Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры

Точно найден спектр локализованных возбуждений в анизотропном одномерном ферромагнетике, содержащем спиновый кластер произвольного размера, в рамках дискретной модели Такено–Хомма. Определены границы устойчивости спиновых нанокластеров в зависимости от их размеров, параметров обмена и анизотропии фе...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Физика низких температур
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Чаркина, О.В., Богдан, М.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Schlagworte:	Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176192
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры / О.В. Чаркина, М.М. Богдан // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 824-832. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176192
record_format	dspace
spelling	Чаркина, О.В. Богдан, М.М. 2021-02-04T07:04:25Z 2021-02-04T07:04:25Z 2018 Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры / О.В. Чаркина, М.М. Богдан // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 824-832. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.10.Pq, 75.60.Ch, 36.40.Cg, 05.45.Yv https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176192 Точно найден спектр локализованных возбуждений в анизотропном одномерном ферромагнетике, содержащем спиновый кластер произвольного размера, в рамках дискретной модели Такено–Хомма. Определены границы устойчивости спиновых нанокластеров в зависимости от их размеров, параметров обмена и анизотропии ферромагнетика. Решена задача рассеяния спиновых волн на нанокластере и получены явные аналитические выражения для их коэффициентов отражения и прохождения. Предложена модель метаматериала, состоящего из слабовзаимодействующих магнитных молекулярных нанокластеров, обладающая найденными динамическими свойствами. Точно знайдено спектр локалізованих збуджень в анізотропному одновимірному феромагнетику, що містить спіновий кластер довільного розміру, в рамках дискретної моделі Такено–Хомма. Визначено межі стійкості спінових нанокластерів в залежності від їх розмірів і параметрів обміну та анізотропії феромагнетика. Розв'язано задачу розсіювання спінових хвиль на нанокластері і отримано явні аналітичні вирази для їхніх коефіцієнтів відбиття та проходження. Запропоновано модель метаматеріала, що складається з слабковзаємодіючих магнітних молекулярних нанокластерів, яка має знайдені динамічні властивості. The spectrum of localized excitations in an anisotropic one-dimensional ferromagnet containing a spin cluster of arbitrary size is found exactly within the framework of the discrete Takeno–Homma model. The boundaries of stability of spin nanoclusters are determined in dependence of their size and the exchange and the anisotropy parameter of the ferromagnet. The problem of the spin wave scattering against nanoclusters is solved and explicit analytical expressions for their reflection and transmission coefficients are obtained. A model of a metamaterial consisting of weakly interacting magnetic molecular nanoclusters and possessing revealed dynamic properties is proposed. Работа поддержана ФФИ НАН Украины (грант № 1.4.10.26.4/Ф26-4) и НАН Украины (грант № 4/17–H) и выполнена с использованием вычислительных ресурсов грид-кластера ФТИНТ им. Б.И. Веркина НАН Украины. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры Localized excitations and scattering of spin waves in ferromagnetic chains containing magnetic clusters Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры
spellingShingle	Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры Чаркина, О.В. Богдан, М.М. Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны
title_short	Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры
title_full	Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры
title_fullStr	Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры
title_full_unstemmed	Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры
title_sort	локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры
author	Чаркина, О.В. Богдан, М.М.
author_facet	Чаркина, О.В. Богдан, М.М.
topic	Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны
topic_facet	Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. I. Динамические солитоны
publishDate	2018
language	Russian
container_title	Физика низких температур
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
format	Article
title_alt	Localized excitations and scattering of spin waves in ferromagnetic chains containing magnetic clusters
description	Точно найден спектр локализованных возбуждений в анизотропном одномерном ферромагнетике, содержащем спиновый кластер произвольного размера, в рамках дискретной модели Такено–Хомма. Определены границы устойчивости спиновых нанокластеров в зависимости от их размеров, параметров обмена и анизотропии ферромагнетика. Решена задача рассеяния спиновых волн на нанокластере и получены явные аналитические выражения для их коэффициентов отражения и прохождения. Предложена модель метаматериала, состоящего из слабовзаимодействующих магнитных молекулярных нанокластеров, обладающая найденными динамическими свойствами. Точно знайдено спектр локалізованих збуджень в анізотропному одновимірному феромагнетику, що містить спіновий кластер довільного розміру, в рамках дискретної моделі Такено–Хомма. Визначено межі стійкості спінових нанокластерів в залежності від їх розмірів і параметрів обміну та анізотропії феромагнетика. Розв'язано задачу розсіювання спінових хвиль на нанокластері і отримано явні аналітичні вирази для їхніх коефіцієнтів відбиття та проходження. Запропоновано модель метаматеріала, що складається з слабковзаємодіючих магнітних молекулярних нанокластерів, яка має знайдені динамічні властивості. The spectrum of localized excitations in an anisotropic one-dimensional ferromagnet containing a spin cluster of arbitrary size is found exactly within the framework of the discrete Takeno–Homma model. The boundaries of stability of spin nanoclusters are determined in dependence of their size and the exchange and the anisotropy parameter of the ferromagnet. The problem of the spin wave scattering against nanoclusters is solved and explicit analytical expressions for their reflection and transmission coefficients are obtained. A model of a metamaterial consisting of weakly interacting magnetic molecular nanoclusters and possessing revealed dynamic properties is proposed.
issn	0132-6414
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176192
citation_txt	Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры / О.В. Чаркина, М.М. Богдан // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 824-832. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT čarkinaov lokalizovannyevozbuždeniâirasseâniespinovyhvolnvferromagnitnyhcepočkahsoderžaŝihmagnitnyenanoklastery AT bogdanmm lokalizovannyevozbuždeniâirasseâniespinovyhvolnvferromagnitnyhcepočkahsoderžaŝihmagnitnyenanoklastery AT čarkinaov localizedexcitationsandscatteringofspinwavesinferromagneticchainscontainingmagneticclusters AT bogdanmm localizedexcitationsandscatteringofspinwavesinferromagneticchainscontainingmagneticclusters
first_indexed	2025-11-27T01:45:45Z
last_indexed	2025-11-27T01:45:45Z
_version_	1850791759879077888
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7, c. 824–832 Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры О.В. Чаркина, М.М. Богдан Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина E-mail: charkina@ilt.kharkov.ua, bogdan@ilt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 2 марта 2018 г., опубликована онлайн 28 мая 2018 г. Точно найден спектр локализованных возбуждений в анизотропном одномерном ферромагнетике, со- держащем спиновый кластер произвольного размера, в рамках дискретной модели Такено–Хомма. Опре- делены границы устойчивости спиновых нанокластеров в зависимости от их размеров, параметров обме- на и анизотропии ферромагнетика. Решена задача рассеяния спиновых волн на нанокластере и получены явные аналитические выражения для их коэффициентов отражения и прохождения. Предложена модель метаматериала, состоящего из слабовзаимодействующих магнитных молекулярных нанокластеров, обла- дающая найденными динамическими свойствами. Точно знайдено спектр локалізованих збуджень в анізотропному одновимірному феромагнетику, що містить спіновий кластер довільного розміру, в рамках дискретної моделі Такено–Хомма. Визначено ме- жі стійкості спінових нанокластерів в залежності від їх розмірів і параметрів обміну та анізотропії феро- магнетика. Розв'язано задачу розсіювання спінових хвиль на нанокластері і отримано явні аналітичні ви- рази для їхніх коефіцієнтів відбиття та проходження. Запропоновано модель метаматеріала, що складається з слабковзаємодіючих магнітних молекулярних нанокластерів, яка має знайдені динамічні властивості. PACS: 75.10.Pq Спиновые цепочечные модели; 75.60.Ch Доменные стенки и доменная структура; 36.40.Cg Электронные и магнитные свойства кластеров; 05.45.Yv Солитоны. Ключевые слова: квазиодномерный ферромагнетик, спиновый кластер, уравнение Такено-Хомма, лока- лизованные возбуждения, рассеяние спиновых волн. 1. Введение Нанокластерные магнитные структуры в квазиодно- мерных изинговских ферромагнетиках были обнаружены более полувека назад в экспериментах по резонансному поглощению высокочастотного электромагнитного по- ля. Это явление получило название спин-кластерного резонанса [1]. Спиновый кластер представляет собой нанодомен, состоящий из нескольких спинов, ориенти- рованных противоположно направлению спинов матри- цы. В квазиодномерных ферромагнетиках он ограничен двумя изинговскими доменными границами, поэтому энергия нанокластера не зависит от его размера. Суще- ствование подобных магнитных наноструктур возможно и в системах, которые моделируются гейзенберговски- ми спиновыми цепочками с близкими по величине об- менным взаимодействием и легкоосной магнитной ани- зотропией [2,3]. Квазиодномерными ферромагнетиками, обладающими такими свойствами при низких темпера- турах, являются металлоорганические соединения типа TMNB, TMNC, TMANC и FeTAC [4–6]. О существова- нии дискретных доменных границ изинговского типа в таких кристаллах свидетельствуют магниторезонанс- ные эксперименты по обнаружению внутренних мод колебаний, демонстрирующие наличие локальных пи- ков поглощения при частотах, меньших края спектра спиновых волн [5]. В последние годы был синтезирован целый класс новых магнитных нанообъектов [7], так называемых «магнитных молекул», обладающих суммарным спи- © О.В. Чаркина, М.М. Богдан, 2018 Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках ном порядка десятка магнетонов Бора. Такие молеку- лярные нанокластеры состоят из чередующихся маг- нитных ионов и радикалов, спины которых неодинако- вы, и поэтому в основном состоянии они являются ферримагнетиками [8]. При низких температурах эти нанокластеры образуют молекулярный кристалл, в котором моменты «молекул» слабо взаимодействуют друг с другом. Расположив в кристалле регулярным образом в виде цепочек такие «магнитные молекулы», разделенные немагнитными органическими структу- рами, можно получить квазиодномерный метаматериал с заданным периодом структуры и, соответственно, с заданным параметром взаимодействия между класси- ческими спинами, которое может быть как одного по- рядка, так и много меньше константы одноионной ани- зотропии. В таком метаматериале спиновые кластеры, образованные «магнитными молекулами», являются фактически мезоскопическими объектами. Очевидно, что существенно более простое управление их магнит- ной ориентацией с помощью локальных полей, чем ориентацией отдельных спинов, делает эти структуры очень привлекательными с точки зрения использова- ния их в качестве базовых элементов памяти в новых компьютерных технологиях. В этой связи важным обстоятельством является то, что от числа спинов в кластере существенно зависит его устойчивость и, в целом, магниторезонансные свойства содержащего его квазиодномерного ферро- магнетика. Поэтому представляет безусловный интерес теоретическое исследование спектра слабых возбуж- дений анизотропных гейзенберговских цепочек, со- держащих спиновые нанокластеры. Основной целью данной работы является исследование эффектов дис- кретности, обусловленных полным учетом обменного взаимодействия в уравнениях движения сильно анизо- тропного ферромагнетика. Описание динамики прово- дится в рамках уравнения Такено–Хомма [9] для азиму- тальных углов узельных спинов, к которому сводятся дискретные уравнения Ландау–Лифщица для ферро- магнетика с анизотропной легкой плоскостью и обме- ном, близким к константе анизотропии найлегчайшей оси [10]. Для такой системы в работе рассмотрены точные решения, описывающие нанокластеры, и про- анализирована структура всего спектра их малых воз- буждений. Точно найден спектр локализованных воз- буждений ферромагнетика, содержащего нанокластеры, и установлены границы их устойчивости. Показано, что неустойчивость ведет или к разрушению нанокла- стеров, или к их превращению в магнитные домены, ограниченные неколлинеарными доменными граница- ми. Для анализа особенностей динамики волн сплош- ного спектра точно решена задача рассеяния спиновых волн на кластерах произвольного размера и получены явные выражения для их коэффициентов отражения и прохождения. Отметим, что частоты локальных колебаний нано- кластеров рассчитаны аналитически методом локаль- ных возмущений И.М. Лифшица [11]. Одной из первых работ, в которых этот метод использован для нахожде- ния спектра локализованных возбуждений нелинейных систем, содержащих дискретные доменные границы, была работа А.М. Косевича и его учеников [12]. Ар- нольд Маркович был автором многих идей, которые легли в основу физической теории солитонов. В част- ности, такой была идея о самолокализации нелиней- ных колебаний [13], которые в сильно дискретном слу- чае представляют собой неоднородности, подобные локальным искажениям в кристалле. Поэтому при ис- следовании влияния дискретних солитонов на динами- ку кристалла оказывается возможным применение ме- тодов теории дефектов. Используя подходы, развитые А.М. Косевичем, мы с глубокой благодарностью вспо- минаем нашего учителя, и в год 90-летия Арнольда Марковича посвящаем его памяти эту работу. 2. Модель Такено–Хомма для анизотропного ферромагнетика Классическая гейзенберговская модель ферромаг- нитной цепочки с двухосной одноионной анизотропи- ей неоднократно использовалась для интерпретации результатов экспериментов [4–6] и описания нелиней- ных эффектов в теории магнетизма [14]. Гамильтониан этой модели имеет вид ( )2 2 1 1 ( ) ( ) 2 z x n n n n n n J D S A S+= − + −∑ ∑S SH , (1) где nS — классический спин на узле с номером n, J — константа обменного взаимодействия, A и D — соот- ветственно константы легкоосной и легкоплоскостной анизотропии. В легкоосном ферромагнетике, т.е. при 0D = , дискретные коллинеарные 180° доменные гра- ницы и спектр их локализованных колебаний исследо- вались в [3]. Было найдено критическое значение об- мена 0 0.75J A= , при котором происходит потеря устойчивости дискретной границей изинговского типа. Также были рассчитаны зависимости частот внутрен- них мод колебаний доменных границ от величины об- менного взаимодействия. В случае сильной легкопло- скостной анизотропии D A>> , когда предполагается возможность только слабого выхода вектора nS из лег- кой плоскости, гамильтониан (1) может быть прибли- женно сведен (см., например, [10]) к гамильтониану модели Такено–Хомма [9]: 2 2 12 1 10 2 1 cos( ) 2 1 cos ( ). 2 N N n n n n n N n n H J DS A − = = = = ϕ − ϕ −ϕ − − ϕ ∑ ∑ ∑   (2) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 825 О.В. Чаркина, М.М. Богдан Такая модель описывается одной независимой ска- лярной переменной — азимутальным углом nϕ узель- ного спина nS . В записи гамильтониана точка означает дифференцирование по времени, 0S — величина спи- на. В общем случае модель Такено–Хомма учитывает и зеемановский вклад внешнего магнитного поля. Одна- ко в этой работе мы ограничимся случаем отсутствия поля. Тогда уравнение движения Лагранжа, отвечаю- щее модели (2), в безразмерном виде может быть пред- ставлено следующим образом: 2 1 12 (sin ( ) sin ( )) cos( )sin ( ) 0. n n n n n n n d dt − + ϕ +λ ϕ −ϕ − ϕ −ϕ + + ϕ ϕ = (3) Оно записано посредством введения безразмерного параметра обмена /J Aλ = и единицы измерения вре- мени 0 0( )t S DA=  . Это уравнение Такено–Хомма (УТХ) в терминологии авторов носит название π- синус-решеточного уравнения [9], подчеркивая суще- ствование в нем π-солитонов — 180°-градусных до- менних границ. Уравнение (3) исследовалось его авто- рами с точки зрения близости к интегрируемым уравнениям. Изучение динамики его нелинейных воз- буждений с помощью аналитического метода и чис- ленного моделирования при немалых значениях пара- метра 1λ ≥ показало, что поведение солитонов и антисолитонов (доменных границ разного знака) при столкновениях в УТХ подобно таковому в точно ре- шаемых моделях [9]. При больших обменах ( 1λ >> ) для сохранения одинакового порядка величин во всех сла- гаемых в УТX следует заменить разность синусов раз- ностью их аргументов, т.е. второй разностью. В этом случае уравнение (3) становится дискретным уравнени- ем синус-Гордон (ДУСГ): 2 1 12 (2 ) sin ( ) cos ( ) 0n n n n n n d dt − + ϕ + λ ϕ −ϕ −ϕ + ϕ ϕ = . (4) Дальнейшее увеличение параметра λ позволяет перей- ти к длинноволновому пределу и получить точно ин- тегрируемое континуальное уравнение синус-Гордон: 2 2 2 2 sin cos 0 t z ∂ ϕ ∂ ϕ − + ϕ ϕ= ∂ ∂ , (5) в котором введена непрерывная координата /z n= λ . Отмеченным C. Такено и C. Хомма преимуществом уравнения (3) над уравнением (4) является полный учет обменного взаимодействия, которое приводит к нали- чию точных статических решений УТХ. Они соответст- вуют спиновым кластерам, ограниченным изинговски- ми границами. Для кластера в бесконечной цепочке, заключенного между узлами jи l , распределение азиму- тального угла имеет вид 0 0nϕ = n j< ; 0 nϕ = π j n l≤ ≤ ; 0 0, 2nϕ = π n l> . (6) Выбор нулевого значения при n →∞ представляет- ся естественным для кластера, а выбор значения ази- мутального угла, равного 2π, отвечает решению в виде 360° доменной границы. Для магнитных приложений оба распределения в (6) полностью эквиваленты, по- скольку все спины вне кластера находятся в одном основном состоянии. Но для других физических сис- тем, описываемых УТХ, оно может означать нахожде- ние частиц в различных вакуумных состояниях. Тогда первая конфигурация соответствует солитон–анти- солитонной паре, а вторая — последовательности из двух одинаковых дискретных солитонов. Как показано ниже, в случае потери устойчивости структурами (6), вырождение между ними снимается и в ферромагнети- ке (2), поскольку бифуркационным образом возникают неколлинеарные распределения спинов, которые отли- чаются друг от друга и обладают разными динамиче- скими свойствами. Очевидно, что энергия ферромагнетика (1) с кла- стером (6), отсчитанная от основного состояния, равна сумме энергий двух изинговских границ и не зависит от размера кластера 2 04E JS= . Заметим, что такие точ- ные коллинеарные решения отсутствуют в ДУСГ (4) и уравнении синус-Гордон (5). В работе [10] в рамках уравнения Такено–Хомма (3) изучались устойчивость и спектр малых колебаний 180° коллинеарных и неколлинеарных доменных гра- ниц и кластера, состоящего из одного спина. В данной работе исследуется устойчивость и спектр возбужде- ний кластеров (6) произвольного размера. Результаты работы [10] отвечают двум предельным случаям реше- ния этой спектральной проблемы — для кластера бес- конечного размера с фактически уединенными домен- ными границами и для кластера минимального размера. В следующем разделе задача о локализован- ных колебаниях спинового кластера УТХ произволь- ного размера полностью решена аналитически. 3. Спектральная задача для колебательных мод спиновых кластеров Малые колебания нанокластеров описываются уравнением (3), линеаризованным вблизи решения (6). Предполагая, что добавки к кластерному решению 0( ) ( ) 1n n nt t∆ϕ = ϕ −ϕ << и выделяя явную зависимость от времени ( ) exp ( )n nt i t∆ϕ = ψ ω , приходим к следующей системе алгебраических уравнений для амплитуд nψ : 0 0 0 0 1 1 1 1[( )cos( ) ( )cos( )]n n n n n n n n− − + +λ ψ −ψ ϕ −ϕ − ψ −ψ ϕ −ϕ + 0 2cos(2 )n n n+ ϕ ψ =ω ψ . (7) Эта система уравнений представляет собой задачу на собственные значения для параметра квадрата час- тоты 2ε = ω . Положительные значения ε отвечают ко- лебательным модам, а отрицательные 2ε = −ν соответ- 826 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках ствуют модам неустойчивости, приводящим к экспо- ненциальному росту добавок ( ) exp ( )n nt t∆ϕ = ψ ν . Подставим распределение углов (6) в уравнение (7). Разделив его на λ и введя обозначение 2(1 )/β = −ω λ , (8) получим спектральную задачу на собственные значения параметра β. Соответствующую систему алгебраических уравнений можно переписать в следующем виде: ( )( ( ) ( ) ) 1 1 , 1 , , , 1 , , 1 1 , 1 , 1 2 2 , n n n n n j n j n l n l n n j n l n n j n l n − + − + + − − + ψ −ψ −ψ +βψ = = δ + δ + δ + δ ψ − − δ + δ ψ − δ + δ ψ (9) где индексы и l , как следует из решения (6), отвечают граничным номерам спинов в кластере. Из формул (8) и (9) следует, что квадраты частот всех мод линейно зависят от параметра λ: 2 1ω = −βλ, (10) где множители β, как собственные значения спек- тральной задачи (9), зависят только от полного числа спинов в системе N и числа спинов в кластере 1m l j= − + . Очевидно, что локализованным колебани- ям отвечают положительные β и соответственно 2 1,ω < а делокализованным колебаниям — отрицательные значения 0β ≡ −µ < и 2 1ω ≥ . Волны сплошного спек- тра в пределе, когда число спинов N стремится к бес- конечности, при n →∞ описываются асимптотикой exp ( )n iknψ ∝ . Тогда из уравнения (9), взятого в облас- ти вдали от кластера, следует связь между параметром µ и квазиволновым вектором k , и, соответственно, стандартное выражение для закона дисперсии спино- вых волн: 2( ) 4sin 2 kkµ = , 2 2( ) 1 4 sin 2 kkω = + λ . (11) Приведенная в (9) форма уравнения спектральной задачи удобна для применения метода локальных возмущений И.М. Лифшица [11]. Воспользуемся им для нахождения частот, отвечающих внутренним мо- дам колебаний спинового кластера. Прежде всего, установим связь между параметром β и декрементом убывания амплитуд внутренних мод κ , которые при n →∞ убывают как exp ( )n nψ ∝ −κ . Подставим эту асимптотику для nψ в уравнение (9) в области значе- ний ,n l>> j , когда его правая часть обращается в нуль, и получим 24sh 2 κ β = (12) Применим к уравнению (9) преобразование Фурье [11]: exp( )k n n iknΨ = ψ −∑ , 1 exp ( ) 2n k ikn dk π −π ψ = Ψ π ∫ . (13) Тогда для переменной kΨ получим выражение ( ) ( )( )( )( ( ) ( )( )( ) ( )) 1 1 2 1 exp 2 1 cos exp 1 exp exp . k j j l l ik k ikj ik ikl − + Ψ = − ψ −ψ × β+ − × − + − − ψ −ψ − (14) Применяя обратное преобразование, приходим к сис- теме четырех линейных алгебраических уравнений Лифшица для амплитуд 1 1, , ,j j l l− +ψ ψ ψ ψ : 0 1 0 1 1 1 * * 0 1 0 1 * * 1 0 0 1 * * * * 1 1 1 0 0 1 (1 ) 0, (1 ) 0, (1 ) 0, (1 ) 0. j j m l m l j j m l m l m j m j l l m j m j l l I I I I I I I I I I I I I I I I − + + + − + − + + − + + − ψ + ψ − ψ + ψ = ψ + − ψ − ψ + ψ = ψ − ψ + − ψ + ψ = ψ − ψ + ψ + − ψ = (15) Коэффициенты-интегралы Iγ , где 0, , 1m mγ = + , опре- деляются формулой ( ) ( ) ( ) 1 exp1 exp 2 1 cos ik I ik dk k ∞ γ −∞ − − = − γ π β+ −∫ . (16) Условием разрешимости системы (15) является равен- ство нулю детерминанта матрицы, составленной из коэффициентов при амплитудах 1 1, , ,j j l l− +ψ ψ ψ ψ , 2* 2 0 0 1( ) (1 ) 0m mD I I I I+β = − − − − = . (17) Несложно найти явные выражения для коэффициен- тов-интегралов и убедиться в вещественности соответ- ствующих выражений * 0 0 1 4 I I β = = − β+ , ( ) 2 * 1 12 4 4 2 m m mI I+ β  ∆ = ∆ = − = β+ − β β +   . (18) Используя (17) и (18), для нахождения частот внутрен- них мод получим два уравнения: 01 2I− = ±∆ . (19) Введем обозначение exp( ) 1x = −κ < , тогда из (12) для параметра β получим выражение ( )21 x xβ = − . (20) Воспользуемся этой заменой и сведем (19) к следую- щим двум уравнениям 1 3 1 2 mx x − = ± − . (21) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 827 О.В. Чаркина, М.М. Богдан С помощью графического анализа можно легко убедиться в существовании в каждом из уравнений (21) единственного положительного корня, меньшего единицы. Таким образом, в ферромагнетике с класте- ром любого размера имеется только два локализован- ных колебания. В случае 1m = и 2m = решения уравнений (21) нахо- дятся в явном виде. При 1m = положительные корни 1x± < квадратных уравнений (21), и, соответственно, ±β следующие: 1 (5 17), 4 x− = − 1 (7 17) 4−β = + ; 1 2 x+ = , 1 2+β = ; (22) а частоты внутренних мод 1± ±ω = −β λ обращаются в нуль при значениях параметра λ: 1 (7 17) 8−λ = − , 2+λ = . (23) Эти значения полностью совпадают с результатами ранее решенной задачи для нанокластера, состоящего из одного спина [10]. Таким образом, односпиновый кластер теряет устойчивость при 0,3596−λ ≅ . При 2m = положительные корни кубических урав- нений, меньшие единицы, равны 11 , 2 x− = − 3 31 3 31 78 1 78 1 3 4 4 x+   = + + − −     . (24) Корни (24) численно равны 0,2929x− ≅ и 0,3966x+ ≅ . Решению x− отвечают значения параметров 1 2 2−β = − , 2 2−λ = − , (25) т.е. им соответствует внутренняя мода с наименьшей частотой −ω , которая превращается в моду неустойчи- вости при 0,5858−λ ≅ . Для локализованной моды с частотой +ω численные значения параметров соответ- ственно равны: 0,9180+β ≅ и 1,089+λ ≅ . Проведем теперь анализ решений уравнений (21) в пределе больших m, т.е. для случая кластеров больших размеров. Очевидно, что в основном приближении, когда степенное слагаемое mx пренебрежимо мало, 0 1/3x x= = , а 0 4/3β = β = . Этот случай отвечает фак- тически двум уединенным изинговским границам, единственной локализованной модой колебаний кото- рых является внутренняя мода с квадратом частоты 2 0 0( ) 1ω λ = −β λ . Она становится модой неустойчивости при 0 01/ 3/4λ = β = [3,10]. Учет малых величин mx приводит к расщеплению предельного решения 0x и наличию в уравнениях (21) двух близких корней, которые с хорошей точностью даются выражением 21 14 . 3 3 m x + ±  ≈ ±     (26) Соответственно, для параметра β и для квадратов частот внутренних мод получаем 24 132 3 3 m+ ±  β ≈      , 2 1± ±ω = −β λ . (27) Сравнение численного решения уравнений (21) с формулой (26) показывает, что уже для кластера с 3m = аналитическое выражение является очень хо- рошим приближением, которое совпадает с корнями уравнений (21) с точностью до 0,5%. В результате оказывается, что частоты внутренних мод и границы устойчивости кластеров с 3m ≥ определяются форму- лами (26) и (27) в явном виде, причем с ростом раз- меров кластера граница его устойчивости по пара- метру λ быстро стремится к предельному значению 0 3 4λ = по закону 3 12 4 3 m −  λ ≈ −     . (28) Найденные зависимости частот локализованных колебаний от параметра λ для нанокластеров с чис- лом спинов от одного до восьми представлены на рис. 1. Видно, что частотная зависимость 0 ( )ω λ для уединенной изинговской границы разделяет области частот двух мод разной симметрии. Если выбрать начало координат так, чтобы оно располагалось в центре кластера, то четной моде колебаний будет от- вечать область частот ниже кривой 0 ( )ω λ , а нечетной моде — область выше этой кривой. Четная мода опи- сывает противофазные осцилляции двух доменных границ, а нечетная — синфазные колебания (рис. 2). При немалом расстоянии между границами моды ко- лебаний фактически представляют собой соответст- венно разность и сумму разнесенных на размер кла- стера собственных функций спектральной задачи для уединенной изинговской границы. По мере уменьше- Рис. 1. Частоты двух локализованных мод колебаний нано- кластеров с числом спинов от 1 до 8. 828 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках ния числа спинов в кластере, т.е. при сближении изинговских границ, происходит все большее отдале- ние частотных кривых этих двух мод друг от друга и, естественно, от разделяющей их предельной зависи- мости для уединенной изинговской границы (рис. 1). Принципиальное различие между модами наглядно проявляется в критических точках −λ и +λ , в кото- рых происходит смягчение мод и бифуркационным образом появляются новые статические решения. Четная мода, добавленная к кластеру (6) c распреде- лением (0, , 0)π , приводит к появлению солитон– антисолитонной конфигурации, состоящей из некол- линеарных границ разного знака, а нечетная мода, добавленная к кластеру (0, , 2π π), — к солитон- солитонной конфигурации, образующей 360° неколли- неарную доменную границу. Полученная выше последовательность критических значений −λ устанавливает границы устойчивости кла- стеров по мере возрастания их размеров. Как видно на рис. 1, для ферромагнитной цепочки с заданным зна- чением параметра λ = λ нанокластеры с малым чис- лом спинов, для которых −λ < λ , будут либо полно- стью разрушены, либо преобразуются в динамически неустойчивые неколлинеарные солитон-антисоли- тонные структуры, в то время как кластеры с большим числом частиц, для которых −λ > λ , останутся прак- тически неизменными. При этом оказывается, что функция распределения локализованных колебаний по частотам имеет точку сгущения на частоте колебания уединенной изинговской границы 0 ( )ω λ . Тогда сле- дует ожидать, что в квазиодномерных ферромагнети- ках, параметры обмена и анизотропии которых таковы, что в них неустойчивы одно- и двухспиновые класте- ры, резонансный пик поглощения СВЧ поля будет иметь лишь размытый максимум на частоте 0 ( )ω λ . В случае стабильных одно- и двухспиновых нанокласте- ров, особенно вблизи границы их устойчивости, в спектре поглощения могут появиться локальные пики, сильно отстоящие от резонансного максимума на час- тоте 0 ( )ω λ . Таким образом, обнаружение этих пиков на резонансных кривых может не только свидетельст- вовать о наличие спиновых нанокластеров, но и со- держать дополнительную информацию о соотношении параметров обмена и анизотропии в квазиодномерных ферромагнетиках. 4. Рассеяние спиновых волн в ферромагнетике со спиновым кластером Наличие устойчивых нанокластеров в ферромагне- тике оказывает существенное влияние на распростра- нение в нем спиновых волн. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в рамках линеаризованного уравнения (9) следующую задачу рассеяния волн сплошного спектра на спиновом кластере произвольного размера. Пусть с n = −∞ на кластер с границами в узлах n j= и n l= падает волна с единичной амплитудой. Частично от- ражаясь, она проходит через кластер, и при n →∞ имеет амплитуду, квадрат модуля которой равен коэф- фициенту прохождения спиновых волн: exp ( ) exp ( ), exp ( ) exp ( ), exp ( ), . n n n ikn A ikn n j B ikn C ikn j n l D ikn n l ψ = + − < ψ = + − ≤ ≤ ψ = > (29) Выражения (29) являются точными решениями урав- нения (9) в соответствующих областях ферромагнит- ной цепочки, причем квазиволновой вектор k связан с частотой ω законом дисперсии (11). На границах клас- тера и соседних с ними внешних узлах уравнения для амплитуд имеют вид 2 1 1 1 1 1 2 1 0, 0, 0, 0. j j j j j j l l l l l l − − − + + − + + ψ −ψ −µψ = ψ −ψ −µψ = ψ −ψ −µψ = ψ −ψ −µψ = (30) Рис. 2. Локализованные моды колебаний кластера с 7 спинами: (а) четная мода колебаний, отвечающая минимальной частоте; (б) нечетная мода колебаний. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 829 О.В. Чаркина, М.М. Богдан Подставляя решения (29) в систему уравнений (30), получаем неоднородную систему уравнений для опре- деления коэффициентов A, B, C, D. Решения этой сис- темы алгебраических уравнений для коэффициентов A и D , выглядят следующим образом: * ( 2) 2 2 e ee , e ikr ikr ik l j ikr V VA V − + − − = − (31) ( ) 2 2 * 22 2 e , e 1 ik ikr q qD V q −  − =  − −  (32) В формулах (31) и (32) введены обозначения 2 2 1 1 qV q − = − , e 2 e ,ik ikq −= µ + = − (33) где ( )kµ = µ дается формулой (11) и параметр r есть раз- ность номеров граничных спинов в кластере 1r l j m≡ − = − . Очевидно, что квадраты модулей коэф- фициентов A и D , т.е. коэффициенты отражения 2R A= и прохождения 2T D= , не зависят от положения класте- ра в цепочке, а зависят только от его размера через пара- метр r . Нетрудно убедиться, что, как обычно, сумма этих коэффициентов равна единице: 1R T+ = . Замечая также, что * 2 sinq q i k− = и 2 1 4(1 cos ) 2q k− = − = µ, для ко- эффициентов отражения и прохождения получим сле- дующее представление: 2 2 ( ) 1 ( ) F kR F k = + , 2 1 1 ( ) T F k = + , (34) ( ) 2( ) 8Im e tg 2 ikr kF k V −= = ( )2 2sec Im ( 1)e . 2 ikrk q −= ⋅ − (35) Из формул (34) и (35) следует, что, когда функция ( )F k обращается в нуль, коэффициент отражения 0R = , а коэффициент прохождения 1T = , т.е. имеет место эф- фект, аналогичный эффекту Рамзауера в квантовой ме- ханике [15,16]. Иными словами, существуют такие вы- деленные значения квазиволнового вектора k , для которых кластер полностью прозрачен для прохождения спиновых волн. Очевидно, что в формуле (35) мнимая часть комплексного выражения 2Im (( 1)e )ikrq −− обра- щается в нуль, когда его аргумент pχ = π , где p — це- лое число. Замечая, что 2 sin1 1 exp 1 exp arctg 2 3 cos k kq q i q i k π−     − = − ⋅ +     −     (36) получим уравнение для нахождения значений квази- волнового вектора, при которых 1T = , 1 sin 1arctg 2 3 cos 2 kk m p k      − − = π −     −      , 1,.., 1p m= − . (37) Легко убедиться графически, что число корней у этого уравнения внутри интервала [0, ]π равно 1m − , так как p m= отвечает границе интервала Bk k= = π . Для не- малых значений m из формулы (37) следует явное ана- литическое выражение для искомых корней sin1 arctg 1 3 cos p p p k k k m k   = +   − −  , 1 1 2 2 pk p m π  = −   − . (38) Оно оказывается очень хорошим приближением не только для кластеров большого размера, но даже для кластера с двумя спинами, где, как показывает сравне- ние с численным результатом, точность для наимень- ших корней составляет порядка процента, а для ос- тальных — порядка десятых и сотых процента. Заметим, что в случае односпинового кластера у коэф- фициента прозрачности есть только один максимум (0) 1T = , и ему соответствует (0) 0F = , что обеспечива- ется не нулем аргумента χ, а равенством нулю в этой точке модуля 1q − в выражении (36). На рис. 3 приве- дены зависимости коэффициента прохождения от ква- зиволнового вектора для нанокластеров из 5 и 12 час- тиц. Видно, что в длинноволновом пределе спиновые волны практически беспрепятственно проходят через нанокластеры, в то время как коротковолновые коле- бания почти полностью отражаются от кластеров за- долго до границы зоны Бриллюэна. В промежуточной области наблюдаются максимумы полной прозрачно- сти, число которых вместе с длинноволновым макси- мумом равно числу спинов в кластере. При этом резо- нансные пики становятся все более узкими по мере их появления с ростом размера кластера. Очевидно, что при пропускании пакетов спиновых волн кластеры ведут себя как частотные фильтры. Следует ожидать, что в цепочке с распределенными кластерами коротко- волновые возбуждения будут локализованы между кластерами, и лишь длинноволновые колебания прой- дут через всю систему. С другой стороны, если в квази- одномерном ферромагнетике или метаматериале будет возбужден или создан локальным полем уединенный спиновый кластер, то по результатам спектрального анализа прошедшей через него волны, можно будет ус- тановить его размер, т.е. число образующих его спинов. Для проверки полученных теоретических результа- тов было проведено численное моделирование дина- мики ферромагнитной цепочки, содержащей кластеры с двумя, тремя и четырьмя спинами в рамках нелиней- 830 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках ного уравнения Такено–Хомма (3). Результаты его представлены на рис. 4. Значение параметра λ было выбрано равным * 0,7λ = , при котором двухспиновый кластер является заведомо неустойчивым, кластер из четырех спинов еще устойчив, а кластер из трех спи- нов уже теряет устойчивость (см. рис. 1). В начальном распределении нанокластеров с конфигурацией (0, ,0)π двухспиновый располагался в начале координат между трехспиновым и четырехспиновым, которые находи- лись в строго равновесном состоянии, в то время как двухспиновый имел добавку к π, равную 410− , к обеих амплитудам. В результате, как и следует из получен- ных аналитических результатов двухспиновый кластер сразу полностью разрушился. На нелинейной стадии эволюции из него образовался сильно локализованный дискретный бризер, и в обе стороны от него стали рас- пространятся пакеты спиновых волн. Как видно на рис. 4, длинноволновые составляющие пакетов прошли через трехспиновый и четырехспиновый кластер, а ко- ротковолновая часть оказалась запертой между ними. В результате возмущений трехспиновый кластер также потерял устойчивость, превратившись в солитон–анти- солитонную дискретную конфигурацию, которая оказы- вается динамически неустойчивой, что приводит к су- щественно нелинейным колебаниям ее амплитуд. В то же время на рис. 4 видно, что четырехспиновый кластер сохраняет свою устойчивость, испытывая лишь малые колебания амплитуд, несмотря на столкновения со спи- новыми волнами. В дальнейшем дискретный бризер начинает двигаться в сторону четырехспинового кла- стера и отражается от него. На поздней стадии эволю- ции он проходит трехспиновый динамический ком- плекс, окончательно разрушая его, в результате чего образуется еще один дискретный бризер. 5. Заключение Таким образом, в работе в рамках дискретной моде- ли Такено–Хомма точно решены спектральная про- блема для локализованных возбуждений и задача о рассеянии спиновых волн в анизотропной ферромагнит- ной цепочке, содержащей спиновые кластеры. Методом локальных возмущений найдены частоты локализован- ных колебаний спинового кластера произвольного разме- ра, которые описывают противофазные и синфазные ос- цилляции его дискретных доменных границ. Найдены критические значения отношения обмена к анизотропии при которых «смягчается» нижайшая по частоте мода и наступает нестабильность кластеров. Решена задача рассеяния спиновых волн на кластерах произвольного размера и показано, что имеет место размерный эффект резонансного полного прохождения волн с дискретным набором значений квазиволнового вектора, аналогич- ный эффекту Рамзауера в квантовой механике. Обнару- женные особенности динамики магнитных возбуждений могут быть выявлены не только в ферромагнетиках и антиферромагнетиках [10], но и в других системах Рис. 3. Коэффициент прохождения T спиновых волн через нанокластеры как функция квазиволнового вектора k: (а) для кла- стера из 5 спинов; (б) для кластера из 12 спинов. Рис. 4. (Онлайн в цвете) Результаты моделирования динами- ки ферромагнитной цепочки, содержащей кластеры с 2, 3 и 4 спинами в рамках нелинейного УТХ. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 831 О.В. Чаркина, М.М. Богдан взаимодействующих планарных ротаторов [9,17]. Особо привлекательным представляется создание метаматери- ала, состоящего из цепочек взаимодействующих маг- нитных молекул и допускающего локальное возбужде- ние магнитных нанокластеров. Такие метаматериалы, обладающие обнаруженными выше свойствами, могли бы использоваться как частотные фильтры, а в совре- менных нанотехнологиях служить элементной базой компьютерной памяти. Работа поддержана ФФИ НАН Украины (грант № 1.4.10.26.4/Ф26-4) и НАН Украины (грант № 4/17–H) и выполнена с использованием вычислительных ре- сурсов грид-кластера ФТИНТ им. Б.И. Веркина НАН Украины. _______ 1. M. Date and M. Motokawa, Phys.Rev.Lett. 16, 1111 (1966). 2. J.J. van den Broek and H. Zijlstra, IEEE Transactions on Magnetism, MAG-7, 226 (1971). 3. А.Н. Гончарук, А.А. Степанов, Д.А. Яблонский, ФТТ 31, 132 (1989) [Sov. Phys. Solid State 31, 2099 (1989)]. 4. С. Dupas and J.P. Renard, J. Phys. C 10, 5057 (1977). 5. А.Г. Андерс, С.В. Волоцкий, В.Г. Борисенко, Ю.В. Переверзев, ФНТ 15, 39 (1989) [Sov. J. Low Temp. Phys. 15, 21 (1989)]. 6. R.S. Rubins, T.D. Black, A. Sohn, and J.E. Drumheller, Phys. Rev. B 49, 15366 (1994). 7. D. Gatteschi, R. Sessoli, and J. Villain, Molecular Nano- magnets, Oxford University Press, New York (2006). 8. V.V. Kostyuchenko, I.M. Markevtsev, A.V. Philippov, V.V. Platonov, V.D. Selemir, O.M. Tatsenko, A.K. Zvezdin, and A. Caneschi, Phys. Rev. B 67, 184412 (2003). 9. S. Takeno and S. Homma, J. Phys. Soc. Jpn. 55, 2547 (1986). 10. М.В. Гвоздикова, А.С. Ковалев, ФНТ 25, 1295 (1999) [Low Temp. Phys. 25, 972 (1999)]. 11. A.M. Kossevich, The Crystal Lattice (Phonons, Solitons, Dislocations), WILEY-VCH Verlag Berlin GmBH, Berlin (1999). 12. M.M. Bogdan, A.M. Kosevich, and V.P. Voronov, in: Solitons and Applications, V.G. Makhankov, V.K. Fedyanin, and O.K. Pashaev (eds.) World Scientific: Singapure (1990), p. 231. 13. А.М. Косевич, А.С. Ковалев, ЖЭТФ 67, 1793 (1974) [JETP 40, 891 (1975)]. 14. А.M. Коsevich, B.А. Ivanov, and А.S. Kovalev, Phys. Rep. 194, 117 (1990). 15. D. Bom, Quantum Theory, Prentice Hall, New York (1952). 16. S.R. Sharma and B. Bergersen, Phys. Rev. B 30, 6586 (1984). 17. S. Takeno and M. Peyrard, Physica D 92, 140 (1996). ___________________________ Localized excitations and scattering of spin waves in ferromagnetic chains containing magnetic clusters O.V. Charkina and M.M. Bogdan The spectrum of localized excitations in an aniso- tropic one-dimensional ferromagnet containing a spin cluster of arbitrary size is found exactly within the framework of the discrete Takeno–Homma model. The boundaries of stability of spin nanoclusters are de- termined in dependence of their size and the exchange and the anisotropy parameter of the ferromagnet. The problem of the spin wave scattering against nanoclusters is solved and explicit analytical expressions for their re- flection and transmission coefficients are obtained. A model of a metamaterial consisting of weakly interact- ing magnetic molecular nanoclusters and possessing re- vealed dynamic properties is proposed. PACS: 75.10.Pq Spin chain models; 75.60.Ch Domain walls and domain structure; 36.40.Cg Electronic and magnetic properties of clusters; 05.45.Yv Solitons. Keywords: quasi-one-dimensional ferromagnet, spin cluster, Takeno–Homma equation, localized excita- tions, spin wave scattering. 832 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.16.1111 https://doi.org/10.1109/TMAG.1971.1067036 https://doi.org/10.1109/TMAG.1971.1067036 http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0022-3719/10/24/024/pdf https://doi.org/10.1103/PhysRevB.49.15366 https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198567530.001.0001 https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198567530.001.0001 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.67.184412 https://doi.org/10.1143/JPSJ.55.2547 https://doi.org/10.1063/1.593850 https://doi.org/10.1016/0370-1573(90)90130-T https://doi.org/10.1103/PhysRevB.30.6586 https://doi.org/10.1016/0167-2789(95)00284-7 1. Введение 2. Модель Такено–Хомма для анизотропного ферромагнетика 3. Спектральная задача для колебательных мод спиновых кластеров 4. Рассеяние спиновых волн в ферромагнетике со спиновым кластером 5. Заключение

Локализованные возбуждения и рассеяние спиновых волн в ферромагнитных цепочках, содержащих магнитные нанокластеры

Institution

Ähnliche Einträge