Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи
Отримано умови появи з точки ε = 0 множини обмежених на всiй осi R розв’язкiв слабкозбурених систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку, коли вiдповiдна незбурена однорiдна лiнiйна диференцiальна система є експоненцiально-дихотомiчною на пiвосях R+ та R−. Вказано кiлькiсть лiнiйно...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2003 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176941 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи / А.О. Бойчук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 309-318. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176941 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бойчук, А.О. 2021-02-09T08:28:00Z 2021-02-09T08:28:00Z 2003 Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи / А.О. Бойчук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 309-318. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176941 517.9 Отримано умови появи з точки ε = 0 множини обмежених на всiй осi R розв’язкiв слабкозбурених систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку, коли вiдповiдна незбурена однорiдна лiнiйна диференцiальна система є експоненцiально-дихотомiчною на пiвосях R+ та R−. Вказано кiлькiсть лiнiйно незалежних обмежених на R розв’язкiв та наведено алгоритм їх побудови For weakly perturbed systems of linear differential equations, we find conditions for the point ε = 0 to bifurcate into a set of solutions that are bounded on the whole line R in the case where the corresponding unperturbed homogeneous linear differential system is exponentially dichotomous on the half-lines R+ and R−. We determine the number of linearly independent solutions that are bounded on R and give an algorithm for finding these solutions uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи A set of bounded solutions solutions of a weakly perturbed system Множество решений линейной слабовозмущенной системы Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи |
| spellingShingle |
Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи Бойчук, А.О. |
| title_short |
Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи |
| title_full |
Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи |
| title_fullStr |
Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи |
| title_full_unstemmed |
Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи |
| title_sort |
множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи |
| author |
Бойчук, А.О. |
| author_facet |
Бойчук, А.О. |
| publishDate |
2003 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
A set of bounded solutions solutions of a weakly perturbed system Множество решений линейной слабовозмущенной системы |
| description |
Отримано умови появи з точки ε = 0 множини обмежених на всiй осi R розв’язкiв слабкозбурених систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку, коли вiдповiдна незбурена
однорiдна лiнiйна диференцiальна система є експоненцiально-дихотомiчною на пiвосях R+ та
R−. Вказано кiлькiсть лiнiйно незалежних обмежених на R розв’язкiв та наведено алгоритм їх
побудови
For weakly perturbed systems of linear differential equations, we find conditions for the point ε = 0 to
bifurcate into a set of solutions that are bounded on the whole line R in the case where the corresponding
unperturbed homogeneous linear differential system is exponentially dichotomous on the half-lines R+
and R−. We determine the number of linearly independent solutions that are bounded on R and give an
algorithm for finding these solutions
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176941 |
| citation_txt |
Множина обмежених розв'язків лінійної слабкозбуреної системи / А.О. Бойчук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 309-318. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT boičukao množinaobmeženihrozvâzkívlíníinoíslabkozburenoísistemi AT boičukao asetofboundedsolutionssolutionsofaweaklyperturbedsystem AT boičukao množestvorešeniilineinoislabovozmuŝennoisistemy |
| first_indexed |
2025-11-25T14:49:03Z |
| last_indexed |
2025-11-25T14:49:03Z |
| _version_ |
1850517949416210432 |
| fulltext |
УДК 517.9
МНОЖИНА ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ЛIНIЙНОЇ СЛАБКОЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ
А. О. Бойчук
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, ул. Терещенкiвська, 3
For weakly perturbed systems of linear differential equations, we find conditions for the point ε = 0 to
bifurcate into a set of solutions that are bounded on the whole line R in the case where the corresponding
unperturbed homogeneous linear differential system is exponentially dichotomous on the half-lines R+
and R−. We determine the number of linearly independent solutions that are bounded on R and give an
algorithm for finding these solutions.
Отримано умови появи з точки ε = 0 множини обмежених на всiй осi R розв’язкiв слабкозбу-
рених систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку, коли вiдповiдна незбурена
однорiдна лiнiйна диференцiальна система є експоненцiально-дихотомiчною на пiвосях R+ та
R−. Вказано кiлькiсть лiнiйно незалежних обмежених на R розв’язкiв та наведено алгоритм їх
побудови.
1. Незбурена задача. Вiдомо [1], що cистема
ẋ = A(t)x, A(t) ∈ BC(J), (1)
є експоненцiально-дихотомiчною (е-дихотомiчною) на iнтервалi J , якщо iснує проектор
P (P 2 = P ) та константи K ≥ 1 i α > 0 такi, що для будь-яких t, s ∈ J справджуються
оцiнки
‖X(t)PX−1(s)‖ ≤ Ke−α(t−s), t ≥ s, ‖X(t)(I − P )X−1(s)‖ ≤ Ke−α(s−t), s ≥ t ,
де X(t) — нормальна (X(0) = I) фундаментальна матриця системи (1); A(t) — матриця
розмiрностi n × n, компоненти якої належать банаховому простору BC(J) дiйcних, не-
перервних та обмежених на J функцiй. Нижче пiд J будемо розумiти один з iнтервалiв
R = (−∞,+∞), R+ = [0,+∞) або R− = (−∞, 0].
Задача про iснування розв’язкiв x : R → Rn, x(·) ∈ BC1(R), з банахового простору
BC1(R) неперервно диференцiйовних на R вектор-функцiй, обмежених разом зi своєю
похiдною, неоднорiдної системи
ẋ = A(t)x+ f(t), f : R → Rn, f(t) ∈ BC(R), A(t) ∈ BC(R), (2)
вивчалась у роботах [2, 3]. У випадку, коли однорiдна система (1) не є е-дихотомiчною на
R, у роботi [4, c. 245] отримано умови нетеровостi цiєї задачi. На пiдставi цього результату,
використовуючи теорiю псевдообернених матриць, можно довести таке твердження [5].
Лема. Нехай лiнiйний оператор
(L0x)(t) = ẋ(t)−A(t)x(t) : BC1(R) → BC(R) (3)
c© А. О. Бойчук, 2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3 309
310 А. О. БОЙЧУК
є е-дихотомiчним на пiвосях R+ та R− з проекторами P i Q вiдповiдно. Tодi:
а) система (1) має r-параметричну множину обмежених на R розв’язкiв :
Xr(t)cr ∀cr ∈ Rr ( r = dimL0 = rank [PPN(D)] = rank [(I −Q)PN(D)]);
Xr(t) = X(t)[PPN(D)]r = X(t)[(I−Q)PN(D)]r — матриця розмiрностi n×r, стовпцi якої
є повною системою r лiнiйно незалежних обмежених на R розв’язкiв системи (1);
б) спряжена до (1) система
ẋ = −A∗(t)x, A(t) ∈ BC(J), (4)
має d-параметричну множину обмежених на R розв’язкiв:
Hd(t)cd ∀cd ∈ Rd ( d = dimL∗0 = rank [PN(D∗)(I − P )] = rank [PN(D∗)Q] );
Hd(t) = X∗−1(t)[Q∗PN(D∗)]d = X∗−1(t)[(I − P ∗)PN(D∗)]d — матриця розмiрностi n × d,
стовпцi якої є повною системою d лiнiйно незалежних обмежених наR розв’язкiв систе-
ми (4), спряженої до (1);
в) оператор L0 нетерiв з iндексом ρ:
indL0 =dimL0 − dimL∗0 = rank [PPN(D)]− rank [PN(D∗)(I − P )] =
=rank [(I −Q)PN(D)]− rank [PN(D∗)Q] = ρ = r − d;
крiм того, f ∈ ImL0 тодi й тiльки тодi, коли
∞∫
−∞
H∗d(s)f(s)ds = 0, (5)
H∗d(t) = [X∗−1(t)[Q∗PN(D∗)]d]∗ — матриця розмiрностi d×n, рядки якої є повною систе-
мою d лiнiйно незалежних обмежених на R розв’язкiв системи (4);
г) при умовi (5) неоднорiдна система (2) має r-параметричну множину обмежених на
R розв’язкiв :
x(t, cr) = Xr(t)cr + (G(f))(t) ∀cr ∈ Rr, (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
МНОЖИНА ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНОЇ СЛАБКОЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ 311
де
(G(f))(t) =
=X(t)
t∫
0
PX−1(s)f(s)ds−
∞∫
t
(I − P )X−1(s)f(s)ds+
+ PD+
0∫
−∞
QX−1(s)f(s)ds+
∞∫
0
(I − P )X−1(s)f(s)ds
, t ≥ 0;
t∫
−∞
QX−1(s)f(s)ds−
0∫
t
(I −Q)X−1(s)f(s)ds+
+ (I −Q)D+
0∫
−∞
QX−1(s)f(s)ds+
∞∫
0
(I − P )X−1(s)f(s)ds
, t ≤ 0,
(7)
— узагальнений оператор Грiна задачi про обмеженi на R розв’язки системи (2), який
задовольняє властивостi
(LG[f ])(t) = f(t), t ∈ R, (G[f ])(0 + 0)− (G[f ])(0− 0) =
∞∫
−∞
H∗(s)f(s)ds.
Тут D = P − (I − Q) — матриця розмiрностi n × n, а D+ — її псевдообернена за
Муром – Пенроузом [6]; PN(D) та PN(D∗) — матрицi розмiрностi n × n (ортопроекто-
ри P 2
N(D) = PN(D) = P ∗N(D), P 2
N(D∗) = PN(D∗) = P ∗N(D∗)), якi проектують Rn на ядро
kerD = N(D) та коядро cokerD = kerD∗ = N(D∗) матрицi D; [ ◦ ]d — матриця роз-
мiрностi n × d, яка складається з максимальної кiлькостi d лiнiйно незалежних стовпцiв
матрицi [ ◦ ]; символ ∗ означає операцiю транспонування; ImL0 — образ оператора L0.
Збурена задача. Розглянемо слабкозбурену лiнiйну неоднорiдну систему
ẋ = A(t)x+ εA1(t)x+ f(t), A(t), A1(t), f(t) ∈ BC(R). (8)
Будемо припускати, що породжуюча система (2), яка отримується з (8) при ε = 0 та
задовольняє умови наведеної вище леми, не має oбмежених на всiй осi розв’язкiв при
довiльних неоднорiдностях f(t) ∈ BC(R). Згiдно з лемою це означає, що критерiй (5)
розв’язностi задачi (2) не виконується (внаслiдок довiльностi f(t) ∈ BC(R)).
Знайдемо умови на збурюючий доданок A1(t), при яких система (8) буде мати при
довiльних неоднорiдностях f(t) ∈ BC(R) хоча б один oбмежений на всiй осi розв’язок у
просторi BC1(R) неперервно диференцiйовних на R вектор-функцiй, обмежених разом
зi своєю похiдною. Встановимо кiлькiсть обмежених на R лiнiйно незалежних розв’язкiв
та наведемо алгоритм вiдшукання таких розв’язкiв.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
312 А. О. БОЙЧУК
При цьому будемо використовувати матрицю розмiрностi d× r
B0 =
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ)Xr(τ)dτ, (9)
яка будується за допомогою збурюючого коефiцiєнта A1(t) системи (8). Нагадаємо, що
через PN(B0) та PN(B∗0 ) позначено ортопроектори (матрицi розмiрностi r × r та d× d), якi
проектують Rr та Rd на ядро та коядро матрицi B0 вiдповiдно.
Теорема. Нехай система (8) така, що породжуюча система (1) є е-дихотомiчною на
R+ та R− з проекторами P та Q вiдповiдно, а система (2) при довiльних неоднорiд-
ностях f ∈ BC(R) не має обмежениx на всiй осi розв’язкiв. Tодi якщо виконано умову
PN(B∗0 ) = 0, (10)
то для достатньо малих ε ∈ (0, ε0] :
1) оператор Lε : BC1(R) → BC(R), визначений згiдно з формулою
Lεx = ẋ−A(t)x− εA1(t)x,
є нетеровим з iндексом ρ
ind Lε = dim ker Lε − dim ker L∗ε = ρ = r − d,
ind L0 = dim ker L0 − dim ker L∗0 = ρ = r − d,
де оператор L∗ε є спряженим до Lε (dim ker L0 = r, dim ker L∗0 = d);
2) однорiдна задача
ẋ = A(t)x+ εA1(t)x, A(t), A1(t),∈ BC(R), (11)
має ρ-параметричну множину обмежених на R розв’язкiв x(t, ε) = x0(t, ε, cρ) з простору
x0(·, ε, cρ) ∈ BC1(R), x0(t, ·, cρ) ∈ C(0, ε0]
у виглядi ряду
x0(t, ε, cρ) =
∞∑
i=−1
εiX̄i(t)PBρcρ ∀ cρ ∈ Rρ (ρ = dim kerLε); (12)
3) задача, спряжена до (11), має тiльки тривiальний обмежений розв’язок (dim ker L∗ε =
= 0, ε ∈ (0, ε0]);
4) для довiльних f(t) ∈ BC(R) система (8) має ρ-параметричну множину обмежених
на R розв’язкiв x(t, ε) = x(t, ε, cρ) з простору
x(·, ε, cρ) ∈ BC1(R), x(t, ·, cρ) ∈ C(0, ε0]
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
МНОЖИНА ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНОЇ СЛАБКОЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ 313
у виглядi ряду
x(t, ε, cρ) =
∞∑
i=−1
εi[x̄i(t, c̄i) + X̄i(t)PBρcρ] ∀ cρ ∈ Rρ. (13)
Ряди (12) та (13) є рiвномiрно збiжними для t ∈ R та достатньо малих ε ∈ (0, ε0], а
коефiцiєнти x̄i(t, c̄i), c̄i, X̄i(t) визначаються за формулами
x̄i(t, c̄i) = Xr(t)c̄i + (G[A1(·)x̄i−1(·, c̄i−1)])(t),
c̄i = −B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ)(G[A1(·)x̄i−1(·, c̄i−1)])(τ)dτ, i = 1, 2, . . . , (14)
X̄i(t) =
{
Xr(t)
[
Ir −B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ)(G[A1(·)X̄i−1(·)])(τ)dτ
]
+
+ (G[A1(·)X̄i−1(·)])(t)
}
PN(B0)ρcρ i = 0, 1, . . . , X̄−1(t) = Xr(t).
Доведення. Розв’язок x(t, ε) системи (8) будемо шукати у виглядi ряду Лорана [7] за
степенями малого параметра ε зi скiнченним числом доданкiв, якi мають вiд’ємнi сте-
пенi ε :
x(t, ε) =
∞∑
i=−1
εixi(t). (15)
Пiдставимо ряд (15) в систему (8) та прирiвняємо коефiцiєнти при однакових степенях ε.
Для знаходження коефiцiєнта x−1(t) ряду (15) при ε−1 приходимо до задачi про обмеженi
на всiй осi розв’язки однорiдної системи
ẋ−1 = A(t)x−1. (16)
Згiдно з лемою задача (16) має ρ-параметричну множину обмежених на R розв’язкiв
x−1 = x−1(t, c−1) = Xr(t)c−1, де r-вимiрний вектор-стовпець c−1 ∈ Rr буде визначено
з умови розв’язностi задачi для знаходження коефiцiєнта x0(t) ∈ BC1(R) ряду (15).
Для визначення коефiцiєнта x0(t) ряду (15) при ε0 отримуємо задачу про обмеженi на
всiй осi розв’язки неоднорiдної системи
ẋ0 = A(t)x0 +A1(t)x−1 + f(t). (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
314 А. О. БОЙЧУК
Згiдно з лемою критерiй розв’язностi задачi (17) має вигляд
∞∫
−∞
H∗d(τ)(A1(τ)x−1(τ, c−1) + f(τ))dτ = 0,
з якого з урахуванням позначень (9) та зображення для x−1(t, c−1) отримаємо алгебраїчну
вiдносно c−1 ∈ Rr систему
B0c−1 = −
∞∫
−∞
H∗d(τ)f(τ)dτ.
Для розв’язностi останньої при довiльнiй f ∈ BC(R) необхiдно й досить, щоб виконува-
лась умова (10), яка еквiвалентна умовi
rangB0 = d ≤ r.
Множина розв’язкiв алгебраїчної вiдносно c−1 ∈ Rr системи має вигляд
c−1 = −B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)f(τ)dτ + PN(B0)ρcρ = c̄−1 + PN(B0)ρcρ,
де B+
0 — єдина матриця розмiрностi r × d, псевдообернена до B0 [6]; PN(B0)ρ є матрицею
розмiрностi r × ρ, яка складається з ρ лiнiйно незалежних ρ = rankPN(B0) = r − rankB0
стовпцiв ортопроектора PN(B0).
З урахуванням виразу для c−1 однорiдна задача (16) має ρ-параметричну множину
обмежених на R розв’язкiв
x−1(t, cρ) = x̄−1(t, c̄−1) +Xr(t)PN(B0)ρcρ ∀ cρ ∈ Rρ,
(18)
x̄−1(t, c̄−1) = Xr(t)c̄−1, c̄−1 = −B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)f(τ)dτ.
Cистема (17) при умовi (10) має r-параметричну сiм’ю обмежених на R розв’язкiв
x0(t, c0) = Xr(t)c0 + (G[A1(·)x̄−1(·, c̄−1) + f(·)])(t) + (G[A1(·)Xr(·)])(t)PN(B0)ρcρ,
де c0 — r-вимiрний вектор констант, який буде визначено на наступному кроцi з умови
розв’язностi задачi для знаходження коефiцiєнта x1(t) ряду (15); (G[∗])(t) — узагальне-
ний оператор Грiна (7) задачi про обмеженi на R розв’язки системи (2).
Для визначення коефiцiєнта x1(t) ряду (15) при ε1 отримуємо задачу про знаходження
обмежених на R розв’язкiв системи
ẋ1 = A(t)x1 +A1(t)x0. (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
МНОЖИНА ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНОЇ СЛАБКОЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ 315
При умовi (10) з критерiю розв’язностi системи (19)
B0c0 = −
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ){(G[A1(·)x̄−1(·, c̄−1) + f(·)])(τ) +
+ (G[A1(·)Xr(·)])(τ)PN(B0)ρcρ}dτ
визначаємо c0 ∈ Rr ( з точнiстю до довiльної ρ-вимiрної векторної константи з нуль-
простору матрицiB0, ρ = dim N(B0) = r−rangB0, PN(B0)c = PN(B0)ρcρ ∀c ∈ Rr, ∀cρ ∈
∈ Rρ ):
c0 = −B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ){(G[A1(·)x̄−1(·, c̄−1) + f(·)])(τ) +
+ (G[A1(·)Xr(·)])(τ)PN(B0)ρcρ}dτ + PN(B0)ρcρ.
Таким чином, для коефiцiєнта c0 маємо
c0 = c̄0 +
[
Ir −B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ)(G[A1(·)Xr(·)])(τ)dτ
]
PN(B0)ρcρ,
c̄0 = −B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ)(G[A1(·)x̄−1(·, c̄−1) + f(·)])(τ)dτ.
Отже, остаточно система (17) при умовi (10) має ρ-параметричну множину обмежених
на R розв’язкiв
x0(t, cρ) = x̄0(t, c̄0) + X̄0(t)PN(B0)ρcρ,
де
x̄0(t, c̄0) = Xr(t)c̄0 + (G[A1(·)x̄−1(·, c̄−1) + f(·)])(t),
X̄0(t) =
{
Xr(t)
[
Ir −B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ)(G[A1(·)Xr(·)])(τ)dτ
]
+
+ (G[A1(·)Xr(·)])(t)
}
PN(B0)ρcρ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
316 А. О. БОЙЧУК
Далi, при умовi (10) система (19) має ρ-параметричну сiм’ю обмежених на R розв’язкiв
x1(t, c1) = Xr(t)c1 + (G[A1(·)x̄0(·, c̄0)])(t) + (G[A1(·)X̄0(·)])(t)PN(B0)ρcρ,
де c1 — r-вимiрний вектор констант, який буде визначено на наступному кроцi з умови
розв’язностi в просторi BC1(R) задачi для знаходження коефiцiєнта x2(t) ряду (15).
Аналогiчно викладеному вище, з застосуванням методу математичної iндукцiї доведе-
но, що при умовi (10) для визначення коефiцiєнта xi(t) ряду (15) при εi отримуємо задачу
про обмеженi на R розв’язки системи
ẋi = A(t)xi +A1(t)xi−1. (20)
Обмеженi на R розв’язки системи (20) при умовi (10) мають вигляд
xi(t, ci) = x̄i(t, c̄i) + X̄i(t)PN(B0)ρcρ, i = 1, 2, . . . , (21)
де
x̄i(t, c̄i) = Xr(t)c̄(G[A1(·)x̄i−1(·, c̄i−1)])(t),
c̄i =−B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ)(G[A1(·)x̄i−1(·, c̄i−1)])(τ)dτ, i = 1, 2, . . . ,
X̄i(t) =
{
Xr(t)
[
Ir −B+
0
∞∫
−∞
H∗d(τ)A1(τ)(G[A1(·)X̄i−1(·)])(τ)dτ
]
+
+ (G[A1(·)X̄i−1(·)])(t)
}
PN(B0)ρcρ, i = 0, 1, . . . , X̄−1(t) = Xr(t).
Аналогiчно [5] доведено, що при достатньо малих ε ∈ (0, ε0] ряд (13) з коефiцiєнтами,
визначеними згiдно з (21), буде рiвномiрно по t ∈ R та ε збiгатися.
Розв’язок x(t, ε) однорiдної системи (11) має вигляд ряду (12), який отримується з ряду
(13) при f(t) = 0. Оскiльки система (8) має множину обмежених на R розв’язкiв для
довiльних f(t) ∈ BC(R), то задача, спряжена до (11), має тiльки тривiальний обмежений
розв’язок, що й завершує доведення теореми.
Приклад. Проiлюструємо наведенi вище твердження на прикладi системи (8), в якiй
A(t) = diag {−th t,−th t, th t}, A1(t) = {aij(t)}3i,j=1 ∈ BC(R).
Легко перевiрити, що X(t) = diag {2/(et + e−t), 2/(et + e−t), (et + e−t)/2, }, а однорiдна
система (1) є е-дихотомiчною на пiвосях R+ та R− з проекторами P = diag {1, 1, 0} i
Q = diag {0, 0, 1} вiдповiдно. Tодi
D = 0, D+ = 0, PN(D) = PN(D∗) = I3, r = rankPPN(D) = 2, d = rankPN(D∗)Q = 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
МНОЖИНА ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНОЇ СЛАБКОЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ 317
Xr(t) =
2/(et + e−t) 0
0 2/(et + e−t)
0 0
, Hd(t) =
0
0
2/(et + e−t)
.
Неоднорiдна система (2) з вказаною вище матрицеюA(t) має обмеженi на всiй осi розв’яз-
ки не при будь-яких неоднорiдностях, а тiльки при тих f(t) = col {f1(t), f2(t), f3(t)} ∈
∈ BC(R), якi задовольняють умову (5), котра в даному випадку має вигляд
+∞∫
−∞
f3(s)/(es + e−s)ds = 0 ∀f1(t) ∈ BC(R), ∀f2(t) ∈ BC(R).
Система (11) з вказаними вище коефiцiєнтами буде мати при достатньо малих ε ∈
∈ (0, ε0] однопараметричну (ρ = dim N(B0) = r− rangB0 = 1) множину обмежених на R
розв’язкiв у виглядi збiжного ряду (12), якщо коефiцiєнти a13(t), a23(t) ∈ BC(R) збуреної
матрицi A1(t) задовольняють умову (10), де
B0 =
+∞∫
−∞
H∗d(t)A1(t)Xr(t)dt = 4
+∞∫
−∞
[a31(t)/(et + e−t)2, a32(t)/(et + e−t)2]dt.
Якщо a13(t), a23(t) ∈ BC(R) такi, що виконується хоча б одна з нерiвностей
+∞∫
−∞
a31(t)/(et + e−t)2dt 6= 0,
+∞∫
−∞
a32(t)/(et + e−t)2dt 6= 0,
то умова (10) або еквiвалентна їй умова rankB0 = d = 1 теореми виконується i си-
стема (11) буде мати однопараметричну (ρ = 1) множину лiнiйно незалежних обмеже-
них на R розв’язкiв у виглядi збiжного при достатньо малих ε ∈ (0, ε0] ряду (12). На-
приклад, при a31(t) = const 6= 0 або a32(t) = const 6= 0 одна з цих нерiвностей зав-
жди виконується, i умова (10) має мiсце при довiльних коефiцiєнтах a11(t), a12(t), a13(t),
a21(t), a22(t), a23(t), a33(t) з простору BC(R). У цьому випадку при достатньо малих ε ∈
∈ (0, ε0] однопараметрична (ρ = 1) множина лiнiйно незалежних обмежених наR розв’яз-
кiв неоднорiдної системи (8) при довiльнiй f(t) = col {f1(t), f2(t), f3(t)} ∈ BC(R) визна-
чається у виглядi ряду (13). Зазначимо, що згiдно з визначенням однорiдна система (11)
в цьому випадку буде слабкорегулярною [2] або, за iншою термiнологiєю, е-трихотомiч-
ною [8].
1. Coppel W.A. Dichotomies in stability theory // Lect. Notes Math. — Berlin: Springer, 1978. — 629. — 98 p.
2. Mитропольский Ю.А., Самойленко А.М., Кулик В.Л. Исследование дихотомии линейных систем диф-
ференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. — Kиев: Наук. думка, 1990. — 270 с.
3. Плисс В.А. Ограниченные решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений.
// Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. — Киев: Наук. думка, 1977. — С. 168 –
173.
4. Palmer K.J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points // J. Different. Equat. — 1984. — 55.
— P. 225 – 256.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
318 А. О. БОЙЧУК
5. Самойленко А.М., Бойчук A.A., Бойчук Aн.A. Ограниченные на всей оси решения линейных слабо-
возмущенных систем // Укр. мат. журн. — 2002. —54, № 11. —C. 1517 – 1530.
6. Бойчук А.А., Журавлев В.Ф., Самойленко А.М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые
задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с.
7. Вишик В.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосо-
пряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. — 1960. — 15,
вып. 3. — C. 3 – 80.
8. Elaidy S., Hajek O. Exponential trichotomy of differential systems // J. Math. Anal. and Appl. — 1988. —
123, № 2. — P. 362 – 374.
Одержано 08.10.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
|