Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0
Розглядається сингулярна задача Кошi та доводиться iснування неперервно диференцiйовних
 розв’язкiв з потрiбними асимптотичними властивостями. We consider a singular Cauchy problem and prove existence of continuously differentiable solutions satisfying necessary asymptotic properties....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176932 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 / А.Е. Зернов, Ю.В. Кузина // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 178-190. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860177694412505088 |
|---|---|
| author | Зернов, А.Е. Кузина, Ю.В. |
| author_facet | Зернов, А.Е. Кузина, Ю.В. |
| citation_txt | Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 / А.Е. Зернов, Ю.В. Кузина // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 178-190. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглядається сингулярна задача Кошi та доводиться iснування неперервно диференцiйовних
розв’язкiв з потрiбними асимптотичними властивостями.
We consider a singular Cauchy problem and prove existence of continuously differentiable solutions satisfying necessary asymptotic properties.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:01:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517. 911
СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ КОШИ x(x0)
= f(t, x, x0), x(0) = 0
А. Е. Зернов, Ю. В. Кузина
Южноукр. пед. ун-т
Украина, 65020, Одесса, ул. Старопортофранковская, 26
e-mail: itim@inbox.ru
We consider a singular Cauchy problem and prove existence of continuously differentiable solutions sati-
sfying necessary asymptotic properties.
Розглядається сингулярна задача Кошi та доводиться iснування неперервно диференцiйовних
розв’язкiв з потрiбними асимптотичними властивостями.
Проблема разрешимости и числа решений сингулярной задачи Коши для дифференци-
альных уравнений, разрешенных относительно производных неизвестных, исследовалась
во многих работах (см., например, [1 – 6]). Большое внимание уделялось и задаче Коши
для дифференциальных уравнений неявного вида [3, 7 – 14]. Вместе с тем асимптотиче-
ское поведение решений задачи Коши для дифференциальных уравнений, не разрешен-
ных относительно производных неизвестных, исследовано сравнительно мало. В настоя-
щей работе предложены две схемы рассуждений, позволяющие изучить сингулярную за-
дачу Коши неявного вида. Формулируются достаточные условия, при которых существу-
ет непустое множество непрерывно дифференцируемых решений с требуемыми асим-
птотическими свойствами. Одновременно изучается асимптотическое поведение первых
производных решений. Выясняется вопрос о числе решений указанного вида. При этом
используются методы качественной теории дифференциальных уравнений [2, 15 – 18].
Рассмотрим задачу Коши
x(x′)γ = a10t+ a01x+ ϕ(t, x, x′), (1)
x(0) = 0, (2)
где t ∈ (0, τ) — действительная переменная, x : (0, τ) → R — неизвестная действитель-
ная функция, γ — натуральное число, γ > 2, a10, a01 — постоянные, ϕ : D → R —
непрерывная функция,
D = {(t, x, y) : t ∈ (0, τ), |x| < r1t, |y| < r2}, |ϕ(t, x, y)| 6 tξ(t), (t, x, y) ∈ D,
где ξ : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывно дифференцируемая функция,
lim
t→+0
ξ(t) = 0, lim
t→+0
t
ξ′(t)
ξ(t)
= ξ0, 0 6 ξ0 < +∞.
c© А. Е. Зернов, Ю. В. Кузина, 2003
178 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 179
Определение. Пусть ρ— постоянная, ρ ∈ (0, τ). Будем называть ρ-решением задачи
(1), (2) непрерывно дифференцируемую функцию x : (0, ρ] → R со следующими свой-
ствами:
1) (t, x(t), x′(t)) ∈ D, t ∈ (0, ρ];
2) x тождественно удовлетворяет уравнению (1) при t ∈ (0, ρ].
Пусть c — действительный корень уравнения
cγ+1 = a10 + a01c,
удовлетворяющий условиям
c 6= 0, |c| < min{r1, r2},
a01
γcγ
6= 1
γ
+ 1 + ξ0.
Обозначим через U(ρ,M, q) множество непрерывно дифференцируемых функций
u : (0, ρ] → R таких, что
|u(t)− ct| 6 Mtξ(t),
∣∣u′(t)− c∣∣ 6 qMξ(t), t ∈ (0, ρ]. (3)
Здесь ρ,M, q — положительные постоянные, ρ < τ .
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
|ϕ(t1, x, y)− ϕ(t2, x, y)| 6 lt(µ)|t1 − t2|, (ti, x, y) ∈ D, 0 < µ 6 t1, t2 < τ,
|ϕ(t, x1, y)− ϕ(t, x2, y)| 6 lx(t)|x1 − x2|, (t, xi, y) ∈ D,
|ϕ(t, x, y1)− ϕ(t, x, y2)| 6 lyt|y1 − y2|, (t, x, yi) ∈ D, i ∈ {1, 2},
где lt : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывная невозрастающая функция, lx : (0, τ) → (0,+∞)
— непрерывно дифференцируемая функция, l′x(t) 6 0, t ∈ (0, τ),
lim
t→+0
t
l′x(t)
lx(t)
= Lx, −∞ < Lx 6 0;
если
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0, то
a01
γcγ
− 1− 1
γ
− ξ0 < Lx 6 0; ly — постоянная, ly < γ|c|γ .
Тогда:
1) если
a01
γcγ
> 1+
1
γ
+ξ0,то существуют ρ, M, q такие, что задача (1), (2) имеет бес-
конечное множество ρ-решений, принадлежащих множеству U(ρ,M, q). При этом если
постоянная α удовлетворяет условию
|α− cρ| < Mρξ(ρ), (4)
то существует хотя бы одно ρ-решение xα ∈ U(ρ,M, q) задачи (1), (2) такое, что
xα(ρ) = α;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
180 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА
2) если
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0, то существуют ρ, M, q такие, что задача (1), (2) имеет
хотя бы одно ρ-решение, принадлежащее множеству U(ρ,M, q).
Теорема 2. Пусть выполнены условия:
1) если
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
, или
a01
γcγ
> 1 +
1
γ
+ ξ0, то
|ϕ(t, x1, y)− ϕ(t, x2, y)| 6 lxt|x1 − x2|, (t, xi, y) ∈ D,
|ϕ(t, x, y1)− ϕ(t, x, y2)| 6 lyt|y1 − y2|, (t, x, yi) ∈ D, i ∈ {1, 2},
где lx, ly — постоянные,
lx + ly <
γ|c|γ
∣∣∣∣a01 −
(
1 +
1
γ
)
γcγ
∣∣∣∣∣∣∣∣a01 −
(
1 +
1
γ
)
γcγ
∣∣∣∣+ |a01 − cγ |
;
2) если 1 +
1
γ
6
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0, то
|ϕ(t, x1, y)− ϕ(t, x2, y)| 6 lxt(ξ(t))σ|x1 − x2|, (t, xi, y) ∈ D,
|ϕ(t, x, y1)− ϕ(t, x, y2)| 6 lyt(ξ(t))σ|y1 − y2|, (t, x, yi) ∈ D, i ∈ {1, 2},
где lx, ly, σ — постоянные,
1
ξ0
(
a01
γcγ
− 1− 1
γ
)
< σ < 1.
Тогда:
1) если
a01
γcγ
> 1+
1
γ
+ξ0,то существуют ρ, M, q такие, что задача (1), (2) имеет бес-
конечное множество ρ-решений, принадлежащих множеству U(ρ,M, q). При этом если
постоянная α удовлетворяет условию (4), то существует единственное ρ-решение
xα ∈ U(ρ,M, q) задачи (1), (2) такое, что xα(ρ) = α;
2) если
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0, то существуют ρ, M, q такие, что задача (1), (2) имеет
единственное ρ-решение, принадлежащее множеству U(ρ,M, q).
Доказательство теоремы 1. Вначале выберем постоянные ρ,M, q. Пусть
M >
∣∣∣∣a01 −
(
1 +
1
γ
+ ξ0
)
γcγ
∣∣∣∣−1
,
(5)
q >
(
|a01 − cγ |+
∣∣∣∣a01 −
(
1 +
1
γ
+ ξ0
)
γcγ
∣∣∣∣) (γ|c|γ)−1 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 181
Неравенства, определяющие выбор ρ, не приводим ввиду ограниченности объема статьи;
отметим лишь, что ρ достаточно мало. Пусть B— пространство непрерывно дифферен-
цируемых функций x : [0, ρ] → R с нормой
‖x‖B = max
t∈[0,ρ]
(
|x(t)|+ |x′(t)|
)
. (6)
Обозначим через U подмножество B, каждый элемент u : [0, ρ] → R которого удовлет-
воряет условиям (3), причем u(0) = 0, u′(0) = c и, кроме того,
∀µ ∈ (0, ρ] ∀ti ∈ [µ, ρ], i ∈ {1, 2} : |u′(t1)− u′(t2)| 6 K(µ)|t1 − t2|,
где
K(µ) = 2
(
γ|c|γ − ly
)−1
µ−1
(
|a01 − cγ |(2|c|+ 1) + lt(µ) + lx(µ)(|c|+ 1) + 1
)
.
Множество U замкнуто, ограничено, выпукло и (на основании теоремы Арцела) ком-
пактно. Преобразуем уравнение (1) к виду
γcγt(x′ − c) = (a01 − cγ)(x− ct)− ct
γ∑
r=2
Crγc
γ−r(x′ − c)r +
+ (cγ − (x′)γ)(x− ct) + ϕ(t, x, x′) (7)
и будем рассматривать далее дифференциальное уравнение
x′ = c+ (γcγt)−1
(
(a01 − cγ)(x− ct)− ct
γ∑
r=2
Crγc
γ−r(u′(t)− c)r +
+ (cγ − (u′(t))γ)(u(t)− ct) + ϕ(t, u(t), u′(t))
)
, (8)
где u ∈ U — произвольная фиксированная функция. Обозначим
D0 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], x ∈ R}.
Если (t, x) ∈ D0, то для дифференциального уравнения (8) выполнены условия теоре-
мы существования и единственности решения и непрерывной зависимости решений от
начальных данных. Пусть
Φ1 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− ct| = Mtξ(t)},
D1 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− ct| < Mtξ(t)},
H = {(t, x) : t = ρ, |x− cρ| < Mρξ(ρ)}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
182 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА
Определим функцию A1 : D0 → [0,+∞) равенством A1(t, x) = (x − ct)2(tξ(t))−2 и обо-
значим через a1 : D0 → R производную функции A1 в силу уравнения (8). Поскольку
a1(t, x) = 2(tξ(t))−2(γcγt)−1
((
a01 − cγ − γcγ − γcγt
ξ′(t)
ξ(t)
)
(x− ct)2 +
+ (x− ct)
(
−ct
γ∑
r=2
Crγc
γ−r(u′(t)− c)r + (cγ − (u′(t))γ)(u(t)− ct) + ϕ(t, u(t), u′(t))
))
,
нетрудно убедиться в том, что
sign a1(t, x) = sign
(
a01
γcγ
− 1− 1
γ
− ξ0
)
при (t, x) ∈ Φ1.
1. Пусть вначале
a01
γcγ
> 1 +
1
γ
+ ξ0. Тогда a1(t, x) > 0 при (t, x) ∈ Φ1. Отсюда следует,
что если рассмотреть любую точку (t0, x0) ∈ Φ1 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интег-
ральную кривую уравнения (8), проходящую через эту точку, то при достаточно малом
δ > 0 (t, x0(t)) ∈ D1 при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D1 при t ∈ (t0 − δ, t0).
Действительно,
A1(t0, x0(t0)) = A1(t0, x0) = M2, a1(t0, x0(t0)) = a1(t0, x0) > 0,
и поэтому если t0 ∈ (0, ρ), то существует такое δ > 0, что
sign
(
A1(t, x0(t))−A1(t0, x0(t0))
)
= sign(t− t0), 0 < |t− t0| < δ,
или
sign
(
|x0(t)− ct|(tξ(t))−1 −M
)
= sign(t− t0), 0 < |t− t0| < δ.
Если же t0 = ρ, то существует такое δ > 0, что
A1(t, x0(t)) < A1(t0, x0(t0)), t ∈ (ρ− δ, ρ),
или
|x0(t)− ct|(tξ(t))−1 < M, t ∈ (ρ− δ, ρ).
Отсюда следует, что каждая из интегральных кривых уравнения (8), пересекающих мно-
жество H, при убывании t не может иметь общих точек с Φ1 и поэтому определена при
t ∈ (0, ρ] и лежит в D1 при всех t ∈ (0, ρ]. Пусть G(ρ, xG) ∈ H — произвольная фикси-
рованная точка. Обозначим через Ju : (t, xu(t)) интегральную кривую уравнения (8),
проходящую через точку G. Ввиду изложенного Ju : (t, xu(t)) лежит в D1 при t ∈ (0, ρ].
Поэтому
|xu(t)− ct| 6 Mtξ(t), t ∈ (0, ρ]. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 183
Легко видеть, что
|x′u(t)− c| 6 qMξ(t), t ∈ (0, ρ], (10)
и
∀µ ∈ (0, ρ] ∀ti ∈ [µ, ρ], i ∈ {1, 2} : |x′u(t1)− x′u(t2)| 6 K(µ)|t1 − t2|. (11)
Положим xu(0) = 0, x′u(0) = c. Тогда xu ∈ U . Определим оператор T : U → U , полагая
Tu = xu. Необходимо отметить, что точка G(ρ, xG) остается фиксированной при любом
выборе функции u ∈ U в правой части уравнения (8), и поэтому xu(ρ) = xG для всех
u ∈ U .
2. Пусть
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0. В этом случае a1(t, x) < 0 при (t, x) ∈ Φ1. Тогда [16,
с. 758] среди интегральных кривых уравнения (8), пересекающих H, найдется хотя бы
одна, которая определена при t ∈ (0, ρ] и лежит в D1 при всех t ∈ (0, ρ]. Обозначим ее
через Ju : (t, xu(t)). Как и в случае 1, нетрудно убедиться в том, что выполнены условия
(9) – (11). Положим xu(0) = 0, x′u(0) = c. Тогда xu ∈ U . Докажем, что уравнение (8)
имеет единственную интегральную кривую с указанными свойствами, а именно — интег-
ральную кривую Ju : (t, xu(t)). Для этого рассмотрим однопараметрические семейства
множеств
Φ2(ν) = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− xu(t)| = νtξ(t)(− ln t)},
D2(ν) = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− xu(t)| < νtξ(t)(− ln t)},
где ν — параметр, ν ∈ (0, 1]. Определим функцию A2 : D0 → [0,+∞) равенством
A2(t, x) =
(
x− xu(t)
)2(
tξ(t)(− ln t)
)−2
и обозначим через a2 : D0 → R производную функции A2 в силу уравнения (8). Посколь-
ку
a2(t, x) = 2
(
tξ(t)(− ln t)
)−2
t−1
(
x− xu(t)
)2
(
a01
γcγ
− 1− 1
γ
− tξ
′(t)
ξ(t)
− 1
ln t
)
,
то a2(t, x) < 0, если (t, x) ∈ D0, x 6= xu(t). При этом если (t, x) ∈ D1\{0, 0}, то для любого
фиксированного ν ∈ (0, 1]
|x− xu(t)| 6 |x− ct|+ |xu(t)− ct| 6 2Mtξ(t) < νtξ(t)(− ln t)
при t ∈ (0, t(ν)], где постоянная t(ν) ∈ (0, ρ) определяется из условия
1
− ln t
<
ν
2M
при t ∈ (0, t(ν)].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
184 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА
Отсюда [16, с. 758 – 759] следует справедливость доказываемого утверждения. Определим
оператор T : U → U , полагая Tu = xu.
Докажем, что T : U → U — непрерывный оператор. Пусть ui ∈ U , i ∈ {1, 2}, —
произвольные фиксированные функции и Tui = xi, i ∈ {1, 2}. Если u1 = u2, то x1 = x2.
Пусть, далее, ‖u1 − u2‖B = h, h > 0. Обозначим
Φ3 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| = ηlx(t)hν(tξ(t))1−ν},
D3 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| < ηlx(t)hν(tξ(t))1−ν},
где ν, η — постоянные, удовлетворяющие следующим условиям:
если
a01
γcγ
> 1 +
1
γ
+ ξ0, то 0 < ν < 1, η >
4(2M)1−ν
γ|c|γ
(
a01
γcγ
− 1− 1
γ
− ξ0
)−1
;
если
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0, то 0 < ν < min
{
1, (1 + ξ0)−1
(
1 +
1
γ
+ ξ0 −
a01
γcγ
+ Lx
)}
,
η >
4(2M)1−ν
γ|c|γ
(
1 +
1
γ
+ ξ0 −
a01
γcγ
+ Lx − ν(1 + ξ0)
)−1
.
Определим функцию A3 : D0 → [0,+∞) равенством
A3(t, x) =
(
x− x2(t)
)2(
lx(t)(tξ(t))1−ν
)−2
.
Пусть a3 : D0 → R— производная функции A3 в силу дифференциального уравнения
x′ = c+ (γcγt)−1
(
(a01 − cγ)(x− ct)− ct
γ∑
r=2
Crγc
γ−r(u′1(t)− c)r +
+ (cγ − (u′1(t))γ)(u1(t)− ct) + ϕ(t, u1(t), u′1(t))
)
. (12)
Поскольку
a3(t, x) = 2
(
lx(t)(tξ(t))1−ν
)−2
(γcγt)−1
((
a01 − cγ − γcγt
l′x(t)
lx(t)
− (1− ν)
(
γcγ + γcγt
ξ′(t)
ξ(t)
))
×
× (x− x2(t))2 + (x− x2(t))
(
−ct
γ∑
r=2
Crγc
γ−r
(
(u′1(t)− c)r − (u′2(t)− c)r
)
+
+
(
(cγ − (u′1(t))γ)(u1(t)− ct)− (cγ − (u′2(t))γ)(u2(t)− ct)
)
+
+
(
ϕ(t, u1(t), u′1(t))− ϕ(t, u2(t), u′2(t))
)))
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 185
причем
|u1(t)− u2(t)| = |u1(t)− u2(t)|ν |u1(t)− u2(t)|1−ν 6
≤ ‖u1 − u2‖νB
(
|u1(t)− ct|+ |u2(t)− ct|
)1−ν
6 hν
(
2Mtξ(t)
)1−ν
, t ∈ (0, ρ],
|u′1(t)− u′2(t)| = |u′1(t)− u′2(t)|ν ≤ |u′1(t)− u′2(t)|1−ν 6
≤ ‖u1 − u2‖νB
(
|u′1(t)− c|+ |u′2(t)− c|
)1−ν
6 hν
(
2qMξ(t)
)1−ν
, t ∈ (0, ρ],
нетрудно убедиться в том, что
sign a3(t, x) = sign
(
a01
γcγ
− 1− 1
γ
− ξ0
)
при (t, x) ∈ Φ3.
1. Пусть
a01
γcγ
> 1 +
1
γ
+ ξ0. Тогда a3(t, x) > 0 при (t, x) ∈ Φ3. Отсюда следует, что
если рассмотреть любую точку (t0, x0) ∈ Φ3 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интег-
ральную кривую уравнения (12), проходящую через эту точку, то при достаточно малом
δ > 0 (t, x0(t))∈D3 при t ∈ (t0, t0+δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D3 при t ∈ (t0−δ, t0). (Это
доказывается так же, как и аналогичное утверждение относительно Φ1 в случае 1.) При
этом x1(ρ) = x2(ρ) = xG. Поэтому если t уменьшается от t = ρ до t = 0, то интегральная
кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (12) не может иметь общих точек с Φ3. Значит, указанная
интегральная кривая лежит в D3 при всех t ∈ (0, ρ]. Следовательно,
|x1(t)− x2(t)| 6 ηlx(t)hν(tξ(t))1−ν , t ∈ (0, ρ]. (13)
С помощью (13) получаем оценку
|x′1(t)− x′2(t)| 6 lx(t)
t
hνω(t), t ∈ (0, ρ], (14)
где ω : (0, ρ] → (0,+∞) — непрерывная функция, lim
t→+0
ω(t) = 0. Поскольку ρ достаточно
мало, то из (13), (14) имеем
|x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 lx(t)
t
hν , t ∈ (0, ρ]. (15)
2. Пусть
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0. Тогда a3(t, x) < 0 при (t, x) ∈ Φ3. Отсюда следует, что если
(t0, x0) ∈ Φ3 — любая точка и J0 : (t, x0(t)) — интегральная кривая уравнения (12), про-
ходящая через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 (t, x0(t)) ∈ D3 при t ∈ (t0, t0 +
+δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D3 при t ∈ (t0 − δ, t0). (Это доказывается так же, как и
аналогичное утверждение относительно Φ1 в случае 2.) При этом
|x1(t)− x2(t)| 6 |x1(t)− ct|+ |x2(t)− ct| 6 2Mtξ(t) < ηlx(t)hν(tξ(t))1−ν ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
186 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА
если t ∈ (0, t(h)], где постоянная t(h) ∈ (0, ρ) определяется из условия
(tξ(t))1−ν <
ηlx(ρ)
2M
hν при t ∈ (0, t(h)].
Это означает, что интегральная кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (12) лежит в D3 при
t ∈ (0, t(h)]. Если t увеличивается от t = t(h) до t = ρ, то на основании изложенного
указанная интегральная кривая не может иметь общих точек с Φ3. Поэтому она остается
в D3 при всех t ∈ (0, ρ]. Далее, как и в случае 1, получаем оценки (13) – (15).
Перейдем непосредственно к доказательству непрерывности оператора T : U → U .
Пусть дано ε > 0. Найдется такое tε ∈ (0, ρ), что
2Mtξ(t) + 2qMξ(t) 6
ε
2
при t ∈ (0, tε],
и поэтому
|x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 |x1(t)− ct|+ |x2(t)− ct|+ |x′1(t)− c|+
+ |x′2(t)− c| 6 ε
2
при t ∈ (0, tε].
Пусть теперь t ∈ [tε, ρ]. Тогда из (15) получаем
|x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 lx(tε)
tε
hν , t ∈ [tε, ρ]. (16)
Положим
δ(ε) =
(
εtε
2lx(tε)
) 1
ν
.
Если h < δ(ε), то согласно (16)
|x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 ε
2
(17)
при t ∈ [tε, ρ]. Таким образом, если h < δ(ε), то неравенство (17) справедливо при всех
t ∈ (0, ρ], и поэтому
max
t∈[0,ρ]
(
|x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)|
)
6
ε
2
,
или
‖x1 − x2‖B 6
ε
2
.
В итоге для любого ε > 0 указано δ(ε) > 0 такое, что из неравенства ‖u1 − u2‖B = h <
< δ(ε) следует
‖Tu1 − Tu2‖B = ‖x1 − x2‖B 6
ε
2
< ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 187
Проведенные рассуждения не зависят от выбора функций ui ∈ U , i ∈ {1, 2}. Непрерыв-
ность оператора T : U → U доказана.
Для завершения доказательства теоремы 1 достаточно применить к оператору T :
U → U теорему Шаудера о неподвижной точке.
Доказательство теоремы 2. Вначале выберем постоянные ρ,M, q. ПустьM, q удовлет-
воряют условиям (5). Условия, определяющие выбор ρ, здесь не приводим ввиду ограни-
ченности объема статьи; отметим только, что ρ достаточно мало. Пусть B— пространс-
тво непрерывно дифференцируемых функций x : [0, ρ] → R с нормой (6). Обозначим
через U подмножество B, каждый элемент u : [0, ρ] → R которого удовлетворяет усло-
виям (3), причем u(0) = 0, u′(0) = c.Множество U замкнуто и ограничено. Преобразовав
уравнение (1) к виду (7), далее будем рассматривать дифференциальное уравнение
x′ = c+ (γcγt)−1
(
(a01 − cγ)(x− ct)− ct
γ∑
r=2
Crγc
γ−r(u′(t)− c)r +
+ (cγ − (u′(t))γ)(x− ct) + ϕ(t, u(t), u′(t))
)
, (18)
где u ∈ U — произвольная фиксированная функция. Пусть D0 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], x ∈
∈ R}. Если (t, x) ∈ D0, то для дифференциального уравнения (18) выполнены условия
теоремы существования и единственности решения и непрерывной зависимости решений
от начальных данных. Так же, как и при доказательстве теоремы 1, в каждом из случаев
1)
a01
γcγ
> 1 +
1
γ
+ ξ0 и 2)
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0
построим оператор T : U → U , положив Tu = xu.
Докажем, что T : U → U — сжимающий оператор. Пусть ui ∈ U , i ∈ {1, 2}, —
произвольные фиксированные функции и Tui = xi, i ∈ {1, 2}. Если u1 = u2, то x1 = x2.
Пусть, далее, ‖u1 − u2‖B = h, h > 0. Обозначим
Φ4 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| = ηt(ξ(t))λh},
D4 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| < ηt(ξ(t))λh},
где η, λ — постоянные, удовлетворяющие следующим условиям:
если
a01
γcγ
> 1 +
1
γ
+ ξ0, или
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
, то
λ = 0,
lx + ly∣∣∣∣a01 −
(
1 +
1
γ
)
γcγ
∣∣∣∣ < η <
γ|c|γ − lx − ly
|a01 − cγ |
;
если 1 +
1
γ
6
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0, то
λ = σ, η >
2(lx + ly)
γ|c|γ
(
1 + σξ0 −
a01
γcγ
+
1
γ
)−1
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
188 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА
Определим функцию A4 : D0 → [0,+∞) равенством
A4(t, x) =
(
x− x2(t)
)2(
t(ξ(t))λ
)−2
и обозначим через a4 : D0 → R производную функции A4 в силу уравнения
x′ = c+ (γcγt)−1
(
(a01 − cγ)(x− ct)− ct
γ∑
r=2
Crγc
γ−r(u′1(t)− c)r +
+ (cγ − (u′1(t))γ)(x− ct) + ϕ(t, u1(t), u′1(t))
)
. (19)
Нетрудно убедиться в том, что
sign a4(t, x) = sign
(
a01
γcγ
− 1− 1
γ
− ξ0
)
при (t, x) ∈ Φ4.
1. Пусть вначале
a01
γcγ
> 1 +
1
γ
+ ξ0. Тогда a4(t, x) > 0 при (t, x) ∈ Φ4. Отсюда следует,
что если (t0, x0) ∈ Φ4 — любая точка и J0 : (t, x0(t)) — интегральная кривая уравнения
(19), проходящая через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 (t, x0(t)) ∈ D4 при
t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D4 при t ∈ (t0 − δ, t0). (Это доказывается так же,
как и аналогичное утверждение относительно Φ1 при доказательстве теоремы 1.) При
этом x1(ρ) = x2(ρ) = xG. Поэтому если t уменьшается от t = ρ до t = 0, то интегральная
кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (19) не может иметь общих точек с Φ4. Следовательно,
указанная интегральная кривая лежит в D4 при всех t ∈ (0, ρ]. Значит,
|x1(t)− x2(t)| 6 ηt(ξ(t))λh, t ∈ (0, ρ]. (20)
2. Пусть теперь
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0. Тогда a4(t, x) < 0 при (t, x) ∈ Φ4. Отсюда следует,
что если (t0, x0) ∈ Φ4 — любая точка и J0 : (t, x0(t)) — интегральная кривая уравнения
(19), проходящая через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 (t, x0(t)) ∈ D4 при
t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D4 при t ∈ (t0 − δ, t0). (Это доказывается так же,
как и аналогичное утверждение относительно Φ1 при доказательстве теоремы 1.) При
этом
|x1(t)− x2(t)| 6 |x1(t)− ct|+ |x2(t)− ct| 6 2Mtξ(t) < ηt(ξ(t))λh
при t ∈ (0, t(h)], где t(h) ∈ (0, ρ) достаточно мало. Это означает, что интегральная кривая
J1 : (t, x1(t)) уравнения (19) лежит в D4 при t ∈ (0, ρ]. Если t возрастает от t = t(h)
до t = ρ, то на основании изложенного выше указанная интегральная кривая не может
иметь общих точек с Φ4 и поэтому она лежит в D4 при всех t ∈ (0, ρ]. Следовательно,
выполнено условие (20). Полагая
θ =
1
2
(
|a01 − cγ |η + lx + ly
γ|c|γ
+ 1
)
, если
a01
γcγ
> 1 +
1
γ
+ ξ0, или
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
;
1
2
, если 1 +
1
γ
6
a01
γcγ
< 1 +
1
γ
+ ξ0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 189
c помощью (20), используя достаточную малость ρ, получаем
|x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 θh, t ∈ (0, ρ], (21)
где, очевидно, 0 < θ < 1. Из (21) следует
max
t∈[0,ρ]
(
|x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)|
)
6 θh,
или
‖x1 − x2‖B 6 θh,
или, окончательно,
‖Tu1 − Tu2‖B 6 θ‖u1 − u2‖B, где 0 < θ < 1.
Проведенные рассуждения не зависят от выбора функций ui ∈ U , i ∈ {1, 2}. Следова-
тельно, T : U → U — сжимающий оператор.
Для завершения доказательства теоремы 2 остается применить к оператору T : U →
→ U принцип Банаха сжатых отображений.
1. Андреев А. Ф. Усиление теоремы единственности O-кривой в N2 // Докл. АН СССР. — 1962. — 146,
№ 1. — С. 9 – 10.
2. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и
техника, 1972. — 664 с.
3. Еругин Н. П., Штокало И. З., Бондаренко П. С. и др. Курс обыкновенных дифференциальных урав-
нений. — Киев: Выща шк., 1974. — 472 с.
4. Кигурадзе И. Т. О задаче Коши для сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравне-
ний // Дифференц. уравнения. — 1965. — 1, № 10. — С. 1271 – 1291.
5. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных урав-
нений. — Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. — 352 с.
6. Чечик В. А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью //
Тр. Моск. мат. о-ва. — 1959. — № 8. — С. 155 – 198.
7. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.:
Наука, 1978. — 304 с.
8. Витюк А. Н. Обобщенная задача Коши для системы дифференциальных уравнений, не решенной
относительно производных // Дифференц. уравнения. — 1971. — 7, № 9. — С. 1575 – 1580.
9. Рудаков В. П. О существовании и единственности решения систем дифференциальных уравнений пер-
вого порядка, частично разрешенных относительно производных // Изв. вузов. Математика. — 1971.
— № 9. — С. 79 – 84.
10. Anichini G., Conti G. Boundary value problems for implicit ODE’s in a singular case // Different. Equat. and
Dynam. Systems. — 1999. — 7, № 4. — P. 437 – 459.
11. Conti R. Sulla risoluzione dell’equazione F (t, x, dx/dt) = 0 // Ann. mat. pura ed appl. — 1959. — № 48. —
P. 97 – 102.
12. Frigon M., Kaczynski T. Boundary value problems for systems of implicit differential gathers // J. Math. Anal.
and Appl. — 1993. — 179, № 2. — P. 317 – 326.
13. Kowalski Z. The polygonal method of solving the differential equation y′ = h(t, y, y, y′) // Ann. pol. math.
— 1963. — 13, № 2. — P. 173 – 204.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
190 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА
14. Kowalski Z. A difference method of solving the differential equation y′ = h(t, y, y, y′) // Ibid. — 1965. — 15,
№ 2. — P. 121 – 148.
15. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
16. Зернов А. Е. О разрешимости и асимптотических свойствах решений одной сингулярной задачи Коши
// Дифференц. уравнения. — 1992. — 28, № 5. — С. 756 – 760.
17. Зернов А. Е. Качественный анализ неявной сингулярной задачи Коши // Укр. мат. журн. — 2001. — 53,
№ 3. — С. 302 – 310.
18. Зернов А. Е., Кузина Ю. В. Асимптотическое поведение решений задачи Коши x′ = f(t, x, x′), x(0) =
= 0 // Там же. — 2002. — 54, № 12. — С. 1698 – 1703.
Получено 22.05.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176932 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:01:22Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зернов, А.Е. Кузина, Ю.В. 2021-02-09T08:20:29Z 2021-02-09T08:20:29Z 2003 Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 / А.Е. Зернов, Ю.В. Кузина // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 178-190. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176932 517. 911 Розглядається сингулярна задача Кошi та доводиться iснування неперервно диференцiйовних
 розв’язкiв з потрiбними асимптотичними властивостями. We consider a singular Cauchy problem and prove existence of continuously differentiable solutions satisfying necessary asymptotic properties. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 Existence and asymptotic behavior of solutions of the Cauchy problem x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 Існування та асимптотична поведінка розв'язків задачі Коші x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 Article published earlier |
| spellingShingle | Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 Зернов, А.Е. Кузина, Ю.В. |
| title | Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 |
| title_alt | Existence and asymptotic behavior of solutions of the Cauchy problem x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 Існування та асимптотична поведінка розв'язків задачі Коші x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 |
| title_full | Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 |
| title_fullStr | Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 |
| title_full_unstemmed | Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 |
| title_short | Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 |
| title_sort | существование и асимптотическое поведение решений задачи коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176932 |
| work_keys_str_mv | AT zernovae suŝestvovanieiasimptotičeskoepovedenierešeniizadačikošixxγftxxx00 AT kuzinaûv suŝestvovanieiasimptotičeskoepovedenierešeniizadačikošixxγftxxx00 AT zernovae existenceandasymptoticbehaviorofsolutionsofthecauchyproblemxxγftxxx00 AT kuzinaûv existenceandasymptoticbehaviorofsolutionsofthecauchyproblemxxγftxxx00 AT zernovae ísnuvannâtaasimptotičnapovedínkarozvâzkívzadačíkošíxxγftxxx00 AT kuzinaûv ísnuvannâtaasimptotičnapovedínkarozvâzkívzadačíkošíxxγftxxx00 |