Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле

Развит микроскопический подход к последовательному построению кинетической теории низкотемпературных разреженных газов водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле. Подход базируется на формулировках метода вторичного квантования при наличии связанных состояний частиц. Предполагается, чт...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Физика низких температур
Date:	2018
Main Authors:	Загородний, А.Г., Слюсаренко, Ю.В., Шульга, С.Н.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Subjects:	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176267
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле / А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 10. — С. 1336-1352. — Бібліогр.: 41 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176267
record_format	dspace
spelling	Загородний, А.Г. Слюсаренко, Ю.В. Шульга, С.Н. 2021-02-04T07:57:02Z 2021-02-04T07:57:02Z 2018 Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле / А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 10. — С. 1336-1352. — Бібліогр.: 41 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176267 Развит микроскопический подход к последовательному построению кинетической теории низкотемпературных разреженных газов водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле. Подход базируется на формулировках метода вторичного квантования при наличии связанных состояний частиц. Предполагается, что связанное состояние (например, водородоподобный атом щелочного металла) формируется двумя заряженными фермионами различных сортов — валентным электроном и остовом. В основу вывода кинетических уравнений положен метод сокращенного описания релаксационных процессов. В рамках развитого подхода получена система кинетических уравнений для вигнеровских функций распределения свободных фермионов обоих сортов и их связанных состояний — водородоподобных атомов с учетом воздействия на систему внешнего и самосогласованного (среднего) полей. Полученные уравнения движения для вигнеровских функций распределения должны служить основой для анализа неравновесных эффектов и явлений, связанных с воздействием внешнего электромагнитного поля на низкотемпературные газы щелочных металлов. Розвинуто мікроскопічний підхід до послідовної побудови кінетичної теорії низькотемпературних розріджених газів воднеподібних атомів у зовнішньому електромагнітному полі. Підхід базується на формулюваннях методу вторинного квантування при наявності зв’язаних станів частинок. Вважається, що зв’язаний стан (наприклад, воднеподібний атом лужного металу) формується двома зарядженими ферміонами різних сортів — валентним електроном та остовом. В основу виведення кінетичних рівнянь покладено метод скороченого опису релаксаційних процесів. У рамках розвинутого підходу здобуто систему кінетичних рівнянь для вігнерівських функцій розподілу вільних ферміонів обох сортів та їх зв’язаних станів — воднеподібних атомів із урахуванням впливу на систему зовнішнього й самоузгодженого (середнього) полів. Одержані рівняння руху для вігнерівських функцій розподілу повинні слугувати основою для аналізу нерівноважних ефектів та явищ, пов’язаних зі впливом зовнішнього електромагнітного поля на низькотемпературні гази лужних металів. A microscopic approach is developed to consistent construction of kinetic theory of low temperature dilute gases of hydrogen-like atoms in an external electromagnetic field. The approach is based upon the formulations of the secondary quantization method in the presence of bound states of the particles. It is supposed that the bound state (for example, hydrogen-like atom of alkali metal) is formed by two charged fermions of different sorts, namely — the valence electron and the frame. The basis for deduction of kinetic equations is the method of reduced description of relaxation processes. In the framework of the developed method a system of kinetic equations is obtained, that refers to Wigner distribution functions of free fermions of both sorts and their bound states — hydrogenlike atoms with account of impact of external and self-consistent (mean) fields. The obtained equations of motion for the Wigner distribution functions must serve as a basis for the analysis of nonequilibrium effects and of the phenomena connected with the influence of the external electromagnetic field upon the low temperature gases of alkali atoms. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле Кінетика низькотемпературного газу воднеподібних атомів у зовнішньому електромагнітному полі Kinetics of low-temperature gas of hydrogen-like atoms in external electromagnetic field Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле
spellingShingle	Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле Загородний, А.Г. Слюсаренко, Ю.В. Шульга, С.Н. Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
title_short	Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле
title_full	Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле
title_fullStr	Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле
title_full_unstemmed	Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле
title_sort	кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле
author	Загородний, А.Г. Слюсаренко, Ю.В. Шульга, С.Н.
author_facet	Загородний, А.Г. Слюсаренко, Ю.В. Шульга, С.Н.
topic	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
topic_facet	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
publishDate	2018
language	Russian
container_title	Физика низких температур
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
format	Article
title_alt	Кінетика низькотемпературного газу воднеподібних атомів у зовнішньому електромагнітному полі Kinetics of low-temperature gas of hydrogen-like atoms in external electromagnetic field
description	Развит микроскопический подход к последовательному построению кинетической теории низкотемпературных разреженных газов водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле. Подход базируется на формулировках метода вторичного квантования при наличии связанных состояний частиц. Предполагается, что связанное состояние (например, водородоподобный атом щелочного металла) формируется двумя заряженными фермионами различных сортов — валентным электроном и остовом. В основу вывода кинетических уравнений положен метод сокращенного описания релаксационных процессов. В рамках развитого подхода получена система кинетических уравнений для вигнеровских функций распределения свободных фермионов обоих сортов и их связанных состояний — водородоподобных атомов с учетом воздействия на систему внешнего и самосогласованного (среднего) полей. Полученные уравнения движения для вигнеровских функций распределения должны служить основой для анализа неравновесных эффектов и явлений, связанных с воздействием внешнего электромагнитного поля на низкотемпературные газы щелочных металлов. Розвинуто мікроскопічний підхід до послідовної побудови кінетичної теорії низькотемпературних розріджених газів воднеподібних атомів у зовнішньому електромагнітному полі. Підхід базується на формулюваннях методу вторинного квантування при наявності зв’язаних станів частинок. Вважається, що зв’язаний стан (наприклад, воднеподібний атом лужного металу) формується двома зарядженими ферміонами різних сортів — валентним електроном та остовом. В основу виведення кінетичних рівнянь покладено метод скороченого опису релаксаційних процесів. У рамках розвинутого підходу здобуто систему кінетичних рівнянь для вігнерівських функцій розподілу вільних ферміонів обох сортів та їх зв’язаних станів — воднеподібних атомів із урахуванням впливу на систему зовнішнього й самоузгодженого (середнього) полів. Одержані рівняння руху для вігнерівських функцій розподілу повинні слугувати основою для аналізу нерівноважних ефектів та явищ, пов’язаних зі впливом зовнішнього електромагнітного поля на низькотемпературні гази лужних металів. A microscopic approach is developed to consistent construction of kinetic theory of low temperature dilute gases of hydrogen-like atoms in an external electromagnetic field. The approach is based upon the formulations of the secondary quantization method in the presence of bound states of the particles. It is supposed that the bound state (for example, hydrogen-like atom of alkali metal) is formed by two charged fermions of different sorts, namely — the valence electron and the frame. The basis for deduction of kinetic equations is the method of reduced description of relaxation processes. In the framework of the developed method a system of kinetic equations is obtained, that refers to Wigner distribution functions of free fermions of both sorts and their bound states — hydrogenlike atoms with account of impact of external and self-consistent (mean) fields. The obtained equations of motion for the Wigner distribution functions must serve as a basis for the analysis of nonequilibrium effects and of the phenomena connected with the influence of the external electromagnetic field upon the low temperature gases of alkali atoms.
issn	0132-6414
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176267
citation_txt	Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле / А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 10. — С. 1336-1352. — Бібліогр.: 41 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT zagorodniiag kinetikanizkotemperaturnogogazavodorodopodobnyhatomovvovnešnemélektromagnitnompole AT slûsarenkoûv kinetikanizkotemperaturnogogazavodorodopodobnyhatomovvovnešnemélektromagnitnompole AT šulʹgasn kinetikanizkotemperaturnogogazavodorodopodobnyhatomovvovnešnemélektromagnitnompole AT zagorodniiag kínetikanizʹkotemperaturnogogazuvodnepodíbnihatomívuzovníšnʹomuelektromagnítnomupolí AT slûsarenkoûv kínetikanizʹkotemperaturnogogazuvodnepodíbnihatomívuzovníšnʹomuelektromagnítnomupolí AT šulʹgasn kínetikanizʹkotemperaturnogogazuvodnepodíbnihatomívuzovníšnʹomuelektromagnítnomupolí AT zagorodniiag kineticsoflowtemperaturegasofhydrogenlikeatomsinexternalelectromagneticfield AT slûsarenkoûv kineticsoflowtemperaturegasofhydrogenlikeatomsinexternalelectromagneticfield AT šulʹgasn kineticsoflowtemperaturegasofhydrogenlikeatomsinexternalelectromagneticfield
first_indexed	2025-11-26T14:45:48Z
last_indexed	2025-11-26T14:45:48Z
_version_	1850624905991684096
fulltext	Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10, c. 1336–1352 Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле А.Г. Загородний Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, ул. Метрологическая, 14-б, г. Киев, 03143, Украина Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга Институт теоретической физики им. А.И. Ахиезера ННЦ ХФТИ ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков 61077, , Украина E-mail: slusarenko@kipt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 7 мая 2018 г., опубликована онлайн 28 августа 2018 г. Развит микроскопический подход к последовательному построению кинетической теории низкотемпе- ратурных разреженных газов водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле. Подход бази- руется на формулировках метода вторичного квантования при наличии связанных состояний частиц. Пред- полагается, что связанное состояние (например, водородоподобный атом щелочного металла) формируется двумя заряженными фермионами различных сортов — валентным электроном и остовом. В основу вывода кинетических уравнений положен метод сокращенного описания релаксационных процессов. В рамках раз- витого подхода получена система кинетических уравнений для вигнеровских функций распределения сво- бодных фермионов обоих сортов и их связанных состояний — водородоподобных атомов с учетом воздей- ствия на систему внешнего и самосогласованного (среднего) полей. Полученные уравнения движения для вигнеровских функций распределения должны служить основой для анализа неравновесных эффектов и яв- лений, связанных с воздействием внешнего электромагнитного поля на низкотемпературные газы щелоч- ных металлов. Ключевые слова: кинетическая теория, низкотемпературные газы, пары щелочных металлов, водородо- подобная плазма, внешнее электромагнитное поле, вигнеровские функции распределения, кинетические уравнения. 1. Введение Первый всплеск интереса к тематике настоящих ис- следований возник во второй половине прошлого столе- тия, когда установилась классификация плазмы по ее характеристикам и свойствам, было достигнуто понима- ние основных свойств квантовой плазмы [1–5] и слабо- ионизованных газов (см., например, [6,7]). Отметим, что количество публикаций по физике плазмы, включая мо- нографии и учебники, настолько огромно, что мы при- водим здесь только несколько ссылок, отмечающих (с учетом имеющихся в этих книгах ссылок) определен- ную хронологию исследований. Возобновление интереса к исследованию кинетиче- ских процессов в квантовых газах обязано интенсивным исследованиям систем с бозе-эйнштейновским конден- сатом (БЭК) [8,9]. В самом деле, БЭК представляет со- бой яркий пример проявления квантово-механической природы вещества на макроуровне. Кроме того, как из- вестно, явление БЭК впервые было реализовано в парах щелочных металлов при температурах порядка сотен нанокельвинов (квантовые газы!) [10,11]. Наиболее же весомым аргументом в пользу изучения кинетики сла- боионизованных или возбужденных газов являются уникальные эффекты взаимодействия таких систем с электромагнитными полями и, прежде всего, явление сильного замедления и даже «остановки» света в газах с БЭК. Возможность экспериментального наблюдения такого рода явлений была продемонстрирована в [12,13]. В работах [14–16] для последовательного теоре- тического описания взаимодействия электромагнитных волн с газами при наличии БЭК был предложен микро- © А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга, 2018 mailto:slusarenko@kipt.kharkov.ua Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле скопический подход, основанный на новой формули- ровке метода вторичного квантования при наличии свя- занных состояний частиц [17]. Этот метод позволил, в частности, обосновать принципиальную возможность наблюдения сильного замедления света в ультрахолод- ных разреженных бозе-газах с БЭК без использования искусственно стимулированной прозрачности среды вблизи резонансов (см. в этой связи [13]). Кроме того, в рамках этого метода были предсказаны и другие инте- ресные эффекты, связанные с откликом ультрахолодных газов с БЭК на возбуждение электромагнитным полем. Была проиллюстрирована возможность замедления микроволн в таких системах до значений групповой скорости порядка 0.01 см/с [18], предсказана возмож- ность управления групповой скоростью света при по- мощи внешнего магнитного поля [19], возможность фильтрации подобными системами электромагнитных сигналов [20] и даже «курьезная» ситуация ускорения заряженных частиц в ультрахолодных газах с БЭК [21]. Подчеркнем, что в перечисленных случаях системы многих тождественных частиц находятся при сверхниз- ких температурах, что является при современных экспе- риментальных возможностях необходимым условием реализации атомарного или молекулярного БЭК. По- скольку в этих условиях плотности заряженных компо- нентов квантовой плазмы экспоненциально малы (по температуре, см. в этой связи [22]), то исследуемые си- стемы можно считать слабовозбужденными ультра- холодными газами. Иными словами, вкладами заря- женных компонентов квантовой плазмы в перечислен- ные выше эффекты можно пренебречь вовсе или учесть их в теории возмущений. Однако такая ситуация не может быть типичной для любых систем с БЭК. Относительно недавно было заяв- лено о наблюдении явления БЭК фотонов в условиях реального эксперимента в специальном красителе, при- чем при комнатной температуре [23,24]. Вскоре появил- ся ряд теоретических работ, посвященных описанию такого явления (см., например, [25–29]), в некоторых из них предсказывалась возможность реализации БЭК фо- тонов и в возбужденных газах, и даже в квантовой плазме [27–29]. В последних упомянутых случаях кине- тические процессы в формировании БЭК фотонов иг- рают исключительно важную роль [23–30]. В частности, в отмеченных системах они формируют эффективную массу фотона («массу покоя») и ответственны за терма- лизацию фотонов в веществе, что позволяет добиваться понижения температуры фотонной подсистемы и, как следствие, достижения в ней состояния с БЭК. Отметим, что в условиях реального эксперимента эффективная масса фотона может формироваться и за счет установ- ления в системе стоячей волны вдоль какого-либо на- правления из-за зеркал, не позволяющих фотонам поки- дать систему [23,24]. Кроме того, в процессе экспе- риментальной реализации режима с БЭК фотонов в среде необходима возможность увеличения плотности фотонов в ней. Такое увеличение достигается дополни- тельной накачкой фотонов в среду внешним электро- магнитным полем (лазером) [23,24]. Таким образом, при описании явлений и эффектов, связанных с формированием БЭК фотонов в возбуж- денных газах и слабоионизованной плазме, на передний план выходит задача о построении кинетической теории таких систем, т.е. о построении связанной системы ки- нетических уравнений для всех возможных компонен- тов системы, включая излучение (фотоны). Такая теория должна быть микроскопической, т.е. построенной на первых принципах квантовой статистики, и учитывать возможность влияния на систему внешнего электромаг- нитного поля. Отметим также, что развитый и исполь- зованный в работах [14–22] микроскопический подход к описанию эффектов, связанных с формированием БЭК фотонов в возбужденных газах и слабоионизованной плазме, не годится. Использованная в этих работах тео- рия становится непригодной в области малых частот и волновых векторов и требует существенной модифика- ции. Необходимая модификация, в свою очередь, требу- ет привлечения методов кинетической теории с учетом квантовой природы вещества [31]. Последнее обстоя- тельство возвращает нас вновь к задаче построения ки- нетической теории таких систем исходя из первых принципов. Здесь необходимо отметить, что построению кинети- ческой теории частично ионизованной плазмы в рамках квантово-механической теории посвящен ряд глав мо- нографии [32]. В ней подход к выводу кинетических уравнений для структурных единиц системы состоит из двух этапов. Вначале строится кинетическое уравнение для функции распределения пар заряженных частиц. Затем, после анализа роли флуктуаций различных ха- рактеристик частиц и полей, вводится условие ослабле- ния корреляций при переходе частиц из связанных со- стояний в свободные. Это позволяет в результате применения ряда приближений (вообще говоря, слабо контролируемых) перейти от одного уравнения для функции распределения пар заряженных частиц к сис- теме трех кинетических уравнений для функций рас- пределения электронов, ионов и атомов. На основе раз- витых подходов появлялась возможность решить ряд задач, например, построить статистическую теорию тормозного излучения в плазменно-молекулярных сис- темах (см. в этой связи [33]). Однако в силу упомянутых слабо контролируемых приближений, используемых в [32], вновь возникает вопрос о построении кинетиче- ской теории частично ионизованной плазмы в рамках первых принципов квантовой статистики. В настоящей работе необходимый микроскопиче- ский подход к построению кинетической теории слабо- возбужденных газов или слабоионизованной плазмы во внешнем электромагнитном поле предлагается постро- Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1337 А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга ить на основе метода сокращенного описания релакса- ционных процессов в многочастичных системах. Такая задача в случае отсутствия воздействия на указанные системы внешнего электромагнитного поля была реше- на нами в [34]. Метод сокращенного описания неравно- весных процессов для классических (не квантовых) сис- тем многих частиц был предложен Н.Н. Боголюбовым [35]. На случай квантовой кинетической теории систем многих тождественных частиц этот метод был обобщен С.В. Пелетминским [31]. Этот метод доказал свою эф- фективность в описании необратимых процессов в сис- темах со спонтанно нарушенной симметрией (твердое тело, магнетики, сверхтекучие и сверхпроводящие сис- темы). Он продемонстрировал свою перспективность при изучении особенностей релаксационных процессов в системах с длинными неравновесными флуктуациями [36], системах нейтронов, взаимодействующих с гидро- динамическими средами [37], и даже прототипах актив- ных сред [38]. В [31] изложена также общая методика применения данного метода к построению кинетиче- ских уравнений для квантовых систем под воздействием внешних полей, в том числе электромагнитного (в слу- чае заряженных систем). По этой причине для достиже- ния целей, поставленных в настоящей статье, нам будут полезны именно формулировки метода сокращенного описания, изложенные в [31], особенно учитывая заве- домо квантовую природу изучаемых объектов. Метод сокращенного описания эффективен, когда гамильтониан системы можно разбить на два слагае- мых 0Ĥ и V̂ , 0 ˆˆ ˆ= V+H H , где 0Ĥ включает в себя основные взаимодействия, а V̂ описывает относитель- но слабые взаимодействия и может содержать взаимо- действие с внешним электромагнитным полем [31]. 2. Кинетические уравнения для газа бозонов и фермионов во втором порядке теории возмущений по слабому взаимодействию Подходы метода сокращенного описания в форму- лировках [31] основаны на гипотезе, что если рассмат- ривать эволюцию системы с «усеченным» или непол- ным гамильтонианом 0Ĥ (как уже отмечалось, этот гамильтониан включает в себя основные взаимодейст- вия), то по прошествии достаточно большого времени ее статистический оператор ( )tρ при достаточно больших временах 0t τ (где 0τ — так называемое время хаотизации) будет иметь некоторый универ- сальный вид. Универсальное выражение для статисти- ческого оператора в этом случае характеризуется неко- торым набором операторов ˆ aγ , которые определяются структурой гамильтониана 0Ĥ и свойствами его сим- метрии [31]. Последнее утверждение может быть вы- ражено соотношением ( ) ( )0 0ˆ ˆ 0 ˆe e e Spi t i t iat a t − →∞ ρ → ρ ργH H , (1) где ρ — начальное значение статистического опера- тора системы, статистический оператор ( )0ρ определя- ется формулой ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 ˆexp a aYρ γ = Ω γ − γ γ , (2) в которой термодинамический потенциал ( )Ω γ и тер- модинамические силы ( )aY γ находятся из уравнений ( )0Sp 1ρ = , ( )0 ˆSp a aρ γ = γ . (3) Величины aγ , операторы которых присутствуют в (1)–(3) и представляют собой параметры сокращенно- го описания системы, и уравнения движения для ко- торых будут уравнениями эволюции системы при временах 0t τ . Эти уравнения должны быть полу- чены исходя из уравнения Лиувилля для статистиче- ского оператора. Индекс «a» нумерует весь набор параметров сокращенного описания aγ . Операторы ˆ aγ зависят от свойств симметрии гамильтониана 0ˆ ,H что нашло свое отражение в (1), где присутству- ет матрица a , определяющаяся структурой и сим- метрией гамильтониана 0ˆ :H 0ˆ ˆ ˆ, a ab ba γ = γ H . (4) В формулах (2), (4) по повторяющимся индексам «а», «b» подразумевается суммирование. Отметим, что нахо- ждение совокупности операторов ˆ aγ для известного гамильтониана 0Ĥ может представлять собой достаточ- но сложную задачу. В общих формулировках метода сокращенного описания она считается решенной, и глав- ное внимание уделяется процедуре вывода уравнений эволюции для этих параметров сокращенного описания. В [31] показано, что для квантовых газов с гамиль- тонианом 0 ˆˆ ˆ V= +H H , (5) где операторы 0Ĥ и V̂ определяются выражениями 0ˆ ˆ ˆi i i i a a+= ε∑H , ( ) 3 41 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ; 4 i ii i i i i i V i i i i a a a a+ += Φ∑V (6) в качестве параметров сокращенного описания aγ , упомянутых выше, может фигурировать одночастич- ная матрица плотности ,i if ′ , которой соответствуют операторы , ˆ ˆ ˆi i i if a a+ ′ ′= , (7) где ˆia+ , ˆia — операторы рождения и уничтожения час- тиц соответственно, а индекс « i » нумерует совокуп- ность квантовых чисел, характеризующих состояние частицы (например, импульс p , проекция спина s). От- метим также, что величина iε в (6) представляет собой 1338 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле энергию свободной частицы (или квазичастицы), ( )1 2 3 4;i i i iΦ характеризует взаимодействие между структурными единицами системы, а буквой V в знаме- нателе второй из формул (6) обозначен объем системы. Для одночастичной матрицы плотности ,i if ′ как па- раметра сокращенного описания в [31] получены урав- нения эволюции во втором порядке теории возмуще- ний по слабому взаимодействию V̂ (см. (5), (6)): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2(0) , , , ,i i i i i i i if f L f L f′ ′ ′ ′= + + L , ( ) ( ) ( )0(0) 0, ˆ ˆSp , i ii i f i f a a+ ′′  = ρ  L H , ( ) ( ) ( ) ( )1 0 , ˆ ˆ ˆSp , i ii iL f i f V a a+ ′′  = ρ   , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 , Spi iL f i d e fητ ′ −∞ = − τ ρ ×∫ ( ) ( ) ( ) 11 1 111 1 , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , a i i ii i ii i L V V a a i a a f + + ′ ′ ′′  ∂ γ  × τ +  ∂   ∑ , ( ) 0 0ˆ ˆei iV Veτ − ττ ≡ H H , (8) причем статистический оператор ( ) ( )0 fρ (см. также (1), (2)) дается выражением ( ) ( ) ( ) ( )0 , ˆ ˆexp i i i i ii f f Y f a a+ ′ ′ ′   ρ = Ω −     ∑ , (9) в котором ( )fΩ и ( ),i iY f′ как функционалы одночас- тичной матрицы плотности в соответствии с (3) должны находиться из уравнений ( ) ( )0Sp 1fρ = , ( ) ( )0 ,ˆ ˆSp i i i if a a f+ ′ ′ρ = . (10) После вычисления коммутаторов и шпуров в (8) с уче- том формул (5)–(7) эти уравнения могут быть приведе- ны к замкнутому виду [31] [ ] ( ),f i f L f t ∂ + ε = ∂ , (11) где матрица ,i i′ε определяется формулой ( ) 1 1 11 , , 1 1 , 1 ;i i i i i i i i i ii i i f′ ′ ′ ′ ε = ε δ + Φ ′ ′∑V , (12) и интеграл столкновений ( )L f для бозонов дается выражением: ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4; ;ii i i i i i i i i i i i i L f i i i i i i i i −′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = Φ Φ δ ε + ε − ε − ε ×′ ′ ′ ′∑ ∑ ( )( ) ( )( ){ }4 2 3 1 3 1 3 1 2 2 3 1 2 1 3 3 1 4 2 4 2 4, , , , , , , , , , , , h.c.i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i if f f f f f f f′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′× δ + δ + − δ + δ + δ + , (13) _______________________________________________ где ( ) 0 0 1 lim ei xx d τ +ητ − η→ −∞ δ ≡ τ π ∫ . (14) Для случая фермионов в нижней строчке выражения (13) внутри круглых скобок знак «плюс» надо заме- нить знаком «минус». Следует также отметить, что в левую часть уравнения (11) входит величина ,i i′ε (см. (12)), содержащая поправки к энергии свободной час- тицы iε , связанные с взаимодействием и одночастич- ной матрицей плотности ,i if ′ (функцией распределе- ния, см. ниже). По этой причине величиной ,i i′ε учи- тываются эффекты среднего поля. Таким образом, уравнение (11) с учетом самосогласованного поля (12) и интегралом столкновений (13), (14) и является, по сути, кинетическим уравнением для системы, характе- ризуемой гамильтонианами (5), (6). Чтобы продемонстрировать это более наглядно, следует перейти, как это сделано в [31], в уравнениях (11)–(13) к импульсному представлению, то есть, ве- личины, характеризуемые наборами индексов i, необхо- димо считать набором импульсов p с соответствующей нумерацией. В этом случае удобно вместо одночастич- ной матрицы плотности ( ) ( )0 , ˆ ˆSpf f a a+ ′ ′≡ ρp p p p (см. (7), (10)) ввести в рассмотрение вигнеровскую функцию рас- пределения ( ),f x p : ( ) ( ) 3 3, , 2 2 2 2 , e e 2 i if f d k f− − − + − + ≡ = π ∑ ∫kx kx k k k kp p p pk x p V . (15) Следует обратить внимание на то, что в пространст- венно однородном случае величина , 2 2 f − +k kp p равна ,0f δp k . Следовательно, , 2 2 f − +k kp p должна иметь рез- кий максимум при 0=k . Исходя из уравнений (11)– (14), в теории возмущений по малым пространствен- ным градиентам получается следующее уравнение эволюции для вигнеровской функции распределения ( ),f x p (кинетическое уравнение) [31]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ; f f f L f t ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x p x p x p x p x p p p x x p , (16) где энергия частицы ( ),ε x p (или квазичастицы, см. [31]) и интеграл столкновений ( );L fp определяются выражениями: Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1339 А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга ( ) ( ) 3 3, , 2 2 2 2 , e e 2 i id k− − − + − + ε ≡ ε = ε π ∑ ∫kx kx k k k kp p p pk x p V , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 42; ;L f π ≡ Φ δ ε + ε − ε − ε ×∑ p p p p p p p p p p p p p V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4, 1 2 3 4 3 4 1 21 1 1 1f f f f f f f f       × δ + + − + +      p p p p p p p p p p , (17) _______________________________________________ в которых ( )ε p — энергия свободной частицы (или квазичастицы). Отметим, что аналогичное выражение для интеграла столкновений ( );L fp в (17) справедли- во и для фермионов, если в нем знак «плюс» в квад- ратных скобках заменить знаком «минус». Видно, что кинематическая часть уравнения (16) выглядит так же, как и кинематическая часть классического кинетиче- ского уравнения, если под энергией ( ),ε x p понимать гамильтониан частицы εp . Интеграл же столкновений в (17) существенно отличается от такового в классиче- ском случае, поскольку в нем отражено влияние стати- стики, которой подчиняются частицы. В следующем разделе изложенная выше процедура будет применена для построения кинетической теории слабоионизованных газов водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле. Как уже отмеча- лось выше, построение такой кинетической теории необходимо начать с конкретизации явного вида га- мильтониана исследуемой системы. 3. Гамильтониан низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле Задача построения гамильтониана слабоионизован- ной плазмы во внешнем электромагнитном поле, по сути, решена. В работе [17] развит приближенный ме- тод вторичного квантования для описания многочас- тичных систем при наличии связанных состояний час- тиц. Для этого рассматривалась наиболее простая модель — система, составленная тремя различными газовыми компонентами: подсистемами двух различ- ных противоположно заряженных фермионов и их свя- занными состояниями. В [34] эти гамильтонианы были использованы для построения кинетической теории слабоионизованных разреженных газов водородопо- добных атомов из первых принципов квантовой стати- стики в отсутствие внешнего электромагнитного поля. Там же объяснялось, что развитый метод вторичного квантования наиболее корректно применять именно в случае низких температур. Причина в том, что форму- лировки работы [17] справедливы, когда средняя кине- тическая энергия частиц системы мала по сравнению с энергиями связанных состояний (атомов). В системах, близких к равновесному состоянию, данное условие обеспечивается именно низкими температурами. Сле- дует попутно отметить, что формулировки метода вто- ричного квантования, предложенные в [17], успешно применялись в [39] при описании состояний низкотем- пературных газов ферми-атомов двух разных сортов в термодинамическом равновесии с газом гетероядерных молекул, образованных этими фермионами. Такие об- стоятельства позволяют использовать гамильтонианы [17] и для решения задач настоящей работы. Итог построения в [17] приближенной (новой на тот момент) формулировки метода вторичного квантова- ния при наличии связанных состояний выглядит сле- дующим образом. Низкотемпературный слабовозбуж- денный и слабоионизованный газ водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле представ- ляет собой прежде всего многочастичную многоком- понентную систему, подсистемами которой являются разноименно заряженные свободные фермионы (элек- троны и положительно заряженные остовы), а также связанные состояния этих фермионов — нейтральные водородоподобные атомы (бозоны), которые могут находиться в возбужденных состояниях. Операторы рождения и уничтожения фермионов первого и второ- го сортов в импульсном представлении ( )ˆla p , ( )ˆla+ p , 1, 2l = (18) удовлетворяют обычным (фермиевским) коммутаци- онным соотношениям ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,l l l l l la a a a a a+ + + ′ ′ ′≡ + =′ ′ ′p p p p p p ( ) ( )l l= ∆ − ∆ −′ ′p p , (19) ( ) ( ){ }ˆ ˆ, 0l la a ′ =′p p , ( ) ( ){ }ˆ ˆ, 0l la a+ + ′ =′p p , где величины ( )∆ − ′p p и ( )l l∆ − ′ представляют со- бой символы Кронеккера. Для определенности в даль- нейшем изложении будем считать, что индекс 1l = соответствует подсистеме электронов, а 2l = — осто- вов. Отметим, что для упрощения выкладок в [17] не учитывалось наличие спиновых переменных в качестве индивидуальных квантовых характеристик частиц, со- ставляющих подсистемы. Не будет оно учитываться и в настоящей работе по той же причине. Для связанных состояний (водородоподобных ато- мов) с массой 1 2M m m= + в низкоэнергетической 1340 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле области возможно введение в рассмотрение операто- ров рождения ( )ˆ + αη p и уничтожения ( )ˆ αη p , удовле- творяющих также привычным бозевским перестано- вочным соотношениям: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, + + + α β α β β α η η ≡ η η − η η =′ ′ ′ p p p p p p ( ) ( )= ∆ − ∆ α − β′p p , (20) где индексом « α » (или « β ») обозначается набор кван- товых чисел, характеризующих квантово-механическое состояние водородоподобного атома. Кроме того, предполагалась возможность воздейст- вия на систему внешнего электромагнитного поля, ха- рактеризуемого скалярным ( ) ( , )e tϕ x и векторным ( ) ( , )e tA x потенциалами. Учитывалось также наличие в системе фотонов с законом дисперсии ( )kω (ω — частота, k — волновой вектор), операторами рожде- ния ˆ ( )C+ λ k фотона с волновым вектором k и поляри- зацией 1,2λ = и операторами уничтожения ˆ ( )Cλ k , ( )k ckω = , ( ) ( ) ( )ˆ ˆ,C C+ λ λ′  = ∆ −′ ′ k k k k . (21) В терминах введенных операторов рождения и унич- тожения частиц (18)–(21) гамильтониан низкотемпера- турной водородоподобной плазмы в соответствии с [17] может быть представлен в виде ( )0 ˆ ˆˆ ˆ= W t V+ +H H , (22) где 0Ĥ — гамильтониан свободных частиц: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆl l l l a a+ + α α α = α = ε + ε η η +∑∑ ∑∑ p p p p p p p pH ( ) ( ) ( ) , ˆ ˆC C+ λ λ λ + ω∑ k k k k , (23) ( ) 2 2l lm ε = pp , { }1,2l ≡ , ( ) 2 2Mα αε = ε + pp , 1 2M m m= + , причем величина 0αε < представляет собой энергию связанного состояния (водородоподобного атома) в состоянии с набором квантовых чисел α . В (23) и дальнейших выкладках, как это обычно делается, фор- мально полагаем постоянную Планка  равной едини- це, при необходимости зависимость результатов от  легко восстанавливается. По повторяющимся индексам « α » в (23) и ниже, где специально не оговаривается иное, подразумевается суммирование. Гамильтониан взаимодействия ( )Ŵ t системы час- тиц с электромагнитным полем может быть записан в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ= , , 2 W t d t d t I c c − + +∫ ∫xA x j x xA x x ( ) ( )( ) ˆ,ed t+ ϕ σ∫ x x x , (24) где оператор ( )ˆ , tA x , ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ, ,et t≡ +A x A x a x (25) представляет собой суперпозицию векторного потен- циала внешнего электромагнитного поля ( ) ( , )e tA x и векторного потенциала ˆ ( )a x поля излучения, который в терминах операторов рождения и уничтожения фо- тонов имеет вид (см., например, [31]): ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2ˆ c k− λ λ= π = ω ×   ∑ ∑ k a x e k V ( ) ( ){ }ˆ ˆe ei iC C+ − λ λ× +kx kxk k (26) ( ( )λe k — вектор поляризации фотона в состоянии k и 1, 2)λ = . Отметим, что для поля излучения выбрана кулоновская калибровка. Оператор плотности токов ( )ĵ x в (24) определяется формулами: ____________________________________________________ ( ) ( ) 2 0 ˆ ˆ a a= = ∑j x j x , { }0,a l= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ˆ ˆ ˆe 2 il l l l l ie a a m − ′ + ′ = − + ′ ′∑ x p p p p j x p p p p V , 1 2e e e= − = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 , , 1ˆ ˆ ˆe 2 i M −′ + αβ αβ α β α β′  + ′ = σ − + − η η′ ′ ′    ∑ ∑ x p p p p p p j x p p j p p p p V , (27) в которых V — объем системы, e — величина элементарного заряда, 1m и 2m — массы электрона и остова со- ответственно, а величины ( )αβσ k и ( )αβj k даются выражениями ( ) ( ) ( ) 1 2* exp exp m m e d i i M Mαβ α β     σ ≡ ϕ ϕ − −         ∫k y y y ky ky , 1 2M m m≡ + , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 2 1* 1 2 1 1exp exp 2 m mie d i i m M m M β α αβ α β  ∂ϕ ∂ϕ     ≡ ϕ − ϕ + −         ∂ ∂    ∫ y y j k y y y ky ky y y , (28) Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1341 А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга где M — масса атома и ( )αϕ y — волновая функция водородоподобного атома в состоянии α , которая счи- тается известной. Величина ˆ ( )σ x , входящая в (24), представляет со- бой оператор плотности зарядов системы ( ) ( ) 2 0 ˆ ˆ a a= σ = σ∑x x , (29) причем ( ) ( ) ( ) ( ) , ˆ ˆ ˆeil l l l e a a−′ + ′ σ = ′∑ x p p p p x p p V , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 , , 1 ˆ ˆˆ ei −′ + αβ α β α β′ σ = σ − η η′ ′∑ ∑ x p p p p x p p p p V . (30) Наконец, оператор ( )Î x , содержащийся в (24), со- гласно [31] может быть записан в виде ( ) ( ) 2 0 ˆ â a I I = = ∑x x , (31) где ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , ˆ ˆ ˆei l l l l eI a a m −′ + ′ ≡ ′∑ x p p p p x p p V , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 , , 1ˆ ˆ ˆeiI I−′ + αβ α β α β′ ≡ − η η′ ′∑ ∑ x p p p p x p p p p V , (32) а тензор ( )Iαβ k определяется формулой ( ) ( ) ( )2 I e dαβ α β≡ ϕ ϕ ×∫k y y y . 2 1 1 2 1 1exp exp m m i i m M m M     × + −         ky ky . (33) Таким образом, выражения (24)–(33) полностью опреде- ляют гамильтониан взаимодействия водородоподобной низкотемпературной плазмы с электромагнитным полем. Отметим, что в предположении слабого внешнего электромагнитного поля и в главном приближении по постоянной тонкой структуры 2 /e c гамильтониан ˆ ( )W t взаимодействия электромагнитного поля с веще- ством сводится к простой сумме гамильтонианов ext ˆ ( )W t и int ˆ ( )W t : ( ) ( )ext int ˆ ˆ ˆW t W t W= + , (34) в которой гамильтониан взаимодействия вещества с внешним электромагнитным полем ( )extŴ t опреде- ляется формулами: ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 ext ext ext ext ˆ ˆ ˆ ˆW t W t W t W t= + + , (35) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2ext 1 ˆ ˆ ˆ, , 2 e ee iW t t t a a m c +  = − + + ϕ −    ∑ p p A p p p p p p p p V , ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2ext 2 ˆ ˆ ˆ, , 2 e ee iW t t t a a m c +  = − + + ϕ −    ∑ p p A p p p p p p p p V , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 2( ) 1 2 1 2 1 2 1 2ext , 1ˆ ˆ ˆ= , 2 eW t t c M + αβ αβ α β α β  + − − σ − + − η η +    ∑ ∑ p p p p A p p p p j p p p p V ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 , , 1 ˆ ˆ ,e t + αβ α β α β + ϕ − σ − η η∑ ∑ p p p p p p p p V , в которых функции ( )( ) ,e tA p , ( )( ) ,e tϕ p представляют собой фурье-образы потенциалов ( )( ) ,e tA x и ( )( ) ,e tϕ x внешнего электромагнитного поля ( ) ( )( ) ( ), e ,e i et d t−= ∫ pxA p x A x , ( ) ( )( ) ( ), e ,e i et d t−ϕ = ϕ∫ pxp x x . (36) Гамильтониан взаимодействия вещества с излучением дается выражениями ( ) ( ) ( )1 2 0 int int int int ˆ ˆ ˆ ˆW W W W= + + , (37) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/22 0 int 1 , , 22 ˆˆ ˆ ˆ 2 W C M + λ αβ αβ α β − λ λ= α β  −  π ≡ − σ − + − η η −  ω    ∑ ∑ ∑ p p k k kk p p k e k k j k V 1342 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле ( ) ( ) ( ) ( ) 1/22 1 , , 22 ˆˆ ˆ 2 C M + + λ αβ αβ α β + λ λ= α β  +  π − σ + η η  ω    ∑ ∑ ∑ p p k k kk p p k e k k j k V , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1/22 1 1 1int 1 , , 1 2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ 2 eW a a C C m + + λ λ λ λ=′  π = + ∆ − + + ∆ − −′ ′ ′ ′ ω ∑ ∑ k k kp p k e k p p p p p p k p p k V , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/22 2 2 2int 2 , , 1 2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ 2 eW a a C C m + + λ λ λ λ=′  π  = − + ∆ − + + ∆ − −′ ′ ′ ′   ω ∑ ∑ k k kp p k e k p p p p p p k p p k V . ________________________________________________ Заметим, что гамильтониан (35) играет главную роль в описании процессов отклика системы на внеш- нее возмущение слабым электромагнитным полем (см. [15–23]). Гамильтониан (37) определяет релаксацион- ные процессы в фотонной подсистеме. На самом деле этот гамильтониан точно учитывает процессы испус- кания и поглощения фотонов, но оставляет вне рамок описания процессы рассеяния фотонов атомами. За процессы рассеяния фотонов атомами ответственны неучтенные в гамильтонианах (34)–(37) слагаемые, квадратичные по постоянным тонкой структуры 2 /e c (они содержатся в полном гамильтониане (24)). Однако такой же вклад в релаксационные процессы в системе (например. в интеграл столкновений) дает и квадра- тичное приближение по intŴ [31]. Осталось привести явный вид последнего слагаемо- го в формуле (22) — гамильтониана взаимодействия между частицами всех компонентов системы V̂ , кото- рый в соответствии с [17] может быть представлен в виде трех слагаемых: ( ) ( ) ( )1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆV V V V= + + , (38) где ( )1V̂ — гамильтониан взаимодействия свободных фермионов обоих сортов с водородоподобными атомами ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2 3 4 1 1 2 3 4 3 4 2 1 2 2 1 1 1 2 ˆ ˆ ˆ, ; ,eV a a a a+ + + αβ α β= Φ η η −∑ p p p p p p p p p p p p p p V , (39) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 4 3 1 2 1 2 2 1, ; ,αβ αβΦ ≡ ∆ − − + ν − σ −p p p p p p p p p p p p . Гамильтониан ( )2V̂ в (38) описывает взаимодействие между атомами в различных квантово-механических состояниях: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 3 41 2 1 2 3 4 2 ; 1 2 3 4 1 2 3 4 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , 4 V + + α α α α α αα α= Φ η η η η∑ p p p p p p p p p p p p V , (40) ( ) ( )1 2 3 4; 1 2 3 4 4 3 1 2 1, ; , 2α α α αΦ ≡ ∆ + − − ×p p p p p p p p V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 1 4 2 3 2 4 1 33 2 3 2 2 3 3 1 3 1 1 3α α α α α α α α× ν − σ − σ − + ν − σ − σ − +p p p p p p p p p p p p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}1 3 2 4 2 3 1 44 2 4 2 2 4 4 1 4 1 1 4α α α α α α α α+ ν − σ − σ − + ν − σ − σ −p p p p p p p p p p p p , а гамильтониан ( )3V̂ определяет взаимодействие свободных фермионов между собой: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 2 33 1 2 3 4 1 2 1 3 2 1 2 41 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; ,eV a a a a+ += − Φ +∑ p p p p p p p p p p p p V ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 3 42 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , 4 a a a a a a a a+ + + + + Φ + ∑ p p p p p p p p p p p p p p p p , (41) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 3 4 4 1 3 2 2 31 , ; ,Φ ≡ ∆ − + − ν −p p p p p p p p p p , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 3 1 2 3 4 4 1 3 2 2 3 1 4 1 3 2 42 , ; , 2 e Φ ≡ ∆ − + − ν − + ν − − ν − − ν −p p p p p p p p p p p p p p p p V . Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1343 А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга Величина ( )ν p в формулах (39)–(41) представляет собой фурье-образ кулоновского потенциала, делен- ный на 2e — квадрат элементарного заряда, ( ) 2 4π ν =p p . (42) Таким образом, выражения (19)–(42) определяют все виды взаимодействий между компонентами слабоио- низованного газа водородоподобных атомов в области низких температур и взаимодействие системы с внеш- ним электромагнитным полем. Таким образом, гамиль- тониан системы в виде (22) будет использоваться на- ми, в описании системы в рамках модифицированного для этого случая метода сокращенного описания, с некоторыми оговорками, о которых будет сообщаться по мере необходимости. 4. Параметры сокращенного описания низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле Для построения кинетической теории исследуемой системы необходимо несколько модифицировать изло- женный в разд. 2 подход, прежде всего принимая во внимание то обстоятельство, что в случае слабоионизо- ванного газа водородоподобных атомов речь идет о многокомпонентной системе. В основе такого описания, как уже упоминалось, лежат гамильтонианы системы, определенные выше формулами (22)–(42) (см. также [17]). Однако необходимо сделать следующее замеча- ние. Гамильтониан (22) отличается от гамильтониана (5) наличием дополнительного слагаемого ˆ ( )W t , описы- вающего взаимодействие компонентов системы с внеш- ним полем и излучением (фотонами), см. (22)–(37). Сра- зу отметим, что с целью упрощения выкладок и более наглядного представления результатов в дальнейшем рассмотрении в ˆ ( )W t мы будем пренебрегать наличием взаимодействия компонентов системы с фотонами, то есть игнорировать наличие слагаемого intŴ , см. (34), (37). Отметим также, что пренебрежение слагаемым intŴ не является необходимым из каких-либо принци- пиальных соображений. В самом деле, мы могли бы включить в число параметров сокращенного описания одночастичную матрицу плотности фотонов ,fλ λ′ ′k k , определив ее формулами (см. (10), (15)): ( ) ( )0 , , ˆSpf f fλ λ λ λ′ ′ ′ ′≡ ρk k k k , , ˆ ˆ ˆf C C+ λ λ λ λ′ ′ ′ ′=k k k k . (43) Это позволило бы добавить гамильтониан intŴ (см. (37)) к числу гамильтонианов взаимодействия (38) и получить в итоге, следуя методике [31], кинетическое уравнение для вигнеровской функции распределения фотонов. Как легко будет видеть далее, такая процеду- ра сильно загромоздила бы выкладки и наглядность результатов. Принимая также во внимание, что фотоны слабо влияют на релаксационные процессы в среде, мы можем пренебречь слагаемым intŴ в гамильтониане ˆ ( )W t . По этой же причине мы исключим из дальней- шего рассмотрения слагаемое , ˆ ˆ( ) ( ) ( ),C C+ λ λ λ ω∑ k k k k определяющее в (23) кинетическую энергию свобод- ных фотонов. Однако, если интересоваться процессами релаксации фотонов в среде, то необходимо, как отме- чалось выше, выписывать кинетическое уравнение для функции распределения (43) фотонов и учитывать на- личие как слагаемого , ˆ ˆ( ) ( ) ( ),C C+ λ λ λ ω∑ k k k k так и га- мильтониана intŴ . Именно слагаемые, содержащиеся в intŴ , и определяют релаксацию фотонной подсистемы, см. в этой связи [31]. Что же касается гамильтониана ext ˆ ( )W t (см. (35)) в ˆ ( )W t , связанного с взаимодействием вещества с внеш- ним электромагнитным полем, то его влияние на эво- люцию системы в рамках метода сокращенного описа- ния в определенных случаях также можно учесть. В частности, в [31] подробно изложена процедура моди- фикации метода сокращенного описания на случай воздействия на систему внешней силы слабой интен- сивности и медленно меняющейся со временем. Суть модификации состоит в том, что при выводе кинетиче- ского уравнения с учетом воздействия на систему внешней случайной силы используется дополнитель- ная теории возмущения по временным производным от характеристик поля (наряду с теорией возмущения по слабому взаимодействию между частицами, напри- мер). Если задаться целью получить кинетические уравнения в главном приближении по дополнитель- ным малым параметрам (производным по времени от характеристик поля), то отмеченная модификация ста- новится минимальной и практически очевидной [31]. Применительно к исследуемой нами системе это означает, что в качестве параметров ее сокращенного описания могут быть выбраны одночастичные матри- цы плотности типа (3), (7) для каждого из компонентов системы. Именно весь набор таких матриц плотности будет служить параметрами сокращенного описания системы на кинетическом ее этапе. И уравнения эво- люции для них могут рассматриваться в качестве сис- темы кинетических уравнений для системы (см. в этой связи также [34,40]). Учитывая сделанное выше пред- ложение о пренебрежении вкладом фотонов в релакса- ционные процессы в системе, введем в рассмотрение одночастичные матрицы плотности (1) ,f ′p p  , (2) ,f ′p p  сво- бодных (не связанных) фермионов 1-го и 2-го сорта формулами, см. (18)–(20), (9), (10), (43) (напомним, что мы условились выше нумеровать индексом «1» физи- ческие характеристики электронной подсистемы, а индексом «2» — характеристики остовов): 1344 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле ( ) ( ) ( ) ( )1 10 , , ˆSpf f f′ ′≡ ρp p p p   , ( ) ( ) ( )1 1 1, ˆ ˆ ˆf a a+ ′ ≡ ′p p p p , ( ) ( ) ( ) ( )2 20 , , ˆSpf f f′ ′≡ ρp p p p   , ( ) ( ) ( )2 2 2, ˆ ˆ ˆf a a+ ′ ≡ ′p p p p , (44) а также одночастичные матрицы плотности атомов в различных квантово-механических состояниях (0) ,fα β ′p p  (20) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 , , ˆSpf f fα β α β′ ′≡ ρp p p p   , ( ) ( ) ( )0 , ˆ ˆ ˆf + β αα β ′ ≡ η η′p p p p , ( ) ( )0Sp 1fρ = , (45) где статистический оператор ( )0 ( )fρ  в соответствии с (33), (48) должен определяться формулой ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10 , , ˆexpf f Y f f′ ′ ′ ρ = Ω − −  ∑ p p p p pp    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0 0 , , , , ˆ ˆY f f Y f f′ ′ β α α β′ ′ ′ ′ − −   ∑ ∑p p p p p p p p pp pp   , (46) в которой термодинамический потенциал ( )fΩ  и связь величин (1) , ( )Y f′p p  , (2) , ( )Y f′p p  , (0) , ( )Y fβ α′p p  с введен- ными одночастичными матрицами плотности опреде- ляется выражениями (44), (45). Далее для каждой из введенных выражениями (44), (45) одночастичных матриц плотности можно выпи- сать уравнения эволюции, придерживаясь методики, используемой в [31] (см. также [34,40]) для получения формул (8)–(12). В настоящей работе для исследуемой системы мы будем получать кинетические уравнения с точностью до первого порядка по слабому взаимодей- ствию между частицами, что соответствует приближе- нию среднего (или самосогласованного) поля. Кроме того, как уже оговаривалось выше, будем ограничи- ваться главным приближением по временным произ- водным от характеристик поля и не учитывать «пере- крестных» слагаемых, то есть таких, которые пропор- циональны произведениям величин, характеризующих внешнее поле, на амплитуды слабого взаимодействия между частицами. Пренебрегая вторым порядком по взаимодействию, мы избегаем задачи построения инте- гралов столкновений, см. (13), (14), (17). В оговорен- ных выше приближениях нет принципиальной необхо- димости. Как легко видеть из (13), (38)–(42), выра- жения для интегралов столкновений могут быть полу- чены, хотя из-за громоздкости выкладок данную за- дачу, по нашему мнению, следует вынести за рамки настоящей работы. С учетом оговоренных приближений и в соответст- вии с формулами (8), уравнения эволюции для одно- частичных матриц плотности (1) ,f ′p p  , (2) ,f ′p p  свободных фермионов обоих сортов записываются в следующей форме (см. также (44)): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1,0 1,1 , , ,f f L f′ ′ ′= +p p p p p p    L , (47) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0 10 0, , ˆˆSp ,f i f f′ ′  = ρ   p p p p  L H , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 10 ext, , ˆˆ ˆSp ,L f i f V W t f′ ′  = ρ +  p p p p   ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2,0 2,1 , , ,f f L f′ ′ ′= +p p p p p p    L , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,0 20 0, , ˆˆSp ,f i f f′ ′  = ρ   p p p p  L H , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 10 ext, , ˆˆ ˆSp ,L f i f V W t f′ ′  = ρ +  p p p p   , где гамильтонианы 0Ĥ , V̂ и ( )extŴ t определяются выражениями (35) и (38)–(42). Подобное же уравнение может быть выписано и для одночастичной матрицы плотности связанных состояний этих фермионов — во- дородоподобных атомов в различных квантовых со- стояниях (45) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0,0 0,1 , , ,f f L fα β α β α β′ ′ ′= +p p p p p p    L , (48) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 00 0, , ˆˆSp ,f i f fα β α β′ ′  = ρ   p p p p  L H , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1 10 ext ,, ˆˆ ˆSp ,L f i f V W t fα β ′′  = ρ +  p pp p   . Вводя далее в рассмотрение вигнеровские функции распределения (1) ( , )f x p , (2) ( , )f x p , 1 2 (0) , ( , )fα α x p , как это было сделано в [34], [40] (см. также (15)): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 3 3, , 2 2 2 2 , e e , 2 i if f d k f− − − + − + ≡ = π ∑ ∫kx kx k k k kp p p pk x p   V ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 3, , 2 2 2 2 , e e , 2 i if f d k f− − − + − + ≡ = π ∑ ∫kx kx k k k kp p p pk x p   V ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 1 , , 2 2 , e if f− α α α − α + ≡ =∑ kx k kp pk x p  ( ) ( ) 1 2 13 3 , 2 2 e 2 id k f− α − α + = π ∫ kx k kp p  V , (49) и следуя методике [31,34], исходя из (47), (48) можно прийти к кинетическим уравнениям для величин (49), вид которых подобен виду уравнения (16), если в по- следнем не принимать во внимание интеграл столкно- вений. Наиболее последовательно соответствующая процедура изложена в [40]. Упомянутая процедура, однако, требует определенной модификации для учета влияния на систему внешнего электромагнитного поля. В соответствии с этим, и выведенная система кинети- ческих уравнений будет учитывать воздействие на сис- Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1345 А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга тему внешнего электромагнитного поля, в том числе, и на подсистему нейтральных водородоподобных ато- мов. В явном виде этих кинетических уравнений таит- ся, однако, довольно «неприятное» обстоятельство, связанное со способом введения вигнеровских функ- ций распределения (49), что и рассмотрим в следую- щем разделе. 5. Условия калибровочной инвариантности для низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле Дело в том, что в упомянутые кинетические урав- нения потенциалы внешнего электромагнитного поля ( ) ( , )e tA x и ( ) ( , )e tϕ x (см. (35), (36)) не входят в виде комбинаций, соответствующих напряженностям элект- рического ( ) ( , )e tE x и магнитного ( ) ( , )e tH x полей: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1, , ,e e et t t c t ∂ ∂ = − ϕ ∂ ∂ E x A x x x , ( ) ( )( ) ( ), rot ,e et t=H x A x . (50) Это связано с тем, что вигнеровские функции распреде- ления (49) не являются калибровочно-инвариантными: действительно, в классическом пределе они определяют распределение частиц по координатам и проекциям обобщенного импульса, которые калибровочно-не- инвариантны (см. в этой связи [31], а также [41]). Мож- но, однако, ввести калибровочно-инвариантные функ- ции распределения, кинетические уравнения для кото- рых будут уже содержать характеристики внешнего электромагнитного поля в комбинациях (50), то есть будут уже калибровочно-инвариантными. С этой целью обратим внимание, прежде всего, на то, что калибро- вочно-неинвариантные вигнеровские функции распре- деления (49) можно ввести еще одним, эквивалентным способом (см. также (44)): ( ) ( ) ( )1 1 1 1, e , 2 2 if d f  = + −  ∫ ypx p y x y x y  , ( ) ( ) ( )2 2 1 1, e , 2 2 if d f  = + −  ∫ ypx p y x y x y  , ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 , , 1 1, e , 2 2 if d fα α α α  = + −  ∫ ypx p y x y x y  , (51) где одночастичные матрицы плотности определяются выражениями ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 1ˆ ˆ, Spf +≡ ρχ χx x x x , ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 2 2 1ˆ ˆ, Spf +≡ ρχ χx x x x , ( ) ( ) ( ) ( )11 2 2 0 1 2 2 1, ˆ ˆ, Spf + αα α α≡ ρη ηx x x x . (52) В (52) полевые операторы 1 1ˆ ˆ( ), ( )+χ χx x , 2 2ˆ ˆ( ), ( )+χ χx x и 12 ˆ ˆ( ), ( )+ ααη ηx x связаны с операторами рождения и уничтожения частиц подсистемы в импульсном про- странстве (18)–(20) формулами ( ) ( )1 1 1ˆ e ia+ + −χ = ∑ px p x p V , ( ) ( )1 1 1 1ˆ eiaχ = ∑ px p x p V , ( ) ( )2 2 1ˆ e ia+ + −χ = ∑ px p x p V , ( ) ( )2 1 2 1ˆ eiaχ = ∑ px p x p V , ( ) ( )1ˆ ˆe i+ − + α αη = η∑ px p x p V , ( ) ( )1ˆ ˆ ei α αη = η∑ px p x p V . (53) Уравнения движения для операторов (53) будут калиб- ровочно-инвариантными в том случае, когда эти опе- раторы удовлетворяют преобразованиям (см. [17]): ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆeie a tχ → χ = χ′ xx x x , ( ) ( ) ( ) ( )1 2, 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ, e ie a tt −+ + +χ → χ = χ′ xx x x , ( ) ( ) ( ) ( )2 1, 2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆeie a tχ → χ = χ′ xx x x , ( ) ( ) ( ) ( )2 2, 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ, e ie a tt −+ + +χ → χ = χ′ xx x x , ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ, ,t K tα α α β βη → η = η′X X X X , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ, ,t K t+ + + + α α β α βη → η = η′X X X X , (54) в которых матричные элементы ( , )K tαβ X определяются выражениями ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 1 2, exp , , m m K t d i e a t e a t M Mα β α β      ≡ ϕ + + − ϕ           ∫X x x X x X x x , ( ) ( ) ( )2 22 2 2 1 1 2, exp , , m m K t d i e a t e a t M M + α βα β      ≡ ϕ − + + − ϕ           ∫X x x X x X x x , (55) _______________________________________________ где ( ),a tx — некая калибровочная функция. Заметим, что для матриц (55) справедливо равенство ( ) ( )2 1 1 22 2 , ,K t K t+ β α α αα β = δX X , (56) 1346 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле в чем легко убедиться, если считать, что волновые функции водородоподобного атома ( )αϕ x удовлетво- ряют равенству: ( ) ( ) ( ) β βϕ ϕ = δ −x y x y , (57) то есть относить волновые функции атома к области дискретного спектра (по повторяющимся индексам в (57), как и в формулах выше, подразумевается сумми- рование). На самом деле, условие (57) уже считалось выполненным на этапе формулировки самого метода вторичного квантования при наличии связанных со- стояний частиц. Обоснование этого обстоятельства и области его применимости подробно изложено в [17]. Отметим также, что в соответствии с этой работой в приближении «точечного атома» и при 1 2e e e= − = − матрицы (55) могут быть значительно упрощены: ( ) ( ) ( ){ } ( )1 1 1 1 1 1 1 1, exp ,K t d ie a tα β α β≡ ϕ − ∇ ϕ∫X x x x X x , ( ) ( ) ( ){ } ( )2 22 2 2 2 2 2, exp ,K t d ie a t+ α βα β ≡ ϕ ∇ ϕ∫X x x x X x . (58) Таким образом, в соответствии с (51)–(58) калибро- вочно-инвариантные одночастичные матрицы плотно- сти должны определяться следующими выражениями: ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )1 1 2, ,1 1 1 2 1 2 1 1 1 2ˆ ˆ, Sp e ,ie a t a tf f−+≡ ρχ χ =′ ′ x xx x x x x x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )2 1 2, ,2 2 1 2 2 2 2 1 1 2ˆ ˆ, Sp e ,ie a t a tf f−+≡ ρχ χ =′ ′ x xx x x x x x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 2 2 2 2 1 2 0 0 1 2 2 1 2 1 1 2, ,ˆ ˆ, Sp , , , , , ;f t t K t K t f t+ + α α βα α α α β β β= ρη η =′ ′x x x x x x x x , (59) причем благодаря свойствам (56) справедливо также соотношение ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 1 1 2 0 0 1 2 1 2 1 2, ,, ; , , ,f t K t K t f+ γ αγ γ γ α α α=x x x x x x . (60) Далее, исходя из определений вигнеровских функций распределения (51), (52), имеем ( ) ( ) ( )1 1 1, , 1 12 2 1 1, e e , , 2 2 ie a t a t if d f     + − −          = + −  ∫ x y x y ypx p y x y x y ( ) ( ) ( )2 1 1, , 2 22 2 1 1, e e , , 2 2 ie a t a t if d f     + − −          = + −  ∫ x y x y ypx p y x y x y ( ) ( ) ( ) 1 11 2 2 2 1 2 0 0 , , 1 1 1 1, e , , , ; 2 2 2 2 if d K t K t f t+ α βα α α β β β      = − + + −          ∫ ypx p y x y x y x y x y . (61) С другой стороны, для любой одночастичной матрицы плотности, например ( )1 1 1, 2 2 f  + −   x y x y , справедливо представление через вигнеровскую функцию распределения ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 1 1 1, e , 2 2 2 if d f− ′ + − = ′ ′   π ∫ ypx y x y p x p  , (62) вследствие чего выражения (61) для калибровочно-инвариантных вигнеровских функций распределения могут быть записаны в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, , 1 1 2 2 3 1, ; , ; e e 2 ie a t a t if t d f t d     + − −       − ′  = ′ ′ π ∫ ∫ x y x y y p px p p x p y , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1, , 2 2 2 2 3 1, ; , ; e e 2 ie a t a t if t d f t d     + − −       − ′  = ′ ′ π ∫ ∫ x y x y y p px p p x p y , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 2 1 2 2 2 0 0 , ,3 1 1 1, ; , ; e , , 2 22 if t d f t d K t K t− ′ + α βα α β β α β    = − +′ ′       π ∫ ∫ y p px p p x p y x y x y . (63) Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1347 А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга В классическом пределе, когда поля слабо меняют- ся на расстояниях порядка де-бройлевской длины вол- ны частицы (см., например, [31]), имеем ( )1 1, , , 2 2 a t a t a t   + − − ≈ ∇       x y x y y x (64) и ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1, ; , , ;f t f e a t t≈ + ∇x p x p x , ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2, ; , , ;f t f e a t t≈ + ∇x p x p x . (65) Принимая во внимание, что 1 2 ,e e e= − = − и выбирая ( ) ( ) ( )1, ,ea t t c ∇ =x A x , где ( ) ( ),e tA x — векторный по- тенциал внешнего электромагнитного поля, получим «привычный» вид записи калибровочной инвариантно- сти для функций распределения заряженных частиц (см., например, [31]): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, ; , , ;eef t f t t c  ≈ −   x p x p A x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, ; , , ;eef t f t t c  ≈ +   x p x p A x . (66) Для упрощения последнего из выражений (63) наряду с приближением (64) используем также приближение «точечного атома» [17]. Это позволит значительно уп- ростить выражения для матриц Kαβ , K + αβ , см. (55), (58)–(60), (62). Например, при 1 2e e e= − = − ____________________________________________________ ( ) ( )1 1 1 1 1 21 1 1, exp , , 2 2 2 m m K t d ie a t a t M Mα β α β       + = ϕ + − − + + ϕ ≈               ∫x y z z x y z x y z z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 exp , 1 , . 2 2 e ee ed i t d i t c cα β α β       ≈ ϕ − + ϕ ≈ ϕ − + ϕ            ∫ ∫ y yz z zA x z z z zA x z (67) В классическом пределе, когда поля слабо меняются на расстояниях порядка де-бройлевской длины волны части- цы, из (66) окончательно имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , 2 2 e eK t i t i t c cα β α β α β α β  + ≈ δ − − ∇   yx d A x y d A x . (67a) _______________________________________________ При получении выражения (67a) из (67) использова- но условие нормировки волновых функций дискретного спектра водородоподобного атома и введено для этого атома понятие тензора дипольных моментов :αβd ( ) ( )d α β αβϕ ϕ = δ∫ x x x , ( ) ( )*e dαβ α β≡ ϕ ϕ∫d y y y y . (68) Использование формул (66)–(68) позволяет полу- чить достаточно простое выражение для калибровоч- но-инвариантной функции распределения нейтральных атомов ( ) ( )0 ; , ;f tα β x p : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 , ,, ; , ;f t f tα α α α≈ −x p x p ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 01 , , ; ,ei f t t c α α  − −  d x p A x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 , ;1 , , 2 ef t t c α α   ∂ − ∇   ∂    x p d A x p  . (69) В последнем выражении обозначения 1 2 [ , ] ,A B α α 1 2 { , }A B α α имеют традиционный смысл коммутаторов и антикоммутаторов для матриц ,A B : [ ] 1 2 1 21 2 ,A B A B B Aα β βα α β βαα α ≡ − , { } 1 2 1 21 2 ,A B A B B Aα β βα α β βαα α ≡ + . (70) Таким образом, выражения (51)–(70) позволяют полу- чить кинетические уравнения для калибровочно- инвариантных вигнеровских функций распределения частиц исходя из кинетических уравнений (47), (48) для калибровочно-неинвариантых функций распреде- ления (49). В полученные кинетические уравнения по- тенциалы внешнего электромагнитного поля ( ) ( , )e tA x и ( ) ( , )e tϕ x входят уже в виде комбинаций, соответст- вующих напряженностям электрического ( ) ( , )e tE x и магнитного ( ) ( , )e tH x полей, см. (50). 6. Калибровочно-инвариантная система кинетических уравнений для низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле Упомянутая выше процедура вывода кинетических уравнений для калибровочно-инвариантных вигнеров- ских функций распределения в своей реализации прин- ципиальных трудностей уже не содержит. Зато предпо- лагает проведение ряда весьма громоздких выкладок, привести которые подробно в рамках настоящей работы не представляется возможным. Чтобы проследить ха- рактерные приемы и методику этих выкладок, можно 1348 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле обратиться к работам [34,40]. В этом разделе будут при- ведены конечные результаты оговоренных выкладок в виде собственно системы кинетических уравнений для низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле. Эти уравнения, по- мимо слагаемых, учитывающих влияние внешнего поля, содержат и слагаемые, ответственные за учет среднего или самосогласованного поля, получение которых под- робно изложено в [40]. Итак, кинетические уравнения для калибровочно- инвариантных функций распределения свободных за- ряженных фермионов первого и второго сортов (элек- тронов и остовов водородоподобных атомов) можно представить в следующем виде: ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 , , , , , , ; L f f f f t t ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x p x p x p x p x p x p F p x x p p , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 , , , , , , ; L f f f f t t ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x p x p x p x p x p x p F p x x p p , (71) где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , ; , ;U f U fε = ε − −x p p x p x p , ( ) 2 1 12 p m ε =p , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, , ; , ;U f U fε = ε − +x p p x p x p , ( ) 2 2 22 p m ε =p , (72) силы Лоренца, действующие на оба сорта фермионов, определяются обычным образом: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 , ,e e L e t t m c   ≡ + ×    pF E x H x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 , ,e e L e t t m c   ≡ − + ×    pF E x H x . (73) Кроме того, в (72) введены следующие обозначения: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1, ; ,eU f f ′ ≡ ν −′ ′∑ p x p x p p p V , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2, ; ,eU f f ′ ≡ ν −′ ′∑ p x p x p p p V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 3 3 3 3 0 3, 1 2 3 3 , , ; , , , feU f d e f fα α′ ′ α α′ ′ ′ ′ ′   ∂ ′ ′ ≡ ν − − −′ ′ ′ ′ ′ ′   ∂ ′     ∑ ∑ ∑∫ p p p x p x p x x x d x p x p xV (74) _______________________________________________ причем ( ) ( ) ( )1 ei − ′ν − ≡ ν′ ∑ k x x k x x k V . (75) Величина ( )ν k в (74), (75) по-прежнему дается фор- мулой (42). При получении уравнений (71) и выраже- ний (72), (74) использовались кулоновская калибровка для внешнего электромагнитного поля ( ) ( )div , 0e t =A x (76) и выражение для поляризационной матрицы ( )αβσ k (см. (28), (30)) в приближении «точечного» атома: ( ) iαβ αβσ ≈ −k kd , (77) где тензор дипольных моментов атома определен фор- мулой (68). Для калибровочно-инвариантной вигнеровской функ- ции распределения ( ) 1 2 0 , ( , )fα α x p кинетическое уравнение имеет вид более сложный благодаря еще и тому обстоя- тельству, что эта функция от координат и импульса оста- ется одночастичной матрицей плотности по индексам 1 2,α α : ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0 , 0 0 , , , , f i f t α α α α ∂  + ε =  ∂ x p x p x p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 0 0, , , ,1 1, , 2 2 f f α α α α    ∂ε ∂ ∂ε ∂   − +   ∂ ∂ ∂ ∂       x p x p x p x p p x x p , (78) Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1349 А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга где операции типа [ ] 1 2 ,A B α α , { } 1 2 ,A B α α определяются формулами (70). Для величины ( ) ( ) 1 2 0 , ,α αε x p , определяю- щей эволюцию функции распределения атомов в соответствии с уравнением (78), в результате несложных, но весьма громоздких вычислений приходим к выражению: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 0 0, , ; , ; , ;eU f U f U fα α α α αα α α α α αε = ε δ + + +x p p x p x p x p , (79) где также введены обозначения ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 0 , 1, ; ,U f d fα α α α′ ′ α α α α′ ′′ ∂ ∂   = − ν − −′ ′ ′ ′      ∂ ∂′ ′∑∫ p x p x x x d d x p x xV ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2, ,e d f f α α ′ ′  ∂ − ν − −′ ′ ′ ′ ′ ′     ∂ ′   ∑ ∑∫ p p x x x d x p x p xV , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 11 1 2 0 02 , 4, ,U f− α α α α′ ′α α α α′ ′ ′ π ≡ − − −′ ′ ′ ′∑ p x p p p p p d x p p p d V , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21 2 ( ) ( ), ; , ,e e eU f t t Mc α αα α  ≡ + ×   px p E x H x d . (80) _______________________________________________ Система связанных уравнений, выраженная форму- лами (71)–(80), представляет собой решение заявлен- ной в настоящей работе задачи – построения кинетики низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле с учетом самосо- гласованного поля, то есть в бесстолкновительном приближении. В этой связи уместно напомнить, что главное условие справедливости бесстолкновительного приближения и, следовательно, уравнений (71), (78), выражается соотношением (см., например, [31,34,40]): 0 rtτ τ  , (81) где 0τ — время хаотизации, о котором упоминалось выше, и rτ — время релаксации системы за счет столкновений между частицами (подробнее об этих характерных временах см. в [31]). Время релаксации rτ определяется именно интенсивностью взаимодей- ствия V̂ , точнее, интегралом столкновений, который квадратичен по взаимодействию (см. (17)). Время релаксации стремится к бесконечности, rτ → ∞ , при ˆ 0V → (в нашей статье последнее соотношение и должно соответствовать пренебрежению интегралом столкновений). Иными словами, время релаксации велико в случае малого взаимодействия. Поскольку время хаотизации от интенсивности взаимодействия вовсе не зависит, условие (81) для многих систем вполне реалистично. В заключение раздела отметим, что в пренебреже- нии самосогласованным полем уравнения (71), (78) сильно упрощаются и переходят в кинетические уравнения для компонентов системы (в том числе, и нейтральных) во внешнем электромагнитном поле. Однако, как легко убедиться, в таком приближении кинетические уравнения перестают быть связанными, то есть компоненты системы эволюционируют неза- висимо друг от друга: ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 , ; , , ; , ,e ef t f f t e t t t m m c ∂ ∂ ∂ + = + × ∂ ∂ ∂  x p x pp px p E x H x x p , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 , ; , , ; , ,e ef t f f t e t t t m m c ∂ ∂ ∂ + = − + × ∂ ∂ ∂  x p x pp px p E x H x x p , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 , , ; , ; , ; , , ,1 1, , , , , , , 2 2 f t t f t t f i t f t α α α α α α α α ∂ ∂ε ∂  ∂ε ∂  ≈ − ε  − +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    x p x p x p x p x p x p x p p x x p (82) где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ), , , ,e et t t Mcα α α α α α α  ε ≡ ε δ + + ×   px p p E x H x d , ( ) 2 /2Mα αε = ε +p p . 1350 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле 7. Заключение Таким образом, нами предложен микроскопический подход к построению кинетических уравнений (71)–(80) для всех компонентов слабоионизованного и слабовоз- бужденного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле в области низких температур. В отсутствие внешнего электромагнитного поля получен- ные уравнения совпадают с кинетическими уравнениями с учетом среднего (самосогласованного) поля работ [34,40]. На основе отмеченных уравнений в этих работах был дан подробный анализ законов дисперсии собствен- ных волн, которые могут распространяться в изучаемой системе, и найдены декременты их затухания. Проде- монстрирована также возможность использования полу- ченных дисперсионных соотношений для собственных волн в теории БЭК фотонов в ультрахолодных газах. В частности, результаты позволяют вычислить эффектив- ные массы фотонов в таких средах. Наличие у фотона эффективной массы, как уже упоминалось во Введении (см. также [23–29]), является непременным условием реализации БЭК фотонов. Уравнения же (71)–(80), как уже отмечалось выше, должны лежать в основе изучения эффектов и явлений, связанных с взаимодействием низкотемпературных га- зов с внешним электромагнитным полем. Например, эти уравнения дают возможность изучать распространение вынужденных волн в изучаемых системах, включая раз- личные резонансные явления. Последнее обстоятельст- во представляется важным с точки зрения возможности дополнительной накачки фотонов в среду внешним электромагнитным полем (лазером). Необходимость увеличения плотности фотонов в среде неизбежно воз- никает в процессе экспериментальной реализации ре- жима с БЭК фотонов в ней. Отдельное направление приложений полученных уравнений (71)–(80) открывается в том случае, когда входящее в них электромагнитное поле носит стохасти- ческий характер. В этой связи следует обратить внима- ние на последнее из уравнений (82) с учетом (83), более простое по сравнению с (78)–(80). Из-за случайного ха- рактера внешнего электромагнитного поля уравнение (82) с математической точки зрения является уравнением с пространственно неоднородным источником шума, зависящим от импульса частицы. Такие уравнения ти- пичны для так называемых систем с активными флук- туациями, см., например, обзор литературы в [41]. В по- добного рода системах возможна реализация так назы- ваемых «самоходных» (self-propelled) свойств. Иными словами, в такого рода средах возможно возникновение структурированных упорядоченных движений частиц за счет накопления и преобразования энергии внешнего стохастического поля. В частности, такое явление воз- можно в случае, когда структурные единицы системы имеют асимметрию «голова–хвост». Как легко увидеть из (78)–(80), (82), (83), возбужденные атомы такую асим- метрию имеют. В уравнениях такая асимметрия заклю- чена в наличии дипольных моментов возбужденных атомов. Таким образом, низкотемпературные слабовоз- бужденные газы во внешнем слуайном электромагнит- ном поле могут служить прототипом физической систе- мы с активными флуктуациями. Однако этот вопрос требует отдельного изучения, результаты которого, к сожалению, невозможно поместить в рамки настоящей работы. ________ 1. A.I. Akhiezer, I.A. Akhiezer, R.V. Polovin, A.G. Sitenko, and K.N. Stepanov, Plasma Electrodynamics, V.1. Linear Theory. Oxford-New York: Pergamon Press (1975) (International Series of Monographs in Natural Philosophy. Vol. 68). 2. A.I. Akhiezer, I.A. Akhiezer, R.V. Polovin, A.G. Sitenko, and K.N. Stepanov, Plasma Electrodynamics, V.2. Nonlinear Theory and Fluctuations. Oxford-New York: Pergamon Press, (1975) (International Series of Monographs in Natural Philosophy. Vol.69). 3. Edited by Hans Wilhelmsson, Plasma Physics: Nonlinear Theory and Experiments, Springer Science + Business Media LLC (1976). 4. Peter A. Sturrock, Plasma Physics: An Introduction to the Theory of Astrophysical, Geophysical and Laboratory Plasmas, Cambridge University Press, Cambridge (1994). 5. T.J.M. Boyd and J.J. Sanderson, The Physics of Plasmas, Cambridge University Press, Cambridge (2003). 6. B.M. Smirnov, Physics of Weakly Ionized Gases: (problems and solutions): Mir, Moscow (1981). 7. Boris M. Smirnov, Physics of Ionized Gases, A Wiley- Interscience Publication, John Wiley & Sons, Inc. New York Chichester/Weinham/Brisbane/Singapore/Toronto (2001). 8. C.J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press (2002). 9. L.P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose-Einstein Condensation, Clarendon Press, Oxford (2003). 10. M.H. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman, and E.A. Cornell, Science 269, 198 (1995). 11. K.B. Davis, M.O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995). 12. L. Hau, S. Harris, Z. Dutton, and C. Behroozi, Nature 397, (1999). 13. M. Fleischhauer, A. Imamoglu, and J. P. Marangos, Rev. Mod. Phys. 77, 633 (2005). 14. Yu.V. Slyusarenko and A.G. Sotnikov, Condensed Matter Phys. 9, 459 (2006). 15. Y. Slyusarenko and A. Sotnikov, Phys. Rev. A 78, 053622 (2008). 16. Y. Slyusarenko and A. Sotnikov, Phys. Rev. A 80, 053604 (2009). 17. S.V. Peletminskii and Y.V. Slyusarenko, J. Math. Phys. 46, 022301 (2005). Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1351 https://doi.org/10.1017/CBO9781139170598 https://doi.org/10.1017/CBO9781139170598 https://doi.org/10.1017/CBO9781139170598 https://doi.org/10.1126/science.269.5221.198 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.75.3969 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.77.633 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.77.633 https://doi.org/10.5488/CMP.9.3.459 https://doi.org/10.5488/CMP.9.3.459 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.78.053622 А.Г. Загородний, Ю.В. Слюсаренко, С.Н. Шульга 18. Ю.В. Слюсаренко, А.Г. Сотников, J. Low Temp. Phys. 150, 618 (2008). 19. Y. Slyusarenko and A. Sotnikov, Phys. Lett. A 373, 1392 (2009). 20. Ю.В. Слюсаренко, А.Г. Сотников, ФНТ 36, 846 (2010) [Low Temp. Phys. 36, 671 (2010)]. 21. Y. Slyusarenko and A. Sotnikov, Phys. Rev. A 83, 023601 (2011). 22. Ю.В. Слюсаренко, А.Г. Сотников, ФНТ 33, 41 (2007) [Low Temp. Phys. 33, 30 (2007)]. 23. J. Klaers, J. Schmitt, F. Vewinger, and M. Weitz, Nature 468, 545 (2010). 24. J. Klaers, J. Schmitt, T. Damm, D. Dung, F. Vewinger, and M. Weitz, Proc. SPIE 8600, 86000L (2013). 25. A.-W. de Leeuw, H.T.C. Stoof, and R.A. Duine, Phys. Rev. A 88, 033829 (2013). 26. D.N. Sob’yanin, Phys. Rev. E 88, 022132 (2013). 27. A. Kruchkov, and Yu. Slyusarenko, Phys. Rev. A 88, 013615 (2013). 28. A. Kruchkov, Phys. Rev. A 89, 033862 (2014). 29. N. Boychenko and Yu. Slyusarenko, Condensed Matter Phys. 18, 43002 (2015). 30. J.T. Mendonça and H. Terças, Phys. Rev. A 95, 063611 (2017). 31. A.I. Akhiezer and S.V. Peletminskii, Methods of Statistical Physics, Pergamon, Oxford (1981). 32. Yu.L. Klimontovich, The Kinetic Theory of Electromagnetic Processes, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1983). 33. Yu.L. Klimontovich, A.Yu. Shevchenko, I.P. Yakimenko, and A.G. Zagorodny, Contributions to Plasma Physics 29, 551 (1989). 34. Yu.V. Slyusarenko and O.Yu. Sliusarenko, J. Math. Phys. 58, 113302 (2017). 35. N. Bogolyubov, Problems of Dynamical Theory in Statistical Physics, Providence College, Providence, RI (1959). 36. S. Peletminsky and Y. Slusarenko, Physica A 210, 165 (1994). 37. S.O. Nikolayenko and Yu.V. Slyusarenko, J. Math. Phys. 50, 083305 (2009). 38. O.Yu. Sliusarenko, A.V. Chechkin, and Yu.V. Slyusarenko, J. Math. Phys. 56, 043302 (2015). 39. A.S Peletminskii, S.V. Peletminskii, and Yu.V. Slyusarenko, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 50, 145301 (2017). 40. Yu.V. Slyusarenko and O.Yu. Sliusarenko, Ab Initio Quantum-statistical Approach to Kinetic Theory of Low- temperature Dilute gases of Hydrogen-like Atoms, e-print arXiv:1612.02245 [cond-mat.stat-mech] (2016). 41. S. Fujita, Introduction to Non-equilibrium Quantum Statistical Mechanics, Saunders, W.B. Co Ltd, December (1966). ___________________________ Кінетика низькотемпературного газу воднеподібних атомів у зовнішньому електромагнітному полі А.Г. Загородній, Ю.В. Слюсаренко, С.М. Шульга Розвинуто мікроскопічний підхід до послідовної побудови кінетичної теорії низькотемпературних розріджених газів воднеподібних атомів у зовнішньому електромагнітному полі. Підхід базується на формулюваннях методу вторинного кван- тування при наявності зв’язаних станів частинок. Вважається, що зв’язаний стан (наприклад, воднеподібний атом лужного металу) формується двома зарядженими ферміонами різних сортів — валентним електроном та остовом. В основу виведен- ня кінетичних рівнянь покладено метод скороченого опису релаксаційних процесів. У рамках розвинутого підходу здобуто систему кінетичних рівнянь для вігнерівських функцій роз- поділу вільних ферміонів обох сортів та їх зв’язаних станів — воднеподібних атомів із урахуванням впливу на систему зовнішнього й самоузгодженого (середнього) полів. Одержані рівняння руху для вігнерівських функцій розподілу повинні слугувати основою для аналізу нерівноважних ефектів та явищ, пов’язаних зі впливом зовнішнього електромагнітного поля на низькотемпературні гази лужних металів. Ключові слова: кінетична теорія, низькотемпературні гази, пари лужних металів, воднеподібна плазма, зовнішнє електромаг- нітне поле, вігнерівські функції розподілу, кінетичні рівняння. Kinetics of low-temperature gas of hydrogen-like atoms in external electromagnetic field А.G. Zagorodny, Yu.V. Slyusarenko, and S.N. Shulga A microscopic approach is developed to consistent construction of kinetic theory of low temperature dilute gases of hydrogen-like atoms in an external electromagnetic field. The approach is based upon the formulations of the secondary quantization method in the presence of bound states of the particles. It is supposed that the bound state (for example, hydrogen-like atom of alkali metal) is formed by two charged fermions of different sorts, namely — the valence electron and the frame. The basis for deduction of kinetic equations is the method of reduced description of relaxation pro- cesses. In the framework of the developed method a system of kinet- ic equations is obtained, that refers to Wigner distribution functions of free fermions of both sorts and their bound states — hydrogen- like atoms with account of impact of external and self-consistent (mean) fields. The obtained equations of motion for the Wigner distribution functions must serve as a basis for the analysis of non- equilibrium effects and of the phenomena connected with the influ- ence of the external electromagnetic field upon the low temperature gases of alkali atoms. Keywords: kinetic theory, low temperature gases, alkali metals vapors, hydrogen-like plasma, external electromagnetic field, Wigner distribution functions, kinetic equations. 1352 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 https://doi.org/10.1038/nature09567 https://doi.org/10.1038/nature09567 https://doi.org/10.1117/12.2001831 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.88.033829 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.88.022132 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.88.013615 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.89.033862 https://doi.org/10.5488/CMP.18.43002 https://doi.org/10.5488/CMP.18.43002 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.95.063611 https://doi.org/10.1002/ctpp.2150290602 https://doi.org/10.1063/1.5010334 https://doi.org/10.1016/0378-4371(94)00065-4 https://doi.org/10.1063/1.3204080 https://doi.org/10.1063/1.4918612 https://doi.org/10.1088/1361-6455/aa75d6 https://www.amazon.com/s/ref=dp_byline_sr_book_1?ie=UTF8&text=S.+Fujita&search-alias=books&field-author=S.+Fujita&sort=relevancerank 1. Введение 2. Кинетические уравнения для газа бозонов и фермионов во втором порядке теории возмущений по слабому взаимодействию 3. Гамильтониан низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле 4. Параметры сокращенного описания низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле 5. Условия калибровочной инвариантности для низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле 6. Калибровочно-инвариантная система кинетических уравнений для низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле 7. Заключение

Кинетика низкотемпературного газа водородоподобных атомов во внешнем электромагнитном поле

Institution

Similar Items