Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза
Побудовано солiтоннi розв’язки для iнверсного рiвняння Кортевега – де Фрiза (КдФ) на основi розвитку методу tanh-функцiї та технiки символьних обчислень. We construct soliton solutions for the inverse Korteweg – de Vries (KdV) equation by developing the tanhfunction method and the machinery of symb...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2003 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176156 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза / О.В. Воробйова, М.М. Притула // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 15-20. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176156 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Воробйова, О.В. Притула, М.М. 2021-02-03T19:19:17Z 2021-02-03T19:19:17Z 2003 Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза / О.В. Воробйова, М.М. Притула // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 15-20. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176156 517.9 : 519.6 Побудовано солiтоннi розв’язки для iнверсного рiвняння Кортевега – де Фрiза (КдФ) на основi розвитку методу tanh-функцiї та технiки символьних обчислень. We construct soliton solutions for the inverse Korteweg – de Vries (KdV) equation by developing the tanhfunction method and the machinery of symbolic calculus. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза Solition solutions for the inverse Korteweg - de Vries equation Солитонные решения для инверсного уравнения Кортевега - де Фриза Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза |
| spellingShingle |
Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза Воробйова, О.В. Притула, М.М. |
| title_short |
Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза |
| title_full |
Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза |
| title_fullStr |
Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза |
| title_full_unstemmed |
Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза |
| title_sort |
солітонні розв'язки для інверсного рівняння кортевега - де фріза |
| author |
Воробйова, О.В. Притула, М.М. |
| author_facet |
Воробйова, О.В. Притула, М.М. |
| publishDate |
2003 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Solition solutions for the inverse Korteweg - de Vries equation Солитонные решения для инверсного уравнения Кортевега - де Фриза |
| description |
Побудовано солiтоннi розв’язки для iнверсного рiвняння Кортевега – де Фрiза (КдФ) на основi
розвитку методу tanh-функцiї та технiки символьних обчислень.
We construct soliton solutions for the inverse Korteweg – de Vries (KdV) equation by developing the tanhfunction method and the machinery of symbolic calculus.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176156 |
| citation_txt |
Солітонні розв'язки для інверсного рівняння Кортевега - де Фріза / О.В. Воробйова, М.М. Притула // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 15-20. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT vorobiovaov solítonnírozvâzkidlâínversnogorívnânnâkortevegadefríza AT pritulamm solítonnírozvâzkidlâínversnogorívnânnâkortevegadefríza AT vorobiovaov solitionsolutionsfortheinversekortewegdevriesequation AT pritulamm solitionsolutionsfortheinversekortewegdevriesequation AT vorobiovaov solitonnyerešeniâdlâinversnogouravneniâkortevegadefriza AT pritulamm solitonnyerešeniâdlâinversnogouravneniâkortevegadefriza |
| first_indexed |
2025-11-25T22:45:15Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:45:15Z |
| _version_ |
1850570933426716672 |
| fulltext |
УДК 517.9 : 519.6
СОЛIТОННI РОЗВ’ЯЗКИ ДЛЯ IНВЕРСНОГО РIВНЯННЯ
КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА
О. В. Воробйова, М. М. Притула
Львiв. нац. ун-т
Україна,79000, Львiв, вул. Унiверситетська, 1
e-mail: pmm@franko.lviv.ua
vorobjova@yahoo.com
We construct soliton solutions for the inverse Korteweg – de Vries (KdV) equation by developing the tanh-
function method and the machinery of symbolic calculus.
Побудовано солiтоннi розв’язки для iнверсного рiвняння Кортевега – де Фрiза (КдФ) на основi
розвитку методу tanh-функцiї та технiки символьних обчислень.
У роботi [1] запропоновано метод tanh-функцiї, а в роботi [2] — розширений метод tanh-
функцiї для знаходження точних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь з частинними похiдними,
який реалiзовано на конкретних прикладах. У 2001 р. у роботi [3] розроблено пакет сим-
вольних обчислень у середовищi „Mathematica” для знаходження точних розв’язкiв, якi
виражаються через гiперболiчнi та елiптичнi функцiї, для нелiнiйних рiвнянь з частинни-
ми похiдними i дискретних диференцiальних рiвнянь та реалiзовано на багатьох конкрет-
них рiвняннях i системах.
Дослiдженнями нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, що опи-
сують рiзнi процеси поширення хвиль у нелiнiйних середовищах, займались багато вчених
(див., наприклад, [4 – 6], а також бiблiографiю в [1 – 3]).
При дослiдженнi ряду задач гiдродинамiки, фiзики плазми та iнших проблем фiзики
значну роль вiдiграють спецiальнi нелiнiйнi моделi типу iнверсного рiвняння КдФ.
У працi [7] було дослiджено на повну iнтегровнiсть нелiнiйну iнверсну динамiчну
систему КдФ
ut = v,
vt = p, (1)
pt = ux + uv,
що включала знаходження законiв збереження, узгодженої iмплектичної пари ньотеро-
вих операторiв та зображення Лакса [8]. У рiвняннi (1) u, v, p — залежнi змiннi, що i є
функцiями змiнних x, t. Виникає задача знаходження точних розв’язкiв системи (1). Як
вiдомо [7], динамiчна система (1) отримана iз рiвняння КдФ
ut = uxxx − uux (2)
c© О. В. Воробйова, М. М. Притула, 2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1 15
16 О. В. ВОРОБЙОВА, М. М. ПРИТУЛА
за допомогою вiдображення iнверсiї R 3 x ⇐⇒ t ∈ R. Вiдомо, що рiвняння (2) описує по-
ширення хвиль в одному напрямку на поверхнi мiлкої води, тобто має розв’язок у вигля-
дi вiдокремленої хвилi i поводиться, як солiтон, причому солiтони рiвняння КдФ мають
форму (sech)2. Виникає питання: яку ж форму мають розв’язки iнверсного рiвняння КдФ
(1)? Цiєю задачею займемось нижче, використовуючи згаданi вище методи знаходження
точних розв’язкiв.
Запишемо систему (1) у виглядi
ut − v = 0,
vt − p = 0,
pt − ux − uv = 0,
або
u1,x2 − u2 = 0,
u2,x2 − u3 = 0, (3)
u3,x2 − u1,x1 − u1u2 = 0,
де x1 = x, x2 = t i
u1(x1, x2) = u(x, t), u2(x1, x2) = v(x, t), u3(x1, x2) = p(x, t), ui,lxj
df=
∂lui
∂xlj
.
Щоб отримати явнi розв’язки системи (3), опишемо наступнi кроки.
Крок 1. Перетворимо систему (3) у нелiнiйне звичайне диференцiальне рiвняння, розв’я-
зок якого шукаємо у рухомiй системi вiдлiку
ϕ =
2∑
j=1
kjxj + ϕ0, (4)
де компоненти kj , j = 1, 2, хвильового вектора i фаза ϕ0 є сталими. Для знаходження
полiномiальних розв’язкiв використаємо метод tanh-функцiї [1 – 3], T = tanhϕ. Зауважи-
мо, що перша, а отже, i всi похiднi вищого порядку будуть многочленами вiд T . Дiйсно,
враховуючи тотожнiсть
cosh2 ϕ− sinh2 ϕ = 1,
обчислюємо
tanh′ ϕ = sech2ϕ = 1− tanh2 ϕ,
tanh′′ ϕ = −2 tanhϕ+ 2 tanh3 ϕ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
СОЛIТОННI РОЗВ’ЯЗКИ ДЛЯ IНВЕРСНОГО РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА− ДЕ ФРIЗА 17
Оскiльки T ′ = 1− T 2, застосовуючи правило диференцiювання складної функцiї,
∂·
∂xj
=
d·
dT
dT
dϕ
∂ϕ
∂xj
= kj(1− T 2)
d·
dT
,
переводимо задану систему (3) у систему нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь,
скориставшись при цьому пiдстановкою
ui,xj = kj(1− T 2)U ′i .
В результатi отримаємо
−U2(T ) + k2U1
′(T )− k2T
2 U1
′(T ) = 0,
−U3(T ) + k2U2
′(T )− k2T
2 U2
′(T ) = 0, (5)
−U1(T )U2(T )− k1U1
′(T ) + k1T
2 U1
′(T ) + k2U3
′(T )− k2T
2 U3
′(T ) = 0,
де U1(T ) = u1(x1, x2), U2(T ) = u2(x1, x2) i U3(T ) = u3(x1, x2).
Крок 2. Визначаємо степiнь полiномiальних розв’язкiв. З цiєю метою полiномiальнi
розв’язки шукаємо у виглядi
Ui(T ) =
Mi∑
j=0
aijT
j . (6)
Перед обчисленням коефiцiєнтiв aij показники степеня Mi повиннi бути визначенi. Щоб
уникнути нульових розв’язкiв, приймемо Mi ≥ 1. При пiдстановцi Ui в (5) коефiцiєнти
при кожному степенi T у кожному рiвняннi повиннi перетворитися в нуль. Зокрема, еле-
менти найвищого степеня повиннi перетворитися в нуль. Оскiльки елементи найвищого
степеня залежать тiльки вiд TMi у (6), то достатньо пiдставити Ui(T ) = TMi , i = 1, 2, 3, у
лiвi частини рiвнянь (5). В результатi отримаємо полiномiальну систему вiд T . Прирiвню-
вання кожних двох можливих найвищих показникiв степеня у кожному рiвняннi системи
(5) приводить до лiнiйної системи, що визначає Mi, i = 1, 2, 3:
M1 + 1 = M2, M2 + 1 = M3, M3 + 1 = M1 +M2.
Маємо M1 = 2, M2 = 3, M3 = 4. Отже,
U1(T ) = a10 + a11T + a12T
2,
U2(T ) = a20 + a21T + a22T
2 + a23T
3, (7)
U3(T ) = a30 + a31T + a32T
2 + a33T
3 + a34T
4.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
18 О. В. ВОРОБЙОВА, М. М. ПРИТУЛА
Крок 3. Одержуємо алгебраїчну систему рiвнянь для визначення коефiцiєнтiв aij , тоб-
то, пiдставляючи (7) у (5), отримуємо систему
−a22 − a11 k2 = 0,
−a20 + a11 k2 = 0,
−a23 − 2 a12 k2 = 0,
−a21 + 2 a12 k2 = 0,
−a30 + a21 k2 = 0,
−a33 − 2 a22 k2 = 0,
−a31 + 2 a22 k2 = 0,
−a34 − 3 a23 k2 = 0, (8)
−a32 − a21 k2 + 3 a23 k2 = 0,
− (a12 a23)− 4 a34 k2 = 0,
− (a10 a20)− a11 k1 + a31 k2 = 0,
− (a12 a22)− a11 a23 − 3 a33 k2 = 0,
− (a11 a20)− a10 a21 − 2 a12 k1 + 2 a32 k2 = 0,
− (a12 a20)− a11 a21 − a10 a22 + a11 k1 − a31 k2 + 3 a33 k2 = 0,
− (a12 a21)− a11 a22 − a10 a23 + 2 a12 k1 − 2 a32 k2 + 4 a34 k2 = 0
з невiдомими aij i параметрами ki.
Крок 4. Розв’язуємо нелiнiйну параметричну алгебраїчну систему (8) вiдповiдно до
таких припущень: a) коефiцiєнти aijMi, i = 1, . . . ,M , елементiв найвищого степеня у (6)
вiдмiннi вiд нуля ( для сумiсностi з кроком 2); б) всi kj , j = 1, . . . ,M , вiдмiннi вiд нуля
(вимога фiзичного характеру розв’язкiв).
Розв’язок (8) отримуємо у виглядi
a10 = −k1
k2
− 8 k2
2,
a11 = 0,
a12 = 12 k2
2,
a20 = 0,
a21 = 24 k3
2,
a22 = 0, (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
СОЛIТОННI РОЗВ’ЯЗКИ ДЛЯ IНВЕРСНОГО РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА− ДЕ ФРIЗА 19
a23 = −24 k3
2,
a30 = 24 k4
2,
a31 = 0,
a32 = −96 k4
2,
a33 = 0,
a34 = 72 k4
2.
Крок 5. Будуємо i перевiряємо розв’язки у виглядi вiдокремленої хвилi. Для цього пiд-
ставляємо розв’язок (9), отриманий на кроцi 4, у (6) i використовуючи процедуру, оберне-
ну до кроку 1, одержуємо явнi розв’язки в початкових змiнних. На завершення перевiря-
ємо розв’язки, пiдставляючи їх у рiвняння (3). Використовуючи T = tanh(k1x+ k2t+ϕ0),
отримуємо розв’язки системи (1) у виглядi
u(x, t) = −k1
k2
− 8 k2
2 + 12 k2
2 tanh2(ϕ0 + x k1 + t k2),
v(x, t) = 24 k2
3 tanh(ϕ0 + x k1 + t k2)− 24 k2
3 tanh3(ϕ0 + x k1 + t k2), (10)
p(x, t) = 24 k2
4 − 96 k2
4 tanh2(ϕ0 + x k1 + t k2) + 72 k2
4 tanh4(ϕ0 + x k1 + t k2).
Як видно з (10), розв’язки для функцiї u(x, t) мають форму 1 − sech2 , для функцiї v(x, t)
— форму (1− sech2)
√
(1− sech2) , а для функцiї p(x, t) — форму (1− sech2)2. Графiчне зо-
браження розв’язкiв для iнверсної динамiчної системи (1) наведено на рис. 1 – 3 вiдповiдно
при значеннях ϕ0 = 0, k1 = 1, k − 2 = 1; t = 0 : 10, x = −10 : 10.
Рис. 1. Функцiя u(x, t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
20 О. В. ВОРОБЙОВА, М. М. ПРИТУЛА
Рис. 2. Функцiя v(x, t).
Рис. 3. Функцiя p(x, t).
1. Malfliet W. Solitary wave solutions of nonlinear wave equation // Amer. J. Phys. — 1992. — 60. — P. 650 – 654.
2. Fan E.G. Extended-function method and its applications to nonlinear equation // Phys. Lett. A. — 2000. —
277. — P. 212 – 218.
3. Baldin D., Göktaş Ü., Hereman W., Hong L., Martino R.S., and Miller J.C. Symbolic computation of exact
solutions expressible in hyperbolic and elliptic functions for nonlinear partial differential and differetial-
difference equations. — 2001. — Available at URL://www.mines.edu/fs_home/whereman/.
4. Fan E.G. Soliton solutions for a generalized Hirota – Satsuma coupled KdV equation and a coupled MKdV
equation // Phys. Lett. A. — 2001. — 282. — P. 18 – 21.
5. Hereman W., Nuseir A. Symbolic methods to construct exact solutions of nonlinear partial differential equati-
ons // Math. Comput. in Simul. — 1997. — 43. — P. 13 – 27.
6. Fan E., Chao L. Soliton solutions for the new complex version of a coupled KdV equation and a coupled
MKdV equation // Phys. Lett. A. — 2001. — 285. — P. 373 – 376.
7. Prytula M., Samoylenko V., and Suyarov U. The complete integrability analysis of the inverse Korteweg – de
Vries (inv KdV) // Nonlinear Vibration Problems. — 1993. — 25. — P. 411 – 422.
8. Prykarpatsky A., Mykytiuk I. Algebraic integrability of nonlinear dynamical system on manifolds: classical
and quantum aspect. — Dordrecht: Kluwer, 1988. — 288 p.
Одержано 22.01.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
|