Электронные свойства графена с точечными дефектами

Предпринята попытка последовательного рассмотрения электронного спектра графена, содержащего дефекты (адсорбированные атомы, атомы замещения, вакансии), которые могут быть адекватно описаны в рамках модели Лифшица. В этой связи для случая двумерных релятивистских электронов выбирается известный д...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Скрипник, Ю.В., Локтев, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Обзор
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176470
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Электронные свойства графена с точечными дефектами / Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 11. — С. 1417-1455. — Бібліогр.: 108 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176470
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1764702025-02-23T18:11:19Z Электронные свойства графена с точечными дефектами Електронні властивості графена з точковими дефектами Electronic properties of graphene with point defects Скрипник, Ю.В. Локтев, В.М. Обзор Предпринята попытка последовательного рассмотрения электронного спектра графена, содержащего дефекты (адсорбированные атомы, атомы замещения, вакансии), которые могут быть адекватно описаны в рамках модели Лифшица. В этой связи для случая двумерных релятивистских электронов выбирается известный для данной модели гамильтониан и приводятся критерии появления вблизи точки Дирака примесного резонанса. Излагается теория концентрационной трансформации зонной структуры графена, из которой следует, что по достижении строго определенного значения концентрации примеси в окрестности энергии примесного резонанса открывается транспортная щель. Попутно анализируется вопрос о возможности (либо невозможности) локализации в такой пространственно неупорядоченной системе дираковских квазичастиц. На этой основе удается дать объяснение и провести описание недавно наблюдавшегося в примесном графене явления — перехода металл–диэлектрик, который оказывается прямым следствием попадания энергии Ферми системы в область транспортной щели. Вводится и обосновывается концепция перестройки локального спектра графена, которая также может осуществляться по мере роста в нем концентрации дефектов. Формулируются физические причины, по которым положение минимума низкотемпературной проводимости графена как функции энергии Ферми электронов соответствует именно энергии примесного резонанса, а не точке Дирака, как это утверждалось в ряде теоретических и экспериментальных исследований. При этом само минимальное значение, как оказывается, универсальной величиной не является, а зависит от концентрации дефектов. Аналитическое рассмотрение примесных эффектов сопровождается численным моделированием рассматриваемой системы, в результате которого установлено полное соответствие между этими двумя подходами. В частности, подтверждаются общая картина перестройки спектра, локализация электронных состояний, а также эффекты, имеющие локальную природу. Зроблена спроба послідовного розгляду електронного спектру графена, що містить точкові дефекти (атоми заміщення, адсорбовані атоми, вакансії), які можуть бути послідовно описані в рамках моделі Ліфшиця. Через це для випадку двовимірних релятивістських електронів вибирається відомий для даної моделі ґамільтоніан і наводяться критерії появи поблизу точки Дірака домішкового резонансу. Далі викладається теорія концентраційної трансформації електронної структури графена, з чого випливає, що при досягненні строго визначеного значення концентрації домішки поблизу енергії домішкового резонансу відкривається транспортна щілина. Одночасно аналізується питання щодо можливості (або неможливості) локалізації у такій просторово неоднорідній системі дираківських квазічастинок. На цій основі вдається дати пояснення і провести опис явища, яке нещодавно спостерігалося у домішковому графені, — переходу метал–діелектрик, що виявляється прямим наслідком попадання енергії Фермі системи до області транспортної щілини. Вводится і обгрунтовується концепція перебудови локального спектру графена, яка також може відбуватися у відповідності до зростання у ньому концентрації домішки. Формулюються фізичні причини, за якими положення мінімуму низькотемпературної провідності графена як функції енергії Фермі електронів відповідає саме енергії домішкового резонансу, а не точці Дірака, як це стверджувалося у ряді теоретичних та експериментальних досліджень. При цьому експериментальне значення, як виявляється, не є універсальною величиною і залежить від концентрації дефектів. Аналітичний розгляд домішкових ефектів супроводжується чисельним моделюванням системи, що розглядається, в результаті чого встановлена повна відповідність між цими двома підходами. Зокрема, знаходять підтвердження загальна картина перебудови спектру, локалізація електронних станів, а також ефекти, що мають локальну природу. An attempt has been made to study consecutively the electronic spectrum of graphene, containing defects (such as adsorbed atoms, substitutional atoms, vacancies), which can be adequately described by the Lifshitz model. For this purpose, the known Hamiltonian of the given model is chosen in the case of twodimensional relativistic electrons, and criteria for the appearance of an impurity resonance near the Dirac point are provided. Then, the theory of the concentration band structure transformation in graphene is presented, from which it follows that when a specific value of the impurity concentration is reached, a transport gap develops in the vicinity of the impurity resonance energy. In passing, the question on the possibility (or impossibility) to localize Dirac quasiparticles in such a spatially disordered system is analyzed. On this ground, it becomes possible to explain and describe the recently observed phenomenon in the impure graphene — the metal-insulator transition, which turns out to be a direct consequence of the Fermi level’s entering inside the transport gap domain. The concept of local spectrum rearrangement, which can also unfold with increasing the concentration of defects, is introduced and justified for graphene. We formulate the physical reasons why the minimum position in the low-temperature conductivity dependence on the Fermi energy of electrons in graphene does correspond to the impurity resonance energy, but not to the Dirac point, as it was claimed in a number of theoretical and experimental studies. At that, the mentioned minimum value, as it became apparent, is not a universal value, but depends on the concentration of defects. Analytical approach to impurity effects is accompanied by numerical modeling of the system under consideration, by which means a complete correspondence between these two approaches is established. In particular, the general scenario of the spectrum rearrangement, the localization of electronic states, as well as effects that are of a local nature, are confirmed. Мы хотели бы также поблагодарить А.А. Варламова, В.П. Гусынина, В.А. Кочелапа, Л.А. Пастура, Ю.Г. Погорелова, Е.С. Сыркина, С.Б. Феодосьева, С.Г. Шарапова — наших коллег и соавторов — за многочисленные дискуссии, во многом прояснявшие понимание нами вопросов, поднятых и освещенных в обзоре, который написан при поддержке грантов № 0117U000236 и № 0117U000240 Отделения физики и астрономии Национальной академии наук Украины. 2018 Article Электронные свойства графена с точечными дефектами / Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 11. — С. 1417-1455. — Бібліогр.: 108 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176470 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Обзор Обзор
spellingShingle	Обзор Обзор Скрипник, Ю.В. Локтев, В.М. Электронные свойства графена с точечными дефектами Физика низких температур
description	Предпринята попытка последовательного рассмотрения электронного спектра графена, содержащего дефекты (адсорбированные атомы, атомы замещения, вакансии), которые могут быть адекватно описаны в рамках модели Лифшица. В этой связи для случая двумерных релятивистских электронов выбирается известный для данной модели гамильтониан и приводятся критерии появления вблизи точки Дирака примесного резонанса. Излагается теория концентрационной трансформации зонной структуры графена, из которой следует, что по достижении строго определенного значения концентрации примеси в окрестности энергии примесного резонанса открывается транспортная щель. Попутно анализируется вопрос о возможности (либо невозможности) локализации в такой пространственно неупорядоченной системе дираковских квазичастиц. На этой основе удается дать объяснение и провести описание недавно наблюдавшегося в примесном графене явления — перехода металл–диэлектрик, который оказывается прямым следствием попадания энергии Ферми системы в область транспортной щели. Вводится и обосновывается концепция перестройки локального спектра графена, которая также может осуществляться по мере роста в нем концентрации дефектов. Формулируются физические причины, по которым положение минимума низкотемпературной проводимости графена как функции энергии Ферми электронов соответствует именно энергии примесного резонанса, а не точке Дирака, как это утверждалось в ряде теоретических и экспериментальных исследований. При этом само минимальное значение, как оказывается, универсальной величиной не является, а зависит от концентрации дефектов. Аналитическое рассмотрение примесных эффектов сопровождается численным моделированием рассматриваемой системы, в результате которого установлено полное соответствие между этими двумя подходами. В частности, подтверждаются общая картина перестройки спектра, локализация электронных состояний, а также эффекты, имеющие локальную природу.
format	Article
author	Скрипник, Ю.В. Локтев, В.М.
author_facet	Скрипник, Ю.В. Локтев, В.М.
author_sort	Скрипник, Ю.В.
title	Электронные свойства графена с точечными дефектами
title_short	Электронные свойства графена с точечными дефектами
title_full	Электронные свойства графена с точечными дефектами
title_fullStr	Электронные свойства графена с точечными дефектами
title_full_unstemmed	Электронные свойства графена с точечными дефектами
title_sort	электронные свойства графена с точечными дефектами
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Обзор
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176470
citation_txt	Электронные свойства графена с точечными дефектами / Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 11. — С. 1417-1455. — Бібліогр.: 108 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT skripnikûv élektronnyesvojstvagrafenastočečnymidefektami AT loktevvm élektronnyesvojstvagrafenastočečnymidefektami AT skripnikûv elektronnívlastivostígrafenaztočkovimidefektami AT loktevvm elektronnívlastivostígrafenaztočkovimidefektami AT skripnikûv electronicpropertiesofgraphenewithpointdefects AT loktevvm electronicpropertiesofgraphenewithpointdefects
first_indexed	2025-11-24T06:46:16Z
last_indexed	2025-11-24T06:46:16Z
_version_	1849653226819813376
fulltext	Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11, c. 1417–1455 Электронные свойства графена с точечными дефектами (Обзор) Ю.В. Скрипник1, В.М. Локтев1,2 1Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины ул. Метрологическая, 14-б, г. Киев, 03143, Украина 2Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт им. Игоря Сикорского», пр. Победы, 37, г. Киев, 03056, Украина E-mail: vloktev@bitp.kiev.ua Статья поступила в редакцию 9 июля 2018 г., опубликована онлайн 26 сентября 2018 г. Предпринята попытка последовательного рассмотрения электронного спектра графена, содержащего дефекты (адсорбированные атомы, атомы замещения, вакансии), которые могут быть адекватно описаны в рамках модели Лифшица. В этой связи для случая двумерных релятивистских электронов выбирается известный для данной модели гамильтониан и приводятся критерии появления вблизи точки Дирака примесного резонанса. Излагается теория концентрационной трансформации зонной структуры графена, из которой следует, что по достижении строго определенного значения концентрации примеси в окрест- ности энергии примесного резонанса открывается транспортная щель. Попутно анализируется вопрос о возможности (либо невозможности) локализации в такой пространственно неупорядоченной системе ди- раковских квазичастиц. На этой основе удается дать объяснение и провести описание недавно наблю- давшегося в примесном графене явления — перехода металл–диэлектрик, который оказывается прямым следствием попадания энергии Ферми системы в область транспортной щели. Вводится и обосновывает- ся концепция перестройки локального спектра графена, которая также может осуществляться по мере роста в нем концентрации дефектов. Формулируются физические причины, по которым положение ми- нимума низкотемпературной проводимости графена как функции энергии Ферми электронов соответст- вует именно энергии примесного резонанса, а не точке Дирака, как это утверждалось в ряде теоретиче- ских и экспериментальных исследований. При этом само минимальное значение, как оказывается, универсальной величиной не является, а зависит от концентрации дефектов. Аналитическое рассмотре- ние примесных эффектов сопровождается численным моделированием рассматриваемой системы, в ре- зультате которого установлено полное соответствие между этими двумя подходами. В частности, под- тверждаются общая картина перестройки спектра, локализация электронных состояний, а также эффекты, имеющие локальную природу. Ключевые слова: примесь, резонансное состояние, перестройка спектра, переход Андерсона, порог под- вижности, локализация, графен. Содержание 1. Введение .....................................................................................................................................1418 2. Трансформация электронного спектра графена при повышении концентрации примеси ..1420 2.1. Функция Грина для электронной подсистемы при отсутствии возмущения ................1420 2.2. Изолированная примесь замещения .................................................................................1422 2.3. Критическая концентрация примеси в неупорядоченных системах различной размерности ........................................................................................................................1424 2.4. Общая картина перестройки электронного спектра графена .........................................1424 2.5. Особенности поведения спектра вблизи нодальных точек.............................................1426 3. Критическое поведение локальной плотности состояний ......................................................1428 3.1. Перестройка локального спектра в области примесного резонанса ..............................1429 3.2. Перестройка локального спектра вблизи точки Дирака .................................................1430 3.3. Перестройка локального спектра как концентрационный эффект ................................1431 4. Численное моделирование процесса перестройки спектра в графене ...................................1431 © Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев, 2018 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев 5. Спектральная функция неупорядоченного графена ................................................................1437 6. Проводимость графена с примесями ........................................................................................1441 6.1. Проводимость в случае слабого примесного рассеяния .................................................1443 6.2. Проводимость в случае сильного примесного рассеяния ...............................................1444 6.3. Асимметрия проводимости ...............................................................................................1446 7. Переход металл–диэлектрик при осаждении атомарного водорода на графен ....................1447 7.1. Взаимосвязь между перестройкой спектра и переходом Андерсона .............................1448 7.2. Спектр зоны проводимости ...............................................................................................1449 8. Заключение .................................................................................................................................1451 Литература..................................................................................................................................1453 1. Введение Фактически минуло полтора десятилетия с тех пор, как, не без помощи обыкновенной липкой ленты, был впервые получен графен [1,2] — первая истинно дву- мерная кристаллическая система. На протяжении всего этого времени графен и его свойства продолжают оза- дачивать ученых. Центральной особенностью графена, повсеместно находящейся на слуху, является необыч- ная дираковская дисперсия носителей тока [3–6]. По отношению к линейности закона дисперсии графен можно считать прародителем целого класса новых ма- териалов, число которых год за годом неуклонно рас- тет. Необычный электронный спектр делает графен многообещающим материалом для различных облас- тей применения, например, в области информацион- ных технологий с целью миниатюризации элементов и самой вычислительной электроники или создания хи- мических сенсоров нового поколения. Хотя и известно, что графен обладает высокой структурной стабильно- стью, существующие методы получения монослоев графита с необходимостью приводят к наличию в них определенного количества дефектов. Более того, при- меси могут вводиться в графен и целенаправленно, с целью контролируемого изменения его физических свойств. Несмотря на то, что некоторые из его практи- ческих применений могут быть реализованы лишь в достаточно отдаленном будущем, уже сейчас необхо- димо уметь функционализировать графен таким обра- зом, чтобы выполнялись требования, соответствующие конкретным условиям его использования. При этом желательно стремиться к осмысленности выбора функциональных групп для повышения предсказуемо- сти его результатов. Уже одно это дает достаточные основания для углубленного изучения примесных эф- фектов в данном материале. Что касается влияния примесей на электронные свойства графена, ключевым вопросом является выяс- нение принципиальной возможности пространствен- ной локализации в нем носителей тока. Действительно, только при наличии в электронном спектре транспорт- ной щели возможно эффективное использование поле- вого транзистора, изготовленного на основе графена, в качестве ключевого электронного прибора. У данной проблемы имеется два аспекта. Поскольку графен — двумерный материал, то, с одной стороны, не стоит полностью игнорировать хорошо известный факт, что локализующее действие примесных центров, вообще говоря, более отчетливо выражено именно в низкораз- мерных системах. С другой — зачастую представляет- ся, что задача о создании необходимых условий для локализации квазичастиц, обладающих линейным за- коном дисперсии, таит в себе почти непреодолимые трудности. Заметим, что вопреки двумерности графена ряд экспериментов убедительно демонстрировал его завидную устойчивость к воздействию примесей. Дан- ная дилемма, собственно, и является основным стерж- нем дальнейшего изложения. Уровень Ферми в экспериментальных образцах графена обычно располагается вблизи точки Дирака, отделяющей зону проводимости от валентной зоны. Поэтому, с точки зрения практического применения, наиболее привлекательным представляется поиск ло- кализованных состояний именно в непосредственной окрестности этой точки, где закон дисперсии заведомо близок к линейному. Следует прежде всего подчерк- нуть, что точку Дирака в электронном спектре графена следует в данном контексте рассматривать как особен- ность ван Хова. В основополагающей работе И.М. Лифшица [7] было отмечено, что в окрестностях осо- бых точек спектра систематика электронных состояний подвергается сильным изменениям даже при низкой относительной концентрации примесей. Там же было показано, что с изменением концентрации примеси происходят кардинальные изменения в характере сис- тематики состояний, что позволяет выделять различ- ные концентрационные режимы. Несколько позднее М.А. Ивановым [8] было пред- ложено исследовать свойства ряда, получающегося в результате кластерного разложения одночастичной функции Грина неупорядоченной системы, для опре- деления уместной систематики состояний на различ- ных энергетических интервалах спектра и была, в ча- стности, высказана идея о возможности использования полученной в ходе этого анализа информации для предсказания положения порога подвижности. Одно- временно была разработана концепция перестройки спектра как способа характеризации процессов, разви- 1418 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами вающихся в спектре неупорядоченной системы при повышении концентрации дефектов. В общем случае под перестройкой (трансформаци- ей) спектра неупорядоченной системы необходимо понимать качественные изменения ее зонной структу- ры, происходящие в окрестностях особенностей ван Хова чистого кристалла при переходе от слабодопиро- ванного к сильнодопированному режиму, который осуществляется либо за счет изменения концентрации дефектов, либо за счет изменения величины или ха- рактера примесного возмущения при внешних воз- действиях на рассматриваемую систему. Перестройка спектра обычно протекает пороговым образом и со- провождается изменениями степенных показателей в концентрационных зависимостях положений порогов подвижности, что включает в себя появление новых порогов подвижности в неупорядоченной системе, ко- торые ограничивают либо открывающуюся в спектре транспортную щель, либо же зарождающуюся новую область делокализованных состояний. Как оказалось, критерий применимости приближе- ния когерентного потенциала, разработанный Ф. Дю- кастелли [9,10], критерий локализации электронных состояний Иоффе–Регеля [11] и малый параметр кла- стерного ряда для собственной энергии могут быть выражены друг через друга [12,13]. Это позволило сформировать единый теоретический подход к изуче- нию спектров неупорядоченных систем, составная часть которого — оценка положений имеющихся по- рогов подвижности. Данная методика успешно приме- нялась не только к примесным трехмерным системам, но и к неупорядоченным системам пониженной раз- мерности. Ниже на примере графена с точечными де- фектами мы продемонстрируем, как концепция пере- стройки спектра может быть распространена и на дираковские материалы. Заметим, что в рамках излагаемого подхода свойст- ва исходной невозмущенной системы задаются, в ос- новном, поведением ее одночастичной функции Грина. Поэтому общий характер перестройки спектра и сце- нарий ее протекания в значительной степени опреде- ляются отношением показателя степени в законе дис- персии квазичастиц к размерности исходной системы. Это сразу же ставит имеющий линейный закон диспер- сии двумерный графен в особое положение. Хотя графену и присущи дефекты разного типа, ниже на модельном уровне будут рассматриваться ис- ключительно точечные дефекты замещения. Эта часто используемая примесная модель применима не только к замещенному атому углерода или к его полному от- сутствию (вакансии), но также, до определенной сте- пени, и к адсорбированному на графене атому, моле- куле или радикалу [14]. Что же касается собственно примесей замещения в графене, то пристальное внима- ние уделялось как однопримесной задаче, в которой определялась волновая функция для единичного де- фекта, так и эволюции плотности электронных состоя- ний, происходящей с увеличением концентрации при- меси [15–17]. Однако такие критические явления, как трансформации спектра, продолжительное время упус- кались из виду. Основная идея перестройки спектра как таковой со- стоит в том, что можно указать некоторую критиче- скую концентрацию примеси, при которой в спектре неупорядоченной системы происходят кардинальные качественные изменения. Как правило, наличие пере- стройки спектра тесно связано с появлением локально- го уровня или резонансного примесного состояния. Такие характеристики примесного состояния, как его энергия и затухание, которые рассчитываются в рам- ках однопримесной задачи, во многом предопределя- ют тип последующей перестройки спектра. Несмотря на то, что единичный точечный дефект, по предполо- жению, вносит возмущение только на том узле ре- шетки, на котором он расположен, или, в лучшем случае, захватывает также и несколько близлежащих узлов, что позволяет его классифицировать как де- фект малого радиуса, эффективный радиус соответст- вующего примесного состояния может намного пре- восходить постоянную решетки. Это имеет место, в частности, когда энергия примесного состояния близ- ка к особенности ван Хова в спектре. Поскольку пере- стройке спектра дает начало взаимное пространствен- ное перекрытие отдельных примесных состояний, образующееся с повышением концентрации примеси, наличие даже следов примеси может приводить к пе- рестройке спектра. Здесь важно отметить, что для примесей замещения появление хорошо определенных резонансных состояний в низкоразмерных системах сильно затруднено. Как будет видно из нижеследую- щего, ситуация с резонансными состояниями в графене принципиально отличается, а значит, следует ожидать значительных изменений в его электронном спектре при повышении концентрации примеси. Структура, содержание и последовательность изло- жения обзора видны из его оглавления, поэтому на них останавливаться не будем. Разве что стоит отметить, что если отдельные примесные вопросы, касающиеся графена, так или иначе затрагивались в ряде обзорных статей, а также некоторых монографиях, то специаль- ного освещения с единых позиций примесной пробле- мы в целом, насколько нам известно, для графена не проводилось. В этой связи будет уместным, на наш взгляд, упомянуть следующее, отчасти случайное, но знаменательное обстоятельство: предлагаемая читате- лю обзорная статья выходит в выпуске № 11 журнала «Физика низких температур» за 2018 год. Другими словами, ее выход соответствует ноябрю — месяцу, в котором ровно 100 лет назад была создана Националь- ная академия наук Украины. Это тем более символично, Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1419 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев что именно украинским теоретикам, представляющим, как и авторы, эту академию, принадлежит предсказание совершенно неожиданных особенностей эффекта Холла в графене. Как известно, его экспериментальное под- тверждение стало неопровержимым свидетельством существования в графене — и тем самым в графенопо- добных дираковских и вейлевских, считавшихся экзоти- кой, но превратившихся в реальность, материалах — безмассовых фермионов [5]. 2. Трансформация электронного спектра графена при повышении концентрации примеси 2.1. Функция Грина для электронной подсистемы при отсутствии возмущения Поскольку ниже будет рассматриваться примесная задача, то в качестве первого шага необходимо задать- ся модельной функцией Грина для невозмущенной системы, причем эту функцию необходимо выбрать достаточно простой, чтобы по меньшей мере часть результатов можно было бы получить аналитическим способом. С другой стороны, такая модельная функция Грина должна отражать специфику электронной под- системы графена, существенную для понимания физи- ки исследуемых примесных эффектов. Будем основываться на двух установленных фактах, касающихся электронной подсистемы графена. Во- первых, эксперименты по фотоэлектронной спектро- скопии с угловым разрешением [18,19] наглядно под- тверждают, что в окрестности точки Дирака, в которой соприкасаются валентная зона и зона проводимости, закон дисперсии электронов в графене имеет линей- ный характер, при котором скорость Ферми Fv не за- висит от положения уровня Ферми. В силу двумерно- сти рассматриваемой системы отсюда непосредственно следует, что вблизи точки Дирака плотность состояний ( )Eρ в беспримесном графене линейно зависит от энергии E , т.е. ( ) \| \|E Eρ  . Этот результат косвенно подтверждается наличием в графене аномального квантового эффекта Холла [20–23], который наблю- дался в экспериментах [18]. Во-вторых, хорошо из- вестно, что следующий из измерений линейный закон дисперсии может быть достаточно легко воспроизве- ден в рамках приближения сильной связи при учете только лишь взаимодействия между соседними p- орбиталями на сотовой решетке. Примем также, что приведенная выше линейная за- висимость плотности состояний сохраняется для всех энергий, лежащих внутри двух соприкасающихся зон, что учитывает симметрию между валентной зоной и зоной проводимости, присутствующую в исходной системе (так называемая «треугольная» модель). Кро- ме того, из-за симметрии сотовой кристаллической решетки графена диагональные элементы ( )g Eα αn n невозмущенной функции Грина 1 0= ( )−−g E H должны быть одинаковыми на обеих подрешетках: 1 1( ) =g En n 2 2 ( )g E= n n , где подрешетки обозначены числами, век- тор n пробегает по ячейкам решетки, а 0H — невоз- мущенный гамильтониан электронной подсистемы графена. Поскольку полная плотность состояний ( )Eρ является суммой двух идентичных парциальных плот- ностей состояний для подрешеток ( )Eαρ , необходимо потребовать, чтобы 2 =1 1( ) = Im ( ) = \| \|, ( ) = ( ),E g E E E Eα α α α α ρ − ξ ρ ρ π ∑n n (2.1) где ξ — некоторая постоянная, определяемая из усло- вия нормировки. Действительно, из этого условия, за- писанного для плотности состояний в зоне проводимо- сти, следует, что 2 =10 ( ) = 1, W E dEα α ρ∑∫ (2.2) где W — ширина зоны, а энергия отсчитывается от точки Дирака. Подобное равенство справедливо и для плотности состояний в валентной зоне. Эти соотноше- ния однозначно определяют значение введенного вы- ше коэффициента ξ : 0 2 2 0 1 \| \|( ) = ( ) = = , ( ) = . 2 2 W W W EE dE E dE E W α α α − ρ ρ ξ ρ∫ ∫ (2.3) В свою очередь, диагональные элементы невозмущен- ной функции Грина должны удовлетворять соотноше- нию Крамерса–Кронига: 0 2 0 1Re ( ) = = W W E Eg E dE dE E E E EW α α −  ′ ′ ′ ′− ′ ′ − −  ∫ ∫n n 2 2 2 2= ln .E E W E W− (2.4) Объединяя полученные результаты, окончательно имеем 2 2 2 2( ) = ln sgn .E Eg E i E W W E α α   − π  −  n n (2.5) Введенную выше величину W легко связать с фак- тической скоростью Ферми в графене без примесей. Как уже отмечалось, гамильтониан, записанный в при- ближении сильной связи с некоторым интегралом пе- рескока t между ближайшими соседями, дает вполне разумное приближение для закона дисперсии электро- нов в графене ( )E k . Простейший гамильтониан для бесспиновых фермионов в графене имеет вид 1420 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами † 0 < , > = .t c cα β α β ∑ n m n m H (2.6) где n и m обозначают радиусы-векторы ячеек решетки, греческие индексы α и β нумеруют подрешетки гра- фена, †c αn и c αn — ферми-операторы рождения и унич- тожения электронов на соответствующих узлах решет- ки, а угловые скобки показывают, что суммирование производится только по ближайшим соседям в решет- ке. В силу выбранного вида гамильтониана, в окрест- ности одной из точек Дирака, находящейся при =k K , для закона дисперсии получаем 3( ) ( ) , = , 1, 2F F atE E v k v k a′ ′ ′≡ + ≈ ±k K k  (2.7) где волновой вектор ′k отсчитывается от одной из то- чек Дирака, a — постоянная сотовой решетки, а Fv — упомянутая выше скорость Ферми в графене [24]. По- скольку зона Бриллюэна графена содержит две неэкви- валентные точки Дирака, соответствующая приближе- нию сильной связи плотность состояний дается выра- жением 2 4 2 \| \|( ) (\| \| ) = , \| \| 3 , 3 t b F BZ EE dk k E v k E t S t − π ′ ′ ′ρ ≈ δ − π∫  (2.8) где 2 2 8= 3 BZS a π (2.9) — площадь зоны Бриллюэна. При этом полная плот- ность состояний в используемой выше модели с тре- угольной плотностью состояний должна при низких энергиях соответствовать последнему выражению, или ( ) ( )t bE E−ρ ≡ ρ . Нетрудно убедиться, что оба выраже- ния для плотности состояний согласуются друг с дру- гом, если = 3 .W tπ (2.10) Таким образом, ширины зон в модели с треугольной плотностью состояний существенно меньше, чем ре- альные ширины зон в графене, которые, согласно при- ближению сильной связи, равны 3t . Этот результат ожидаем, поскольку треугольная плотность состояний неоправданно возрастает с приближением к внешним краям обеих зон. Тем не менее ниже мы будем пользо- ваться приближенным выражением для диагонально- го элемента функции Грина (2.5), полученным на ос- новании треугольной модели для плотности состояний. Основанием для этого служит то обстоя- тельство, что все последующее изложение будет про- водиться только для области сравнительно малых энергий, в которой предложенная модельная функция Грина находится во вполне удовлетворительном со- ответствии с реальной. Таким образом, оптимальную аппроксимацию для диагонального элемента функции Грина невозмущенной системы можно записать сле- дующим образом (ср. с (2.5)): 2 2 2( ) ln sgn , ,E Eg E i E E W W W α α   ≈ − π     n n  (2.11) что и будет использоваться во всех последующих ана- литических расчетах. На рис. 1 представлено сравнение значения диаго- нального элементам функции Грина беспримесного графена, рассчитанного в модели сильной связи, и его аппроксимации в «треугольной» модели (2.11). Энер- гия на рисунке дана в единицах интеграла перескока t . Поскольку наиболее интересна и актуальна лишь срав- нительно узкая окрестность точки Дирака в спектре, рисунок наглядно демонстрирует адекватность при- ближения. В то же время приближенное значение для этого матричного элемента невозмущенной функции Грина можно получить и другим способом. Будем исходить из общепринятого определения 2 2 1( ) = , ( )BZ Eg E d S E E α α −∫n n k k (2.12) где интеграл берется по всей зоне Бриллюэна. В случае достаточно малых энергий основной вклад при интегри- ровании по волновому вектору в (2.12) дают узкие окре- стности обеих точек Дирака, что позволяет в этих облас- тях спектра воспользоваться линейностью дисперсии: 2 2 2( ) , 3 , ( )BZ F Eg E d E t S E v k α α ′≈ ′−∫n n k  (2.13) Рис. 1. Сравнение диагонального элемента функции Грина, рас- считанного в модели сильной связи (сплошная линия), с его аналитической аппроксимацией в модели с треугольной плотно- стью состояний (2.11) (штрихпунктирная линия). Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1421 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев где множитель 2 как раз и отображает наличие в спек- тре двух дираковских точек. При этом, как обычно, предполагается, что вклад в интеграл сравнительно больших k ′ несуществен. Очевидно, что в действи- тельности закон дисперсии не является строго линей- ным во всей зоне Бриллюэна, а соответствующие вы- бранному приближению пары дисперсионных конусов с ростом k ′ начинают перекрываться между собой. Поэтому интегрирование в (2.13), вообще говоря, не может проводиться по всей зоне Бриллюэна, и значе- ние модуля волнового вектора следует ограничить сверху, причем его максимальная величина maxk опре- деляется известным правилом сумм: max 0 4 = 1, k BZ k dk S π ′ ′∫ (2.14) что в итоге дает max 2= . 3 k a π (2.15) После того как пределы интегрирования определены, интеграл может быть взят точно: max 2 2 0 4( ) = ( ) k BZ F Eg E k dk S E v k α α π ′ ′≈ ′−∫n n 1 2 2 2 2 2 2 0 = = ln sgn , < , 3 E E Edx i E E W E t x W W E   − π  − π −  ∫ (2.16) что тождественно совпадает с приведенным выше и полученным из несколько иных соображений выраже- нием (2.5). 2.2. Изолированная примесь замещения Напомним, что примесное возмущение может быть описано в рамках хорошо известной модели бинарного сплава замещения с диагональным беспорядком. Такая модель для примесных центров была впервые предло- жена И.М. Лифшицем в его пионерских работах по теории неупорядоченных систем [7]. В рамках этой модели предполагается, что пространственно примеси расположены абсолютно случайно, без взаимной кор- реляции, занимая узлы кристаллической решетки рас- сматриваемой системы с некоторой вероятностью c, а узельные потенциалы, фигурирующие в методе силь- ной связи, могут принимать одно из двух фиксирован- ных значений в зависимости от типа атома, занимаю- щего соответствующий узел решетки. При этом часто выбирают асимметричную схему примесного возмуще- ния, согласно которой узельные потенциалы или равны определенному значению LV с вероятностью c, что соот- ветствует примесям, или же равны нулю с вероятностью 1 c− , что соответствует атомам исходного кристалла. За- метим, что примесную модель Лифшица можно исполь- зовать и при описании вакансий. Для этого, в первом приближении, следует полагать, что \| \| /LV W →∞ (так называемая унитарная примесь) [25–27]. Таким образом, полный гамильтониан неупорядо- ченной системы в приближении сильной связи может быть выражен суммой трансляционно инвариантного исходного гамильтониана 0H (2.6) и примесного воз- мущения impH : † 0 imp imp= , = ,LV c cα α α ′+ ∑ n n n H H H H (2.17) где штрих у знака суммы означает, что суммирование в (2.17) проводится по узлам, занятым примесями. В дальнейшем, если не оговорено обратное, будем про- водить вычисления в безразмерных переменных и вы- берем единицу измерения энергии так, чтобы выпол- нялось равенство = 1W . Для удобства введем также обозначения: , .LVE v W W ε ≡ ≡ (2.18) Рассмотрим сначала однопримесную задачу, иначе говоря — единичную изолированную примесь в не воз- мущенной никаким другим образом решетке графена. Очевидно, что в этом случае в сумме, входящей в опре- деление impH , остается только одно слагаемое. Нетруд- но вычислить диагональный элемент функции Грина 1= ( )−ε −H на занятом примесью узле решетки: 0 0 0 0 ( ) ( ) = , ( ) ( ). 1 ( ) g g g vg α α ε ε ε ≡ ε − ε n n (2.19) Результат, естественно, не зависит от индекса подре- шетки. Соответствующее выражение для локальной плотности состояний может быть получено путем под- становки в это соотношение модельного диагонального элемента функции Грина невозмущенной системы (2.11): imp 0 2 2 1 \| \|( ) = Im ( ) . (1 2 ln \| \|) ( )v v ε ρ ε − ε ≈ π − ε ε + π ε  (2.20) Легко видеть, что для достаточно большого при- месного возмущения v на локальной плотности со- стояний примесного узла присутствует отчетливый максимум (рис. 2). Энергия rε , на которой этот макси- мум расположен, определяется известным уравнением Лифшица: 01 = Re ( ) 2 ln .r r rv g vε ≈ ε ε (2.21) Следует обратить внимание на то, что указанный мак- симум находится выше точки Дирака по оси энергий, когда параметр < 0v (притягивающий потенциал), и наоборот, максимум лежит ниже точки Дирака при 1422 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами > 0v . Отметим, что такая, несколько необычная, си- туация будет реализовываться для двух произвольных зон, касающихся друг друга и симметричных относи- тельно точки их соприкосновения, причем данная осо- бенность расположения энергии резонанса не зависит ни от размерности системы, ни от характера закона дисперсии квазичастиц. В окрестности энергии rε выражение (2.20) может быть аппроксимировано следующим образом: 2 imp 2 2 2 \| \| \| \| ( ) , = , 2 \|1 ln \| \|\|[ ] ( ) r r r rr r rv ε Γ π ε ρ ε ≈ Γ + ε π ε ε−ε +Γ  (2.22) если справедливо неравенство 1. \| \| 2 1 ln \| \| r r r r Γ π γ ≡ ≈ ε + ε  (2.23) Неравенство (2.23) будет выполняться тогда, когда энергия rε находится в непосредственной близости к точке Дирака. Согласно (2.21), последнее соответству- ет большим по абсолютной величине значениям v. Фи- зический смысл условия (2.23) состоит в малости эф- фективного затухания примесного состояния rΓ по сравнению с интервалом между энергией rε и бли- жайшей особенностью ван Хова в спектре, чью роль в данном случае играет точка Дирака. Это означает, что при выполнении условия (2.23) состояние с энергией rε может рассматриваться как хорошо определенный примесный резонанс. Одновременно (см. (2.22)) ло- кальная плотность состояний в окрестности энергии резонанса приобретает лоренцевский вид. Поведение локальной плотности состояний в предельном случае изолированной вакансии в графене детально проанали- зировано в [28–31]. Заметим, что, в противополож- ность сказанному, хорошо определенное резонансное состояние не возникает ни при каких комбинациях параметров примеси и невозмущенного кристалла вблизи края зоны в двумерных и трехмерных системах с квадратичным законом дисперсии электронов, когда примесь описывается моделью Лифшица (2.17). Разность ( )∆ρ ε между полной плотностью состоя- ний системы с единичным дефектом и плотностью состояний невозмущенной системы также может быть получена аналитически: 0 0 ( ) 1( ) = Im = 1 ( ) dgv N d vg  ε ∆ρ ε  π ε − ε  2 2 (1 2 )sgn= , [(1 2 ln \| \|) ( ) ] v v N v v + ε ε − − ε ε + πε (2.24) где N — полное число ячеек в решетке рассматривае- мой системы. Отметим, что электронные состояния исходного кристалла по-разному перераспределяются внутри соответствующих зон. Так, например, при < 0v , некоторая часть состояний «изымается» из валентной зоны, перемещаясь в отщепленный локальный уровень, тогда как в зоне проводимости состояния концентриру- ются около энергии примесного резонанса, смещаясь по направлению к ней с обеих сторон (рис. 3). Отчетливо видна и ступенька на зависимости ( )∆ρ ε при нулевой энергии. В случае притягивающего потен- циала этой ступеньке в валентной зоне предшествует существенное возрастание ( )∆ρ ε по абсолютной величи- не. При этом само изменение полной плотности состоя- ний оказывается отрицательным. Поскольку невозму- щенная плотность состояний в точке Дирака равна нулю (см. (1)) и достаточно мала в ее непосредственной ок- рестности, расчет плотности состояний неупорядочен- ного графена при конечной концентрации примесей, проводимый в предположении суперпозиции вкладов от изолированных дефектов, с неизбежностью приве- дет к появлению некоторого интервала энергий, внут- ри которого результирующая плотность состояний будет отрицательной, что не является физически оп- равданным. Поэтому вблизи точки Дирака спектр не может быть описан путем прямого разложения функции Грина по концентрации примеси, как это было продела- но, например, в работе [32], даже если концентрация Рис. 2. Локальные плотности состояний (LDOS) на примес- ном узле для значений = 10, 5, 2,5v − − − показаны сплошной, штриховой и штрихпунктирной кривыми соответственно. Рис. 3. Увеличенное в N раз изменение полной плотности состояний при наличии изолированного дефекта с = 8, 4, 2, 1, 0,5v − − − − − . Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1423 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев примеси пренебрежимо мала. Следовательно, для описа- ния влияния примесей на спектр графена в этой области энергий должны быть задействованы иные подходы. 2.3. Критическая концентрация примеси в неупорядоченных системах различной размерности Обсудим некоторые общие спектральные свойства примесных систем произвольной размерности d и предположим для этой цели, что наличие единичной примеси приводит в них к появлению резонансного со- стояния с энергией 0 < 1rε  , лежащей внутри единст- венной электронной зоны. При этом будем полагать, что энергия отсчитывается от края упомянутой зоны и, в соответствии с вышесказанным, обезразмерена ее ши- риной. Примем также, что закон дисперсии электронов вблизи края этой зоны имеет достаточно общий вид: ( ) pkε k  , где p — определенное число. Тогда для зна- чений энергии 0 < 1ε функция Грина, если отвлечься от некоторых несущественных в данном контексте де- талей, в реальном пространстве будет осциллировать с характерным радиусом 1/ pr −ε , который выражен здесь в единицах соответствующей постоянной решет- ки. В том случае, когда энергия электронного состояния совпадает с энергией резонанса rε , эти осцилляции оп- ределяют величину эффективного пространственного радиуса примесного состояния 1/ imp p rr −ε . Если ока- зывается, что энергия примесного резонанса близка к краю зоны, то эффективный радиус примесного состоя- ния намного превосходит период решетки. Как отдельные пространственные объекты, примес- ные состояния постепенно сближаются друг с другом при повышении концентрации примеси. Следует ожи- дать, что при существенном взаимном перекрытии этих состояний спектр неупорядоченной системы спо- собен претерпеть определенные качественные измене- ния. Поскольку среднее расстояние между примесями 1/dr c− (где c — их относительная концентрация) постепенно уменьшается с увеличением c, на некото- рой стадии данного процесса оно становится того же порядка, что и impr . Это условие общего вида и позво- ляет оценить величину критической концентрации /d p r rc ε , при достижении которой происходит пере- стройка спектра в соответствующей неупорядоченной системе. Уместно при этом подчеркнуть, что значение rc может быть достаточно низким. Графен, несомненно, является двумерной системой, так что = 2d , и имеет линейный закон дисперсии носи- телей тока: = 1p . Таким образом, критическая концен- трация перестройки спектра в примесном графене должна быть 2 rε , если отсчитывать энергию от точки Дирака, в которой, собственно, и соприкасаются между собой валентная зона и зона проводимости. В случае обычного закона дисперсии с = 2p такое же соотноше- ние между rε и rc характерно для четырехмерных, = 4d , систем. В этом смысле электронная подсистема графена по отношению к явлению перестройки спектра может формально рассматриваться как обычная, но с увеличенной пространственной размерностью, что до- полнительно подчеркивает необычность этого мате- риала. В целом же можно составить следующую таб- лицу возможных сочетаний чисел d и p: Из табл. 1 видно, что отношение /d p совпадает только в двух случаях: = 1,d = 1p и = 2,d = 2p , а также = 2,d = 1p и = 4,d = 2p . Системы, для кото- рых / < 1d p , следует отнести к единому универсально- му классу низкоразмерных и рассматривать, используя единый подход к примесной задаче. Они обладают общими особенностями формирования хорошо опре- деленных резонансных состояний, локальных уровней, а также сходным характером протекания перестройки спектра при повышении концентрации примеси. В этом смысле двумерная система с квадратичным зако- ном дисперсии является маргинальной (как и одномер- ная система с линейным законом дисперсии). Те сис- темы, для которых 1 < / < 2d p , ведут себя подобно традиционно изучаемым трехмерным системам с квад- ратичным законом дисперсии. Графен же с / = 2d p открывает новый класс систем повышенной эффектив- ной размерности. 2.4. Общая картина перестройки электронного спектра графена Вернемся к рассмотрению основных особенностей процесса перестройки электронного спектра графена. Хорошо известно, что при вычислении усредненной по всем возможным пространственным конфигурациям дефектов функции Грина неупорядоченной системы необходимо на разных участках спектра использовать различные по своему построению приближенные мето- ды. При этом внутри непрерывного спектра исходной системы обычно оказывается наиболее эффективным так называемое ренормированное разложение функции Грина. Перенормировка пропагатора необходима не только для того, чтобы правильно описать вызванный наличием дефектов сдвиг особенностей ван Хова по шкале энергий и их размытие в спектре неупорядочен- ной системы, но также и для того, чтобы корректно Таблица 1. Возможные сочетания чисел d и р d ε(k) p 1 ~ k2 1/2 2 ~ k2 1 3 ~ k2 3/2 4 ~ k2 2 1 ~ k 1 2 ~ k 2 3 ~ k 3 4 ~ k 4 1424 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами учесть неоднородный сдвиг близлежащих к ним со- стояний. Эти соображения сохраняют силу и в окрест- ности точки Дирака в графене. Первый член такого разложения для усредненной функции Грина = < >G  представляет из себя хоро- шо известное в методе модифицированного пропагато- ра выражение: = , ( ) ,+ ≈ σ εG g g G IΣ Σ 0 ( ) = , 1. 1 ( ( )) cv c vg σ ε − ε −σ ε  (2.25) Поскольку рассматривается лишь узкая окрестность точки Дирака, диагональный элемент исходной функ- ции Грина можно взять в виде (2.11). Тогда после обычной подстановки ( ) = exp( ), 0 , 0,iε −σ ε ϕ ≤ ϕ ≤ π ≥  (2.26) мнимая часть (2.25) принимает вид [ ]2 2 ln (2 )ctgcv + ϕ− π ϕ + [ ) 21 (2 ln cos (2 )sin ]v+ − ϕ− ϕ− π ϕ +  [ ) 2(2 ln sin (2 )cos ] = 0.v+ ϕ+ ϕ− π ϕ  (2.27) Выражение (2.27) удобно рассматривать в качестве уравнения относительно неизвестной фазы перенорми- рованной энергии ϕ . Следует отметить, что, начиная с некоторого порогового значения модуля перенорми- рованной энергии  , зависящего от c и v, данное уравнение имеет два решения для каждой выбранной величины  . Одно из них принадлежит валентной зоне, а другое — зоне проводимости. Соответствую- щие значения энергии ε можно, в свою очередь, оп- ределить, воспользовавшись действительной частью уравнения (2.25): [ ]1 (2ln cos (2 )sin )cv v− ϕ− ϕ− π ϕ ×  [ ]{ 21 (2 ln cos (2 )sin )v× − ϕ− ϕ− π ϕ +  [ ] } 12(2 ln sin (2 )cos ) cos = ,v − + ϕ+ ϕ− π ϕ + ϕ ε   (2.28) которая совместно с (2.27) собственно и составляет пара- метрическое решение условия самосогласования (2.25). Для определения области применимости данного приближения, как и в случае обычных трехмерных сис- тем, следует использовать малый параметр разложения собственной энергии в ряд по примесным кластерам [8,33]. В рассматриваемой задаче имеется, однако, принципиальная трудность, связанная с необходимо- стью обоснования надлежащего выражения для малого параметра ряда, образующегося при разложении собст- венной энергии по примесным кластерам. Действитель- но, примесная задача в случае графена имеет матричный характер, поскольку его сотовая решетка содержит два атома в элементарной ячейке. Так, например, двухпри- месные кластеры дают вклад как в диагональные, так и в недиагональные по подрешеткам матричные элементы собственной энергии. С другой стороны, в качестве ма- лого параметра задачи желательно иметь скалярную величину. Присутствующая неоднозначность в систематике двухпримесных кластеров сродни той, которая возни- кала при попытках расширить приближение когерент- ного потенциала на пары дефектов, что в результате привело к появлению приближения блуждающего кла- стера. Напомним, что и это приближение не позволило рассматривать все возможные двухпримесные класте- ры с единой точки зрения. В данном случае представ- ляется разумным воспользоваться эвристическими со- ображениями, основанными на аналогии в поведении неупорядоченных систем, и распространить суммиро- вание в выражении для малого параметра задачи на все узлы сотовой решетки, особо не группируя слагаемые, отвечающие различным подрешеткам. Иными слова- ми, здесь мы позволим себе несколько отступить от последовательного рассмотрения и в качестве следст- вия такой нестрогости запишем малый параметр зада- чи в том же виде, в котором он фигурировал ранее для однозонной модельной неупорядоченной системы. Критерий применимости используемого приближе- ния удобно, как и выше, выразить через модуль и фазу безразмерной перенормированной энергии. В резуль- тате этот малый параметр примет форму ln 1 ( ) 12\| ( ) \| . 2ln ( ) ctg 2 i R π + + ϕ− ε ≈ π + ϕ− ϕ    (2.29) Процессу перестройки спектра можно дать качест- венное описание, используя простые оценки. На первый взгляд, может показаться, что равенство = ( ) = cvε σ ε естественным образом служит решением уравнения (2.25). В действительности же, как легко убедиться, ни одно из аналитических решений (2.25) не проходит че- рез эту точку. Однако в спектре всегда присутствует такая энергия, для которой Re( ( )) = 0ε −σ ε . Существен- но, что мнимая часть собственной энергии Im ( )σ ε при этом не равна нулю, а следовательно, в этой точке не равен нулю и модуль перенормированной энергии D . Воспользовавшись (2.25), получим уравнение для D : 2 2 2 ln 1 = 0. 1 (2 ln ) D D D cv v + +    (2.30) Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1425 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев При низкой концентрации примеси знаменатель может быть заменен единицей, поэтому 2exp ( 1/(2 )).D cv≈ − (2.31) Соответственно, как это следует из (2.27), Re ( ) .cvσ ε ≈ Таким образом, точка Дирака с увеличением концентра- ции постепенно сдвигается в обратную от энергии резо- нанса сторону на величину cv . В ее окрестности, как сле- дует из (2.29), в спектре присутствует область энергий, внутри которой критерий применимости ренормирован- ного разложения не выполняется. Последнее свидетель- ствует о том, что при сколь угодно малых концентрациях примеси вблизи точки Дирака образуется область кон- центрационного уширения, заполненная локализован- ными состояниями, т.е. узкая транспортная щель. На- помним, что точка Дирака является краевой как для валентной зоны, так и для зоны проводимости. В этом смысле появление вокруг нее спектральной области, содержащей локализованные состояния, аналогично формированию областей концентрационного размытия краев зон в полупроводниках с точечными дефектами. Как видно из (2.29), ширина области концентрационно- го размытия точки Дирака должна быть порядка D . Как величина сдвига \| \|cv , так и величина D растут вместе с повышением концентрации примеси. Если экстраполировать полученные для них выражения, то обе величины становятся порядка ширины энергетиче- ского интервала между примесным резонансом и точ- кой Дирака практически одновременно. Убедиться в этом не составляет труда, если переписать выражение (31) в виде \| \| (2 \| \| ln )D D Dc v v≈ −   . Поэтому соот- ветствующая концентрация примеси 2= 2 ln \| \|r r rc ε ε может рассматриваться в качестве оценки для крити- ческой концентрации перестройки спектра. При кон- центрациях примеси, намного превышающих это зна- чение ( rc c ), можно опустить единицу в знаменателе дроби в (2.30). В результате получаем, что размер об- ласти концентрационного размытия зависит исключи- тельно от концентрации примеси: 2 / \| ln \|, .D rc c c c   (2.32) Ширина этой области стремительно увеличивается с рос- том концентрации примеси. Поэтому при концентрациях примеси, превышающих критическую, следует не столь- ко говорить о существовании области концентрационно- го размытия точки Дирака, сколько уверенно констатиро- вать формирование между валентной зоной и зоной проводимости транспортной щели, заполненной локали- зованными состояниями. 2.5. Особенности поведения спектра вблизи нодальных точек Опишем более детально спектр в окрестности точки Дирака при малых концентрациях примеси rc c . В этом случае для малых  вблизи точки Дирака выра- жение (2.27) сводится к 2 1ln ctg . 22cv π ≈ − + −ϕ ϕ     (2.33) Соответственно, уравнение (2.28) упрощается, приоб- ретая вид 22 ( ) 2 . sin cv cv π −ϕ ε − ≈ ϕ  (2.34) Объединяя два последних соотношения, получаем неяв- ное выражение для зависимости энергии от фазы: 2 )2 1/(2 exp ctg 2 2 2 e . sin cvcv cv − π  π    −ϕ −ϕ ϕ        ε − ≈ ϕ (2.35) Подобным же образом из критерия (2.29) следует, что ширина области концентрационного размытия точки Дирака экспоненциально мала по сравнению с шириной зоны: 21/(4 ) 1e .cv D − −∆ ≈ (2.36) Приравнивая два основных параметра из (2.35) с не- которым произвольным коэффициентом пропорцио- нальности ζ , 2 )2 1/(2e = \| \|,cvcv c v− ζ (2.37) можно оценить более точно величину критической концентрации перестройки спектра: 2 1= , 2 ln( / \| \|) rc v v − ζ (2.38) что практически совпадает с приведенной выше оценкой rc . Графически проиллюстрируем результаты, которые могут быть получены из уравнений (2.27)–(2.29) (рис. 4–6). Так, на рис. 4 представлена эволюция плот- ности состояний при повышении концентрации приме- си. Для сравнения приведена невозмущенная плотность состояний, а также показаны области концентрационно- го размытия. Из более детального анализа следует, что изначально присутствует только одна такая область вблизи точки Дирака. Вдобавок к ней с ростом концен- трации примеси появляется и вторая — в области энер- гии примесного резонанса. Обе области сливаются в одну при концентрации примеси порядка критической, образуя широкую транспортную щель. Ход кривых, отображающих энергетическую зави- симость плотности состояний, непосредственно свиде- тельствует об исчезновении симметрии между валент- ной зоной и зоной проводимости. Вместе с тем, при 1426 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами концентрациях, существенно превышающих критиче- скую, спектр вне широкой транспортной щели практи- чески не зависит от величины примесного возмущения. Пропорциональное c нарастание ширины транспорт- ной щели, характерное для данного режима, было так- же получено в [34] для особого случая примесного возмущения =v ∞ (упомянутое выше унитарное воз- мущение). Таким образом, в случае слабого рассеяния (\| \|< 1v ) резонансное состояние не появляется, перестройка спектра не происходит, а ширина области концентра- ционного размытия точки Дирака остается экспонен- циально малой по сравнению с шириной исходной зо- ны при всех рассматриваемых концентрациях примеси. Наоборот, в случае сильного рассеяния (\| \|> 1v ) изоли- рованная примесь приводит к появлению вблизи точки Дирака резонансного состояния. При этом ширина об- ласти концентрационного размытия точки Дирака так- же остается экспоненциально малой, пока концентра- ция не превысит критическое значение rc , но при превышении концентрацией примеси ее критического значения, > rc c , в спектре открывается транспортная щель, ширина которой увеличивается c . Отметим, что в трехмерных неупорядоченных систе- мах с квадратичным невозмущенным спектром, а также при выполнении некоторых условий и в низкоразмерных системах (d p ) перестройка спектра может осуществ- ляться согласно кроссовому сценарию [35]. Данный тип перестройки спектра, как правило, реализуется в том случае, когда энергия примесного резонанса rε оказыва- ется лежащей вне некоторой припороговой области, расположенной у края исходной зоны [36]. Физический смысл этого условия на расположение энергии примес- ного резонанса состоит в том, что при его выполнении в спектре гарантированно присутствует хорошо опреде- ленное резонансное состояние, затухание которого на- много меньше, чем ширина энергетического интервала между резонансом и краем зоны. Именно присутствие такого узкого резонанса, по сути, и влечет за собой кроссовую перестройку при постепенном увеличении концентрации дефектов. При перестройке спектра тако- го типа измененный закон дисперсии выглядит практи- чески так же, как и результат гибридизации исходного зонного спектра с добавочной бездисперсионной вет- вью, соответствующей энергии примесного состояния. А именно в длинноволновом спектре неупорядоченной системы вместо одной ветви появляются две, так что каждому волновому вектору после кроссовой пере- стройки спектра будут соответствовать уже два значе- ния энергии квазичастиц. Новые дисперсионные ветви оказываются при этом разделенными транспортной щелью, причем плотность состояний внутри нее фор- мируется в основном за счет двухпримесных уровней, а ее ширина увеличивается с повышением концентра- ции примесей. В графене с дефектами, которые описываются моде- лью Лифшица (2.17), вблизи точки Дирака также при- сутствует хорошо определенный однопримесный резо- нанс, если примесное возмущение по абсолютной вели- чине превосходит ширину зоны. Однако совершенно очевидно, что процесс перестройки спектра в графене с примесями Лифшица, описанный выше, не относится к кроссовому типу, а происходит в полном соответствии с аномальным сценарием. Данная разновидность пере- Рис. 4. Рассчитанная аналитически плотность состояний (DOS) при значении = 8v − для = 2 ,n rc c = 1 3n −  ( 0,0005rc ≈ ). Пунктиром на кривых отмечены те энергетические интерва- лы, внутри которых используемое приближение заведомо неприменимо. Штрихпунктирной линией показана плотность состояний в исходной регулярной системе. Рис. 5. Зависимости Im ( )σ ε и Re ( )σ ε от энергии при значе- нии = 8v − для = 2 ,n rc c = 1 3n −  ( 0,0005rc ≈ ). Рис. 6. Фаза ϕ перенормированной энергии при значении = 8v − для = 2 ,n rc c = 1 3n −  ( 0,0005rc ≈ ). Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1427 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев стройки является специфичной для низкоразмерных систем [37–39]. При перестройке спектра аномального типа в спектре системы тоже формируются две разде- ленные транспортной щелью ветви, но взаимное пере- крытие новых дисперсионных ветвей отсутствует. Транспортная щель в этом случае носит диффузный характер. Она, как и выше, заполнена сильно локализо- ванными состояниями, причем их плотность может су- щественно превосходить исходную [39]. В отличие от кроссовой перестройки, выделить какую-либо система- тику локализованных состояний внутри транспортной щели не удается. Подчеркнем еще раз, что аномальный характер перестройки спектра в примесном графене реализуется вопреки наличию хорошо определенного однопримесного резонанса, аналогично ситуации, кото- рая была описана ранее в [40]. 3. Критическое поведение локальной плотности состояний Явление перестройки спектра на протяжении не- скольких десятилетий не только интенсивно изучалось теоретически, но и было неоднократно подтверждено экспериментально для широкого круга неупорядочен- ных систем. Физическая сущность этого явления со- стоит в радикальном изменении спектральных свойств неупорядоченной системы, происходящем при превы- шении концентрацией примеси определенного крити- ческого значения. До недавнего времени термин «пе- рестройка спектра» использовался для того, чтобы дать описание качественным изменениям, происходящим в полной плотности состояний, или же в поведении пе- ренормированного закона дисперсии квазичастиц в неупорядоченной системе. Таким образом, неупорядо- ченная система характеризовалась как единое целое. Вместе с тем, в связи с развитием техники сканирую- щей туннельной микроскопии (STM), стало возможным непосредственно наблюдать в эксперименте другую, не менее важную, характеристику неупорядоченного кри- сталла — локальную плотность состояний на занятых примесями узлах [41–43]. Очевидно, что такая плот- ность состояний не является самоусредняющейся вели- чиной, поскольку детали ее поведения непосредственно определяются конкретным распределением примесей вокруг выбранного — регулярного или примесного — узла. По этой причине в реальных экспериментах ло- кальную плотность состояний часто усредняют по не- скольким узлам, занятым примесями [44]. Известно, что такое усреднение существенно сглаживает ее не- монотонность, обычно имеющую осцилляционный характер [45–47]. Несомненно, что усредненная ло- кальная плотность состояний уже является самоуред- няющейся величиной и не зависит от конкретного рас- пределения примесей в образце. Ниже будет показано, что действительно сущест- вуют различные режимы концентрационной динамики усредненной локальной плотности состояний на при- месном узле и соответствующие критические концен- трации тесно связаны с взаимным пространственным перекрытием отдельных примесных состояний [48]. Иначе говоря, на качественном уровне вид локальной плотности состояний определяется отношением имею- щейся концентрации примеси к критической, что, соб- ственно, и позволяет говорить также о перестройке локального спектра как таковой. Поскольку графен — это первый по-настоящему двумерный экспериментальный объект, определение для него электронной локальной плотности состояний при помощи сканирующего туннельного микроскопа носит совершенно естественный характер. Изменения в спектре графена, как ясно из предыдущего, наиболее сильно выражены в окрестности энергии примесного состояния, поэтому можно ожидать, что в интервале энергий, охватывающем точку Дирака и положение резонанса, перестройка спектра должна весьма заметно отражаться на качественных особенностях примесной локальной плотности состояний. Именно в этом интер- вале энергий обычно и находится уровень Ферми в тех экспериментальных образцах графена, которые не бы- ли намеренно допированы. Следовательно, графен с примесями является в настоящее время наиболее под- ходящим объектом, на примере которого может быть проверена обоснованность концепции локальной пере- стройки спектра. Соответствующие особенности одно- примесной локальной плотности состояний как на са- мом примесном узле [34,37], так и на его ближайшем окружении [32,49] широко обсуждались, так же как и возможности их наблюдения [49]. Не говоря уже о том, что имеется ряд работ, посвященных сканирующей туннельной микроскопии графена (см., например, [44]). Для анализа усредненной локальной плотности со- стояний на примесном узле удобно ввести условную функцию Грина неупорядоченной системы: (imp) 1 imp= .v− H  (3.1) Особенностью этой функции Грина является то, что в узельном представлении отличными от нуля остаются лишь те ее матричные элементы, у которых левый ин- декс отвечает занятым примесями узлам. После усред- нения по всем возможным расположениям примесей, она может быть выражена через собственную энергию системы [50,51]: (imp) (imp) 1= ,v−≡G G Σ (3.2) Чтобы получить величину, сопоставимую с 0 ( )ε , диа- гональный по узлам решетки элемент условной функ- ции Грина должен быть соответствующим образом взвешен: 1428 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами (imp)1 0 0 0 ( ( )) . 1 ( ( )) g c G vg − ε −σ ε ≈ − ε −σ ε (3.3) Данное соотношение напоминает выражение (2.19), в котором исходная функция Грина g заменена на функ- цию Грина неупорядоченной системы, ( ) ( ( ))ε ≈ ε −σ εG g . Окончательно для усредненной локальной плотности состояний на примесном узле имеем 0 loc 0 ( ( ))1 1( ) Im = 1 ( ( )) g vg v  ε −σ ε ρ ε ≈ − + π − ε −σ ε  2 0 1 1 1 Im ( )= Im = . 1 ( ( ))v vg cv σ ε − − π − ε −σ ε π (3.4) Она также может быть выражена через модуль и фазу перенормированной энергии: loc 2 sin( ) = . cv ϕ ρ ε π  (3.5) Рассчитанная согласно уравнению (3.5) локальная плотность состояний и соответствующая зависимость малого параметра разложения от энергии приведены для выбранного набора параметров на рис. 7–9. На врезках показан нижний левый угол графика в увели- ченном масштабе. 3.1. Перестройка локального спектра в области примесного резонанса Положение максимума на кривой усредненной ло- кальной плотности состояний на примесном узле, во- обще говоря, зависит от концентрации дефектов. Бу- дем считать, что абсцисса точки данного максимума определяет текущую энергию примесного резонанса. Рассмотрим тот случай, когда единичная примесь при- водит к появлению хорошо определенного резонансно- го состояния, т.е. 1v . Тогда при некоторой конечной концентрации дефектов энергия примесного резонанса будет задаваться уравнением (ср. (2.21)) 01 = Re ( ( )).rv G cε (3.6) Его можно переписать в следующем виде: ( ) 1 = 2 ( ) ln ( ) tg ( ) . cos ( ) 2 r r r r r cv c c c c  ε π ε + −ϕ ϕ  ϕ     (3.7) Отсюда и далее без какой-либо потери общности бу- дем предполагать, что энергия однопримесного резо- нанса > 0rε . Когда концентрация примеси достаточна низкая, нетрудно отыскать решение уравнения (3.7) прибли- женно: ( ) [1 ( )], ( ) 1.r r r r rc c cε ≈ ε + γ ϕ ϕ  (3.8) Поскольку при наличии хорошо определенного одно- примесного резонанса характеризующий его затухание параметр rγ (см. (2.23)) должен быть малым, энергия ре- зонанса слабо зависит от ( )r cϕ . Концентрационная зави- симость ( )r cϕ может быть получена из условия самосо- гласования (2.27). Отметим, что второй член в уравнении (2.27) равен нулю согласно определению величины ( )r cε , а оставшиеся два приводят к следующему равенству: 2 ( ) = 2 ( )tg ( ) ln tg ( ) ( ) . cos ( ) 2 r r r r r r cc c c c c c  ε π − ε ϕ ϕ +ϕ −  ϕ  (3.9) При низких концентрациях соотношение (3.9) сущест- венно упрощается: 2 ( ) ( ) ( ) 1 , ( ) 1.r r r r r cc c c c  ϕ ≈ πε ϕ + ϕ γ   (3.10) Таким образом, величина rγ , в сущности, играет роль характерной фазы резонансного состояния, что вскрывает физический смысл данного параметра. Со- ответствующая, также критическая по своему смыслу, концентрация peakc получается из (3.10) при ( ) =r rcϕ γ : 2 2 2 2 2 2 peak ( ) = . 1 ln 1 ln ln r r r r r r r cc π ε π ε π ε − ≈ − ≈ − + ε + ε ε (3.11) При этой концентрации вызванное неупорядоченностью затухание на энергии резонанса становится равным зату- ханию однопримесного состояния peakIm ( ( ))r c− σ ε ≈ peak peak( ) ( )r r rc c≈ ε ϕ ≈ Γ , и, соответственно, значение локальной плотности состояний на энергии резонанса уменьшается в два раза по сравнению с изолированной примесью (ср. (2.22)): peak peak loc peak 2 2 2 ( ) ( ) 1( ( )) = = 2 r r r r r c c c c v v ε ϕ ρ ε ≈ π π ε imp ( ) = . 2 rρ ε (3.12) Рис. 7. Локальная плотность состояний на примесном узле при = 0,01rε для 5= 4 10 ,c n −⋅ = 1, 2 7n  . Для сравнения локальная плотность состояний изолированной примеси по- казана пунктирной кривой. Видно, что высота пика умень- шается с увеличением концентрации примеси. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1429 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев Пренебрегая концентрационным сдвигом энергии ре- зонанса (см. (3.8)) от ее однопримесного значения, не- трудно разрешить уравнение (3.10) относительно фазы peak ( ) 1 8 1 . 2 r r cc c  γ  ϕ ≈ + −     (3.13) Тогда концентрационная зависимость высоты макси- мума на локальной плотности состояний следует непо- средственно из (3.5) и (3.13): peak loc imp peak 1 8( / ) 1 ( ( )) ( ). 4( / )r r c c c c c + − ρ ε ≈ ρ ε (3.14) Вначале она снижается линейно с увеличением кон- центрации примеси, loc imp peak peak ( ( )) 1 2 ( ), ,r r cc c c c   ρ ε ≈ − ρ ε      (3.15) затем скорость этого уменьшения существенно замед- ляется: peak loc imp peak( ( )) ( ), . 2r r c c c c c ρ ε ≈ ρ ε  (3.16) Качественное различие между этими двумя стадиями отчетливо видно из сравнения рис. 7 с рис. 8. Поскольку peak= ( ) 1r r cγ ϕ  , согласно критерию применимости используемого приближения [12,13], проведенное выше рассмотрение справедливо для всех концентраций, вплоть до rc (рис. 9). Как изменение скорости уменьше- ния высоты резонансного пика, так и снижение его вы- соты вдвое, в принципе, должны наблюдаться экспери- ментально. 3.2. Перестройка локального спектра вблизи точки Дирака Помимо резонанса на кривой локальной плотности состояний присутствует еще одна характерная особен- ность — прогиб, или антирезонанс, в точке Дирака. При низкой концентрации примеси его положение в спектре dip ( )cε практически совпадает с энергией, при которой фаза перенормированной энергии = / 2ϕ π . Строго говоря, из предыдущего анализа следует, что применяемый для исследования спектра неупорядо- ченной системы аналитический подход не является справедливым в этой области энергий [12,13]. Тем не менее нижеследующие оценки вполне допустимы для описания концентрационной динамики локальной плотности состояний, если считать, что они носят пре- имущественно качественный характер. Так, при = /2ϕ π , мнимая часть (2.25) принимает вид 2 dip dip dip dip 2 dip dip 2 ln Im ( ( )) = = , 1 (2 ln ) cv c v − σ ε − +      (3.17) а эффективный сдвиг точки Дирака, вызванный нали- чием примеси, дается выражением dip 2 dip dip ( ) Re = . 1 (2 ln ) cvc v ε ≡ σ +   (3.18) При постепенном увеличении концентрации примеси критическая концентрация для прогиба в спектре дос- тигается тогда, когда по абсолютной величине сравни- ваются сдвиг и нарастающее быстрее сдвига затуха- ние: \| Re \|=\| Im \|σ σ . Из этого условия следует 2 dip = 4 ln \| \| .r rc − ε ε (3.19) При dipc c значение локальной плотности состояний для энергии антирезонанса быстро увеличивается при повышении концентрации примеси: 2 loc dip 2 2 exp ( 1/ (2 ))( ( )) , 2 cvc cv − ρ ε ≈ π (3.20) достигая максимального значения при dip=c c : loc dip dip 1( ( )) = . 2 \| \| c v ρ ε π (3.21) Рис. 8. Локальная плотность состояний на примесном узле для = 0,01rε при 5= (36 4 ) 10 ,c n −+ ⋅ = 1, 2 7n  . Она же, но для изолированной примеси, показана для сравнения пунк- тиром. Видно, что энергия антирезонанса сдвигается влево с увеличением концентрации. Рис. 9. Малый параметр ренормированного разложения при = 0,01rε для 5= 4 10 ,c n −⋅ = 1, 2 7n  . Видно, что высота максимума, соответствующего примесному резонансу, рас- тет с увеличением концентрации примеси. 1430 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами Пока выполняется неравенство dipc c , положение прогиба, согласно (3.18), постепенно, примерно на cv , смещается с увеличением концентрации примеси, а затем сам прогиб полностью исчезает при dipc c . Отрыв кри- вой локальной плотности состояний от оси энергии ясно виден на рис. 8. Уместно еще раз отметить, что исполь- зуемый метод модифицированного пропагатора не спра- ведлив при = /2ϕ π . Однако поскольку ширина спек- тральной области, в которой этот подход не работает, экспоненциально узка по сравнению с шириной зоны при dipc c , а антирезонанс как особенность на локаль- ной плотности состояний престает существовать при dipc c , можно считать, что приведенные выше оценки полностью оправданы для качественного описания ло- кального спектра. 3.3. Перестройка локального спектра как концентрационный эффект Критическая концентрация примеси общей пере- стройки спектра rc находится в достаточно узком ин- тервале значений, заключенном между полученными выше (3.11) и (3.19). Таким образом, существует тес- ная взаимосвязь между перестройкой локального спек- тра и взаимным перекрытием индивидуальных при- месных состояний. В рамках выбранной примесной модели хорошо определенное резонансное состояние возможно только при достаточно сильном примесном возмущении. Однако это ограничение на примесный потенциал существенно облегчается для двойного (гантельного) дефекта [49,52,53]. При этом для послед- него физика перестройки локального спектра должна, в основном, остаться неизменной. Ограничение на вели- чину примесного потенциала не столь сильно в том случае, когда изменяются интегралы перескока между примесным атомом и атомами основного кристалла, чего, в принципе, избежать нельзя, когда речь идет о моделях, адекватных реальным системам. Таким образом, можно с уверенностью констатиро- вать, что концепция перестройки локального спектра вполне обоснованна. Взаимное перекрытие примесных состояний становится существенным при достижении критической концентрации, что и приводит к качествен- ным изменениям в спектре, в том числе в локальной плотности состояний. А именно и максимум на энергии примесного резонанса, и минимум в точке Дирака разли- чимы на локальной плотности состояний примесного узла только тогда, когда соответствующие критические концентрации еще не превышены. Данное обстоятель- ство следует учитывать при исследовании резонансных состояний с помощью сканирующего туннельного мик- роскопа, поскольку чем ярче выражен однопримесный резонанс, тем ниже критическая концентрация пере- стройки спектра, что накладывает соответствующее ограничение на общее количество допантов. Иными словами, при известной концентрации при- меси структура локального спектра дефекта может быть предсказана заранее. Следует при этом заметить, что явление перестройки локального спектра должно быть присущим не только графену и подобным ему системам, но также практически любым неупорядо- ченным системам с примесными состояниями, энергии которых лежат вблизи особенности ван Хова. 4. Численное моделирование процесса перестройки спектра в графене Выше были проанализированы основные особенности процесса перестройки электронного спектра графена при условии, что воздействие примеси на рассматриваемую систему можно описать в рамках модели Лифшица. Заме- тим, что выбранная модель, в силу своей простоты, очень удобна для получения результатов аналитическим спосо- бом. Вместе с тем она обладает весьма ограниченными возможностями. Вследствие этого не следует особенно надеяться, что при теоретическом описании неидеального кристалла эта модель позволит количественно воспроиз- вести результаты реальных экспериментов с необходи- мой точностью. Тем не менее нелишне все же удостове- риться в справедливости изложенных выше результатов. Одним из доступных способов осуществить такую непо- средственную проверку является постановка численного эксперимента над модельной неупорядоченной системой, в которой примеси будут заведомо описываться в согла- сии с подходом, предложенным Лифшицем. Рассмотрим неупорядоченную систему, характери- зующуюся гамильтонианом (2.6) и (2.17), т.е. для невоз- мущенного графена ограничимся приближением бли- жайших соседей. Вычисление плотности состояний с примесями произведем по методу Дина [54]. Этот метод позволяет получать число собственных значений эрмито- вой матрицы, меньших, чем некоторая заранее выбранная величина, что дает возможность определять энергетиче- скую зависимость плотности состояний неупорядоченной системы с любой требуемой точностью. Значения плотности состояний, приводимые ниже, рассчитывались для сотовой решетки, состоящей из 65,3 10⋅ атомов, что соответствует линейным размерам образца порядка 0,3 мкм. Для того, чтобы устранить влияние краевых состояний на плотность состояний, накладывались периодические граничные условия вдоль границы типа зигзаг [55]. Численно рассчитан- ная плотность состояний для модельной системы без примесей представлена на рис. 10. Изрезанность кри- вой плотности состояний — следствие конечного раз- мера рассматриваемой системы. Полученную численно плотность состояний срав- ним с результатами, которые дают хорошо известные в теории неупорядоченных систем приближенные мето- ды расчета. Наиболее часто для вычисления одночас- Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1431 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев тичной функции Грина неупорядоченной системы ис- пользуются следующие приближенные методы: при- ближение средней Т-матрицы, 0 ( ) = , 1 (1 ) ( ) L ATA L cVE c V g E Σ − − (4.1) учитывающее многократные рассеяния на примесном узле, и приближение когерентного потенциала, 0 ( ) = , 1 [ ( )] ( ( )) L CPA L CPA CPA cVE V E g E E Σ − −Σ −Σ (4.2) которое принимает во внимание и перенормировку пропагатора. Напомним, что приближение когерентно- го потенциала можно получить из условия равенства нулю усредненной перенормированной одноузельной Т-матрицы. Оба метода не учитывают вклад в собственную энергию от рассеяния на кластерах, состоящих из двух или большего числа примесей. Соответственно, ни одно из этих приближений не применимо на тех энер- гетических интервалах, внутри которых в изучаемой неупорядоченной системе важны кластерные эффекты. При этом на тех участках спектра, где малый параметр ряда для собственной энергии ( )R E принимает сравни- тельно большие значения, приближение когерентного потенциала «работает» неудовлетворительно, а соот- ветствующие электронные состояния проявляют тен- денцию к локализации. Подчеркнем, что в том случае, когда собственная энергия рассчитывается в прибли- жении когерентного потенциала, максимально воз- можная величина параметра ( )R E равна единице, при- чем это значение достигается для энергий особенностей ван Хова спектра неупорядоченной сис- темы. При этом порог подвижности, как ожидается, должен находиться вблизи энергии, для которой ( )R E ≈ ≈ 0,5 [12,13]. С использованием выражения для собст- венной энергии, следующего из приближения когерент- ного потенциала, малый параметр при низкой концен- трации примеси может быть представлен в виде 2 2 0 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )CPA E E ECPA E g E R E g E c E ′ −Σ ′Σ ∂ ′ + ′∂  . (4.3) В этом выражении присутствуют два множителя. Первый из них, 2 ( )/CPA E cΣ , возрастает по абсолютной величине в окрестности энергии примесного резонан- са. Второй же, заключенный в круглые скобки, возрас- тает в окрестности точки Дирака или любой другой особенности ван Хова. Следовательно, зависимость малого параметра от энергии имеет несколько макси- Рис. 10. Плотность состояний чистого графена, полученная методом Дина (тонкая линия) по сравнению с точной плот- ностью состояний бесконечной системы (жирная линия). Рис. 11. (Онлайн в цвете) Плотность состояний (левая ось), полученная: численно (гистограмма), в приближении когерент- ного потенциала (штриховая линия), в приближении средней Т-матрицы (штрихпунктирная кривая). Сплошной кривой показан малый параметр ( )R E (правая ось). Треугольник на оси энергии соответствует положению уровня Ферми. Примесное возмущение = 4LV t , критическая концентрация 0,015rc ≈ . 1432 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами мумов, вблизи которых приближение когерентного потенциала может стать неприменимым. Рисунки 11, 12 и 13 выполнены для «отталкивающих» примесных возмущений = 4LV t , 8t и 16t соответственно. При «притягивающих» примесных потенциалах, < 0LV , общую картину спектра следует зеркально отразить от- носительно нулевой энергии. Для каждой величины воз- мущения рассматриваются различные концентрации примеси: < rc c (до перестройки спектра), rc c≈ (в точке перестройки спектра) и > rc c (после нее). При низких концентрациях (т.е. меньших, чем rc ) кривые, полученные при помощи обоих приближен- ных методов, проходят практически по рассчитанной численно гистограмме. Плотность состояний, как вид- но на рисунках, слабо отличается от невозмущенной. При этом общий сдвиг спектра в сторону положитель- ных энергий выражен все же достаточно отчетливо. Параметр ( )R E мал по сравнению с единицей при всех энергиях, лежащих внутри рассматриваемого интерва- ла, кроме узкой окрестности сдвинутой точки Дирака, и имеет два максимума. Наличие резкого и высокого максимума ( )R E , находящегося в точке Дирака, свиде- тельствует о неприменимости обоих приближенных методов в узкой окрестности этой точки. Значительно менее резкий максимум, как и следовало ожидать, на- ходится вблизи энергии примесного резонанса. Когда же концентрация примеси увеличивается при- мерно до ее критического значения, оба максимума параметра ( )R E сливаются в один, причем высота этого объединенного максимума превышает по величине 0,5 (в соответствии с аналитическими результатами, пред- ставленными выше). Момент слияния двух максимумов свидетельствует о начале перестройки спектра, что по- зволяет, в свою очередь, указать величину критической концентрации при данном примесном возмущении LV . На том энергетическом интервале, где значения ( )R E велики, различие между плотностью состояний, полу- ченной в приближении когерентного потенциала, и результатом численного эксперимента становится су- щественным. Из рис. 11 следует, что величина 4t в некотором смысле близка к пороговому значению возмущения LV по отношению к используемому аналитическому под- ходу, поскольку резонансное состояние появляется на периферии той области, в которой справедлива линей- ная аппроксимация для закона дисперсии (2.11). Из-за этого даже при низкой концентрации примеси есть некоторое расхождение между численными и аналити- Рис. 12. То же, что на рис. 11, = 8LV t , критическая концентрация 0,003rc ≈ . Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1433 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев ческими результатами на границах изучаемого интер- вала энергий. Примесный резонанс при такой величине потенциала LV в достаточной степени размыт, и по- этому его присутствие слабо различимо на кривой плотности состояний. Следует отметить, что при дан- ном значении LV примесный резонанс не выражен от- четливо и на локальной плотности состояний изолиро- ванной примеси. Напомним, что в случае слабого рассеяния (\| \|<LV W ) перестройка спектра не происхо- дит вообще (как это очевидно из [56], где усредненная плотность состояний просто сдвигалась по оси энергий с увеличением концентрации примеси). При увеличении LV примесный резонанс сужается и становится хорошо определенным. Заранее ясно, что на кривой плотности состояний, рассчитанной в при- ближении когерентного потенциала, не должно присут- ствовать никаких резких особенностей, в отличие от плотности состояний, рассчитанной в приближении средней Т-матрицы. Из-за отсутствия самосогласования приближение средней Т-матрицы больше привязано к энергии однопримесного резонанса. Как ясно видно на рис. 12 и 13, приближение средней Т-матрицы доста- точно точно воспроизводит соответствующий резонансу пик на гистограмме при концентрациях, близких к кри- тической. Более того, чем больше примесный потенциал LV , тем лучше приближение средней Т-матрицы согла- суется с численными данными. Это совпадение, однако, не сохраняется для концен- траций дефектов, превышающих критическую. С увели- чением концентрации положение максимума сдвигается из положения однопримесного резонанса в сторону от- рицательных энергий и, кроме того, рядом на кривой формируется второй, дополнительный максимум. В то время как сдвиг основного максимума влево от энер- гии однопримесного резонанса имеет существенную величину, максимум на плотности состояний, рассчи- танной в приближении средней Т-матрицы, остается лежащим на энергии однопримесного резонанса. Та- ким образом, нерегулярная структура полученной чис- ленно плотности состояний не может быть интерпре- тирована исключительно в рамках приближения когерентного потенциала или же средней Т-матрицы. Указанные максимумы на плотности состояний распо- лагаются внутри широкого интервала энергий, на ко- тором нарушается критерий применимости приближе- ния когерентного потенциала ( ( ) > 0,5),R E а плотность состояний, вычисленная в приближении когерентного потенциала, сильно отличается от гистограммы. Под- Рис. 13. То же, что на рис. 11, = 16 ,LV t критическая концентрация 0,0007rc ≈ . 1434 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами черкнем, что данный энергетический интервал содер- жит в себе и энергию однопримесного резонанса, и сдвинутую и размытую точку Дирака. Для того, чтобы исследовать характер состояний в этой области спектра, рассчитаем зависимость обрат- ной доли участия ( )P E от энергии (см. [56]) для систе- мы несколько меньшего размера: 4( ) = \| \| ,P E α α ψ∑ n n (4.4) где α ψn — компонента вектора волновой функции на узле из подрешетки α в ячейке с радиусом-вектором n, суммирование проводится по всем узлам кристалличе- ской решетки. Следует подчеркнуть, что в серии про- веденных расчетов высота кривых ( )P E в рассматри- ваемой области спектра не уменьшалась с увеличением линейных размеров системы, что недвусмысленно сви- детельствует о локализации носителей тока. Концентра- ционная динамика обратной доли участия представлена на рис. 14. Выбранные концентрации и значение при- месного потенциала соответствуют рис. 12. Отчетливо видно радикальное усиление локализации состояний, происходящее после перестройки спектра. Отметим, что электронные состояния оказываются локализованными именно в той области спектра, где параметр ( )R E пре- вышает значение 0,5, а приближение когерентного по- тенциала, соответственно, не применимо. Данный факт дополнительно подтверждает тесную связь между кри- терием применимости когерентного потенциала и кри- терием Иоффе–Регеля [11]. Из сравнения рис. 14 с рис. 12, в частности при = 0,012c , следует, что наибольшим значениям ( )P E соответствуют обсуждавшиеся выше максимумы на плотности состояний. Собственные состояния, соответствующие доми- нирующим резким пикам на зависимости обратной доли участия от энергии, приведены на рис. 15, 16. Как свидетельствуют рисунки, электронные состоя- ния локализованы в основном на парах примесей. Если энергия двухпримесного резонанса принадлежит ближайшему к точке Дирака максимуму при 0.14E t≈ − (см. рис. 16), то примеси, составляющие пару, удалены друг от друга на большее расстояние, чем в том случае, когда энергия двухпримесного резонанса относится ко второму пику, находящемуся при 0.19E t≈ − (см. рис. 15). В обоих случаях примеси, составляющие пару, находятся на одной и той же подрешетке и обладают специфическим взаимным расположением. При этом максимумы ψ-функции сконцентрированы на проти- воположной подрешетке. Заметим, что именно такие конфигурации в расположении дефектов могут ока- заться преимущественными, когда на поверхность графена производится осаждение водорода в количест- ве, достаточном для взаимного упорядочения примесей [57]. Подчеркнем, что, согласно результатам численно- го эксперимента, локализация электронных состояний максимальна не на энергии однопримесного резонанса, а на энергиях указанных двухпримесных резонансов, причем на этих же энергиях находятся и доминирую- щие пики в плотности состояний. Пары примесей, расположенных на разных подре- шетках, тоже могут приводить к появлению резонанс- ных состояний, причем необходимая для этого порого- Рис. 14. Обратная доля участия для = 8LV t при разных кон- центрациях примеси. Рис. 15. Фрагменты собственных состояний при = 8LV t и = 0,012c . Изображенные конфигурации характерны для более удаленного от точки Дирака пика на плотности состояний. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1435 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев вая величина примесного возмущения существенно меньше, чем для однопримесного резонанса [49]. Для малых по сравнению с шириной зоны значений LV та- кие резонансы вообще не образуются, однако с пре- вышением примесным потенциалом порогового значе- ния, полученного в [49], их энергии вполне могут оказаться в интересующей нас области, охватывающей точку Дирака. Заметим, что при разумных значениях примесного потенциала энергии таких резонансов рас- положены достаточно редко, чтобы не формировать гладкую добавочную плотность состояний. В против- ном случае примесное возмущение необходимо уже классифицировать как унитарное; иначе говоря, следу- ет рассматривать систему с вакансиями. Такими резо- нансами будем в дальнейшем пренебрегать, хотя и су- ществует вероятность попадания энергии отдельного резонанса в непосредственную окрестность точки Ди- рака, что приведет к некоторому повышению плотно- сти состояний. Возможно, что соответствующий пик на плотности состояний как раз и удается различить на рис. 11 при = 0,015c . В качестве итога следует отметить, что численное мо- делирование примесного графена с убедительностью свидетельствует о качественных изменениях, происхо- дящих в его спектре при превышении определенной кон- центрации примеси. Сама же критическая концентра- ция, как показывают расчеты, в значительной степени определяется взаимным пространственным перекрыти- ем отдельных примесных состояний. В свою очередь, кардинальное изменение спектра реализуется путем появления в окрестности энергии примесного резонанса транспортной щели, заполненной сильно локализован- ными состояниями, тогда как само формирование этой щели происходит за счет кластерных эффектов. Непо- средственная визуализация двухпримесных состояний, являющихся характерными представителями пиков на плотности состояний, наглядно демонстрирует доми- нантную роль рассеяния на примесных кластерах внутри образовавшейся транспортной щели. Важно, что числен- ное моделирование полностью подтвердило теоретически спрогнозированный сценарий протекания перестройки спектра в графене. Поскольку приближение когерентного потенциала не учитывает кластерные эффекты, а рассеяние на примесных кластерах внутри транспортной щели явля- ется преобладающим, становится очевидным, что внутри щели данное приближение не применимо. Сравнение плотности состояний, рассчитанной в при- ближении когерентного потенциала, с полученной численно продемонстрировало также и действенность предложенного критерия применимости этого при- ближения. Численные расчеты не только подтвердили, что данный критерий может эффективно использо- ваться для описания хода перестройки спектра, но и помогли установить тесную взаимосвязь между крите- рием применимости приближения когерентного по- тенциала и степенью локализации носителей тока. Из полученных численных результатов отчетливо видно, что точка Дирака, как таковая, исчезает из спек- тра, когда достигается концентрация rc . Следователь- но, уже при достаточно низкой концентрации нельзя говорить о присутствии точки Дирака в неупорядочен- ной системе. Как приближение когерентного потен- циала, так и приближение средней Т-матрицы при > rc c не дают корректного описания присутствующего на плотности состояний минимума, находящегося ме- жду валентной зоной и зоной проводимости. Обычно для чистого (не допированного) графена точка Дирака совпадает с положением энергии Ферми. Однако данная ситуация изменяется даже при низкой концентрации примеси. Численный метод Дина позво- ляет определять положение уровня Ферми, поскольку дает полное число состояний, расположенных ниже выбранной энергии. Отслеживание этого уровня пока- зало, что его положение сдвигается от минимума на плотности состояний в направлении положительных энергий. Чем больше концентрация примеси, тем более явственен указанный сдвиг. В результате полное число состояний в валентной зоне и зоне проводимости гра- фена, взятых по отдельности, не сохраняется, если Рис. 16. Фрагменты собственных состояний при = 8LV t и = 0,012c . Представленные конфигурации характерны для ближайшего к точке Дирака пика на плотности состояний. 1436 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами считать, что их разграничивает минимум на плотности состояний. Таким образом, без прикладывания потен- циала на затворе графен фактически превращается в допированный полупроводник. Если же примесные атомы привносят в систему дополнительные электро- ны, то эффект допирования только увеличивается. Сам сдвиг может быть объяснен, исходя из простых соображений. При отсутствии зоны проводимости и при потенциале > 0LV на верхнем краю валентной зоны образуется хвост плотности состояний. Поскольку зона проводимости не отделена от валентной зоны, этот хвост попадает внутрь зоны проводимости, добавляя электронные состояния выше минимума на плотности состояний. Так как общее число состояний в каждой зоне должно сохраняться ввиду известных правил сумм, указанное проникновение состояний из валент- ной зоны в зону проводимости приводит к дефициту состояний ниже минимума на плотности состояний. Следовательно, при постоянном числе носителей лиш- ние электроны перетекают в зону проводимости, изме- няя положение уровня Ферми. С увеличением концен- трации примеси указанный хвост становится все более и более наполненным электронными состояниями, что и делает сдвиг энергии Ферми более заметным. По- скольку отталкивающая примесь Лифшица ( > 0LV ) приводит к появлению удаленного локального уровня, расположенного выше зоны проводимости, до извест- ной степени она моделирует действие донорного де- фекта в неупорядоченной системе. Естественно, что притягивающая примесь Лифшица ( < 0LV ) будет со- ответствовать акцепторному дефекту. Это свойство примесной модели Лифшица будет использовано ниже при теоретическом описании перехода металл– диэлектрик в графене, происходящего при осаждении на него атомарного водорода. 5. Спектральная функция неупорядоченного графена Дисперсия электронов в графене непосредственно наблюдалась в ряде экспериментов по фотоэлектрон- ной спектроскопии его образцов [18,19,58,59]. В неко- торых из опубликованных работ авторы отмечали, что полученные данные содержат ряд характерных при- знаков, свидетельствующих о присутствии в электрон- ном спектре примесных резонансов. В частности, в этих работах делается вывод о том, что вызванные де- фектами квазилокализованные состояния могут быть причиной заметно увеличенной электронной плотно- сти состояний в окрестности точки Дирака [18]. Результаты проведенных измерений выявили нали- чие интригующих особенностей в поведении спек- тральной функции. Так, было обнаружено, что линей- ная экстраполяция дисперсионных кривых, лежащих в валентной зоне, не проходит через соответствующие кривые, лежащие в зоне проводимости, и, кроме того, сами дираковские конусы существенно искажены, вслед- ствие чего линейный характер закона дисперсии, в стро- гом смысле этого термина, не соблюдается [19]. Помимо этого, на дисперсионных кривых появлялся заметный кинк, находившийся несколько выше точки Дирака. Происхождение этого кинка приписывалось взаи- модействию электронов с внутрислоевыми оптически- ми колебаниями решетки графена. Однако требуемая для количественного описания кинка величина посто- янной электрон-фононного взаимодействия, согласно расчетам, должна в пять раз превышать имеющуюся теоретическую оценку сверху для этой постоянной. В качестве альтернативы предлагалась и теория, учиты- вающая электрон-электронное взаимодействие, опо- средованное фононами [60]. Найденная на ее основе спектральная функция показала, что такое взаимодей- ствие действительно может существенно влиять на закон дисперсии, но получающийся в результате кинк на дисперсионной кривой выглядит намного резче, чем наблюдавшийся в эксперименте. Другой подход к объяснению поведения спектраль- ной функции графена был предпринят в [61]. С ис- пользованием метода функционала плотности в этой работе была рассчитана электронная структура графе- на с осажденными атомами кальция — был рассмотрен случай стехиометрического состава СаС6. Авторы об- наружили, что в результате допирования зонная струк- тура графена существенно изменяется, зоны кальция оказываются расположенными вблизи точки Дирака, а их гибридизация с состояниями исходного кристалла, в свою очередь, приводит к сильной нелинейности зон- ной дисперсии. Основываясь на этом наблюдении, ав- торы предложили гипотезу, что именно данный меха- низм, а не многочастичные эффекты, на самом деле и проявляется в экспериментах по фотоэлектронной спектроскопии. В то же время рассеяние электронов на случайно расположенных примесях для объяснения физической природы возникновения кинка не привлекалось. Вы- сказывалось мнение, что точечные дефекты могут при- водить лишь к появлению не зависящего от энергии затухания электронных состояний, следствием чего является однородное размытие максимумов спек- тральной функции [19,59]. При использовании, как и раньше, примесной моде- ли Лифшица и приближения (2.25), собственная энер- гия в узельном представлении представляет из себя диагональную матрицу. Как было отмечено выше, ее матричные элементы идентичны на обеих подрешет- ках. Поэтому после суммирования по подрешеткам, соответствующее выражение для экспериментально наблюдаемой спектральной функции примесного гра- фена вблизи одной из точек Дирака принимает вид Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1437 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев 2 2 2 ( )( , ) Im , 3( ( )) ( ) 4 A ak ε −σ ε ε ≈ π ′ε −σ ε − π k (5.1) где волновой вектор ′k имеет тот же смысл, что и в выражении (2.7). Ниже, для простоты, будем предпо- лагать, что единица длины выбрана таким образом, чтобы выполнялось равенство = 2 / 3a π . Согласно полученным в предыдущих разделах ре- зультатам, электронный спектр рассматриваемой не- упорядоченной системы качественно изменяется при превышении критической концентрации примеси rc . Проследим за соответствующими изменениями, про- исходящими со спектральной функцией (5.1) при по- степенном увеличении концентрации примеси заме- щения [62]. Концентрационная динамика спектральной функ- ции для сравнительно слабого примесного возмущения = 2v − показана на рис. 17 и 18 (изображен вид со сто- роны зоны проводимости). Согласно оценке (2.38), при = 2v − соответствующая критическая концентрация rc составляет около 0,01. Как уже отмечалось, примеси, имеющие потенциал, сравнимый по своей величине с шириной зоны, не приводят к появлению хорошо оп- ределенных резонансных состояний. Этим объясня- ется монотонное поведение спектральной функции на рис. 17 и 18. Тем не менее даже на этих рисунках хо- рошо видно, что при наличии точечных дефектов из- начально присутствовавшая в электронной подсистеме графена симметрия между валентной зоной и зоной проводимости нарушается. Носители, находящиеся в зоне проводимости, испытывают намного большее затухание из-за рассеяния на примесных центрах, чем носители из валентной зоны, причем величина этого затухания постепенно возрастает с увеличением c. На- личие затухания непосредственно сказывается на раз- мытии максимумов спектральной функции и уменьше- нии их относительных высот. Помимо этого, как и следовало ожидать, с ростом концентрации примеси происходит градационный сдвиг точки Дирака по на- Рис. 17. Спектральная функция графена для = 2v − при = /8rc c и = /4rc c , 0,012rc ≈ . Рис. 18. Спектральная функция графена для = 2v − при = /2rc c и = rc c , 0,012rc ≈ . 1438 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами правлению к отрицательным энергиям. Как упомина- лось выше, при низкой концентрации примеси ( < rc c ) в спектре присутствует область концентрационного размытия точки Дирака, внутри которой условие (4.3) не выполняется, электронные состояния локализованы, а используемое приближение не применимо. Однако ширина области концентрационного размытия при < rc c экспоненциально мала по сравнению с шириной зоны, поэтому оказывается на рисунках незаметной. Отметим, что случай = 4v − является, в некотором смысле, промежуточным. Соответствующая концен- трационная динамика спектральной функции пред- ставлена на рис. 19 и 20. При данной величине при- месного возмущения критическая концентрация перестройки спектра имеет существенно меньшую величину, которая составляет примерно 0,002. Сдвиг точки Дирака, происходящий с ростом концентрации, выражен не столь отчетливо, как ранее, но в зоне про- водимости уже присутствует резонанс, хотя и доста- точно размытый. Его наличие в электронном спектре системы объясняет присутствие прогибов на хребтах спектральной функции, которые проявляются при = /4rc c . Эти прогибы практически полностью исчеза- ют при более высоких концентрациях примеси, в ре- зультате чего общий вид спектральной функции стано- вится похожим на описанный выше и так же, как и ранее, характеризуется заметной асимметрией между валентной зоной и зоной проводимости. Если пере- стройка спектра уже произошла, то ширина открыв- шейся траспортной щели быстро растет с увеличением концентрации дефектов (приблизительно пропорцио- нально c ). Хотя, строго говоря, выбранный аналити- ческий подход не применим внутри этой щели, полу- ченный результат для = 2 rc c так же приводится. Он не лишен некоторого смысла, если принять во внимание тот факт, что внутри щели спектральная функция, так или иначе, оказывается сильно размытой и лишенной каких-либо особенностей. Рис. 19. Спектральная функция графена для = 4v − при = /4rc c и = /2rc c , 0,0024rc ≈ . Рис. 20. Спектральная функция графена для = 4v − при = rc c , = 2 rc c , 0,0024rc ≈ . Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1439 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев Эволюция спектральной функции, разыгрывающая- ся с увеличением концентрации примеси, в случае большого примесного возмущения = 8v − представляет наибольший интерес. Соответствующие графики пред- ставлены на рис. 21 и 22. Когда примесное возмущение столь велико, в системе присутствует хорошо опреде- ленное резонансное состояние, энергия которого rε на- ходится вблизи точки Дирака, в чем можно удостове- риться, воспользовавшись уравнением Лифшица (2.21). Как следствие, расположенные около энергии примес- ного резонанса прогибы на хребтах спектральной функ- ции резко очерчены и остаются ярко выраженными да- же при концентрациях, близких к критической. При этом, как нетрудно видеть, ширина прогибов с ростом концентрации примеси постепенно увеличивается. Что- бы подчеркнуть это обстоятельство, спектральная функция показана и для тех примесных концентраций, которые превышают критическую. Нетрудно видеть, что в этом случае ширина транспортной щели, внутри которой результаты не заслуживают доверия, имеет значительную величину (подобный вопрос обсуждался выше для случая = 4v − ). Критическая концентрация для = 8v − близка к 0,0005. Естественно, что сдвиг точки Дирака, о кото- ром можно говорить только для концентраций мень- ших критической, существенно уменьшается по вели- чине. Однако асимметрия между валентной зоной и зоной проводимости выражена гораздо более ярко. Чтобы акцентировать на этом внимание, на рис. 23 и 24 представлены графики плотности спектральной функ- ции для тех же параметров, которые были использова- ны на рис. 21 и 22. На этих рисунках более темный тон соответствует большему значению спектральной функции. Тонкие линии проведены для наглядности и представляют не- возмущенный закон дисперсии в графене, сдвинутый таким образом, чтобы проходить через новое положе- ние точки Дирака. Прежде всего бросается в глаза, что линейная экстраполяция дисперсионных кривых ва- лентной зоны не проходит через дисперсионные кривые Рис. 21. Спектральная функция графена для = 8v − при = /2rc c , = rc c , 0,00052rc ≈ . Рис. 22. Спектральная функция графена для = 8v − при = 2 rc c , = 4 rc c , 0,00052rc ≈ . 1440 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами зоны проводимости. Во-вторых, в зоне проводимости на дисперсионных кривых отчетливо виден кинк, который расположен сразу же над точкой Дирака (см. также [63]). С увеличением концентрации примеси обе эти особенности становятся более явными. Визуально они не отличаются от особенностей спектральной функции, полученных в экспериментах по фотоэлектронной спек- троскопии графена [19,59]. В заключение этого раздела подчеркнем, что с воз- растанием величины примесного потенциала отличия между зоной проводимости и валентной зоной неупоря- доченного графена становятся более явными: при вы- бранном знаке примесного потенциала не только суще- ственно усиливается затухание токовых состояний в зоне проводимости по сравнению с валентной зоной, но и продолжения линий максимумов спектральной функ- ции валентной зоны сильнее отклоняются от соответст- вующих линий максимумов в зоне проводимости, кроме того, вместе с появлением вблизи точки Дирака хорошо определенного резонансного состояния, на дисперсион- ной кривой в окрестности энергии резонанса формиру- ется отчетливо выраженный кинк. Таким образом, мо- дель точечных дефектов дает результаты, которые каче- ственно соответствуют наблюдаемым в эксперименте особенностям спектральной функции [19,59]. 6. Проводимость графена с примесями Транспортные свойства занимают особое место в фи- зике графена, поскольку именно они являются опреде- ляющими при разработке электронных приборов на ос- нове этого и подобных материалов. Когда речь заходит о реальных кристаллах, следует принимать во внимание существенную зависимость их транспортных свойств как от степени неидеальности системы, так и от взаимодейст- вия носителей тока с другими возбуждениями. Ниже предметом обсуждения будет служить исключительно воздействие точечных дефектов на проводимость графе- на, что, тем не менее, позволяет коснуться вопросов о спектре делокализованных носителей тока, о его зави- Рис. 23. Спектральная функция графена для = 8v − при = /2rc c и = rc c , 0,00052rc ≈ . Рис. 24. Спектральная функция графена для = 8v − при = 2 rc c и = 4 rc c , 0,00052rc ≈ . Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1441 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев симости от количества дефектов и, в конце концов, о такой интригующей величине, как минимальное значе- ние проводимости, выяснив попутно, является ли оно универсальным. В ранних публикациях, посвященных этой пробле- ме, было общепринятым выделять два основных свой- ства зависимости проводимости графена от положения энергии Ферми. Во-первых, ставился акцент на том, что проводимость исследуемых экспериментально об- разцов графена не опускается ниже некоторого опре- деленного значения. Поскольку это значение, как каза- лось, в процессе измерений не изменяется от образца к образцу, предпринимались настойчивые попытки ус- тановить природу универсальной минимальной прово- димости. В качестве второй особенности отмечалась наблюдавшаяся линейность зависимости проводимо- сти от величины потенциала на затворе. Однако довольно скоро стало очевидным, что ми- нимальное значение проводимости существенно зави- сит от качества экспериментального образца [64], по- сле чего физическая природа феномена минимальной проводимости графена стала приписываться особенно- стям рассеяния частиц с дираковским законом диспер- сии на несовершенствах кристаллической решетки. Ввиду второго из свойств проводимости графена отме- чалось качественное различие между заряженными примесями и нейтральными точечными дефектами [65]. Было показано, что заряженные примеси приводят к линейной зависимости проводимости от напряжения на затворе, а точечные дефекты — к сублинейному пове- дению проводимости, и, следовательно, последние были исключены из списка основных факторов, ограничи- вающих проводимость графена. Концепция домини- рующей роли заряженных примесей среди других ис- точников рассеяния носителей тока в графене вскоре получила свое развитие и обрела дальнейшую конкрети- зацию в ряде последовавших работ [66–68]. Она была с успехом применена для объяснения экспериментальных данных, полученных для графена с осажденными на него атомами калия [69,70]. При этом, в процессе под- гонки теоретических кривых к экспериментальным, то- чечным дефектам приписывался не зависящий от энер- гии вклад в проводимость. Хотя концепция доминирующей роли кулоновских рассеивающих центров и выглядит обоснованной, экс- перименты, проведенные с погруженным в этанол гра- феном, ставят ее под сомнение [71]. К тому же в рам- ках этой модели не получает разумного объяснения и отчетливо наблюдавшаяся асимметрия зависимости проводимости от напряжения на затворе в образцах с осажденными на их поверхность атомами калия [69,70]. В то время как наличие умеренной асиммет- рии, в принципе, может быть приписано дисбалансу между концентрациями положительно и отрицательно заряженных дефектов [72], интерпретация особо ярко выраженной асимметрии зависимости проводимости от напряжения на затворе в графене, допированном переходными металлами, не укладывается в рамки мо- дели заряженных примесных центров [73]. Очевидный сублинейный характер поведения кривых проводимости, полученных в этих экспериментах, только усиливает общее впечатление, что в каждом из перечисленных случаев одновременно присутствуют примеси разного типа и каждый из них должен быть изучен особо, что- бы можно было описать свойства проводимости гра- фена хотя бы на качественном уровне. Заметим, что именно совместный учет заряженных примесей и то- чечных дефектов вследствие различного отклика этих двух типов примеси на экранировку свободными носи- телями тока позволил успешно разрешить вопрос о слабо изменяющемся значении минимальной прово- димости графена, помещенного в диэлектрическое ок- ружение [74]. Следует подчеркнуть, что в упомянутых экспери- ментах, направленных на определение основного кана- ла рассеяния носителей тока в графене, на поверхность образцов, которые считались в остальном бездефект- ными, осаждались различные адатомы. В сущности, здесь мы сталкиваемся с двумя различными аспектами проблемы. Один из них — насущная необходимость выяснить, что же в действительности ограничивает проводимость образцов графена, полученных опреде- ленным способом, а другой — необходимость проана- лизировать влияние на проводимость тех дефектов, которые были добавлены намеренно. Последнее тесно связано с намечающейся тенденцией функционализи- ровать графен примесями замещения, адатомами или химически активными группами. Обратимся к обычной в физике полупроводников модели бинарного сплава, чтобы исследовать, какие из свойств проводимости графена она способна воспро- извести. Такие примеси нарушают электрон-дырочную симметрию системы, что должно естественным обра- зом приводить к асимметрии зависимости проводимо- сти от энергии Ферми. Хотя эта модель и рассматрива- лась неоднократно как в пределе слабого рассеяния, так и в унитарном пределе, ниже будет показано, что она приводит к некоторым достойным внимания результа- там, когда примесное возмущение отличается по вели- чине от этих двух предельных случаев [75]. В частности, будет показано, что эффективный минимум проводимо- сти, в отличие от предыдущих результатов, соответст- вует не точке Дирака в спектре, а энергии однопримес- ного резонанса. Выше была подробно описана процедура вычисле- ния собственной энергии для электронной подсистемы графена в случае, когда примеси описываются при по- мощи модели Лифшица. Эту собственную энергию можно использовать в выражении для проводимости 1442 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами графена при нулевой температуре, полученном в при- ближении Кубо [76–78]: 2 cond Re ( ) Im ( )2= 1 Im ( ) Re ( ) F F F F F F e h   ε − σ ε − σ εσ + + ×  π − σ ε ε − σ ε    Re ( ) arctg , Im ( ) F F F  ε − σ ε ×  − σ ε   (6.1) где Fε — энергия Ферми. Путем подстановки (2.26), которая использовалась ранее, чтобы упростить усло- вие самосогласования, может быть упрощено и по- следнее выражение: 2 cond cond= ,e h   σ σ      cond 2= 1 (ctg tg ) , 2F F F  π  σ + ϕ + ϕ −ϕ  π    (6.2) где Fϕ — фаза перенормированной энергии на уровне Ферми, а condσ — безразмерная проводимость, которая будет использоваться в дальнейшем. Подчеркнем, что безразмерная проводимость condσ зависит исключи- тельно от фазы перенормированной энергии ϕ . На- помним, что и хорошо известный критерий Иоффе– Регеля [11], который обычно используется для опреде- ления положений порогов подвижности в спектре, и критерий применимости метода модифицированного пропагатора тоже зависят лишь от фазы перенормиро- ванной энергии [12,13]. Конечно же, концептуально неверно ожидать, что критерий Иоффе–Регеля может быть использован для того, чтобы указать положение порога подвижности в неупорядоченной системе точно. Подобным образом не существует и четких границ между областями спек- тра, внутри которых метод модифицированного пропа- гатора применим, и областями, внутри которых он не применим. Тем не менее существуют достаточно весо- мые аргументы в пользу того, что порог подвижности в примесном графене должен находиться на той энер- гии, на которой фаза перенормированной энергии близка к /6π для зоны проводимости и соответственно к 5 /6π для валентной зоны, что согласуется с условием применимости приближения модифицированного про- пагатора. Как хорошо известно, для точечных примесей приближение Кубо тоже удовлетворительно работает именно на тех интервалах спектра, внутри которых электронные состояния остаются токовыми. Соответ- ственно, внутри областей спектра, где состояния явля- ются локализованными согласно критерию Иоффе– Регеля, ни формула Кубо (66), ни метод модифициро- ванного пропагатора не применимы. И наоборот, опи- санный выше подход может быть с успехом применен на занятых протяженными состояниями спектральных интервалах, внутри которых фаза перенормированной энергии ϕ или мала (для зоны проводимости), или близка к π (для валентной зоны). 6.1. Проводимость в случае слабого примесного рассеяния При умеренной величине примесного возмущения (\| \|< 1)v можно использовать малость фазы перенорми- рованной энергии (или ее близость к π) и построить соответствующее приближенное решение (2.27): 2 2 2 2 , 1, (1 2 ln ) ( ) 2 (1 ln ) cv v v cv π θ≈ θ + π + +     (6.3) где θ заменяет ϕ внутри зоны проводимости и π−ϕ внутри валентной зоны. Знак в знаменателе также из- меняется с минуса на плюс при переходе из зоны про- водимости в валентную зону. Очевидно, что фаза пе- ренормированной энергии близка к /2π в узком спектральном интервале около сдвинутой точки Дира- ка. Соответственно, описанный подход к вычислению проводимости примесного графена не справедлив внутри этой области. Однако переход фазы перенор- мированной энергии от малых значений к значениям, близким к π, происходит очень быстро. Эта переход- ная область экспоненциально узка по сравнению с ши- риной зоны и должна рассматриваться отдельно. Нетрудно убедиться, что в режиме слабого рассея- ния (\| \|< 1v ) задаваемый действительной частью собст- венной энергии Re ( )σ ε эффективный сдвиг электрон- ных состояний вдоль оси энергий имеет практически постоянную величину во всей рассматриваемой облас- ти (\| \| 1ε  ). Поэтому в первом приближении положим ,cv± ≈ ε − (6.4) где знак изменяется в соответствии с текущей зоной, как и выше, так что  , как это и должно быть, всегда остается положительной величиной. Выражение для проводимости (6.2) можно также упростить, используя малость (или близость к π) фазы перенормированной энергии: cond 1 , 1,σ ≈ θ θ  (6.5) где линейный член и члены более высокого порядка по θ опущены. Объединим полученные выше аппрокси- мации (6.3)–(6.5) в окончательное выражение для без- размерной проводимости: 2 2 cond 2 [1 2 ( ) ln \| \|] [ ( )]F F Fv cv cv v cv cv − ε − ε − + π ε − σ ≈ + π 2 [1 ln \| \|],F cv+ + ε − π (6.6) Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1443 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев которое на всем рассматриваемом интервале энергий \| \| 1ε  идеально согласуется с проводимостью, рассчи- танной численно по уравнениям (2.27), (2.28) и (6.2). Проводимость графена в режиме слабого примесно- го рассеяния (\| \|< 1v ), рассчитанная при различных концентрациях точечных дефектов согласно уравнени- ям (2.27), (2.28) и (6.2) без каких-либо дополнительных приближений, представлена на рис. 25. В целом ход зависимости проводимости от энергии Ферми практи- чески лишен каких-либо примечательных особенно- стей, хотя асимметрия относительно сдвинутой точки Дирака отчетливо выражена. Асимметрия зависимости проводимости от энергии Ферми обусловлена наличи- ем сильно размытого примесного резонанса, в окрест- ности которого усиливается рассеяние на примесях. В согласии с (6.6), при отрицательном возмущении ( < 0)v проводимость постепенно уменьшается с увеличением энергии Ферми Fε . Единственное отличие от монотон- ного поведения проводимости наблюдается вблизи точки Дирака, где на графиках присутствует резкий провал, практически не различимый на кривых, соответствую- щих более низким концентрациям примеси. Если полно- стью доверять следующим из приближения модифициро- ванного пропагатора результатам при всех энергиях вплоть до точки Дирака, то в центре провала проводи- мость будет снижаться до 4/π. Эта величина соответству- ет теоретически полученному значению универсальной минимальной проводимости в примесном графене, кото- рое часто обсуждалось в рамках дебатов о так называе- мом «пропавшем π». Однако метод модифицированного пропагатора не применим в окрестности точки Дирака (см. (2.31)). Подобным образом на этом интервале энергий не при- менима также и формула Кубо, а полученное значение проводимости в точке Дирака не имеет никакого физи- ческого смысла. При этом ширина интервала энергий, внутри которого аналитические приближения не спра- ведливы, экспоненциально мала по сравнению с шири- ной зоны. Поскольку соответствующий провал на кривой проводимости настолько узкий, он должен оказаться за- мытым при реалистичных температурах образца. Размы- тие провала может осуществляться в равной степени и за счет любого другого механизма уширения. Из чего сле- дует заключить, что этот узкий провал на кривой про- водимости не должен наблюдаться в процессе экспери- ментальных измерений и может не приниматься во внимание. Несомненно, гладкий характер кривой прово- димости не соответствует экспериментально наблюдае- мой «галочке». Однако если эта «галочка» вызвана дру- гим доминирующим типом дефектов, то слабо рассеивающие точечные дефекты могут объяснить на- блюдаемую асимметрию кривой проводимости. 6.2. Проводимость в случае сильного примесного рассеяния Качественное отличие сильно рассеивающих при- месных центров состоит не только в том, что они при- водят к формированию хорошо определенных резо- нансных состояний, но и в том, что с повышением их концентрации происходит кардинальная перестройка электронного спектра, в результате которой в окрест- ности энергии примесного резонанса открывается транспортная щель, заполненная локализованными состояниями [37–39]. Несомненно, что ни метод моди- фицированного пропагатора, ни формула Кубо для проводимости внутри транспортной щели не работают. Поэтому в текущем подразделе рассмотрим только концентрации, меньшие критической ( < rc c ). Отме- тим, что, поскольку вакансии часто моделируют то- чечными дефектами с бесконечным примесным потен- циалом v, величина критической концентрации rc для них равна нулю. Иными словами, для любой конечной концентрации вакансий в графене следует считать, что перестройка спектра уже произошла. Проводимость, рассчитанная при различных кон- центрациях точечных дефектов непосредственно из уравнений (2.27), (2.28) и (6.2), показана на рис. 26 и 27 для не очень большого ( = 2v − ) и сравнительно силь- ного ( = 8v − ) примесного потенциала соответственно. Сдвиг точки Дирака, который происходит при увели- чении концентрации примеси, выражен не столь ярко, как в режиме слабого рассеяния, поскольку 1/rc v v . Как и в предыдущем случае, на кривой присутствует резкий провал в точке Дирака. На рисунках этот про- вал различим лишь при концентрациях, близких к кри- тической. Согласно представленным выше аргумен- там, наличием этого провала следует пренебрегать. Кривую проводимости в случае сильного примесно- го рассеяния характеризует наличие на ней отчетливо- го минимума, который располагается на энергии при- месного резонансного состояния, что и очевидно, поскольку именно в ее окрестности примесное рассея- ние наиболее сильное. Ширина данного минимума Рис. 25. Проводимость графена с точечными дефектами в зави- симости от энергии Ферми при = 0,5v − и концентрациях = 0,1/2nc , = 1 5n  . Стрелками показано положение узких провалов. 1444 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами определяется величиной затухания резонансного со- стояния, поэтому он не такой резкий, как минимум вблизи точки Дирака. По своему виду кривая проводи- мости близка к параболе, особенно при низких концен- трациях примеси, причем с увеличением примесного потенциала она становится более симметричной. Чтобы найти минимальное значение проводимости, необходимо определить значение фазы перенормиро- ванной энергии на энергии примесного резонанса. Концентрационную зависимость этой величины, ( )r cϕ , можно получить из условия самосогласования (2.27) (см. (3.9) и (3.10) соответственно). Пренебрегая, как и ранее, зависимостью энергии резонанса ( )r cε от концен- трации при больших примесных потенциалах и полагая энергию резонанса равной ее значению в однопримесной задаче, для значения фазы перенормированной энергии в точке резонанса rθ получаем (ср. (3.13)) 2 * * ( ) 1 1 , = . 2 4 r r r r cc c c  γ πε γ θ ≈ + −     (6.7) Из этого соотношения с очевидностью следует, что само минимальное значение проводимости, которое, в свою очередь, определяется из уравнения (6.5), не но- сит универсальный характер, изменяясь в зависимости от концентрации примеси. Рассчитанная численно с помощью уравнений (2.27), (2.28) и (6.2) зависимость минимального значения проводимости от концентра- ции примеси показана на рис. 28 для двух значений примесного потенциала. Изначально с ростом концен- трации минимальное значение проводимости резко снижается, однако затем кривая выполаживается. На- сыщение концентрационной зависимости минимально- го значения проводимости качественно соответствует экспериментально полученным данным [69]. Согласно (6.5) и (6.7), при малой концентрации примеси, c c , минимальное значение проводимости в графене с то- чечными дефектами пропорционально 1/c , что подобно случаю заряженных примесей [79]. Однако при более высокой концентрации примеси, c c , минимальное значение проводимости для точечных дефектов снижа- ется медленнее, а именно как 1/ c . Таким образом, если заряженные и точечные примеси определенных сортов приводят к одинаковым значениям минималь- ной проводимости в пределе низкой концентрации, то по сравнению с заряженными примесями точечные дефекты должны давать существенно большие значе- ния минимальной проводимости при *c c , что по- зволяет различать эти два типа дефектов на качествен- ном уровне. С увеличением концентрации примеси возрастает и величина концентрационного уширения резонансного состояния. При концентрациях, близких к критиче- ской, уширение резонансного состояния имеет тот же порядок, что и ширина интервала между энергией ре- зонанса и точкой Дирака. Вследствие уширения при- месного резонанса при rc c происходит существен- ное выполаживание зависимости проводимости от Рис. 26. То же, что на рис. 25, при = 2v − и концентрациях = /2n rc c , = 1 5n  , 0,012rc ≈ . Рис. 27. То же, что на рис. 25, при = 8v − и концентрациях = /2n rc c , = 1 5n  , 0,0005rc ≈ . Рис. 28. Зависимость минимального значения проводимости от концентрации примеси для = 2v − (верхняя кривая) и для = 8v − (нижняя кривая). Соответствующие аналитические аппроксимации показаны штриховыми линиями. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1445 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев энергии Ферми вблизи ее минимума. Уплощенный участок кривой свидетельствует о локализации элек- тронных состояний на его протяжении. В данном подразделе приведены аргументы в пользу того, что в примесном графене проводимость достигает своего минимума на энергии примесного резонанса. На самом же деле данное утверждение следует трактовать несколько шире. Действительно, проведенное аналити- ческое рассмотрение вопроса было с необходимостью основано на учете исключительно одноузельных диа- грамм для свободной энергии. Однако, как показал обсуждавшийся выше численный эксперимент, при концентрациях примеси, близких к критической, доми- нирующим становится рассеяние электронов на двух- примесных резонансах. При таких концентрациях при- меси энергии двухпримесных резонансов становятся сердцевинами тех интервалов в спектре, внутри которых происходит формирование локализованных состояний. Поэтому следует ожидать, что с приближением концен- трации к критической, минимум проводимости будет постепенно перемещаться от энергии однопримесного резонанса к энергиям двухпримесных резонансов. Со- гласно результатам численного эксперимента, при кри- тической концентрации примеси в спектре графена формируются две области с повышенной локализацией состояний (см. рис. 14). Имеются эксперименты по из- мерению сопротивления достаточно чистых образцов графена, в которых за счет приложенного внешнего электрического поля была устранена пространственная неоднородность локальной энергии Ферми [80]. Можно высказать предположение, что наблюдавшаяся в этих экспериментах двухпиковая структура зависимости со- противления от напряжения на затворе отражает нали- чие в спектре именно этих двух областей. 6.3. Асимметрия проводимости Одной из стандартно измеряемых характеристик явля- ется зависимость проводимости графена от величины потенциала на затворе полевого транзистора, в котором экспериментальный образец графена выполняет роль токопроводящего канала. Поскольку потенциал на затво- ре контролирует плотность носителей тока в образце графена, полученные в ходе эксперимента кривые могут быть воспроизведены путем построения графика зависи- мости проводимости от числа занятых состояний при заданном положении уровня Ферми. Если отбросить не- существенную постоянную, то отношение числа занятых состояний (с учетом двух направлений спина) к полному количеству атомов в рассматриваемой системе можно записать следующим образом: 0 2( ) = Im ({ ( )}{2ln[ ( )] }) . F Fn i d ε ε − ε −σ ε ε −σ ε − π ε π ∫ (6.8) Изменение числа занятых состояний ( )Fn∆ ε нетрудно связать с соответствующим изменением плотности носителей тока carn∆ : 15 2 car C C 2 4= ( ), = 3,8 10 см , 3 Fn n n n a −∆ ∆ ε ≈ ⋅ (73) где Cn — обратная площадь, приходящаяся на один атом углерода, иначе говоря — поверхностная плот- ность атомов углерода в графене, и = 0,246a нм — постоянная решетки. Обычно в эксперименте плот- ность носителей линейно зависит от потенциала на затворе gV , так что car = g Vn V∆ χ ∆ , где Vχ — некото- рая постоянная. Проводимость примесного графена, вычисленная, как и раньше, при помощи уравнений (2.27), (2.28) и (6.2), представлена на рис. 29 и 30 для обеих выбранных величин возмущения в зависимости от числа занятых состояний, рассчитанного по (6.8) путем численного интегрирования. Как видно на рис. 29 и 30, рассчитанные зависимо- сти проводимости от напряжения на затворе сильно асимметричны. Подобный сильно асимметричный ха- рактер кривых проводимости иногда наблюдается в примесном графене экспериментально [73,81]. Выяс- ним физическую природу столь сильной асимметрии в рассматриваемом случае графена с точечными дефек- тами. С этой целью разложим проводимость в ряд вблизи ее минимума. Поскольку, как было показано ранее, при сильном примесном возмущении проводи- мость достигает минимума на энергии резонанса rε , 0 2 cond cond ( ) , > 0,r F r rσ ≈ σ + χ ε − ε χ (6.10) где 0 condσ — минимальное значение проводимости, rχ — некоторая константа. При сильном примесном возмущении необходимо ограничиваться концентрациями, меньшими критиче- ской концентрации перестройки спектра rc . В этом случае исходная плотность электронных состояний Рис. 29. Зависимость проводимости графена с точечными де- фектами от числа носителей для = 2v − при концентрациях = /2n rc c , = 1 5n  , 0,012rc ≈ . 1446 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами искажается не сильно. Вследствие оценочного харак- тера данных выкладок, вполне достаточно предполо- жить, что плотность состояний остается идентичной плотности состояний невозмущенной системы, за ис- ключением жесткого сдвига обеих зон, приводящего к новому положению точки Дирака Dε : 2( ) sgn ( ), > 0,gg D F D F D DDV V≈ + χ ε − ε ε − ε χ (6.11) где g DV — величина напряжения на затворе gV , при ко- торой уровень Ферми оказывается лежащим в точке Ди- рака, Dχ — некоторая постоянная. Это уравнение не- трудно разрешить относительно энергии Ферми: \| \| sgn ( ). gg D gg F D D D V V V V − ε ≈ ε + − χ (6.12) Подставляя полученный результат в разложение (6.10), получаем 0 cond condσ ≈ σ + 2 \| \| sgn ( ) ( ) .g gg gr D r DD D D V V V Vχ  + − − − χ ε −ε χ   (6.13) На основании этого соотношения нетрудно сделать вы- вод, что асимметрия проводимости появляется из-за сдвига, который дает второй член в квадратных скобках. Если проводимость достигает минимума точно в точке Дирака, то зависимость проводимости от энергии Фер- ми будет линейной и симметричной. Однако, как было показано выше, минимум проводимости достигается на энергии примесного резонанса, которая существенным образом отличается от энергии точки Дирака. Именно это отличие и составляет основную причину значитель- ной асимметрии проводимости. Таким образом, имеются два режима рассеяния, ко- торые характеризуют поведение проводимости графе- на с точечными дефектами. В режиме слабого рассея- ния зависимость проводимости от энергии Ферми име- ет монотонный и асимметричный характер. Следова- тельно, точечные дефекты могут быть причиной на- блюдаемой асимметрии проводимости, даже если они не являются основным источником рассеяния в систе- ме. Однако в случае сильного рассеяния проводимость, обусловленная точечными дефектами, имеет отчетли- вый минимум на ее зависимости от энергии Ферми. Этот минимум, вопреки распространенным представ- лениям, соответствует не точке Дирака в спектре, а энергии примесного резонанса. В этом режиме асим- метрия зависимости проводимости от энергии Ферми весьма значительна. Более того, ярко выраженная асимметрия зависимости проводимости от напряжения на затворе в этом случае собственно и вызвана пере- мещением минимума проводимости из точки Дирака в место расположения энергии примесного резонанса. Несмотря на достаточную простоту использованной примесной модели, она на качественном уровне пере- дает основные особенности проводимости примесного графена, наблюдавшиеся в экспериментах. 7. Переход металл–диэлектрик при осаждении атомарного водорода на графен У образцов графена, выращенных на подложке из карбида кремния и допированных атомарным водоро- дом, наблюдался переход металл–диэлектрик при ком- натной температуре. Необходимая для перехода ме- талл–диэлектрик концентрация атомарного водорода оказалась довольно низкой — порядка 0,1%. В процессе перехода происходило повышение сопротивления об- разца на четыре порядка [82]. Соответственно, данные фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешени- ем свидетельствовали об исчезновении квазичастичных возбуждений на уровне Ферми после перехода. Хорошо известно, переход металл–диэлектрик Ан- дерсона наступает тогда, когда уровень Ферми оказы- вается лежащим среди локализованных состояний. Поскольку экспериментальный образец проявлял ме- таллические свойства до осаждения на него водорода, естественно предположить, что сравнительно неболь- шая концентрация адатомов оказалась достаточной для появления в спектре транспортной щели. В сущности, это краткое описание изменений в электронном спек- тре, приводящих к переходу металл–диэлектрик, пол- ностью соответствует рассмотренному выше сценарию перестройки спектра [83,84]. Если транспортная щель открывается вблизи положения уровня Ферми, то пе- реход металл–диэлектрик заведомо может происхо- дить при низком покрытии водородом. Ниже будет установлена связь между теоретически предсказанной перестройкой спектра в графене с точечными дефекта- ми и наблюдавшимся при осаждении водорода перехо- дом металл–диэлектрик [85]. Рис. 30. То же, что на рис. 29, для = 8v − при концентрациях = /2n rc c , = 1 5n  , 0,0005rc ≈ . Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1447 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев 7.1. Взаимосвязь между перестройкой спектра и переходом Андерсона Обратимся к экспериментальным данным, содер- жащимся в работе [82]. Сравнение проинтегрирован- ного по углу спектра для чистого графена и графена с осажденным на него водородом показало, что энергия примесного резонанса rE лежит приблизительно на 0,25 эВ ниже исходного уровня Ферми, но выше точки Дирака DE на 0,2 эВ. Оценочное выражение для кри- тической концентрации перестройки спектра примес- ного графена можно переписать в терминах покрытия водородом: 2 C 2 ( ) ,r D SR E En n W −  (7.1) где SRn — критическое покрытие атомами водорода, 6,3W ≈ эВ — энергетический параметр порядка ши- рины зоны, а логарифмическая поправка опущена из-за достаточно большой энергии примесного резонанса. Подставляя имеющееся значение энергии резонанса, получаем 123,8 10SRn ≈ ⋅ см–2, что довольно близко к той степени покрытия водородом, которая оказалась в эксперименте достаточной для перехода металл– диэлектрик. Хорошо известно, что электронная подсистема иде- ального графена состоит из p-электронов, число кото- рых равно числу узлов в решетке. Как только атом во- дорода адсорбируется на графене, его s-электрон мгновенно вступает в химическую связь с одним из p- электронов. Это приводит к практически полной лока- лизации последнего на примесном узле. В первом при- ближении можно предположить, что результирующее возмущение соответствует модели Лифшица и сводится к появлению сильного притягивающего потенциала на занятом примесью атоме углерода. Локальная плотность состояний на изолированном примесном узле, рассчи- танная согласно этой модели, показана на рис. 31. При = 25LV − эВ, как следует из рисунка, энергия резонанса rE располагается примерно на 0,2 эВ выше точки Ди- рака, что соответствует экспериментально наблюдаемо- му положению. Полученное путем подгонки изменение потенциала на узле имеет значительную величину, но вполне имеет право на существование, поскольку боль- шие значения возмущения должны рассматриваться в данном контексте прежде всего как результат выбора упрощенной примесной модели. Сформировавшиеся на занятых осажденными ато- мами водорода узлах решетки отрицательные потен- циалы служат центрами рассеяния для носителей тока. В рамках модели Лифшица происходящая с повыше- нием концентрации примеси перестройка спектра была проанализирована выше как аналитически, так и чис- ленно. Из анализа следует, что при критическом по- крытии SRn в окрестности энергии rE , где затухание электронных состояний, обусловленное примесным рассеянием, достигает максимальных значений, от- крывается транспортная щель, заполненная локализо- ванными состояниями. С увеличением концентрации примеси ширина транспортной щели постепенно рас- тет, а степень локализации находящихся внутри нее состояний усиливается. И расширение транспортной щели, и усиление локализации состояний не симмет- ричны относительно энергии rE и более ярко выраже- ны при энергиях, лежащих выше резонанса (для притя- гивающего потенциала). В обсуждаемом эксперименте осажденные атомы водорода действуют не только как рассеивающие цен- тры, но и как акцепторы. Поэтому повышение их кон- центрации с необходимостью понижает уровень Фер- ми. Следовательно, по мере увеличения степени покрытия водородом, уровень Ферми и верхняя грани- ца транспортной щели движутся навстречу друг другу. Рано или поздно уровень Ферми должен зайти внутрь транспортной щели, что приведет к переходу металл– диэлектрик Андерсона. Акцепторное действие осажденных атомов водорода неявным образом содержится в той же модели Лифши- ца. Действительно, сильный притягивающий потенциал < 0LV приводит к появлению глубокого локального уровня, лежащего ниже дна валентной зоны. Узкая при- месная зона, формирующаяся в окрестности этого уров- ня при повышении концентрации, будет отбирать на себя часть состояний из основных зон. Однако выбран- ная модель позволяет попытаться решить вопрос о по- ложении уровня Ферми в системе несколько более ак- куратно, чем простой учет отбора каждым осевшим атомом водорода одного электрона. Рассмотрим норми- рованное число состояний (без учета вырождения по спину), имеющих энергии меньшие, чем указанная: ( ) = ( ) , E N E E dE −∞ ρ∫ (7.2) Рис. 31. Локальная плотность состояний на примесном узле для = 25LV − эВ. 1448 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами где ( )Eρ — плотность состояний (см. (2.1)). В неупо- рядоченной системе эта величина может быть разло- жена по степеням концентрации примеси [83]: H 0 0 C 2 ( ) = ( ) arg(1 ( )) ,D D L D nN E E N E E V g E E n − − + − − + π  (7.3) где принято во внимание наличие двух подрешеток в графене, а 0 ( )N E — число состояний в невозмущен- ной системе. Из условия сохранения числа занятых состояний в системе при изменении количества осаж- денного водорода следует уравнение баланса: 2 H 02 C ( ) 2 arg(1 ( )) =F D L F D E E n V g E E nW − + − − π (bare) 2 2 ( ) = ,DFE E W − (7.4) где для получения 0 ( )N E чистого графена использова- но выражение (2.11). Условие (7.4) будет иметь допус- тимую точность до тех пор, пока уровень Ферми не приблизится к энергии примесного резонанса. Ниже именно это соотношение будет использоваться для определения положения уровня Ферми при данной величине покрытия водородом. 7.2. Спектр зоны проводимости При H < SRn n присутствие притягивающих приме- сей искажает дисперсию квазичастиц в валентной зоне незначительно. И напротив, наличие примеси сущест- венно изменяет спектр зоны проводимости. Собствен- ная энергия Σ, которая входит в уравнение Дайсона (2.25) для усредненной по всем возможным распреде- лениям примесей функции Грина неупорядоченной системы ,G не может быть обусловлена исключитель- но примесным рассеянием в случае реального экспе- римента из [82], поскольку шириной линий, получен- ных в результате фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением, нельзя пренебречь даже в от- сутствие примесей. Чтобы учесть этот аспект, предпо- ложим, что все остальные источники уширения, кроме контролируемого числа атомов водорода, могут быть приближенно описаны некоторым постоянным затуха- нием Γ: im , > 0,i≈ − Γ ΓIΣ Σ (7.5) где imΣ — часть собственной энергии, обусловленная примесным рассеянием, I — единичная матрица. Сравнение плотности состояний, полученной при по- мощи численного моделирования, с плотностью со- стояний, рассчитанной методом средней Т-матрицы, показало, что при концентрациях, близких к критиче- ской, данное приближение достаточно успешно работа- ет в окрестности примесного резонанса, по крайней ме- ре, на феноменологическом уровне соответствия [39]. В рамках этого одноузельного приближения обусловлен- ная примесями часть собственной энергии диагональна по узлам решетки: H C im H C 0 ( / ) . 1 [1 ( / )] ( ) L L D n n V n n V g E E ≈ − − − IΣ (7.6) Следовательно, принимая во внимание оба предполо- жения, полная собственная энергия также диагональна по узлам: ( ) .E≈ Σ IΣ (7.7) Основываясь на известном выражении для спектраль- ной функции 1 1( , ) Im , ( )D F A E E E E v k ≈ − π − −Σ − k (7.8) где значение скорости Ферми Fv то же, что и в (2.7), волновой вектор k, как и выше, отсчитывается от соот- ветствующей точки Дирака и в согласии с имеющимся экспериментом сохранена лишь одна из ветвей, не- трудно записать соответствующее выражение для об- ратной ширины кривой распределения импульсов на половине ее высоты: ( ) , 2Im ( ) FvL E E ≈ − Σ (7.9) и для обратного значения ее медианы: 1( ) . Re ( ) Fvk E E E − ≈ − Σ (7.10) Рассчитаем зависимости обеих этих величин, взя- тых на уровне Ферми, ( )F FL L E≡ и 1 1/ ( )F Fk k E− ≡ , от степени покрытия водородом. Положение уровня Фер- ми будем вычислять из (7.4), а для стороннего затухания Γ выберем величину 0,03 эВ. Результаты приведены на рис. 32. Сравним рис. 32 с представленным на рис. 3(c) в работе [82] анализом кривых распределения импульса, полученных в результате фотоэлектронной спектроско- пии с угловым разрешением. Поскольку ( )L E соответ- ствует длине свободного пробега носителей тока, кри- терий Иоффе–Регеля [11] нарушается на уровне Ферми, т.е. 1F Fk L ≈ , при несколько большем покрытии водоро- дом ( 129,5 10⋅ см–2), чем в эксперименте ( 126,5 10⋅ см–2). Заметим, что экспериментально полученная дисперсия квазичастиц выглядит до определенной степени иска- женной даже до осаждения водорода, что может быть вызвано наличием неконтролируемых примесей в систе- ме [82]. В частности, скорость Ферми в зоне проводимо- сти образца, не содержащего водород, заметно увеличена, что очевидно из сравнения с дисперсией в валентной зоне или с идеализированным графеном. По большей части именно это отличие скоростей Ферми и ответственно Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1449 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев за расхождение между предложенной теорией и экспе- риментальными данными. Концентрационная эволюция кривой распределения энергии при волновом векторе Fk может быть получена в модели Лифшица с помощью уравнений (7.4), (7.5), (7.6) и (7.8). Соответствующая величина, ( , )FA E k , представлена на рис. 33 в зависимости от энергии свя- зи FE E− и покрытия водородом Hn . На рисунке от- четливо видно, что энергетическая ширина квазича- стичного пика при Fk постепенно увеличивается с ростом покрытия водородом. Вблизи критической кон- центрации примеси для перехода металл–диэлектрик ширина кривой распределения энергии практически равна интервалу между уровнем Ферми и точкой Дира- ка, что указывает на присутствие транспортной щели в спектре. Такое сильное уширение, собственно, и озна- чает, что происходит полное нарушение квазичастич- ной картины с приближением к критической концен- трации. Характерный вид кривой, содержащей два конкурирующих по мощности пика, неплохо согласу- ется с наблюдавшимся экспериментально (см. рис. 2(c) в работе [82]). При этом более глубокий пик нарастает по интенсивности с увеличением покрытия водородом и связан с наличием примесного резонанса. Дополнительно, с целью воспроизведения рис. 1(d) из работы [82], приведем контурные графики спек- тральной функции (7.8) при покрытиях водородом, близких к критическому для перехода металл–диэлект- рик. На рис. 34 показан этап, на котором уровень Фер- ми готов войти в формирующуюся около примесного резонанса транспортную щель, тогда как на рис. 35 уровень Ферми уже находится внутри открывшейся транспортной щели. При взгляде на рис. 35 можно прийти к выводу, что закон дисперсии «задирается» Рис. 32. Длина свободного пробега FL (сплошная линия) и обратный волновой вектор 1 Fk− (штриховая линия) на уровне Ферми в зависимости от покрытия водородом. Рис. 33. Эволюция кривой распределения энергии при Fk с увеличением покрытия водородом. Рис. 34. Контурный график спектральной функции при 12 H = 5 10n ⋅ см–2. Рис. 35. Контурный график спектральной функции при 12 H = 10 10n ⋅ см–2. 1450 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами вверх с приближением к уровню Ферми, что, собст- венно, и было отмечено в эксперименте. Такое поведе- ние дисперсии вообще характерно для неупорядочен- ных систем при аномальной перестройке спектра и поэтому подтверждает ее тип, предсказанный для гра- фена с примесями Лифшица. Следует подчеркнуть, что точечные дефекты отнюдь не приводят к однородному размытию спектральной функции. Вопреки устоявше- муся мнению, вызванное примесями уширение наибо- лее ярко выражено в окрестности энергии примесного резонанса rE . При описании перехода металл–диэлектрик выше предполагалось, что он происходит тогда, когда уровень Ферми попадает в область концентрационного ушире- ния однопримесного резонанса. Вполне возможно, что в реальном эксперименте локализация состояний на уровне Ферми вызвана рассеянием носителей тока на двухпримесных резонансах, энергии которых превы- шают энергию однопримесного резонанса. В результате критическая концентрация перехода Андерсона будет иметь несколько меньшее значение. Таким образом, можно считать установленным, что точечные дефекты привносят в систему новый пара- метр с размерностью длины. Наличие этого параметра вызвано появлением однопримесного резонанса и про- являет себя в качестве эффективного радиуса одно- примесного состояния. Когда среднее расстояние между примесями уменьшается до этого эффективного радиу- са, квазичастичная картина спектра подвергается карди- нальной перестройке. Перестройка спектра проявляет себя путем появления транспортной щели в окрестно- сти энергии примесного резонанса. Эта транспортная щель постепенно расширяется с увеличением концен- трации примеси. С ростом концентрации примеси по- степенно снижается уровень Ферми, вследствие допи- рующего действия примесей, и одновременно повы- шается ограничивающий транспортную щель порог подвижности. В результате переходу Андерсона в дан- ном случае способствует акцепторное действие атомов водорода. Когда уровень Ферми пересекает порог под- вижности и попадает внутрь транспортной щели, где состояния локализованы, в неупорядоченной системе происходит переход металл–диэлектрик. Описанный выше сценарий может рассматриваться в качестве объяснения наблюдавшегося экспериментально перехода металл–диэлектрик в графене с осажденным на него водородом. Даже использование простейшей модели Лифшица для примесных центров позволило достигнуть полуколичественного описания эксперимен- тальных данных. Следовательно, перестройка спектра выступает в качестве основной причины перехода ме- талл–диэлектрик и, в качестве известного явления в по- лупроводниках, дает основание для понимания физики этого процесса. 8. Заключение Заканчивая изложение нашего видения нынешнего состояния физики дираковских материалов с примеся- ми, нельзя не признать, что немалое число имеющихся результатов осталось вне поля зрения, не столько пото- му, что вместить их в одну, даже относительно боль- шую, статью практически нереально, сколько потому, что мы поставили целью представить единый, последо- вательный теоретический подход к описанию таких ма- териалов. В качестве завершения темы сделаем некото- рое краткое резюме с акцентом на достойные упоми- нания в данном контексте экспериментальные данные. С того момента, как было доказано существование дираковских квазичастиц в графене, долгое время од- ним из наиболее интригующих продолжал оставаться вопрос о том, возможна ли их локализация, обуслов- ленная какой-либо неоднородностью, которую можно было бы себе представить в сотовой решетке [86–91]. Результаты первоначальных экспериментов на образ- цах графена, задействованных в качестве проводящего канала обычного полевого транзистора, были безапел- ляционны и до некоторой степени неожиданны: про- водимость графена при варьировании напряжения на затворе никогда не опускалась ниже определенного минимального значения [20]. Другими словами, ни о какой локализации носителей тока не могло быть и речи. Этот факт, с которым соглашались многие из тех, кто изучал графен, несомненно, существенно ухудшил перспективы использования приборов на его основе в качестве электронных ключей нового поколения. Тем не менее (или, возможно, вследствие этого) существо- вание минимальной проводимости породило сенса- цию, а физические основы ее существования активно обсуждались и обосновывались. Дискуссия была сосредоточена главным образом во- круг качественных особенностей линейного спектра но- сителей тока в графене. На уникальности электронной подсистемы в графене делался упор настолько настой- чиво, что в результате вся известная физика полупро- водников, в первую очередь легированных, объявлялась абсолютно неприменимой к этому новому материалу и подлежащей коренной переработке. Вдобавок выска- зывалось даже такое сильное предположение, что без- массовые (соответственно их дираковской дисперсии) носители тока в графене не могут быть в принципе локализованы ни при какой степени неупорядоченно- сти, вызванной неидеальностью кристаллической ре- шетки или примесными центрами. Предполагаемая невозможность локализовать дира- ковские квазичастицы была напрямую увязана с явлени- ем минимальной проводимости следующим образом: поскольку произведение модуля волнового вектора и средней длины свободного пробега, согласно критерию Иоффе–Регеля, ограничено снизу для протяженных со- Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1451 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев стояний, обычное выражение Друде для проводимости сразу же дает ее минимальное значение — порядка 2 /e h на каждый канал проводимости. На основании этого аргумента, а также накопленных эксперименталь- ных данных, сформировалось мнение, что значение ми- нимальной проводимости имеет для графена универ- сальный характер и выражается только через фундамен- тальные постоянные. Позднее, однако, более тщательные исследования сделали очевидным, что измеряемое значение мини- мальной проводимости зависит от качества образца и существенно изменяется с увеличением концентрации примеси [69,92–95]. Тем не менее даже это серьезное обстоятельство, по существу, еще не свидетельствова- ло в пользу локализации носителей тока. Как видно из изложенной нами теории, чтобы внести ясность в эту, интересующую нас проблему, следовало четко разли- чать два основных режима: делаются ли измерения до перестройки спектра, когда концентрация примеси меньше критической, а электронный спектр графена ведет себя по отношению к дефектам достаточно ус- тойчиво, либо после перестройки, когда критическая концентрация превышена. В связи с этим напомним, что для того, чтобы перестройка электронного спектра была возможной, в нем должны присутствовать резо- нансные примесные состояния. Как оказалось, в спек- трах экспериментальных образцов графена, помещае- мых на подложку, такие резонансы практически всегда присутствуют [96]. В разд. 2.4 приведены аргументы в пользу того, что в первом из режимов происходит концентрационное размытие точки Дирака в примесном графене: при на- личии неупорядоченности в окрестности этой точки присутствует экспоненциально узкая по сравнению с шириной зоны область, заполненная локализованными состояниями [37]. Вернемся к уже упоминавшейся ранее работе [80]. Образцы графена, используемые в описанном в ней экс- перименте, приготавливались с особенным вниманием, чтобы минимизировать количество присутствующих дефектов. Добавочный электрически изолированный слой графена использовался для устранения простран- ственных флуктуаций уровня Ферми в изучаемом об- разце. Варьируя положение фермиевского уровня, авто- рам, несмотря на ультравысокое качество эксперимен- тального образца, удалось отчетливо наблюдать переход металл–диэлектрик. При этом переход Андерсона на- блюдался во время пересечения уровнем Ферми точки Дирака при температурах 10–20 К. Этот результат был по существу повторен в работе [97] при другой конфигу- рации дополнительного затвора, причем проводимость вблизи точки Дирака уменьшалась на два порядка. На наш взгляд, имеются веские основания предполагать, что в обеих упомянутых работах фактически было уста- новлено присутствие области концентрационного раз- мытия точки Дирака. В пользу такой интерпретации, как минимум, говорят оценки концентрации примеси, приведенные в [80]. Во втором режиме развитая выше теория предска- зывает наличие широкой транспортной щели в спек- тре [37]. В частности, в разд. 7 было показано, как кон- цепция перестройки спектра может быть использована для описания перехода металл–диэлектрик, наблюдав- шегося при осаждении атомов Н на графен. Указанный пример экспериментально подтвержденного андерсо- новского перехода, происходящего в графене по мере намеренного увеличения в нем числа дефектов, отнюдь не является единичным. Перечислим некоторые из них. Так, в работе [98] отмечалось, что сопротивление об- разцов расходилось при понижении температуры. Для создания дефектов авторы подвергали образцы облу- чению высокоэнергетическими ионами He и Ne. Пере- ход металл–диэлектрик наблюдался и при осаждении на графен атомов F [99]. При концентрации получен- ных при помощи ионной бомбардировки вакансий, составлявшей примерно 0,7%, в работе [100] был кон- статирован переход металл–диэлектрик в условиях ком- натной температуры. Более того, на основе неупорядо- ченных образцов авторами был сконструирован элект- ронный ключевой прибор с отношением уровней тока во включенном и выключенном состояниях, превы- шающим два порядка. В работе [101] скрупулезно изу- чался переход металл–диэлектрик, разыгравающийся при осаждении на графен атомов Р, О и F. В итоге ав- торы пришли к выводу, что графен — наиболее реле- вантная модельная система для исследования перехода металл–диэлектрик в двух измерениях. Сделаем, наконец, еще одно замечание, обратив внимание на сравнительно недавно вышедшую рабо- ту [102]. В ней для формирования дефектов образцы графена подвергались дозированному облучению иона- ми C+ . Согласно утверждению авторов, ими был впер- вые отслежен переход от металлического поведения к слабой локализации и затем к проводимости прыжково- го типа, т.е. фактически сильной локализации носителей тока в графене при постепенном увеличении степени неупорядоченности образца. Подытоживая, отметим, что качественно различные режимы проводимости наблюдались в приведенных экспериментальных работах в диапазоне низких тем- ператур и при сопутствующем (и необходимом) кон- троле числа имеющихся в образцах дефектов. Фактиче- ски это буквально соответствует физическим условиям, предполагаемым при изучении примесной проблемы в представленном нами подходе, который, в чем мы уве- рены, без каких-либо принципиальных изменений мо- жет, по существу, использоваться и для исследований других дираковских, включая трехмерные, кристалли- ческих систем, содержащих дефекты. 1452 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 Электронные свойства графена с точечными дефектами После упомянутых утверждений, сделанных экспе- риментаторами, вопрос о возможности локализации носителей тока в графене можно, на наш взгляд, счи- тать полностью снятым. Уместно лишь упомянуть ряд теоретических работ, в которых в той или иной мере поддерживался вывод о возможности локализации ди- раковских квазичастиц для беспорядка общего ви- да [103,104], а также и для конкретных примесных мо- делей — в частности, для точечных примесей заме- щения (модель Лифшица) [105] и для модели Андерсона [106–108]. На основании вышеизложенного осмелимся выразить надежду, что разработанная концепция пере- стройки электронного спектра сможет в обозримом будущем занять подобающее ей место в теории дира- ковских материалов, способствуя как пониманию их свойств, так и, соответственно, описанию происходя- щих в них физических процессов. Мы хотели бы также поблагодарить А.А. Варламо- ва, В.П. Гусынина, В.А. Кочелапа, Л.А. Пастура, Ю.Г. Погорелова, Е.С. Сыркина, С.Б. Феодосьева, С.Г. Шарапова — наших коллег и соавторов — за мно- гочисленные дискуссии, во многом прояснявшие по- нимание нами вопросов, поднятых и освещенных в обзоре, который написан при поддержке грантов № 0117U000236 и № 0117U000240 Отделения физики и астрономии Национальной академии наук Украины. _______ 1. K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S.V. Dubonos, I.V. Grigorieva, and A.A. Firsov, Science 306, 666 (2004). 2. A.K. Geim, Science 324, 1530 (2009). 3. P.R. Wallace, Phys. Rev. 71, 622 (1947). 4. G.W. Semenoff, Phys. Rev. Lett. 53, 2449 (1984). 5. V.P. Gusynin and S.G. Sharapov, Phys. Rev. Lett. 95, 146801 (2005). 6. V.P. Gusynin and S.G. Sharapov, Phys. Rev. B 73, 245411 (2006). 7. И.М. Лифшиц, УФН 83, 617 (1964). 8. М.А. Иванов, ФТТ 12, 1895 (1970). 9. F. Ducastelle, J. Phys. C 7, 1975 (1974). 10. F. Ducastelle and F. Gautier, J. Phys. F 6, 2039 (1976). 11. A.F. Ioffe and A.R. Regel, Prog. Semicond. 4, 237 (1960). 12. Y.V. Skrypnyk, Phys. Rev. B 70, 212201 (2004). 13. Y. Skrypnyk, J. Non-Crys. Solids 352, 4325 (2006). 14. F. Schedin, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, E.H. Hill, P. Blake, and K.S. Novoselov, Nat. Mater. 6, 652 (2007). 15. N.M.R. Peres, F. Guinea, and A.H. Castro Neto, Phys. Rev. B 73, 125411 (2006). 16. Ben Yu-Kuang Hu, E.H. Hwang, and S. Das Sarma, Phys. Rev. B 78, 165411 (2008). 17. S. Wu, L. Jing, Q. Li, Q.W. Shi, J. Chen, X. Wang, and J. Yang, Phys. Rev. B 77, 195411 (2008). 18. S.Y. Zhou, G.-H. Gweon, J. Graf, A.V. Fedorov, C.D. Spataru, R.D. Diehl, Y. Kopelevich, D.-H. Lee, Steven G. Louie, and A. Lanzara, Nature Phys. 2, 595 (2006). 19. A. Bostwick, T. Ohta, T. Seyller, K. Horn, and E. Rotenberg, Nature Phys. 3, 36 (2007). 20. K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, M.I. Katsnelson, I.V. Grigorieva, S.V. Dubonos, and A.A. Firsov, Nature 438, 197 (2005). 21. Y. Zhang, Y.-W. Tan, H.L. Stormer, and P. Kim, Nature 438, 201 (2005). 22. S.G. Sharapov, V.P. Gusynin, and H. Beck, Phys. Rev. B 69, 075104 (2004). 23. V.P. Gusynin and S.G. Sharapov, Phys. Rev. B 71, 125124 (2005). 24. T. Ando, J. Phys. Soc. Japan 74, 777 (2005). 25. F. Ducastelle, Phys. Rev. B 88, 075413 (2013). 26. Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев, ФНТ 42, 863 (2016) [Low. Temp. Phys. 42, 679 (2016)]. 27. T. Stauber, N.M.R. Peres, and F. Guinea, Phys. Rev. B 76, 205423 (2007). 28. A. Feher, И.А. Господарев, В.И. Гришаев, К.В. Кравченко, Е.В. Манжелий, Е.С. Сыркин, С.Б. Феодосьев, ФНТ 35, 862 (2009) [Low Temp. Phys. 35, 679 (2009)]. 29. A. Feher, E. Syrkin, S. Feodosyev, I. Gospodarev, and K. Kravchenko, Quasi-Particle Spectra on Substrate and Embedded Graphene Monolayers, Physics and Applications of Graphene — Theory, InTech (2011). 30. V.V. Eremenko, V.A. Sirenko, I.A. Gospodarev, E.S. Syrkin, S.B. Feodosyev, I.S. Bondar, and K.A. Minakova, J. Science: Advanced Materials and Devices 1, 167 (2016). 31. V.V. Eremenko, V.A. Sirenko, I.A. Gospodarev, E.S. Syrkin, S.B. Feodosyev, I.S. Bondar, K.A. Minakova, and A. Feher, J. Phys.: Conf. Series 969, 012021 (2018). 32. C. Bena and S.A. Kivelson, Phys. Rev. B 72, 125432 (2005). 33. М.А. Иванов, Ю.В. Скрипник, ФТТ 36, 94 (1994). 34. V.M. Pereira, F. Guinea, J.M.B. Lopes dos Santos, N.M.R. Peres, and A.H. Castro Neto, Phys. Rev. Lett. 96, 036801 (2006). 35. Y.V. Skrypnyk and V.M. Loktev, J. Phys.: Condens. Matter 25, 195301 (2013). 36. М.А. Иванов, Ю.Г. Погорелов, ЖЭТФ 76, 1010 (1979). 37. Yu.V. Skrypnyk, V.M. Loktev, Phys. Rev. B 73, 241402(R) (2006). 38. Y.V. Skrypnyk, V.M. Loktev, Fiz. Nizk. Temp. 33, 1002 (2007) [Low Temp. Phys. 33, 762 (2007)]. 39. S.S. Pershoguba, Yu. V. Skrypnyk, and V.M. Loktev, Phys. Rev. B 80, 214201 (2009). 40. Yu.V. Skrypnyk and B.I. Min, Progr. Theor. Phys. 108, 1021 (2002). 41. A.V. Balatsky, I. Vekhter, and Jian–Xin Zhu, Rev. Mod. Phys. 78, 373 (2006). 42. N. Nakai, P. Miranovic, M. Ichioka, H.F. Hess, K. Uchiyama, H. Nishimori, S. Kaneko, N. Nishida, and K. Machida, Phys. Rev. Lett. 97, 147001 (2006). 43. A.C. Fang, L. Capriotti, D.J. Scalapino, S.A. Kivelson, N. Kaneko, M. Greven, and A. Kapitulnik, Phys. Rev. Lett. 96, 017007 (2006). 44. Y. Niimi, T. Matsui, H. Kambara, K. Tagami, M. Tsukada, and H. Fukuyama, Phys. Rev. B 73, 085421 (2006). 45. L. Capriotti, D.J. Scalapino, and R.D. Sedgewick, Phys. Rev. B 68, 014508 (2003). Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1453 https://doi.org/10.1126/science.1102896 https://doi.org/10.1126/science.1158877 https://doi.org/10.1103/PhysRev.71.622 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.53.2449 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.95.146801 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.73.245411 https://doi.org/10.3367/UFNr.0083.196408c.0617 https://doi.org/10.1088/0305-4608/6/11/005 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.70.212201 https://doi.org/10.1038/nmat1967 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.73.125411 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.73.125411 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.78.165411 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.78.165411 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.77.195411 https://doi.org/10.1038/nature04233 https://doi.org/10.1038/nature04235 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.69.075104 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.71.125124 https://doi.org/10.1143/JPSJ.74.777 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.88.075413 https://doi.org/10.1063/1.4961016 https://doi.org/10.1063/1.4961016 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.205423 https://doi.org/10.1063/1.3224726 https://doi.org/10.5772/13795 https://doi.org/10.5772/13795 https://doi.org/10.1016/j.jsamd.2016.06.011 https://doi.org/10.1016/j.jsamd.2016.06.011 https://doi.org/10.1088/1742-6596/969/1/012021 https://doi.org/10.1088/1742-6596/969/1/012021 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.72.125432 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.036801 https://doi.org/10.1088/0953-8984/25/19/195301 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.73.241402 https://doi.org/10.1063/1.2780170 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.80.214201 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.80.214201 https://doi.org/10.1143/PTP.108.1021 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.78.373 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.78.373 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.97.147001 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.017007 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.73.085421 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.014508 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.014508 Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев 46. Lingyin Zhu, W.A. Atkinson, and P.J. Hirschfeld, Phys. Rev. B 69, 060503(R) (2004). 47. O. Kodra and W.A. Atkinson, Phys. Rev. B 73, 045404 (2006). 48. Y.V. Skrypnyk and V.M. Loktev, Phys. Rev. B 75, 245401 (2007). 49. T.O. Wehling, A.V. Balatsky, M.I. Katsnelson, A.I. Lichtenstein, K. Scharnberg, and R. Wiesendanger, Phys. Rev. B 75, 125425 (2007). 50. R.J. Elliott, J.A. Krumhunsl, and P.L. Leath, Rev. Mod. Phys. 46, 465 (1974). 51. N.F. Schwabe and R.J. Elliott, Phys. Rev. B 53, 5301 (1996). 52. L. Zhu, W.A. Atkinson, and P.J. Hirschfeld, Phys. Rev. B 67, 094508 (2003). 53. W.A. Atkinson, P.J. Hirschfeld, and Lingyin Zhu, Phys. Rev. B 68, 054501 (2003). 54. P. Dean, Rev. Mod. Phys. 44, 127 (1972). 55. A.R. Akhmerov and C.W.J. Beenakker, Phys. Rev. B 77, 085423 (2008). 56. V.M. Pereira, J.M.B. Lopes dos Santos, and A.H. Castro Neto, Phys. Rev. B 77, 115109 (2008). 57. Ch. Lin, Y. Feng, Y. Xiao, M. Durr, X. Huang, X. Xu, R. Zhao, E. Wang, X.-Zh. Li, and Z. Hu, Nano Lett. 15 (2), 903 (2015). 58. S.Y. Zhou, G.-H. Gweon, C.D. Spataru, J. Graf, D.-H. Lee, Steven G. Louie, and A. Lanzara, Phys. Rev. B 71, 161403(R) (2005). 59. J.L. McChesney, A. Bostwick, T. Ohta, K.V. Emtsev, T. Seyller, K. Horn, and E. Rotenberg, arXiv 0705.3264 (2007). 60. Wang-Kong Tse and S. Das Sarma, Phys. Rev. Lett. 99, 236802 (2007). 61. M. Calandra and F. Mauri, Phys. Rev. B 76, 161406(R) (2007). 62. Yu. V. Skrypnyk and V.M. Loktev, Fiz. Nizk. Temp. 34, 1040 (2008) [Low. Temp. Phys. 34, 818 (2008)]. 63. Ю.В. Скрипник, В.М. Локтев, Письма в ЖЭТФ 94, 605 (2011). 64. Y.-W. Tan, Y. Zhang, K. Bolotin, Y. Zhao, S. Adam, E.H. Hwang, S. Das Sarma, H.L. Stormer, and P. Kim, Phys. Rev. Lett. 99, 246803 (2007). 65. K. Nomura and A.H. MacDonald, Phys. Rev. Lett. 98, 076602 (2007). 66. E.H. Hwang, S. Adam, and S. Das Sarma, Phys. Rev. Lett. 98, 186806 (2007). 67. V.M. Galitski, S. Adam, and S. Das Sarma, Phys. Rev. B 76, 24540 (2007). 68. S. Adam, E.H. Hwang, E. Rossi, and S. Das Sarma, Solid State Commun. 149, 1072 (2009). 69. J.-H. Chen, C. Jang, S. Adam, M.S. Fuhrer, E.D. Williams, and M. Ishigami, Nature Phys. 4, 377 (2008). 70. J.-H. Chen, C. Jang, M. Ishigami, S. Xiao, W.G. Cullen, E.D. Williams, and M.S. Fuhrer, Solid State Commun. 149, 1080 (2009). 71. L.A. Ponomarenko, R. Yang, T.M. Mohiuddin, M.I. Katsnelson, K.S. Novoselov, S.V. Morozov, A.A. Zhukov, F. Schedin, E.W. Hill, and A.K. Geim, Phys. Rev. Lett. 102, 206603 (2009). 72. D.S. Novikov, Appl. Phys. Lett. 91, 102102 (2007). 73. K. Pi, K.M. McCreary, W. Bao, Wei Han, Y.F. Chiang, Yan Li, S.-W. Tsai, C.N. Lau, and R.K. Kawakami, Phys. Rev. B 80, 075406 (2009). 74. C. Jang, S. Adam, J.-H. Chen, E.D. Williams, S. Das Sarma, and M.S. Fuhrer, Phys. Rev. Lett. 101, 146805 (2008). 75. Y.V. Skrypnyk and V.M. Loktev, Phys. Rev. B 82, 085436 (2010). 76. E.V. Gorbar, V.P. Gusynin, V.A. Miransky, and I.A. Shovkovy, Phys. Rev. B 66, 045108 (2002). 77. H. Kumazaki and D.S. Hirashima, J. Phys. Soc. Jpn. 75, 053707 (2006). 78. V.P. Gusynin, S.G. Sharapov, and J.P. Carbotte, Int. J. Mod. Phys. B 21, 4611 (2007). 79. S. Adam, E.H. Hwang, V.M. Galitski, and S. Das Sarma, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 104, 18392 (2007). 80. L.A. Ponomarenko, A.K. Geim, A.A. Zhukov, R. Jalil, S.V. Morozov, K.S. Novoselov, I.V. Grigorieva, E.H. Hill, V.V. Cheianov, V.I. Fal’ko, K. Watanabe, T. Taniguchi, and R.V. Gorbachev, Nature Phys. 7, 958 (2011). 81. T. Stauber, N.M.R. Peres, and A.H. Castro Neto, Phys. Rev. B 78, 085418 (2008). 82. A. Bostwick, J.L. McChesney, K.V. Emtsev, T. Seyller, K. Horn, S.D. Kevan, and E. Rotenberg, Phys. Rev. Lett. 103, 056404 (2009). 83. И.М. Лифшиц, С.А. Гредескул, Л.А. Пастур, Введение в теорию неупорядоченных систем, Наука, Москва (1982). 84. M.A. Ivanov, V.M. Loktev, and Yu. G. Pogorelov, Phys. Rep. 153, 209 (1987). 85. Y.V. Skrypnyk and V.M. Loktev, Phys. Rev. B 83, 085421 (2011). 86. A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov, and A.K. Geim, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009). 87. J.H. Bardarson, J. Tworzydlo, P.W. Brouwer, and C.W.J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 99, 106801 (2007). 88. K. Kechedzhi, E. McCann, V.I. Fal'ko, H. Suzuura, T. Ando, and B.L. Altshuler, Eur. Phys. J. Special Topics 148, 39 (2007). 89. F.V. Tikhonenko, A.A. Kozikov, A.K. Savchenko, and R.V. Gorbachev, Phys. Rev. Lett. 103, 226801 (2009). 90. J. Bang and K.J. Chang, Phys. Rev. B 81, 193412 (2010). 91. J.H. Bardarson, M.V. Medvedyeva, J. Tworzydlo, A.R. Akhmerov, and C.W.J. Beenakker, Phys. Rev. B 81, 121414 (2010). 92. E.R. Mucciolo and C.H. Lewenkopf, J. Phys.: Condens. Matter 22, 273201 (2010). 93. N.M.R. Peres, Rev. Mod. Phys. 82, 2673 (2010). 94. S. Das Sarma, S. Adam, E.H. Hwang, and E. Rossi, Rev. Mod. Phys. 83, 407 (2011). 95. V. Ugarte, V. Aji, and C.M. Varma, Phys. Rev. B 84, 165429 (2011). 96. Z.H. Ni, L.A. Ponomarenko, R.R. Nair, R. Yang, S. Anissimova, I.V. Grigorieva, F. Schedin, Z.X. Shen, E.H. Hill, K.S. Novoselov, and A.K. Geim, Nano Lett. 10, 3868 (2010). 97. F. Amet, J.R. Williams, K. Watanabe, T. Taniguchi, and D. Goldhaber-Gordon, Phys. Rev. Lett. 110, 216601 (2013). 1454 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.69.060503 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.69.060503 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.73.045404 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.75.245401 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.75.125425 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.75.125425 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.46.465 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.46.465 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.53.5301 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.67.094508 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.054501 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.054501 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.44.127 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.77.085423 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.77.115109 https://doi.org/10.1021/nl503635x https://doi.org/10.1103/PhysRevB.71.161403 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.236802 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.161406 https://doi.org/10.1063/1.2981395 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.246803 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.246803 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.076602 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.186806 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.245405 https://doi.org/10.1016/j.ssc.2009.02.041 https://doi.org/10.1016/j.ssc.2009.02.041 https://doi.org/10.1016/j.ssc.2009.02.042 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.206603 https://doi.org/10.1063/1.2779107 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.80.075406 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.146805 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.82.085436 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.66.045108 https://doi.org/10.1143/JPSJ.75.053707 https://doi.org/10.1142/S0217979207038022 https://doi.org/10.1142/S0217979207038022 https://doi.org/10.1073/pnas.0704772104 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.78.085418 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.78.085418 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.103.056404 https://doi.org/10.1016/0370-1573(87)90103-7 https://doi.org/10.1016/0370-1573(87)90103-7 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.83.085421 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.81.109 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.106801 https://doi.org/10.1140/epjst/e2007-00224-6 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.103.226801 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.81.193412 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.81.121414 https://doi.org/10.1088/0953-8984/22/27/273201 https://doi.org/10.1088/0953-8984/22/27/273201 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.82.2673 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.83.407 https://doi.org/10.1103/RevModPhys.83.407 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.84.165429 https://doi.org/10.1021/nl101399r https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.216601 Электронные свойства графена с точечными дефектами 98. J.-H. Chen,W.G. Cullen, C. Jang, M.S. Fuhrer, and E.D. Williams, Phys. Rev. Lett. 102, 236805 (2009). 99. F. Withers, M. Dubois, and A.K. Savchenko, Phys. Rev. B 82, 073403 (2010). 100. S. Nakaharai, T. Iijima, S. Ogawa, S. Suzuki, S.-L. Li, K. Tsukagoshi, S. Sato, and N. Yokoyama, ACS Nano 7, 5694 (2013). 101. M.S. Osofsky, S.C. Hernandez, A. Nath, V.D. Wheeler, S.G. Walton, C.M. Krowne, and D.K. Gaskill, Sci. Rep. 6, 19939 (2016). 102. E. Zion, A. Haran, A.V. Butenko, L. Wolfson, Y. Kaganovskii, T. Havdala, A. Sharoni, D. Naveh, V. Richter, M. Kaveh, E. Kogan, and I. Shlimak, Graphene 4, 45 (2015). 103. I.L. Aleiner and K.B. Efetov, Phys. Rev. Lett. 97, 236801 (2006). 104. P.M. Ostrovsky, I.V. Gornyi, and A.D. Mirlin, Phys. Rev. Lett. 98, 256801 (2007). 105. G.G. Naumis, Phys. Rev. B 76, 153403 (2007). 106. M. Amini, S.A. Jafari, and F. Shahbazi, Europhysics Lett. 87, 37002 (2009). 107. A. Lherbier, B. Biel, Y.-M. Niquet, and S. Roche, Phys. Rev. Lett. 100, 036803 (2008). 108. Y. Song, H. Song, and S. Feng, J. Phys.: Condens. Matter 23, 205501 (2011). ___________________________ Електронні властивості графена з точковими дефектами (Огляд) Ю.В. Скрипник, В.М. Локтєв Зроблена спроба послідовного розгляду електронного спе- ктру графена, що містить точкові дефекти (атоми заміщення, адсорбовані атоми, вакансії), які можуть бути послідовно опи- сані в рамках моделі Ліфшиця. Через це для випадку двовимі- рних релятивістських електронів вибирається відомий для даної моделі ґамільтоніан і наводяться критерії появи поблизу точки Дірака домішкового резонансу. Далі викладається тео- рія концентраційної трансформації електронної структури графена, з чого випливає, що при досягненні строго визначе- ного значення концентрації домішки поблизу енергії домішко- вого резонансу відкривається транспортна щілина. Одночасно аналізується питання щодо можливості (або неможливості) локалізації у такій просторово неоднорідній системі дираків- ських квазічастинок. На цій основі вдається дати пояснення і провести опис явища, яке нещодавно спостерігалося у доміш- ковому графені, — переходу метал–діелектрик, що виявля- ється прямим наслідком попадання енергії Фермі системи до області транспортної щілини. Вводится і обгрунтовується концепція перебудови локального спектру графена, яка та- кож може відбуватися у відповідності до зростання у ньому концентрації домішки. Формулюються фізичні причини, за якими положення мінімуму низькотемпературної провідності графена як функції енергії Фермі електронів відповідає саме енергії домішкового резонансу, а не точці Дірака, як це стверд- жувалося у ряді теоретичних та експериментальних дослід- жень. При цьому експериментальне значення, як виявляється, не є універсальною величиною і залежить від концентрації дефектів. Аналітичний розгляд домішкових ефектів супровод- жується чисельним моделюванням системи, що розглядається, в результаті чого встановлена повна відповідність між цими двома підходами. Зокрема, знаходять підтвердження загальна картина перебудови спектру, локалізація електронних станів, а також ефекти, що мають локальну природу. Ключові слова: домішка, резонансний стан, перебудова спект- ру, перехід Андерсона, поріг рухливості, локалізація, графен. Electronic properties of graphene with point defects (Review Article) Y.V. Skrypnyk and V.M. Loktev An attempt has been made to study consecutively the elec- tronic spectrum of graphene, containing defects (such as adsorbed atoms, substitutional atoms, vacancies), which can be adequately described by the Lifshitz model. For this purpose, the known Hamiltonian of the given model is chosen in the case of two- dimensional relativistic electrons, and criteria for the appearance of an impurity resonance near the Dirac point are provided. Then, the theory of the concentration band structure transformation in graphene is presented, from which it follows that when a specific value of the impurity concentration is reached, a transport gap develops in the vicinity of the impurity resonance energy. In pass- ing, the question on the possibility (or impossibility) to localize Dirac quasiparticles in such a spatially disordered system is analyzed. On this ground, it becomes possible to explain and de- scribe the recently observed phenomenon in the impure graphene — the metal-insulator transition, which turns out to be a direct consequence of the Fermi level’s entering inside the transport gap domain. The concept of local spectrum rearrangement, which can also unfold with increasing the concentration of defects, is intro- duced and justified for graphene. We formulate the physical rea- sons why the minimum position in the low-temperature conduc- tivity dependence on the Fermi energy of electrons in graphene does correspond to the impurity resonance energy, but not to the Dirac point, as it was claimed in a number of theoretical and ex- perimental studies. At that, the mentioned minimum value, as it became apparent, is not a universal value, but depends on the concentration of defects. Analytical approach to impurity effects is accompanied by numerical modeling of the system under con- sideration, by which means a complete correspondence between these two approaches is established. In particular, the general scenario of the spectrum rearrangement, the localization of elec- tronic states, as well as effects that are of a local nature, are con- firmed. Keywords: impurity, resonance state, spectrum rearrangement, Anderson transition, mobility edge, localization, graphene. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 11 1455 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.236805 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.82.073403 https://doi.org/10.1021/nn401992q https://doi.org/10.1038/srep19939 https://doi.org/10.4236/graphene.2015.43005 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.97.236801 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.256801 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.256801 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.153403 https://doi.org/10.1209/0295-5075/87/37002 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.100.036803 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.100.036803 https://doi.org/10.1088/0953-8984/23/20/205501 1. Введение 2. Трансформация электронного спектра графена при повышении концентрации примеси 2.1. Функция Грина для электронной подсистемы при отсутствии возмущения 2.2. Изолированная примесь замещения 2.3. Критическая концентрация примеси в неупорядоченных системах различной размерности 2.4. Общая картина перестройки электронного спектра графена 2.5. Особенности поведения спектра вблизи нодальных точек 3. Критическое поведение локальной плотности состояний 3.1. Перестройка локального спектра в области примесного резонанса 3.2. Перестройка локального спектра вблизи точки Дирака 3.3. Перестройка локального спектра как концентрационный эффект 4. Численное моделирование процесса перестройки спектра в графене 5. Спектральная функция неупорядоченного графена 6. Проводимость графена с примесями 6.1. Проводимость в случае слабого примесного рассеяния 6.2. Проводимость в случае сильного примесного рассеяния 6.3. Асимметрия проводимости 7. Переход металл–диэлектрик при осаждении атомарного водорода на графен 7.1. Взаимосвязь между перестройкой спектра и переходом Андерсона 7.2. Спектр зоны проводимости 8. Заключение

Электронные свойства графена с точечными дефектами

Institution

Ähnliche Einträge