, 2 ≺ 5, 3 ≺ 4}. Тогда
qT (0, 2, 3, 1,−2,−1,−1,−1,−1) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положи-
тельно определенной.
Лемма 6. Пусть T = {1, 2, 3, 4 | 1 ≺ 3, 1 ≺ 4, 2 ≺ 3, 2 ≺ 4}. Тогда qT (0, 1, 1, −1,−1) =
= 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно определенной.
Лемма 7. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | 1 ≺ 2, 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7, 1 ≺ 5}. Тогда
qT (0,−2, 1,−1,−1, 1, 1, 1) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно
определенной.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
6 В. М. БОНДАРЕНКО, А. М. ПОЛИЩУК
Лемма 8. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | 1 ≺ 5, 2 ≺ 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7}. Тогда
qT (1, 2, 1, 1, 1,−1,−1,−1) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно
определенной.
Лемма 9. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | 1 ≺ 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7, 1 ≺ 2 ≺ 6}. Тогда
qT (1,−1, 2, 1, 1, 1,−1,−1) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно
определенной.
Лемма 10. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 2 ≺ 8, 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8}. Тогда
qT (3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1,−3) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно
определенной.
Лемма 11. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 2, 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8, 1 ≺ 4}. Тогда
qT (1,−3, 2,−2, 1, 1, 1, 1, 1) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно
определенной.
Лемма 12. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 7, 2 ≺ 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8}. Тогда
qT (2, 3, 1, 1, 1, 1, 1,−2,−2) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно
определенной.
Лемма 13. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 4, 2 ≺ 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8}. Тогда
qT (1, 3, 2, 2,−1,−1,−1,−1,−1) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положи-
тельно определенной.
Лемма 14. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 2 ≺ 8, 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8, 1 ≺ 7}.
Тогда qT (2, 2, 1, 1, 1, 1, 1,−1,−2) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положи-
тельно определенной.
Лемма 15. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 2 ≺ 8, 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8, 1 ≺ 4}.
Тогда qT (1,−2, 2,−1, 1, 1, 1, 1,−1) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является поло-
жительно определенной.
Лемма 16. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 2 ≺ 5, 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8, 1 ≺
≺ 4}. Тогда qT (1, 1, 2, 2, 1,−1,−1,−1,−1) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является
положительно определенной.
Лемма 17. Пусть T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 1 ≺ 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 8, 1 ≺ 2 ≺ 8}. Тогда
qT (2,−2, 3, 1, 1, 1, 1, 1,−2) = 0 и, следовательно, форма qT (z) не является положительно
определенной.
Напомним, что двойственным к T частично упорядоченным множеством называется
множество T ∗, которое совпадает с T как обычное множество и имеет следующий час-
тичный порядок: x < y (в T ∗) тогда и только тогда, когда x > y в T . Очевидно, что
имеют место леммы 1∗ – 17∗, двойственные к леммам 1 – 17, т. е. такие, в условиях которых
вместо множеств T рассматриваются двойственные множества T ∗ (а указанные векторы
те же); это следует из того, что при переходе к двойственному множеству форма Титса
не меняется.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
О КРИТЕРИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА БЕСКОНЕЧНЫХ . . . 7
3. Доказательство основной теоремы: необходимость. Введем сначала некоторые оп-
ределения и обозначения.
Пусть A и B — подмножества частично упорядоченного множества S. Если не суще-
ствуют сравнимые элементы x ∈ A и y ∈ B, то A и B будем называть несравнимыми
(в этом случае их сумма является прямой); из формальных соображений нам удобно счи-
тать, что подмножества A 6= ∅ и B = ∅ всегда несравнимы; и если мы говорим, что A
и B не являются несравнимыми (в частности, x < y для x ∈ A и y ∈ B), то при этом
всегда подразумевается, что A 6= ∅ и B 6= ∅. Заметим, что подмножества, не являю-
щиеся несравнимыми, неестественно называть, по аналогии с элементами, сравнимыми
— при определении таких (непересекающихся) множеств естественно требовать, чтобы
каждый элемент одного из них был меньше каждого элемента другого; и в зависимости
от случая мы пишем A < B или B < A. Подмножество A множества S назовем верх-
ним (соответственно нижним), если x ∈ A каждый раз, когда x > y (соответственно
x < y) и y ∈ A. Подмножество в S, состоящее из всех элементов x, сравнимых с каждым
элементом y ∈ S, обозначается через S0; очевидно, что оно является цепным.
Через NS(x), где x — элемент частично упорядоченного множества S, мы обозна-
чаем множество всех элементов из S, несравнимых с x, и для подмножества X (множе-
ства S) полагаем NS(X) =
⋂
x∈X NS(x). Элемент x ∈ S назовем изолированным, если
x ∈ NS(S \ {x}) или, другими словами, подмножества x и S \ {x} несравнимы (в этом и
только в этом случае x является и минимальным, и максимальным); аналогично, подмно-
жествоA назовем изолированным, еслиA несравнимо с S\A. Напомним еще, что ширина
множества S — это наибольшее число его попарно несравнимых элементов; обозначим
ее через w(S).
Ниже нам понадобится следующее утверждение.
Предложение. Произвольное бесконечное частично упорядоченное множество S ко-
нечной ширины m представимо в виде суммы цепных подмножеств S1, . . . , Sm таким
образом, что S1 является бесконечным и каждое Si является максимальным цепным
подмножеством в Si + . . .+ Sm.
Доказательство. Согласно теореме Дилуорса [11, с. 133] (теорема 15) множество S
является объединением некоторых цепных подмножеств Y1, . . . , Ym. Тогда S — сумма
цепных подмножеств X1, . . . , Xm, где X1 = Y1 и Xi = Yi \ ∪i−1
j=1Yi при i = 2, . . . ,m. Одно
из этих подмножеств бесконечно; мы можем считать, что таким подмножеством является
X1. Пусть m > 1 (при m = 1 наше утверждение очевидно). Положим X
(1)
1 = X1, X(2)
1 =
= X
(1)
1 ∪ {x ∈ X2 |X(1)
1 ∪ {x}— цепное}, X(3)
1 = X
(2)
1 ∪ {x ∈ X3 |X(2)
1 ∪ {x}— цепное}, . . .
. . . , X
(m)
1 = X
(m−1)
1 ∪ {x ∈ Xm |X(m−1)
1 ∪ {x}— цепное}. Легко видеть, что
X
(1)
1 ⊆ X
(2)
1 ⊆ . . . ⊆ X
(m)
1 ,
причем все эти подмножества цепные. Покажем, что X(m)
1 — максимальное цепное под-
множество (в S). Действительно, предположим противное, т. е. что существует элемент
a 6∈ X(m)
1 такой, что подмножество X(m)
1 ∪{a} является цепным, и пусть a ∈ Xj . Но тогда
a принадлежит подмножеству X(j)
1 (согласно его определению), а следовательно, и X(m)
1 .
Пришли к противоречию.
Таким образом, в качестве S1 можно взять подмножество X
(m)
1 . Заметим, что в по-
следних рассуждениях мы по существу не пользовались бесконечностью. Поэтому, рас-
сматривая множество X2 + . . . + Xm ширины m − 1 и применяя индукцию, завершаем
доказательство данного утверждения.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
8 В. М. БОНДАРЕНКО, А. М. ПОЛИЩУК
Будем теперь считать (до конца пункта), что S — бесконечное частично упорядочен-
ное множество с положительно определенной формой Титса. Нам нужно доказать, что в
этом случае выполняется одно из условий 1 – 3 теоремы.
В силу леммы 1 w(S) < 4, причем случай w(S) = 1 очевиден — в этом случае выпол-
няется условие 1 теоремы (c одним пустым слагаемым).
Рассмотрим теперь случай, когда w(S) = 2. Отметим, прежде всего, что в этом слу-
чае S0 = S−0 ∪ S
+
0 , где S−0 — нижнее, а S+
0 — верхнее подмножество S. Действительно,
если бы это было не так, то существовал бы элемент x ∈ S0 такой, что {x}> и {x}< —
подмножества ширины 2. Тогда S содержало бы подмножество, изоморфное множеству
T из леммы 6.
Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 18. Частично упорядоченное (конечное или бесконечное) множество с поло-
жительно определенной формой Титса является цепным или почти цепным тогда и
только тогда, когда оно не содержит подмножеств, изоморфных следующим множе-
ствам:
a) {1, 2, 3} (без сравнимых i 6= j);
b) {1, 2, 3 | 1 ≺ 2}.
Доказательство. Легко видеть, что некоторое частично упорядоченное множество P
является цепным или почти цепным тогда и только тогда, когда оно не содержит подмно-
жества, изоморфного множеству a), b) или следующему множеству:
c) {1, 2, 3, 4 | 1 ≺ 3, 1 ≺ 4, 2 ≺ 3, 2 ≺ 4}.
А если P имеет положительно определенную форму qP (z), то в силу леммы 6 это мно-
жество не может содержать подмножеств вида c). Отсюда следует утверждение леммы.
Используя эту лемму, докажем следующее утверждение.
Лемма 19. Если w(S) = 2 и S0 бесконечно, то S является почти цепным.
Доказательство. Поскольку w(S) = 2, то S не может содержать подмножеств вида a).
Нам осталось показать, что S не содержит подмножеств вида b). Предположим против-
ное и зафиксируем элементы a, b, c такие, что a несравним с {b, c} и b < c. В силу беско-
нечности S0 хотя бы одно из подмножеств S−0 , S+
0 является бесконечным. Будем считать,
без ограничения общности, что бесконечным является S+
0 , иначе вместо множества S
рассмотрим двойственное к нему множество S∗. Тогда подмножество в S, состоящее из
элементов a, b, c и произвольных элементов d1 < d2 < d3 < d4 < d5 из S+
0 , изомор-
фно множеству T из леммы 13. Пришли к противоречию (в силу этой же леммы). Лемма
доказана.
Итак, если S имеет ширину 2, а подмножество S0 бесконечно, то выполняется условие
2 теоремы (с пустым цепным слагаемым).
Рассмотрим теперь случай, когда подмножество S0 пусто. Тогда, очевидно,NS(x) 6= ∅
для любого x ∈ S.
Лемма 20. Если w(S) = 2 и S0 = ∅, то S является прямой или односторонней
минимаксной суммой двух цепных подмножеств.
Доказательство. Представим S в виде суммы двух цепных подмножеств P и Q, где
P бесконечно (см. предложение); при этом Q может быть как конечным, так и беско-
нечным. Пусть эта сумма не является прямой и a ∈ P , b ∈ Q — некоторые сравнимые
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
О КРИТЕРИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА БЕСКОНЕЧНЫХ . . . 9
элементы. Без ограничения общности можно считать, что a < b (если a > b, то заменим
S на S∗).
Положим P1 = {x ∈ S |x > b} ∩ P = {a}> ∩ {x ∈ P |x > b}, P2 = {x ∈ S |x <
< b} ∩ P = ({a}> ∩ {x ∈ P |x < b}) ∪ ({a}< ∩ P ) ∪ {a}, P3 = {a}> ∩ NS(b). Поскольку
P = P1∪P2∪P3, из бесконечности P следует, что хотя бы одно из подмножеств P1, P2, P3
является бесконечным. Но подмножество P1 конечно. Действительно, в противном слу-
чае рассмотрим подмножество Q1, состоящее из элемента b, произвольных элементов
c ∈ NS(a), d ∈ NS(b) и произвольных элементов e1 < e2 < e3 < e4 < e5 из P1; и если
c сравнимо с d, а тогда c < d, то подмножество в Q1, состоящее из элементов a, b, c, d,
изоморфно множеству T из леммы 6; а если c и d несравнимы, то Q1 изоморфно под-
множеству T из леммы 13. В обоих случаях приходим к противоречию. Покажем далее,
что и подмножество P2 является конечным. Предположим противное и зафиксируем в
P2 элементы a1 < a2 < a3 < a4 < a5 (заметим, что не обязательно a5 6 a). Зафикси-
руем еще элементы c ∈ NS(a5) и d ∈ NS(b) и рассмотрим подмножество R1, состоящее
из элементов b, c, d, a1, a2, a3, a4, a5; при этом можно считать, что элементы c и d несрав-
нимы (иначе a5, b, c и d образуют подмножество, изоморфное множеству T из леммы 6).
Если элемент c несравним с подмножеством {a1, a2, a3, a4}, то R1 изоморфно подмноже-
ству T ∗ из леммы 11∗ и мы приходим к противоречию. В противном случае обозначим
через s наибольшее среди чисел i ∈ {1, 2, 3, 4} таких, что ai < b. Тогда при s = 1 под-
множество R1 изоморфно множеству T ∗ из леммы 15∗, а при s = 4 — множеству T ∗ из
леммы 16∗; при s = 2 подмножествоR1\{d} изоморфно множеству T ∗ из леммы 9∗, а при
s = 3 подмножество R1 \ {b} изоморфно множеству T ∗ из леммы 8∗. И снова приходим
к противоречию. Таким образом, подмножества P1 и P2 конечны и, значит, бесконечным
является подмножество P3.
Покажем теперь, что из бесконечности P3 следует, что элемент b является максималь-
ным элементом подмножества Q (тогда в силу S0 = ∅ b — максимальный элемент в S).
Предположим, что это не так. Тогда подмножество {b}> ∩ Q не пусто. Зафиксируем
элемент c ∈ {b}> ∩ Q и рассмотрим подмножество R2, состоящее из элементов a, b, c и
произвольных элементов a1 < a2 < a3 < a4 < a5 подмножества NS(b). Если элемент
c несравним с подмножеством {a1, a2, a3, a4, a5}, то R2 изоморфно подмножеству T ∗ из
леммы 10∗, и мы приходим к противоречию. В противном случае обозначим через s наи-
большее среди чисел i ∈ {1, 2, 3, 4, 5} таких, что ai сравнимо с c; тогда, очевидно, as < c.
При s = 1 подмножество R2 изоморфно множеству T ∗ из леммы 14∗, при s = 4 — мно-
жеству T ∗ из леммы 15∗, при s = 5 — множеству T ∗ из леммы 17∗; при s = 2 подмноже-
ство R2 \ {b} изоморфно множеству T ∗ из леммы 8∗, а при s = 3 подмножество R2 \ {a}
изоморфно множеству T ∗ из леммы 7∗. И снова приходим к противоречию. Итак, наше
предположение неверно и, значит, b является мaксимальным элементом в Q (и в S).
Далее, из бесконечности P3 следует, что элемент a является минимальным элементом
подмножества P (тогда в силу S0 = ∅ b — минимальный элемент в S). Действительно,
в противном случае {a}< ∩ P 6= ∅ и подмножество, состоящее из элементов a, b, произ-
вольного элемента c ∈ {a}< ∩ P и произвольных элементов a1 < a2 < a3 < a4 < a5 из
NS(b), изоморфно множеству T ∗ из леммы 12∗. Пришли к противоречию.
Таким образом, мы доказали, что b является максимальным элементом в Q, а a —
минимальным элементом в P ; и (в силу S0 = ∅) элемент b является максимальным в Q, а
элемент a — минимальным в P . А поскольку элементы a и b такие, что a < b, и выбраны
в подмножествах P и Q произвольным образом, тем самым доказано, что b несравним
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
10 В. М. БОНДАРЕНКО, А. М. ПОЛИЩУК
с P \ {a} и a — с Q \ {b}. Если учесть к тому же, что в силу леммы 6 не существует
элементов x ∈ P и y ∈ Q, удовлетворяющих неравенству x > y, то получаем, что S
является односторонней минимаксной суммой (цепных) подмножеств P и Q. Лемма 20
доказана.
Из леммы 20 следует, что если S имеет ширину 2, а подмножество S0 пусто, то выпол-
няется условие 1 или условие 3 теоремы.
Наконец, в случае, когда S имеет ширину 2, а S0 конечно, но не пусто, выполняется
условие 3 теоремы, что вытекает из следующей леммы.
Лемма 21. Если w(S) = 2 и S0 конечно, но не пусто, то частично упорядоченное
множество S является односторонней минимаксной суммой бесконечного цепного и
одноэлементного подмножеств.
Доказательство. Напомним, что S0 = S−0 ∪ S
+
0 , где S−0 — нижнее, а S+
0 — верхнее
подмножество S. Поскольку S1 = S \ S0 — бесконечное подмножество ширины 2, то в
силу леммы 20 S1 является прямой или односторонней минимаксной суммой бесконеч-
ного цепного подмножества P и (бесконечного или конечного, но не пустого) цепного
подмножества Q.
Без ограничения общности можно считать, что S+
0 6= ∅ (иначе вместо S будем рас-
сматривать S∗). При этом S+
0 состоит из одного элемента, иначе подмножество, состоя-
щее из элементов d1 < d2 < d3 < d4 < d5 множества P , каждый из которых не является
в нем ни минимальным, ни максимальным (если таковы имеются), и произвольных эле-
ментов a ∈ Q, b, c ∈ S+
0 (b 6= c), изоморфно множеству T из леммы 12.
Покажем сначала, что S1 не может быть односторонней минимаксной суммой под-
множеств P и Q. Предположим противное. И если P C Q, то подмножество, состоящее
из минимального элемента a ∈ P , максимального элемента b ∈ Q, элемента c ∈ S+
0 и
произвольных элементов d1 < d2 < d3 < d4 < d5 из P \ {a}, изоморфно множеству
T из леммы 17. А если Q C P , то подмножество, состоящее из минимального элемента
a ∈ Q, максимального элемента b ∈ P , элемента c ∈ S+
0 и произвольных элементов
d1 < d2 < d3 < d4 < d5 из P \{b}, изоморфно множеству T из леммы 12. В обоих случаях
приходим к противоречию.
Итак, S1 является прямой суммой цепных множеств P и Q. Тогда Q одноэлементно,
иначе подмножество, состоящее из элементов a ∈ S+
0 , b1, b2 ∈ Q(a 6= b) и c1, c2, c3, c4, c5 ∈
∈ P (ci 6= cj при i 6= j), изоморфно множеству T из леммы 10 и мы приходим к про-
тиворечию. Далее, подмножество S−0 является пустым, иначе подмножество, состоящее
из элементов a ∈ S+
0 , b ∈ Q, c ∈ S−0 и d1, d2, d3, d4, d5 ∈ P (ci 6= cj при i 6= j), изомор-
фно множеству T из леммы 17. Из изложенного следует, что S является односторонней
минимаксной суммой бесконечного цепного и одноэлементного подмножеств. Лемма до-
казана.
Таким образом, доказательство теоремы (необходимость) в случае, когда ширина мно-
жества S равна двум, завершено. Более точно, мы доказали, что для бесконечного час-
тично упорядоченного множества S ширины 2 с положительно определенной формой
Титса выполняется одно из следующих условий:
1′) = 1) S — прямая сумма двух цепных подмножеств;
2′) S — почти цепное подмножество;
3′) = 3) S — односторонняя минимаксная сумма двух цепных подмножеств.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
О КРИТЕРИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА БЕСКОНЕЧНЫХ . . . 11
Осталось рассмотреть случай, когда ширина частично упорядоченного множества S
равна трем. Заметим, что в этом случае S0 = ∅ (в силу леммы 2).
Докажем сначала три леммы, которые понадобятся нам ниже.
Лемма 22. Если w(S) = 3 и R — изолированное цепное подмножество в S, содержа-
щее более одного элемента, то S \R — почти цепное множество.
Доказательство. Если подмножество R бесконечно, то подмножество S \ R шири-
ны 2 не содержит подмножеств вида b) (см. лемму 18), иначе S содержит подмноже-
ство, изоморфное множеству T из леммы 3. Следовательно, в силу леммы 18 подмно-
жество S \ R является почти цепным. Если R конечно, а S0 бесконечно, то S \ R явля-
ется почти цепным в силу леммы 19. А случай, когда R и S0 конечны, невозможен, ибо
в силу лемм 20 и 21 множество S \ R содержит подмножество, изоморфное множеству
{1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2 < 3 < 4 < 5 < 6}, а значит, S содержит подмножество, изоморфное
множеству T из леммы 3. Лемма доказана.
Лемма 23. Если w(S) = 3, то S не может быть односторонней минимаксной суммой
цепного и почти цепного подмножеств.
Доказательство. Предположим противное и обозначим соответствующее цепное под-
множество через P , а почти цепное через Q. Без ограничения общности можно считать,
что P C Q (иначе мы заменим S на S∗); обозначим минимальный элемент множества P
через a. Тогда Q имеет два максимальных элемента, так как в противном случае подмно-
жество, состоящее из элемента a, (единственного) максимального элемента подмноже-
ства Q и двух несравнимых между собой элементов этого же подмножества, изоморфно
множеству T из леммы 2, и мы приходим к противоречию. Обозначим эти максималь-
ные элементы через b и c. Поскольку P C Q, то a < b или a < c; для определенности
считаем, что a < b. Тогда элементы a и c несравнимы, иначе S содержит подмножество,
изоморфное множеству T ∗ из леммы 2∗, если P бесконечно, и подмножество, изомор-
фное множеству T из леммы 6, если Q бесконечно. Легко видеть, что если бесконечным
является P , то в S существует подмножество, изоморфное множеству T ∗ из леммы 4∗, а
если бесконечным является Q, то в S существует подмножество, изоморфное множеству
T ∗ из леммы 11∗. В обоих случаях приходим к противоречию.
Лемма 24. Пусть R — бесконечное максимальное цепное подмножество в S. Тогда
любое непересекающееся с R подмножество T такое, что R + T является почти цеп-
ным, состоит из одного элемента.
Действительно, если бы T состояло более чем из одного элемента, то в силу опре-
деления почти цепного множества все из них, кроме одного, были бы сравнимы со все-
ми элементами из S1, а это противоречит тому условию, что R является максимальным
цепным подмножеством в S.
Представим S как сумму цепных подмножеств S1, S2 и S3 таких, что S1 является бес-
конечным и максимальным цепным (см. предложение). Обозначим через Sij подмноже-
ство Si+Sj , где i < j, i, j = 1, 2, 3. В силу доказанного выше для каждого из бесконечных
подмножеств (ширины 2) S12 и S13 выполняется одно из условий 1′ – 3′.
Покажем сначала, что для каждого из подмножеств S12, S13 выполняется на самом
деле условие 1′ или условие 2′. Предположим противное. Тогда для S12 или S13 выполня-
ется условие 3′. Для определенности считаем, что условие 3′ выполняется для S12. Тогда
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
12 В. М. БОНДАРЕНКО, А. М. ПОЛИЩУК
S12 — односторонняя минимаксная сумма S1 и S2; при этом будем считать, что S1 C S2
(если S2 C S1, то заменим S на S∗); минимальный элемент подмножества S1 обозначаем
через a. Если для S13 выполняется либо условие 1′, либо условие 3′ с S1 C S3, то S1 \ {a}
является изолированным подмножеством в S \ {a}, а значит, в силу леммы 22 подмно-
жество S23 = S23 ∩ (S \ {a}) является почти цепным. Но тогда S — односторонняя ми-
нимаксная сумма цепного S1 и почти цепного S23 подмножеств, а это в силу леммы 23
невозможно, и мы приходим к противоречию. А если для S13 выполняется условие 3′ и
при этом S3C S1, то S1 имеет также и максимальный элемент, который обозначим через
b. Тогда S1 \ {a, b} является изолированным подмножеством в S \ {a, b}, а значит, в силу
леммы 22 подмножество S23 = S23 ∩ (S \ {a, b}) является почти цепным. Обозначая че-
рез c минимальный элемент S3 и через d максимальный элемент S2, убеждаемся, что S
содержит подмножество, изоморфное множеству T из леммы 6, если c < d, и подмно-
жество, изоморфное множеству T из леммы 4, если c и d несравнимы. Снова приходим
к противоречию. Наконец, рассмотрим случай, когда для S13 выполняется условие 2′.
Тогда в силу леммы 24 множество S3 состоит из одного элемента, который обозначим
через c; единственный несравнимый с c элемент из S1 обозначим через d. В силу леммы
23 элемент c сравним с некоторым элементом из S2, т. е. хотя бы одно из подмножеств
S′2 = {x ∈ S2 | c < x}, S′′2 = {x ∈ S2 | c > x} не является пустым. Пусть сначала непустым
является S′2 = {x ∈ S2 | c < x}; зафиксируем в нем некоторый элемент b. Очевидно, что
c является минимальным либо в S13, либо в S13 \ {a} (иначе S12 не является минимаксной
суммой S1 и S2). В первом случае подмножество в S, состоящее из элементов a = d, c,
максимального элемента подмножества S2 и произвольного элемента из S1 \ {a}, изо-
морфно множеству T из леммы 6. Пришли к противоречию. А во втором случае из того,
что S12 — односторонняя минимаксная сумма S1 и S2, следует, что элемент b является
максимальным в S2 и элемент c несравним с подмножеством S2 \ {b}; но тогда (беско-
нечное) множество S \ {a} является односторонней минимаксной суммой почти цепного
подмножества S13 \ {a} и цепного подмножества S2, что противоречит лемме 23. Пред-
положим теперь, что подмножество S′2 пусто, а подмножество S′′2 пустым не является;
тогда S′′2 не содержит максимального элемента e множества S2 (иначе w(S) = 2). И под-
множество, состоящее из элементов a, c, e и произвольного элемента из S′′2 , изоморфно
множеству T из леммы 6. Пришли к противоречию.
Итак, как для S12, так и для S13 выполняется одно из условий 1′, 2′.
Если для S12 и S13 выполняется условие 1′, то S1 несравнимо с S23 и в силу леммы
22 подмножество S23 является почти цепным, а значит, S удовлетворяет условию 2 тео-
ремы.
Покажем, далее, что случай, когда как для S12, так и для S13 выполняется условие
2′, невозможен. Предположим противное. Тогда согласно лемме 24 S2 состоит из одного
элемента, который обозначим через a, а S3 — из одного элемента, который обозначим
через c; единственный несравнимый с a (соответственно с c) элемент из S1 обозначим
через b (соответственно d). При этом элемент c несравним с элементами a и b (и тогда
d = b), иначе w(S) = 2. И легко видеть, что S содержит подмножество, изоморфное
множеству T из леммы 2 или двойственному к нему. Пришли к противоречию.
Таким образом, нам осталось рассмотреть случай, когда для одного из подмножеств
S12, S13, например для S12, выполняется условие 1′, а для другого — условие 2′. Тогда, как
и в предыдущем случае, S3 состоит из одного элемента c; единственный несравнимый с c
элемент из S1 обозначаем снова через d.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
О КРИТЕРИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА БЕСКОНЕЧНЫХ . . . 13
Покажем, что c несравним с S2. Предположим противное. Без ограничения общности
можно считать, что c < a для некоторого элемента a ∈ S2 (иначе вместо S рассмот-
рим S∗). Тогда подмножество {c, d}> является бесконечным, так как в противном случае
бесконечным является подмножество {c, d}< (в силу бесконечности S1), а тогда подмно-
жество в S, состоящее из элементов a, c, d и произвольных пяти элементов из {c, d}<,
изоморфно множеству T ∗ из леммы 13∗. Далее, поскольку w(S) = 3, то подмножество
NS(c) ∩ S2 непусто; зафиксируем в нем некоторый элемент b. Тогда подмножество в S,
состоящее из элементов a, b, c, d и произвольных четырех элементов из {c, d}>, изомор-
фно множеству T из леммы 5. Пришли к противоречию и, следовательно, c несравним с
S2, а тогда S удовлетворяет условию 2 теоремы.
Доказательство теоремы (необxодимость) завершено.
4. Доказательство основной теоремы: достаточность. Предположим сначала, что бес-
конечное частично упорядоченное множество S является прямой суммой двух цепных
или цепного и почти цепного множеств, и покажем, что форма Титса qS(z) положитель-
но определена. В силу определения формы Титса в бесконечном случае это достаточно
показать для (конечных) частично упорядоченных множеств P = Pm,n−m = {−m,−m+
+1, . . . ,−1,−0,+0, 1, 2, . . . ,m,m + 1, . . . , n | − m ≺ −m + 1 ≺ . . . ≺ −1 ≺ −0 ≺ 1 ≺
≺ 2 ≺ . . . ≺ m,−1 ≺ +0 ≺ 1,m + 1 ≺ . . . ≺ n}, где n и m < n — произвольные
натуральные числа. Более того, поскольку для каждого z ∈ ZP∪0 имеем (легко прове-
ряемое) равенство qP (z) = qQ(z′), где Q = Pm,0, z′0 = z0 −
∑n
s=m+1 zs, z
′
s = zs при
s = −m,−m + 1, . . . ,−1,−0,+0, 1, 2, . . . ,m и z′s = −zs при s = m + 1, . . . , n, то поло-
жительность формы Титса достаточно показать для (почти цепных) множеств Q = Pm,0.
А это видно из следующего (легко проверяемого) равенства: 2qQ(z) = z2
0 +
∑−1
i=−m z
2
i +
+
∑m
i=1 z
2
i + (z−0 − z+0)2 + (z0 −
∑
j∈Q zj)
2.
Покажем теперь, что форма Титса qS(z) является положительно определенной, если
S — односторонняя минимаксная сумма двух цепных подмножеств. При этом это доста-
точно, очевидно, показать для (конечных) частично упорядоченных множествR = Rn =
= {1, 2 . . . , 2n | 1 ≺ 2 . . . ≺ n, n+ 1 ≺ . . . ≺ 2n, 1 ≺ 2n}, где n > 1. Обозначим через R′ =
= R′n частично упорядоченное множество (R \ {2n})∪ {−1}, где −1 связан (отношением
порядка) с элементами из R следующим образом:−1 < i при i = 2, . . . , n; это множество
является прямой суммой цепного и почти цепного подмножеств. И положительная опре-
деленность формы Титса qR(z) вытекает из следующего (легко проверяемого) равенства:
qR(z) = qR′(z′), где z′0 = z0 − z2n, z′i = zi при i = 1, . . . , n, n+ 1, . . . , 2n− 1, z′−1 = −z2n.
Доказательство теоремы (достаточность) завершено.
1. Дрозд Ю.А. Преобразования Кокстера и представления частично упорядоченных множеств // Функ-
цион. анализ и его прил. — 1974. — Вып. 8. — С. 34 – 42.
2. Bongartz K. Algebras and quadratic forms // J. London Math. Soc. — 1983. — 28, № 3. — P. 461 – 469.
3. Ringel C. M. Tame algebras and integral quadratic forms // Lect. Notes Math. — Berlin etc.: Springer, 1984.
— 1099. — 376 p.
4. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Применение квадратичных форм к исследова-
нию систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1985. — 21, № 5. —
С. 776 – 788.
5. Кочубей А. Н. Фундаментальные решения псевдодифференциальных уравнений, связанных с p-ади-
ческими квадратичными формами // Изв. РАН. — 1998. — 62, № 6. — C. 103 – 124.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
14 В. М. БОНДАРЕНКО, А. М. ПОЛИЩУК
6. Gregory J. Generalized Fredholm quadratic forms and integral differential equations of the second kind // J.
Math. Anal. and Appl. — 1970. — 70, № 1. — P. 120 – 130.
7. Crandall M. G. Semidifferentials, quadratic forms and fully nonlinear elliptic equations of second order //
Ann. Inst. H. Poincaré Anal Non Linéare. — 1989. — 6, № 6. — P. 419 – 435.
8. Corovei I. Some functional equations connected with quadratic forms // Anal. Numér. Théor. Approxim. —
1990. — 19, № 2. — P. 123 – 127.
9. Al-Naggar I., Pearson D. B. Quadratic forms and solutions of the Schrödinger equation // J. Phys. A. — 1996.
— № 20. — P. 6581 – 6584.
10. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О квадратичной форме Титса для бесконечных частично упорядо-
ченных множеств // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. — 2002. — Вып. 7. — С. 3 – 8.
11. Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984. — 564 c.
Получено 15.11.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
|