Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках
Найден новый класс малоамплитудных магнитных дефектов в неограниченной среде и пленке трехмерных ферромагнетиков в модели Гейзенберга. Такие структуры содержат источники и вихри. Показа-но, что их дипольные конфигурации имеют конечную энергию. Обсуждается устойчивость найденных структур. Знайдено но...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176193 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках / А.Б. Борисов, В.В. Киселев, А.А. Расковалов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 833-837. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859946689549303808 |
|---|---|
| author | Борисов, А.Б. Киселев, В.В. Расковалов, А.А. |
| author_facet | Борисов, А.Б. Киселев, В.В. Расковалов, А.А. |
| citation_txt | Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках / А.Б. Борисов, В.В. Киселев, А.А. Расковалов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 833-837. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Найден новый класс малоамплитудных магнитных дефектов в неограниченной среде и пленке трехмерных ферромагнетиков в модели Гейзенберга. Такие структуры содержат источники и вихри. Показа-но, что их дипольные конфигурации имеют конечную энергию. Обсуждается устойчивость найденных структур.
Знайдено новий клас малоамплітудних магнітних дефектів в необмеженому середовищі та плівці тривимірних феромагнетиків в моделі Гейзенберга. Такі структури містять джерела та вихори. Показано, що
їх дипольні конфігурації мають кінцеву енергію. Обговорюється стійкість знайдених структур.
A new class of low-amplitude magnetic defects in
an infinite medium and the film three-dimensional ferromagnetic materials in the Heisenberg model are
found. Such structures contain sources and vortices.
It is shown that their dipole configurations have finite
energy. A stability of structures are discussed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:14:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7, c. 833–837
Малоамплитудные трехмерные структуры
в магнетиках
А.Б. Борисов1,2, В.В. Киселев1,3, А.А. Расковалов1,3
1ИФМ им. М.Н. Михеева УрО РАН, ул. Софьи Ковалевской, 18, г. Екатеринбург, 620108, Россия
2Институт естественных наук и математики УрФУ, ул. Куйбышева, 48, г. Екатеринбург, 620026, Россия
3Физико-технологический институт УрФУ, ул. Мира, 19, г. Екатеринбург, 620002, Россия
E-mail: kiseliev@imp.uran.ru
Статья поступила в редакцию 18 декабря 2017 г., опубликована онлайн 28 мая 2018 г.
Найден новый класс малоамплитудных магнитных дефектов в неограниченной среде и пленке трех-
мерных ферромагнетиков в модели Гейзенберга. Такие структуры содержат источники и вихри. Показа-
но, что их дипольные конфигурации имеют конечную энергию. Обсуждается устойчивость найденных
структур.
Знайдено новий клас малоамплітудних магнітних дефектів в необмеженому середовищі та плівці три-
вимірних феромагнетиків в моделі Гейзенберга. Такі структури містять джерела та вихори. Показано, що
їх дипольні конфігурації мають кінцеву енергію. Обговорюється стійкість знайдених структур.
PACS: 75.60.Ch Доменные стенки и доменная структура;
75.25.+z Расположение спинов в нагнитоупорядоченных материалах.
Ключевые слова: модель Гейзенберга, вихри, источники, уравнение Ландау–Лифшица, диполи.
Теория локализованных структур в магнетиках, кото-
рая стала развиваться в конце 70-х годов после пионер-
ских работ А.М. Косевича с учениками и коллегами [1,2],
в последние десятилетия получила бурное развитие. В
частности, активно исследуются статические и дина-
мические свойства наномагнетиков в связи с перспек-
тивой их использования в устройствах хранения и за-
писи информации. Повышенный интерес наблюдается к
киральным магнетикам, где предсказанные два десяти-
летия назад [3,4] компактные киральные скирмионы
могут найти важное применение в беговой памяти.
Несмотря на многолетнее изучение магнитных струк-
тур в больших (bulk) магнитных образцах трехмерные
статические магнитные солитоны теоретически недо-
статочно изучены. К настоящему времени в этих сис-
темах изучены магнитные «ежи», магнонные капли [1],
хопфионы, вихревые спиральные солитоны в соизме-
римых и несоизмеримых кристаллах [5]. Ввиду этого
важное значение приобретает изучение трехмерных
структур аналитическими методами. Аналитические
методы, как правило, применимы к трехмерным моде-
лям, которые обладают высокой степенью симметрии.
Хотя полученные этими методами результаты облада-
ют ограниченной применимостью, их научная значи-
мость для анализа сингулярных нелинейных структур
несомненна. Они позволяют достаточно полно описать
вид нелинейной структуры в ядре ее формирования и
качественно учесть влияние других взаимодействий.
В настоящей работе мы обсуждаем структуру мало-
амплитудных магнитных дефектов в трехмерных ферро-
магнетиках. Показано, что такие структуры формируют-
ся основным обменным взаимодействием. Мы находим
новый класс точных решений в неограниченной среде
и пленке нелинейных уравнений модели Гейзенберга с
помощью определенной специальных подстановок. Вна-
чале мы строим функцию от исходных динамических
переменных, удовлетворяющую линейному уравнению
Лапласа. Обратное преобразование приводит к реше-
ниям исходной нелинейной модели в виде некоторых
элементарных функций от гармонических решений урав-
нения Лапласа. В конце статьи мы обсуждаем устойчи-
вость найденных структур.
Рассмотрим стандартный изотропный гейзенбергов-
ский гамильтониан
= i j
ij
H J− ∑ S S
спина S на квадратной решетке, описывающего взаи-
модействие ближайших соседей ( > 0J — обменный
интеграл), и используем континуальный вариант спино-
вых уравнений движения в терминах спиновых угло-
вых переменных θ и Φ ( = {sin cos ,sin sin ,cos }θ Φ θ Φ θn
© А.Б. Борисов, В.В. Киселев, А.А. Расковалов, 2018
А.Б. Борисов, В.В. Киселев, А.А. Расковалов
). Тогда стационарные решения определяются систе-
мой нелинейных уравнений
2
2
= sin cos ( )
(sin ) = 0.
∆θ θ θ ∇Φ
∇ θ∇Φ
(1)
Эта система уравнений с гамильтонианом H
( )
2
20= ,
2
M
H d
α
∇∫ r n (2)
согласно теореме Деррика, имеет только сингулярные
решения. Здесь α — постоянная обменного взаимо-
действия, 0M — спонтанная намагниченность.
Нелинейные спиральные трехмерные структуры в
уравнениях (1) с ограничением ∇Φ ⊥ = 0∇θ были най-
дены в работе [6]. Для поиска решений другого класса
мы используем подстановку
= ( ) .F∇Φ θ ∇θ (3)
Подобная подстановка была впервые введена Б. Ри-
маном для описания бегущих одномерных волн в гид-
родинамике, когда два уравнения для плотности ρ и
скорости v подстановкой ( )v ρ сводятся к одному. По-
ложим, что азимутальный угол есть функция полярного
угла. Тогда, согласно (1), функция F, может быть найде-
на из уравнения Бернулли
3 2sin 2 cos sin cos = 0.dF F F
d
θ + θ+ θ θ
θ
(4)
Общее решение уравнения (4) определяется однопа-
раметрическим семейством функций
2 4 2
1( ) =
sin sin
F
c
θ
θ− θ
(5)
с произвольной константой 2 > 1c . С использованием
соотношений (3) и (5) исходная система (1) может быть
представлена в виде уравнения Лапласа
2
cosarccos = 0,
1
c
c
θ ∆
−
(6)
решение которого есть гармоническая функция
2
cos( , , ) = arccos ( = 0).
1
ca x y z a
c
θ
∆
−
(7)
В итоге углы намагниченности определяются толь-
ко полем a
( )
2
0
1cos = cos ,
= .
c a
c
ca
− θ
Φ +Φ
(8)
Такие решения могут быть названы малоампли-
тудными, поскольку угол θ лежит в диапазоне
max max/ 2 < / 2π −θ ≤ θ π + θ с максимальным значени-
ем 2
max = arcsin 1 /c cθ − . При этом гамильтониан (2)
преобразуется к простому виду
( )
2
20= .
2
M
H d a
α
∇∫ r (9)
Мы обсудим вначале решения для ( , , )a x y z в сле-
дующем виде:
( ) ( ) ( )2 2 2=1 0 0 0
= .
N
i
i i i i
q
a
x x y y z z− + − + −
∑ (10)
Семейство решений (8), (10) определяется парамет-
рами iq , c, а также координатами положений источни-
ков ( 0ix , 0iy , 0iz ). Параметр iq с произвольным значени-
ем может быть назван, по аналогии с гидродинамикой,
«мощностью» источника. Наконец, параметр 1c ≥ уп-
равляет «амплитудой» выхода спинов из плоскости xy ,
предельное значение = 1c соответствует xy -модели
( = / 2θ π ). При = 1N структура (8), (10) напоминает
структуру «луковицы», в которой на расстояниях
2 2 20
0
= 0 ( , = )
2n n n n n
qR
R n Z R x y z
q n R
> ∈ + +
− π
(11)
значения компоненты 3 cosn = θ совпадают. Структура
поля Φ (рис. 1) и поля 3 = cosn θ (рис. 2) быстро ос-
циллирует вблизи начала координат и на рисунках
изображены только при 0,6 < < 1,1r . Энергия структу-
ры обратно пропорциональна b — величине порядка
постоянной решетки, на которой неприменима макро-
скопическая теория. Отметим, что поле a удовлетворя-
ет уравнению
= 4 ( ).a q∆ − πδ r (12)
Нетопологические малоамплитудные структуры с ис-
точниками, где поле источника a удовлетворяло урав-
нению (12) в плоскости и было пропорционально
Рис. 1. Локализованная структура азимутального угла Φ для
источника ( = 1q , = 10c ) в плоскости = 0z при 0,6 < < 1,1r .
834 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7
Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках
ln ( )r рассматривались в работе [7]. В результате чис-
ленных расчетов было показано что оно создается ло-
кальной анизотропией или локальным магнитным по-
лем. В трехмерном случае поле источника можно
создать только локальной анизотропией. Кроме того,
такие структуры можно реализовать в большом образце
изотропного ферромагнетика, где помещен ферромаг-
нитно-упорядоченный кластер радиуса ρ с большой
одноосной анизотропией. Пусть направление намагни-
ченности в кластере характеризуется углами (на по-
верхности шарика радиуса ρ) 0Φ и 0θ . На бесконечно
удаленной поверхности направление намагниченности
(например, определяемое внешним магнитным полем)
задается другими значениями углов. Эти граничные
условия конкретизируют произвольные постоянные.
Используя (9), получаем выражение для энергии взаи-
модействующих источников
2 2
0
=1 , =1( )
1 1 1 1= 2 ,
N N
i i j
iji i j i j
E M q q q
b R d R≠
πα − + −
∑ ∑
где 2 2 2
0 0 0 0 0 0= ( ) ( ) ( )ij i j i j i jd x x y y z z− + − + − —рас-
стояние между i -м и j -м источниками, R — размер
системы. Взаимодействие структуры с параметрами (q
и )q− на расстоянии d имеет характер притяжения.
Подобно плоским вихрям [8], она образует диполь
(рис. 3) с конечной энергией
2 2
0
1 1= 4 .E M q
b d
α −
При уменьшении d амплитуда (10) падает и струк-
тура аннигилирует. Из-за малой энергии активации
такие диполи могут зарождаться термофлуктуацион-
ным способом и вносить вклад в термодинамические
свойства системы.
Рассмотрим далее вихревые структуры в пленке
( < , < < , )x y L z L−∞ ∞− . Свободные граничные усло-
вия на поверхности пленки для вектора n c учетом (3)
имеют простой вид
( = ) = ( = ) = 0.z za z L a z L− (13)
Используем подстановку
2 2 0
0=1
( , , ) = , arctg ,
N
i
i
ii
y y
a x y z a x y z Q
x x
− + + −
∑
где целые числа iQ определяют заряд вихря в точке
0 0( , )i ix y . Тогда поле ( , )a r z ( 2 2=r x y+ ) удовлетво-
ряет уравнению
, , = 0.r
r r z z
a a a
r
+ +
Его решения при граничном условии (13), пропор-
циональны ( )cos ( ) / (2 )iL z k Lπ − , ( ik Z∈ ). В итоге гар-
моническая функция имеет вид
i0
0=1
( , , ) = arctg
N
i
ii
y y
a x y z Q
x x
−
+ −
∑
0
=1
| | ( )
cos .
2 2
N
i i
i
i
k L z k
K q
L L
− π π − +
∑ ir c
(14)
Здесь координаты постоянного вектора ic не совпа-
дают с 0 0( , )i ix y в общем случае. Свойства и форма этих
решений во многом определяются асимптотическим
поведением функции Макдональда 0K :
0 ( ) ln ( 1),
2
rK r r → −
0 ( ) e ( 1).
2
rK r r
r
− π
→
Рис. 2. Локализованная структура cos θ для источника ( = 1q ,
= 10c ) в плоскости = 0z при 0,6 < < 1,1r .
Рис. 3. Структура диполя (в плоскости = 4z ) из двух источ-
ников с параметрами ( = 1q , = 1q − ), = 10c .
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 835
А.Б. Борисов, В.В. Киселев, А.А. Расковалов
Изолированный магнитный дефект описывается фор-
мулой (8), где
0
| | ( )( , , ) = cos , ( = , )
2 2
k L z ka x y z Q K q x y
L L
− π π − ϕ+
r c r
(15)
характеризуется параметрами , ,Q q c . В плоскости 0=z z
компонента 3n постоянна на кривых, которые являются
Q-заходными спиралями
0
0
( )| | cos = const, ( < < ).
2 2
L z kkQ K q
L L
π −− π ϕ+ −∞ ϕ ∞
r c
В этой плоскости магнитная структура содержит
вихрь в начале координат и логарифмический источ-
ник в точке =r c. При 0→c она совпадает в начале
координат со структурой двумерного спирального вихря,
найденного в работе [9]. Однако в отличие от спираль-
ного вихря при r →∞ источник с 0 ( )K r (совпадающий
с магнитным полем вихря в теории сверхпроводимо-
сти) имеет локализованный характер. В итоге поле Φ
описывает вихрь, структура которого модулирована по
оси z и неоднородна в плоскости 0=z z (рис. 4). Пря-
мые вычисления показывают, что ее энергия
2 2 2
0
4= log 2 log ( )L RE M L q Q O b
bk b
α π + + πγ
логарифмически зависит от радиуса ядра b , толщины
пленки L и размеров пленки R в ( , )x y направлениях.
Здесь 1R и γ — постоянная Эйлера. Отметим неза-
висимость энергии источника от размеров пленки R и
параметра c, амплитуды выхода спинов из плоскости
xy и значительно меньшую энергию источника по
сравнению с энергией вихря. В выражении для энергии
sE системы дефектов (14) после интегрирования по
толщине пленки отсутствуют перекрестные слагаемые
вида i jQ q . Это означает, что вихри и источники не
взаимодействуют друг с другом. Формула для энергии
sE включает только энергию вихрей
1s
E и энергию
источников
2sE . Выражение для
1s
E пропорционально
энергии системы плоских вихрей
( ) ( )2 2
01
= 2 ln lns i i j
iji i j
R RE M L Q Q Q
b d≠
α π +
∑ ∑ ,
где ijd расстояние между i-м и j-м вихрями. Структуры
с параметрами Q и Q− на расстоянии d образуют ди-
поль (рис. 5) с конечной энергией, пропорциональной
ln ( / )d b , и могут также зарождаться термофлуктуаци-
онным способом. Энергия источников
2sE не вычисля-
ется в явном виде, но из предыдущего изложения ясно,
что она не зависит от радиуса R .
Наконец отметим, что как и вихри Костерлица–Тау-
лесса, найденные решения оказываются устойчивыми
в своем классе решений. Это утверждение вытекает из
явного выражения для энергии (9) и положительной
определенности оператора Лапласа. В самом деле,
пусть δφ — малая вариация гармонического решения
a, тогда
( )
2
20[ ] = =
2
M
E a d a
α
+ δφ ∇ +∇δφ∫ r
( )
2
2 20= ( ) 2( )( ) ( ) =
2
M
d a a
α
∇ + ∇ ∇δφ + ∇δφ∫ r
( )
2
2 20= ( ) ( ) > [ ].
2
M
d a E a
α
∇ + ∇δφ∫ r
Авторы глубоко признательны проф. А.С. Ковалеву
Рис. 4. Структура сложного вихря в плоскости = 0z : плоский
вихрь ( = 1Q ) c центром на оси Oz деформирован полем ис-
точника ( = 1q ) с центром в точке (1,1,0) , = 2c , = 8L , = 1k .
Рис. 5. Локализованная структура cos ( , )x yθ для диполя в
плоскости = 8z , = 2c , = 8L . Параметры вихрей и их центры:
( 1 = 1,(0, 2,8)Q − ) и ( 2 = 1,(0,2,8)Q − ). Параметры источников и
их центры: ( 1 = 1,q 1 = 1,(0,2,8)k ) и ( 2 = 1,q − 2 = 1,(0, 2,8)k − ).
836 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7
Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках
за приглашение участвовать в выпуске этого журнала,
посвященного памяти А.М. Косевича, Д.В. Долгих за
помощь в оформлении рисунков, а также рецензенту за
указание физической интерпретации структур с источ-
никами. Работы харьковской школы по солитонам и
нелинейным структурам в магнетиках оказали неоце-
нимое влияние на нас.
Работа выполнена в рамках государственного задания
ФАНО России (тема «Квант», номер г. р. 01201463332).
_______
1. А.М. Косевич, Б.А. Иванов, А.С. Ковалев, Нелинейные
волны намагничености. Динамические и топологические
солитоны, Наукова думка, Киев (1983), с. 193.
2. A.M. Kosevich, B.A. Ivanov, and A.S. Kovalev, Phys. Rep.
194, 117 (1990).
3. A.N. Bogdanov and D.A. Yablonskii, Sov. Phys. JETP 68,
101 (1989).
4. B.A. Ivanov, V.A. Stephanovich, and A.A. Zhmudskii,
J. Magn. Magn. Mater. 88, 116 (1990).
5. А.Б. Борисов, В.В. Киселев, Нелинейные волны, солитоны
и локализованные структуры в магнетиках, УрО РАН,
Екатеринбург (2011).
6. A.B. Borisov, J. Exp. Theor. Phys. Lett. 76, 95 (2002) [JETP
Lett. 76, 84 (2002)].
7. A.B. Borisov, I.G. Bostrem, and A.S. Ovchinnikov, Phys.
Rev. B 72, 134423 (2005).
8. J.M. Kosterlitz and D.J. Thouless, J. Phys. C: Solid State
Phys. 6, 1181 (1973); J.M. Kosterlitz, J. Phys. C: Solid State
Phys. 7, 1046 (1974).
9. A.B. Borisov, J. Exp. Theor. Phys. Lett. 75, 287 (2001)
[JETP Lett. 75, 287 (2001)].
___________________________
Low-amplitude three-dimensional structures
in magnets
A.B. Borisov, V.V. Kiselev, and A.A. Raskovalov
A new class of low-amplitude magnetic defects in
an infinite medium and the film three-dimensional fer-
romagnetic materials in the Heisenberg model are
found. Such structures contain sources and vortices.
It is shown that their dipole configurations have finite
energy. A stability of structures are discussed.
PACS: 75.60.Ch Domain walls and domain structure;
75.25.+z Spin arrangements in magnetically
ordered materials.
Keywords: Heisenberg model, domain vortices, non-
linear sources, Landau–Lifshitz equation, dipole.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 837
https://doi.org/10.1016/0370-1573(90)90130-T
https://doi.org/10.1016/S0304-8853(97)90021-4
https://doi.org/10.1134/1.1510063
https://doi.org/10.1134/1.1510063
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.72.134423
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.72.134423
https://doi.org/10.1088/0022-3719/6/7/010
https://doi.org/10.1088/0022-3719/6/7/010
https://doi.org/10.1088/0022-3719/7/6/005
https://doi.org/10.1088/0022-3719/7/6/005
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176193 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:14:51Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Борисов, А.Б. Киселев, В.В. Расковалов, А.А. 2021-02-04T07:06:11Z 2021-02-04T07:06:11Z 2018 Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках / А.Б. Борисов, В.В. Киселев, А.А. Расковалов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 833-837. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.60.Ch, 75.25.+z https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176193 Найден новый класс малоамплитудных магнитных дефектов в неограниченной среде и пленке трехмерных ферромагнетиков в модели Гейзенберга. Такие структуры содержат источники и вихри. Показа-но, что их дипольные конфигурации имеют конечную энергию. Обсуждается устойчивость найденных структур. Знайдено новий клас малоамплітудних магнітних дефектів в необмеженому середовищі та плівці тривимірних феромагнетиків в моделі Гейзенберга. Такі структури містять джерела та вихори. Показано, що їх дипольні конфігурації мають кінцеву енергію. Обговорюється стійкість знайдених структур. A new class of low-amplitude magnetic defects in an infinite medium and the film three-dimensional ferromagnetic materials in the Heisenberg model are found. Such structures contain sources and vortices. It is shown that their dipole configurations have finite energy. A stability of structures are discussed. Работа выполнена в рамках государственного задания ФАНО России (тема «Квант», номер г. р. 01201463332) ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках Low-amplitude three-dimensional structures in magnets Article published earlier |
| spellingShingle | Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках Борисов, А.Б. Киселев, В.В. Расковалов, А.А. Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны |
| title | Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках |
| title_alt | Low-amplitude three-dimensional structures in magnets |
| title_full | Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках |
| title_fullStr | Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках |
| title_full_unstemmed | Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках |
| title_short | Малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках |
| title_sort | малоамплитудные трехмерные структуры в магнетиках |
| topic | Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны |
| topic_facet | Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176193 |
| work_keys_str_mv | AT borisovab maloamplitudnyetrehmernyestrukturyvmagnetikah AT kiselevvv maloamplitudnyetrehmernyestrukturyvmagnetikah AT raskovalovaa maloamplitudnyetrehmernyestrukturyvmagnetikah AT borisovab lowamplitudethreedimensionalstructuresinmagnets AT kiselevvv lowamplitudethreedimensionalstructuresinmagnets AT raskovalovaa lowamplitudethreedimensionalstructuresinmagnets |