Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями
В связи с повышенным в последнее время интересом к механическим свойствам квантовых кристаллов существует потребность изучения низкотемпературной динамики дислокаций. В эту динамику немаловажный вклад вносит туннелирование через барьеры, создаваемые периодическим рельефом кристаллической решетки, пр...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176254 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями / Б.В. Петухов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 9. — С. 1163-1170. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860248758716989440 |
|---|---|
| author | Петухов, Б.В. |
| author_facet | Петухов, Б.В. |
| citation_txt | Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями / Б.В. Петухов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 9. — С. 1163-1170. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | В связи с повышенным в последнее время интересом к механическим свойствам квантовых кристаллов существует потребность изучения низкотемпературной динамики дислокаций. В эту динамику немаловажный вклад вносит туннелирование через барьеры, создаваемые периодическим рельефом кристаллической решетки, приводящее к образованию пар кинков. Недостаточное совершенство кристаллов
зачастую накладывает неконтролируемые возмущения, модифицирующие закономерности процесса
туннельного образования кинков. В работе моделируется влияние возмущений случайными полями
внутренних напряжений типа пространственного «гауссовского шума». Рассчитывается средняя по реализациям случайных полей частота квантово-механического туннельного образования пар кинков. Показано, что даже относительно слабые по сравнению с кристаллическим рельефом возмущения приводят к
существенной модификации зависимости частоты образования кинков от движущей силы.
У зв'язку з підвищенням останнім часом інтересу до механічних властивостей квантових кристалів існує потреба ви-вчення низькотемпературної динаміки дислокацій. В цю динаміку важливий внесок вносить тунелювання через бар'єри, які створені періодичним рельєфом кристалічної гратки, що призводить до утворення пар кінків. Недостатня доскона-лість кристалів найчастіше накладає неконтрольовані збудження, які модифікують закономірності процесу тунельного утворення кінків. В роботі моделюється вплив збуджень випадковими полями внутрішніх напружень типу просторового «гауссівського шуму». Розраховується середня з реалізацій випадкових полів частота квантово-механічного тунельного утворення пар кінків. Показано, що навіть відносно слабкі у порівнянні з кристалічним рельєфом збудження призводять до суттєвої модифікації залежності частоти утворення кінків від рушійної сили.
Due to the recent increased interest in the mechanical properties of quantum crystals, there is a need to study the lowtemperature dynamics of dislocations. Tunneling through the
barriers created by the periodic relief of the crystal lattice, which
leads to the formation of pairs of kinks, makes an important contribution to this dynamics. The lack of perfection of the crystals
imposes often uncontrolled perturbations, modifying the features
of the process of the tunneling formation of kinks. The perturbations are modeled by the random fields of internal stresses such
as spatial "Gaussian noise". The average over realizations of random fields rate of quantum-mechanical tunnel formation of the
kink pairs is calculated. It is shown that even perturbations that
are relatively weak in comparison with the crystalline relief lead
to a significant modification of the kink formation rate dependence on the driving force
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:40:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 9, c. 1163–1170
Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях
в потенциальном рельефе Пайерлса
со случайными искажениями
Б.В. Петухов
Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН,
Ленинский пр. 59, г. Москва, 119333, Россия
E-mail: petukhov@ns.crys.ras.ru
Статья поступила в редакцию 13 марта 2018 г., опубликована онлайн 26 июля 2018 г.
В связи с повышенным в последнее время интересом к механическим свойствам квантовых кристал-
лов существует потребность изучения низкотемпературной динамики дислокаций. В эту динамику нема-
ловажный вклад вносит туннелирование через барьеры, создаваемые периодическим рельефом кристал-
лической решетки, приводящее к образованию пар кинков. Недостаточное совершенство кристаллов
зачастую накладывает неконтролируемые возмущения, модифицирующие закономерности процесса
туннельного образования кинков. В работе моделируется влияние возмущений случайными полями
внутренних напряжений типа пространственного «гауссовского шума». Рассчитывается средняя по реа-
лизациям случайных полей частота квантово-механического туннельного образования пар кинков. Пока-
зано, что даже относительно слабые по сравнению с кристаллическим рельефом возмущения приводят к
существенной модификации зависимости частоты образования кинков от движущей силы.
Ключевые слова: квантовые кристаллы, кинки, туннелирование, случайные внутренние напряжения.
Введение
Существует большое количество материалов, ярко
проявляющих при достаточно низких температурах
квантовое поведение механических свойств. В первую
очередь можно указать кристаллы He и Ne, молекуляр-
ные твердые материалы H2 и CH4, некоторые ионные
(LiH), ковалентные (графит) и металлические (Li) кри-
сталлы, а также вигнеровские кристаллы, решетки вих-
рей и ряд других (в качестве недавнего обзора см. [1]).
Многие свойства таких материалов определяются под-
вижностью дефектов, в частности, дислокаций, преодо-
левающих препятствия с помощью квантовых механиз-
мов. Неоценимый вклад в исследование квантовых
механизмов движения дислокаций и низкотемператур-
ной пластичности материалов внесли В.Д. Нацик и его
коллеги в многочисленных работах, из которых упомя-
нем только некоторые [2–6]. Эволюция ранних экспе-
риментальных исследований низкотемпературных ано-
малий пластичности кристаллических материалов
описана в обзоре [7].
В работе [8] высказано предположение, что наблю-
дающиеся особенности низкотемпературной пластично-
сти p-H2 в области температур 1,8–4,2 К обусловлены
особенностями когерентного зонного перемещения пере-
гибов на дислокациях в пайерлсовском рельефе кристал-
лической решетки, модулированном остаточной приме-
сью ортомолекул и дейтерия. Проведенный в работе [9]
полуколичественный анализ экспериментальных ре-
зультатов дал авторам основания высказать утвержде-
ние, что характеристики зарегистрированных процессов
пластического течения в твердом 3He можно трактовать
в рамках существующих представлений о механизмах
движения дислокаций в рельефе Пайерлса.
Низкотемпературное туннелирование дислокаций в
периодическом потенциальном рельефе кристалличе-
ской решетки является одним из примеров макроскопи-
ческой квантовой динамики. Основополагающие идеи
такой динамики были сформулированы в работе [10] и
получили широкое дальнейшее развитие и разносторон-
ние приложения [11]. Помимо туннелирования дисло-
каций [12,13], квантовое рождение пар кинков изуча-
лось применительно к длинным джозефсоновским кон-
тактам [14], волнам зарядовой плотности [15,16] и
многим другим системам [17]. Наблюдение неклассиче-
ской вращательной инерции в твердом 4He [18] вызвало
новый всплеск интереса к квантовым кристаллам [19] и
предсказанным ранее [20] особенностям квантовой ди-
намики дефектов в них.
© Б.В. Петухов, 2018
Б.В. Петухов
В исследуемых материалах неизбежно присутствует
та или иная степень неупорядоченности. С понижением
температуры увеличивается роль неоднородностей про-
тяженного барьера Пайерлса, что должно приводить к
увеличению статистического разброса вероятности об-
разования пары кинков. Целью настоящей работы явля-
ется выяснение влияния неконтролируемых составляю-
щих реальной структуры кристаллов, моделируемых
случайными полями внутренних напряжений, на зако-
номерности квантового туннелирования дислокаций.
2. Описание модели
Широко используемой простой моделью дислока-
ции в кристалле является струна в плоском периодиче-
ском потенциале U0(y), называемом барьерами Пайер-
лса и имитирующим рельеф кристаллической решетки.
Период функции U0(y), описывающей энергию дисло-
кации в расчете на единицу длины при однородном
смещении y, обозначим h. Энергии различных неодно-
родных конфигураций дислокационной струны y(x,t)
представляются функционалом
{ } [ ]2 2
0( ) ( , ) ( , ) ( , ) .
2 2
, y x t y xE y t U y x t dxx t ρ κ ′+ +
=
∫
(1)
Здесь ρ — плотность массы дислокации на единицу
длины, κ — линейное натяжение, точка над символом
означает дифференцирование по времени, штрих —
дифференцирование по пространственной координате
x вдоль долины кристаллического рельефа. Отметим,
что модель струны (1) является чрезвычайно общей и
получаемые в ее рамках результаты без труда перено-
сятся на описание динамики квазиодномерных систем
самой различной природы (см., например, [17,21]).
Положение дислокационной линии вблизи дна по-
тенциального рельефа кристаллической решетки при
приложении внешнего напряжения σ, не превышающе-
го так называемого напряжения Пайерлса Pσ =
0 )1 max
(dU y
b dy
= (b — величина вектора Бюргерса дис-
локации), становится метастабильным и имеет конечное
время жизни. За счет флуктуаций дислокация преодоле-
вает барьер, разделяющий долины кристаллического
рельефа, и переходит в энергетически более выгодное
положение, смещаясь на период решетки в направле-
нии, диктуемом внешней нагрузкой.
Переход дислокации в соседнюю долину кристалли-
ческого рельефа оптимальным образом, т.е. с преодоле-
нием энергетического барьера минимальной высоты,
происходит путем образования локального зародыша
нового положения. Как детально описано во многих
монографиях, например в [22,23], зародыш представля-
ет собой участок дислокации в соседней долине, огра-
ниченный перегибами дислокационной линии через
хребет кристаллического рельефа. Эти перегибы назы-
вают также кинками или топологическими солитона-
ми. Кинк представляет собой коллективную моду, спо-
собную перемещаться вдоль хребта кристаллического
рельефа, вовлекая в свое движение эстафетным образом
различные группы атомов материала. При достаточной
плавности перегиба или, другими словами, протяжен-
ности кинка dk, заметно превышающей период решет-
ки вдоль линии дислокации a, рельефом Пайерлса вто-
рого рода можно пренебречь и трансляция кинка в
однородном поле напряжений под действием движу-
щей силы f = σbh происходит свободно.
В работе [24] путем исследования геометрии энерге-
тического рельефа при напряжениях, низких по сравне-
нию с σP, показано, что эти перегибы, или кинки, явля-
ются довольно устойчивыми образованиями по
отношению к изменению их формы, что позволяет счи-
тать их некоторым подобием квазичастиц. Кинк харак-
теризуется собственной энергией Ek и массой mk. Суще-
ствует связь наподобие релятивистской: Ek = mkc
2,
/ c= κ ρ — скорость звука.
Вероятность низкотемпературного туннельного об-
разования пары кинков в квазиклассическом приближе-
нии, в основном, описывается экспоненциальным фак-
тором [12]
2Г expq S=
−
, (2)
где действие S есть интеграл от лагранжиана L: S =
Ldt= ∫ , вычисляемый вдоль оптимальной траектории,
переводящей систему через барьер. В работе [12] ис-
пользовалось описание пары кинков как обычной ква-
зичастицы с лагранжианом 21 ( )
2 p pxL m E x= − и энергией
.( ) 2p kE x E bhx= −σ Здесь x — координата относитель-
ного движения кинка и антикинка в паре, и, соответст-
венно, mp — приведенная масса, равная mk/2. Эти вы-
ражения, строго говоря, неприменимы при малом
разделении кинков x порядка ширины индивидуально-
го кинка dk, однако вклад этой области мало существе-
нен. Характерной чертой полученного в [12] результа-
та является чрезвычайно резкая зависимость частоты
рождения кинков от напряжения «зенеровского» типа
{ }Г exp –const /q = σ .
Впоследствии по мере широкого распространения
«солитонной парадигмы» [25,26] задача о туннельном
зарождении пар кинков «всплывала» в самых различных
областях физики, включая теорию поля [27], джозефсо-
новские контакты [28] и многие другие. В настоящей
работе при описании динамики кинков будет приме-
няться «релятивистский» подход [15–17] и др., приво-
дящий при однородном напряжении к лагранжиану
21 ( / 2 )2 ,k x cL E bhx= − + σ−
(3)
где x = dx/dt — скорость относительного движения
кинков в паре.
1164 Low Temperature Physics/ Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 9
Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса
Кроме того, будет дополнительно учтено случайно
неоднородное внутреннее напряжение σi(x). Такое
обобщение, модифицирующее закономерности динами-
ки дислокаций в кристаллах, является следствием нали-
чия обычно плохо контролируемых искажений идеаль-
ной периодической структуры. Влияние отдельных
локальных неоднородностей на вероятность туннелиро-
вания дислокации через барьер Пайерлса изучалось в
работах [29,30]. В работе [31] рассчитывалась усреднен-
ная по положениям примесей квантовая перенормиров-
ка действия и энергии кинка. В настоящей работе най-
дем среднюю частоту туннельного образования пар
кинков в случайно неоднородной среде.
Влияние неупорядоченности реальной структуры
кристалла будем моделировать внутренним напряже-
нием σi(x), представляющим собой пространственный
гауссовский шум, возможно, с ненулевым средним зна-
чением <σi(x)> = σav и корреляционной функцией
<(σi(x) –– σav)(σi(x′) – σav)> = 2Diδ(x – x′). Другой попу-
лярной моделью неупорядоченности, применяемой при
описании динамики обычных частиц, являются хаоти-
чески расположенные короткодействующие дефекты,
создающие нескоррелированный энергетический рель-
еф. Подчеркнем отличие рассматриваемого энергети-
ческого рельефа для кинков, в котором проявляется
принципиальная разница природы кинков и обычных
частиц. А именно, энергия кинка при его перемещении
в поле случайных внутренних напряжений совершает
случайные блуждания по энергетической шкале и об-
ладает памятью о предыстории. Такой потенциал был
предложен в [32] и фигурировал впоследствии под
разными названиями: поле случайной силы, потенциал
Синая и т.п. [33].
Можно для иллюстрации привести простую модель
внутренних напряжений, создаваемых хаотически рас-
положенными вдоль линии дислокации примесными
атомами, изменяющими энергию ядра дислокации на
некоторую величину типа энергии связи u. Обозначим
числа заполнения i-го узла решетки ni1 в первой долине
и ni2 во второй долине, ni1,2 = 1, если узел содержит
примесь, ni1,2 = 0, если примесь отсутствует. Тогда вно-
симое примесями изменение энергии дислокационного
сегмента длиной ma при его перемещении из первой
долины кристаллического рельефа во вторую можно
записать как 2 1
1
( )
m
i i
i
n nE u
=
∆ −= ∑ , a — период решетки
вдоль линии дислокации. Вероятность заполнения узла,
т.е. того, что ni1,2 = 1 равна средней концентрации при-
месных атомов c1 на узел решетки в первой долине и c2
на узел решетки во второй долине, соответствующая
вероятность отсутствия примеси равна 1 – c1,2. Тогда
среднее изменение энергии есть <ΔE> = u(c2 – c1)m.
При наличии асимметрии распределения примесей по
долинам кристаллического рельефа из-за их избытка в
исходном положении дислокации c1 > c2, что эквива-
лентно наличию «сухого трения», или пиннинга, ха-
рактеризуемого напряжением
2 1( )
av
u c c
abh
−
σ = . (4)
Вычислим среднее от квадрата изменения энергии.
Используем выражение
2 2
2
2 1 2
1 1 1
( )
m m m m
i i i i i j
i i i i j
n n n n n n
= = = <
− = ∆ = ∆ + ∆ ∆
∑ ∑ ∑ ∑ .
Усредняя, получаем
( )2 1 ,n c c< ∆ >= −
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1–2 – 2 .n n n n n c c c c< ∆ >=< > + < > < >< >= +
2 2
2
2 1
1
1( ) ( )
m
i i
i
m n m nn n m
=
−
<
>= < ∆ > + − < ∆ > =∑
2
2 1 2 1 2 12 1( ) ( )( )m c c c c m m c c= + − + − − =
2 2 2 2
2 2 1 1 2 1) .( ( )m c c c c m c c= − + − + −
Следовательно,
( )2 2 2 2 2
2 2 1 1 .E E u m c c c c< ∆ > − < ∆ > = − + −
В континуальном пределе 1,2 1c и 2 2E E< ∆ > − < ∆ > ≈
2
2 1).(u m c c≈ + Таким образом, «коэффициент диффу-
зии» кинка по шкале энергии есть
2
2 1 2( ) / .iD u c c a= + (5)
Внутреннее напряжение накладывается на однород-
ное внешнее напряжение σ, так что пара кинков эво-
люционирует в потенциальном рельефе
2 ( ),( )p kE x E s x= − (6)
где [ ]
0
( ) ( )
x
i x bhds xx ′ ′σ + σ= ∫ .
Уравнение Эйлера–Лагранжа с независящим от вре-
мени потенциалом имеет, как известно, интеграл энергии
2
2
22
2
1 ( / 2 )
41 ( / 2 )
2 ( )
const 0.
k
kL E
EL xx x c
x cx c
s x∂
+− = =−
= =
−
∂ −
(7)
(В точке поворота траектории x0, являющейся нулем
потенциала, 0x = , следовательно, const = 0.)
Используя (7), преобразуем выражение для дейст-
вия к виду
0
0
2 2( )/ 2 ( )1 4 k
x
S c E xdx s−= ∫ . (8)
Для вероятности туннельного образования пары кин-
ков Г0q = exp(–2S/) в идеальном материале (без внут-
Low Temperature Physics/ Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 9 1165
Б.В. Петухов
ренних напряжений, s(x) = σ) из (8) следует, как было
получено в [15],
2
0
0
Г exp –q
kE
cf
=
π
. 0 .f bh= σ (9)
При наличии случайного потенциала s(x) и x0, и Гq —
случайные величины, зависящие от локальной реализа-
ции s(x). По этой причине следует применять статисти-
ческое описание и характеризовать процесс туннельного
зарождения кинков средними величинами и функциями
распределения. Статистическим расчетам для функцио-
налов от случайных функций типа броуновских траек-
торий в недавнее время уделялось большое внимание
как математиками, так и физиками (см. [34,35] в качест-
ве обзоров). Займемся вычислением средней вероятно-
сти преодоления туннельного барьера Гq, руководству-
ясь выработанными там рецептами
0
0
2 21 ( )Г exp 4 .q
x
kdx s x
c
E
< >=< − >
−
∫
(10)
Хотя из принятого определения s(x) следует s(x) → 0
при x → 0, удобно в промежуточном расчете ввести
некоторое ненулевое начальное значение случайной
функции s(0) = s0, положив его равным нулю в оконча-
тельных выражениях. Некоторые связанные с этим
обобщением моменты будут прокомментированы в
Заключении. Обозначим Q(s0) среднее (10) по бро-
уновским траекториям, начинающимся при x = 0 со
значения s0 и продолжающимся до x = x0, являющейся
точкой первого пересечения траекторией нулевого
уровня потенциала, в которой барьер заканчивается
0
0
0( ) ( ( ))exp .
x
V s xQ dxs
=< − >
∫ (11)
Здесь ( ) 2 21 4) ( )( kE s
c
x xV s = −
. Для Q(s0) может быть
стандартным способом получено уравнение [35]. Вы-
делим на траектории малый начальный участок протя-
женностью dx, приводящий к переходу в s0 + ds0. Для
оставшегося участка траектории движение начинается
в точке dx со значения s0 + ds0, что дает возможность
переписать соотношение (11) в виде
[ ]
0
0 0( ) ( ) ( ( ))1 exp .
x
dx
V s x dQ s xV s dx
= ′ ′− < − >
∫
(12)
Значение для рассматриваемых траекторий имеет лишь
величина s в начале траектории, дальнейший процесс
не зависит от того, что было при меньших x. Поэтому
– ( (xp )e )
cx
dx
V s x dx
′ ′<
>
∫ есть та же самая функция Q, но
со сдвинутым аргументом – ( (xp )e )
cx
dx
V s x dx
< >=
′
′∫
0 0 .( )Q s ds= + Здесь ds0 является случайной величиной,
по которой следует еще произвести усреднение. Сле-
довательно,
___________________________________________________
[ ] ( )0 0 0 0( ) ( )1Q s V s dx Q s ds= − < + >≈
[ ]
2
0 0 2
0 0 0 02
0 0
( ) ( )1
2
1 .( ) ( )V s
dQ s d Q s
d
dx Q s
s
ds ds
ds
≈ − < + < > + < > +… >
(13)
______________________________________________
Подставляя в (13) 0 ( ,)avds bhdx< >= σ+σ 2
0ds< >≈
2 2 2
02 ib h D dx ds≈ + < > и сравнивая линейные по dx
вклады, приходим к уравнению
2
2 20 0
2
0
00
0
2
( ) ( )
4 ( ) 0.k
d Q s dQ s
E s
d
A B Q s
sds
−+ − =
(14)
Здесь ,
2
av
iD
A
bh
σ +σ
= 2 2
1 .
i
B
cb h D
=
Функция Q(s0) удовлетворяет граничным условиям:
Q(2Ek) = 1, так как при s0 = 2Ek, очевидно, x0 = 0, и
из (11) следует Q(2Ek) = 1; Q(–∞) = 0, так как при
s0 → –∞ x0 → ∞, и из (11) следует Q(s0) → 0.
Произведем подстановку U(s0) = Q(s0) exp (As0),
приводящую к уравнению
2
0 0
2 2
0 0;( ) 4 ( )kE sU s A B U s −
′′ − + =
(15)
Граничные условия для U(s0)
( ) ( )2 exp 2 ; 0.0( )U E AE U sk k= → −∞ →
Используя аналогию уравнения (15) с уравнением
Шредингера, ищем его приближенное «квазиклассиче-
ское» решение в виде [ ]0exp ( )Z s и, пренебрегая вто-
рой производной от Z(s0), получаем приближенно
1166 Low Temperature Physics/ Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 9
Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса
0
2 1/2
2 2 21
0 01/2
2 2 2
0
0
( ) 4e
4
xp
kE
k
sk
C A B E s dU s s
A B E s
′ ′+ − + −
= − +
∫
0
2 1/2
2 2 22
0 01/2
2 2 2
0
ex 4p .
4
kE
k
sk
C A B E s ds
A B E s
′ ′+ + − + −
∫
(16)
______________________________________________
Из условия 0( ) 0U s → −∞ → следует C2 = 0. Из второго
граничного условия 2 exp( ) (2 )k kU E E A= получаем
1 (exp 2 .)kC A E A= Полагая в полученном решении
s0 = 0 и возвращаясь к Q(s0), получаем
[ ]
2
1/2
1( ) ( )Г 0 exp
1
,
( )
k
av
q Q N
E
cbhN
<
π
σ + σ+
ϕ
>= = −
(17)
где 2
8
( )
k i
av
E D
c
N
σ+σ
=
, а функция ( )Nϕ =
1 1/2
2
0
8 1 1 1N t dt
N
= + − − π
∫ дает перенормировку
идеальной экспоненты в (9), полностью описывая влия-
ние неупорядоченности с помощью одного параметра N.
При слабом влиянии неупорядоченности 1N при-
ближенное вычисление интеграла дает
( )
2 3
2 3
16
( ) 3( ) (
0 exp
)
.k k i
av av
E E D
c bh c bh
Q
π
+
σ + σ σ +
≈ −
σ
(18)
Первое слагаемое в показателе экспоненты согласуется
с выражением (9) с учетом перенормировки внешнего
напряжения средним значением внутреннего напряже-
ния σav (например, из-за асимметрии распределения
примесей по долинам рельефа). Отрицательное значе-
ние σav < 0 понижает вероятность туннелирования. Вто-
рое слагаемое в показателе экспоненты (18) описывает
поправку, обусловленную флуктуациями внутренних
напряжений, и, будучи положительным, напротив, при-
водит к увеличению вероятности туннелирования.
При сильной неупорядоченности 1N
( )
( )
1 1/42
1/2
0
1
3/2
/2
1
0 1( exp 2
exp
) ( ) 1
(2 )
8
,k
k
av
k i i
t dt
N
Ec
E D cD b
Q
h
E A N
K
−
≈ −
=
= σ + σ −
∫
(19)
где ( )
1 1/42
0
1
Г(1/ 4)1
6Г(3 / 4
0,874019
)
tK t d= = ≈
π
− …∫ , Г —
интеграл Эйлера второго рода.
Обращает на себя внимание отсутствие зависимости
показателя экспоненты от напряжения. По порядку
величины действие при сильной неупорядоченности
составляет 1/ N от идеального значения, т.е. вероят-
ность туннелирования в среднем повышается. Это про-
явление вклада от благоприятствующих флуктуаций,
понижающих барьер.
В общем случае произвольных значений N для по-
казателя экспоненты можно написать аппроксимацию
2 1 1,53736ln Г
1 1,23656 0, 0
,
( 6 7) 9 4q
k
av
NE
N Ncbh
+
< >= −
+ +
π
σ + σ
(20)
максимальная погрешность которой ~ 0,5%.
Зависимость абсолютного значения показателя экс-
поненты средней вероятности туннельного образова-
ния пары кинков от эффективного напряжения проил-
люстрирована на рис. 1. Как видно, резкий рост этой
величины при уменьшении эффективного напряжения
в идеальном кристалле (приводящий к еще более рез-
кому убыванию самой вероятности) сменяется ее вы-
ходом на конечное значение в соответствии с (19). Это
предельное значение уменьшается при увеличении
степени неупорядоченноси.
Рис. 1. Зависимость логарифма средней вероятности образо-
вания пары кинков при различной степени неупорядоченно-
сти, характеризуемой параметром 2 2 3( )4 / kic bh D Eπ , значе-
ния которого указаны цифрами у кривых. Штриховая линия
соответствует идеальной зависимости от напряжения, σi =
2 /k iE D c= .
Low Temperature Physics/ Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 9 1167
Б.В. Петухов
Заключение
Промоделировано влияние неупорядоченной состав-
ляющей энергетического рельефа кристалла на образо-
вание пар дислокационных кинков при низких темпера-
турах, когда этот процесс имеет характер квантового
туннелирования. Ввиду предполагаемого случайного
характера возмущений вероятность зарождения каждой
пары кинков Гq зависит от конкретной реализации
внутренних напряжений в окрестности места события. В
разных удаленных друг от друга местах вдоль линии
дислокации такие реализации статистически независи-
мы. Поэтому при множественном параллельном воз-
никновении пар кинков частота их образования самоус-
редняется в силу законов больших чисел, так что
скорость движения дислокации определяется средней
по всем возможным конфигурациям случайных внут-
ренних напряжений вероятностью <Гq>.
В результате проведенного расчета найдена зависи-
мость усредненной вероятности туннельного образова-
ния пары кинков от движущей силы, параметров струн-
ной модели и статистических характеристик случайных
внутренних напряжений. Рассматривался случай низких
значений движущей силы, применительно к дислокаци-
ям это означает напряжения как внешние, так и внут-
ренние, малые по сравнению с напряжением Пайерлса.
При этом задача сводится к описанию одномерного
движения по коллективной координате — относитель-
ному расстоянию между кинком и антикинком в заро-
ждающейся паре, что позволяет использовать хорошо
разработанные методы теории случайных одномерных
процессов. Расчет показал в итоге, что даже относи-
тельно слабые по сравнению с кристаллическим рель-
ефом возмущения приводят к существенной модифи-
кации зависимости частоты образования кинков от
движущей силы.
Хотя к описанию движения дислокаций в классиче-
ских (не квантовых) материалах напрямую полученные
результаты неприменимы, некоторые качественные их
следствия, например, конкуренция уменьшающей час-
тоту образования кинков однородной перенормировки
действующего напряжения и повышающих эту частоту
флуктуаций внутренних напряжений могут помочь
понять часто наблюдаемое разнонаправленное влияние
легирования на пластичность [6]. Рисунок 2 качествен-
но иллюстрирует такое влияние. Наличие среднего
вклада случайного потенциала может быть обусловле-
но динамическим старением дислокаций, приводящим
к возникновению некоторого напряжения пиннинга,
которое играет роль порога в движении дислокаций.
Однако вопрос о соотношении средней и флуктуаци-
онной составляющих возмущающего рельефа требует
дополнительного исследования. Оставлено в стороне
также изучение влияния на зарождение пар кинков
предактивации и температуры.
Проведенный расчет допускает различные обобще-
ния, расширяющие область его использования. Приме-
нительно к дислокациям возможно наложение другого
типа локальных возмущений, служащих центрами за-
рождений кинков. Влияние таких центров сводится к
перенормировке высоты барьера — 2Ek, в идеальном
кристалле — на некоторую величину ΔE. Напомним,
что при переходе от формулы (16) к (17) начальное зна-
чение случайного потенциала s(x) полагалось нулем,
что, в принципе, необязательно. Поведение s(x) при
размере пары x ~ dk, когда кинк и антикинк перекрыва-
ются, вещь условная, и полученные выражения допус-
кают замену s0 на другое значение ΔE. Это не должно
привести к существенной модификации вычисленной
зависимости частоты рождения кинков от напряжения
ввиду локального характера вносимого возмущения.
Как показывают расчет в [29] и детальное исследова-
ние в теории разупрочнения материалов при легирова-
нии (см., например, [23]), возмущения, локализован-
ные в области размеров порядка ширины кинка, слабо
зависят от напряжения при .Pσ σ
Отметим также чрезвычайно общий характер ис-
пользуемой модели, что допускает перенос получен-
ных результатов на другие системы с переключением
состояний в физике, химии, биологии и т.д., в которых
существенна низкотемпературная динамика кинк-
солитонов или доменных стенок [36–38].
________
1. C. Cazorla and J. Boronat, Rev. Mod. Phys. 89, 035003 (2017).
2. В.Д. Нацик, А.Д. Рощупкин, ФНТ 6, 101 (1980) [Sov. J.
Low Temp. Phys. 6, 49 (1980].
3. В.Д. Нацик, Г.И. Кириченко, B.B. Пустовалов, В.П.
Солдатов, С.Э. Шумилин, ФНТ 22, 965 (1996) [Low
Temp. Phys. 22, 733 (1996)].
4. А.Н. Диулин, Г.И. Кириченко, В.Д. Нацик, В.П. Солдатов,
ФНТ 24, 595 (1998) [Low Temp. Phys. 24, 452 (1998)].
Рис. 2. Конкуренция пиннинга и флуктуаций, понижающих
высоту барьера. Средняя перенормировка напряжения
σav = –0,1σi, параметр 2 2 34 ( ) / 0,25.i kc bh D Eπ = Штриховая
линия соответствует идеальному кристаллу.
1168 Low Temperature Physics/ Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 9
https://doi.org/10.1103/RevModPhys.89.035003
https://doi.org/10.1063/1.593616
Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса
5. В.Д. Нацик, В.П. Солдатов, Л.Г. Иванченко, Г.И.
Кириченко, ФНТ 30, 340 (2004) [Low Temp. Phys. 30, 253
(2004)].
6. Г.И. Кириченко, В.Д. Нацик, В.В. Пустовалов, В.П.
Солдатов, С.Э. Шумилин, ФНТ 36, 445 (2010) [Low
Temp. Phys. 36, 351 (2010)].
7. В.В. Пустовалов, ФНТ 15, 901 (1989) [Sov. J. Low Temp.
Phys. 15, 497 (1989)].
8. Л.А. Алексеева, Д.Н. Казаков, ФТТ 49, 2005 (2007) [Phys.
Solid-State 49, 2104 (2007)].
9. А.А. Лисунов, В.А. Майданов, В.Ю. Рубанский, С.П.
Рубец, Э.Я. Рудавский, С.Н. Смирнов, ФНТ 42, 1372
(2016) [Low Temp. Phys. 42, 1075 (2016)].
10. И.М. Лифшиц, Ю.М. Каган, ЖЭТФ 62, 385 (1972) [Sov.
Phys. JETP 35, 206 (1972)].
11. U. Weiss, Quantum Dissipative Systems, World Scientific
Publishing Co. Pvt. Ltd, Singapore (2008).
12. Б.В. Петухов, В.Л. Покровский, Письма в ЖЭТФ 15, 63
(1972) [JETP Lett. 15, 44 (1972)].
13. P-G de Gennes, C. R. Physique 7, 561 (2006).
14. S. Takagi, Macroscopic Quantum Tunneling, Cambridge
University Press, Cambridge (2002).
15. K. Maki, Phys. Rev. B 18, 1641 (1978).
16. И.В. Криве, А.С. Рожавский, ФНТ 6, 1272 (1980) [Sov.
Low Temp. Phys. 6, 618 (1980)].
17. B.I. Ivlev and V.I. Mel’nikov, Phys. Rev. B 36, 6889 (1987).
18. E. Kim and M.H.W. Chan, Science 305, 1941 (2004).
19. D. Aleinikava, E. Dedits, and A.B. Kuklov, J. Low Temp.
Phys. 162, 464 (2011).
20. А.Ф. Андреев, УФН 118, 251 (1976) [Sov. Phys. Usp. 19,
137 (1976).
21. F. Marchesoni, Phys. Rev. B 57, 7930 (1998).
22. Дж. Хиpт, И. Лоте, Теоpия дислокaций, Aтомиздaт,
Москва (1972).
23. Б.В. Петухов, Динамика дислокаций в кристаллическом
рельефе. Дислокационные кинки и пластичность
кристаллических материалов, Lambert Academic
Publishing, Saarbrücken (2016).
24. Б.В. Петухов, В.Л. Покровский, ЖЭТФ 63, 634 (1972)
[JETP 36, 336 (1973)].
25. A.R. Bishop, J.A. Krumhansl, and S.E. Trullinger, Solitons
in Condensed Matter: A Paradigm Physica D 1, 1 (1980).
26. О.М. Браун, Ю.С. Кившарь, Модель Френкеля–
Конторовой. Концепции, методы, приложения, Springer,
Berlin (2008).
27. М.Б. Волошин, И.Ю. Кобзарев, Л.Б. Окунь, Ядерн. физ.
20, 1229 (1974) [Sov. J. Nucl. Phys. 20, 644 (1975)].
28. M.V. Fistul, A. Wallraff, Y. Koval, A. Lukashenko, B.A.
Malomed, and A.V. Ustinov, Phys. Rev. Lett. 91, 257004
(2003).
29. Б.В. Петухов, В.Я. Сухарев, ФНТ 9, 520 (1983) [Sov. J.
Low. Temp. Phys. 9, 264 (1983)].
30. T. Kato, Phys. Rev. B 64, 134106 (2001).
31. I.V. Krive and A.S. Rozhavsky, Phys. Lett. A 132, 363
(1988).
32. Б.В. Петухов, ФТТ 13, 1445 (1971) [Sov. Phys. Solid State
13, 1204 (1971)].
33. J.-P. Bouchaud and A. George, Phys. Rep. 195, 127 (1990).
34. M. Yor, Exponential Functionals of Brownian Motion and
Related Processes, Springer, Berlin (2000).
35. S.N. Majumdar, in: The Legacy of Albert Einstein: A Collection
of Essays in Celebration of the Year of Physics, World
Scientific, Singapore (2007), p. 93.
36. M. Dubé and P.C. Stamp, J. Low Temp. Phys. 110, 779
(1998).
37. Р. Раджараман, Солитоны и инстантоны в квантовой
теории поля, Мир, Москва (1985).
38. T. Vachaspati, Kinks and Domain Walls. An Introduction to
Classical and Quantum Solitons, Cambridge University
Press, Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape
Town, Singapore, São Paulo (2006).
___________________________
Тунельне зародження пар кінків на дислокаціях
в потенційному рельєфі Пайєрлса
з випадковими спотвореннями
Б.В. Петухов
У зв'язку з підвищенням останнім часом інтересу до меха-
нічних властивостей квантових кристалів існує потреба ви-
вчення низькотемпературної динаміки дислокацій. В цю ди-
наміку важливий внесок вносить тунелювання через бар'єри,
які створені періодичним рельєфом кристалічної гратки, що
призводить до утворення пар кінків. Недостатня доскона-
лість кристалів найчастіше накладає неконтрольовані збу-
дження, які модифікують закономірності процесу тунельного
утворення кінків. В роботі моделюється вплив збуджень ви-
падковими полями внутрішніх напружень типу просторового
«гауссівського шуму». Розраховується середня з реалізацій
випадкових полів частота квантово-механічного тунельного
утворення пар кінків. Показано, що навіть відносно слабкі у
порівнянні з кристалічним рельєфом збудження призводять
до суттєвої модифікації залежності частоти утворення кінків
від рушійної сили.
Ключові слова: квантові кристали, кінки, тунелювання, випад-
кові внутрішні напруження.
Tunneling nucleation of kink pairs on dislocations
in the Peierls potential relief
with random distortions
B.V. Petukhov
Due to the recent increased interest in the mechanical proper-
ties of quantum crystals, there is a need to study the low-
temperature dynamics of dislocations. Tunneling through the
barriers created by the periodic relief of the crystal lattice, which
leads to the formation of pairs of kinks, makes an important con-
Low Temperature Physics/ Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 9 1169
https://doi.org/10.1063/1.1645187
https://doi.org/10.1063/1.3418993
https://doi.org/10.1063/1.3418993
https://doi.org/10.1134/S1063783407110157
https://doi.org/10.1134/S1063783407110157
https://doi.org/10.1063/1.4973876
https://doi.org/10.1016/j.crhy.2006.06.008
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.18.1641
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.36.6889
https://doi.org/10.1126/science.1101501
https://doi.org/10.1007/s10909-010-0288-y
https://doi.org/10.1007/s10909-010-0288-y
https://doi.org/10.1070/PU1976v019n02ABEH005133
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.57.7930
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0167278980900032%23!
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0167278980900032%23!
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0167278980900032%23!
https://doi.org/10.1016/0167-2789(80)90003-2
https://doi.org/10.1016/0167-2789(80)90003-2
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.91.257004
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.64.134106
https://doi.org/10.1016/0375-9601(88)90870-5
https://doi.org/10.1016/0370-1573(90)90099-N
https://doi.org/10.1142/9789812772718_0006
https://doi.org/10.1142/9789812772718_0006
https://doi.org/10.1023/A:1022676810365
https://doi.org/10.1017/CBO9780511535192
https://doi.org/10.1017/CBO9780511535192
Б.В. Петухов
tribution to this dynamics. The lack of perfection of the crystals
imposes often uncontrolled perturbations, modifying the features
of the process of the tunneling formation of kinks. The perturba-
tions are modeled by the random fields of internal stresses such
as spatial "Gaussian noise". The average over realizations of ran-
dom fields rate of quantum-mechanical tunnel formation of the
kink pairs is calculated. It is shown that even perturbations that
are relatively weak in comparison with the crystalline relief lead
to a significant modification of the kink formation rate depend-
ence on the driving force.
Keywords: quantum crystals, kinks, tunneling, random internal
stresses.
1170 Low Temperature Physics/ Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 9
Введение
2. Описание модели
Заключение
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176254 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:40:29Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Петухов, Б.В. 2021-02-04T07:52:43Z 2021-02-04T07:52:43Z 2018 Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями / Б.В. Петухов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 9. — С. 1163-1170. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176254 В связи с повышенным в последнее время интересом к механическим свойствам квантовых кристаллов существует потребность изучения низкотемпературной динамики дислокаций. В эту динамику немаловажный вклад вносит туннелирование через барьеры, создаваемые периодическим рельефом кристаллической решетки, приводящее к образованию пар кинков. Недостаточное совершенство кристаллов
 зачастую накладывает неконтролируемые возмущения, модифицирующие закономерности процесса
 туннельного образования кинков. В работе моделируется влияние возмущений случайными полями
 внутренних напряжений типа пространственного «гауссовского шума». Рассчитывается средняя по реализациям случайных полей частота квантово-механического туннельного образования пар кинков. Показано, что даже относительно слабые по сравнению с кристаллическим рельефом возмущения приводят к
 существенной модификации зависимости частоты образования кинков от движущей силы. У зв'язку з підвищенням останнім часом інтересу до механічних властивостей квантових кристалів існує потреба ви-вчення низькотемпературної динаміки дислокацій. В цю динаміку важливий внесок вносить тунелювання через бар'єри, які створені періодичним рельєфом кристалічної гратки, що призводить до утворення пар кінків. Недостатня доскона-лість кристалів найчастіше накладає неконтрольовані збудження, які модифікують закономірності процесу тунельного утворення кінків. В роботі моделюється вплив збуджень випадковими полями внутрішніх напружень типу просторового «гауссівського шуму». Розраховується середня з реалізацій випадкових полів частота квантово-механічного тунельного утворення пар кінків. Показано, що навіть відносно слабкі у порівнянні з кристалічним рельєфом збудження призводять до суттєвої модифікації залежності частоти утворення кінків від рушійної сили. Due to the recent increased interest in the mechanical properties of quantum crystals, there is a need to study the lowtemperature dynamics of dislocations. Tunneling through the
 barriers created by the periodic relief of the crystal lattice, which
 leads to the formation of pairs of kinks, makes an important contribution to this dynamics. The lack of perfection of the crystals
 imposes often uncontrolled perturbations, modifying the features
 of the process of the tunneling formation of kinks. The perturbations are modeled by the random fields of internal stresses such
 as spatial "Gaussian noise". The average over realizations of random fields rate of quantum-mechanical tunnel formation of the
 kink pairs is calculated. It is shown that even perturbations that
 are relatively weak in comparison with the crystalline relief lead
 to a significant modification of the kink formation rate dependence on the driving force ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Низькотемпературна фізика пластичності та міцності Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями Тунельне зародження пар кінків на дислокаціях в потенційному рельєфі Пайєрлса з випадковими спотвореннями Tunneling nucleation of kink pairs on dislocations in the Peierls potential relief with random distortions Article published earlier |
| spellingShingle | Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями Петухов, Б.В. Низькотемпературна фізика пластичності та міцності |
| title | Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями |
| title_alt | Тунельне зародження пар кінків на дислокаціях в потенційному рельєфі Пайєрлса з випадковими спотвореннями Tunneling nucleation of kink pairs on dislocations in the Peierls potential relief with random distortions |
| title_full | Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями |
| title_fullStr | Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями |
| title_full_unstemmed | Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями |
| title_short | Туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе Пайерлса со случайными искажениями |
| title_sort | туннельное зарождение пар кинков на дислокациях в потенциальном рельефе пайерлса со случайными искажениями |
| topic | Низькотемпературна фізика пластичності та міцності |
| topic_facet | Низькотемпературна фізика пластичності та міцності |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176254 |
| work_keys_str_mv | AT petuhovbv tunnelʹnoezaroždenieparkinkovnadislokaciâhvpotencialʹnomrelʹefepaierlsasoslučainymiiskaženiâmi AT petuhovbv tunelʹnezarodžennâparkínkívnadislokacíâhvpotencíinomurelʹêfípaiêrlsazvipadkovimispotvorennâmi AT petuhovbv tunnelingnucleationofkinkpairsondislocationsinthepeierlspotentialreliefwithrandomdistortions |