Динамические солитоны в антиферромагнетиках

Динамические солитоны в антиферромагнетиках

Представлен обзор теоретических исследований магнитных солитонов в антиферромагнетиках (АФМ). Даны основные понятия физики АФМ и теории солитонов. Рассмотрение нелинейной динамики АФМ проводится с единых позиций на основе нелинейной сигма-модели для вектора антиферромагнетизма. Вывод этого уравнения...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Физика низких температур
Дата:2018
Автори: Галкина, Е.Г., Иванов, Б.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Теми:
Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176174
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Динамические солитоны в антиферромагнетиках / Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 794-813. — Бібліогр.: 116 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176174
record_format dspace
spelling Галкина, Е.Г.
Иванов, Б.А.
2021-02-03T19:52:58Z
2021-02-03T19:52:58Z
2018
Динамические солитоны в антиферромагнетиках / Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 794-813. — Бібліогр.: 116 назв. — рос.
0132-6414
PACS: 75.50.Ee, 75.76.+j, 75.78.–n
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176174
Представлен обзор теоретических исследований магнитных солитонов в антиферромагнетиках (АФМ). Даны основные понятия физики АФМ и теории солитонов. Рассмотрение нелинейной динамики АФМ проводится с единых позиций на основе нелинейной сигма-модели для вектора антиферромагнетизма. Вывод этого уравнения и его интегралов движения обсуждается с учетом реальной структуры АФМ. Основное внимание уделяется исследованию двухпараметрических солитонов, которые характеризуются как поступательным движением центра солитона, так и внутренней динамикой спинов в солитоне. Рассмотрены солитоны различных типов: одномерные и двумерные, топологические и не обладающие топологическим зарядом. Проведен анализ эффектов понижения динамической симметрии АФМ, которые обусловлены разрушением лоренц-инвариантного характера сигма-модели. Такие эффекты возникают при последовательном учете взаимодействия Дзялошинского–Мория и/или сильного внешнего магнитного поля. Эта проблема ранее не обсуждалась в монографической литературе. Установлены классы универсальности поведения движущихся солитонов.
Представлено огляд теоретичних досліджень магнітних солітонів в антиферомагнетиках (АФМ). Дано основні поняття фізики АФМ та теорії солітонів. Розгляд нелінійної динаміки АФМ проводиться з єдиних позицій на основі нелінійної сигма-моделі для вектора антиферомагнетизму. Це рівняння та його інтеграли руху обговорюється з урахуванням реальної структури АФМ. Основна увага приділяється вивченню двопараметричних солітонів, які характеризуються як поступальним рухом центру солітону, так і внутрішньою динамікою спінів в солітоні. Розглянуто солітони різних типів: одновимірні та двовимірні, топологічні та солітони, що не мають топологічного заряду. Проведено аналіз ефектів зниження динамічної симетрії АФМ, які обумовлені руйнуванням лоренц-інваріантного характеру сигма-моделі. Такі ефекти виникають при послідовному врахуванні взаємодії Дзялошінського–Морія та/або сильного зовнішнього магнітного поля. Ця проблема раніше не обговорювалася в монографічній літературі. Встановлено класи універсальності поведінки рухомих солітонів.
The review of theoretical studies of magnetic solitons in antiferromagnets (AFM) is presented. The basic concepts of the physics AFM and of the soliton theory are given. An analysis of the nonlinear dynamics of an AFM is carried out on the unified ground with the use of a nonlinear sigma model for the antiferromagnetic vector. The derivation of this equation and its integrals of motion are discussed with accounting for the real structure of the AFM. The main attention is paid to the study of two-parametrical solitons, which are characterized by both the translational motion of the soliton center and the internal dynamics of spins inside the soliton. Solitons of various types, one-dimensional and two-dimensional, topological and not possessing a topological charge, are considered. An analysis of the effects of the lowering of the dynamic symmetry of the AFM, which are due to the destruction of the Lorentz-invariant character of the sigma model, is made. Such effects arise when the Dzyaloshinsky–Moriya interaction and/or the strong external magnetic field are accounted for consistently. The last problem was never discussed in monographic literature. The classes of universality for the behavior of moving solitons are established.
Нам хотелось бы посвятить эту работу светлой памяти Арнольда Марковича Косевича.
ru
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
Физика низких температур
Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны
Динамические солитоны в антиферромагнетиках
Dynamic solitons in antiferromagnets
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Динамические солитоны в антиферромагнетиках
spellingShingle Динамические солитоны в антиферромагнетиках
Галкина, Е.Г.
Иванов, Б.А.
Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны
title_short Динамические солитоны в антиферромагнетиках
title_full Динамические солитоны в антиферромагнетиках
title_fullStr Динамические солитоны в антиферромагнетиках
title_full_unstemmed Динамические солитоны в антиферромагнетиках
title_sort динамические солитоны в антиферромагнетиках
author Галкина, Е.Г.
Иванов, Б.А.
author_facet Галкина, Е.Г.
Иванов, Б.А.
topic Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны
topic_facet Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны
publishDate 2018
language Russian
container_title Физика низких температур
publisher Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
format Article
title_alt Dynamic solitons in antiferromagnets
description Представлен обзор теоретических исследований магнитных солитонов в антиферромагнетиках (АФМ). Даны основные понятия физики АФМ и теории солитонов. Рассмотрение нелинейной динамики АФМ проводится с единых позиций на основе нелинейной сигма-модели для вектора антиферромагнетизма. Вывод этого уравнения и его интегралов движения обсуждается с учетом реальной структуры АФМ. Основное внимание уделяется исследованию двухпараметрических солитонов, которые характеризуются как поступательным движением центра солитона, так и внутренней динамикой спинов в солитоне. Рассмотрены солитоны различных типов: одномерные и двумерные, топологические и не обладающие топологическим зарядом. Проведен анализ эффектов понижения динамической симметрии АФМ, которые обусловлены разрушением лоренц-инвариантного характера сигма-модели. Такие эффекты возникают при последовательном учете взаимодействия Дзялошинского–Мория и/или сильного внешнего магнитного поля. Эта проблема ранее не обсуждалась в монографической литературе. Установлены классы универсальности поведения движущихся солитонов. Представлено огляд теоретичних досліджень магнітних солітонів в антиферомагнетиках (АФМ). Дано основні поняття фізики АФМ та теорії солітонів. Розгляд нелінійної динаміки АФМ проводиться з єдиних позицій на основі нелінійної сигма-моделі для вектора антиферомагнетизму. Це рівняння та його інтеграли руху обговорюється з урахуванням реальної структури АФМ. Основна увага приділяється вивченню двопараметричних солітонів, які характеризуються як поступальним рухом центру солітону, так і внутрішньою динамікою спінів в солітоні. Розглянуто солітони різних типів: одновимірні та двовимірні, топологічні та солітони, що не мають топологічного заряду. Проведено аналіз ефектів зниження динамічної симетрії АФМ, які обумовлені руйнуванням лоренц-інваріантного характеру сигма-моделі. Такі ефекти виникають при послідовному врахуванні взаємодії Дзялошінського–Морія та/або сильного зовнішнього магнітного поля. Ця проблема раніше не обговорювалася в монографічній літературі. Встановлено класи універсальності поведінки рухомих солітонів. The review of theoretical studies of magnetic solitons in antiferromagnets (AFM) is presented. The basic concepts of the physics AFM and of the soliton theory are given. An analysis of the nonlinear dynamics of an AFM is carried out on the unified ground with the use of a nonlinear sigma model for the antiferromagnetic vector. The derivation of this equation and its integrals of motion are discussed with accounting for the real structure of the AFM. The main attention is paid to the study of two-parametrical solitons, which are characterized by both the translational motion of the soliton center and the internal dynamics of spins inside the soliton. Solitons of various types, one-dimensional and two-dimensional, topological and not possessing a topological charge, are considered. An analysis of the effects of the lowering of the dynamic symmetry of the AFM, which are due to the destruction of the Lorentz-invariant character of the sigma model, is made. Such effects arise when the Dzyaloshinsky–Moriya interaction and/or the strong external magnetic field are accounted for consistently. The last problem was never discussed in monographic literature. The classes of universality for the behavior of moving solitons are established.
issn 0132-6414
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176174
citation_txt Динамические солитоны в антиферромагнетиках / Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 794-813. — Бібліогр.: 116 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT galkinaeg dinamičeskiesolitonyvantiferromagnetikah
AT ivanovba dinamičeskiesolitonyvantiferromagnetikah
AT galkinaeg dynamicsolitonsinantiferromagnets
AT ivanovba dynamicsolitonsinantiferromagnets
first_indexed 2025-11-27T01:45:39Z
last_indexed 2025-11-27T01:45:39Z
_version_ 1850791756065406976
fulltext Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7, c. 794–813 Динамические солитоны в антиферромагнетиках (Обзор) Е.Г. Галкина Институт физики НАН Украины, пр. Науки, 46, Киев, 03028, Украина Б.А. Иванов Институт магнетизма НАН и МОН Украины, пр. Вернадского, 36-б, Киев, 03142, Украина E-mail: bor.a.ivanov@gmail.com Статья поступила в редакцию 1 марта 2018 г., опубликована онлайн 28 мая 2018 г. Представлен обзор теоретических исследований магнитных солитонов в антиферромагнетиках (АФМ). Даны основные понятия физики АФМ и теории солитонов. Рассмотрение нелинейной динамики АФМ про- водится с единых позиций на основе нелинейной сигма-модели для вектора антиферромагнетизма. Вывод этого уравнения и его интегралов движения обсуждается с учетом реальной структуры АФМ. Основное внимание уделяется исследованию двухпараметрических солитонов, которые характеризуются как посту- пательным движением центра солитона, так и внутренней динамикой спинов в солитоне. Рассмотрены со- литоны различных типов: одномерные и двумерные, топологические и не обладающие топологическим за- рядом. Проведен анализ эффектов понижения динамической симметрии АФМ, которые обусловлены разрушением лоренц-инвариантного характера сигма-модели. Такие эффекты возникают при последова- тельном учете взаимодействия Дзялошинского–Мория и/или сильного внешнего магнитного поля. Эта про- блема ранее не обсуждалась в монографической литературе. Установлены классы универсальности поведе- ния движущихся солитонов. Представлено огляд теоретичних досліджень магнітних солітонів в антиферомагнетиках (АФМ). Дано основні поняття фізики АФМ та теорії солітонів. Розгляд нелінійної динаміки АФМ проводиться з єдиних позицій на основі нелінійної сигма-моделі для вектора антиферомагнетизму. Це рівняння та його інтеграли руху обговорюється з урахуванням реальної структури АФМ. Основна увага приділяється вивченню двопа- раметричних солітонів, які характеризуються як поступальним рухом центру солітону, так і внутрішньою динамікою спінів в солітоні. Розглянуто солітони різних типів: одновимірні та двовимірні, топологічні та солітони, що не мають топологічного заряду. Проведено аналіз ефектів зниження динамічної симетрії АФМ, які обумовлені руйнуванням лоренц-інваріантного характеру сигма-моделі. Такі ефекти виникають при послідовному врахуванні взаємодії Дзялошінського–Морія та/або сильного зовнішнього магнітного по- ля. Ця проблема раніше не обговорювалася в монографічній літературі. Встановлено класи універсальності поведінки рухомих солітонів. PACS: 75.50.Ee Антиферромагнетики; 75.76.+j Эффекты переноса спина; 75.78.–n Динамика намагничивания. Ключевые слова: антиферромагнетики, антиферромагнитный вектор, нелинейная сигма-модель, взаимодей- ствие Дзялошинского–Мория, доменная стенка, антиферромагнитный вихрь, солитонная капля, скирмион, терагерцовые магноны, спинтроника, осциллятор со спиновой накачкой. Содержание 1. Введение ...................................................................................................................................... 795 2. Антиферромагнетизм: основные понятия ................................................................................. 796 3. Уравнения спиновой динамики антиферромагнетиков и их интегралы движения ............... 797 4. Двухпараметрические солитоны в одноосных антиферромагнетиках ................................... 800 © Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов, 2018 mailto:bor.a.ivanov@gmail.com Динамические солитоны в антиферромагнетиках 5. Двумерные топологические солитоны (вихри и скирмионы) в антиферромагнетиках ........ 804 6. Эффекты понижения динамической симметрии АФМ и структура солитонов .................... 808 7. Заключение .................................................................................................................................. 810 Литература ....................................................................................................................................... 810 1. Введение Понятие «солитон» является наиболее адекватным для описания широкого класса физических систем, для которых динамика существенно нелинейна. В качестве примера можно привести упорядоченные среды с низ- кой размерностью, в которых элементарными возбуж- дениями среды являются не квазичастицы линейной теории, а существенно нелинейные объекты — солито- ны. Нелинейность спиновой динамики магнетиков во многом определяется чисто геометрическими свойства- ми поля намагниченности (намагниченностей подреше- ток), и эти свойства порождают топологически-не- тривиальные структуры в магнетиках. Для магнетиков исследовано большое число различных солитонных со- стояний, включающих одномерные солитоны, описы- вающие движущиеся доменные стенки или волны пово- рота, двумерные магнитные вихри, нетопологические солитоны различной размерности — так называемые магнонные капли, а также топологические солитоны, как двумерные (их сейчас принято называть скирмио- нами), так и трехмерные, с ненулевым индексом Хопфа (см. монографии и обзоры [1–6]). Следует отметить, что изучение магнитных солито- нов проводилось в течение многих десятилетий, прак- тически с начала развития современной теории магне- тизма. Х. Бете нашел решения, описывающие магнон- ные комплексы для спиновой цепочки [7], Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц описали движение доменной стенки [8]. Уокер (L. Walker) построил точное решение, описы- вающее динамику доменной стенки с немалой скоро- стью, и нашел предельное значение скорости стенки (это решение было получено в пятидесятых годах, но не было тогда опубликовано; сейчас оно описано во мно- гих монографиях и обзорах, см., например, [2,3,9]). Ин- тенсивное исследование одномерных солитонов, описы- вающих доменные стенки, было инициировано раз- работкой приборов на основе цилиндрических маг- нитных доменов (magnetic bubbles) [9,10]. Тогда же было сформулировано представление о неодномерных магнитных структурах с нетривиальной топологией, блоховских линиях и блоховских точках [9]. К концу семидесятых годов были исследованы основные типы локализованных магнитных солитонов [11–29] и сфор- мулированы общие методы топологической классифи- кации солитонов [30–32]. Отметим, что на этом этапе солитоны исследовались не только в ферромагнетиках, но и в антиферромагнетиках (АФМ) [12,20,29]. В этот период было начато экспериментальное и теоретическое исследование динамики доменных стенок в АФМ со слабым ферромагнетизмом [33–35], см. также [36,37]. Были предсказаны особые топологические дефекты в АФМ, спиновые дисклинации [38,39], обусловленные наличием дислокации в кристаллической решетке АФМ. В указанный период значительный вклад в исследование магнитных солитонов внесен группой А.М. Косевича в Физико-техническом институте низких температур, ко- торая имела большой опыт анализа нелинейных самоло- кализованных возбуждений кристаллов [40,41] и дисло- каций в кристаллах [42]. В конце XX столетия наблюдается быстрый рост числа работ, посвященных экспериментальному и тео- ретическому исследованию магнитных солитонов раз- личных типов. Это естественно связано с ростом воз- можностей эксперимента и потенциальными примене- ниями. Особо отметим создание искусственных магнит- ных материалов, магнитных наночастиц и их массивов [43–45]. Было обнаружено, что двумерные топологиче- ские солитоны, магнитные вихри, реализуют основное состояние магнитных частиц цилиндрической формы и субмикронного размера [43–45]. Появилась новая об- ласть электроники и прикладной физики магнетизма, спинтроника (spintronics — SPINelecTRONICS), в кото- рой главная роль отводится не заряду, а спину электрона [46–48]; здесь ключевое понятие — спиновый ток. Один из наиболее впечатляющих эффектов действия спиново- го тока состоит в том, что он может создавать в магне- тике специфическое «антизатухание» и компенсировать естественное затухание спиновой динамики. В резуль- тате под воздействием спинового тока магнитный мо- мент наночастицы может переходить в состояние ус- тойчивых немалых колебаний с частотой порядка собственных частот магнетика (в диапазоне единиц и десятков гигагерц для ферромагнетиков). Это дает воз- можность создать так называемый осциллятор со спи- новой накачкой (spin-torque oscillator), для которого ис- точником питания служит обычный постоянный элект- рический ток, преобразованный в спиновый ток. Ока- залось, что в спинтронике ферромагнетиков большую роль играют магнитные солитоны различного типа. Спиновый ток возбуждает прецессионное движение вихрей в наноразмерных столбчатых спин-вентильных структурах [49–51], причем вихревые структуры обла- дают наименьшим порогом возбуждения осцилляций [51]. Было найдено, что для создания наногенераторов, возбуждаемых спин-поляризованным током, возбужде- ние двумерных солитонов типа магнонных капель в тонких пленках с перпендикулярной анизотропией име- ет серьезные преимущества перед системами с одно- родно намагниченными частицами [52,53]. Продемон- стрирована эффективность возбуждения одномерных Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 795 Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов солитонов в пленках в форме узких полосок [54] и воз- можность возбуждения двумерных динамических топо- логических солитонов [55]. До последних лет спинтроника рассматривалась как «сугубо ферромагнитная» область прикладного магне- тизма. В последние годы возникла идея спинтроники АФМ, в которых частоты магнитного резонанса лежат в терагерцовом диапазоне (типичные значения — от сотен гигагерц до единиц терагерц [56,57] и даже до десятков терагерц [58,59]. Этот факт обусловлен так называемым «обменным усилением» всех динамических параметров АФМ, не только частот магнитного резонанса, но и пре- дельной скорости движения солитонов, см. монографию Турова с соавторами [60]. В АФМ наблюдались также рекордно высокие скорости нелинейного вращения спи- нов подрешеток (до 0,5 радиан/пс) [61]. В последние годы возрастает потребность в освоении диапазона тера- герцовых волн [62–64]. Возможные приложения тера- герцовых волн включают астрофизику и физику атмо- сферы, биологию и медицину, обеспечение безопасности и поиск запрещенных материалов, связь в космосе, ин- формационные технологии, сверхбыструю обработку данных. В работе [65] было показано, что эффекты спи- нового тока в АФМ могут быть столь же заметными, как и в ферромагнетиках, см. также обзор [66]. Это породило идеи создания спинтронного автоосциллятора, исполь- зующего АФМ в качестве активного элемента. Предло- жены конкретные схемы приборов спинтроники, ос- нованных на АФМ и работающих в диапазоне тера- герц [67–69]. Пока обсуждалось только применение однородных спиновых колебаний в малых частицах АФМ, но можно ожидать, что для развития будущей ТГц-спинтроники важным будет возбуждение различ- ных солитонных состояний, АФМ вихрей или АФМ магнонных капель. В настоящем обзоре проведено систематическое из- ложение проблем нелинейной спиновой динамики, пре- жде всего динамических солитонов в АФМ. Очерченный круг вопросов составляет целостный раздел нелинейной физики магнетизма, развитие которого актуально как для фундаментальной физики, так и в прикладном аспекте. 2. Антиферромагнетизм: основные понятия Магнитный порядок ферромагнетиков характеризу- ется появлением ненулевого среднего значения спино- вой плотности S или намагниченности M, в про- стейшем случае ,Bg= − µM S g-фактор Ланде, 2g ≈ для ионов в s-состоянии, Bµ — модуль магнетона Бо- ра. На языке теории симметрии это означает, что имеет место спонтанное нарушение симметрии относительно отражения времени t t→ − , при этом значение намаг- ниченности меняет знак. Стандартная феноменологи- ческая теория ферромагнетизма базируется на предпо- ложении 2 2 0 const.M= =M Для АФМ симметрия относительно инверсии време- ни спонтанно нарушена, но спонтанная намагничен- ность M отсутствует. Эту ситуацию проще всего пред- ставить, полагая, что кристаллическая решетка АФМ содержит конечное число n магнитных подрешеток, каждая из которых имеет отличную от нуля намагни- ченность ,αM но эти намагниченности компенсируют друг друга [60]. Ограничимся простейшим примером двухподрешеточного АФМ, в основном состоянии ко- торого намагниченности подрешеток 1M и 2M в точ- ности равны по длине, 1 2 0| | | | ,M= =M M но ориенти- рованы антипараллельно. При таком определении под- разумевается, что магнитные подрешетки эквивалентны кристаллографически, т.е. существует элемент кристал- лической группы симметрии (группы симметрии пара- магнитной фазы), переводящий их одну в другую. Сле- дуя Турову, будем называть операции симметрии, не переставляющие магнитные подрешетки, четными, а переставляющие — нечетными, и обозначать их знач- ками ( )+ и ( )− соответственно [60]. Возможность строго нулевого значения намагниченности 0=M при отличном от нуля среднем значении спинов, т.е. точной компенсации намагниченностей отдельных спинов при изменении внешних параметров в конечной области значений, связана именно с этой симметрией. Симмет- рийный аспект предельно важен для физики антифер- ромагнетизма [60]. Намагниченность АФМ может быть отличной от ну- ля при наличии внешнего поля 0,≠H при сохранении спонтанного нарушения симметрии. Параметром поряд- ка является вектор антиферромагнетизма 1 2= −L M M . Переменные L и намагниченность M удобны при за- писи феноменологической энергии АФМ. Для чисто изотропного АФМ вызванная полем намагниченность отлична от нуля и параллельна внешнему полю, ex/sM H=M H при exH≤H и / | |sM=M H H при ex .H>H Здесь максимальное (насыщенное) значение намагниченности АФМ 02sM M= отвечает параллель- ной ориентации подрешеток и введено обменное поле ex ,H одна из важнейших характеристик АФМ. Энергию однородного обменного взаимодействия в АФМ запи- сывают в виде 2 ex, ex /2u sw H M= M (для ферромагне- тиков с учетом условия 2 const=M вклад однородного обмена учитывать не нужно). Значение обменного поля ~ / ,ex BH JSZ gµ где 0J > — обменный интеграл, по- рядка температуры Нееля АФМ ,NT Z — число бли- жайших соседей, S — спин атома. Для типичных значе- ний ~NT 100–1000 К значения обменного поля огромные, порядка единиц или десятков мегаэрстед. Это значение намного больше, чем характерные поля реля- тивистских взаимодействий, например, полей анизотро- пии aH , которые не превышают нескольких килоэр- стед. Вместо векторов M , L удобно ввести нормиро- ванные векторы 796 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Динамические солитоны в антиферромагнетиках 1 2 0 1 2 0( )/2 ( )/2M M= − , = + ,l M M m M M (1) которые связаны между собой соотношениями 2 2 1+ =l m , 0=ml . (2) В некоторых кристаллических АФМ при учете реля- тивистских взаимодействий вдоль определенных на- правлений возникает слабый спонтанный магнитный момент, обусловленный взаимодействием Дзялошинско- го (об этом речь пойдет дальше). Такие АФМ называют- ся слабыми ферромагнетиками или скошенными АФМ (canted AFM), к ним относятся, например, ортоферриты с формулой RFeO3, где R обозначает ион редкоземельного элемента или иттрия, гематит α-Fe2O3 и борат железа FeBO3. Теорию слабого ферромагнетизма на основе фе- номенологического подхода построил Дзялошинский [70], который обнаружил, что в феноменологической энергии АФМ могут присутствовать слагаемые, линей- ные по намагниченности m. Их вклад в плотность энер- гии АФМ можно записать как ,D ik i kw D M l= где тензор ( )ikD l определяется симметрией АФМ и может, вообще говоря, зависеть от вектора l. При анализе таких членов особо важна четность элементов симметрии АФМ; в частности, эти члены запрещены для АФМ с нечетным центром инверсии или нечетной трансляцией (детали см. в [60]). Простейшая форма такого инварианта имеет вид ( [ ]),D Dw H= ⋅ ×n M l где единичный вектор n паралле- лен четной оси симметрии АФМ и DH — параметр ма- териала. Мория нашел микроскопический механизм реа- лизации такого взаимодействия [71], которое сейчас принято называть взаимодействием Дзялошинского– Мории (ВДМ). Энергия ВДМ линейна по M и может быть переписана через некоторое эффективное поле Дзялошинского, ,DMI Dw = −MH где в общем случае .i ik kH D l= − Для антисимметричного ВДМ D =H [ ].DH= ×n l DH можно рассматривать как некоторое внутреннее эффективное поле, присутствующие в АФМ и зависящее от направления вектора l. Даже в отсутствие внешнего магнитного поля наличие ВДМ может привес- ти к ненулевой намагниченности, что и позволило опи- сать явление слабого ферромагнетизма. Не менее важно то, что наличие ВДМ может приводить к принципиаль- ной модификации спиновой динамики и, в частности, динамических свойств солитонов. Важно отметить, что ВДМ не ограничивается ука- занным выше антисимметричным видом. Например, для тетрагонального кристалла MnF2 с нечетной главной осью четвертого порядка антисимметричное ВДМ запрещено, но есть инвариант вида Dw = ( ).D x y y xH M l M l= +′ Для двухосных АФМ типа ор- тоферритов с четной осью вдоль оси y присутствуют два инварианта: антисимметричный ( )x z z xM l M l− и симметричный ( ).x z z xM l M l+ Следует ожидать, что наибольшее (обменно-релятивистское) значение кон- станты DH будет отвечать антисимметричному ВДМ, а прочие инварианты являются чисто релятивистскими [70]. Следует заметить, что значение обменного поля существенно превышает все остальные характерные поля для АФМ, поэтому как восприимчивость АФМ, пропорциональная параметру 0 ex/ ,M H так и магнитный момент, наведенный за счет ВДМ, малы для всех АФМ. 3. Уравнения спиновой динамики антиферромагнетиков и их интегралы движения Динамику АФМ можно описать при помощи замкну- того уравнения для единичного вектора антиферромаг- нетизма l . При этом вектор намагниченности АФМ является подчиненной переменной и определяется век- тором l и его производной по времени / t∂ ∂l . Это урав- нение получается при условии малости намагниченно- сти m , 2 2<<m l , и можно считать, что 2 1=l . Дина- мические уравнения движения для поля единичного вектора l принято называть уравнениями сигма-мо- дели. Использование уравнений сигма-модели сущест- венно упрощает анализ как линейных, так и нелинейных динамических эффектов в АФМ. Вывод уравнений сиг- ма-модели для АФМ подробно описан в ряде моногра- фий и обзоров [36,37,60,72], и мы не будем на нем оста- навливаться. Для общей модели АФМ с произвольной формой ВДМ лагранжиан сигма-модели, описывающий дина- мику вектора l в бездиссипативном пределе, может быть представлен в виде [57] 2 0 2 ex M L d tH  ∂  = −   ∂γ ∫ lr 2 0 eff ex 2 ( ) 2 r i M A w H t x   ∂  ∂  − ⋅ × − −      γ ∂ ∂    l lH l l . (3) Здесь (...)d∫ r означает интегрирование по всему объему магнетика. Для двумерного (2D) солитона в тонкой магнитной пленке или одномерного (1D) в тон- кой проволоке подразумевается замена d L dxdy→∫ ∫r или d S dx→∫ ∫r , где L или S — толщина пленки или площади поперечного сечения проволоки соответ- ственно. Далее в работе интегралы движения в 2D и 1D случаях будут записываться без множителей S и L. Для лагранжиана АФМ можно применить простую механическую аналогию и представить его в виде ,L T G W= + − где динамические члены, «кинетическая энергия» T и гироскопическое слагаемое ,G опреде- ляются первым и вторым слагаемыми в (3). Первое сла- гаемое, квадратичное по временной производной 2( / ) ,t∂ ∂l определяет «инерционные» свойства спиновой динамики АФМ, /Bgγ = µ  — гиромагнитное отноше- ние, exH — обменное поле, здесь и далее выбрано 0γ > . Это слагаемое является универсальным для лю- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 797 Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов бого АФМ. Уместно заметить, что инерционные свойст- ва спиновой динамики отсутствуют для ферромагнети- ков, лагранжиан которых содержит только гироскопи- ческое слагаемое, линейное по / .t∂ ∂M Второе слагае- мое определяет гироскопическую динамику, которая для АФМ может возникать только за счет эффективного поля eff 0 .D= +H H H Два последних слагаемых опре- деляют «потенциальную энергию» W. Здесь введена константа неоднородного обмена A, ( )rw l описывает энергию релятивистских взаимодействий, которая вклю- чает энергию анизотропии АФМ ( )aw l и вклад внешне- го магнитного поля, 2 20 ex ( ) ( ) [( ) ]r a M w w H = + ⋅ −l l H l H . (4) Второе слагаемое, квадратичное по компонентам поля, присутствует для любого АФМ, оно связано с анизотропией восприимчивости АФМ. Роль этого сла- гаемого может быть представлена как появление наве- денной полем одноосной анизотропии с трудной осью вдоль магнитного поля. Конкуренция этой наведенной анизотропии с исходной кристаллической анизотропи- ей типа легкая ось ответственна за существование спин-флоп перехода, см., например, [60]. В принципе, в энергии ( )rw l есть еще одно слагаемое, билинейное по компонентам внешнего поля H и поля Дзялошин- ского ( )DH и описывающее взаимодействие слабого ферромагнитного момента с внешним магнитным по- лем. Оно важно для описания вынужденного движения доменных стенок в слабых ферромагнетиках [36,37], но не проявится во всех рассмотренных ниже «соли- тонных» задачах, и здесь не рассматривается. Уравнения сигма-модели получаются варьировани- ем лагранжиана (3), с учетом условия 2 1=l их можно записать в виде [ ]( / ) 0.L× δ δ =l l Для анализа солито- нов удобнее использовать угловые переменные для единичного вектора l : 1 2 3sin cos sin sin , cosl l l= θ ϕ, = θ ϕ = θ, (5) где 1,2,3l — проекции вектора l на ортогональные оси 1, 2 и 3, и полярная ось 3 выбрана вдоль легкой оси АФМ, так что основному состоянию отвечает 0,θ = π . В угловых переменных выражения для слагаемых в лагранжиане приобретают вид 2 2 20 2 ex sin M T d t tH  ∂θ ∂ϕ   = + θ       ∂ ∂γ    ∫ r , (6) 2 2 2sin ( , ) 2 r i i AW d w x x      ∂θ ∂ϕ  = + θ + θ ϕ    ∂ ∂        ∫ r . (7) При учете в лагранжиане только универсального инер- ционного динамического слагаемого спиновая дина- мика в АФМ является лоренц-инвариантной, что суще- ственно упрощает анализ движения солитонов. Обсудим теперь свойства «гироскопического» сла- гаемого, линейного по / t∂ ∂l , которое при наличии магнитного поля и/или некоторых видов ВДМ может приводить к разрушению лоренц-инвариантности и, как следствие, к понижение динамической симметрии АФМ. Заметим, что, введя вектор r=r l , не связанный условием 2 1,=r гироскопическое слагаемое можно представить в виде 0 ex 2M H t ∂ − γ ∂ rA , (eff ) 2r × = r HA . (8) Это выражение имеет такую же структуру, что и сла- гаемое в нерелятивистском лагранжиане, описывающем взаимодействие классической заряженной частицы, дви- жущейся в трехмерном пространстве с координатой r и скоростью / ,d dt=v r с фиктивным магнитным полем = ∇ ×B A (дифференцирование проводится в про- странстве r). Магнитное поле входит в лагранжиан за- ряженной частицы через вектор-потенциал A в точке r, который определен только с точностью до некоторой калибровки, в то время как поле B и уравнения движе- ния являются калибровочно-инвариантным. Для любого АФМ это фиктивное магнитное поле B параллельно вектору l и может быть представлено как [73] 2 ( )B r = θ,ϕ rB , (eff ) (eff ) (eff )( ) 2( ) i i i k i k H H B l l l l ∂ ∂ θ,ϕ = − + ∂ ∂ H l . (9) Если ВДМ отсутствует, то величина ( )B θ,ϕ опре- деляется только внешним полем H и ( ) 2( ).B θ,ϕ = ⋅H l В отсутствие внешнего поля величина ( )B θ,ϕ опреде- ляется полем Дзялошинского ( ) ( )D ij jiH D l= l и может быть представлена через тензор :ijD ( ) 3 ij ij ij i j ii i j k j k i D D B D l l D l l l l l l ∂ ∂ θ,ϕ = − + − ∂ ∂ . (10) Конкретный вид ( )B θ,ϕ для практически всех из- вестных АФМ можно найти в работах [73,74] (см. так- же ниже разд. 6). Гироскопическое слагаемое в ла- гранжиане сигма-модели можно представить в виде 0 ex 2 ( , ) ( , )sin M G d A A H t tθ ϕ ∂θ ∂ϕ = − θ ϕ + θ ϕ θ γ ∂ ∂ ∫ r , (11) где Aθ , Aϕ — компоненты фиктивного вектора- потенциала (8) в сферических координатах. Таким об- разом, добавление к лагранжиану полной производной по времени от произвольной функции ( , )F F= θ ϕ мо- жет трактоваться как калибровочное преобразование. 798 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Динамические солитоны в антиферромагнетиках Уравнения для переменных θ и ϕ можно записать в виде 22 2 2 2 2 2 1 1sin cos ( )A A tc t c   ∂ θ ∂ϕ ∇ θ − − θ θ ∇ϕ − −     ∂∂      0 ex 2 ( , )sin 0r Mw B H t ∂ ∂ϕ − − θ ϕ θ = , ∂θ γ ∂ (12) 2 2 2(sin ) sinAA t tc ∂ ∂ϕ ∇ θ∇ϕ − θ −  ∂ ∂ 0 ex 2 ( , )sin 0.r Mw B H t ∂ ∂θ − + θ ϕ θ = ∂ϕ γ ∂ (13) Здесь введена характерная скорость ex 0/2c AH M= γ , (14) которая определяется только обменными взаимодейст- виями и значительно превышает характерные скорости для ферромагнетиков (один из примеров обменного усиления динамических параметров АФМ). Слагаемые с первыми производными определяются гироскопиче- скими слагаемыми в лагранжиане, ( , ) ( ),B θ ϕ = ⋅l B см. (8) или (9). Как и следовало ожидать, уравнения дви- жения являются калибровочно-инвариантными. Для наиболее типичного вида ВДМ, ( [ ])D Dw H= ⋅ ×n M l или [ ],D DH= ×H n l функция ( , ) 0B θ ϕ = и гироско- пические слагаемые в уравнениях отсутствуют. Знание лагранжиана позволяет построить тензор энергии-импульса поля вектора l и выписать основные интегралы движения спиновой системы АФМ. Энергия АФМ равна сумме «кинетической энергии» и «потенци- альной энергии» вектора l , ,E T W= + T и W опреде- ляются уравнениями (6) и (7). Однако при наличии ги- роскопических слагаемых, линейных по / ,t∂ ∂l при записи других интегралов движения возникает пробле- ма. Обобщенный импульс поля вектора l и некоторые компоненты тензора энергии-импульса не инвариантны относительно указанных выше калибровочных преобра- зований. В частности, формулу для импульса поля на- магниченности P можно записать в виде (0)0 2 ex 2 i i i M P d P t xH  ∂ ∂ = − ⋅ + ∂ ∂ γ ∫ l l r , (0) 0 ex 2 i i M P d H x  ∂ = ⋅ γ ∂ ∫ lA r , (15) или в угловых переменных (0) 0 ex 2 ( , ) ( , )sin M d A A H θ ϕ = θ ϕ ∇θ + θ ϕ θ∇ϕ γ ∫P r . (16) Таким образом, при наличии гироскопических сла- гаемых величина (0)P может быть ненулевой при / 0,t∂ ∂ =l т.е. для статического солитона. Важной про- блемой является то, что (0)P зависит от конкретной калибровки, выбранной при записи лагранжиана. Эта проблема хорошо известна для ферромагнети- ков, для которых такая неопределенность приводит к неоднозначности определения импульса солитона, что обсуждалось многими авторами [75–85]. Для описания АФМ в рамках сигма-модели существуют, однако, прозрачные физические соображения, позволяющие фиксировать эту калибровку. Заметим, что намагни- ченность АФМ, равную плотности спинового момента АФМ, умноженной на гиромагнитное отношение ,γ можно определить через вариацию лагранжиана (3) по / ,t∂ ∂l [ / ( / ) ]L t= γ δ δ ∂ ∂ ×M l l [75,87,88]. Для лагран- жиана (3) это приводит к выражению eff eff ex 1( )sM H t  ∂ = − ⋅ + ×   γ ∂  lM H l H l l . (17) В силу равенства eff eff( ) [ ],− ⋅ = ×H l H l A l см. (8), это выражение не является калибровочно-инвариант- ным. Однако оно совпадает с тем, что получается при выводе сигма-модели из системы уравнений Ландау– Лифшица для намагниченностей подрешеток. Слагае- мые с effH определяют статическую часть намагничен- ности, вызванную внешним магнитным полем и/или полем Дзялошинского, их форма хорошо известна из статических экспериментов [60]. Поэтому можно счи- тать, что при записи лагранжиана (3) сделан правиль- ный выбор калибровки, во всяком случае, для описания M. Можно рассчитывать, что и импульс солитонов (0)P правильно описывается лагранжианом (3), если калиб- ровка выбрана той же. Для анализа магнитных солитонов весьма важен случай чисто одноосного АФМ, когда угловая пере- менная ϕ входит в лагранжиан только через свои про- изводные. Для этого надо, чтобы rw не зависела от ϕ и (eff )H было бы параллельно избранной оси e3. В этом случае важным интегралом движения является проекция M на полярную ось 3. Наличие этого инте- грала обеспечивает существование прецессионных со- литонов, которые будут рассмотрены в следующем разделе. Этот интеграл движения для АФМ удобно представить в виде 2 3 3 0 ex 1 sin 2 2 s B M N M dx H d H t ∂ϕ = = γ − θ µ µ γ ∂ ∫ ∫ r . (18) При учете стандартного квантования проекции спина N — целое число. Величина N интерпретирована как число магнонов, связанных в солитоне, и использована при квазиклассическом квантовании солитонов, в фер- ромагнетиках [15–18] и АФМ [89,90], см. также [1–3]. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 799 Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов Вернемся к вопросу об определении импульса поля вектора l применительно к проблеме импульса солито- на. Заметим, что выражения (15) или (16) получаются в рамках подхода коллективных переменных, когда пред- полагается, что (0) ( )s= −l l r R и (0)/ ( ) ,i il t l∂ ∂ = − ⋅∇v где ( )s s t=R R и /sd dt=v R — координата и скорость солитона, (0)l — решение, описывающее неподвижный солитон. В этом подходе, применимом при малых ско- ростях солитона ( c<<v для АФМ), импульс можно записать как (0) ,m= +P v P см. (15). Сохранение им- пульса P в пространственно-однородном случае гаран- тируется теоремой Нетер. Этот же факт можно доказать и напрямую с использованием уравнений для θ и ϕ . Однако величины «кинематического» импульса mv и величины (0)P по отдельности могут не сохраняться. Если (0) / 0,d dt ≠P уравнение сохранения импульса P можно записать в виде / ,Gmd dt =v F где введена гиро- скопическая сила (гиросила) (0) / .G d dt= −F P Наличие гиросилы для топологически-нетривиальных состояний некоторых цилиндрических доменов или блоховских линий в ферромагнетиках надежно установлено [9]. Расчет этой величины может быть проведен или пря- мым дифференцированием (16), или с использованием уравнений для θ и ϕ, в результате получается [ ] (0) 0 ex 2 ( , )sin ( ) ( ) . Md d B dt H = θ ϕ θ ⋅∇ϕ ∇θ − ⋅∇θ ∇ϕ γ ∫ P r v v (19) Принципиально важно, что в отличие от величины (0) ,P величина (0) /d dtP содержит только фиктивное поле B и является калибровочно-инвариантной. Полез- но сравнить ситуацию с «проблемой импульса» для АФМ и ферромагнетиков. Для обеих систем фиктивное поле B параллельно динамической переменной, еди- ничному вектору намагниченности 0/M=m M или l соответственно. Однако для всех возможных видов ВДМ и любых ориентаций поля структура ( )B θ,ϕ та- кова, что полный поток поля B через единичную сферу 2 tot 0 0 sin ( )d d B π π Φ = θ θ ϕ θ,ϕ∫ ∫ (20) равен нулю. В случае ферромагнетика ситуация принципиально иная: для A получается потенциал поля магнитного монополя, который можно записать только в сингу- лярной форме с особенностью на полупрямой, выхо- дящей из точки расположения монополя (струне Дира- ка). Для ферромагнетика 0( / ) .M= γB m В этом случае полный поток FMB через сферу 2 1=m имеет уни- версальное значение 04 / .FM MΦ = π γ Это приводит к важным следствиям для динамики топологических со- литонов в ферромагнетиках: для доменных стенок воз- никает периодический закон дисперсии, а для двумер- ных локализованных солитонов гиросила пропорцио- нальна их топологическому заряду, сравните формулу (20) при B = const и определение топологического за- ряда Q, см. (45) в разд. 5. Как будет показано далее, для достаточно общей модели АФМ полный поток равен нулю и подобной универсальности нет. 4. Двухпараметрические солитоны в одноосных антиферромагнетиках Чисто одноосная модель АФМ, в которой rw зависит только от 2 zl (ось z — избранная ось), имеет интеграл движения N (18) и в силу этого допускает анализ ши- рокого класса солитонных решений. Для реализации такой модели следует считать, что энергия анизотропии ( ),a aw w= θ поле zH=H e параллельно избранной оси АФМ и ( ) 2 cos ,B Hθ,ϕ = θ а ВДМ изотропно в плоско- сти xy, т.е. [ ].D D zH= ×H e l ВДМ такого вида типично для всех АФМ с четной главной осью, оно не дает вкла- да в уравнения движения, но приводит к появлению намагниченности в базисной плоскости АФМ. В этом случае уравнение для ϕ принимает вид уравнения не- прерывности 2 2 2sin (sin )H c t t ∂  ∂ϕ  θ − γ = ∇ θ∇ϕ   ∂ ∂  , (21) а уравнение для θ содержит ϕ только в комбинации 2 2 2( ) ( / ) .c t H∇ϕ − ∂ϕ ∂ − γ Эти уравнения допускают построение различных классов решений, как для соли- тонов, так и для нелинейных периодических волн раз- личных типов. Отметим важное свойство чисто одноосного АФМ: если ввести новую переменную ϕ , ,Htϕ = ϕ − γ (22) то уравнения для θ и ϕ инвариантны относительно преобразований Лоренца, в которых роль характерной скорости играет величина c , см. (14) [89]. Если функ- ции 0 ( , , , )x y z tθ = θ и 0 ( , , , )x y z tϕ = ϕ  определяют некоторое (неподвижное) решение этих уравнений, то функции θ и ϕ , получающиеся из 0θ и 0ϕ заменой 2 2 2 2 2 /( , , , ) , , , 1 / 1 / x t t x cx y z t y z c c  − − →    − − v v v v , (23) также являются решением. В силу этого свойства дос- таточно ограничиться анализом неподвижных решений и потом получить движущиеся решения из неподвиж- ных с помощью преобразований Лоренца. Начнем с анализа нелинейных периодических волн намагниченности АФМ. Легко видеть, что существует несколько типов таких волн. Одному типу отвечает решение вида 0 const,ϕ = ϕ = при этом для ( , )tθ = θ r получается нелинейное уравнение Клейна–Гордона 800 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Динамические солитоны в антиферромагнетиках 2 2 2 2 0adwA A dc t ∂ θ − ∇ θ + = θ∂ , где ( )aw θ — энергия анизотропии. Решение этого уравнения в виде простой волны ( )x tθ = θ − v можно записать в квадратурах при любом виде функции ( ).aw θ Фактически эти волны имеют линейную поляри- зацию в плоскости, которая вращается вокруг оси z с частотой .Hγ При 0H = такие линейно-поляризо- ванные волны существуют и при наличии анизотропии в базисной плоскости, см. следующий раздел. При ис- пользовании простейшей формы энергии анизотропии 2 2 2( ) ( ) sin 2 2a x y K Kw l lθ = + = θ (24) (константу анизотропии K часто записывают через поле анизотропии aH , 0 )aK M H= для ( , )tθ r получается синусоидальное уравнение Клейна–Гордона (уравнение синус-Гордон) [91]. Это уравнение является точно ин- тегрируемым в одномерном случае и допускает по- строение N-солитонных решений, но оно не имеет неод- номерных локализованных солитонных решений [6]. Помимо линейно поляризованных волн, для чисто одноосной модели существуют также и нелинейные волны с круговой поляризацией, которым отвечает 0, constkx tϕ = − ω θ = θ = . (25) Зависимость частоты нелинейной волны от ее волно- вого вектора k и амплитуды 0θ определяется формулой 2 2 2 2 ex 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 sin cos aH w H c k M γ ∂ θ ω − γ = + θ θ ∂θ . (26) Если выбрать, как это часто делается в одноосных магнетиках, энергию анизотропии в простейшем виде (24), то получается 2 2 2 0 ,H c kω − γ = ± + ω где 2 2 0 ex /2.aH Hω = γ Таким образом, частота нелиней- ной волны произвольной амплитуды не зависит от зна- чения ее амплитуды 0θ . Это достаточно необычная ситуация; она демонстрирует специфическое вырож- дение АФМ как нелинейной системы при таком выбо- ре анизотропии (напомним, что в ферромагнетике, да- же изотропном, частота нелинейной волны зависит от ее амплитуды, 0cos ).ω ∝ θ В частности, критерий Лайтхилла в таком случае не дает возможности сде- лать вывод об устойчивости нелинейной волны. Это вырождение проявляется и в свойствах солито- нов [89] и пропадает при учете более общего вида энергии анизотропии. Поэтому при конкретных расче- тах будем считать 2 44( ) sin sin 2 4a KKw θ = θ − θ . (27) В таком случае для частоты нелинейной волны можно получить 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0( ) 2( )sinH c kω − γ = ω + − ω − ω θ . (28) Здесь введены обозначения: 0 ex 0/2H K Mω = γ , ex 4 0( /2)/2H K K Mω = γ − . (29) Значение 0ω определяет частоту однородного линей- ного антиферромагнитного резонанса при 0H = в легкоосной фазе антиферромагнетика ( 0).θ = Эта фаза устойчива при 1,H H< где характерное значение поля 1 0 / .H = ω γ Если 4 0,K > т.е. 0ω > ω , величина /sfH = ω γ определяет поле перехода первого рода от коллинеарной к спин-флоп фазе АФМ, в которой /2θ = π (см. подробнее [60,92]). Легко видеть, что если 0ω > ω , то 0/ 0∂ω ∂θ < , что в соответствии с критери- ем Лайтхилла свидетельствует о неустойчивости перио- дических нелинейных волн относительно автомодуля- ции, т.е. образования солитонов. В дальнейшем будем считать 4 0K > и 1,sfH H< когда можно ожидать су- ществования устойчивых прецессионных солитонов. Рассмотрим солитонные решения в коллинеарной фазе АФМ. Начнем с анализа неподвижных солитонных решений. Такие решения существуют как в 1D случае, так и для более высоких размерностей. Неодномерные солитоны обладают высокой пространственной симмет- рией, они являются радиально-симметричными в 2D или центрально-симметричными в трехмерном (3D) случаях. Легко убедиться, что уравнение (21) удовле- творяется тождественно, если θ зависит только от коор- динаты, а tϕ = −ω [89]. Для одномерного солитона ре- шение имеет вид 0 ( ), ,x tθ = θ ϕ = −ω 0 ( )xθ удовлетво- ряет уравнению второго порядка, для которого сущест- вует первый интеграл, 2 2 2 2 20 ex 0 0 0 sin ( ) consta d H c w dx M θ γ  + ω θ − θ =   , (30) и решение которого можно записать в квадратурах для любого вида 0( )aw θ . Если выбрать энергию анизотро- пии в простейшем виде (24), то при учете условия лока- лизации уравнение (30) сводится к 0( / )c d dxθ = 2 2 00 sin .= ± θω − ω Солитонное решение существует при 2 2 0 .ω < ω Оно определяет стандартную 180-гра- дусную доменную стенку, 0 0cos th[ / ( )],x xθ = σ ω где [ ( ) ( )]/2 1,z zl lσ = +∞ − −∞ = ± 22 0 0 0( ) / .1 /x xω = − ω ω Здесь величина x0, так называемая обменная длина магнетика 0 0 A cx K = = ω , (31) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 801 Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов определяет толщину стенки при 0.ω = Видно, что при 0ω → ω толщина стенки расходится, при этом ее энер- гия и число магнонов также расходятся как 01/ .ω − ω Делокализация солитона на границе его существования типична для солитонных задач, однако расходимость E и N принципиально отличается от стандартного поведе- ния. Для последовательного описания поведения соли- тона при 0 0ω − ω << ω нужно использовать энергию анизотропии вида (27). Важно отметить, что существо- вание прецессионных солитонов типа доменных стенок уникально для АФМ; в ферромагнетиках стенки есть только при 0,ω = при 0ω ≠ существуют только лока- лизованные солитоны. Для неодномерных солитонов (D = 2, 3) решение можно искать в виде 0 ( ),r tθ = θ ϕ = −ω , (32) где r обозначает радиальную координату в цилиндри- ческой или сферической системе координат для 2D или 3D случаев соответственно. Вид функции 0 ( )rθ опре- деляется обыкновенным дифференциальным уравне- нием второго порядка: 2 2 2 20 0 ex 0 02 0 0 1 sin cos 0, 2 ad d H wDc r dr Mdr  θ θ γ ∂− + + ω θ θ − =  ∂θ  (33) где в скобках стоит радиальная часть лапласиана для 2D или 3D случаев. Локализованному солитону отве- чает решение, в котором вдали от центра солитона (при )r → ∞ функция ( ) 0.xθ → Чтобы избежать син- гулярности при 0,r → следует, кроме того, потребо- вать, чтобы / 0d drθ → при 0.r → Ниже получим конкретный вид уравнения (33) для солитонов различ- ной размерности в модели с анизотропией вида (27). А сейчас обсудим те свойства солитонов, которые можно исследовать, не задавая конкретный вид ( )aw θ и без знания функции θ(x). Прежде всего заметим, что солитонам вида (32) от- вечает ненулевое значение интеграла движения N (18). Стабильность таких солитонов, которые естест- венно назвать прецессионными, определяется именно сохранением N, т.е. прецессионные солитоны являются динамическими. Для 0θ получаются лоренц-инвариантные уравне- ния, и структура движущегося солитона получается стандартной заменой; например, для 3D случая 2 0 0 2 2 1/2 ( / )( ) ( ), , (1 / ) t x cr R c ω − θ → θ ϕ → − −  v v 2 2 2 2 2 2 ( ) (1 / ) x tR y z c − = + + − v v . (34) Однако физические величины E, P, М или zM ло- ренц-инвариантностью не обладают, так как переход от ϕ к ϕ содержит явно время. Получим закон преоб- разования ,E P и N при переходе от неподвижного к движущемуся солитону. Решение (34) описывает двухпараметрический со- литон. Два параметра, определяющие его структуру, — скорость солитона и частота ω. Легко убедиться, что значения N или действия I одинаковы как для не- подвижного, так и для движущегося солитонов с тем же значением параметра ω: 2 ( ) 0 ex ( ) sin 2 Ds B M N N d x H ω = ω = θ µ γ ∫ , (35) где ( ) ,Dd x x= 2 rdrπ или 24 r drπ для 1D, 2D или 3D солитонов, см. пояснение после формулы (3). Таким образом, величина N для двухпараметриче- ского солитона вида (32) зависит только от ω . Значе- ния других интегралов движения — энергии и импуль- са — зависят от скорости солитона. Используя (33), (34) и формулу (32), можно получить 0 0 02 2 1/2 2 2 1/2 ( ) ( ) , 2 , ( ) (1 / ) E E E HN c c c ω ω = = − µ + − − v P v v (36) величина 0 ( )E ω определяет энергию неподвижного солитона при 0H = для данного значения ω. Обращая соотношения (35) и (36), можно записать энергию солитона в виде функции от его интегралов движения: 2 2 2 1/2 0 0( , ) 2 [ ( ) ] , | |E N HN E N c P P= − µ + + =P P , (37) где 0 ( )E N — энергия 0 ( ),E ω выраженная через N. Для любой размерности пространства D для 0E мож- но получить единую формулу: 2 2 2 ( )0 0 02 1 sin Dd E A d x D dr c  θ ω  = + θ      ∫ . (38) Формулы (36) и (37) определяют искомую зависи- мость P и E от скорости солитона, т.е. поведение P и E при преобразованиях Лоренца. Легко видеть, что при 0H = энергия и импульс составляют четырехмерный вектор ( / , ).P E cµ = P Если же 0H ≠ , то энергия есть сумма двух слагаемых, первое из которых, как и N, — инвариант преобразования Лоренца, а второе — компо- нента четырехмерного вектора. Таким образом, хотя при 0H ≠ лоренц-инвариантность разрушена, сущест- вуют простые правила получения энергии и импульса движущегося солитона из их значений для неподвижно- го солитона. Уместно заметить, что для солитонов в ферромагнетиках такое правило установить не удается, и исследование неодномерных солитонов, движущихся с немалой скоростью, не проведено. 802 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Динамические солитоны в антиферромагнетиках Таким образом, характеристики двухпараметриче- ского солитона определяются двумя функциями, ( )N ω и ( ).E ω Чтобы их получить, следует конкретизировать вид энергии анизотропии, решить обыкновенное диф- ференциальное уравнение для 0θ и вычислить интегра- лы в формулах (35) и (38). Для 1D солитона с простей- шей анизотропией существуют только решения типа 180-градусных доменных стенок. Для более общей ани- зотропии вида (27) получается, что вид солитона зави- сит от частоты: решения типа стенок существуют толь- ко при 2 2ω < ω [89]. Если же 2 2 2 1ω < ω < ω (напом- ним, что 2 2 1 ),ω < ω то 0θ = при x → ∞ и при x → −∞ . В центре солитона значение угла θ макси- мальное, величина maxθ не превышает /2π , 2 2 1 max 2 2tg ω − ω θ = ω − ω . При 2 2 2 2 1| |ω − ω << ω − ω солитон представляет со- бой связанное состояние двух 90-градусных доменных стенок, расстояние между которыми неограниченно возрастает при 2 2 1 .ω → ω Значение 2 2ω = ω — особая точка решения. Для ( )N ω и ( )E ω получаются доста- точно громоздкие выражения, которые здесь не выпи- сываются, см. [89], зависимость ( )N ω приведена на рис. 1. Характерное значение числа магнонов в солитоне 2 ( ) 0 0 0 2 2 ex 0 41 2B M x N H ω = µ γ ω − ω D (39) велико даже для чисто одномерного АФМ (площадь поперечного сечения порядка a2, a — постоянная ре- шетки). При дальнейшем усложнении модели, например учете анизотропии шестого порядка, вид решений каче- ственно не меняется. Заметим, что в стандартных АФМ величины 2 1ω и 2ω близки, и область существования локализованных солитонов достаточно узкая. Таким образом, в значи- тельной части области существования солитон представ- ляет собой 180-градусную стенку вида 0cos θ = 0th[ / ( )] ,x x= ± ω и его характеристики с хорошей точно- стью описываются простыми формулами: ex2 ( )B H Nµ ω = 2 2 0 02 /sx M= ω ω − ω и 2 2 0 0( ) 2 / .E AKω = ω − ω Однако вблизи особой точки различия точных и прибли- женных решений принципиальные (см. рис. 1). Кванто- вые свойства прецессионных одномерные солитонов и возбужденные состояния над ними рассматривались в работах [93–95]. Для 2D или 3D картина солитонных состояний ме- няется принципиально. Решения типа доменных сте- нок отсутствуют, и могут существовать только локали- зованные солитоны, для которых 0 ( ) /2rθ < π . Чтобы в этом убедиться, перепишем уравнение (33) для анизо- тропии (27) в безразмерном виде: 2 2 0 0 0 0 0 02 12 sin 2 sin 2 cos 2 0 d dDr r drdr  θ θ− + + Ω θ − θ θ =    , (40) где введены обозначения 2 2 0 2 2 1 cr = ω − ω , 2 2 2 2 1 ω − ω Ω = ω − ω . Если в этом уравнении заменить /2,θ → θ то оно буквально переходит в уравнение, описывающее струк- туру неподвижного прецессионного солитона в ферро- магнетике [89]. Полезно обсудить те свойства солито- нов, которые могут быть получены аналитически непосредственно из уравнения (40). Домножим это уравнение на 2( 1) 0 /Dr d dr− θ и проин- тегрируем его по r от 0r = до r = ∞ . Слагаемые с производными взаимно уничтожаются, и получается интегральное соотношение, содержащее решение 0 ( ) :rθ 2 2 3 2 2 2 3 0 0 0 0 0 sin sin cosD Dr dr r dr ∞ ∞ − −Ω θ = θ θ∫ ∫ . (41) Здесь оба интеграла положительны, и интеграл в правой части меньше, чем в левой. Следовательно, солитонные решения этого уравнения существуют только при 0 1,< Ω < что согласуется с результатами работ [15,16,21]. Условие 0 1< Ω < дает 2 2 2 1 ,ω < ω < ω т.е. неодномерные АФМ солитоны существуют толь- ко в том узком интервале частот, в котором одномер- ные солитоны являются локализованными. Далее лег- ко понять поведение решений в предельных случаях Рис. 1. Зависимость N(ω) (в единицах N(1D)) от частоты ω (в единицах ω0). Сплошная линия построена в соответствии с аналитической формулой [89], полученной для общего вида энергии анизотропии (27), штриховая линия определяет за- висимость, найденную в простейшей модели. Для опреде- ленности принято, что 00,9 .ω = ω Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 803 Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов 1Ω << и 1 1.− Ω << Если 1,Ω ≈ то должно быть 2 0cos 1θ ≈ и амплитуда солитона мала; при этом 0( / ),1 1f r rθ = − Ω − Ω где ( )f x — универсальная монотонно убывающая функция, максимальное зна- чение и область локализации которой порядка едини- цы. Такое поведение, как и для 1D солитона, отвечает делокализации солитонного состояния. В другом пре- дельном случае, 1Ω << или 2 2 2 2 1 ,ω − ω << ω − ω ин- теграл в правой части должен быть мал. Это возмож- но, если в значительной части солитона значение /2.θ π Таким образом, солитон представляет собой замкнутую (круговую или сферическую) область со значением /2,θ π отделенную от остальной части магнетика, в которой 0,θ = переходной областью (90-градусной доменной стенкой) шириной порядка 0r и радиусом 0 ,R r>> рис. 2. Структуру такой стенки в одномерном случае легко найти. Для солитона с большим радиусом можно пренебречь кривизной стен- ки и записать пробную функцию в виде 0cos 2θ = 0th[( )/ ].r R r= − С помощью этой функции можно оце- нить интегралы в (41) и получить связь радиуса солито- на R и величины :Ω она дается простыми формулами 0 /r RΩ = и 02 /r RΩ = для 2D и 3D солитонов соответ- ственно. При промежуточных значениях Ω область локализации солитона порядка единицы. Солитонные решения во всем интервале 0 1< Ω < были построены численно в работах [15,21]. Используем эти данные для анализа солитонов в АФМ. Описанные выше свойства решений позволяют получить асимптотические зависимости интегралов движения в предельных случаях 1Ω → и 0.Ω → По- ведение интегралов движения для солитонов различ- ной размерности существенно различное. В предель- ном случае 1Ω → значение 1 /2( ) (1 ) ,DN −ω ∝ − Ω т.е. для размерности солитона D, равной 1, 2 или 3, ( )N ω стремится к нулю, принимает постоянное значение или расходится соответственно. Более интересен предельный случай солитонов большого радиуса, которому отвечают малые значения 1.Ω << Отметим, что в автогенераторах, основанных на возбуждении ферромагнитных солитонов типа магнон- ных капель, наблюдались солитоны с радиусом порядка нескольких 0r [52,53]. Для солитона большого радиуса основной вклад в ( )N ω дает область, ограниченная до- менной стенкой, см. (35). В силу этого 2 2 ( )DN Rω ∝ и 3 3 ( ) ,DN Rω ∝ и легко записать 2 0 2 2 ex 1( ) 2 s D B M r N H π ω = µ γ Ω , 3 0 3 3 ex 16 1( ) 3 s D B M r N H π ω = µ γ Ω , и число связанных магнонов неограниченно растет при любой размерности солитона. 5. Двумерные топологические солитоны (вихри и скирмионы) в антиферромагнетиках В предыдущем разделе были рассмотрены только не- топологические АФМ солитоны. В последние годы про- является интерес к двумерным неоднородным состоя- ниям с нетривиальной топологией, магнитным вихрям и локализованным топологическим солитонам, которые сейчас принято называть скирмионами. Эти состояния интересны тем, что они могут присутствовать в тонких магнитных пленках или магнитных частицах микрон- ных и субмикронных размеров и даже образовывать основное состояние таких наномагнетиков. При этом естественный размер неоднородности (радиус скирмио- на или размер ядра вихря, см. ниже) порядка нескольких единиц 0 ,x т.е. порядка десятков нм. Эксперименталь- ные исследования вихрей и скирмионов сейчас практи- чески полностью ограничены случаем ферромагнети- ков. Обсудим известные свойства вихрей и скирмионов и возможность реализации подобных состояний в АФМ. Начнем с анализа неподвижных солитонов, а затем обсудим их динамику [90]. Будем рассматривать ту же модель чисто одноосного АФМ во внешнем поле, что в предыдущем разделе. Для неподвижных состояний угловую переменную ϕ (или ϕ при 0)H ≠ можно искать в виде 0 ,q tϕ = χ + ϕ + ω (42) который отличается от (32) слагаемым qχ , где 1, 2,...q = ± ± — целое число, которое и определяет топологические свойства солитонов, 0ϕ — произволь- ная постоянная. Функция 0 ( )rθ определяется реше- нием дифференциального уравнения Рис. 2. Вид функции θ(r), найденный численно для трехмерно- го солитона при различных значений параметра Ω (указано под соответствующей кривой), координата r дана в единицах r0. Штриховые линии показывают приближение точного решения с помощью пробной функции типа 90-градусной доменной стенки. При Ω = 0,1 значение R = 19 r0, что хорошо согласуется с приведенной выше оценкой, для меньшей частоты Ω = 0,5 выбрано подгоночное значение 0 01,5r r= и R = 4r0. 804 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Динамические солитоны в антиферромагнетиках 2 2 0 0 0 02 2 1 sin cos d d q r drdr r θ θ + − θ θ + 2 0 02 0 1sin cos 0aw Ac ∂ω + θ θ − = ∂θ . (43) Условие отсутствия сингулярности в центре солитона дает, что при 0r → или qCrθ = , или qCrθ = π − . Второе условие отвечает тому, что вдали от солитона АФМ находится в основном состоянии, т.е. при r → ∞ переменная /2θ → π для вихрей в легкоплоскостном АФМ или 0,θ → π для скирмионов. До этого момента рассмотрение касалось в равной степени и вихрей, и скирмионов. Однако анализ кон- кретных состояний показывает принципиальное разли- чие в свойствах этих двух типов солитонов. Удобно начать с формального описания неоднородных состоя- ний в АФМ на основе метода гомотопической тополо- гии, см., например, [30–32]. Вихрь в легкоплоскостном (ЛП) АФМ характеризует- ся наличием неоднородности l вдали от его центра. Та- кая возможность обусловлена непрерывным вырождени- ем энергии относительно направления изменения l в легкой плоскости, т.е. пространство вырождения DM для ЛП АФМ представляет собой окружность, 2 2 1,x yl l+ = 0.zl = Топологические свойства вихрей оп- ределяются фундаментальной гомотопической группой 1( ),DMπ элементы которой являются топологическими зарядами. Легко видеть, что для ЛП АФМ все разные значения q отвечают топологически различным состоя- ниям вихря, и величина q играет роль π1-тополо- гического заряда, принадлежащего группе целых чисел по отношению к сложению Z. Приведем выражение для π1-топологического заряда в интегральной форме 1 1 2 2zq dx d x α αγ   ∂ = ⋅ × = ϕ  π ∂ π   ∫ ∫ le l  , (44) где интегрирование производится вдоль контура γ . Классификация солитонов только по элементам группы 1( )DMπ может быть неполной: два распреде- ления l с одинаковыми значениями π1-топологичес- кого заряда q могут различаться значениями другого топологического инварианта, так называемого π2-топо- логического заряда, который отвечает отображениям не контуров, а двумерных многообразий. В случае 2D солитонов речь идет об отображении плоскости ( )x y, на сферу 2 1.=l Такое отображение характеризуется топологическим инвариантом Q, 1 8 Q dxdy x xαβ α β   ∂ ∂ = ε ⋅ × =  π ∂ ∂    ∫ l ll 1 sin 4 dxdy x xαβ α β ∂θ ∂ϕ = ε θ π ∂ ∂∫ , (45) величина Q определяет π2-топологический заряд скир- миона, αβε — абсолютный антисимметричный тензор. Если вдали от солитона, т.е. при r → ∞ , вектор || zl e и магнетик находится в основном состоянии 0,θ = этот инвариант принимает только целочисленные значения, 0, 1, 2, ...Q = ± ± . Для распределения вида (42) при ( )rθ величина Q записывается как sin [cos ( 0) cos ( )] 2 2 q qQ d r r= θ θ = θ = − θ = ∞∫ . Заметим, что для вихря cos ( ) 0,rθ = ∞ = а в центре ядра вихря cos ( 0) 1r pθ = = ± = — величина, где 1p = ± определяет знак 1zl = ± в ядре вихря и называется поля- ризацией вихря. Значение Q для вихря оказывается по- луцелым, /2.Q qp= − Состояния вихря с 1/2Q = ± раз- личаются топологически и не могут быть переведены друг в друга непрерывной деформацией. Следовательно, вихрь характеризуется двумя топологическими заряда- ми, π1-зарядом, завихренностью q и π2-зарядом Q. Это проявляется при анализе слияние двух вихрей с завих- ренностями с q и :q− для различных поляризаций вих- рей получается локализованный (тривиальный с точки зрения 1)π солитон с целым значением π2-топо- логического заряда ,Q q= ± а при одинаковых знаках p — топологически тривиальное состояние. Чтобы иметь полное описание топологии солитонов в АФМ, отметим, что при наличии атомных дислокаций кристаллической решетки, которые разрушают тополо- гию атомных плоскостей, возникает еще один тип топо- логических дефектов, не имеющих аналога для ферро- магнетиков. Как показали Дзялошинский [38] и Ковалев, Косевич [39], в этом случае возникают макроскопиче- ские магнитные дефекты — спиновые дисклинации, ко- торые можно представить как магнитные вихри с полу- целым значением q в формуле (42). Топологические свойства спиновых дисклинаций обсуждались в обзор- ной работе [92] и здесь не рассматриваются. Вернемся к обсуждению динамических свойств со- литонов в АФМ. Наиболее выгодным энергетически вихрям и солитонам соответствует 1,q = ± и далее в основном рассматриваем этот случай. Начнем с более простого случая АФМ с анизотропией типа легкая ось, для которого могут существовать магнитные скирмио- ны. В этом случае вдали от солитона вектор l должен быть параллелен легкой оси АФМ, .z= ±l e Считая для определенности, что вдали от солитона 0,θ = полу- чаем, что для топологического солитона должно быть (0) .θ = π В этом случае 1.Q q= = ± Обсудим вид решения уравнения (43) для функции 0 ( )rθ для различных видов одноосной анизотропии. Легко показать, что соотношение (41) остается спра- ведливым и для топологического скирмиона. Для про- стейшего вида анизотропии 2sin ,aw ∝ θ т.е. 2 2 1 ,ω = ω это соотношение дает, что скирмион существует толь- ко в точке 2 2 1 .ω = ω При этом уравнение (43) совпа- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 805 Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов дает с тем, что получается для изотропного магнетика. В этом случае скирмионное решение было найдено Белавиным и Поляковым (БП), при любом 0q ≠ оно имеет вид [13] | | tg 2 q BP R r θ  =    , здесь R — радиус солитона. Энергия такого солитона не зависит от R, 4 | | .BPE q A= π Такие скирмионы важны для описания термодинамики различных моде- лей двумерных изотропных магнетиков. В реальном АФМ при наличии анизотропии скир- мионы существуют в том же интервале частот, 2 2 2 1ω < ω < ω или 0 1,< Ω < что и локализованные нетопологические солитоны [90]. В отличие от нетопо- логических солитонов, при 1Ω → скирмион не дело- кализуется. Его структура похожа на структуру БП солитона, ее можно описать формулой 0tg ( /2)θ = 0( / ) exp[( )/ ],R r R r r= − где 1/2 0 0 /(1 ) ,r r∝ − Ω а энергия близка к энергии БП солитона. Это приближение хо- рошо работает, если радиус скирмиона мал, 0.R r< В другом предельном случае, 1,Ω << реализуются скир- мионы большого радиуса, 0.R r>> Для них, как и для нетопологических солитонов, в широкой области 0r r R≤ ≤ значение 0 /2.θ ≈ π Эта область ограничена кольцевой 90-градусной доменной стенкой, структура которой такая же, как для нетопологического солито- на. Разница между этими двумя солитонами состоит лишь в поведении при 0r r≤ : для нетопологического солитона 0 /2θ ≈ π до значения 0,r = в то время как в центре АФМ скирмиона формируется область конеч- ного радиуса, в которой происходит переход от значе- ния 0 /2θ = π к 0θ = π при 0.r = Это различие несу- щественно при вычислении интегралов движения; значения ( )E ω и ( )N ω в этих двух типах солитонов большого радиуса практически не отличаются [90]. Перейдем к исследованию спиновой динамики в со- литонах, поступательного движения или прецессии спинов. Естественно, лоренц-инвариантность уравне- ний для переменных θ и Htϕ = ϕ − γ имеет место для любых решений, в том числе топологических. Однако следствия этой инвариантности для скирмионив и вих- рей при наличии поля окажутся абсолютно разными. Для скирмионов, в которых 0θ → при ,r → ∞ воз- можно использование переменной .Htϕ = ϕ − γ Если найдено неподвижное решение, то анализ движущего- ся АФМ скирмиона можно провести с применением преобразования Лоренца для переменных ϕ и θ (34). Результаты получаются точно такие же, как и для АФМ магнонной капли. В частности, справедливы со- отношения для связи энергии и числа магнонов в соли- тоне с его скоростью и/или импульсом, см. (35)–(37). Важно заметить, что гироскопические слагаемые в лагранжиане могут, в принципе, приводить к гироско- пическим эффектам в динамике топологических соли- тонов. Эти эффекты проявляются в появлении гироско- пической силы в уравнении для координаты солитона, которая выражается через величину (0)/ ,G d dt= −F P см. общее выражение (19). Величину GF можно записать в стандартном виде, [ ],G zG= ×F v e где гироскопическая константа G определяется через фиктивное магнитное поле ( ),B θ,ϕ см. (9). Если считать, что 0 ( )rθ = θ и 0 ( )ϕ = ϕ χ (это условие не противоречит формуле (42) для одноосного магнетика, но может нарушаться при учете анизотропии в базисной плоскости), то G опре- деляется просто значением потока фиктивного магнит- ного поля через ту часть поверхности на сфере 2 1,=l которую проходит вектор l при обходе солитона, 0 0 0 0 0 0 ex 2 ( )sin M G B d d H = θ ,ϕ θ θ ϕ γ ∫ . (46) Принципиально важно, что для топологического со- литона с 1Q = распределение вектора l покрывает всю сферу 2 1,=l и константа G пропорциональна полному потоку фиктивного поля B , 0 tot ex2 / .G M H= Φ γ Как отмечалось выше, для всех типов ВДМ в различных АФМ этот поток равен нулю, так что эти гироскопиче- ские слагаемые не приводят к появлению гироскопиче- ской силы в уравнениях движения координаты солитона. Для конкретного случая АФМ в магнитном поле zH=H e значение фиктивного магнитного поля ( )B θ,ϕ = 2 cos ,H= θ и величина HG G= (46) принимает вид 0 0 0 0 4 sin cosH ex HM G d H π = θ θ θ γ ∫ (47) Если, как в случае скирмиона, интегрирование про- водится от 0θ = до ,θ = π величина 0,HG = в соот- ветствии с общим свойством АФМ tot 0.Φ = Поэтому динамика скирмиона является лоренц-инвариантной. Для малых скоростей координата солитона любого типа, как магнонной капли, так и скирмиона, подчиня- ется обычному уравнению Ньютона, где эффективная масса 2 * 0 / .m E c= Недавно ньютоновское уравнение движения было выведено для скирмиона в АФМ при наличии магнитного поля, диссипации и спиновой на- качки [96]. Перейдем к анализу АФМ вихрей (см. рис. 3). Их статические свойства понятны, но при описании дина- мики как поступательного движения, так и прецессии возникают проблемы. Во-первых, напомним, что основ- ному состоянию легкоплоскостного АФМ ( /2)θ = π от- вечает определенное значение намагниченности M = 0 ex2 / ,HM H= и любое отклонение от этого значения M приводит к проигрышу в энергии, пропорциональ- ному размеру образца. При наличии глобальной прецес- сии вида (42) значение H в этой формуле заменяется на / ,H − ω γ что приводит к изменению состояния вдали от 806 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Динамические солитоны в антиферромагнетиках вихря и потере локализации вихря. Поэтому для описа- ния вихря в уравнении (42) надо положить 0.ω = Это же обстоятельство исключает возможность использова- ние переменной Htϕ = ϕ − γ и, соответственно, переход к лоренц-инвариантной динамике спинов при ненуле- вом поле. Поэтому динамика вихрей в нулевом поле и при 0H ≠ принципиально различается. В нулевом поле динамика АФМ вихря лоренц-ин- вариантна, и его энергия E, скорость v и импульс P связаны соотношениями 0 2 2 cE E c = − v , 0 2 2 E c c = − v P v , или 2 2 2 0E E c P= + , где | |, | |P = =P vv , и 0E — энергия неподвижного вихря. Энергия вихря характеризуется стандартной логорифмической зависимостью от размера системы. Энергия минимальна при 1q = , 0 0ln ( / ),E A S r= π η где S — площадь АФМ и численный множитель 2,34η ≈ для простейшего типа анизотропии, при про- извольном q энергия вихря равна 2 0.q E Если же присутствует магнитное поле, динамика вихря более сложная. Для ферромагнетика аналитиче- ское решение для движущегося вихря неизвестно. В АФМ может быть построено формальное решение, включающее вихрь, движущийся с любой скоростью c<v [97]: 2 0 0, / , ( )q H c rϕ = ϕ + χ + ⋅ = γ θ = θ β′ ′k r k v , (48) где 2 2 2 01 ,k rβ = − ,x y′ ′ — лоренц-преобразованные координаты в плоскости АФМ, 2 2 2( ) ( ) ( ) ,r x y= +′ ′ ′ tg /y xχ =′ ′ ′ (например, 2 2/ ,1 /x x c=′ − v y y=′ при движении вдоль оси x). Этому решению можно придать интересный физический смысл, если заметить, что плотность импульса (0)P для АФМ во внешнем поле может иметь конечную плотность 0p , которая равна 2 0 ex(4 / )sin ,M H Hγ θ∇ϕ см. (16). Таким образом, реше- ние (48) описывает вихрь, движущийся на фоне «сверх- текучего течения»; о концепции спиновой сверхтекуче- сти см. работы [98–101]. Однако при рассмотрении вихря, движущегося в АФМ, находящемся в основном состоянии 0/2, const,θ = π ϕ = ϕ = решение (48) дает энергию, пропорциональную площади АФМ. Невозможность поступательного движения вихря с постоянной скоростью v в АФМ при наличии магнит- ного поля объясняется просто: для АФМ вихрей появля- ется ненулевое значение гироскопической силы. Дейст- вительно, для вихря интеграл в (47) вычисляется только по половине сферы 2 1=l (верхней или нижней полу- сфере этой сферы). Поэтому при 0H ≠ отлично от нуля значение гироконстанты, для вихря 0 ex2 / .HG HM H= π γ Здесь снова проявляется принципиальное различие ди- намики топологических солитонов в АФМ и ферромаг- нетиках. Для ферромагнетиков гиросила является «адди- тивной» величиной и определяется π2-топологическим зарядом Q, 02 / .FMG QM= π γ Знак гиросилы совпадает со знаком Q, и для скирмиона модуль гиросилы в два раза больше, чем для вихря. Для АФМ такого универ- сального соответствия между топологией и гироскопи- ческой динамикой нет. В случае АФМ в магнитном поле для вихря (полуцелое значение Q) гиросила присутству- ет, а для скирмиона (целое значение Q) равна нулю, знак гиросилы не зависит от знака Q. В завершение этого раздела уместно заметить, что для всех видов ВДМ, которые известны в АФМ, нену- левое «фиктивное поле» ( , )B θ ϕ зависит от ϕ , ( , ) sin( ),B nθ ϕ ∝ ϕ где n — целое число, см. детальнее следующий раздел. Поэтому в формуле (46) для гиро- константы интеграл по ϕ обращается в нуль. Таким образом, в отличие от магнитного поля, ВДМ не при- водит к появлению гиросилы ни для вихрей, ни для скирмионов. Надо заметить, что этот результат полу- чен в приближении сигма-модели, и нельзя исключить появление гиросилы при выходе за ее рамки [102,103]. Однако даже если эта гиросила появится, ее значение должно содержать следующие степени малых пара- метров ex/DH H или ex/ ,aH H т.е. быть еще меньше, чем ожидаемое значение 0 ex~ / .DMI DG H M Hγ Заметим также, что чисто статические скирмионы нестабильны относительно коллапса для любой модели АФМ вида (3), содержащей только квадраты градиентов и энергию анизотропии. Стабилизация скирмионов воз- можна при различных обобщениях этой модели, напри- мер, при учете старших степеней градиентов, инвариан- тов Лифшица, линейных по градиентам и/или магнит- ного дипольного взаимодействия, см. обзор этой проблемы в недавних работах [104,105]. Вихри метаста- бильны за счет их нетривиальной топологии, но обычно Рис. 3. (Онлайн в цвете) Магнитная структура вихря в анти- ферромагнетике со слабым ферромагнетизмом (схематически). Векторы l (тонкие синие стрелки) и M (короткие толстые красные стрелки, лежащие в плоскости xy) представлены для двух расстояний от центра вихря; в области ядра (штриховая окружность) и вдали от него (окружность из точек); кружок в центре вихря указывает состояние с l, перпендикулярным плоскости, и M = 0. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 807 Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов рассматриваются как энергетически невыгодные со- стояния. Однако в малых частицах АФМ со слабым ферромагнетизмом типа бората железа или гематита магнитные вихри могут реализовать основное состояние за счет замыкания магнитного потока. При этом, в отли- чие от вихрей в малых частицах ферромагнетиков, в АФМ для любой формы тела вращения реализуется со- стояние с нулевым размагничивающим полем mH [106], см. рис. 3. Поэтому, несмотря на то, что магнит- ный момент ферромагнетика значительно больше, чем для АФМ, вихревое состояние в АФМ может быть вы- годным для частицы достаточно малого (субмикрон- ного) размера. 6. Эффекты понижения динамической симметрии АФМ и структура солитонов Рассмотрение в предыдущих разделах в значитель- ной мере базировалось на использовании высокой симметрии проблемы, в частности, сохранении полной z-проекции намагниченности АФМ. Однако для реаль- ных магнетиков, даже имеющих одноосную симмет- рию (главная ось n-го порядка nC с 2)n > всегда при- сутствует анизотропия в базисной плоскости. При ее учете точные прецессионные решения отсутствуют (анализ приближенных решений см. в недавней работе [107]). Однако могут существовать движущиеся соли- тоны типа доменных стенок (ДС). Их свойства (не только динамика поступательного движения, но и ус- тойчивость стенок со скоростью v = 0) существенно отличаются от тех, что имеют место для стенок в фер- ромагнетиках. Движущиеся ДС описываются решениями типа простых волн, в которых ( ).x t= −l l v Несмотря на то, что точная лоренц-инвариантность уравнений может быть нарушена, удобно перейти к переменной ξ = 2 2 1/2( )(1 / ) .x t c −= − −v v При этом уравнения (12), (13) для θ и ϕ принимают вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2( ) sin cos aw A A ∂ θ − ϕ θ θ − +′′ ′ ∂θ 0 2 2 ex 2 ( , )sin 0 (1 / ) M B H c + ϕ θ ϕ θ = ,′ γ − v v (49) 2 0 2 2 ex 2 ( sin ) ( , )sin 0. (1 / ) aw vM A B H c ∂ ϕ θ − − θ θ ϕ θ =′ ′ ′ ∂ϕ γ − v (50) где штрихом обозначена производная по .ξ Найти ре- шение этой системы для произвольных ( , )aw θ ϕ и ( , )B θ ϕ не всегда возможно, так как требует анализа динамической системы в четырехмерном фазовом про- странстве. Важные результаты в области анализа по- добных систем получены Елеонским с соавторами [108–111]. Если решение найдено, можно вычислить интегралы движения, энергию T + W и импульс доменной стенки. Здесь нужно отметить, что для импульса стенки в пол- ной мере проявляется неоднозначность определения P(0), связанная с проблемой выбора калибровки (см. разд. 3). Однако существует важное свойство импульса ДС: раз- ность величин P(0) для двух различных стенок является калибровочно-инвариантной величиной. Поскольку ве- личину (0)P можно записать как ( )( / ) ,x dx ∞ −∞ ∂ ∂∫ A l l где A — введенный в разд. 3 фиктивный вектор-потенциал, то величина (0)P — интеграл ( )d∫ A l l по траектории, описывающей ДС (см. рис. 4). Разность импульсов для двух различных ДС, 1P и 2P , определяется интегралом по замкнутому контуру 2 1 ( )P P P d∆ = − = ∫ A l l  . По тео- реме Стокса этот интеграл равен потоку фиктивного по- ля B через область, ограниченную этими двумя траек- ториями, т.е. P∆ — калибровочно-инвариантная величина. С учетом (9) эта величина определяется инте- гралом по участку сферы: ( , ) sinP B d d∆ = θ ϕ θ θ ϕ∫ . (51) Для ферромагнетика A — вектор-потенциал поля монополя Дирака, rot / ,S a=mA m что приводит к появлению периодической зависимости энергии кинка от его импульса, для одномерного магнетика (цепочки спинов) этот период равен 2 /S aπ . Периодическая зависимость возникает и для многих других солитон- Рис. 4. Траектории на сфере l2 = 1 (направление движения указано стрелками), отвечающие двум различным ДС с ϕ0 = 0 и ϕ0 = π/2; цифрами обозначены оси магнетика, ось 3 — легкая ось. Интеграл по затененной области определяет разность им- пульсов этих ДС, см. текст. 808 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Динамические солитоны в антиферромагнетиках ных задач, см. обзор А.М. Косевича [112]. Еще один эффект наличия (0)P состоит в том, что выгодная и невыгодная покоящиеся ДС (например, две стенки на рис. 4) имеют различные импульсы. Поэтому неустой- чивость невыгодной стенки относительно перехода в выгодную в одномерном ферромагнетике не реализу- ется в силу закона сохранения импульса. Для любого АФМ полный поток фиктивного поля ( , )B θ ϕ равен нулю, и периодическая зависимость возникнуть не может. Если для обеих стенок с разными энергиями (0) 0,P = то невыгодная стенка неустойчива [91]. Од- нако для ДС в некоторых АФМ (0) 0,P ≠ что приводит к интересным эффектам. Выписанные выше уравнения (49), (50) отличаются от стандартных лоренц-инвариантных наличием сла- гаемых с производными по ξ , пропорциональных функции ( , )B θ ϕ . Именно эти слагаемые, зависящие от скорости v, определяют особенности динамики кинков. Если в неком магнетике ( , )B θ ϕ тождественно равняет- ся нулю, то динамика ДС любого типа была бы «ло- ренц-инвариантна» и при любой скорости v ее структу- ра может быть получена из формул, описывающих решение при 0=v путем преобразования Лоренца. Ре- шение при 0=v находится без труда, если ему отве- чает ( ),θ = θ ξ 0 const,ϕ = ϕ = где 0ϕ определяется со- отношением 0 0( , )/ 0.aw∂ θ ϕ ∂ϕ = При этом приходится решать только одно уравнение для ( ),θ ξ для которого известен первый интеграл 2 0( ) /2 ( , ) const .aA wθ − θ ϕ =′ В случае ( , ) 0D θ ϕ = легко решается вопрос и об ус- тойчивости ДС: при любой скорости движения c<v ДС устойчива или неустойчива при 2 2 0/ 0aw∂ ∂ϕ > или 2 2 0/ 0aw∂ ∂ϕ < соответственно [91]. Если же ( , )D θ ϕ не равно нулю тождественно (а мы убедились, что ( , ) 0D θ ϕ ≠ для всех магнетиков, допускающих ВДМ), то простого решения ( ),θ = θ ξ 0 constϕ = ϕ = при 0≠v может и не быть. В этом случае как анализ структуры кинка при 0,≠v так и исследование его устойчивости становится нетривиальной задачей. Однако достаточно полный анализ может быть про- веден (или точно, или с учетом малого параметра ( ) ex/ )DH H практически во всех интересных случаях. Ниже мы продемонстрируем это на конкретных при- мерах, а сейчас рассмотрим простейший (лоренц-инва- риантный) случай динамики кинков в АФМ. Вначале рассмотрим самую простую ситуацию, ко- гда магнитное поле и взаимодействие Дзялошинского– Мория отсутствует. Будем считать, что АФМ имеет ромбическую симметрию, и запишем энергию анизо- тропии в виде 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ), 0 2aW K l K l K K= + > > . (52) Такой выбор констант отвечает ориентации вектора l в основном состоянии вдоль оси 3. Уравнения движения для ,θ ϕ в этом случае легко выписать и решить. Они имеют два частных класса решений, обоим отвечает ( )θ = θ ξ и постоянное значение ϕ , 0 0ϕ = и /2π (точ- нее, nπ и ( /2)(2 1),nπ + где n — целое число). Решения для двух классов ДС имеют стандартный вид 0 0cos th[ / ( )] ,x xθ = ± ϕ где 0 ( ) ,/ ( )x A Kϕ = ϕ ( )K ϕ = 2 2 1 2cos sin ,K K= ϕ + ϕ для двух отмеченных классов решений ( 0,ϕ = π или /2)ϕ = ±π 1( )K Kϕ = и 2( )K Kϕ = соответственно. Энергия неподвижной стенки 0 2 .( )E AK= ϕ Связь энергии, импульса и скорости лоренц-инвариантная. Из этих двух типов стенок устой- чива только та, которой отвечает меньшая энергия. Для АФМ с легкой осью n-го порядка nC при 4n = или 6 анизотропия в базисной плоскости имеет вид 2( / )sin sin ( /2),n nK n nθ ϕ при этом есть два типа ДС, но существует большее число ДС для каждого типа. Рассмотрим теперь эффекты разрушения лоренц- инвариантности. Гироскопическое слагаемое при ( , )B θ ϕ определяет динамическое понижение симметрии задачи за счет ВДМ. Его вид зависит от четности оси .nC Ан- тисимметричная форма ВДМ с ( )D DBH= ×H d l ха- рактерна для всех одноосных АФМ с четной главной осью ( ) ,nC + в этом случае вектор d параллелен из- бранной оси АФМ (оси 3). Этот тип ВДМ дает ( , ) 0.B θ ϕ = Однако во всех одноосных АФМ с осью ( ) nC + в ВДМ обязательно присутствуют другие слагае- мые, которые приводят к гироскопическим членам с ( , ) 0,B θ ϕ ≠ см. таблицы в работах [73,74]. Для АФМ с четной главной осью ( ) ,nC + 2, 4n = и 6, эти слагаемые приводят к появлению ненулевого ( , ) sin sin .nB nθ ϕ ∝ θ ϕ Если же главная ось ( ) nC − нечетная с 2, 4, 6,n = то такой универсальности нет. Для фторида марганца MnF2, который обладает не- четной осью 4-го порядка, 2( , ) sin sin 2 .B θ ϕ ∝ θ ϕ Для АФМ с нечетной главной осью ( ) nC − при 2n = и 6 форма ( , )B θ ϕ другая, /2( , ) sin cos sin( /2).nB nθ ϕ ∝ θ θ ϕ Важно отметить различия в поведении функции ( , )B θ ϕ как функции ξ . Для всех АФМ с четной главной осью ( ) nC + , а также для 2MnF с осью ( ) 4 ,C − функция 0( , )B θ ϕ является четной функцией ξ . Для АФМ с нечетными осями ( ) 2C − или ( ) 6C − функция 0( , )B θ ϕ является нечетной функцией .ξ Это различие опреде- ляет характер понижения симметрии движущихся ДС. Хороший пример АФМ с ВДМ — двухосные АФМ, ортоферриты, в которых статические ДС и их движе- ние наблюдалось экспериментально, как традицион- ными методами [36,37], так и с применением фемтосе- кундных лазерных импульсов [113,114]. Для ортофер- ритов кристаллографические оси a и c являются нечетными, а ось b — четной (см., например, [60]). При комнатной температуре для всех ортоферритов реализуется состояние с 0=l l , параллельным оси a, и магнитным моментом 0 ex| | / ,DH H=M параллельным оси c. Для этой фазы ( , ) sin cos sinB θ ϕ ∝ θ θ ϕ . При комнатной температуре в более выгодной ДС и вектор l , и момент ( )ξM разворачиваются в плоскости ac. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 809 Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов Для ортоферрита диспрозия при 155T < К анизотро- пия в плоскости изменяет знак и более выгодной ста- новится ДС, в которой вектор l разворачиваются в плоскости ab [115]. Для такой ДС момент ( )ξM обра- щается в нуль в центре стенки (при 0).ξ = Для ортоферрита диспрозия ниже точки Морина ( ~MT T< 40 К) реализуется другая фаза, в которой 0l параллельно четной оси b, при этом в основном состоя- нии 0 0=M и при анализе динамики ДС надо выбрать 2( , ) sin sin 2B θ ϕ = θ ϕ . Для обеих ДС в этой фазе в цен- тре стенки возникает магнитный момент, ортогональ- ный вектору (0).l Для описания поведения движущихся ДС важна сим- метрийная классификация стенок в АФМ, предложенная в работе [116]. Согласно этому подходу, при движении ДС ее симметрия может или понижаться, или оставаться такой же, как была при 0=v . В последнем случае будем говорить о кинематической ДС (КДС). Понижение сим- метрии возможно даже при том, что вектор l разворачи- вается в той же плоскости, что и при 0=v . При этом за счет появления динамической намагниченности возни- кают ДС с потерей центра симметрии (ДСПЦ). Наконец, движение может приводить к выходу вектора l из плос- кости, характерной для 0=v . Этот выход может описы- ваться или симметричной, или антисимметричной функ- цией координаты ,ξ и в этих случаях стенки естественно называть ДС с симметричным или антисимметричным выходом, ДССВ или ДСАВ соответственно. Оказалось, что существуют только три типа поведе- ния ДС в данной фазе АФМ (например, ДС со значе- ниями 0,ϕ = π или /2ϕ = ±π в двухосном АФМ) [74]. Наиболее наглядным является представление результа- тов анализа через зависимости энергий стенок от их импульсов. Анализ показал, что в АФМ с четной глав- ной осью ДС обоих типов являются кинематическими [74]. Если же главная ось нечетная, то возможны два варианта поведения. Для АФМ типа 2MnF с осью ( ) 4C − при 0=v допустимы значения 0 ( /4) ,kϕ = π и ДС с четным и нечетным k имеют различные энергии. В этом случае при 0≠v стенки с четным 2k n= являют- ся КДС, а с нечетным k — ДССВ, в которых с хорошей точностью можно считать, что ( ) const.ϕ = ϕ =v Для ДССВ (0) 0P ≠ , что приводит к эффекту связи поступа- тельного движения стенки и прецессии в ней [107]. Знак величины 0( )ϕ − ϕv зависит от знака скорости, и ( )ϕ v стремится к одному из значений 0 /2nϕ = π при c→ ±v v , где cv — придельная скорость движения стенки, которая мала по сравнению с c [74]. При c= ±v v значения импульса cP P= ± . Как энергии ДССВ и КДС, так и их производные ( )/dE P dP=v сов- падают при cP P= ± , т.е. картина зависимости ( )E P или ( )ϕ v такая же, как для свободной энергии или па- раметра порядка для фазового перехода второго рода (см. рис. 5). Этот факт не удивителен, поскольку сим- метрия ДССВ с ( ) /2kϕ ≠ πv ниже, чем КДС, и можно считать, что эти два состояния ДС связаны подгруппо- вой связью. Для АФМ с нечетными осями ( ) 2C − или ( ) 6C − все- гда реализуются или ДСПЦ, или ДСАВ. С увеличени- ем скорости ДСПЦ всегда дестабилизируется, а ДСАВ не теряет устойчивости. Поэтому если при 0=v ус- тойчива ДСПЦ (это случай реализуется для DyFeO при T < 155 К), при увеличении скорости она переходит в ДСАВ. Симметрии этих стенок не связаны подгруппо- вой связью, и картина перехода напоминает картину фазового перехода первого рода с сосуществованием стенок двух типов около cP P= ± [74]. 7. Заключение В рамках этого небольшого обзора трудно описать огромное количество результатов, которые были полу- чены за последние годы и десятилетия. Мы ограничи- лись только случаем антиферромагнетиков, хотя и для других магнетиков сейчас найдены интересные соли- тонные состояния. Но мы надеемся, что даже такое краткое обсуждение позволит заинтересованному чи- тателю увидеть красоту концепции магнитных солито- нов и ее практическую полезность. Нам хотелось бы посвятить эту работу светлой па- мяти Арнольда Марковича Косевича. ________ 1. A.M. Kosevich, B.A. Ivanov, and A.S. Kovalev, Physica D 3, 363 (1981). 2. А.М. Косевич, Б.А. Иванов, А.С. Ковалев. Нелинейные волны намагниченности, Динамические и топологи- ческие солитоны, Киев, Наукова думка (1983). 3. A.M. Kosevich, B.A. Ivanov, and A.S. Kovalev, Phys. Rep. 194, 117 (1990). 4. H.J. Mikeska and M Steiner, Adv. Phys. 40, 191 (1991). 5. C.E. Zaspel and J.E. Drumheller, Int. J. Mod. Phys. B 10, 3649 (1996). Рис. 5. Зависимость энергии ДС от ее импульса для АФМ c главной осью ( ) 4C − [74]. 810 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 https://doi.org/10.1016/0167-2789(81)90140-8 https://doi.org/10.1016/0167-2789(81)90140-8 Динамические солитоны в антиферромагнетиках 6. А.Б. Борисов, В.В. Киселев, Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках, в двух томах, УроРАН, Екатеринбург (2009). 7. H.J. Bethe, Z. Phys. 71, 205 (1931). 8. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, К теории магнитной проницаемости ферромагнитных тел, cм. Л.Д. Ландау, Собрание трудов (в двух томах), Наука, Москва (1972), т. I, с. 128. 9. А. Малоземов, Дж. Слонзуски, Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами, Мир, Москва (1982) [A.P. Malozemoff and J.C. Slonczewski, Magnetic domain walls in bubble materials, Academic Press, New York (1981)]. 10. В.Г. Барьяхтар, В.В. Ганн, Ю.И. Горобец, Г.А. Смоленский, Б.Н. Филиппов, УФН 121, 593 (1977). 11. И.А. Ахиезер, А.Е. Боровик, ЖЭТФ 52, 508 (1967). 12. И.А. Ахиезер, А.Е. Боровик, ЖЭТФ 52, 1332 (1967). 13. А.А. Белавин, А.М. Поляков, Письма в ЖЭТФ 22, 503 (1975). 14. Б.А. Иванов, А.М. Косевич, ФНТ 2, 786 (1976) [Low Temp. Phys. 2, 387 (1976)]. 15. Б.А. Иванов, А.М. Косевич, Письма в ЖЭТФ 24, 495 (1976). 16. Б.А. Иванов, А.М. Косевич, ЖЭТФ 72, 2000 (1977). 17. А.М. Косевич, Б.А. Иванов, А.С.Ковалев, Письма в ЖЭТФ 25, 516 (1977). 18. А.М. Косевич, Б.А. Иванов, А.С. Ковалев, ФНТ 3, 906 (1977) [Sov. J. Low Temp. Phys. 3, 440 (1977)]. 19. H.J. Mikeska, J. Phys. C: Solid State Phys. 11, L29 (1978). 20. H.J. Mikeska, J. Phys. C: Solid State Phys. 13, 2913 (1980). 21. А.С. Ковалев, А.М. Косевич, К.В. Маслов, Письма в ЖЭТФ 30, 321 (1979). 22. В.М. Елеонский, Н.Н. Кирова, Н.Е. Кулагин, ЖЭТФ 74, 1814 (1978). 23. Б.А. Иванов, А.М. Косевич, И.В. Манжос, ФНТ 5, 170 (1979) [Sov. J. Low Temp. Phys. 5, 81 (1979)]. 24. И.Е. Дзялошинский, Б.А. Иванов, Письма в ЖЭТФ 29, 592 (1979). 25. Б.А. Иванов, А.М. Косевич, И.М. Бабич, Письма в ЖЭТФ 29, 777 (1979). 26. В.М. Елеонский, Н.Н. Кирова, Н.Е. Кулагин, ЖЭТФ 71, 2349 (1976). 27. В.М. Елеонский, Н.Н. Кирова, Н.Е. Кулагин, ЖЭТФ 77, 409 (1979). 28. В.М. Елеонский, Н.Н. Кирова, Н.Е. Кулагин, Письма в ЖЭТФ 29, 601 (1979). 29. И.В. Барьяхтар, Б.А. Иванов, ФНТ 5, 759 (1979) [Sov. J. Low Temp. Phys. 5, 361 (1979)]. 30. Г.Е. Воловик, В.П. Минеев, ЖЭТФ 72, 2256 (1977). 31. Г.Е. Воловик, В.П. Минеев, ЖЭТФ 73, 767 (1977). 32. D. Mermin, Rev. Mod. Phys. 51, 591 (1979). 33. М.В. Четкин, А. Де ла Кампа, Письма в ЖЭТФ 27, 168 (1978). 34. В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, А.Л. Сукстанский, Письма в ЖЭТФ 27, 226 (1978). 35. А.К. 3вездин, Письма в ЖЭТФ 29, 605 (1979). 36. В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, М.В. Четкин, УФН 146, 417 (1985). [Sov. Phys. Usp. 28, 563 (1985)]. 37. V.G. Bar’yakhtar, M.V. Chetkin, B.A. Ivanov, and S.N. Gadetskii, Dynamics of Topological Magnetic Solitons. Experi- ment and Theory, Tracts in Modern Physics, Springer Verlag (1994), v. 129. 38. И.Е. Дзялошинский, Письма в ЖЭТФ 25, 110 (1977). 39. А.С. Ковалев, А.М. Косевич, ФНТ 3, 259 (1977) [Sov. J. Low Temp. Phys. 3, 125 (1977)]. 40. A.M. Kosevich, A.S. Kovalev, Solid. State Commun. 12, 763 (1973). 41. А.М. Косевич, А.С. Ковалев, ЖЭТФ 67, 1793 (1974). 42. А.М. Косевич, Дислокации в теории упругости, Наукова Думка, Киев (1978). 43. R. Skomski, J. Phys.: Condens. Matter 15, R841 (2003). 44. W. Wernsdorfer, Adv. Chem. Phys. 118, 99 (2001). 45. Advanced Magnetic Nanostructures, D.J. Sellmyer and R. Skomski (eds.), Springer, Berlin (2006). 46. S.D. Bader and S.S.P. Parkin, Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 1, 71 (2010). 47. D.C. Ralph and M.D. Stiles, J. Magn. Magn. Mater. 320, 1190 (2008). 48. A.V. Chumak, V.I. Vasyuchka, A.A. Serga, and B. Hillebrands, Nat. Phys. 11, 453 (2015). 49. V.S. Pribiag, I.N. Krivorotov, G.D. Fuchs, P.M. Braganca, O. Ozatay, J.C. Sankey, D.C. Ralph, and R.A. Buhrman, Nat. Phys. 3, 498 (2007). 50. B.A. Ivanov and C.E. Zaspel, Phys. Rev. Lett. 99, 247208 (2007). 51. A.V. Khvalkovskiy, J. Grollier, A. Dussaux, K.A. Zvezdin, and V. Cros, Phys. Rev. B 80, 140401(R) (2009). 52. M.A. Hoefer, M. Sommacal, and T.J. Silva, Phys. Rev. B 85, 214433 (2012). 53. S.M. Mohseni, S.R. Sani, J. Persson, T.N.A. Nguyen, S. Chung, Y. Pogoryelov, P.K. Muduli, E. Iacocca, A. Eklund, R.K. Dumas, S. Bonetti, A. Deac, M.A. Hoefer, and J. Akerman, Science 339, 1295 (2013). 54. E. Iacocca, R.K. Dumas, L. Bookman, M. Mohseni, S. Chung, M.A. Hoefer, and J. Åkerman, Phys. Rev. Lett. 112, 047201 (2014). 55. Y. Zhou, E. Iacocca, A.A. Awad, R.K. Dumas, F.C. Zhang, H.B. Braun, and J. Akerman, Nat. Commun. 6, 8193 (2015); Phys. Rev. Lett. 112, 047201 (2014). 56. A. Kirilyuk, A.V. Kimel, and Th. Rasing, Rev. Mod. Phys. 82, 2731 (2010). 57. Б.А. Иванов, ФНТ 40, 119 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 91 (2014)]. 58. T. Satoh, R. Iida, T. Higuchi, Y. Fujii, A. Koreeda, H. Ueda, T. Shimura, K. Kuroda, V.I. Butrim, and B.A. Ivanov, Nat. Commun. 8, 638 (2017). 59. D. Bossini, S. Dal Conte, Y. Hashimoto, A. Secchi, R.V. Pisarev, Th. Rasing, G. Cerullo, and A.V. Kimel, Nat. Commun. 7, 10645 (2016). 60. Е.А. Туров, А.В. Колчанов, В.В. Меньшенин, И.Ф. Мирсаев, В.В. Николаев, Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков, Физматлит, Москва Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 811 https://journals.jps.jp/doi/10.1143/JPSJ.64.2837 http://www.itp.ac.ru/ru/publications/1977 http://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0146.198507b.0417 http://dx.doi.org/10.1070/PU1985v028n07ABEH003871 http://dx.doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-070909-104123 http://dx.doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-070909-104123 http://dx.doi.org/10.1016/j.jmmm.2007.12.019 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.85.214433 http://dx.doi.org/10.1126/science.1230155 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.112.047201 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.112.047201 http://dx.doi.org/10.1038/s41467-017-00616-2 http://dx.doi.org/10.1038/s41467-017-00616-2 http://dx.doi.org/10.1038/ncomms10645 http://dx.doi.org/10.1038/ncomms10645 Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов (2001) [E.A. Turov, A.V. Kolchanov, M.I. Kurkin, I.F. Mirsaev, and V.V. Nikolaev, Symmetry and Physical Properties of Antiferromagnets, Cambridge International Science Publishing, Ltd (2010)]. 61. A.V. Kimel, B.A. Ivanov, R.V. Pisarev, P.A. Usachev, A. Kirilyuk, and Th. Rasing, Nature Phys. 5, 727 (2009). 62. C. Sirtori, Nature 417, 132 (2002). 63. R. Kleiner, Science 318, 1254 (2007). 64. Y.V. Gulyaev, P.E. Zilberman, G.M. Mikhailov, and S.G. Chigarev, JETP Lett. 98, 742 (2014). 65. H.V. Gomonay, and V.M. Loktev, Phys. Rev. B 81, 144427 (2010). 66. Е.В. Гомонай, В.М. Локтев, ФНТ 40, 22 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 17 (2014)]. 67. R. Cheng, D. Xiao, and A. Brataas, Phys. Rev. Lett. 116, 207603 (2016). 68. R. Khymyn, I. Lisenkov, V. Tyberkevych, B.A. Ivanov, and A. Slavin, Sci. Rep. 7, 43705 (2017). 69. O.R. Sulymenko, O.V. Prokopenko, V.S. Tiberkevich, A.N. Slavin, B.A. Ivanov, and R. Khymyn, Phys. Rev. Appl. 8, 064007 (2017). 70. I.E. Dzyaloshinskii, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 32, 1547 (1957) [Sov. Phys. JETP 5, 1259 (1957)]. 71. T. Moriya, Phys. Rev. 120, 91 (1960). 72. Б.А. Иванов, Б.А. Колежук, ФНТ 21, 355 (1995) [Low Temp. Phys. 21, 275 (1995)]. 73. Б.А. Иванов, В.Е. Киреев, ЖЭТФ 121, 320 (2002). 74. Е.В. Гомонай, Б.А. Иванов, В.А. Львов, Г.К. Оксюк, ЖЭТФ 97, 307 (1990) [Sov. Phys. JETP 70, 174 (1990).] 75. J.C. Slonczewski, J. Appl. Phys. 44, 1759 (1973). 76. A.A. Thiele, J. Appl. Phys. 47, 2759 (1976). 77. F.D.M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 57, 1488 (1986). 78. B.A. Ivanov and V.A. Stephanovich, Phys. Lett. A 141, 89 (1989). 79. G.E. Volovik, J. Phys. C 20, L83 (1987). 80. N. Papanicolaou and T.N. Tomaras, Nucl. Phys. B 360, 425 (1991). 81. E.G. Galkina and B.A. Ivanov, JETP Lett. 71, 259 (2000). 82. D.D. Sheka, J. Phys. A 39, 15477 (2006). 83. E.G. Galkina, B.A. Ivanov, S. Savel'ev, and F. Nori, Phys. Rev. B 77, 134425 (2008). 84. C. Schütte and M. Garst, Phys. Rev. B 90, 094423 (2014). 85. Oleg Tchernyshyov, Ann. Phys. (N. Y.) 363, 98 (2015). 86. И.Ε. Дзялошинский, Б.Г. Кухapeнко, ЖЭТФ 70, 2360 (1976). 87. А.Ф. Αндрeeв, ЖЭТФ 74, 786 (1978). 88. А.Ф. Андреев, В.И. Марченко, УФН 130, 39 (1980). 89. И.В. Барьяхтар, Б.А. Иванов, ЖЭТФ 85, 328 (1983). 90. B.A. Ivanov and V.A. Stefanovich, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 91, 638 (1986) [Sov. Phys. JETP 64, 376 (1986)]. 91. В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, А.Л. Сукстанский, ЖЭТФ 78, 1509 (1980). 92. Б.А. Иванов, ФНТ 31, 841 (2005) [Low Temp. Phys. 31, 635 (2005)]. 93. B.A. Ivanov and A.K. Kolezhuk, Phys. Rev. Lett. 74, 1859 (1995). 94. М.М. Богдан, О.В. Чаркина, ФНТ 40, 105 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 84 (2014)]. 95. Se Kwon Kim, Y. Tserkovnyak, and O. Tchernyshyov, Phys. Rev. B 90, 104406 (2014). 96. H. Velkov, O. Gomonay, M. Beens, G. Schwiete, A. Brataas, J. Sinova, and R.A. Duine, New J. Phys. 18, 075016 (2016). 97. B.A. Ivanov and D.D. Sheka, Phys. Rev. Lett. 72, 404 (1994). 98. B.I. Halperin and P.C. Hohenberg, Phys. Rev. 188, 898 (1969). 99. Э.Б. Сонин, ЖЭТФ 74, 2097 (1978) [Sov. Phys. JETP 47, 1091 (1978)]. 100. Y. Tserkovnyak, A. Brataas, G.E.W. Bauer, and B.I. Halperin, Rev. Mod. Phys. 77, 1375 (2005). 101. E.B. Sonin, Adv. Phys. 59, 181 (2010). 102. А.К. Звездин, В.И. Белотелов, К.А. Звездин, Письма в ЖЭТФ 87, 443 (2008). 103. А.К. Звездин, К.А. Звездин, ФНТ 36, 1034 (2010) [Low Temp. Phys. 36, 826 (2010)]. 104. M. Schott, A. Bernand-Mantel, L. Ranno, S. Pizzini, J. Vogel, H. Béa, C. Baraduc, S. Auffret, G. Gaudin, and D. Givord, Nano Lett. 17, 3006 (2017). 105. A.V. Bezvershenko, A.K. Kolezhuk, and B.A. Ivanov, Phys. Rev. B 97, 054408 (2018). 106. E.G. Galkina, A.Yu. Galkin, B.A. Ivanov, and Franco Nori, Phys. Rev. B 81, 184413 (2010). 107. Е.Г. Галкина, Р.В. Овчаров, Б.А. Иванов, ФНТ 43, 1609 (2017) [Low Temp. Phys. 43, 1283 (2017)]. 108. В.М. Елеонский, Н.Н. Кирова, Н.Е. Кулагин, ЖЭТФ 79, 321 (1980). 109. В.М. Елеонский, Н.Н. Кирова, Н.Е. Кулагин, ЖЭТФ 80, 357 (1981). 110. В.М. Елеонский, Н.Е. Кулагин, ЖЭТФ 84, 616 (1983). 111. В.М. Елеонский, Н.Е. Кулагин, ЖЭТФ 85, 1437 (1983). 112. А.М. Косевич, ФНТ 27, 699 (2001) [Low Temp. Phys. 27, 513 (2001)]. 113. D. Afanasiev, B.A. Ivanov, A. Kirilyuk, Th. Rasing, R.V. Pisarev, and A.V. Kimel, Phys. Rev. Lett. 116, 097401 (2016). 114. D. Afanasiev, B.A. Ivanov, R.V. Pisarev, A. Kirilyuk, Th. Rasing, and A.V. Kimel, J. Phys.: Condens. Matter 29, 224003 (2017). 115. А.В. Залесский, А.М. Саввинов, И.С. Желудев, А.Н. Иващенко, ЖЭТФ 68,1449 (1975) [Sov. Phys. JETP 41, 723 (1975)]. 116. V.G. Bar'yakhtar, V.A. L'vov, and D.A. Yablonskii, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 87, 1863 (1984) [Sov. Phys. JETP 60, 1072 (1984)]. ___________________________ 812 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.81.144427 https://doi.org/10.1063/1.4862467 https://doi.org/10.1063/1.4862467 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.207603 http://dx.doi.org/10.1038/srep43705 http://dx.doi.org/10.1063/1.1662444 http://dx.doi.org/10.1063/1.323005 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.57.1488 http://dx.doi.org/10.1088/0022-3719/20/7/003 http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(91)90410-Y http://dx.doi.org/10.1134/1.568329 http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/50/012. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.90.094423 https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.90.104406 https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.90.104406 http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/18/7/075016 http://dx.doi.org/10.1080/00018731003739943 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.97.054408 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.97.054408 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.81.184413 Динамические солитоны в антиферромагнетиках Dynamic solitons in antiferromagnets (Review Article) E.G. Galkina and B.A. Ivanov The review of theoretical studies of magnetic solitons in antiferromagnets (AFM) is presented. The basic concepts of the physics AFM and of the soliton theory are given. An analysis of the nonlinear dynamics of an AFM is carried out on the unified ground with the use of a nonlinear sigma model for the antiferromagnet- ic vector. The derivation of this equation and its inte- grals of motion are discussed with accounting for the real structure of the AFM. The main attention is paid to the study of two-parametrical solitons, which are char- acterized by both the translational motion of the soliton center and the internal dynamics of spins inside the soliton. Solitons of various types, one-dimensional and two-dimensional, topological and not possessing a topo- logical charge, are considered. An analysis of the effects of the lowering of the dynamic symmetry of the AFM, which are due to the destruction of the Lorentz-invariant character of the sigma model, is made. Such effects arise when the Dzyaloshinsky–Moriya interaction and/or the strong external magnetic field are accounted for consistently. The last problem was never discussed in monographic literature. The classes of universality for the behavior of moving solitons are established. PACS: 75.50.Ee Antiferromagnetics; 75.76.+j Spin transport effects; 75.78.–n Magnetization dynamics. Keywords: antiferromagnets, antiferromagnetic vector, nonlinear sigma model, Dzyaloshinsky–Moriya inter- action, domain wall, AFM vortex, droplet soliton, skyrmion, terahertz magnons, spintronics, spin-torque oscillator. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 813 1. Введение 2. Антиферромагнетизм: основные понятия 3. Уравнения спиновой динамики антиферромагнетиков и их интегралы движения 4. Двухпараметрические солитоны в одноосных антиферромагнетиках 5. Двумерные топологические солитоны (вихри и скирмионы) в антиферромагнетиках 6. Эффекты понижения динамической симметрии АФМ и структура солитонов 7. Заключение

Схожі ресурси