Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках

Точно решена спектральная задача для внутренних мод колебаний спинового нанокластера в анизотропной ферромагнитной цепочке, помещенной в магнитное поле, в рамках дискретной модели Такено– Хомма. Построена диаграмма устойчивости на плоскости параметров обмена и магнитного поля для спиновых кластеро...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Физика низких температур
Дата:	2018
Автори:	Богдан, М.М., Белан, В.И., Чаркина, О.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Теми:	Електронні властивості низьковимірних систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176465
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках / М.М. Богдан, В.И. Белан, О.В. Чаркина // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 12. — С. 1700-1712. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176465
record_format	dspace
spelling	Богдан, М.М. Белан, В.И. Чаркина, О.В. 2021-02-04T18:04:57Z 2021-02-04T18:04:57Z 2018 Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках / М.М. Богдан, В.И. Белан, О.В. Чаркина // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 12. — С. 1700-1712. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176465 Точно решена спектральная задача для внутренних мод колебаний спинового нанокластера в анизотропной ферромагнитной цепочке, помещенной в магнитное поле, в рамках дискретной модели Такено– Хомма. Построена диаграмма устойчивости на плоскости параметров обмена и магнитного поля для спиновых кластеров произвольного размера. Найдены явные выражения для внутренних мод колебаний нанокластеров и рассчитаны их частотные зависимости от параметров обмена и магнитного поля. Точно вирішено спектральну задачу для внутрішніх мод коливань спінового нанокластера у анізотропному феромагнітному ланцюжку, який знаходиться у магнітному полі, в рамках дискретної моделі Такено–Хомма. Побудовано діаграму стійкості на площині параметрів обміну та магнітного поля для спінових кластерів довільного розміру. Знайдено явні вирази для внутрішніх мод коливань нанокластерів та розраховано їхні частотні залежності від параметрів обміну та магнітного поля. The spectral problem of the internal mode oscillations of a spin nanocluster in an anisotropic ferromagnetic chain placed in a magnetic field has been solved exactly within the framework of the discrete Takeno–Homma model. A stability diagram on the plane of parameters of the exchange and the magnetic field is constructed for spin clusters of arbitrary sizes. Explicit expressions for the internal mode oscillations of nanoclusters are found and the frequency dependences on parameters of the exchange and the magnetic field are calculated. Работа поддержана ФФИ НАН Украины (грант № 1.4.10.26.4/Ф26-4) и НАН Украины (грант № 4/18–H) и выполнена с использованием вычислительных ресурсов грид-кластера ФТИНТ им. Б.И. Веркина НАН Украины. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Електронні властивості низьковимірних систем Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках Вплив магнітного поля на стійкість та спектр збуджень спінових нанокластерів в анізотропних феромагнітних ланцюжках Effect of magnetic field on stability and excitation spectrum of spin nanoclusters in anisotropic ferromagnetic chains Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках
spellingShingle	Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках Богдан, М.М. Белан, В.И. Чаркина, О.В. Електронні властивості низьковимірних систем
title_short	Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках
title_full	Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках
title_fullStr	Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках
title_full_unstemmed	Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках
title_sort	влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках
author	Богдан, М.М. Белан, В.И. Чаркина, О.В.
author_facet	Богдан, М.М. Белан, В.И. Чаркина, О.В.
topic	Електронні властивості низьковимірних систем
topic_facet	Електронні властивості низьковимірних систем
publishDate	2018
language	Russian
container_title	Физика низких температур
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
format	Article
title_alt	Вплив магнітного поля на стійкість та спектр збуджень спінових нанокластерів в анізотропних феромагнітних ланцюжках Effect of magnetic field on stability and excitation spectrum of spin nanoclusters in anisotropic ferromagnetic chains
description	Точно решена спектральная задача для внутренних мод колебаний спинового нанокластера в анизотропной ферромагнитной цепочке, помещенной в магнитное поле, в рамках дискретной модели Такено– Хомма. Построена диаграмма устойчивости на плоскости параметров обмена и магнитного поля для спиновых кластеров произвольного размера. Найдены явные выражения для внутренних мод колебаний нанокластеров и рассчитаны их частотные зависимости от параметров обмена и магнитного поля. Точно вирішено спектральну задачу для внутрішніх мод коливань спінового нанокластера у анізотропному феромагнітному ланцюжку, який знаходиться у магнітному полі, в рамках дискретної моделі Такено–Хомма. Побудовано діаграму стійкості на площині параметрів обміну та магнітного поля для спінових кластерів довільного розміру. Знайдено явні вирази для внутрішніх мод коливань нанокластерів та розраховано їхні частотні залежності від параметрів обміну та магнітного поля. The spectral problem of the internal mode oscillations of a spin nanocluster in an anisotropic ferromagnetic chain placed in a magnetic field has been solved exactly within the framework of the discrete Takeno–Homma model. A stability diagram on the plane of parameters of the exchange and the magnetic field is constructed for spin clusters of arbitrary sizes. Explicit expressions for the internal mode oscillations of nanoclusters are found and the frequency dependences on parameters of the exchange and the magnetic field are calculated.
issn	0132-6414
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176465
citation_txt	Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках / М.М. Богдан, В.И. Белан, О.В. Чаркина // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 12. — С. 1700-1712. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT bogdanmm vliâniemagnitnogopolânaustoičivostʹispektrvozbuždeniispinovyhnanoklasterovvanizotropnyhferromagnitnyhcepočkah AT belanvi vliâniemagnitnogopolânaustoičivostʹispektrvozbuždeniispinovyhnanoklasterovvanizotropnyhferromagnitnyhcepočkah AT čarkinaov vliâniemagnitnogopolânaustoičivostʹispektrvozbuždeniispinovyhnanoklasterovvanizotropnyhferromagnitnyhcepočkah AT bogdanmm vplivmagnítnogopolânastíikístʹtaspektrzbudženʹspínovihnanoklasterívvanízotropnihferomagnítnihlancûžkah AT belanvi vplivmagnítnogopolânastíikístʹtaspektrzbudženʹspínovihnanoklasterívvanízotropnihferomagnítnihlancûžkah AT čarkinaov vplivmagnítnogopolânastíikístʹtaspektrzbudženʹspínovihnanoklasterívvanízotropnihferomagnítnihlancûžkah AT bogdanmm effectofmagneticfieldonstabilityandexcitationspectrumofspinnanoclustersinanisotropicferromagneticchains AT belanvi effectofmagneticfieldonstabilityandexcitationspectrumofspinnanoclustersinanisotropicferromagneticchains AT čarkinaov effectofmagneticfieldonstabilityandexcitationspectrumofspinnanoclustersinanisotropicferromagneticchains
first_indexed	2025-11-27T04:50:31Z
last_indexed	2025-11-27T04:50:31Z
_version_	1850800754955124736
fulltext	Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12, c. 1700–1711 Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках М.М. Богдан1,2, В.И. Белан1, О.В. Чаркина1 1Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина E-mail: bogdan@ilt.kharkov.ua; charkina@ilt.kharkov.ua 2Харьковский национальный университет им. В.И. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 610022, Украина Статья поступила в редакцию 7 августа 2018 г., опубликована онлайн 26 октября 2018 г. Точно решена спектральная задача для внутренних мод колебаний спинового нанокластера в анизо- тропной ферромагнитной цепочке, помещенной в магнитное поле, в рамках дискретной модели Такено– Хомма. Построена диаграмма устойчивости на плоскости параметров обмена и магнитного поля для спиновых кластеров произвольного размера. Найдены явные выражения для внутренних мод колебаний нанокластеров и рассчитаны их частотные зависимости от параметров обмена и магнитного поля. Ключевые слова: ферромагнитная цепочка, спиновый кластер, магнитное поле, устойчивость, внутрен- ние моды, уравнение Такено–Хомма. 1. Введение В квазиодномерных изинговских ферромагнетиках возможно существование спиновых нанодоменов, ко- торые проявляют себя в спин-кластерном резонансе [1] и ответственны за поглощение высокочастотного элек- тромагнитного поля. Дискретные доменные границы изинговского типа и ограниченный ими спиновый на- нокластер могут быть устойчивы и в сильно анизотроп- ных гейзенберговских ферромагнитных цепочках [2–5]. Когда отношение констант обмена и легкоосной ани- зотропии достигает критической величины, наступает потеря устойчивости доменной изинговской границей, которая означает переход ее в неколлинеарную фазу [3]. Спиновый нанокластер, образованный двумя такими границами, в зависимости от своего размера и магнит- ных параметров цепочки может либо трансформиро- ваться в 360° доменную границу, либо полностью рас- пасться на нелинейные возбуждения — дискретные бризеры и спиновые волны [5]. Квантовым механизмом изменения размеров магнит- ных нанодоменов является макроскопическое туннели- рование их границ [6,7], которое может наблюдаться экспериментально [8]. Одной из первых общепризнан- ных работ по эффекту квантового туннелирования в магнетиках была работа И.В. Криве и О.Б. Заславско- го [9]. Она и сегодня является широко цитируемой в теории квантовых магнитных эффектов и представляет собой замечательный образец многогранной научной деятельности Ильи Валентиновича, оказывающий сти- мулирующее влияние на развитие новых подходов к решению физических проблем. Особо актуальной ра- бота [9] представляется в связи с синтезом новых спи- новых нанообъектов — молекулярных магнитных на- нокластеров или «магнитных молекул» [10]. Эти нано- объекты представляют собой замкнутые, как правило, антиферромагнитные и ферримагнитные спиновые це- почки в молекулярных кристаллах. Экспериментально установлено [11], что в сильном магнитном поле, боль- шем поля обмена, в магнитных молекулах происходит последовательный переворот спинов, первоначально ориентированных противоположно магнитному полю, что в случае замкнутых цепочек означает изменение полного момента таких магнитных молекул. С этим свойством связаны перспективы использования данных нанообъектов при разработке магнитооптических при- боров и квантовых компьютеров [11,12]. Дальнейший прогресс в синтезе подобных нанообъектов привел к большому их разнообразию по форме и размеру: от замкнутых цепочек с малым числом спинов до гигант- © М.М. Богдан, В.И. Белан, О.В. Чаркина, 2018 Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров ских шарообразных магнитных молекул — «кеплера- тов» типа 72 30Mo Fe [13], суммарный магнитный мо- мент которых в магнитном поле достигает десятков магнетонов Бора. Очевидно, что макроскопическое квантовое тунне- лирование, исследованное И.В. Криве и его соавтора- ми и коллегами [7,9,14], должно наблюдаться в этих нанообъектах. В данной работе, которую мы посвящаем 70-летнему юбилею Ильи Валентиновича, предлагается динамический подход к решению проблемы устойчи- вости нанокластеров, образованных магнитными мо- лекулами с классически большими магнитными момен- тами [13]. Из таких магнитных молекул могут быть по- строены низкоразмерные магнитные метаматериалы [5], в цепочках которых «спиновые» кластеры мезоскопи- ческих размеров можно будет возбуждать локальным импульсным полем и управлять их динамическими ха- рактеристиками с помощью внешнего магнитного поля. Образование спиновых нанокластеров следует так- же ожидать и в квазиодномерных гейзенберговских ферромагнетиках типа TMNB, TMNC, TMANC и FeTAC [15–17], в которых внутрицепочечный обмен и константа анизотропии найлегчайшей оси оказываются одного порядка. Для описания магнитной динамики та- ких сильно анизотропных ферромагнитных цепочек можно использовать дискретную модель Такено–Хом- ма и ее редукции [18–21]. Модель формулируется в терминах азимутальных углов спинов, предполагает ма- лый выход спинов из анизотропной легкой плоскости и полностью учитывает обменное взаимодействие между ними. В отсутствие магнитного поля уравнение Таке- но–Хомма в одинаковой степени может описывать ди- намику ферромагнитной и антиферромагнитной цепо- чек [4,5]. Учет магнитного поля ведет к существенным различиям в динамических, спектральных и резонанс- ных свойствах этих цепочек. В данной работе в рамках модели Такено–Хомма исследуется спектр внутренних (локализованных) колебаний спиновых кластеров в анизотропной ферромагнитной цепочке в постоянном магнитном поле, направленном вдоль легкой оси, оп- ределяются границы устойчивости нанокластеров в за- висимости от их размера, константы обмена и величины магнитного поля и находятся явный вид внутренних мод колебаний нанокластеров и локальные частоты таких колебаний. 2. Модель Такено–Хомма для ферромагнитной цепочки в магнитном поле Перечисленные выше квазиодномерные ферромаг- нетики и магнитные метаматериалы могут быть пред- ставлены как системы практически независимых ани- зотропных ферромагнитных цепочек. Каждая такая цепочка взаимодействующих спинов описывается гей- зенберговской моделью с двухосной одноионной ани- зотропией, гамильтониан которой с учетом магнитного поля, направленного вдоль легкой оси, имеет вид ( )2 2 1 1 ( ) ( ) 2 z x n n n n B x n n n J D S A S g H S+= − + − − µ∑ ∑ ∑S S . (1) Здесь nS — классический спин на узле с номером n, J — константа обменного взаимодействия, A и D — константы легкоосной и легкоплоскостной анизотро- пии соответственно, H — постоянное магнитное поле, g — гиромагнитное отношение и Bµ — магнетон Бора. Спиновая конфигурация, соответствующая кластеру, ог- раниченному изинговскими доменными границами, пред- ставлена на рис. 1. Размер кластера, т.е. число спинов, составляющих кластер, равно 2 1m l= + , причем индекс l является целым и полуцелым соответственно для кла- стеров с нечетным и четным числом спинов. Энергия кластера в магнитном поле, отсчитанная от основного состояния, зависит от его размера очевидным образом 2 0 0 04 2E JS g HS m= + µ . (2) Видно, что в отсутствие магнитного поля, когда 0H = , энергия кластера равна сумме энергий двух изингов- ских доменных границ. Для легкоосного ферромагне- тика, как частного случая модели (1) с параметром 0D = , решения, соответствующие 180° доменным гра- ницам изинговского типа, были исследованы в [2], и были получены спектры их локализованных колебаний. Было показано, что потеря устойчивости изинговской границей происходит при обменах, превышающих кри- тическое значение 0 3 / 4J A= . При 0J J= обращается в нуль частота локализованного колебания и такая внут- ренняя мода становится модой неустойчивости. Процесс преобразования коллинеарной изинговской границы вблизи границы устойчивости в дискретную неколли- неарную структуру и трансформация их спектров вну- тренних мод были изучены в [3]. В случае сильной легкоплоскостной анизотропии D A>> , когда допускается возможность только слабо- го выхода вектора nS из легкой плоскости, гамильто- ниан (1), следуя схеме, изложенной в [4] для случая 0H = , может быть приближенно сведен к гамильто- ниану модели Такено–Хомма [19]: ( ) 2 2 12 1 10 cos 2 N N n n n n n J DS − = = = φ − φ − φ −∑ ∑  ( ) ( )2 0 01 1 1 cos cos 2 N N n n n n g H A S= = µ − φ − φ∑ ∑ . (3) Такая модель описывается одной скалярной перемен- ной — азимутальным углом nφ , точка в выражении (2) означает дифференцирование по времени, 0S — вели- чина спина. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 1701 М.М. Богдан, В.И. Белан, О.В. Чаркина Динамика модели с гамильтонианом (3) описывает- ся уравнением Такено–Хомма: ( ) ( )( ) 2 1 12 sin sinn n n n n d dt − + φ + λ φ − φ − φ − φ + ( ) ( ) ( )cos sin sin 0n n nh+ φ φ + φ = . (4) Уравнение представлено в безразмерном виде с по- мощью введения безразмерных параметров обмена /J Aλ = и магнитного поля 0 0/( )h g H AS= µ , а также единицы измерения времени 0 0( )t S DA=  . Авторы модели (3) впервые предложили ее для опи- сания структуры и динамики ДНК [18,19]. Однако в дальнейшем основное ее применение связано с изучени- ем нелинейных эффектов в теории магнетизма. Урав- нение (4) полностью учитывает обменное взаимодей- ствие между спинами, что приводит к существованию в нем статических решений, отвечающих спиновым кластерам, ограниченным изинговскими границами. Для кластера, изображенного на рис. 1, распределение ази- мутального угла имеет вид 0 0nφ = , ;n l< − 0 nφ = π, ;l n l− ≤ ≤ 0 0, 2nφ = π, n l> . (5) Выбор для спинового кластера нулевого значения ази- мутального угла или равного 2π при n →∞ очевидно эквивалентен. Решение (5) для кластера сохраняется и в отсутствие внешнего магнитного поля, когда уравне- ние (4) сводится к следующему уравнению: ( ) ( )( ) 2 1 12 sin sinn n n n n d dt − + φ + λ φ − φ − φ − φ + ( ) ( )cos sin 0n n+ φ φ = . (6) В [20] это уравнение было названо π-решеточным урав- нением синус-Гордон (πРУСГ) благодаря наличию в нем π-солитонов, т.е. 180° доменных границ, что было продемонстрировано авторами численными и прибли- женными аналитическими методами для немалых зна- чений параметра обмена. В рамках уравнения (6) в [4] были исследованы устойчивость и спектр внутренних мод 180° доменных границ и односпинового кластера, а в [5] точно решены спектральная задача для локали- зованных колебаний спинового кластера произвольно- го размера и задача рассеяния спиновых волн на таком кластере. В частности, в [5] было показано, что после потери устойчивости кластер с нулевыми граничными условиями трансформируется в неколлинеарную соли- тон-антисолитонную структуру, а кластер с асимпто- тикой, стремящейся к 2π, — в 360° доменную границу. Частные случаи уравнения Такено–Хомма исследова- лись его авторами методами, разработанными для ана- лиза интегрируемых уравнений, с целью поиска точных солитонных решений [20]. Моделирование динамики модели (3) с помощью численного интегрирования урав- нения (4) позволило выявить в нем нелинейные возбуж- дения солитонного и бризероподобного типа для нема- лых значений обмена [21]. При сравнимых значениях констант обмена и анизотропии исследованию этого уравнения посвящена лишь численная работа [22], в которой изучена неколлинеарная 360° доменная граница и ее линейные моды колебаний для фиксированного значения 1λ = и нескольких значений параметра h. Устойчивость и спектр возбуждений спиновых класте- ров (5) в рамках уравнения (4) в работах [21,22] не об- суждались. В следующих разделах эти задачи решают- ся точно и выясняется определяющая роль магнитного поля во внутренней динамике спиновых кластеров. 3. Спектральная задача для колебаний спиновых кластеров в магнитном поле Задача о спектре малых колебаний спиновых кла- стеров и проблема их устойчивости решаются в рамках уравнения (4), линеаризованного вблизи решения (5). Используя стандартную процедуру линеаризации [5], т.е. полагая, что решение уравнения (4) отличается от кластерного решения на малую величину ( )n t∆φ = ( ) 0 1n nt= φ − φ << , и выделяя явную зависимость от вре- мени ( ) ( )expn nt i t∆φ = ψ ω , получаем систему алгебраи- ческих уравнений для амплитуд nψ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 1 1 1cos cosn n n n n n n n− − + +  λ ψ −ψ φ −φ − ψ −ψ φ −φ +   ( ) ( )0 0 2cos 2 cosn n n nh + φ + φ ψ = ω ψ   . (7) Система уравнений (7), дополненная граничными ус- ловиями, представляет собой спектральную задачу на собственные значения параметра квадрата частоты 2ε = ω . Положительные значения ε отвечают колеба- тельным модам, а отрицательные 2ε = −ν соответству- ют модам неустойчивости, приводящим к экспоненци- альному росту добавок ( ) exp ( )n nt t∆φ = ψ ν . Используя аналитический подход и интересуясь колебаниями, локализованными внутри кластера, будем предпола- гать в дальнейшем конечное произвольное в нем число спинов и бесконечный размер цепочки. Это исключает влияние выбора граничных условий на краях цепочки и адекватно моделирует ситуацию в квазиодномерных ферромагнетиках. Как будет показано ниже, спектр Рис. 1. Спиновый кластер, ограниченный изинговскими до- менными границами, в магнитном поле H . 1702 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров внутренних мод колебаний спиновых нанокластеров в замкнутых магнитных молекулах дается этими же ре- зультатами благодаря сильной локализации колебаний. После подстановки распределения углов (5) в урав- нение (7) его вид в разных областях цепочки будет сле- дующим: для спинов вне кластера и внутри кластера получим соответственно ( ) ( ) 2 1 12 1n n n n nh− +λ ψ −ψ −ψ + + ψ = ω ψ , 1n l> + , (8) ( ) ( ) 2 1 12 1n n n n nh− +λ ψ −ψ −ψ + − ψ = ω ψ , n l< , (9) а также два уравнения для граничных спинов на пра- вом краю кластера ( ) ( ) 2 1 1 1l l l lh+ −λ ψ −ψ + − ψ = ω ψ , (10) ( ) ( ) 2 2 1 11l l l lh+ + +λ ψ −ψ + + ψ = ω ψ (11) и аналогичные уравнения на левом краю кластера. Пол- ная система уравнений после деления их на λ и введе- ния обозначений /s h= λ , ( )21 /b h= + −ω λ (12) может быть записана как одно уравнение в форме, пригодной для использования метода локальных воз- мущений И.М. Лифшица [23]: 1 12 n n n nb− +ψ −ψ −ψ + ψ = ( ) , 1 , , 1 , 1 , , 1 2 (1 ) ( ... ) (1 ) n l n l n l n l n l n l n s s s − − − − + − + = δ + + δ + δ + + δ + + + δ + δ ψ − ( ) ( ), , 1 1 , 1 , 1n l n l n n l n l n− + − − − + − δ + δ ψ − δ + δ ψ  , (13) где индексы от l− до l отвечают номерам граничных спинов в кластере (рис. 1). Это уравнение следует рас- сматривать как спектральную задачу на собственные значения параметра b , которые, как видно, зависят только от размера кластера и параметра s — отноше- ния величины магнитного поля к константе обмена. Очевидно, что делокализованным колебаниям сплош- ного спектра соответствуют отрицательные b , т.е. 2 1 hω ≥ + , а локализованным колебаниям — положи- тельные b , т.е. 2 1 hω < + . Методом Лифшица спек- тральная задача о малых колебаниях спиновых класте- ров была точно решена в [5] в отсутствие магнитного поля. В этом случае закон дисперсии колебаний в об- ластях вне кластера и внутри кластера совпадает, па- раметр 0s = , и возмущение действительно носит ло- кальный характер, затрагивая только связи на краях кластера. Число локализованных мод для кластера лю- бого размера оказывается равным двум, и «смягчение» нижайшей по частоте моды ведет к неустойчивости кластера. В случае поля, отличного от нуля, и произ- вольного размера кластера возмущение сложно назвать локальным, число переменных в системе уравнений Лифшица равно 2m + , что предполагает такое же мак- симальное число внутренних мод с локальными часто- тами, и получение аналитических результатов при та- ком подходе является трудновыполнимой задачей. Однако выясняется, что спектральная задача для внутренних мод колебаний кластера в форме уравне- ний (8)–(11) может быть полностью решена, поскольку явный вид собственных функций можно найти точно. 4. Устойчивость спиновых кластеров в магнитном поле В присутствии магнитного поля область частот ло- кализованных состояний разделяется на два интервала: 2 1 hω < − и 21 1h h− ≤ ω < + . При слабых обменах фак- тически существуют две подсистемы спинов — спины кластера и спины матрицы, с разными неперекрываю- щимися диапазонами собственных частот колебаний. С ростом величины обмена следует ожидать перекрытия и взаимодействия их спектров. Анализ спектра внутренних мод начнем с области частот 2 1 hω < − . Выбор начала координат в центре кластера позволяет рассматривать отдельно четные и нечетные собственные функции уравнений (8)–(11), при этом достаточно выполнить их построение только на положительной полуоси. Решение уравнения (8), убывающее на бесконечности, — это просто экспонен- та, показатель которой очевидным образом связан с частотой колебаний: ( )1expn A nψ = −κ , (14) ( )2 11 2 ch 1hω = + − λ κ − . (15) Четное решение уравнения (9) в области спинов кла- стера и его параметр имеют вид ( )2chn B nψ = κ , (16) ( )2 21 2 ch 1hω = − − λ κ − . (17) Явный функциональный вид решения показывает, что данная мода описывает колебания, локализованные вблизи его границ, что становится очевидным с ростом размера кластера. Подставляя функции (14) и (16) в уравнения (10) и (11) для сшивки решений, получаем си- стему уравнений для коэффициентов ( )1exp ( 1)A A l= −κ + и ( )2chB B l= κ ( )2 2 1 0A Bω −ω + λ =  , (18) ( )2 2 2 0A Bλ + ω −ω =  , (19) где введены характерные квадраты частот, зависящие от параметров 1κ и 2κ : Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 1703 М.М. Богдан, В.И. Белан, О.В. Чаркина ( )2 1 11 exphω = + −λ −κ , ( )( ) ( ) 22 2 2 ch 1 1 ch l h l κ − ω = − −λ κ . (20) Подставляя в уравнения (18) и (19) вместо квадрата частоты 2ω соответственно выражения из формул (15) и (17), получаем, как условие разрешимости системы, связь между параметрами 1κ и 2κ : ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 ch 1 exp ( ) 2 2 1 ch l l  κ + κ − − =  κ  . (21) Из формул (15) и (17) следует также соотношение меж- ду этими параметрами 1 2ch ch sκ = κ + . (22) Исключая с помощью этого соотношения из уравнения (21) либо параметр 1κ , либо 2κ , получаем уравнение для нахождения 2κ и 1κ соответственно как функций параметра s и, используя формулы (15) и (17), найдем в конечном итоге наименьшую частоту локализован- ных колебаний для кластера произвольного размера. Рассмотрим теперь предельную ситуацию нанокла- стеров минимального размера. Для односпинового кластера вместо уравнений (9) и (10) получается одно уравнение: 2 0 1 1 0 0(2 ) (1 )h−−λ ψ −ψ −ψ + − ψ = ω ψ , (23) а также уравнение (11) в виде ( ) ( ) 2 0 2 1 11 hλ ψ −ψ + + ψ = ω ψ . (24) Внутреннее колебание, соответствующее четной моде, описывается решением, в котором (16) сводится к кон- станте 0 Bψ = , ( )1 1 expA−ψ = ψ = −κ , ( )2 exp 2Aψ = − κ , и связь 1κ ≡ κ с квадратом частоты дается формулой (15). После подстановки этого решения в систему (23) и (24), как условие ее совместности, получим уравнение для нахождения параметра κ : ( )( )( )exp 2 ch 2 1sκ − κ − − = . (25) Замечательно, что система уравнений (21) и (22) сводится к этому же уравнению, если в ней положить 0l = , что соответствует размеру кластера 1m = ! Это означает, что если для односпинового кластера ввести параметр 2κ , согласно формуле (22), то выражение для квадрата частоты через этот параметр совпадет с (17). В результате замены переменной ( )1exp 1x = κ > уравнение (25) сводится к кубическому уравнению, которое представим в виде, удобном для графического анализа: 1 1 1 2 2 2 s x x x  = + − −  −  . (26) Легко убедиться, что при всех s существуют три веще- ственных решения, которые могут быть записаны в явном, но очень громоздком виде. Зная результат, что в случае отсутствия поля [5] при 0s = имеется точный корень 1 (5 17) / 2x = + , отвечающий моде с минималь- ной частотой, можно по соответствующей зависимости корня ( )x s уравнения (26) построить квадрат частоты как функцию λ при фиксированном значении поля. Графический анализ (26) показывает, что для 1x x> функция ( )x s является монотонно растущей, быстро вы- ходящей на линейную зависимость при больших s, т.е. chh ≈ λ κ. В этом пределе зависимость (15) дает для квадрата частоты асимптотику 2 1 hω → − . Заметим, на- конец, что наиболее простой способ графического вос- произведения точной зависимости 2 min ( , )hω λ состоит в представлении отношения /h λ как функции пара- метра κ ( )( ) 1/ ch 2 2 exph − λ = κ − + − κ (27) и последующем использовании зависимости (27) со- вместно с формулой (15) для нахождения параметри- ческой зависимости квадрата частоты от λ при фикси- рованном h и наоборот. Чтобы получить аналитическое приближенное вы- ражение для корня уравнения (26), воспользуемся тем, что он не мал, и, переписав (26) в виде ( )2 22 3 7 4x s x s x − + + + = , (28) решим его методом последовательных приближений, используя в качестве нулевого приближения решение квадратного уравнения в левой части (28). Тогда для произвольного s получим аналитическое выражение, совпадающее с точным значением корня до десятой доли процента: ( ) ( ) ( ) 2 2 23 1 1 3 1 1 x s s s s s = + + + + + + + + + . (29) Подстановка (29) в формулу (15) дает очень хорошее аналитическое приближение для минимальной частоты ( )min ,hω λ колебаний односпинового кластера. Точная и аналитическая зависимости представлены на рис. 2 (линия 1) для 0,25h = , и они визуально неразличимы. Для двухспинового кластера условие совместности соответствующей системы уравнений для сшивки ре- шений, отвечающих четным модам, приводит к урав- нению ( )( )( )exp 2 2ch 2 3 1sκ − κ − − = . (30) Оно совпадает с уравнением, полученным из системы уравнений (21) и (22), если положить 1/ 2l = в (21). 1704 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров Оно также сводится к кубическому уравнению для па- раметра ( )1expx = κ : 1 1 1 3 2 2 s x x x  = + − − −  . (31) При 0s = известен [5] точный корень этого уравнения, который равен 2 2 2x = + . Как и в случае односпино- вого кластера, графический анализ (31) показывает, что для 2x x> функция ( )x s является монотонно рас- тущей, быстро выходящей на линейную зависимость при больших s, т.е. chh ≈ λ κ, а следовательно, 2 1 hω → − . Переписав уравнение (31) в виде ( ) ( )2 25 2 2 3 2x s x s x − + + + = , (32) можно получить очень хорошее аналитическое при- ближение для нужного корня ( )x s и использовать его для нахождения соответствующего явного выражения для ( )2 min ,hω λ , визуально неотличимого от точной зависимости (рис. 2, линия 2). В результате для двух- спинового кластера, как и для односпинового, и для всех отстальных, зависимости ( )2 minω λ на рис. 2 начи- наются с 1 h− и, как функции λ, монотонно убывают при всех значениях параметра h. Линии для кластеров размера 3m ≥ получены как параметрические зависи- мости, для построения которых при фиксированном h использовались формула (17) для ( )( )2 min 2 2,ω κ λ κ и зависимость (22) в виде ( ) ( )2 1 2 2ch ch h λ κ = κ κ − κ , (33) где функция ( )1 2κ κ находилась из уравнения (21). Как видно на рис. 2, с ростом размера спинового кластера минимальные частоты быстро стремятся к предельной зависимости, соответствующей частоте локализован- ного колебания уединенной изинговской границы в магнитном поле. При критических значениях λ все зависимости проходят через нуль, и этот тип локализо- ванного колебания, который описывает противофазные колебания изинговских границ, образующих кластер, трансформируется в моду неустойчивости. Таким образом, обращение в нуль частоты внутрен- ней моды соответствует порогу устойчивости кластера. Для этого случая из формул (15) и (17) легко получить выражения для λ и h через параметры 1κ и 2κ ( ) 1 1 2ch ch 2 −λ = κ + κ − , (34) ( ) ( )1 2 1 2ch ch ch ch 2h = κ − κ κ + κ − . (35) Выразив 1ch κ с помощью соотношения (21) через па- раметр 2κ и подставив его в формулы (34) и (35), по- лучим в параметрическом виде границы устойчивости кластеров на плоскости параметров h и λ. Диаграмма устойчивости для кластеров произвольного размера приведена на рис. 3. Заметим, что интервал значений, в котором следует брать параметр 2κ для каждой кривой на диаграмме, заключен между точками 2 iκ и 2 fκ . На- чальная точка 2 iκ — это решение уравнения (21) при 1 2κ = κ , что соответствует полю 0h = и набору крити- ческих значений −λ , найденных в [5] для кластеров в отсутствие поля. Конечная точка 2 fκ есть решение урав- нения ( )( ) ( )2 2ch 1 2chl lκ + = κ , которое зануляет вто- рую скобку в уравнении (21), поскольку в этом преде- ле 1κ →∞ и 0λ → , а 1h → . Из анализа диаграммы следует, что наименьшей об- ластью устойчивости обладает односпиновый кластер, а границы устойчивости нанокластеров с 5m > прак- тически уже выходят на предельную зависимость, вы- ше которой все кластеры с изинговскими границами неустойчивы. При фиксированном параметре λ с рос- том поля h нанокластеры минимального размера по- следовательно теряют устойчивость, в то время как кластеры с немалым числом спинов, обладающие Рис. 2. (Онлайн в цвете) Квадраты наименьших частот внут- ренних колебаний нанокластеров с числом спинов от 1 до 8 как функции параметра λ при значении параметра поля 0,25h = . Рис. 3. (Онлайн в цвете) Диаграмма устойчивости нанокла- стеров с числом спинов от 1 до 8. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 1705 М.М. Богдан, В.И. Белан, О.В. Чаркина большей энергией (2), остаются устойчивыми. Это об- стоятельство, очевидно, следует учитывать при по- строении термодинамики ферромагнитной цепочки со спиновыми кластерами в магнитном поле. Естественно также, что физический смысл имеет рассмотрение всех спектральных линий локализованных колебаний до тех пор, пока не потеряна устойчивость нанокластера. В частотном диапазоне 2 1 hω < − расположены и частоты нечетных мод локализованных колебаний, ко- торые описывают синфазные колебания изинговских границ, ограничивающих кластер. Решение для таких мод в области внутри кластера имеет вид ( )2shn B nψ = κ , и в этом случае посредством последовательности дей- ствий, выполненной для четных мод, несложно прийти к соотношению между параметрами 1κ и 2κ , аналогич- ному формуле (21): ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 sh 1 exp ( ) 2 2 1 sh l l  κ + κ − − =  κ  . (36) При этом все остальные соотношения между парамет- рами остаются прежними. Квадраты локальных частот нечетных мод данного типа полностью лежат ниже 1 h− для кластеров с тремя и более спинами. Легко убедиться, что с ростом l формулы (21) и (36) быстро стремятся к одному пределу, что означает, в конечном счете, практическое слияние частотных зависимостей нижайших четных и нечетных мод колебаний, проде- монстрированное в последующих рисунках данной ра- боты. Полученная в результате предельная частотная зависимость соответствует колебанию, локализованно- му на границе, разделяющей полубесконечные области с разными состояниями ферромагнетика в магнитном поле. Однако такое поведение частот не характерно для минимальных по размеру одно- и двухспинового кла- стеров, которые следует рассматривать скорее как уединенные локальные дефекты, а не как минимально отстоящие друг от друга доменные границы. Квадраты частот нечетной моды таких нанокластеров оказывают- ся ниже значения 1 h− , лишь начиная с конечных значе- ний параметра λ. Оказывается, что квадрат частоты не- четной моды односпинового кластера отщепляется от верхнего края щели, и при произвольных h и λ он равен 2 1 2 h λ ω = + − . (37) В данном локализованном колебании кластерный спин покоится, 0 0ψ = , 1 1−ψ = −ψ , и уравнение (23) обраща- ется в нуль тождественно. Уравнение (24) дает связь ( )2 11 exphω = + −λ −κ , и из сравнения с (15) следует, что ( )1exp 2κ = . Полученное значение согласуется и с уравнением (36), так как при 0l = является его точным решением. В результате из формулы для частоты (15) получается явная частотная зависимость (37) (прямая на рис. 4(а)). В двухспиновом кластере квадрат часто- ты нечетной моды колебания оказывается ниже 1 h− при значениях λ, лежащих в пределах устойчивости кластера только при достаточно малых полях (сравни с рис. 4(б) для немалых полей, где эта область оказыва- ется вне пределов рисунка). Остальные моды локали- зованных колебаний кластеров имеют квадраты частот, лежащие выше 1 h− , и особенности их поведения об- суждаются в следующем разделе. 5. Локализованные колебания в частотной щели, индуцированной магнитным полем В магнитном поле снимается вырождение основно- го состояния ферромагнетика, и при наличии в нем кластера произвольного размера возникает область частот 21 1h h− ≤ ω < + , в которой разрешены колеба- ния внутри кластера, но невозможно их распростране- ние за его пределами. При этом существует локальная связь между колебаниями двух подсистем — спинами кластера и спинами матрицы. Взаимовлияние таких спектров с ростом константы связи, возможность их Рис. 4. (Онлайн в цвете) Зависимости квадратов частот внут- ренних мод от параметра обмена λ : две верхние по частотам моды для односпинового нанокластера при 0,025h = (а); все локализованные моды для двухспинового нанокластера при 0,5h = (б). 1706 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров пересечения и гибридизации — известная проблема в теории колебаний кристаллических решеток [23]. В рамках исследуемой модели эта проблема может быть решена точно. Наличие щели приводит к сущест- вованию внутренних колебаний кластера нового типа, не сводящихся к колебаниям, локализованным вблизи границ кластера. Описание таких внутренних мод про- водится по методике, подробно изложенной в преды- дущем разделе, поэтому приведем лишь основные фор- мулы. Решение вне кластера по-прежнему дается формула- ми (14) и (15), где можно опустить индекс у параметра 1κ ≡ κ , а внутри кластера четным и нечетным модам его колебаний отвечают тригонометрические функции и соответствующий им закон дисперсии: ( )cosn B knψ = и ( )sinn B knψ = , (38) ( )2 1 2 1 cosh kω = − + λ − . (39) В результате сшивки решений и анализа соответст- вующей системы алгебраических уравнений находятся связи между параметрами κ и k : ( ) ( )( ) ( ) cos 1 exp ( ) 2 2 1 cos k l kl  + κ − − =     , (40) ( ) ( )( ) ( ) sin 1 exp ( ) 2 2 1 sin k l kl  + κ − − =     , (41) и, наконец, из (15) и (39) следует ch cos k sκ = + . (42) Найдя с помощью соотношения (42) выражение для exp ( )κ как функции k , используем его в (40) и (41) для получения уравнений, определяющих спектр разре- шенных значений k . Графический анализ этих уравне- ний, домноженных соответственно на ( )cos kl и ( )sin kl , и поиск их возможных корней оказывается достаточно простым в силу периодичности входящих в них функ- ций. Оказывается, что максимальное число корней равно числу спинов в кластере, и, естественно, число соответствующих им внутренних мод растет с увели- чением размера кластера. Подстановка найденных кор- ней в выражение для квадрата частоты (39) дает спектр частот локализованных колебаний. Для построения гра- фиков квадратов частот ( )2 ,hω λ как функций λ при фиксированном h и наоборот, как и раньше, проще всего использовать их параметрическую зависимость через параметр k . Замечательно, что уравнения (40)–(42) могут быть приближенно решены аналитически в случае немалых кластеров. Переписав их для четных и нечетных мод в виде ( )ctg kl k= −ρ , ( )tg kl k= ρ , (43) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 2 cos 1 k k k g k ρ = − + , (44) ( ) ( )( ) ( )2exp 2 1 2g k k s k s k= κ − = + + + − − , (45) решим их методом последовательных приближений. В результате для корней этих уравнений получим сле- дующие выражения: ( )1arctgp pk k k l = + ρ , (46) где параметр pk для четных и нечетных мод соответст- венно равен 1 2 p p lk p l π  −   =  π  , 1,.., 1p l= − . (47) Подставляя найденные корни в формулу для квадрата частоты (39), получаем спектр внутренних мод, кото- рый с точностью до десятых долей процента совпадает с точными значениями частот для немалых кластеров. В результате выясняется, что внутренним модам, описываемым решениями (38) и (39), соответствуют частотные зависимости, которые, как функции пара- метра обмена λ, начинаются со значения 1 h− и на на- чальном этапе являются монотонно растущими функ- циями, как это видно на рис. 5 и 6 для кластеров с 4 и 7 спинами. При малых значениях λ, когда связь между спинами кластера и матрицы слабая, внутренние моды кластера большого размера как бы формируют сплош- ной спектр его колебаний, так же, как выше частоты 1 h+ формируется истинный сплошной спектр. При немалых значениях λ зависимости с наибольшими час- тотами последовательно уходят в сплошной спектр и колебания делокализуются, т.е. не затухают за преде- лами кластера. Заметим, что на рис. 6 параметр маг- нитного поля выбран малым, для того, чтобы сделать относительно большой по параметру λ область устой- чивости кластера из 7 спинов. Выясняется, что до по- тери устойчивости в сплошной спектр уходят 6 из 7 его внутренних мод, частоты которых лежат выше 1 h− . Оказывается, что для всех приведенных на рис. 4–6 случаев внутренние моды перед вхождением в сплош- ной спектр действительно описываются выражения- ми (38) и (39). Однако можно убедиться, что этим не исчерпыва- ются все возможные типы внутренних колебаний кла- стеров. Рассмотрим колебания односпинового нано- кластера при 2 1 hω > − . Оказывается, что уравнение (26) для четной моды односпинового кластера имеет ко- Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 1707 М.М. Богдан, В.И. Белан, О.В. Чаркина рень ( )x s , меняющийся с ростом s от 1 до 2, в резуль- тате чего при 0κ → квадрат частоты стремится к 2 1 hω = + и к 2 1 / 2hω = + −λ при ln 2κ → соответ- ственно. Построенная точная имеющая минимум не- монотонная зависимость частоты такой моды от λ представлена на рис. 4(а), и она действительно имеет указанные асимптотики, причем при малых λ квадрат частоты нечетной моды является для нее касательной. Этими зависимостями и линией 1 на рис. 2 исчерпыва- ется спектр внутренних мод односпинового кластера. Для четных мод двухспинового кластера (31) также имеется аналогичный корень ( )x s , меняющийся в пре- делах от 1 до 2, который приводит к частотной зависи- мости от λ, отщепляющейся от края сплошного спек- тра и представленной на рис. 4(б), кривая 3. Для нечетных мод двухспинового кластера уравне- ние для параметра κ имеет вид ( )( )exp ( ) 2 2ch 2 1 1sκ − κ − − = (48) и переписанное в терминах exp ( )x = κ , как кубическое уравнение, выглядит так 1 1 1 1 2 2 s x x x  = + − − −  . (49) Его графический анализ обнаруживает одно решение, стартующее с найденного в [5] точного корня при 0s = ( 3 2,52x ≈ ) и далее монотонно растущего с ростом s. Ему отвечает частотная зависимость 2 на рис. 4(б), ко- торая начинается с 1 h− , достигает максимума и далее убывает, как обсуждалось в предыдущем параграфе. Второе решение по-прежнему существует в пределах от 1 до 2, однако возникает оно, лишь начиная со зна- чения параметра 1s = . Для зависимости квадрата час- тоты от λ это означает, что, отщепившись от сплошно- го спектра при малых λ, она достигает минимума, а затем входит в сплошной спектр при hλ = . Именно такое поведение демонстрирует кривая 4 на рис. 4(б). Очевидно, что такие частотные зависимости, как кри- вые 3 и 4, не описываются формулой (39) при малых значениях параметра обмена и немалых h. Согласно (39), в этом случае частоты должны были бы находиться существенно ниже края сплошного спектра. Вместе с тем такие моды существуют для кластеров любого размера (см. рис. 4–6). Рис. 5. (Онлайн в цвете) Зависимости квадратов частот от па- раметра обмена λ для внутренних мод 4-спинового кластера в бесконечной цепочке при 0,5h = (а). Полный спектр возбуж- дений замкнутой цепочки из 24 спинов с 4-спиновым класте- ром при 0,5h = (б). Частотные зависимости внутренних мод от поля h 4-спинового кластера при 0,5λ = (в). Рис. 6. (Онлайн в цвете) Зависимости квадратов частот от параметра λ внутренних мод нанокластера из 7 спинов при 0,025h = . 1708 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров Покажем, что этим состояниям отвечают собствен- ные функции, которые в области внутри кластера n l≤ имеют следующую структуру: для кластера с нечетным числом спинов амплитуды равны ( ) ( )21 chn n B nψ = − κ , ( ) ( )21 shn n B nψ = − κ (50) соответственно для четных и нечетных внутренних мод колебаний, где n — целое, и для кластера с чет- ным числом спинов амплитуды равны ( ) ( )1/2 21 shn n B n+ψ = − κ , ( ) ( )1/2 21 chn n B n+ψ = − κ (51) соответственно для четных и нечетных внутренних мод колебаний, где n — полуцелое. При таком выборе амплитуды соседних спинов всегда имеют противопо- ложные знаки, и уравнение внутри кластера дает нуж- ное соотношение между 2ω и 2κ : ( )2 21 2 ch 1hω = − + λ κ + . (52) Вне кластера решение дается формулами (14) и (15). В результате из (15) и (52) следует связь между парамет- рами 1κ и 2κ 2 1ch ch sκ + κ = , (53) из которой видно, что указанный тип решения сущест- вует только при h > λ . Уравнения, аналогичные (21) и (36), теперь выглядят так ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 ch 1 2 exp 2 1 ch l l  κ + − κ + =  κ  , (54) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 sh 1 2 exp 2 1 sh l l  κ + − κ + =  κ  . (55) При этом уравнения (54) и (55), как и ранее, служат для определения параметров соответственно четной моды и нечетной моды колебаний кластера с нечетным числом спинов, и наоборот, для кластера с четным числом спинов уравнение (54) отвечает нечетной моде, а уравнение (55) — четной моде. В частности, в случае 0l = уравнение (54) с учетом связи (53) сводится к уравнению (25) для четных мод односпинового класте- ра, а уравнение (15) дает точное решение для частоты его нечетной моды колебаний. При 1/ 2l = уравне- ние (55) с учетом связи (53) переходит в уравнение (30) для четных мод двухспинового кластера, а урав- нение (54) — в уравнение (48) для нечетных мод. Та- ким образом, наивысшие по частоте внутренние моды колебаний кластеров отвечают полностью противо- фазным колебаниям составляющих их спинов, которые локализованы вблизи доменных границ. Они присут- ствуют в спектрах кластеров любого размера, как вид- но на рис. 4–6. Они возникают парами, их частоты при малых обменах λ отщепляются от границы сплошного спектра, практически сливаясь в одну зависимость, затем расходятся и одна за другой возвращаются в сплошной спектр. Однако верхние по частотам моды, которым отвечают, например, приведенные на рис. 5(а) кривые 5 и 6 и кривые 8 и 9 на рис. 6, практически сра- зу после момента их резкого расхождения описывают- ся не формулами (50) и (51), а решениями (38) и (39). Момент перехода от одной функциональной зависимо- сти к другой зависит и от отношения параметров h и λ, и от размера кластера, и от четности моды. Эта транс- формация функционального вида внутренних мод озна- чает переход от локализации колебаний вблизи домен- ных границ к их распространению по всему спиновому кластеру с дальнейшей тенденцией к делокализации и уходу в сплошной спектр. 6. Заключение Описав способы нахождения и характерные особен- ности каждого типа локализованных колебаний, остано- вимся на общих свойствах спектров внутренних мод спиновых кластеров. Как следует из анализа и видно на представленных рисунках, максимальное число вну- тренних мод кластера с числом спинов m равно 2m + и наблюдается оно при малых λ и фиксированном зна- чении поля h. Кластеры с большим числом спинов об- ладают внутренними модами, которые состоят из трех групп локализованных колебаний: две моды, убываю- щие по параметру λ от значения 1 h− , одна из кото- рых становится модой неустойчивости, две моды про- тивофазных колебаний, которые отщепляются от края сплошного спектра 1 h+ , и остальные моды, начина- ющиеся с 1 h− и растущие с параметром λ. Моды первой и третьей групп соответствуют колебаниям, локализованным у доменных границ. С ростом вели- чины обмена между спинами меняется характер лока- лизации — противофазные высокочастотные колеба- ния распространяются по всему кластеру, однако не выходят за его пределы. В дальнейшем при сближении мод второй и третьей групп становится существенным их взаимное влияние и происходит гибридизация коле- баний, снимающая возможность их вырождения — пе- ресечения спектров локализованных колебаний. В ре- зультате меняется их функциональный вид, и колебания с наибольшими частотами уходят в сплошной спектр и делокализуются, выходя за границы кластера. Чтобы выяснить детали этого перехода, был численно исследо- ван спектр замкнутой цепочки из 24 спинов с кластером из 4 частиц. Спектр системы представлен на рис. 5(б). Для внутренних мод он полностью совпадает со спек- тром для бесконечной цепочки, представленным на рис. 5(а). Это объясняется сильной локализацией коле- баний и свидетельствует о применимости полученных в работе результатов к анализу спектров замкнутых маг- нитных молекул со спиновыми кластерами. С другой Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 1709 М.М. Богдан, В.И. Белан, О.В. Чаркина стороны, на рис. 5(б) видно, как происходит вхождение мод в сплошной спектр, их гибридизация и пересечение спектров. Действительно, в результате наличия теперь точек вырождения в сплошном спектре наблюдаются интервалы нарушения по параметру λ последователь- ности четных и нечетных мод делокализованных коле- баний. Для конкретного магнетика с определенными значениями обмена и анизотропии важной является за- висимость спектров от магнитного поля. Такая зависи- мость для внутренних мод представлена на рис. 5(в). Видно, что с ростом магнитного поля происходит би- фуркационное рождение новых внутренних мод, их выход из сплошного спектра и последующая локализа- ция колебаний. Нанокластеры с одним и двумя спина- ми выделяются по свойствам, поскольку представляют собой не просто предельные случаи сближения изин- говских границ, составляющих кластер, а фактически изолированные дефекты обмена и собственных частот в спиновой матрице, с которыми связано появление ло- кализованных на них колебаний. Полученные резуль- таты могут быть использованы для объяснения пиков локальных частот, лежащих ниже частоты однородного резонанса в квазиодномерных ферромагнетиках с дис- кретными доменными границами, образующими спи- новые кластеры, и эффектов локализации возбуждений в магнитных метаматериалах. Наконец отметим, что вне области устойчивости спиновых кластеров воз- можны два сценария развития их неустойчивости, ко- торые исследованы нами с помощью численного моде- лирования уравнения Такено–Хомма. Результаты пред- ставлены на рис. 7 в логарифмическом масштабе на плоскости параметров обмена и магнитного поля. Об- ласть I соответствует диаграмме устойчивости, приве- денной на рис. 3. В области II спиновые кластеры пол- ностью разрушаются и распадаются на дискретные бризеры и спиновые волны. В области III они транс- формируются в дискретные неколлинеарные солитон- антисолитонные структуры и 360° доменные границы, результатам исследования которых будет посвящена отдельная работа. Работа поддержана ФФИ НАН Украины (грант № 1.4.10.26.4/Ф26-4) и НАН Украины (грант № 4/18–H) и выполнена с использованием вычислительных ресур- сов грид-кластера ФТИНТ им. Б.И. Веркина НАН Ук- раины. ________ 1. M. Date and M. Motokawa, Phys. Rev. Lett. 16, 1111 (1966). 2. А.Н. Гончарук, А.А. Степанов, Д.А. Яблонский, ФТТ 31, 132 (1989) [Sov. Phys. Solid State 31, 2099 (1989)]. 3. М.В. Гвоздикова, А.С. Ковалев, Ю.С. Кившарь, ФНТ 24, 635 (1998) [Low Temp. Phys. 24, 479 (1998)]. 4. М.В. Гвоздикова, А.С. Ковалев, ФНТ 25, 1295 (1999) [Low Temp. Phys. 25, 972 (1999)]. 5. О.В. Чаркина, М.М. Богдан, ФНТ 44, 824 (2018) [Low Temp. Phys. 44, 644 (2018)]. 6. T. Egami, Phys. Stat. Solidi B 57, 211 (1973). 7. E.M. Chudnovski, O. Iglesias, and P.C.E. Stamp, Phys. Rev. B 46, 5392 (1992). 8. Kimin Hong and N. Giordano, J. Phys.C 8, L301 (1996). 9. I.V. Krive and O.B. Zaslavskii, J. Phys.C 2, 9457 (1990). 10. D. Gatteschi, R. Sessoli, and J. Villain, Molecular Nanomag- nets, Oxford University Press, New York (2006). 11. V.V. Kostyuchenko, I.M. Markevtsev, A.V. Philippov, V.V. Platonov, V.D. Selemir, O.M.Tatsenko, A.K. Zvezdin, and A. Caneschi, Phys. Rev. B 67, 184412 (2003). 12. J. Tejada, E.M. Chudnovsky, E. del Barco, J.M. Hernandez, and T.P. Spiller, Nanotechnology 12, 181 (2001). 13. A. Müller, M. Luban, C. Schröder, R. Modler, P. Kögerler, M. Axenovich, J. Schnack, P. Canfield, S. Bud’ko, and N. Harrison, Chem. Phys. Chem. 2, 517 (2001). 14. E. M. Chudnovsky and J. Tejada, Macroscopic Quantum Tunneling of the Magnetic Moment, Cambridge University Press, Cambridge (1998). 15. С. Dupas and J.P. Renard, J. Phys. C 10, 5057 (1977). 16. А.Г. Андерс, С.В. Волоцкий, В.Г. Борисенко, Ю.В. Переверзев, ФНТ 15, 39 (1989) [Sov. J. Low Temp. Phys. 15, 21 (1989)]. 17. R.S. Rubins, T.D. Black, A.Sohn, and J.E. Drumheller, Phys. Rev. B 49, 15366 (1994). 18. S. Takeno and S. Homma, Prog. Theor. Phys. 70, 308 (1983). 19. S. Homma and S.Takeno, Prog. Theor. Phys. 72, 679 (1984). 20. S. Takeno and S. Homma, J. Phys. Soc. Jpn. 55, 2547 (1986). 21. S. Homma and S.Takeno, Prog. Theor. Phys. 74, 618 (1985). 22. В.В. Белошапкин, Г.П. Берман, А.Г. Третьяков, Е.В. Штуккерт, ЖЭТФ 100, 1238 (1991) [Sov. Phys. JETP 73, 683 (1991)]. 23. A.M. Kossevich, The Crystal Lattice (Phonons, Solitons, Dislocations), WILEY-VCH Verlag Berlin GmBH, Berlin (1999). ___________________________ Рис. 7. Границы устойчивости неоднородных спиновых структур на плоскости безразмерных параметров обмена λ и магнитного поля h : в области I существуют устойчивые спиновые кластеры, в области II — не существуют устойчи- вые статические спиновые структуры, в области III сущест- вуют неколлинеарные доменные границы. 1710 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.16.1111 https://doi.org/10.1063/1.593627 https://doi.org/10.1063/1.593850 https://doi.org/10.1063/1.5041429 https://doi.org/10.1063/1.5041429 https://doi.org/10.1002/pssb.2220570121 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.46.5392 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.46.5392 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.67.184412 https://doi.org/10.1088/0957-4484/12/2/323 https://doi.org/10.1002/1439-7641(20010917)2:8/9%3c517::AID-CPHC517%3e3.0.CO;2-1 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.49.15366 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.49.15366 https://doi.org/10.1143/PTP.70.308 https://doi.org/10.1143/PTP.72.679 https://doi.org/10.1143/JPSJ.55.2547 https://doi.org/10.1143/PTP.74.618 Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров Вплив магнітного поля на стійкість та спектр збуджень спінових нанокластерів в анізотропних феромагнітних ланцюжках М.М. Богдан, В.І. Бєлан, О.В. Чаркіна Точно вирішено спектральну задачу для внутрішніх мод коливань спінового нанокластера у анізотропному феромаг- нітному ланцюжку, який знаходиться у магнітному полі, в рамках дискретної моделі Такено–Хомма. Побудовано діаг- раму стійкості на площині параметрів обміну та магнітного поля для спінових кластерів довільного розміру. Знайдено явні вирази для внутрішніх мод коливань нанокластерів та розраховано їхні частотні залежності від параметрів обміну та магнітного поля. Ключові слова: феромагнітний ланцюжок, спіновий кластер, магнітне поле, стійкість, внутрішні моди, рівняння Такено– Хомма. Effect of magnetic field on stability and excitation spectrum of spin nanoclusters in anisotropic ferromagnetic chains М.М. Bogdan, V.I. Belan, and О.V. Charkina The spectral problem of the internal mode oscillations of a spin nanocluster in an anisotropic ferromagnetic chain placed in a magnetic field has been solved exactly within the framework of the discrete Takeno–Homma model. A stability diagram on the plane of parameters of the exchange and the magnetic field is constructed for spin clusters of arbitrary sizes. Explicit expres- sions for the internal mode oscillations of nanoclusters are found and the frequency dependences on parameters of the exchange and the magnetic field are calculated. Keywords: ferromagnetic chain, spin cluster, magnetic field, stability, internal modes, Takeno–Homma equation. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 12 1711 1. Введение 2. Модель Такено–Хомма для ферромагнитной цепочки в магнитном поле 3. Спектральная задача для колебаний спиновых кластеров в магнитном поле 4. Устойчивость спиновых кластеров в магнитном поле 5. Локализованные колебания в частотной щели, индуцированной магнитным полем 6. Заключение

Влияние магнитного поля на устойчивость и спектр возбуждений спиновых нанокластеров в анизотропных ферромагнитных цепочках

Репозитарії

Схожі ресурси