Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций

Показано, что для квазисредних от произведений полевых операторов в системе бозе-частиц может быть получена цепочка уравнений, аналогичная цепочке Боголюбова в теории классических газов. В случае, когда достаточно ограничиться учетом только квазисредних от одного полевого оператора и произведений...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автор:	Полуэктов, Ю.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176266
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций / Ю.М. Полуэктов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 10. — С. 1326-1335. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176266
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1762662025-02-09T14:24:56Z Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций Спектр елементарних збуджень бозе-системи при урахуванні парних кореляцій Spectrum of elementary excitations of the Bose system with account of pair correlations Полуэктов, Ю.М. Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів Показано, что для квазисредних от произведений полевых операторов в системе бозе-частиц может быть получена цепочка уравнений, аналогичная цепочке Боголюбова в теории классических газов. В случае, когда достаточно ограничиться учетом только квазисредних от одного полевого оператора и произведений двух операторов, получена замкнутая система динамических уравнений при нулевой температуре, учитывающая как одночастичный конденсат, так и парные корреляции. Исследован спектр возбуждений в пространственно однородном состоянии и показано, что он имеет две ветви: акустическую и ветвь с энергетической щелью при нулевом импульсе. Обсуждается возможность существования квазичастичных возбуждений с энергетической щелью в сверхтекучем гелии в связи с экспериментами по поглощению СВЧ излучения. Показано, що для квазісередніх від добутків польових операторів в системі бозе-частинок може бути отримано ланцюжок рівнянь, аналогічний ланцюжку Боголюбова в теорії класичних газів. У разі, коли досить обмежитися урахуванням тільки квазісередніх від одного польового оператора і добутків двох операторів, отримано замкнуту систему динамічних рівнянь при нульовій температурі, що враховує як одночастинковий конденсат, так і парні кореляції. Досліджено спектр збуджень в просторово однорідному стані та показано, що він має дві гілки: акустичну і гілку з енергетичною щілиною при нульовому імпульсі. Обговорюється можливість існування квазічастинкових збуджень з енергетичною щілиною в надплинному гелії в зв'язку з експериментами з поглинання НВЧ випромінювання. It is shown that for the quasiaverages of the products of field operators in the system of Bose particles the chain of equations can be obtained which is similar to the Bogolyubov chain in the theory of classical gases. In the case when it is sufficient to confine ourselves to taking into account the quasiaverages of one field operator and the products of two field operators, the closed system of dynamic equations at zero temperature is obtained which accounts for both the one-particle condensate and pair correlations. The spectrum of excitations in a spatially homogeneous state is explored and it is shown that the spectrum has two branches: the sound wave branch and the branch with an energy gap at zero momentum. The possibility is discussed of existence of the quasiparticle excitations with an energy gap in the superfluid helium in connection with experiments on the absorption of microwave radiation. Автор рад возможности представить данную статью в выпуск журнала, который посвящен восьмидесятилетнему юбилею И.Н. Адаменко и Э.Я. Рудавского, с чьими именами связан его многолетний интерес к такому замечательному и необычному с точки зрения повседневности, но фундаментальному для понимания законов природы, явлению как сверхтекучесть. 2018 Article Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций / Ю.М. Полуэктов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 10. — С. 1326-1335. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176266 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
spellingShingle	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів Полуэктов, Ю.М. Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций Физика низких температур
description	Показано, что для квазисредних от произведений полевых операторов в системе бозе-частиц может быть получена цепочка уравнений, аналогичная цепочке Боголюбова в теории классических газов. В случае, когда достаточно ограничиться учетом только квазисредних от одного полевого оператора и произведений двух операторов, получена замкнутая система динамических уравнений при нулевой температуре, учитывающая как одночастичный конденсат, так и парные корреляции. Исследован спектр возбуждений в пространственно однородном состоянии и показано, что он имеет две ветви: акустическую и ветвь с энергетической щелью при нулевом импульсе. Обсуждается возможность существования квазичастичных возбуждений с энергетической щелью в сверхтекучем гелии в связи с экспериментами по поглощению СВЧ излучения.
format	Article
author	Полуэктов, Ю.М.
author_facet	Полуэктов, Ю.М.
author_sort	Полуэктов, Ю.М.
title	Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций
title_short	Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций
title_full	Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций
title_fullStr	Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций
title_full_unstemmed	Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций
title_sort	спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176266
citation_txt	Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций / Ю.М. Полуэктов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 10. — С. 1326-1335. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT poluéktovûm spektrélementarnyhvozbuždenijbozesistemypriučeteparnyhkorrelâcij AT poluéktovûm spektrelementarnihzbudženʹbozesistemipriurahuvanníparnihkorelâcíj AT poluéktovûm spectrumofelementaryexcitationsofthebosesystemwithaccountofpaircorrelations
first_indexed	2025-11-26T19:22:44Z
last_indexed	2025-11-26T19:22:44Z
_version_	1849882019576676352
fulltext	Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10, c. 1326–1335 Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций Ю.М. Полуэктов Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт» ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61022, Украина E-mail: yuripoluektov@kipt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 10 апреля 2018 г., опубликована онлайн 28 августа 2018 г. Показано, что для квазисредних от произведений полевых операторов в системе бозе-частиц может быть получена цепочка уравнений, аналогичная цепочке Боголюбова в теории классических газов. В случае, когда достаточно ограничиться учетом только квазисредних от одного полевого оператора и произведений двух операторов, получена замкнутая система динамических уравнений при нулевой тем- пературе, учитывающая как одночастичный конденсат, так и парные корреляции. Исследован спектр возбуждений в пространственно однородном состоянии и показано, что он имеет две ветви: акустиче- скую и ветвь с энергетической щелью при нулевом импульсе. Обсуждается возможность существования квазичастичных возбуждений с энергетической щелью в сверхтекучем гелии в связи с экспериментами по поглощению СВЧ излучения. Ключевые слова: бозе-эйнштейновский конденсат, аномальные и нормальные средние, парные корреля- ции, звуковая ветвь элементарных возбуждений, элементарные возбуждения с энергетической щелью. 1. Введение Бозе-эйнштейновский конденсат системы малой плотности слабовзаимодействующих бозе-частиц при нулевой температуре обычно описывается уравнением Гросса–Питаевского [1,2], которое в настоящее время широко применяется для исследования конденсатов, создаваемых в магнитных и лазерных ловушках [3,4]. Уравнение Гросса–Питаевского получено в приближе- нии самосогласованного поля, когда не учитываются короткодействующие корреляции частиц. В этом слу- чае бозе-система описывается когерентным вектором состояния [5]. Между тем учет парных корреляций, су- щественных на малых расстояниях, оказывается важ- ным даже в системах с малой плотностью, поскольку приводит к некоторым качественно новым результатам. Так, в разреженном газе классических частиц учет пар- ных корреляций позволяет получить интеграл столк- новений в кинетическом уравнении и, следовательно, все эффекты, описываемые уравнением Больцмана [6]. Роль парных корреляций в равновесной бозе-системе с конденсатом исследовалась в работе [7]. В данной работе получена система динамических уравнений, в которых помимо одночастичных аномаль- ных средних учитываются также парные корреляции, а корреляциями большего числа частиц пренебрегается. Исследованы малые колебания на фоне пространст- венно однородного равновесного состояния. Показано, что при учете парных корреляций существуют две вет- ви элементарных возбуждений: одна из них звуковая, а другая ветвь в длинноволновом пределе имеет энерге- тическую щель. Первая из этих ветвей приближается к боголюбовскому спектру при малых импульсах, а вто- рая — при больших. Обсуждается возможность сущест- вования квазичастичных возбуждений с энергетической щелью в сверхтекучем гелии в связи с экспериментами по поглощению СВЧ излучения. 2. Уравнения для средних от полевых операторов Произвольный оператор в гейзенберговском пред- ставлении ( ) exp (0)expH HA t i t A i t   = −        подчиня- ется динамическому уравнению © Ю.М. Полуэктов, 2018 Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций [ ],Ai A H t ∂ = ∂  , (1) где в представлении вторичного квантования гамиль- тониан может быть записан в виде суммы операторов кинетической энергии и энергии парного взаимодейст- вия 1 2H H H= + , причем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , , 1 , , , , . 2 H d d H t t H d d U t t t t + + + ′ ′ ′= Ψ Ψ ′ ′ ′ ′= − Ψ Ψ Ψ Ψ ∫ ∫ r r r r r r r r r r r r r r (2) Здесь ( ) ( ) 2 0, ( ) ( )2H Um′ ′ ′= − ∆δ − + − µ δ −  r r r r r r r , (3) а m — масса бозе-частицы, µ — химический потенциал, 0 ( )U r — энергия частицы во внешнем поле. Предпола- гается, что потенциал взаимодействия частиц (\| \|)U − ′r r зависит только от расстояния между частицами, а спин частиц равен нулю. Полевые операторы подчиняются стандартным коммутационным соотношениям для бозе- частиц [8]. Пусть Ψ — среднее значение полевого оператора при нулевой температуре. Тогда полевой оператор можем записать, выделив в нем с — числовую и операторную части: , ∗+ +Ψ = Ψ + ξ Ψ = Ψ + ξ . (4) Соотношения (4) являются определением надкон- денсатных операторов , +ξ ξ , для которых выполнены очевидные условия: 0+ξ = ξ = . (5) Здесь усреднение по точному состоянию понимается в смысле квазисредних для систем с нарушенной фазо- вой симметрией [9,10]. Будем предполагать отличными от нуля как нормальные средние, инвариантные отно- сительно фазового преобразования полевых операто- ров ( )exp i′Ψ → Ψ = α Ψ, так и аномальные средние, где эта инвариантность нарушена. Отметим, что именно с существованием аномальных средних и связано свой- ство сверхтекучести. Введем обозначение для аномаль- ного среднего от полевого оператора: ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,t t t t∗ +η ≡ Ψ η ≡ Ψr r r r . (6) Средние от произведений нескольких полевых опе- раторов могут быть выражены через средние от произ- ведений операторов , +ξ ξ . Например, средние от произ- ведений двух полевых операторов, с учетом (5), можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , . + ∗ + + + ∗ ∗ + + ′ ′ ′Ψ Ψ = η η + ξ ξ ′ ′ ′Ψ Ψ = η η + ξ ξ ′ ′ ′Ψ Ψ = η η + ξ ξ r r r r r r r r r r r r r r r r r r (7) Аналогично могут быть записаны и средние от про- изведения большего числа полевых операторов. Они будут содержать также средние от большего числа над- конденсатных операторов вида 1 2 3( ) ( ) ( ) ,+〈ξ ξ ξ 〉r r r 2 3 4( ) ( ) ( ) ,+〈ξ ξ ξ 〉r r r 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ,+〈ξ ξ ξ ξ 〉r r r r и т.д. Пола- гая последовательно в гейзенберговском уравнении (1) оператор A равным , , , ,+ + +Ψ Ψ Ψ ΨΨ Ψ Ψ , после усреднения получаем связанную бесконечную цепочку уравнений для средних ,Ψ ,+〈Ψ Ψ〉 ,〈ΨΨ〉 + +〈Ψ Ψ 〉, аналогичную цепочке Боголюбова в кинетической тео- рии классических газов [6]. Так, уравнение для среднего от полевого операто- ра (6) имеет вид ( ) ( ) ( ),i H d t ∂η ′′ ′′ ′′= η + ∂ ∫ r r r r r ( ) ( ) ( ) ( )U d+′′ ′′ ′′ ′′+ − Ψ Ψ Ψ∫ r r r r r r , (8) а уравнения для нормальных и аномальных парных корреляций записываются в виде ___________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , i H H d t U U d + + ∗ + + + ′∂ Ψ Ψ  ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′= Ψ Ψ − Ψ Ψ −  ∂  ′′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′− − − − Ψ Ψ Ψ Ψ  ∫ ∫ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r  (9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , . i H H d t U U U d+ ∂ Ψ Ψ ′  = Ψ Ψ + Ψ Ψ +′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′′ ∂  + Ψ Ψ + − + − Ψ Ψ Ψ Ψ′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′  ∫ ∫ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r  (10) Среднее от произведения трех полевых операторов с учетом (4), (5) может быть записано в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3 . + ∗ ∗ + + + Ψ Ψ Ψ = η η η + +η ξ ξ + η ξ ξ + η ξ ξ + ξ ξ ξ r r r r r r r r r r r r r r r r r r (11) Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1327 Ю.М. Полуэктов Аналогично можно представить входящие в уравнения (9) и (10) средние от произведений четырех операторов. Например: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 2 3 1 4 2 4 1 3 3 4 1 2 1 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 4 4 1 2 3 1 2 3 4 . + + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + + + ∗ + ∗ + + + + + + + Ψ Ψ Ψ Ψ = η η η η + + η η ξ ξ + η η ξ ξ + η η ξ ξ + + η η ξ ξ + η η ξ ξ + η η ξ ξ + + η ξ ξ ξ + η ξ ξ ξ + + η ξ ξ ξ + η ξ ξ ξ + + ξ ξ ξ ξ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (12) ______________________________________________ Чтобы из бесконечной цепочки связанных уравнений получить замкнутую систему, как и в кинетической тео- рии газов [6], следует аппроксимировать высшие корре- ляционные функции произведениями корреляционных функций низшего порядка. В дальнейшем конденсат будем описывать с помощью одночастичных средних (6) и ограничимся учетом только парных корреляций надконденсатных операторов, введенных соотношения- ми (4), определив следующие корреляционные функции ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , . g t t t t t t t t t + ∗ + + ′ ′≡ ξ ξ ′ ′ ′ ′τ ≡ ξ ξ τ = ξ ξ r r r r r r r r r r r r (13) Функции (13) обладают очевидными свойствами симметрии: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , . g t g t t t t t ∗ ∗ ∗ =′ ′ τ = τ′ ′ τ = τ′ ′ r r r r r r r r r r r r (14) Средние от произведения трех надконденсатных опе- раторов в силу свойства (5) не могут быть выражены че- рез парные корреляционные функции, поэтому их следу- ет положить равными нулю: ( ) ( ) ( )1 2 3 0.+ξ ξ ξ ≈r r r Средние от произведений четырех операторов будем аппроксимировать с помощью произведений парных корреляционных функций, например: ___________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 , , , , , , , , , , , , , . g g g g g g g + + ∗ + ξ ξ ξ ξ ≈ τ τ + + ξ ξ ξ ξ ≈ τ + τ + τ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (15) ______________________________________________ Для систем, описываемых квадратичными по поле- вым операторам гамильтонианами, эти соотношения являются точными [11]. В нашем же случае, как отмеча- лось, используем это приближение для получения замк- нутой системы уравнений. Данная аппроксимация явля- ется непротиворечивой, поскольку приводит к пра- вильным термодинамическим соотношениям и, вероят- но, тем лучше, чем менее плотной является рассматри- ваемая многочастичная система. При учете только парных корреляций и в приближе- нии (15) из (8)–(10) следует замкнутая система уравне- ний для функций ( ), tη r , ( ), ,g t′r r и ( ), , t′τ r r : ___________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 , , , , i U t m d U g g∗ ∗ ∂η = − ∆η + − µ η +  ∂  ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′+ − η η + η τ + η + η  ∫ r r r r r r r r r r r r r r r r r r   (16) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 , , , 2 , 2 i U U U U t m ∂τ ′ = − η η + − τ − ∆ + ∆ τ +  + − µ τ +′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∂ r r r r r r r r r r r r r r r r  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 , , ,d U g∗+ − η τ + η η τ + η η +′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′′ ′∫ r r r r r r r r r r r r r r 1328 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , , , , , , , , , , , , , , , g g g d U g g g g ∗ + τ + τ + τ  +′′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′′  + − η τ + η η τ + η η +′′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′ + τ + τ + τ ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′′  ∫ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 2 , , , 2 , , , , , , , , , , , , g i g U U g t m d U g g g g g g d U g g ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ′∂ ′ ′ ′ ′= ∆ − ∆ − − −  ∂ ′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′ ′− − η + η η + η η τ + ′′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+τ τ + + + ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′+ − η + η η + η η τ  ∫ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , .g g g g∗ + ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+τ τ + +  ∫ r r r r r r r r r r r r (18) ______________________________________________ Отметим, что для данной системы выполняется ус- ловие инвариантности относительно операции обра- щения времени, поскольку наряду с решениями ( ), tη r , ( ), , t′τ r r , ( ), ,g t′r r она также имеет решения ( ), t∗η −r , ( ), , t∗ ′τ −r r , ( ), ,g t∗ ′ −r r . Если пренебречь в уравнении (16) парными корреляциями ( ), ′′τ r r и ( ),g ′′r r , то оно принимает вид уравнения Гросса–Питаевского [1,2]. Заметим, однако, что система уравнений (16)–(18) не имеет решения, в котором будет отлична от нуля только функция ( ), tη r , а обе парных корреляционных функции ( ), , t′τ r r , ( ), ,g t′r r равны нулю. Это означает, что при наличии одночастичного конденсата в системе взаимо- действующих частиц обязательно присутствует также и парный конденсат. Среднее от оператора полного числа частиц N дает- ся формулой ( ) ( ) ( ), , , ,N t t g t d∗ = η η + ∫ r r r r r, (19) а плотность числа частиц есть, очевидно, ( , )n t =r 2\| ( , ) \| ( , , )t g t= η +r r r . В дальнейшем, где это не вызовет недоразумения, как и в уравнениях (16)–(18), для кратко- сти не будем явно указывать зависимость средних от времени. 3. Локальная форма уравнений Уравнения (16)–(18) являются интегро-дифферен- циальными. Сделаем некоторые дальнейшие упрощения. При изучении состояний, медленно изменяющихся на масштабах, сравнимых с характерным радиусом 0r действия потенциала межчастичного взаимодействия ( )U ′−r r , которыми и будем интересоваться, можем перейти к дифференциальным уравнениям. Парные корреляционные функции (13) зависят от двух коорди- нат , ′r r . Удобно перейти к новым координатам = − ′r rρ и ( )1 2 ′= +R r r , тогда ( ) ( ), , , 2 2  τ = τ + − ≡ τ′    r r R R Rρ ρ ρ и ( ) ( ), , , 2 2 g g g = + − ≡′    r r R R R ρ ρ ρ . (20) При изменении координаты центра масс пары R эти функции меняются медленно на расстояниях порядка действия межчастичного потенциала 0r . Их можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( ), e , , ei ig gτ = τ =∑ ∑k k k k k k R R R R  ρ ρρ ρ , (21) разложив зависимость от «быстрых» координат ρ в ряд Фурье. В дальнейшем в этих суммах будем учитывать лишь слагаемое с 0=k , которое зависит только от ко- ординаты R . Все другие слагаемые в суммах (21) со- держат зависящий от расстояния между точками мно- житель, который осциллирует тем быстрее, чем больше k . Такими быстро осциллирующими слагае- мыми будем пренебрегать. Это означает, что вместо точных функций ( ) ( ), , ,gτ R R ρ ρ будем рассматривать функции, усредненные по макроскопическому объему 3 0V L , где 0L r>> : ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 0 0, , ,V d g V g d− −τ ≈ τ ≈∫ ∫R R R R ρ ρ ρ ρ. (22) Такое приближение, как отмечалось, допустимо, ес- ли рассматриваются возмущения на пространственных масштабах, существенно превосходящих радиус дей- ствия межчастичного потенциала. Подставим разложе- ния (21) в уравнения (16)–(18) и оставим, в соответст- вии со сказанным, медленно меняющиеся функции с 0=k . Поскольку предполагается, что функции мало меняются на расстоянии действия межчастичного по- тенциала, то в функциях, стоящих под интегралом, про- ведем замену ′′ ≈r r . В результате придем к следующей Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1329 Ю.М. Полуэктов системе локальных динамических дифференциальных уравнений: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 2 , i U t m U g∗ ∂η = − ∆η + − µ η +  ∂  + η η + η τ + η   r r r r r r r r r r   (23) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 0 0 4 0 2 2 4 2 6 , i U t m U U U g g ∂τ = − ∆τ + η + ∂ + + − µ τ +    + η τ + η + τ   r r r r r r r r r r r   (24) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0 g i U t ∗ ∗∂  = − η τ − η τ ∂ r r r r r . (25) Здесь ( )0U U d′ ′= ∫ r r , а ( )0U — значение потенциала взаимодействия в начале координат. В (23)–(25) обо- значено ( ) ( )0τ → τR r , ( ) ( )0g g→R r . Как видим, в полученных уравнениях существенную роль играет поведение потенциала межчастичного взаимодействия на малых расстояниях. Вид потенциала здесь известен плохо. Более того, в большинстве мо- дельных потенциалов, таких как, например, потенциал Леннард–Джонса, предполагается, что на малых рас- стояниях он стремится к бесконечности [12,13]. Име- ются, однако, потенциалы, такие как потенциал Морзе и его модификации [13], принимающие в начале коор- динат конечное значение. Отметим, что использование модельных потенциалов, которые стремятся к беско- нечности на малых расстояниях, приводит к значи- тельным трудностям, поскольку у таких потенциалов отсутствует их фурье-образ. Между тем требование «непроницаемости» атомов при как угодно высоких давлениях, которое выполняется в этом случае, является излишне жестким, поскольку, очевидно, должно суще- ствовать давление, при котором атом будет «раздавлен» и перестанет существовать как отдельная структурная единица. Поэтому, на наш взгляд, физически обосно- ванным и естественным является использование по- тенциалов, принимающих конечное значение на малых расстояниях. Заметим также, что и квантово-химические расчеты указывают на то, что потенциалы в нуле скорее имеют конечную, хотя и большую, величину [14,15]. По- скольку потенциальная энергия взаимодействия ато- мов на малых расстояниях известна плохо, а проблема учёта короткодействующих корреляций в квантовых системах является достаточно сложной [16,17], то для конкретных расчетов будем использовать простой мо- дельный потенциал «полупрозрачной сферы»: ( ) 0 0 , , 0, . I r r U r r < =  > r (26) Параметр I в (26) предполагается положительным. В этом случае входящие в уравнения (23)–(25) пара- метры имеют вид ( )0U I= , 0 aU I= υ , где aυ ≡ ( ) 3 04 3 r≡ π — «объем атома». Потенциалы с конечным значением в нуле и раньше использовались в расчетах бозе-систем [18–20]. В дальнейшем будем анализиро- вать систему уравнений (23)–(25), а для оценок и рас- четов пользоваться потенциалом (26). 4. Равновесное пространственно однородное состояние Рассмотрим условия равновесия в пространственно однородном состоянии в отсутствие внешнего поля 0 ( ) 0U =r , когда ( )η = ηr , ( )g g=r , ( )τ = τr не зависят от координат. Из уравнений (23)–(25) в этом случае сле- дует система алгебраических уравнений ( )2 0 2 0U g∗−µη + η η + η τ + η = , (27) ( ) ( ) 22 2 00 0 2 4 2 6 0U U U g g η + − µ τ + η τ + η + τ =      , (28) 2 2 0∗η τ − η τ = . (29) Величина g вещественна и положительна, а у ком- плексных величин выделим модуль и фазу: eiαη = η , eiβτ = τ . Из (29) следует, что ( )sin 2 0α − β = . Таким образом, имеется две возможности 2 0α − β = или 2α − β = π. Следует выбрать вторую возможность, по- скольку только в таком случае уравнения (27), (28) имеют физически корректные решения, при этом 2ei ατ = −τ . В результате уравнения (27), (28) принима- ют вид ( )2 0 2 0U g η −µ + η − τ + =   , (30) ( ) ( ) ( )2 2 2 0 00 0 2 4 2 6 0U U U U g η − − µ + η τ + η − τ =  . (31) Полная плотность числа частиц 2n g= η + . (32) Если в качестве независимой переменной выбираем химический потенциал, то плотность должна быть за- дана как функция ( )n n= µ . Эту зависимость следует получить в результате микроскопического расчета, который, разумеется, можно выполнить только при- ближенно. Будем считать эту зависимость известной, не конкретизируя ее вид. Если же независимой пере- менной выбрана плотность, то следует считать задан- ной зависимость ( )nµ = µ . Удобно ввести обозначения 1330 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций ( ) 0 0 0 1, , 2 4 2 U w z nU nU υ µυ ≡ ≡ + ≡ − (33) и перейти к безразмерным нормированным величинам 2 ,x y n n η τ≡ ≡ . (34) Величина x определяет безразмерную плотность одно- частичного конденсата, причем 0 1x< ≤ , а величина y задает нормированный на полную плотность модуль парной аномальной корреляционной функции. Для потенциала (26) ( )0U I= , 0 aU I= υ , где 3 04 3a rυ ≡ π — «объем атома». В этом случае ( ) 00U nUυ ≡ = 01 a an= υ = υ υ , где 0 1 nυ = — объем, приходящийся на один атом. Очевидно, что чем более разрежена сис- тема, тем параметры υ и w больше. В этом случае 4 1w ≈ υ >> . В плотных системах будем полагать 2,υ ≥ так что 1w ≥ . Конечно, с увеличением плотности воз- растает роль тройных и более высоких корреляций, и, следовательно, точность используемого приближения будет ухудшаться. Тем не менее, имея это в виду, бу- дем рассматривать и предел высокой плотности. В безразмерных обозначениях, с учетом того, что 1g n x= − , система (30), (31) принимает вид 0x y z+ + = , (35) ( )2 22 2 4 0z x w z x wx+ − + − = . (36) Поскольку величины x и y положительны, то из (35) следует, что параметр z обязан быть отрицательным. Входящие в уравнения величины 0 2z nU= µ − и 1 4 1 2aw n= υ + определяются полной плотностью системы, при этом химический потенциал, как функ- ция плотности ( )nµ = µ должен быть найден из микро- скопического расчета. Таким образом, уравнения (35), (36) позволяют определить зависимости плотности одночастичного конденсата 2 nxη = и модуля парной аномальной корреляционной функции ynτ = от пол- ной плотности при условии, что известна зависимость ( )nµ = µ . Поскольку в действительности нам такая зависимость неизвестна, будем рассматривать в каче- стве независимой переменной нормированную плот- ность одночастичного конденсата, которая может ме- няться в пределах 0 1x< ≤ . Так, в системах, описываемых уравнением Гросса–Питаевского, пред- полагается, что полная плотность совпадает с плотно- стью одночастичного конденсата и, следовательно, 1x = . В сверхтекучем гелии, как известно из эксперимен- тов по рассеянию нейтронов [21], одночастичный кон- денсат составляет около 10% от полной плотности и, следовательно, здесь 0.1x ≈ . Тогда уравнения (35), (36) позволяют найти нормированный модуль парной ано- мальной корреляционной функции и параметр z , а следовательно, и химический потенциал, как функции x при заданной полной плотности, определяемой па- раметром w : ( ) 2 2, 2y y x w w wx x w≡ = + − − , (37) ( ) 2 2, 2z z x w w wx x w x≡ = − + − + − . (38) Эти зависимости представлены на рис. 1. Как видно на рис. 1(а), модуль парной аномальной корреляцион- ной функции ( ) ( ) ( ), ′ ′τ ≡ ξ ξr r r r растет с плотностью одночастичного конденсата, и в разреженной системе при 1w >> эти величины практически совпадают y x≈ . Отрицательный параметр 0 2z nU= µ − убывает с рос- том плотности одночастичного конденсата x (рис. 1(б)), и для него при любой полной плотности выполнено неравенство 2z > − . Отсюда следует, что в рассматри- ваемой модели химический потенциал всегда положи- телен, 0µ > . Рис.1. (Онлайн в цвете) Зависимости от плотности одночастич- ного конденсата: а) модуля парной аномальной корреляционной функции ( , ) ( ) ( )′ ′τ ≡ ξ ξr r r r ; б) химического потенциала при различных w: 1 (1), 3 (2), 10 (3); 0 /4 1/2aw = υ υ + , где 0υ — объем, приходящийся на атом, aυ — «объем атома». Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1331 Ю.М. Полуэктов Отметим также, что при наличии бозе-эйнштейнов- ского конденсата зависимость макроскопических вели- чин, в частности термодинамического потенциала, от постоянной взаимодействия является, вообще говоря, неаналитической. Поэтому, предельный переход по ве- личине постоянной взаимодействия 0 0U → в таких системах, так же как, например, и в сверхпроводниках, является некорректным. Более детально этот вопрос обсуждается в работе [22]. 5. Спектр элементарных возбуждений Рассмотрим распространение малых возмущений в пространственно однородной системе. Полагая ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , t t t t g t g g t η = η + δη τ = τ + δτ = + δ r r r r r r , (39) и обозначив для удобства ( ) ( )δϕ ≡ ηδηr r , при соответ- ствующем выборе фаз комплексных функций в равно- весном состоянии, получаем из (23)–(25) систему ли- неаризованных уравнений ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 , i U n m U U U g∗ δϕ = − ∆δϕ + −µ + δϕ + + η − τ δϕ + η δτ + η δ r r r r r r    (40) ___________________________________________________ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 4 2 4 2 0 4 4 4 2 6 , i U U n U g m U U U g U U g∗ δτ = − ∆δτ + − µ + + δτ + + − τ + δϕ − τδϕ + η − τ δ r r r r r r    (41) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 0 02i g U U∗ ∗δ = − η δτ − δτ + τ δϕ − δϕr r r r r  . (42) Удобно перейти от комплексных величин ( ) ( ), , ,t tδϕ δτr r к вещественным переменным ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , , . t t t t i t t t t t t i t t ∗ ∗ ∗ ∗  δΨ = δϕ + δϕ δΦ = δϕ − δϕ   δΘ = δτ + δτ δΛ = δτ − δτ  r r r r r r r r r r r r (43) ______________________________________________ В этих переменных, и с учетом обозначений (34), сис- тема линеаризованных уравнений (40)–(42) примет вид ( ) 2 0 02 2 nU x z nU x m δΨ = ∆δΦ + + δΦ − δΛ   , (44) 2 0 0 02 4 2 nU x nU x nU x g m δΦ = − ∆δΨ + δΨ + δΘ + δ   , (45) ( ) 2 02 2 4 nU w z x m δΛ = − ∆δΘ + − − δΘ +   ( ) ( )0 04 2 2 4 4 3nU w z x nU x z g+ + + δΨ + + δ , (46) ( ) ( ) 2 0 02 2 4 2 , 4 nU w z x nU w x m δΘ = ∆δΛ − − − δΛ − − δΦ   (47) ( )0 02g nU x nU x zδ = δΛ − + δΦ  . (48) Полагая, что зависимость флуктуаций от координат и времени имеет вид ( )exp i t− ω  kr , из условия ра- венства нулю детерминанта полученной однородной системы линейных алгебраических уравнений прихо- дим к биквадратному уравнению, определяющему за- коны дисперсии возможных возбуждений: 4 2 0.A Bω − ω + =  (49) Здесь 4 2 2 2 3 0 1 1 2 3 5 , 4 4 k k k k k kA a B b b b ε ≡ ω + ε + ε ≡ ε + ε + ε +        , (50) причем ( )( )22 0 ,Uω ≡ ω  ( )0k k Uε ≡ ε , 2 2 2k k mε =  — энергия свободной частицы. Коэффициенты в (50) имеют вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 1 2 2 2 3 2 2 , 8 9 5 , 8 8 3 19 8 , 1 3 5 . 2 a x F x b x x F x b x x xF x F x b x F x = χ +   = χ − +    = χ − − + +  = χ + +               (51) Здесь ( ) 21 2F x x x≡ + −   , а параметр /wχ ≡ υ = (1/4)(1 2/ )= + υ слабо зависит от плотности, изменяясь от 1/4 для разреженных систем до 1/2 при большой плотности. 1332 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций Система допускает пространственно однородные колебания с частотой 0 0 (0)/ ,Uω = ω  определяемой формулой ( )2 2 2 0 8 1 3 2x x F x ω = χ + − +     . (52) Зависимости частоты однородных колебаний от плот- ности одночастичного конденсата при некоторых зна- чениях полной плотности показаны на рис. 2. Эта час- тота слабо зависит от плотности конденсата, причем эта зависимость тем слабее, чем меньше полная плот- ность системы. Биквадратное уравнение (49) имеет решения, опре- деляющие две ветви возбуждений: 2 21 4 2 A A B±  ω = ± −    . (53) Решение −ω при малых волновых числах дает звуко- вую ветвь 2 2 2c k−ω = , где квадрат скорости звука опре- деляется формулой ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 50 2 1 3 2 x x F xU c m x x F x − +  = χ  + − +        . (54) Зависимости скорости звука от плотности одночас- тичного конденсата при некоторых значениях полной плотности показаны на рис. 3. Скорость возрастает с увеличением плотности одночастичного конденсата, причем тем быстрее, чем больше полная плотность. В пределе малой плотности при 1x = ( )2 2 0 10 U c mυ  . (55) Решение +ω отвечает ветви возбуждений с энерге- тической щелью. При малых k зависимость частоты от волнового числа имеет вид 2 2 2 0 2 k m+ω = ω + α , (56) где ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 4 10 7 4 14 9 0 1 3 2 x x x x x F x U x x F x  + − + + + −  α = χ  + − +           . (57) Ветви элементарных возбуждений в бозе-системе с учетом парных корреляций представлены на рис. 4. На этом же рисунке показана кривая для боголюбовского закона дисперсии ( )02B k k xnUω = ε ε + , которая ле- жит между полученными двумя ветвями. В длинновол- новом пределе боголюбовский закон дисперсии при- ближается к звуковой ветви ck−ω = , а в пределе корот- ких волн – к ветви +ω , имеющей энергетическую щель 0ω при 0k → . Хотя, строго говоря, рассматриваемые уравнения применимы для длинноволновых возбужде- ний, но решения (53) дают разумные значения и при больших k : , 2 k k+ − ε ω = ε ω =  . (58) Ветвь с энергетической щелью в коротковолновом пределе переходит в закон дисперсии одной свободной частицы, а звуковая ветвь — в закон дисперсии пары свя- занных частиц. Отметим, также, что вид полученного спектра слабо меняется как с изменением полной плот- ности, так и с изменением доли одночастичного кон- денсата. Рис.2. (Онлайн в цвете) Зависимости частоты однородных колебаний 0 0 / (0)Uω = ω  от плотности одночастичного конденсата при различных w: 1 (1), 3 (2), 10 (3); /4 1/2,w ≡ υ + / (1/4)(1 2/ )wχ ≡ υ = + υ , 01/ /a anυ = υ = υ υ , где 0υ — объем, приходящийся на атом, aυ — «объем атома». Рис.3. (Онлайн в цвете) Зависимости скорости звуковых ко- лебаний 2 / (0)c c m U≡ от плотности одночастичного кон- денсата при различных w: 1 (1), 3 (2), 10 (3); /4 1/2,w ≡ υ + / (1/4)(1 2/ )wχ ≡ υ = + υ , 01/ /a anυ = υ = υ υ , где 0υ — объем, приходящийся на атом, aυ — «объем атома». Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1333 Ю.М. Полуэктов 6. Заключение В работе показано, что в многочастичной бозе-сис- теме для квазисредних от произведений полевых опе- раторов может быть получена цепочка динамических уравнений, аналогичная цепочке Боголюбова в теории классических газов. При учете только квазисредних от одного полевого оператора, а также квазисредних нор- мальных и аномальных произведений двух операторов, получена замкнутая система динамических уравнений при нулевой температуре, учитывающая одночастичный конденсат и парные корреляции. Полученная система дифференциальных уравнений (23)–(25), описывает ди- намику конденсата и обобщает уравнение Гросса– Питаевского с учетом короткодействующих парных корреляций. Исследован спектр малых колебаний в про- странственно однородной системе. Показано, что име- ется две ветви элементарных возбуждений: одна со зву- ковым законом дисперсии в пределе длинных волн, а вторая имеет в этом пределе энергетическую щель. Следует отметить, что вопрос о возможности суще- ствования в бозе-системах возбуждений с энергетиче- ской щелью имеет давнюю историю и обсуждался ра- нее во многих работах (см., например, [23–28]). В ранней работе Ландау [29], до того как им было посту- лировано существование в сверхтекучем гелии фонон- ротонного спектра, также предполагалось существова- ние элементарных возбуждений с энергетической ще- лью. Однако оказалось, что таких квазичастиц недос- таточно, чтобы описать термодинамические свойства. На возможность существования в дополнение к фонон- ной ветви спектра другой ветви, имеющей энергетиче- скую щель, на качественном уровне обращено внимание в книге [11, с. 322]. На несовпадение спектров одночас- тичных и коллективных возбуждений в бозе-системе с конденсатом указывается в недавних работах [30–32]. В экспериментальной работе [33] было обнаружено поглощение СВЧ излучения в сверхтекучем гелии на частоте около 180 ГГц. Эта частота отвечает энергии, близкой к величине энергии ротона 10 К . Однако, поскольку импульс ротона на несколько порядков пре- восходит импульс фотона при такой энергии, интерпре- тация наблюдаемого эффекта как поглощение энергии отдельными ротонами затруднена из-за противоречия с законом сохранения импульса. В работе [34] было вы- сказано предположение, что наблюдаемое в [33] погло- щение обязано существованию в гелии возбуждений с энергетической щелью. Согласно (52), величина энерге- тической щели приближенно определяется соотношени- ем 0 (0)Uω ≈ . Для оценки энергетического параметра (0)U можно, например, использовать выражение для скорости звуковых возбуждений, которая, согласно (54), для достаточно плотной системы определяется соотно- шением 2 (0)c U m . Если в этом соотношении взять параметры гелия 42,3 10 cм/сc ≈ ⋅ и 246,65 10 гm −≈ ⋅ , то получим 16(0) 35 10 рг 25 КU э−≈ ⋅ ≈ . Отметим, что близкое значение 16(0) 50 10 эргU −= ⋅ использовалось в расчетах работ [19,20]. Эта энергия соответствует час- тоте в несколько сотен гигагерц, что не противоречит эксперименту [33]. Обратим также внимание, что экспе- риментальное обнаружение элементарных возбуждений при очень малых импульсах другими методами, напри- мер с помощью неупругого рассеяния нейтронов [35], вряд ли возможно, а вклад возбуждений с энергетиче- ской щелью в термодинамические величины в сравне- ние с вкладом фононов и ротонов оказывается малым. Автор рад возможности представить данную статью в выпуск журнала, который посвящен восьмидесятилет- нему юбилею И.Н. Адаменко и Э.Я. Рудавского, с чьи- ми именами связан его многолетний интерес к такому замечательному и необычному с точки зрения повсе- дневности, но фундаментальному для понимания зако- нов природы, явлению как сверхтекучесть. ________ 1. E.P. Gross, Nuovo Cimento 20, 454 (1961). 2. Л.П. Питаевский, ЖЭТФ 40, 646 (1961) [Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961)]. 3. L. Pitaevskii and S. Stringari, Bose–Einstein Condensation, Oxford University Press, USA (2003). 4. C.H. Pethick and H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press (2001). 5. Ю.М. Полуэктов, ФНТ 37, 1239 (2011) [Low Temp. Phys. 37, 986 (2011)]. Рис.4. (Онлайн в цвете) Спектр элементарных возбуждений бозе-системы ( )ω = ω κ  при учете парных корреляций: / (0)Uω = ω  , / 2 (0)k mUκ = χ , k — волновое число. /+ω χ — возбуждения с энергетической щелью 0ω (52) при 0k = (1); /−ω χ — звуковые возбуждения, скорость которых определена формулой (54) (2); боголюбовский спектр 2 2/ ( 2 / )B x wω χ = κ κ + (3); /4 1/2,w ≡ υ + / (1/4)(1 2/ ),wχ ≡ υ = + υ 01/ / ,a anυ = υ = υ υ где 0υ — объем, приходящийся на атом, υa — «объем атома». Расчет проведен для параметров x = = 0,8, w = 5. 1334 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 https://doi.org/10.1017/CBO9780511755583 https://doi.org/10.1017/CBO9780511755583 https://doi.org/10.1063/1.3674269 Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций 6. Н.Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической физике. В кн.: Н.Н. Боголюбов, Избранные труды в трех томах, Наукова думка, Киев (1970), Т. 2. 7. A.S. Peletminskii, S.V. Peletminskii, and Yu.M. Poluektov, Condens. Matter. Phys. 16, 13603 (2013). arXiv:1303.5539 [cond-mat.stat-mech]. 8. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика, Наука, Москва (1974). 9. Н.Н. Боголюбов, Квазисредние в задачах статистической механики, В кн.: Н.Н. Боголюбов, Избранные труды в трех томах, Наукова думка, Киев (1971), Т. 3. 10. Ю.М. Полуэктов, ФНТ 23, 915 (1997). [Low Temp. Phys. 23, 685 (1997)]. 11. Н.Н. Боголюбов, Н.Н. Боголюбов (мл.), Введение в кванто- вую статистическую механику, Наука, Москва (1984). 12. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд, Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ., Москва (1961). 13. Дж. Ферцигер, Г. Капер, Математическая теория процессов переноса в газах, Мир, Москва (1976). 14. R.A. Aziz and M.J. Slaman, J. Chem. Phys. 94, 8047 (1991). 15. J.B. Anderson, C.A. Traynor, and B.M. Boghosian, J. Chem. Phys. 99, 345 (1993). 16. Д. Таулес, Квантовая механика систем многих частиц, Мир, Москва (1976). 17. R. Jastrow, Phys. Rev. 98, 1479 (1955). 18. К. Бракнер, Теория ядерной материи. Некоторые вопросы теории многих тел, Мир, Москва (1964). 19. S. Sunakawa, S. Yamasaki, and T. Kebukawa, Progr. Theor. Phys. 41, 919 (1969). 20. T. Kebukawa, S. Yamasaki, and S. Sunakawa, Progr. Theor. Physics. 44, 565 (1970). 21. И.В. Богоявленский, Л.В. Карнацевич, Ж.А. Козлов, А.В. Пучков, ФНТ 16, 139 (1990) [Sov. J.Low Temp. Phys. 16, 77 (1990)]. 22. Yu.M. Poluektov, JLTP 186, 347 (2017). 23. A. Bijl, Physica 7, 869 (1940). 24. M. Girardeau and R. Arnowitt, Phys. Rev. 113, 755 (1959). 25. G. Wentzel, Phys. Rev. 120, 1572 (1960). 26. M. Luban, Phys. Rev. 128, 965 (1962). 27. В.В. Толмачёв, ДАН СССР 135, 825 (1960). 28. Ю.М. Полуэктов, ФНТ 28, 604 (2002) [Low Temp. Phys. 28, 429 (2002)]. 29. Л.Д. Ландау, ЖЭТФ 11, 592 (1941). 30. T. Kita, Phys. Rev. B 81, 214513 (2010). 31. T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 80, 084606 (2011). 32. K. Tsutsui, Y. Kato, and T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 85, 124004 (2016). 33. A. Rybalko, S. Rubets, E. Rudavskii, V. Tikhiy, S. Tarapov, R. Golovashchenko, and V. Derkach, Phys. Rev. B 76, 140503 (2007). 34. Ю.М. Полуэктов, ФНТ 40, 503 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 389 (2014)]. 35. И.В. Богоявленский, Л.В. Карнацевич, Ж.А. Козлов, В.Г. Колобродов, В.Б. Приезжев, А.В. Пучков, А.Н. Скоморохов, ФНТ 20, 626 (1994) [Low Temp. Phys. 20, 489 (1994)]. ___________________________ Спектр елементарних збуджень бозе-системи при урахуванні парних кореляцій Ю.М. Полуектов Показано, що для квазісередніх від добутків польових операторів в системі бозе-частинок може бути отримано ла- нцюжок рівнянь, аналогічний ланцюжку Боголюбова в теорії класичних газів. У разі, коли досить обмежитися урахуван- ням тільки квазісередніх від одного польового оператора і добутків двох операторів, отримано замкнуту систему дина- мічних рівнянь при нульовій температурі, що враховує як одночастинковий конденсат, так і парні кореляції. Дослідже- но спектр збуджень в просторово однорідному стані та пока- зано, що він має дві гілки: акустичну і гілку з енергетичною щілиною при нульовому імпульсі. Обговорюється можли- вість існування квазічастинкових збуджень з енергетичною щілиною в надплинному гелії в зв'язку з експериментами з поглинання НВЧ випромінювання. Ключові слова: бозе-ейнштейнівської конденсат, аномальні та нормальні середні, парні кореляції, звукова гілка елементарних збуджень, елементарні збудження з енергетичною щілиною. Spectrum of elementary excitations of the Bose system with account of pair correlations Yu.M. Poluektov It is shown that for the quasiaverages of the products of field operators in the system of Bose particles the chain of equations can be obtained which is similar to the Bogolyubov chain in the theory of classical gases. In the case when it is sufficient to con- fine ourselves to taking into account the quasiaverages of one field operator and the products of two field operators, the closed system of dynamic equations at zero temperature is obtained which accounts for both the one-particle condensate and pair correlations. The spectrum of excitations in a spatially homoge- neous state is explored and it is shown that the spectrum has two branches: the sound wave branch and the branch with an energy gap at zero momentum. The possibility is discussed of existence of the quasiparticle excitations with an energy gap in the super- fluid helium in connection with experiments on the absorption of microwave radiation. Keywords: Bose–Einstein condensate, anomalous and normal averages, pair correlations, sound branch of elementary excita- tions, elementary excitations with energy gap. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1335 https://doi.org/10.5488/CMP.16.13603 https://doi.org/10.1063/1.593364 https://doi.org/10.1063/1.460139 https://doi.org/10.1063/1.465812 https://doi.org/10.1063/1.465812 https://doi.org/10.1143/PTP.41.919 https://doi.org/10.1143/PTP.41.919 https://doi.org/10.1143/PTP.44.565 https://doi.org/10.1143/PTP.44.565 https://doi.org/10.1007/s10909-016-1715-5 https://doi.org/10.1016/0031-8914(40)90166-5 https://doi.org/10.1103/PhysRev.113.755 https://doi.org/10.1103/PhysRev.120.1572 https://doi.org/10.1103/PhysRev.128.965 http://dx.doi.org/10.1063/1.1491184 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.81.214513 https://doi.org/10.1143/JPSJ.80.084606 https://doi.org/10.7566/JPSJ.85.124004 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.140503 https://doi.org/10.1063/1.4881395 1. Введение 2. Уравнения для средних от полевых операторов 3. Локальная форма уравнений 4. Равновесное пространственно однородное состояние 5. Спектр элементарных возбуждений 6. Заключение

Спектр элементарных возбуждений бозе-системы при учете парных корреляций

Репозитарії

Схожі ресурси