Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией
Предложен новый метод приближенного вычисления собственных значений и функций основного и близких к нему состояний, основанный на сочетании прямого вариационного метода и теории возмущений, он применяется к уравнению Шредингера с потенциалом, пропорциональным дилатации, создаваемой краевой дислок...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 1997 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
1997
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176349 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией / И.М. Дубровский // Физика низких температур. — 1997. — Т. 23, № 12. — С. 1300-1304. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176349 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дубровский, И.М. 2021-02-04T13:25:57Z 2021-02-04T13:25:57Z 1997 Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией / И.М. Дубровский // Физика низких температур. — 1997. — Т. 23, № 12. — С. 1300-1304. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 71.55.-і, 67.72.Bb https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176349 Предложен новый метод приближенного вычисления собственных значений и функций основного и близких к нему состояний, основанный на сочетании прямого вариационного метода и теории возмущений, он применяется к уравнению Шредингера с потенциалом, пропорциональным дилатации, создаваемой краевой дислокацией. Полученная энергия основного состояния ниже, чем вычисленная ранее в других работах. Рассчитана энергия наинизшего состояния с собственной функцией, нечетной по азимутальному углу. Высказано предположение, что спектр вблизи точки сгущения может быть описан только статистически. Запропоновано новий метод наближеного обчислення власних значень та функцій основного та близьких до нього станів, побудований на поєднанні прямого варіаційного методу та теорії збурень. Його застосовано до рівняння Шредингера з потенціалом, пропорційним ділатації, створюваної крайовою дислокацією. Одержана енергія основного стану нижча, ніж обчислена раніше в інших роботах. Обчислено енергію найнижчого стану з непарною по азимутальному куту власною функцією. Висловлено припущення, що спектр поблизу точки згущення можливо описати тільки статистично. A new method based on the combination of direct variation method and perturbance theory is proposed to calculate approximately the eigenvalues and the functions of the ground state and states close to it. The new method is applied to the Schrodinger equation with a potential proportional to the dilatation produced by an edge dislocation. The energy ground state obtained is lower than that calculated earlier in other works. The energy of the lowest state with the eigenfunction odd in the azimuthal angle is obtained. It is supposed that the description of the spectrum close to the point of condensation may be only statistical. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Электpонные свойства металлов и сплавов Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией A new variation method in the problem on the spectrum of elementary excitations in an edge-dislocation crystal Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией |
| spellingShingle |
Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией Дубровский, И.М. Электpонные свойства металлов и сплавов |
| title_short |
Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией |
| title_full |
Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией |
| title_fullStr |
Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией |
| title_full_unstemmed |
Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией |
| title_sort |
новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией |
| author |
Дубровский, И.М. |
| author_facet |
Дубровский, И.М. |
| topic |
Электpонные свойства металлов и сплавов |
| topic_facet |
Электpонные свойства металлов и сплавов |
| publishDate |
1997 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
A new variation method in the problem on the spectrum of elementary excitations in an edge-dislocation crystal |
| description |
Предложен новый метод приближенного вычисления собственных значений и функций основного
и близких к нему состояний, основанный на сочетании прямого вариационного метода и теории
возмущений, он применяется к уравнению Шредингера с потенциалом, пропорциональным
дилатации, создаваемой краевой дислокацией. Полученная энергия основного состояния ниже, чем
вычисленная ранее в других работах. Рассчитана энергия наинизшего состояния с собственной
функцией, нечетной по азимутальному углу. Высказано предположение, что спектр вблизи точки
сгущения может быть описан только статистически.
Запропоновано новий метод наближеного обчислення власних значень та функцій основного та
близьких до нього станів, побудований на поєднанні прямого варіаційного методу та теорії збурень.
Його застосовано до рівняння Шредингера з потенціалом, пропорційним ділатації, створюваної
крайовою дислокацією. Одержана енергія основного стану нижча, ніж обчислена раніше в інших
роботах. Обчислено енергію найнижчого стану з непарною по азимутальному куту власною функцією. Висловлено припущення, що спектр поблизу точки згущення можливо описати тільки статистично.
A new method based on the combination of direct variation method and perturbance theory is proposed to calculate approximately the eigenvalues
and the functions of the ground state and states
close to it. The new method is applied to the Schrodinger equation with a potential proportional to the
dilatation produced by an edge dislocation. The energy ground state obtained is lower than that calculated earlier in other works. The energy of the lowest state with the eigenfunction odd in the azimuthal
angle is obtained. It is supposed that the description
of the spectrum close to the point of condensation
may be only statistical.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176349 |
| citation_txt |
Новый вариационный метод в задаче о спектре элементарных возбуждений в кристалле с краевой дислокацией / И.М. Дубровский // Физика низких температур. — 1997. — Т. 23, № 12. — С. 1300-1304. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT dubrovskiiim novyivariacionnyimetodvzadačeospektreélementarnyhvozbuždeniivkristalleskraevoidislokaciei AT dubrovskiiim anewvariationmethodintheproblemonthespectrumofelementaryexcitationsinanedgedislocationcrystal |
| first_indexed |
2025-11-26T01:39:48Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:39:48Z |
| _version_ |
1850603816030830592 |
| fulltext |
��������� ��
������
��������������������������� ����!"�#��$#%�&'��()� %'� *�$��+&�,�,�-'��&�,/.
02143658793;:=<�>;:4?@>A1CB@BD5E79FHGJI�1�KL3NM;:�KO:CPJGQ19RTSJGVUWIX<6G
Y[Z G�FEGCB;I�:=<DB@5]\93;1@M_^6`bacK@G�B@>D7d3QU_<D>ARXI�: Z[Z GeReU;<J:fG=3;147
K=>;R Z 1=U�:g?@>[G=7
hJi'jki�lXmonqp�rqsot�u�v�w
x�y{z}|�~�|���|[���}|��{�����}�o~���~#�{~"�����g���{����~ y������o�����{~#y{�������{������� ��������~����������{���� ��#��¡��¢�#y���£{z}�������{�
¤#¥
¦�§�¨}§�©�ª¬«�{®�§¢¯ «�°�± ¨'²´³ µ¢¶�¨}·�¸�° ¹6º{»"¼ ¨�ª¾½�¿�¿�À´Á{ÂÄÃ�«��®�± µ�« µ�³�µ�³�¨}Å�{§�·�°Æº�Ç"°�¹�±{ª;½¢¿�¿�À´Á{Â
È�³�µ�¶#±��É�µ{Ê�Ê��²�Ë�Ì�¼�µ}§��¶�«�³�°�Å�±�°�É�µ}Ê�Ê��Á�Ͳ�Ë�Î�°�®�±�µ{Ê °�ª�®� Å�®}§}²�µ}Ê�Ê�Ë�Ï�Ð�Ê�¨{Î�µ}Ê�°�ÌW°�Ñ�¯�Ê�·�¸�°�ÌÆ ®�Ê��²�Ê� Á�
°VÅ�±�° Ð�· °�Ï�·@Ê�µ}¼Ò¯T®{�®�§}{ª�Ê�°�Ì�ÃÍ�®}Ê��²�¨{Ê�Ê�Ë�Ì�Ê ¨6®��Î�µ{§}¨{Ê�°�°V«�³�ª ¼/�Á�6²�¨{³�°�¨�¸�°��Ê�Ê��Á�6¼�µ}§�{¶#¨�°V§�µ}�³ °�°
²{ Ð�¼�¯�Ó´µ�Ê�° Ì�ÂÕÔ�ÊÖ«�³�°�¼�µ{Ê�ª�µ}§�®}ª×·Ø¯�³ ¨�²{Ê�µ�Ê�°�¹ÚÙD³�µ}¶�°�Ê�Á�µ}³�¨8®H«��§�µ}Ê�¸�°�¨{±��¼oÃ=«�³��«��³�¸�°��Ê�¨�±�©{Ê�Ë�¼
¶#°�±�¨{§}¨�¸�°�°�Ã�®{�Ð�¶�¨{²�¨{µ}¼��Ì[·�³�¨{µ}²��Ì_¶#°�®�±��· ¨{¸�°�µ�Ì�Â�ÈÛ�±�¯ Î�µ}Ê�Ê�¨{ª;Ü{Ê µ{³�Á�°�ªA�®}Ê��²�Ê��Á�X®{�®}§�{ª#Ê�°�ª_Ê�°�Éݵ�Ã�Î�µ}¼
²{ËoÎ�°�®�±�µ}Ê�Ê�¨{ªk³�¨{Ê�µ}µ@²�¶�³�¯�Á�°�Ïk³�¨{Å��§}¨{Ï�ÂßÞ�¨{®}®{Î�°�§�¨�Ê�¨�Ü}Ê�µ�³�Á�°�ªÕÊ�¨{°�Ê °�Ð�à´µ}Á�=®� ®�§}{ª�Ê�°�ªÕ®6®��Å�®}§�²�µ}Ê�Ê��Ì
Ñ�¯�Ê�· ¸�°�µ{Ì Ã�Ê�µ�Î�µ{§}Ê� Ì6«�[¨�Ð�° ¼Ò¯#§�¨�±�©{Ê��¼Ò¯J¯�Á�±�¯�´á�Ë�®}·�¨{Ð}¨{Ê�J«�³�µ�¶#«� ±��Éݵ�Ê�° µ�Ã�Î�§}�®}«�µ�· §�³O²�Å�±�°�Ð}°6§}�Î�· °
®}Á¢¯�Ó�µ�Ê�°�ª�¼/�É�µ}§"Å�Ë�§}©Æ�« °�®�¨�Êß§}�±�©{·��®�§}¨�§�° ®{§}°�Î�µ}®}·�°�Â
âÒ¨�«�³��« �Ê �²{¨�Ê�;Ê� ²{°�Ì[¼�µ{§}{¶[Ê�¨{Å�±�°�É�µ}Ê��Á�b�Å Î�°�®}±�µ}Ê�Ê�ª[²�±�¨{®}Ê�°�Ï_Ð}Ê�¨{Î�µ{Ê ©b§}¨ßÑ�¯�Ê�· ¸�ãäÌ;�®}Ê��²�Ê �Á�X§�¨
Å�±�°�Ð}©�·�°�ÏW¶#WÊ�©��Á��®}§�¨�Ê�ãIJ�Ã�«��Åå¯ ¶��²�¨{Ê�°�ÌßÊ�¨Æ« �æ�¶�Ê�¨{Ê�Ê�ã�«�³�ª�¼ �Á�Ʋ�¨{³�ãç¨�¸�èçÌ�Ê� Á�Ƽ�µ�§}{¶�¯X§}¨"§}µ{�³�ãäé�Ð�Å{¯#³�µ{Ê ©
Âê �Á�VÐ�¨�®}§��®}�²{¨�Ê �¶��³�ãç²�Ê�ª#Ê�Ê�ªkÙD³�µ�¶�°�Ê�Á�µ}³�¨@Ð6«��§�µ}Ê�¸�ãç¨{±��¼�ÃÆ«�³��«��³�¸�ãäÌ�Ê °�¼Õ¶�ãë± ¨�§}¨{¸�ãçé¢ÃÆ®{§}²{ ³�¹�²{¨�Ê �é
· ³�¨�Ì� ²{�¹Õ¶�°�®}±��·�¨{¸�ãçæ{¹ÍÂ'Ôo¶�µ{³ É�¨�Ê�¨[µ}Ê�µ�³�Á}ã ª6�®}Ê��²�Ê��Á�[®}§�¨�Ê�¯6Ê�°�É�Î�¨�ÃoÊ�ãäÉ]�Å�Î�°�®�±�µ}Ê�¨_³�¨�Ê�ãäà´µX²JãäÊ�àݰ�Ï
³ �Å��§�¨{Ï�Â�ÔÝÅ�Î °�®{± µ{Ê�[µ}Ê�µ}³�Á}ãä¹ÕÊ�¨�Ì�Ê�°�É�Î �Á�;®�§}¨�Ê�¯JÐßÊ�µ}«�¨{³�Ê��¹Õ«�;¨{Ð�°�¼�¯ §}¨�± ©�Ê��¼�¯J·�¯�§�¯J²{±�¨{®�Ê��¹gÑì¯#Ê�·�í
¸�ãçæ{¹ÍÂ"á�°�®�±��²�±�µ�Ê�O«�³�°�«�¯�Óݵ{Ê�Ê�ªÒÃ'Ó´6®}«�µ�· §�³@«��Å�±�°�Ð�¯T§��Î�· °@Ð�Á¢¯#Ó�µ{Ê�Ê�ªT¼/�É�±�°�²�6�«�°�®�¨{§}°�§�ãç±�©{·�°@®{§}¨{í
§}°�®{§}°�Î Ê� Â
Þ�î�ï�ð�ñ�ò�ó�ô õ�õ�ô�öo÷¢Ã�ø À�ÂçÀ�º�Âçù�ú
û'ü�ý þ�ÿXý�������������ü ��� þ�ÿ�
����ü���������� ������������������� �����{ý�ü�ÿ�� ������ü � �������{ÿ
�! #"%$�&�'�(!)+*-,�./*�,0.!1324(524(0.�./6�7 ,�.87 90.!)�(�(-)�:�)
1;2�<�)�=87 6�&�'�.!>�?02 (�.!@ > *�2 A!<�,07 B5,07 6�(524(0.�@
C ,!2�=8.�(-:D2 ,�7E6�&�$�.�,-7�F�<G6�.�=IH�B0(�A�90.�.J)�> (�)!6�(-)�:�)
>�)!>�<�)K@-(0.�@3L M47 6�.�>N@8O%.�P )�< (!2�> A!)!?8Q�A!.-R
6�7�,-.�7�9�.-)�(0(�&SR *07 ,�7 1T2�< ,!)�60LU. 1V.�(8.51W.5M4.0,!B�FX<
>4,-2�=�(-2�2Y)!<Z:�7�1V.-?8Q <�)�(�.07 (07[(87Y\�<�)!P]HXB�(0A�90.0.#*�)
*87 ,�7K1^2�<4,-7 1�_ `aB5(-A�98.-.3L >�)�)!<�6 2�<�>�< 6 B�F�O%.!2
6 )!M�$�B!b%=�2 (�(8&�1 >�)!>�<�)�@8(�.!@�1XL =�)�?8b%(0& 2 O�2
B�=!)56K?�2�<46K)5,�@5< Q B!>�?8)!6�.5@51 )!,!<�)�:�)�(�7�?
Q (�)�>�< .W_
c )�\�<�)!1^Bd.�(-)�:�=87e>�<47 ,�7�F�<�>�@d6�&�$�,�7�< Qf>4,-7�M�Bg>4.->�<N2�13B
)5,5<�)�:�)�(07�?hQ (0&�RiH�B8(-A�98.-P3Lj.!M#A!)!<�)�,�&�Rk)�=0(87-Lj(!2
.�132 F�O%74@lB!M�?�)�6�&�Rm*!)�6 2 ,!R
(!)!>�<�2 PWLh$!B!=�2�<�HXB5(0A�9�.-2 P
)�> (!)�6�(5)�:�)n>�)�>�<�)K@-(0.�@3_�o^>�?
.n\�<47a> .!>�<�2�1V7jHXB�(0A�9�.0P
(�2 *!)!?8(07N@;L�<�)Y)�(07p13)�b�2�<q=87�< Qn<�)!?8Q�A!)Z(-24A5)�<�)�,-B5F
*�)�>�?02�=-)�6�7�<�2�?hQ (-)�>�<4Qr>�)�$�>�< 6 2 (�(0&�REM4(07�'!24(�.0PTLs7Y(!2
6 2�>4Qt>4*-2 A!<�,k6IA!7�A�)!1Wuv<�)w.0(!<�24,�6�7 ?�2-_mx^2�M�B!?
Q�<47�< &
M47 6�.�>N@�<Z)!<Y<�)�:�)
Ly(87�> A!)�?hQ A!)EB!=87�'�(!)#6�&�$�,�7 (J6�.-=
*8,!)!$!(�)!PwH�B0(�A�90.�.3Ld.J)!<�>�B-<�>�< 6 B!2�<G132�<�)!=])�9-24(�A-.
<�)!'�(-)�>�< .3_ c ,!)!$�(0&�2 H�B8(-A�98.-. (-2 @86 ?5@-FX<�>N@
*0,�.!$!?8.-b�2 (0.!2�1w.->�<�.8(-(8&�RE>�)�$!>�<�6 2 (8(�&SRzHXB�(8A!90.8P;L
. .�> *!)!?8QKM�)!6�7�< Q .-R =�?-@ *0,�.�$�?h.5b%24(-(�)�:�)
6�&�'�.->�?-24(0.�@3Ll(�7 *0,�.-1^2 ,3L{6K24,5)�@�< (!)!>�<N24PI*-24,52�R�)!=�)!6
132�b�=�B|>�<47 90.!)�(�7 ,0(�&�1V.|>�)�>�<�)�@8(�.5@51V.d(52�?
Q�M�@3_
c ,!2�=�?87 :�7�2�1V&�PZ*!)!=�R-)�=}.-M�$!7 6 ?024(~)�<a(�2 A�)�<�)�,-&�R
.-M *-2 ,!2�'�.!>�?024(�(0&�R 6�&��e2 (�2�=�)�>�< 7�<4A!)!6
6�7 ,0.�7 90.�)!(8(5)�:�) 1^2�<�)!=�70L *!)!>4A�)!?8Q�A!B 6 (!2�1
>�)�'�2�< 7 FX<�>N@ 6�7 ,0.�7 90.�)!(8(-&�P 132�<�)�= . <�2�)!,8.�@
6 )!M�13B�Oe24(�.0PT_ c ,!2�=�>�<47 6�.�1m.->�R�)!=�(0&�P�:�7�1V.!?
Q�<�)!(8.-7�(
��� 6�6�.-=�2
���
≡
���^�
( � α �v� ) +
��� ½ ( � α �v� ) L �!�4�
:�=!2}�
α�v�q� (!24A5)�<N)5,-7N@G>�)�6 )!A!B�*8(5)�>�<�QY*�7 ,07�1;2�<�,-)�6h�
��� � � :�7�1V.!?
Q�<�)�(0.�7�(TLw> *!2 A!< , . >�)!$�>�< 6 2 (�(0&�2
HXB�(8A!90.8.|A�)!<�)!,!)!:D)�13)!b%(�)y(-7 P�< .TLh(�7 *0,�.-1^2 ,3L8*!B-<�2�1
,�7KM�=�2�?82 (�.5@�*�2 ,!2�1324(�(0&�R�_%o;>�?8. ��� A!)�1313B!<4.-,�B!2�<m>
(-24A�)!<�)!,�&�1n)!*�2 ,�7�<�)5,5)�1a� � L
<�)yb%2�?87 <N2�?
Q (�)d6�&�$�,07�<4Q
��� � <47 ATLG'�<�)!$!& )�(/<�)!b�2�A!)�1313B!<4.�,5)56�7�?U>k� � _
� (�7�'!2 (8.�@t*-7�,�7�132�<4,!)!6G�
α � � )�*�,!2�=�2�?�@8F�<�>N@t6YR0)�=-2
� �^�N�����
������ �¡�¢4£�¤ ¥!¦K§©¨ ¨ ª
6�7�,-.�7�9�.-)�(0(!)�P|*�,-)�9-2�=�B�,�&e_��q)�>�<47�?
Q (-)�1q,�7KM�$�.!24(0.!2
�!�K� *8,!)!.�M 6 )�?hQ (-)
LI. (-2�?8QKM�@ B�A�7�M 7�< QU(�.0A!7�A!.-R
)�$!O�.5R A�,-.!<�2 ,�.-246 2�:N)z6�&S$�)�,�7-L�R8)�<�@3LyA�7 AE>�<47 (-2�<
@5> (-)I=87�?�2�2�Lj)�<#\�<�)!:D)w6�&�$�)5,-7EM47 6�.�> .!<E$!?8.-M�)�>�< Q
*�)�?8B!'!24(-(8&�RU,-2�M�B�?8QK<�7 <�)�6 A�<�)�'�(0&�1 M (87�'!2 (�.5@51
)�> (!)�6�(5)�:�) . (8.5M4A!)!6 )!M�$�B!b%=�2 (�(0&�R >�)�$!>�< 6 2 (�(0&�R
M4(07�'!24(�.0P ��� _�� .�>�<�2�1^B >�)�$!>�< 6 2 (�(0&�R HSB8(�A�90.�P ��� �
.�> *!)!?8Q M�B!2�1 A�7 A *8,!)!$!(8&�2 HXB5(0A�9�.0. )�$�&�'�(!)�P
6�7�,-.�7�9�.-)�(0(!)�P *8,5)�9-2�=�B�,�&s_��q.�(0.!1V.!M .8,!B!2�1 *�)
*87 ,�7K1^2�<4,-7 1#�
α� � > ,!2�=0(�2�2jM (07�'�2 (�.-2 ��� 6p)�> (!)�6�(5)�1>�)!>�<�)K@-(0.�. ��� � .|*�)�?8B!'�7�2�1n*�,�.-$�?
.!b%2 (�(-)�2%M (�7 '�24(0.!2
=�?�@+(07 .-1^2 (8Q �e2�:�) >�)!$�>�<46K24(0(!)!:�) M4(07�'!24(�.5@ � � .
>�)�6 )!A!B�*8(5)�>�< Q M (87�'!2 (�.8P �
α �v��� ã � _
�a)!b%(�)
*8,!2�=8*!)!?�)!b%.-<4Q-Li'�<�) >4,!2�=8(0.!2 M�(07�'�2 (�.5@ � � (�7
H�B�(0A�9�.5@�R 6K)!M�$!B�be=�2 (0(�&�R >�)�>�<�)�@8(�.0P � � � *8,-.
M4(07�'!24(�.5@�Rd�
α �v� � ã�� *�,!2�=�>�<47 6K?�@8F�<f*�,8.5$�?0.�b�2 (8.!2e=�?!@>�)!)�< 6 2�<�>�< 6 B�F�Of.!R#>�)�$!>�<46K24(-(8&�R#M�(87�'!2 (�.8P ��� _
�V<�)
*8,�.-$�?
.!b%2 (�.-2j1T)!b (-)q)�9-24(-.�<�QhL 2�>�?8.})�$�,�7�<4.-<�QK>�@ZA
<�2�)�,�.�. 6 )!M�13B�O%2 (�.0P x^\�?02�@�� C ,�2�=�.8(5:�24,-7-L 6
A!)!<�)�,!)�P�*!)!?�B�'�24(0(�&S2w>�)�$�>�< 6 2 (0(�&�2kM4(�7�'!2 (8.�@ �*�2 ,�6 )!2 *-,8.!$!?8.-b�24(0.!2 *-)�6 )!M�1^B8O 24(�.0F ��� ½ *8,-.
M4(07�'!24(�.5@�R �
α � � � ã � _ "�9�2 (�.-<�Q A�7�'!2�>�< 6 )
*8,�.-$�?
.!b%2 (�.5@ 13)�bf(!)TL 6�&S'�.->�?8.06 M (�7 '�24(0.�@
*87 ,�7K1^2�<4,5)56 ,�7�M�?-)�b�2 (8.�@ <�2�)!,8.-. 6 )!M�1TB8O�2 (�.0P
〈 ��� ��� ½ � � 〉� ( ��� − ��� )
_ �T)�:�=87 )�'�246�.�=0(!)TL '!<�)
>�R0)�=8.-1^)!>�<4Q ,�@�=�)!6 <�2�)�,0.�. 6 )!M�1^B8O�2 (�.0P 1;)�b%2�<
)5A-7�M47�< Q�>�@+,-7 M�(-)�P =�?!@+,-7�M�?
.!'�(�&�R >�)�$!>�< 6 2 (�(0&�R
M4(07�'!24(�.0PTLw< 7 A A-7 A ��� ½ L�6K)�)!$�Oe2i:�)�6 )�,5@3L�(!2
*8,!)�*!)�,�90.!)�(�7�?024( 1V7�?8)�13B *�7�,-7�1;2�< ,!BT_ �37�A L
(87 *0,�.!132 ,TL;2�>�?
.a> *!24A5<4, ��� � >�)!>�<�)!.�<y.-M�=8.!> A�,!2�< (!)�P
. (524*0,!2 ,�&�6�(-)�Pp'�7K>�<N24PWLV:�,-7�(�.09�7|132�b%=!BqA!)�<�)�,�&�1V.
� <�)�'�A�7d>�:�B�O%2 (�.5@q=8.�> A!,�2�<�(0&�RnM4(�7K'�2 (8.-P3LV<�)m=�?!@
M4(07�'!24(�.0P $!?8.�M�A�.�R A \�<�)!P <�)!'�A�2 <�2�)�,�.�@
6 )!M�1TB8O�2 (�.0Pq(!2 *8,-.�1T24(0.!1V7-_�o^>�?
.mB!=87�2�<�>�@q6�&�$�,�7�< Q
,87�M�$�.-24(-.�2 �!��� <�7�A
Lf'�<�)�$!& *5)GA�,�7 P0(!24P 132 ,!2n=�?!@
)�> (!)�6�(5)�:�)f>�)!>�<�)K@8(8.�@{*-7 ,87�132�<�,8&n,07�M�?-)�b�2 (8.�@y$�&�?
.
1;2 (0Q ��2 2�=8.�(0.�90&eL <�) > *!)!13)�O%Q�F <�2�)!,�.0.
6 )!M�1TB8O�2 (�.0PG13)�b�(!)G(-2 <�)�?
Q A!)[)�9!2 (8.5<4Qr<�)�'�(�)�>�< Q
*�)�?8B!'!24(-(�)�:�) M (�7�'!2 (8.�@3L (!) . B!?�B�'!��.5<4Q 2�:�)T_
� 24P->�<�6�.-<�2�?8Q�(!)TL *5)5*-,87 6�A�7#6 <�)�,-)�:N) *0,�.!$!?8.-b�24(0.�@
=�?�@ \4(!2 ,-:�.0. )�> (!)�6�(5)�:�) >�)!>�<N)�@8(�.5@ 6K>�2�:�=87
)�< ,�.�907�<�2�?
Q (87-L�*�)�\�<�)!1^B}6 <�)�,!)!2j*0,�.!$!?8.-b�24(0.!2a=�7 >�<
1;2 (0Q ��2�2-Lh7eM4(-7�'5.-<�$�)!?�2�2%<�)�'�(!)!2�M4(07�'!24(�.-2-_��V)�)!$�O�2
:�)�6K)5,�@;LI>�?82�=!)56�7�?8) $�& )�*0,!2�=-2�?!@�< Q �
α � � � ã�� .-M
B�>�?-)56�.�@ 1V.0(�.�1TB�1;7 6�&�,�7�b%2 (�.!@ =�?!@ \ (�2 ,!:�.0.
)�> (!)�6�(5)�:�)/>�)!>�<�) @8(0.�@ 6 )U6K<�)�,!)!1 *�,�.-$�?
.!b%2 (�.0.
<�2�)�,�.�. 6 )�M�13B�O�24(0.�PW_��V<�) >�)�)�<46K2�<�>�<�6 )�6�7�?0) $!&
.�> *!)!?8Q M�)�6�7 (8.-F 6/A�7�'!2�>�< 6 2/*�,!)!$�(0&�R HXB�(0A�9�.0P
6�7�,-.�7�9�.-)�(0(!)�P *�,�)!9�2�=�B�,�& H�B�(�A-98.�. *-24,�6K)�:�)
*8,�.-$�?
.!b%2 (�.5@ *!) � � ½ _��a)!b%(�) *�)!A�7�M 7�<4QhL '!<�)
B�?�B!'���24(0.!2 � <�_ 2-_ *�)!(8.5b%24(-.�2 � M (�7K'�2 (8.�@i\ (�2 ,!:�.0.
)�> (!)�6�(5)�:�)d>�)�>�<�) @8(8.�@ *!)|>4,07 6�(524(0.�F >y*!)!?�B�'�24(0(�&�1
*8,�.Y)!*8.5>47�(�(�)!P[6�&���2n*�,!)�9-2�=!B8,!2q.-1^2�2�<q6 2�?h.!'�.0(!B
*�)!,!@�=�A�7�'!2�<46K24,!<�)�Pg>�<�2 *�2 (�.|*�7 ,07�1;2�<�,07%,�7�M�?�)!b�24(0.�@
<�2�)!,8.�.m6K)�M�13B5O 24(0.�PW_�� )�b�(!)a6 )�)!$!O�2y(�2�*0,�.�$�2�:�7�<4Q
A 13.8(�.-1V.!M 7 98.�. \ (!24,5:�.�. )!> (!)�6�(!)!:�)�>�)!>�<�) @8(0.�@3L
)�*�,!2�=�2�?h.�6 .!MUA�7 A-.!Rhuv?8.-$�) .8(�&�R >�)!)�$�,�7�be24(�.0P
M (�7 '�24(0.�@ *-7�,�7�132�<4,!)!6[�
α� � ,�7�M�=�2�?�2 (8.�@ ����� < 7 A�.!1)!$�,�7KM�)!1XLl'!<�)�$�&/*07 ,�7 1T2�< ,�& <�2�)�,0.�.k6 )!M�13B�Oe24(�.0P
$�&�?8. 1324(-Q���2 2�=8.�(0.�90&e_ c 7�,�7�132�<4,-& �
α � � � ã �@86 ?-@8F�<�>�@d*�,!)!>�<�)y(�7 .-?�B�'!��.!1q6�&�$�)5,5)�1 *-7 ,87�132�<�,�)!6
,�7KM�=�2�?82 (�.5@;L *�,�. A!)�<�)!,�)�1 ,�@5=0& <�2�)�,�.0.
6 )!M�13B�Oe24(�.0PE>�R8)�=!@�<�>N@](�7 .-?�B�'��f.!1k)�$�,�7�M�)!1 � *�,0.
=87 (0(!)!1Z6�&S$�)�,!2g>4*!)!>�)�$�7|,�7 MN=�2�?02 (�.!@ ���K� � _Vo3>�?8. ���
A!)�1;13B!< .�,�B!2�< >�A!7�A�.-1Vu ?0.�$�)+)!*�2 ,�7�<�)�,!)�1 � � L�<�)
> *�2 A�<4, � � 1;)�b�(!) ,�7KM�=�2�?h.5<4Q (�7 *�)�=�>4.5>�<�2�1V&
B�,�)!6�(-24P;LlA�7�b%=�74@ .!MEA�)�<�)�,-&�RI>�)�)!<46K2�<N>�< 6 B!2�<G)�=0u
(-)�13Bq>�)�$!>�<�6 2 (8(5)�13BmM (87�'!2 (�.0F � � _��V)q6 >�2�R}*!)!=�> .!> u
<�2�1V7�Rw.!132 F�<�>�@]> 6 )�.J>�)�>�<�)K@8(8.�@J>[1W.0(�.-1;7K?8Q�(�&�1
>�)�$�>�< 6 2 (�(0&�1 M4(-7 '�2 (0.!2�1 ��� LjA!)�<�)�,-)�2E13)!b (-)J)5*-u
,!2�=�2�?h.!< Qr<�2�1wb�2}> *!)!>�)�$!)�1 *-,8. =�)!*�)�?h(�.-<�2�?hQ (-)�1
< ,!2�$!)!6�7 (0.�.3L�'�<�)!$!&wHXB�(8A!90.8.r$�&�?
.}>�)�$!>�<46K24(-(8&�1V.
HXB�(8A!90.!@�1;. � � *�,�. )!*8,52�=�2�?�2 (8(5)�1 >�)!$�>�<46K24(�(-)�1
M (�7 '�24(0.�.W_ � (07�'!24(�.5@ �
α � � � ã �î *-,8. \�<�)�1[=!?-@ ,�7�M4(-&�R
*-)�=�> .!>�<�2�1 13)!:�B�< $�&�< Q ,�7�M�?h.5'5(-&�1;.WL (-)
(-2�)�$�R-)�=�.-13)
Lq'!<�)�$�& � � A!)�1;13B!< .�,!)�6�7�?�. > ��� � _
�V)�M�$!B!b�=-24(0(�&�2E>�)!>�<�)�@8(�.!@ 6tA�7�b%=�)!Pw*-)�=�> .�>�<�2�132
13)�:�B!< $�&�< Q )�*�,-2�=!2�?82 (�& > *!)!1T)5OeQ�F <�2�)�,�.0.
6 )!M�13B�Oe24(�.0P *8,-. M�(07�'�2 (�.5@�R �
α � � � ã �î L
)�*�,!2�=�2�?82 (�(0&�R/=�?-@+)!>4(5)56�(!)!:�)+>�)�>�<�) @8(8.�@;LG*-)�A�7
>�)�)�<46K2�<�>�<�6 B8FXO%.-2 *07 ,�7 1T2�< ,�&k<�2�)!,8.-.G6 )!M�13B�Oe24(�.0P
=�)�>�< 7�<�)!'!(�)g1W7�?0&f_
c ,!)�.!?0?8FX>�< ,�.�,-B!2�1 6 )�M�13)�b�(!)!>�<�. \�<�)�:�)
132�<�)�=07�(�7�*�,0.!1324,!2fB�,�7 6�(-2 (�.!@
− ∂
º
ψ
∂ρ ! −
�
ρ
∂ψ
∂ρ
−
�
ρ
º ∂
º
ψ
∂ϕ
º − "$#&% ϕ
ρ
ψ = εψ ' �)(��
*k<47 A!)!1TB[B5,-7�6�(524(0.�F 6n$!2�M�,07�M�1^2 ,8(�&�RE*�)�?�@8,�(-&�R
A!)�)5,5=8.�(07�<47�R�L (-2q>�)!=�2 ,-b 7 Oe2�1^BG*07 ,�7�132�< ,!)�60L%*�,8.-u
6 )!=�@�<�>N@ 1V(!)!:�.�2 M 7�=87�'�. H�.!M .�A�. A�,�.->�<�7 ?�?0)�6hL
>�)�=!2 ,�b%7 Of.!R A�,-7�246KB5F =8.!>�?8)!A�7 90.8F � >�1X_,+ � �.-0/ � _
c ?�)!<�(�)�>�< Q )�<4,�.0907�<�2�?8Q�(-&�R M (�7 '�24(0.�P
ε
6K$!?8.�M .
(-B�?5@ A!6�7KM�.0A!?87�>�>4.-'!2�> A!. )59524(0.�6�7K?87�> Q 6 + � /NL
\ (�2 ,!:�.!@ )�> (!)�6�(5)�:�) >�)�>�<�)�@8(�.5@ )�$5&�'�(�&�1
6�7 ,0.�7 90.�)!(8(-&�1w132�<�)�=-)�1 *-)�?0B!'!24(�7Y61+ ( /�L%?8B!'���2�2
� <-_ 2�_k1324(�Q���2�2 � M�(07�'!24(�.-2 =!?-@ (52�2-L 7 < 7 A!b�2
(-24A�)!<�)!,�7�@ >4.->�<�2�1V7 $�?h.!M A�.!R B8,!)�6�(�2 P <�2�1 b�2
132�<�)�=-)�1 6�&�'5.5>�?024(-&�62+3-�/�_54�7�1V.!?
Q�<�)�(�.07 (]6 �)(��
A!)�1;13B!< .�,�B!2�</>/)�*!2 ,�7 <N)5,5)�1 M�7 1T24(0& M4(07 A�7
ϕ
L
*-)�\�<�)�1;BmB0,!)�6�(8.p,87�M�=!2�?-@8F�<�>�@ (07|=�6 2d*-)�=�> .!>�<�2�1V&eL
>�)�)�<46K2�<�>�<�6 B8FXO%.-2 '�2�< (�&�1 . (52�'!2�<4(�&�1
)!<�(-)�> .�<�2�?0Q�(!)
ϕ
HXB5(0A!98.5@�1�_6�7+8-./Y,�7�>�>�13)�< ,!2 (8&
<�)�?
Q A!) B0,!)�6�(8.TL >�)�)!< 6 2�<�>�< 6 B�F�O%.-2 '!2�<4(�&�1
HXB�(8A!90.!@�1�_
"%$�&�'�(!)U6 M 7�=87�'�7�RVLz,!2 �f7�2�1V&�R >�*!)!1^)�O%Q�F
<�2�)!,8.�. 6 )�M�13B�O�24(0.�PWL}:�7�1V.!?hQ�<�)�(�.07 (�2�>�<�2�>�< 6 2 (�(-)
,�7K>4*�7�=07�2�<�>�@Z(07m(!B!?82 6 )!P3L�=!?�@ZA�)!<�)!,!)!:�) M�7 =�7 '!7m(87
>�)�$�>�< 6 2 (�(0&�2 M (�7�'!2 (8.�@ ?�2�:�A!) ,!2 �%7�2�<�>N@;L .
9 ¤$:�¤�£<;>=�¤?:�£�¤A@�BDCFE0G?C �$;DB����!¦�§�¨�¨�ª�¦HB��JILK�¦DME§JI §NKPO5§
6 )!M�1TB8O�2 (�.-2�L *0,!)�*-)�,09�.-)�(07�?hQ (-)�2 1V7�?0)�13B
*87 ,�7K1^2�<4,5B3_ c 7 ,07�132�<�,0& ,�7�MN?�) b�2�(�.�@ <�2�)�,�.�.
6 ) M�1TB5OX2 (!.�P *�,!)�*5)�,!9�.!)!(�7�?0Q (�& \�<�)�13B 1V7�?0)�13B
*87 ,�7K1^2�<4,5B . *-)�<�)�13B <47 A5b�2 137 ?8&e_ � >�?-B�'�7�2
B8,�7 6�(-2 (�.!@ �)(�� < 7 A!)!:�)#2�>�<�2�>�<�6K24(0(!)!:�)],�7�M�=�2�?-24(0.�@
(�2�<�Lz*5)�\�<�)�13B/<�2�)�,�.�@ 6 )�M�13B�O�2 (8.-P A/(�2�13BU(!2
*8,�.-1^2 (5@5?07 > Q-_ � &�$!24,!2�1
� � �
= − ∂
º
∂ρ ! −
�
ρ
∂
∂ρ
−
�
ρ
º ∂
º
∂ϕ
º −
�
" #�% ϕ�
ρ
º +
α ½
�
ρ
º −
αº
ρ
_
� - �
� =�2�>4Q��3L
α ½ . αº � 6�7 ,0.�7 98.-)�(0(�&�2G*07 ,�7 1T2�< ,�&s_
"%<�132�<4.!1XL�'�<�) ��� � >�)�=-24,!bf.!<�*5)�<�2 (�98.-7 ?3Ly*�,-)�*-)�,�u
98.-)�(07�?8Q�(-&�P
ρ−
º L . *!)!\�<N)�13BI.�1T2�2�<G>�)!$�>�<46K24(0(�&�2
H�B�(0A�9�.0.TL{B!=�)!6 ?02�< 6 )!,�@8F�O%.�2[)!$!&�'5(0&�1iB!>�?8)!6�.5@51
(�2 *�,-24,�&�6�(�)�>�< .#.J.�(-<�2�:�,�.8,5B�2�13)!>�<�.WL�<�)�?hQ A!) 2�>�?
.
� ��� α ½ L <-_ 2-_ 2�>�?8. M�(07 A \�<�)�:�) *!)!<�24(�90.�7K?87
.�M�1^2 (!@�2�<�>N@�6iM 7 6�.->4.51;)�>�< . )!<
ϕ
_ � 7�?�2�2k$!B!=�2�<
*�)!A�7�M47 (-)
Lq'!<�)k:�7�1V.!?
Q�<�)5(-.87 ( � � � .!132�2�<J>4*-2 A�< ,TL
>�)!>�<�)K@-Oe.8Pn.!M|=8.!> A�,!2�< (!)�Pq.n(!2 *8,!2 ,�&X6�(!)�Pm'�7�>�<�2 PTL
A�7 Ad. ��� _>*�,-)�132�<�)�:N)
L^)�(a.!132�2�<�*!)!R�)!b�B5F B!:�?�)�6KB5F
M47 6�.�> .!13)!>�<�Qf*-)�<�24(09�.07�?h7-_.�qM 7�=87�'!2%(87�>�)!$�>�<46K24(0(�&�2
M4(07�'!24(�.5@�=!?�@ ��� � *!2 ,!2�132 (8(-&�2 ,07�M�=�2�?-@-FS<�>N@3LZ.
*�)�?h(�74@s> .->�<�2�1V7�>�)�$!>�<�6 2 (8(�&SRyHXB5(0A�9�.0P�1T)!b�2�<�$�&�< Q
6�&�,-7�b%24(-7 '�2 ,-2�M .!M 6 2�>�< (�&�2 <�,07 (!> 9�2 (�=!2 (�< (�&�2
H�B�(0A�9�.0.T_ �3,!B-=5(-)i> HX)5,51;B!?8.0,!)�6�7�< Q 24O 2 A�7 A�.524u
?h.!$!)J>�)!)�$5,-7�b%24(-.!@3L{)�*�,-2�=�2�?-@-FXO�.52 6�&�$!)�, ��� � 6
6�.-=�2 � - � _ �324,-) @�< (!)TL \�<�) (52 2�=0.8(!>�< 6 2 (�(�)
6 )!M�1T)!b (0&�P 6�&�$!)�,WL 7 13)�b%2�< $!&�<�QhL . (!2
(87 .-?�B!'��%.8P;_z"�A!)�(!'�7�<�2�?0Q�(!)/*�,0.!:�)�=8(!)!>�< Q < 7 A!)�:�)
6�&�$�)�,�7#,�7KM�$�.!24(0.�@ ��� *�,!)�6 2 ,�@�2�<�>N@ 6�&�'�.!>�?82 (�.-2�1
*87 ,�7K1^2�<4,5)56 ,�7 M�?0)�be24(�.5@ <�2�)�,0.�. 6K)�M�13B5O 24(0.�PW_
c 2 ,!2�1;2 (�(0&�2 6 B5,07 6�(524(0.�. � � �
ψ = ε( )ψ,87�M�=!2�?-@8F�<�>�@3Lh.gB�,87 6�(!2 (8.!2e=�?!@lHXB�(0A�90.0.
Φ(ϕ)
.�1T24u
2�<�6�.!=
º
Φ�
� º + ( � −
( �
"$# %
(��
)Φ = � _ � � �
� =�2�>4Qf*8,5)�.-M46K2�=!2 (87eM47�132 (�7�*!2 ,!2�1;2 (0(�&�R
ϕ =
(��
+ π
L
'�<�)�$�&}*0,�.-=�7 <�Qf6�&�,07�b�24(0.�F � � � 6�.-=yA�7 (�)!(8.5'�2�> A!)�:�)
B8,�7 6�(-2 (�.!@ �m7 <�QK2 � >�1S_ + � / � _ ��>�?0)�6�.8F
*�2 ,�.-)�=8.!'�(-)�>�<4.g*!)
ϕ
>%*!24,0.!)!=!)!1 (
π
B!=�)!6 ?02�<�6 )�,�@8FX<
H�B�(0A�9�.0. �m7K<�Q 2p>q'!2�<�(8&�1I.�(-=�24A�>�)!1����
! � (
� L � )
.
� �
! � (
� L � )
_ "�(8. )!$!,�7 M�B0F�< *!)!?8(�B�F >4.->�<N2�13B
H�B�(0A�9�.0PI(87 )!<�,-2�M�A!2
−π � ( ≤
�
≤ π� � _ *�)�(->�< 7 (!< 7
,87�M�=!2�?024(-.!@ � *-,�. A!7 b�=�)�1 � *0,�.8(-.�137 2�<
$�2�> A!)�(-2�'!(�)�2G1V(!)!b�2�>�< 6 )#=8.-> A�,-2�<�(8&�RIM (�7K'�2 (8.�PI6
M47 6�.�> .!13)!>�<�.p)!<{.0(!=�2 A!> 7d.p'�2�<4(-)�>�< .qHXB�(8A�9-.8PT_��%2
.�132�2�<}(!B�?-24PEHXB�(�A�90.�@ �����
(
��� � )
L�*-)�\�<�)�13Bz.!132 (�(�)
)5(-7q)!< (!)!>4.5<�>N@�AY)�> (-)�6�(-)�13BY>�)�>�<�) @8(0.�F _%x^2 ��24(0.!2
,87�=8.-7�?hQ (-)�:�) B�,�7 6�(�2 (�.5@ .�M�6 2�>�< (�) � >�1�_ +��0/ � _
`jB�(8A-9�.!@|)!>4(!)�6�(!)!:D)g>�)!>�<�)K@8(8.�@j.!132�2�<f6�.-=
ψ
���
=
� ���
π− � � º"!�# �
(
� L � ) $&%(' (−βρ)ργ � � � �
:�=�2
β
.
γ � )�*0,!2�=�2�?�24(0(�&S2lHXB�(0A�90.0.)�;L
α ½ . αº �� ��� � (�)!,!1V.8,!)!6 )!'�(�7N@ A!)!(�>�< 7 (!<47-_ ��,!2�=8(!2�2
M (�7 '�24(0.!2I*!)!?8(�)�:�)w:�7K1;.-?8Q <�)�(0.�7 (07].-M#B�,�7�6�(!2 (8.�@
�)(0� (07 H�B0(�A�90.�.
ψ *
L A!)�<�)�,!)�2 (!B�b%(-)
1V.�(0.!1V.�M�.0,!)�6�7�< Q-L *�)�>�?02 6�&�*-)�?
(!2 (8.�@
.0(!<�2�:�,8.-,!)�6�7 (0.�@ *�) � 13)�b%(-) *�,-2�=�>�< 7 6�.-<4Q
>�?82�=!B8F�O%.-1q)!$!,�7 M�)!1,+
ε - =
� ���º ∫�
∞
.0/21 (−βρ)ργ+
½
−
º
ρ ! −
�
ρ
ρ
+
+
3 �º
�
ρ ! −
3 �º
− � �( � ρ
$4%�' (−βρ)ργ
ρ
_ �&5��
� =!2�>4Q � � ( � ) 687 � >�)�$!>�<�6 2 (0(!)!2 M4(�7�'!2 (8.52
B�,87 6�(!2 (8.�@ � � � *�,�.
Φ =
��� �
(
� L � )
�
3 �º
= −
(
π ∫
−π9 !
π� º
�0� �
(
� L � )
!
� º �:� �
(
� L � )
�;�
=
=
(
π ∫
−π 9 º
π � !
� �&�
(
� L � )
º
� _ �&<��
c )�>�?82�=�(8.�P '�?02 (i6w*!)!=�&�(5<�2�:�,87�?8Q�(!)!1�)�*!2 ,�7 <N)5,52
6�&�'�.->�?5@52�<�>�@d*!B!<�2�1qB!1V(!)!b�24(0.�@{B�,�7�6�(!2 (0.�@ � � � *�,0.
Φ =
!=# �
(
� � �
)
(07>���
(
� L � )
.[.�(-<�2�:�,�.0,!)�6�7 (�.5@�*!) � _
�V132�>�<�) 1V.�(0.!1V.�M�7�9�.0. *!)
α ½ .
α º 13)�b%(-)
6 )!> *!)!?8Q MN)56�7�<4Q�>N@ <�2�1XL '!<�) *-,8. ?8FX$�)!1 ��? �1V.�(0.!13B�1
ε
��� =�)!>�<�7�6K?!@�2�<�>�@m>�)�$!>�<�6 2 (8(!)�PmHXB�(8A!90.�2 P
*-)�=8&�(-<�2�:�,�7�?
Q (�)�:�)y)!*�2 ,�7�<�)5,-7-_��T)�:�=87�*5)�?-B�'�.-1
β(
�
) =
@
º
− � �( � (
3
+
�
)
L
γ( � ) =
@ �
( L
ε A (
�
) = −β
º ' �&B��
"%>�<47�2�<�>N@ 13.8(-.�1V.!M .�,-)�6�7�< Q
ε
���
(� )
*�) � '�.�>�?�2 (8(�&�1< 7�$�B!?8.0,!)�6�7 (-.�2�1z*!) + 5 /N_ � ?�@}6�&�'�.!>�?82 (�.5@83
! *�,0.\�<�)�1 .!> *-)�?
Q�M�B!2�<�>N@ ,-7�M�?0)�b%2 (�.-2 �&� �
(
� L � )
6i,�@�=
`jB�,�QK2�L
A!)�\ H�H�.-98.!2 (-<4&YA!)�<�)�,-)�:N)y*�,8.-6 2�=�24(-&Z65+ 5 /N_
c )�?0B�'�7�2�1
� � ã � =
�
± 7 L 7 � L ε
���(
�
) = − 7 L � 7 � - LC3 � � ( = 7 L 5 � 5D5 '�&E��
� )�$!>�< 6 2 (�(0&�2 HXB�(0A�90.0.w. >�)�$!>�< 6 2 (�(0&�2zM (�7�'!2 (8.�@
:�7�1V.!?
Q�<�)!(8.-7�(�7 ��� � A�?h7�>�> .8HX.890.�,!B8FS<�>N@�*!)i< ,!2�1
A�6�7 (�<�)�6�&�1]'�.!>�?h7�1,+%,�7�=8.07�?8Q�(!)!13B � = 7 L � L ( L�_ _ _ L
σ = � � � L )�*0,!2�=�2�?!@8F�O 2�13B '�2�< (-)�>�<4Q HXB5(0A!98.0.
)!<�(-)�> .�<�2�?0Q�(!) M47�132 (8& M�(07 A�7 � � >�)�$!>�<46K24(-(�)�2
M (�7 '�24(0.!2d)�*!2 ,87�<�)�,-7aM�7 1T24(0&#M (�7�A�7
(−
�
)σ � L .GF �.0(!=�2 A!>�BmH�B0(�A�90.�. �q7�< Q 2-L;A!)!<�)�,�&�Pq*-,�.8(-.�1V7�2�<y6 >�2
§JKFO$I 9 ¤$:�¤�£<;>=�¤?:�£�¤D@0B C E0G?C �$;DB����!¦�§�¨�¨�ª�¦HB��JILK�¦DME§JI
'�2�< (�&�2aM4(07 '-2�(8.5@ (07 '�.
(07�@Z>n(�B-?�@G*8,0.
σ = � .Y>=h6�B�Rm*8,0.
σ =
��_T"�(8.d.51;2 FX<�6�.5=
� � σ � 〉 =
� � σ �
√π
$4%2'
ρ √−ε � σ �(
�
)
ρµ ×
× �
− � L ( µ +
� L (
ρ √−ε � σ �(
�
)
δσ
� ���
� + δσ
½ � � �
L
µ(σ
L � ) =
�
�
δσ
� � � + δσ
½�� � + α �
½ � º L
ε � σ �(
�
) = −
α ºº
(
(
µ +
( � +
�
)
º L
� � σ � =
(
(
√−ε � σ �( ) )µ+
½
Γ(
(
µ +
�
)
Γ(
(
µ + � +
�
)
��� (
(
µ + � +
�
)
� 9 ! _ �!� 7 �
� =�2�>4Q � (− � L ( µ +
� L2�
ρ √−ε � σ �(
�
) ) � 6�&�,!)!b�=-24(0(�7N@
:�.�*-24,!:N2�)�1;2�< ,�.!'!2�> A�7N@ HXB�(0A�90.5@;� � � σ � �(�)!,�13.8,!)�6K)�'�(�7�@Z*!)!>�<�)K@8(8(�7N@[,�7�=8.�7K?8Q�(!)�P}HXB�(0A�9�.0.� 6�&�'�.�>�?�2 (8.52 2�2�L A�7 A . =8,!B-:�.-R *�)�=�)!$�(0&�R
.8(!<�2�:�,�7�?0)�60LU6K>�< ,!2�'57 FXO�.5R8>N@ *0,�. 6�&�'�.!>�?82 (�.0.
1W7�< ,�.-'�(�&�R[\�?-2�132 (�<�)�6hL�>�1X_�6�+ < / � �
δ � � � >4.-1;6K)!?
*S,-)�(-2 A�2 ,07-_ *�7 A *8,-.8(�@�<�) 6 + � /NLz>�)!$�>�<46K24(0(�&�2
M4(07�'!24(�.5@z=-?�@#H�B�(0A�9�.0P2�q7�< Q�2Y)�$�)!M�(87�'�7 FX<�>N@ �&�=�?�@q'!2�<4(-&�R~.�
� =�?!@~(52�'!2�<4(�&�R�L *8,-. *5)�?-B�'!2 (8(5)�16�&�� 2 M�(07�'!24(�.0. � 6 >�2 )�(�.WL A�,!)!132 � � L*�)�?8)�b�.!<�2�?
Q (8&e_ �V)�*!)!>�< 7 6 ?5@�@ �!� 7 � > � � � *�,�. B!'�2�<�2�&B8� L
*�)�?8B!'�7�2�1
α ½ =
3 �º
− � � =
�0L E � ( E �
αº =
α ½( � = 7 L < �4� � _ �!�����
c )!*8,�7 6�A�7I*!2 ,�6 )!:�) *0,�.!$!?8.-b�24(0.�@i<�2�)�,�.8.k6K)�MN1;B�u
O%2 (�.0P[AY\4(!2 ,!:�.-.[)�> (-)�6�(-)�:N)}>�)�>�<�)�@8(�.!@[*8,�.Y\�<�)�1
,87 6�(�7q(!B!?
Ff_"��> ,!2�=0(!24(0.!2m*!)!?8(-)�:�)p:�7�1V.!?hQ�<�)�(0.�7�(�7
��� (87 HXB5(0A!98.5@�R �!� 7 � =�7 2�<iM�(07�'�2 (�.5@+\ (�2 ,!:�.0P
6 )!M�$�B!b%=�2 (�(8&�Rn>�)�>�<�)�@8(�.0Pn6j*-24,-6 )�1E*�,�.-$�?
.!b%2 (�.0.
<�2�)�,�.�. 6 )!M�13B�Oe24(�.0PTLG)!<�?8.�'!(8&�2 )!<
ε � σ �( ) _5�V< .
M4(07�'!24(�.5@ .51;2 F�< >�1V&�>�? <�)!?8Q�A5) =�?!@ <�2�R
6 )!M�$�B!b%=�2 (�(8&�R >�)!>�<�)�@-(-.8PTLm=�?!@ A!)�<�)�,�&�R <�2�)�,�.�@
6 )!M�1TB8O�2 (�.0Pd*�,0.!1324(�.-1V7-_
�V&�'!.�>�?8.-1 (87 .5$�)�?hQ �f.�P '!?�2 ( 6 <�)�,!)�:�)
*8,�.-$�?
.!b%2 (�.5@ <�2�)�,�.8. 6 )!M�13B�Oe24(�.0P =�?!@ \ (�2 ,!:�.0.
)�> (!)�6�(5)�:�)g>�)!>�<�)K@-(0.�@ +
��� ½ = −
� � ã � "$# %
( �
(
ρ
º −
3 �º
− � �
�
ρ
º +
@ �º
− � �( � � ã � ρ + "$#&%
( �
ρ
_
�!�L(0�
�q7�< ,�.�'�(�&�2g\�?-2�132 (�<�& ��� ½ (87|HSB8(�A�90.�@�Rm)�> (�)!6�(-)�:�)>�)!>�<�)K@-(0.�@ . =8,!B!:�.5R > � = 7 ,-7�6�(-& (!B!?
FfL
$�?0.�b%7�P-�%.�1Y>�)�>�<�)�@8(�.-2�1SL�*-,�.qA!)�<�)!,�)�1Z1V7�< ,�.!'�(0&�P
\�?02�132 (!<}(!2},�7 6 2 (E(!B!?hFsL%)5A!7KM�&�6�7�2�<�>�@ � 707 ( 〉
_ c ,-.
\�<�)!1
〈 707 7 � �
� ½ � �0� �
〉 = 7 L 7 -P- 5 L 〈 707 7 � ��� ½ � 707 ( 〉
ε
�����
− ε
�D� º = − � ��� ��� � �
ε
�����( ! ) = − 7 L �!� E05 _
�!� - �
�37 A�.-1 )�$�,�7�M�)!1�LG*!)!?�B�'�24(0(!)!2iM (87�'!2 (�.�2 \4(!2 ,-:�.0.
)!>4(5)56�(!)!:�) >�)�>�<�)�@8(�.5@ )!A�7�M &�6�7�2�<�>N@ (0.!b%2-L '�2�1
(07 .!?8B!'���2�2�L *!)!?�B!'!24(0(!)!2 6 +N-�/ � � 7 L �����!��� _"%< (!)!>4.!<�2�?hQ (-)�2}*-)�(0.!b%2 (�.�2p>�)!>�<47 6K?!@�2�<n$�)�?-2�2 B�� _
� ,!B!:�)!P3L .�132 F�O%.0P H�.!M .!'!2�> A!)�2 M (�7�'!24(0.!2-L
,!2�M�B!?
Q�<47�< � (�7�.!1324(-Q��%.0P|*�)!A�7�M47�<�2�?hQe>�<�2 *�2 (�.d*�,0.
ρ
L#A!)�:�=�7
ρ → 7 L � 6 +N-0/ ,07 6 2 ( 7 L < �hL 7 6
,�7K>�>�1;7K<�,8.-6�7�2�1;)!1p1;2�<�)!=�2
µ
���
= 7 L 5 � 5D5 _
� (07�?�)!:�.�'�(!) 1^)!b%(�) 6�&�'5.->�?8.�<�Q \4(!2 ,!:�.-F .
*-)�A�7�M 7�<�2�?8Q >�<�24*524(0. =�?!@U(�.-b%7�P�� 2�:�) (�2�'�2�< (�)�:�)
>�)�>�<�)�@8(�.5@ +
�����
� =
( � L
α ½ =
- � L E05 B4B L
α º = � � ����� � �
µ
� ½�º =
� L B � <05 �
〈
( � 7P� ��� ½ � 7 � � 〉
ε
� ½�º − ε
� ½��
= � �
����� �
ε � !(
º
) = − 7 L 7 ( � ( '
�!� � �
c ,�.06 2�=�2 (�(8&�P�*0,�.-1^2 ,y*!)�A!7 M�&�6�7�2�<-L�'�<�)�(-)�6�&�P
132�<�)�=|*!)!M46K)�?-@�2�<�*�)�?8B!'�.!< Q�?8B!'��%.-2�.g$�)!?�2�2%*!)!?8(0&�2
,!2�M�B!?
Q�<47�< &eL '�2�1 )!$!&�'�(07N@ 6�7 ,�.07 90.!)�(�(87N@
*0,!)�9-2�=-B5,-70_�x^2�M�B!?
Q�<47�< &p=�?!@�>�)!$�>�< 6 2 (�(0&�R�M4(07�'!24(�.0P
13)�:�B!<#$�&�< Q#2 Oe2#B!?8B!'���2 (�&fLj2�>�?8.i6�&�'�.->�?5@5< QI.
=8,!B!:�.52%'�?�2�(�&}6�<�)!,�)�:�)s*�)�,�@�=�A!7�<�2�)!,�.-.y6�)�MN1^B�O 2�(�.!PT_
�31^2�>�<�2#>J<�2�1XL =-?!@i<�2�RiB8,!)!6�(-24P;L =�?-@ A�)�<�)�,-&�R
<�2�)!,8.�@ 6K)�M�13B5O 24(0.�P *-,8.!132 (�.-1W7-L >�)!$�>�< 6 2 (�(0&�2
HXB�(8A!90.8. *!2 ,�6 )!:�) *8,�.5$�?0.�b�2 (8.�@ <�2�)�,�.0.
6 )!M�13B�Oe24(�.0P 1;)�b�(!) >�'�.-< 7�<4Q *�,8.5$�?0.�b�2 (8(�&�1
6�&�,07�b�24(0.!2�1 .!>�<4.0(�(0&�R >�)�$�>�< 6 2 (�(0&�R HXB�(8A-9�.8P;_
� <N)jM (�7 '!.�<-L;'�<�)a>{.5R *!)!1^)�O%Q�FE13)�b�(5) 6�&�'5.5>�?-@�<4Q
1V7�<4,-.�'!(8&�2m\�?82�1^2 (-<4& =8,!B!:�.!RY)�*!24,07�<�)�,!)�6p>j< 7 A!)�P
b%2%<�)�'�(-)�>�<4Q F LhA-7 Ad.|>�)�$!>�<�6 2 (8(�&S2%M (�7 '�24(0.�@3_
"%:�,-7 (8.!'!2 (8.�@ *�,�.-1;2 (�.-1^)!>�<4. <�2�)�,�.0.
6 )!M�13B�Oe24(�.0P )!>4(!)�6�(�&�1 .+(0.!M A!)�6K)!M�$�B�be=�24(-(8&�1V.
>�)�>�<�)�@8(�.5@51V.}6a>�?0B�'�7�2-L A!)!:�=87 >4*-24A5<�,}.!132�2�<d<�)�'�A!B
>�:�B�O�24(0.�@3L .!132�2�<-L 6 )!M�1^)!b%(�) L *�,0.�(89-.8*�.07�?
Q (�)�2
M (�7 '�24(0.!2-_ o;>�?8. *-2 ,!2�132 (�(0&�2 6 M47�=07�'�2 (87
>�)�$�>�< 6 2 (�(0&�2 M (�7 '�24(0.�@ =�?-@ :�7�1V.�?0Q <�)�(�.07 (87"! �
,�7KM�=�2�?�@8F�<�>N@;L#<�) 6K$!?8.�M�. <�)�'�A�. >�:NB5O 24(0.�@ \�<47
M 7�=87�'�7�13)�b%2�<�$�&�< Q%,�7�>�>�13)!<�,-24(�7 1;2�<�)�=�)�1 ��*$# + B /NL
A!)�<�)�,�&�1 13)�b�(!) )�$!)�>4(-)�6�7 <�Q *524,-2�R-)�= A
A!?87K>�> .!'!2�>4A!)!P .-(�<�2�:�,�.0,!B!2�1;)!PiM 7�=87�'!2-_ c ,-.k\�<�)�1
<�)�'�A!2 >�:�B�Oe24(�.5@ >�)!$�>�< 6 2 (8(�&�R M4(07�'!24(-.8P >�)!u
)!<�6 2�<�>�< 6 B!2�<w>�24*07 ,�7�< ,�.�> 7-L~,07�M�=�2�?-@-FXO�7N@ )!$�?
7�>�< .
H�.�(0.!<4(-)�:N) . .8(�H�.�(0.!< (�)�:�) =86�.!be24(�.0P
>�)�)�<46K2�<�>�<�6 B8FXO�2 P A5?87 >�>4.5'�2�> A!)�P '�7K>�<�.890&e_Io^>�?
.
*-24,!2�1324(-(8&�2y,�7�M�=�2�?!@8FX<�>N@j<�)!?8Q�A!)d6y:�7�1W.5?hQ�<�)�(0.�7�(52
! � � L
<�)|=!)!$�7�6 ?�2 (8.52%! � ½ >�)!)�< 6 2�<�>�<�6KB�2�<�,�7�M ,!B��%2 (�.0F6 >�2�Rz.�(-<�2�:�,�7 ?-)56~=86�.!be24(�.5@3L A!,-)�132q\ (!2 ,�:�.0.T_ c ,0.
\�<�)�1Z132�<�)!=6��*&#Z>�< 7 (�)!6�.-<�>N@ (-24*�,0.!132 (�.�1V&�1XL;.q(52
9 ¤$:�¤�£<;>=�¤?:�£�¤A@�BDCFE0G?C �$;DB����!¦�§�¨�¨�ª�¦HB��JILK�¦DME§JI §NKPOLK
.�M 6 2�>�<�(8& 132�<�)�=0&eL A!)�<�)!,8&�2 *!)!M�6 )!?8.-?8. $!&
6�&�'!.�>�?8.-<4Qr>�)�$�>�< 6 2 (0(�&�2ZM�(87�'!2 (�.!@
ε( � )
Lf:D=-2 � �(�)�1;2 , B�,�)!6�(5@3L )�<�>�'�.-<47 (�(0&�P )!< )�> (�)!6�(-)�:�)
>�)!>�<�)K@-(0.�@j6|*!)�,�@�=8A�2y6 )�M4,�7�>�< 7 (8.�@j*0,�. $�)!?8Q��e.!R � _��A�?h7�>�> .�'�2�> A!)�Pd1T2�R
7 (0.�A!2�,87�M ,!B���2 (8.!2y.-(�<�2�:�,�7�?0)�6
=86�.-b�24(0.�@ *�,�.06 )�=8.-< A R
7�)�< .�M�7�9�.0. =�6�.-b�24(0.�@
'57�>�< .89�&sL 6q*524,�6KB8FJ)!'!24,!2�=8Q-L 6K$!?8.�M .p>�2 *07 ,�7 <�,0.!> &
+ E /�_ �a)�b%(-) *�,52�=8*-)�?
7�:�7 <�QhL]'!<�) 6 M�7 =�7K'�2 (�7
>�)!$�>�< 6 2 (8(�&�2 M (�7 '�24(0.�@ \�<�)�13B >�)!)�< 6 2�<�>�<�6KB�2�<
)�<�>�B�<�>�<�6�.-2 7�?0:�)�,�.�<N1W7 6�&�'�.!>�?82 (�.5@
ε( � )
*8,-.
$�)�?hQ �f.!R � _�� *524A!< ,E*�,�. \�<�)!1I13)�b�(5)[)5*-.�> &�6�7�< Q
<�)!?8Q�A�) >�< 7�< .�>�<�.-'�2�> A�.-1V. *!)�(�@�< .�@�1W.WLU< 7 A�.!1V.TL
(87 *0,�.!132 ,TL A�7 A *-?�)!<�(�)�>�< Q >�)�>�<�)�@8(�.8P;_ � ?!@
,87�>�>�13)�<4,!2 (0(!)!:D) 6 ,-7 M�=3_ ( B5,07 6�(524(0.�@�*�)�=!)�$�(�)�2
)�*�.!>�7�(�.52�$!&V?-)s.!>�*!)�?8QNM�)!6 7 (!)s6f,�7N$�)�<�2�+ � /N_
½�Â���Â��[Â��o°�Ñ�à�° ¸�Ã��"Â��qÂoÈì¯åà�·�¨�³ {²�Ã�� ~�z � ���[��
����� ó�óåÃ
����ø���½�¿�À ��� Â
º�Â�áoÂ�� Â���¨}Å{¯�§��²�®}·�°�Ì Ã���Â���Â�Ù6¨}«�°�³��à � ~�z � ������
��������� #Ã
ø{º ����½�¿�À�À � Â
»�Â�áoÂ"!�Â�¦�±�¹o®�¨�³ µ�²�Ã$#�Â%!oÂ"&�°�à�·��Ã'�)(*(Eõ,+�Ã+ÇåÀ�À)�}½�¿{Ç � � Â
��Â'- å� ���}�,.�y{~��Æ ��"z} {�0/�~��{�1��y���������y��,/�~,2�� Ã'�[Â"!�Â"!�Å{³�¨}¼
�²}°�¸ Ã
�WÂ
¦�§�° Á¢¨}Ê3�¢³ µ¢¶  � Ã"��¨�¯�·�¨�Ã"�ß{®}·�²�¨)��½¢¿ À�¿ � Â
��Â�áoÂ"�´Â4���Ê�Î�í5��³�¯ µ�²{° Î�à �6�'�37 à ��À���½¢¿ ø�½ � Â
ø� �
�,8�� ~�/ � £���2 ���'.{~�z¢�å�{y{~�2 ���#y��,/�~:9 (A��|���� Ã
á/Ë�Î�°�®}±�°�§�µ�±�©�Ê�Ë�ÌÆ¸ µ�Ê�§�³)!��C¦�¦�¦�Þ�Ã$�W�®�·�²{¨;��½�¿�ø�À � Â
À�Â��´Â=<'Â6��¨}Ê�¶ ¨�¯�Ã=>�Â3�[Â6��°�Ñ�à�° ¸�ÃW������y�|��{�}�?2f���A@#��y{~#�å��Ã
B�°�Ð�¼�¨}§�Á¢° Ð�Ã4���®�·�²{¨C�{½�¿�ø{» � Â
Ç�Â$�qÂ'BƳ�µ�¼�¨�Ê�Ã�È´Â�DoÂ'BƳ�µ�¼�¨�Ê�Ã�¡���E��Ä �� ~�8å�å~�FÝ�}yå~���Ã"�ß°�³�Ã$�W{®�·{í
²�¨��}½�¿�ø�À � Â
¿�ÂHG+ÂI�_ÂHâ�¨�®�± ¨�²{®�·�° Ì�à - |ì�0@���z}|�~�.�y��}z}|J� £�~ y��}��~�.{�}z}�{~?@
z�~ z}|ì��� Ã4��¨�¯ ·�¨ Ã$�ß{®�·�²{¨)�}½�¿�Ç � � Â
KMLON�PRQ1S�TAU S4V U W�L3XYN4V Z4W�[\U LCV0ZON3]^T_W�`^a N�XbWJLcV ZON
d ]�N'e4V Tgf�XhW'i�N�a N�X\N�L"VjS�T5k�N4l"e�U VjS4V U W�L d U L)S�L
N'[�m�N�no[�U d a W�eOS4V U W�L)e�Tpk d VjSqa
rps'tus'v)fq`JTgW�Q d�w UxU
î �zy0{ � y0|j}:~,�[úz�o�jy0�\~D�\|j}�y3�0~ � ú�ã �:� |�ã ~D�\~�����ã í
� y0�o|���� � ã � |¢ã ~?� � y |5}:~,�=�<�z���zy � |5� � úz�<�z�0yc|�}zy0~ ��� ã ��� � ~{í
�:~,�jy0�h|j~b�0�����0�"�x�o|jy�� �:� � ~���ã � � |jy � � |5}zy�y}ã ��yN�z���,�x�:y0�
�<�z��|j}:y����)���o|�ãx~D�z�*~z�3|�}zyR� � ~,�$������|_�,|5yR�J�:���j|j�o|jy0�
� ��~��jyc|j~�ã�|�Â'�$}:y �zy0{ � y0|j}�~��Xã ��� �:�"�Äã y �3|5~6|5}:yÍð:�0} � ~{í
��ã �z�,y � y0�:�:� |�ã ~D��{�ã |j}3�)�z~,|jyN�:|�ã ����� � ~,�:~ � |�ãx~D�:����|j~�|_}:y
��ãx�x�o|j� |�ã ~L�Y� � ~,�z��� y0�_ú � �<�Yy0�:��y)��ã �g�x~,�o� |�ã ~D��Â��$}:y)yJ��í
y � � � � � ~,�)�����j|j� |�yC~{ú:|_��ã �:y0�Xãx����~,{�y � |j}:�J�3|j}:� |��0�,�x� ��í
��� |jy0��yo� � �ëãxy � ã ��~�|�}�y � {�~ �A� �}Â��$}:yCy<��y � � � ~��^|j}zy)�x~,{�í
y0�j|���|j� |jy�{�ã |j}6|5}:y�y{ã ��yN�"�p�L�z�0|�ã ~L�)~��:��ã �)|�}zy�� ��ã � ��|�}z�,�
�<�z�z��yÍã ��~�ú�|j��ã���y �
ÂO�5|�ã ���j�:���:~,�jy ��|j}z�o|�|j}:yc�zy0��� � ãx��|¢ã ~?�
~��;|5}zy��j�zy0�0| � � � ����~,�jy�|j~*|j}:y���~ ã �:|)~��c�0~?���zyN�:�j� |¢ã ~?�
� � � ú:y�~D�"� � �j|j�o|�ã �j|�ã �o����Â
§JKFO�� 9 ¤$:�¤�£<;>=�¤?:�£�¤D@0B C E0G?C �$;DB����!¦�§�¨�¨�ª�¦HB��JILK�¦DME§JI
|