Phase diagram of the spin quantum Hall transition
We study a system which can be realized in a dirty, gapless superconductor in which time-reversal symmetry
 for orbital motion is broken, but spin-rotation symmetry is intact. We present a phase diagram in a phase-space
 of spin Hall conductance є and energy of quasiparticles ∆. It e...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176500 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Phase diagram of the spin quantum Hall transition / V. Kagalovsky, D. Nemirovsky // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 11. — С. 1559-1561. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860151665048420352 |
|---|---|
| author | Kagalovsky, V. Nemirovsky, D. |
| author_facet | Kagalovsky, V. Nemirovsky, D. |
| citation_txt | Phase diagram of the spin quantum Hall transition / V. Kagalovsky, D. Nemirovsky // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 11. — С. 1559-1561. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | We study a system which can be realized in a dirty, gapless superconductor in which time-reversal symmetry
for orbital motion is broken, but spin-rotation symmetry is intact. We present a phase diagram in a phase-space
of spin Hall conductance є and energy of quasiparticles ∆. It exhibits a direct transition between two insulating
phases with quantized Hall conductances of zero and two for the conserved quasiparticles when ∆ = 0. The energy of the quasiparticles acts as a relevant symmetry-breaking field at the critical point, which splits the direct
transition into two conventional plateau transitions. We use updated correct values of the critical exponents to
define these two critical lines as є ~ ±∆⁶/⁷.
Вивчено систему, яка реалізується в брудних, безщілинних надпровідниках, в яких порушена симетрія звернення
часу орбітального руху, але не зачеплена симетрія спінового
обертання. Представлено фазову діаграму в площині спінової
холлівської провідності є та енергії квазічастинок ∆. Система
зазнає прямий перехід між двома непровідними фазами, які
відповідають квантованим холлівським провідностям нуль і
два для квазичастинок, що зберігаються, при ∆ = 0. Енергія
квазічастинок діє як характерне поле, що порушує симетрію
в точці переходу, яке розщеплює прямий перехід на два послідовних перехода типу плато. Використовано скориговані
правильні значення для критичних індексів для визначення
цих двох критичних ліній як є ~ ±∆⁶/⁷.
Изучена система, которая реализуется в грязных, бесщелевых сверхпроводниках, в которых нарушена симметрия
обращения времени орбитального движения, но не затронута
симметрия спинового вращения. Представлена фазовая диаграмма в плоскости спиновой холловской проводимости є и
энергии квазичастиц ∆. Система испытывает прямой переход
между двумя непроводящими фазами, соответствующими
квантованным холловским проводимостям нуль и два для
сохраняющихся квазичастиц, при ∆ = 0. Энергия квазичастиц
действует как характерное поле, нарушающее симметрию в
точке перехода, которое расщепляет прямой переход на два
последовательных перехода типа плато. Использованы скорректированные правильные значения для критических индексов для определения этих двух критических линий как
є ~ ±∆⁶/⁷.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:51:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Fizika Nizkikh Temperatur, 2018, v. 44, No. 11, pp. 1559–1561
Phase diagram of the spin quantum Hall transition
V. Kagalovsky* and D. Nemirovsky
Shamoon College of Engineering, Bialik/Basel St., Beer-Sheva 84100, Israel
E-mail: demitryn@sce.ac.il
Received May 17, 2018, published online September 26, 2018
We study a system which can be realized in a dirty, gapless superconductor in which time-reversal symmetry
for orbital motion is broken, but spin-rotation symmetry is intact. We present a phase diagram in a phase-space
of spin Hall conductance and energy of quasiparticles ∆. It exhibits a direct transition between two insulating
phases with quantized Hall conductances of zero and two for the conserved quasiparticles when ∆ = 0. The ener-
gy of the quasiparticles acts as a relevant symmetry-breaking field at the critical point, which splits the direct
transition into two conventional plateau transitions. We use updated correct values of the critical exponents to
define these two critical lines as ~ ±∆6/7.
Keywords: spin quantum Hall effect, class C, critical exponents, phase diagram.
1. Introduction
Anderson localization of a quantum particle [1] is an in-
tensive research field [2]. One of its central research direc-
tions is the physics of Anderson transitions [3], quantum
critical points tuned by disorder. These include metal-
insulator transitions and transitions of quantum Hall type
separating distinct phases of topological insulators.
From the theoretical point of view, symmetries play a
central role in determination of universality classes of cri-
tical phenomena. This idea was applied to Anderson local-
ization in [4,5], where ten distinct symmetry classes were
identified. In three of these classes, classes A, C, and D,
the time-reversal invariance is broken, and there is a possi-
bility for a quantum Hall transition in two dimensions. The
transition in class A is the usual integer quantum Hall tran-
sition in a two-dimensional (2D) electronic system in a
strong perpendicular magnetic field (see [6] for a review).
Class C is one of the four Bogoliubov–de Gennes classes
which describe transport of quasiparticles in disordered
superconductors at a mean field level, and possess the par-
ticle-hole symmetry. In this class the spin-rotation invari-
ance is preserved, the quasiparticles have conserved spin,
and one can study spin transport. The corresponding Hall
transition is known as the spin quantum Hall (SQH) transi-
tion [7,8], at which the system exhibits a jump in the spin
Hall conductance from 0 to 2 in appropriate units.
In this brief report, we present a phase diagram for a
system belonging to class C using updated correct values
of the critical exponents. We show that in the presence of a
symmetry-breaking field (which breaks spin-rotation invar-
iance) the transition occurs in two stages, and two critical
lines are defined by the new critical exponent 6/7.
2. The model
A scattering theory description of Anderson localization
and Anderson transitions in terms of random network mo-
dels was introduced in [9]. The resulting networks are chiral,
reflecting the breaking of timereversal invariance in strong
magnetic fields. The simplest such model is the the Chalker–
Coddington (CC) model originally proposed to describe the
integer quantum Hall (IQH) effect [10]. In this model, elec-
trons move along unidirectional links forming closed loops
in analogy with semi-classical motion on contours of con-
stant potential. Scattering between links is allowed at nodes
in order to encode tunneling through saddle point of the po-
tential landscape. A natural generalization of the network
model includes spin. It is achieved by allowing each link to
carry two channels (both in the same direction). Two states
can mix on the link but scatter separately at the node.
The symmetry class C was mapped onto generalized
CC model [7] by allowing (2)SU matrices on the links
which preserve spin-rotation invariance (see Fig. 1). Scat-
tering at the nodes is parameterized by ± (1/2)∆. The
value of determines the Hall conductance of the system,
as measured at short distances: varying drives the model
through the delocalization transition (in this sense corre-
sponds to a Fermi level as in the standard CC model). A
non-zero value for ∆ breaks spin-rotation invariance, and
in fact changes the universality class for the transition.
* Also at Max-Planck-Institut für Physik komplexer Systeme, Nöthnitzer Str., Dresden, Germany.
© V. Kagalovsky and D. Nemirovsky, 2018
V. Kagalovsky and D. Nemirovsky
Numerical calculations for a very long system of par-
ticular width M produce a localization length (as the in-
verse of the smallest positive Lyapunov exponent /2Mλ )
which staisfies a two-parameter scaling assumption
( )= , ,M f M M
M
ν µξ
∆ (1)
which allows to find the values of two critical exponents.
These exponents describe the divergence of two corre-
sponding thermodynamic localization lengths 1 | |−νξ
and 2 | |−µξ ∆ , when a critical point = = 0∆ is ap-
proached along and ∆ axes.
3. Phase diagram
In the original paper [7] a broad range of [0,1]∈ was
used (including the values of far from the critical point),
and the result was 1.12ν ≈ . In a more recent study [11] the
authors used only data for < 0.05 (very close to the criti-
cal point), and obtained 1.335ν ≈ , in excellent agreement
with the analytical prediction ν = 4/3 [12].
A numerical result found in [7] for a second critical ex-
ponent 1.45µ ≈ was in a good agreement with analytical
prediction 3/2 [12]. Both results were recently significantly
corrected [13]. Percolation mapping of [12] was used to
extract analytical value μ = 8/7. Numerical simulations used
a different (from [7]) approach. Instead of breaking spin-
rotation invariance in the nodes of the network by introduc-
ing parameter ∆, extra random phases with zero mean were
defined on the links, and their variance p was used as a
symmetry-breaking parameter. Without symmetry-breaking
perturbations, all Lyapunov exponents of the transfermatrix
product are doubly degenerate due to the presence of time-
reversal invariance (Kramers degeneracy). It was suggested
in [7] that when the time-reversal symmetry is broken by a
small perturbation, the renormalized localization length
and the deviation from Kramers degeneracy (the difference
between the two smallest positive Lyapunov exponents
multiplied by the circumference M) exhibit scaling behav-
ior characterized by the same exponent. This idea was fur-
ther supported in [14,15]. It turned out that the deviation
from Kramers degeneracy is a superior way to extract criti-
cal exponents in this case, since we know its exact zero
value at the critical point. It has been shown in [13] that
both perturbations breaking spin-rotation invariance act as
a random Zeeman field and must have the same critical
exponent µ. The numerical results using deviations from
Kramers degeneracy produced 1.15µ ≈ in excellent
agrement with analytical prediction μ = 8/7 1.14≈ . We
believe that the reason for the discrepancy of the previous
and recent numerical results is that only large values of ∆
were used in [7]. Indeed, in that paper it was impossible to
resolve two separate critical states for < 0.5∆ .
Now finally we can write two-parameter scaling with
correct critical exponents
( )4/3 8/7= , .M f M M
M
ξ
∆ (2)
On the critical lines the scaling function is M-inde-
pendent. This unambiguously defines critical curves on the
phase diagram as / 6/7| | =µ ν±∆ ±∆ . We present a phase
diagram in Fig. 2.
Acknowledgments
This work was supported by the SCE internal grant
EXR01/Y17/T1/D3/Yr1. VK is grateful for hospitality of
MPI-PKS, Dresden, where major part of this work was
done.
________
1. P.W. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).
2. E. Abrahams, 50 Years of Anderson Localization,
International Journal of Modern Physics: Condensed Matter
Physics, Statistical Physics, Applied Physics, World
Scientific (2010).
3. F. Evers and A.D. Mirlin, Rev. Mod. Phys. 80, 1355 (2008).
4. A. Altland and M.R. Zirnbauer, Phys. Rev. B 55, 1142
(1997).
5. M.R. Zirnbauer, J. Math. Phys. 37, 4986 (1996).
Fig. 1. Two-channel chiral network model. Dots represent scat-
tering matrices on the links and squares represent the nodal scat-
tering matrices.
Fig. 2. (Color online) The phase diagram for a spin quantum Hall
effect, exhibiting three phases with spin Hall conductivities
= 0s
xyσ , = 1s
xyσ , and = 2s
xyσ , seprated by critical lines
6/7±∆ .
1560 Low Temperature Physics/Fizika Nizkikh Temperatur, 2018, v. 44, No. 11
https://doi.org/10.1103/PhysRev.109.1492
https://doi.org/10.1103/RevModPhys.80.1355
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.55.1142
https://doi.org/10.1063/1.531675
Phase diagram of the spin quantum Hall transition
6. B. Huckestein, Rev. Mod. Phys. 67, 357 (1995).
7. V. Kagalovsky, B. Horovitz, Y. Avishai, and J.T. Chalker,
Phys. Rev. Lett. 82, 3516 (1999).
8. T. Senthil, J.B. Marston, and M.P.A. Fisher, Phys. Rev. B 60,
4245 (1999).
9. B. Shapiro, Phys. Rev. Lett. 48, 823 (1982).
10. J.T. Chalker and P.D. Coddington, J. Phys. C: Solid State
Phys. 21, 2665 (1988).
11. H. Obuse, A.R. Subramaniam, A. Furusaki, I.A. Gruzberg,
and A.W.W. Ludwig, Phys. Rev. B 82, 035309 (2010).
12. I.A. Gruzberg, A.W.W. Ludwig, and N. Read, Phys. Rev.
Lett. 82, 4524 (1999).
13. S. Bhardwaj, I.A. Gruzberg, and V. Kagalovsky, Phys. Rev.
B 91, 035435 (2015).
14. V. Kagalovsky, B. Horovitz, Y. Avishai, and J. Chalker,
Ann. Phys. (Leipzig) 8, SI (1999).
15. V. Kagalovsky, B. Horovitz, Y. Avishai, and J. Chalker,
Physica E 9, 352 (2001), Proceedings of an International
Workshop and Seminar on the Dynamics of Complex
Systems.
___________________________
Фазова діаграма спінового квантового переходу
Холла
В. Кагаловський, Д. Неміровський
Вивчено систему, яка реалізується в брудних, безщілин-
них надпровідниках, в яких порушена симетрія звернення
часу орбітального руху, але не зачеплена симетрія спінового
обертання. Представлено фазову діаграму в площині спінової
холлівської провідності та енергії квазічастинок ∆. Система
зазнає прямий перехід між двома непровідними фазами, які
відповідають квантованим холлівським провідностям нуль і
два для квазичастинок, що зберігаються, при ∆ = 0. Енергія
квазічастинок діє як характерне поле, що порушує симетрію
в точці переходу, яке розщеплює прямий перехід на два пос-
лідовних перехода типу плато. Використовано скориговані
правильні значення для критичних індексів для визначення
цих двох критичних ліній як ~ ± ∆6/7.
Ключові слова: спіновий квантовий ефект Холла, клас C,
критичні індекси, фазова діаграма.
Фазовая диаграмма спинового квантового
перехода Холла
В. Кагаловский, Д. Немировский
Изучена система, которая реализуется в грязных, бесще-
левых сверхпроводниках, в которых нарушена симметрия
обращения времени орбитального движения, но не затронута
симметрия спинового вращения. Представлена фазовая диа-
грамма в плоскости спиновой холловской проводимости и
энергии квазичастиц ∆. Система испытывает прямой переход
между двумя непроводящими фазами, соответствующими
квантованным холловским проводимостям нуль и два для
сохраняющихся квазичастиц, при ∆ = 0. Энергия квазичастиц
действует как характерное поле, нарушающее симметрию в
точке перехода, которое расщепляет прямой переход на два
последовательных перехода типа плато. Использованы скор-
ректированные правильные значения для критических ин-
дексов для определения этих двух критических линий как
~ ± ∆6/7.
Ключевые слова: спиновый квантовый эффект Холла, класс C,
критические индексы, фазовая диаграмма.
Low Temperature Physics/Fizika Nizkikh Temperatur, 2018, v. 44, No. 11 1561
https://doi.org/10.1103/RevModPhys.67.357
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.82.3516
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.60.4245
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.48.823
https://doi.org/10.1088/0022-3719/21/14/008
https://doi.org/10.1088/0022-3719/21/14/008
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.82.035309
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.82.4524
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.82.4524
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.91.035435
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.91.035435
https://doi.org/10.1016/S1386-9477(00)00227-7
1. Introduction
2. The model
3. Phase diagram
Acknowledgments
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176500 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T17:51:55Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Kagalovsky, V. Nemirovsky, D. 2021-02-04T20:02:24Z 2021-02-04T20:02:24Z 2018 Phase diagram of the spin quantum Hall transition / V. Kagalovsky, D. Nemirovsky // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 11. — С. 1559-1561. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176500 We study a system which can be realized in a dirty, gapless superconductor in which time-reversal symmetry
 for orbital motion is broken, but spin-rotation symmetry is intact. We present a phase diagram in a phase-space
 of spin Hall conductance є and energy of quasiparticles ∆. It exhibits a direct transition between two insulating
 phases with quantized Hall conductances of zero and two for the conserved quasiparticles when ∆ = 0. The energy of the quasiparticles acts as a relevant symmetry-breaking field at the critical point, which splits the direct
 transition into two conventional plateau transitions. We use updated correct values of the critical exponents to
 define these two critical lines as є ~ ±∆⁶/⁷. Вивчено систему, яка реалізується в брудних, безщілинних надпровідниках, в яких порушена симетрія звернення
 часу орбітального руху, але не зачеплена симетрія спінового
 обертання. Представлено фазову діаграму в площині спінової
 холлівської провідності є та енергії квазічастинок ∆. Система
 зазнає прямий перехід між двома непровідними фазами, які
 відповідають квантованим холлівським провідностям нуль і
 два для квазичастинок, що зберігаються, при ∆ = 0. Енергія
 квазічастинок діє як характерне поле, що порушує симетрію
 в точці переходу, яке розщеплює прямий перехід на два послідовних перехода типу плато. Використовано скориговані
 правильні значення для критичних індексів для визначення
 цих двох критичних ліній як є ~ ±∆⁶/⁷. Изучена система, которая реализуется в грязных, бесщелевых сверхпроводниках, в которых нарушена симметрия
 обращения времени орбитального движения, но не затронута
 симметрия спинового вращения. Представлена фазовая диаграмма в плоскости спиновой холловской проводимости є и
 энергии квазичастиц ∆. Система испытывает прямой переход
 между двумя непроводящими фазами, соответствующими
 квантованным холловским проводимостям нуль и два для
 сохраняющихся квазичастиц, при ∆ = 0. Энергия квазичастиц
 действует как характерное поле, нарушающее симметрию в
 точке перехода, которое расщепляет прямой переход на два
 последовательных перехода типа плато. Использованы скорректированные правильные значения для критических индексов для определения этих двух критических линий как
 є ~ ±∆⁶/⁷. This work was supported by the SCE internal grant
 EXR01/Y17/T1/D3/Yr1. VK is grateful for hospitality of
 MPI-PKS, Dresden, where major part of this work was
 done. en Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Короткі повідомлення Phase diagram of the spin quantum Hall transition Фазова діаграма спінового квантового переходу Холла Фазовая диаграмма спинового квантового перехода Холла Article published earlier |
| spellingShingle | Phase diagram of the spin quantum Hall transition Kagalovsky, V. Nemirovsky, D. Короткі повідомлення |
| title | Phase diagram of the spin quantum Hall transition |
| title_alt | Фазова діаграма спінового квантового переходу Холла Фазовая диаграмма спинового квантового перехода Холла |
| title_full | Phase diagram of the spin quantum Hall transition |
| title_fullStr | Phase diagram of the spin quantum Hall transition |
| title_full_unstemmed | Phase diagram of the spin quantum Hall transition |
| title_short | Phase diagram of the spin quantum Hall transition |
| title_sort | phase diagram of the spin quantum hall transition |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176500 |
| work_keys_str_mv | AT kagalovskyv phasediagramofthespinquantumhalltransition AT nemirovskyd phasediagramofthespinquantumhalltransition AT kagalovskyv fazovadíagramaspínovogokvantovogoperehoduholla AT nemirovskyd fazovadíagramaspínovogokvantovogoperehoduholla AT kagalovskyv fazovaâdiagrammaspinovogokvantovogoperehodaholla AT nemirovskyd fazovaâdiagrammaspinovogokvantovogoperehodaholla |