Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі m
Методом функцiї Грiна – Самойленка побудовано обмежений диференцiйовний у сенсi Фреше напiвiнварiантний многовид нелiнiйної системи рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi обмежених числових послiдовностей...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176947 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі \mathfrak{m} / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, І.В. Семенишина // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 3. — С. 378-400. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176947 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1769472025-02-09T16:45:37Z Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі m On existence of a smooth bounded semiinvariant manifold for a degenerate nonlinear system of difference equations in the space m О существовании гладкого ограниченного полуинвариантного многообразия вырожденной нелинейной системы разностных уравнений в пространстве m Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Семенишина, І.В. Методом функцiї Грiна – Самойленка побудовано обмежений диференцiйовний у сенсi Фреше напiвiнварiантний многовид нелiнiйної системи рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi обмежених числових послiдовностей By using the Green – Samoilenko function, we construct a bounded and Frechet differentiable semiinvariant manifold for a nonlinear system of difference equations in the Banach space of bounded number sequences. 2003 Article Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі \mathfrak{m} / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, І.В. Семенишина // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 3. — С. 378-400. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176947 517.949 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом функцiї Грiна – Самойленка побудовано обмежений диференцiйовний у сенсi Фреше напiвiнварiантний многовид нелiнiйної системи рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi обмежених числових послiдовностей |
| format |
Article |
| author |
Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Семенишина, І.В. |
| spellingShingle |
Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Семенишина, І.В. Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі m Нелінійні коливання |
| author_facet |
Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Семенишина, І.В. |
| author_sort |
Самойленко, А.М. |
| title |
Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі m |
| title_short |
Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі m |
| title_full |
Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі m |
| title_fullStr |
Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі m |
| title_full_unstemmed |
Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі m |
| title_sort |
про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі m |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176947 |
| citation_txt |
Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі \mathfrak{m} / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, І.В. Семенишина // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 3. — С. 378-400. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT samojlenkoam proísnuvannâgladkogoobmeženogonapívínvaríantnogomnogoviduvirodženoínelíníjnoísistemiríznicevihrívnânʹuprostorím AT teplínsʹkijûv proísnuvannâgladkogoobmeženogonapívínvaríantnogomnogoviduvirodženoínelíníjnoísistemiríznicevihrívnânʹuprostorím AT semenišinaív proísnuvannâgladkogoobmeženogonapívínvaríantnogomnogoviduvirodženoínelíníjnoísistemiríznicevihrívnânʹuprostorím AT samojlenkoam onexistenceofasmoothboundedsemiinvariantmanifoldforadegeneratenonlinearsystemofdifferenceequationsinthespacem AT teplínsʹkijûv onexistenceofasmoothboundedsemiinvariantmanifoldforadegeneratenonlinearsystemofdifferenceequationsinthespacem AT semenišinaív onexistenceofasmoothboundedsemiinvariantmanifoldforadegeneratenonlinearsystemofdifferenceequationsinthespacem AT samojlenkoam osuŝestvovaniigladkogoograničennogopoluinvariantnogomnogoobraziâvyroždennojnelinejnojsistemyraznostnyhuravnenijvprostranstvem AT teplínsʹkijûv osuŝestvovaniigladkogoograničennogopoluinvariantnogomnogoobraziâvyroždennojnelinejnojsistemyraznostnyhuravnenijvprostranstvem AT semenišinaív osuŝestvovaniigladkogoograničennogopoluinvariantnogomnogoobraziâvyroždennojnelinejnojsistemyraznostnyhuravnenijvprostranstvem |
| first_indexed |
2025-11-28T02:36:27Z |
| last_indexed |
2025-11-28T02:36:27Z |
| _version_ |
1849999901309534208 |
| fulltext |
УДК 517.949
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО
НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ
НЕЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У ПРОСТОРIm
А. М. Самойленко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, 4, вул. Терещенкiвська, 3
Ю. В. Теплiнський, I. В. Семенишина
Кам’янець-Подiл. пед. ун-т
Україна, 32300, Кам’янець-Подiльський Хмельницької обл., вул. Огiєнка, 61
By using the Green – Samoilenko function, we construct a bounded and Frechet differentiable semiinvari-
ant manifold for a nonlinear system of difference equations in the Banach space of bounded number
sequences.
Методом функцiї Грiна – Самойленка побудовано обмежений диференцiйовний у сенсi Фреше на-
пiвiнварiантний многовид нелiнiйної системи рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi обме-
жених числових послiдовностей.
Останнiм часом опублiковано досить багато робiт [1 – 11], в яких метод функцiї Грiна –
Самойленка (ФГС) застосовувався до побудови та дослiдження iнварiантних тороїдаль-
них многовидiв рiзноманiтних систем диференцiальних, диференцiально-рiзницевих та
рiзницевих рiвнянь, визначених як на скiнченновимiрних, так i на нескiнченновимiрних
торах.
У монографiї [2] (§ 15) звернено увагу на те, що деякi вiдомi результати з теорiї iнва-
рiантних торiв диференцiальних систем зберiгаються i тодi, коли правi частини вихiдних
диференцiальних рiвнянь не є перiодичними вiдносно кутової змiнної. Цю iдею ми ви-
користали для побудови напiвiнварiантних многовидiв вироджених рiзницевих систем у
банаховому просторi обмежених числових послiдовностей.
Розглянемо спочатку систему рiзницевих рiвнянь
ϕn+1 = ϕn + a(ϕn), xn+1 = P (ϕn)xn + c(ϕn), n ∈ Z, (1)
де ϕ ∈ W , x = (x1, x2, x3, . . . ) ∈ m, W — довiльний лiнiйний нормований простiр, m —
простiр обмежених послiдовностей дiйсних чисел з нормою ‖x‖ = sup
i
{|xi|}, функцiї a(ϕ)
та c(ϕ) = {c1(ϕ), c2(ϕ), c3(ϕ), . . . } визначенi на W i набувають значень з просторiв W та
m вiдповiдно, P (ϕ) = [pij(ϕ)]∞i,j=1 — нескiнченна матриця з дiйснозначними елементами,
Z — множина цiлих чисел.
Домовимось надалi норму матрицi P (ϕ) та норми в просторах W,m позначати одним
символом ‖ · ‖ i розрiзняти цi норми за контекстом.
c© А. М. Самойленко, Ю. В. Теплiнський, I. В. Семенишина, 2003
378 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 379
Будемо вважати, що
‖a(ϕ)‖ ≤ A0, ‖c(ϕ)‖ ≤ C0, ‖P (ϕ)‖ = sup
i
∞∑
j=1
|pij(ϕ)| ≤ P 0,
де A0, P 0, C0 — додатнi сталi, що не залежать вiд ϕ ∈ W .
Означення 1. Обмеженим iнварiантним многовидом системи рiвнянь (1) назвемо мно-
жину точок x ∈ m :
x = u(ϕ) = (u1(ϕ), u2(ϕ), u3(ϕ), ...),
якщо функцiя u(ϕ) визначена для будь-якого ϕ ∈ W , обмежена за нормою i задовольняє
рiвнiсть
u(ϕn+1(ϕ)) = P (ϕn(ϕ))u (ϕn(ϕ)) + (ϕn(ϕ)) , n ∈ Z, ϕ ∈ W, (2)
де ϕn(ϕ) — розв’язок першого рiвняння системи (1) такий, що ϕ0(ϕ) = ϕ ∈ W .
Означення 2. Вказану у попередньому означеннi множину точок назвемо обмеженим
напiвiнварiантним многовидом систем рiвнянь (1), якщо рiвнiсть (2) справджується
для будь-якого n ∈ Z+
0 , де Z+
0 — множина цiлих невiд’ємних чисел.
Як вiдомо, для побудови iнварiантного многовиду системи (1) методом ФГС необхiд-
ною умовою є iснування матрицанта рiвняння
xn+1 = P (ϕn(ϕ))xn, n ∈ Z. (3)
Нагадаємо, що матрицантом рiвняння (3) в точцi l при значеннi параметра ϕ ∈ W нази-
вають матрицю Ωn
l (ϕ), визначену для будь-якого n ∈ Z, i-м стовпцем якої є розв’язок
(i)
xn
цього рiвняння з початковими умовами
(i)
xl= (0, 0, 0, . . . ,︸ ︷︷ ︸
n−1
0, 1, 0, 0, 0, . . . ), i = 1, 2, 3, . . . .
Якщо справджуються твердження:
а) для будь-якого ϕ ∈ W матриця P (ϕ) оборотна, причому обернена до неї матриця
P−1(ϕ) обмежена за нормою;
б) вiдображення Φ(ϕ) = ϕ+ a(ϕ) : W → W оборотне,
то матрицант Ωn
l (ϕ) iснує для будь-яких l ∈ Z,ϕ ∈ W i легко записується [8].
Якщо хоча б одне з цих тверджень не виконується, то систему рiвнянь (1) називатиме-
мо виродженою. Зрозумiло, що в цьому разi рiвняння (3) взагалi може не мати матрицан-
та, оскiльки потрiбнi для його побудови розв’язки можуть виявитись непродовжуваними
„влiво”.
Наведемо достатнi умови, при яких вироджена система рiвнянь (1) має обмежений
iнварiантний або напiвiнварiантний многовид.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
380 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
Лема 1. Справджуються твердження:
10) якщо умова б) виконується, а умова а) — нi, причому для будь-якого n > l ({n, l} ⊂
⊂ Z) ∥∥∥∥∥
l∏
i=n−1
P (ϕi(ϕ))
∥∥∥∥∥ ≤ Kλn−l, (4)
то система рiвнянь (1) має обмежений iнварiантний многовид;
20) якщо умова а) виконується, а умова б) — нi, причому для 0 ≤ n < l ({n, l} ⊂ Z)∥∥∥∥∥
l−1∏
i=n
P−1(ϕi(ϕ))
∥∥∥∥∥ ≤ Kλl−n, (5)
то система рiвнянь (1) має обмежений напiвiнварiантний многовид.
Тут K i λ < 1 — додатнi сталi, що не залежать вiд ϕ ∈ W .
Доведення леми традицiйне, тому наведемо лише його схему.
У випадку 10 за ФГС рiвняння (3) виберемо функцiю
G0(l, ϕ) =
l∏
i=−1
P (ϕi(ϕ)) при l < 0;
E при l = 0;
0 при l > 0,
де E — нескiнченна одинична матриця.
Очевидно, що коли умова а) не справджується, але виконується умова б), то для будь-
якого n > l матриця Ωn
l (ϕ) будується однозначно, причому
Ωn
l (ϕ) =
l∏
i=n−1
P (ϕi(ϕ)) ∀ϕ ∈ W.
Тодi обмежений iнварiантний многовид системи рiвнянь (1) iснує i визначається функцiєю
u(ϕ) = c(ϕ−1(ϕ)) +
−1∑
l=−∞
l∏
i=−1
P (ϕi(ϕ))c(ϕl−1(ϕ)),
оскiльки
xn = c(ϕn−1(ϕ)) +
n−1∑
l=−∞
l∏
i=n−1
P (ϕi(ϕ))c(ϕl−1(ϕ)) = u(ϕn(ϕ))
є розв’язком рiвняння
xn+1 = P (ϕn(ϕ))xn + c(ϕn(ϕ)), n ∈ Z, ϕ ∈ W.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 381
Обмеженiсть функцiї u(ϕ) за нормою, рiвномiрна вiдносно ϕ ∈ W , очевидна.
У випадку 20 за ФГС рiвняння (3) виберемо функцiю
G0(l, ϕ) =
0 при l ≤ 0;
−
l−1∏
i=0
P−1(ϕi(ϕ)) при l > 0.
Якщо умова а) виконується, а умова б) — нi, то матриця Ωn
l (ϕ) для будь-якого ϕ ∈ W ,
0 ≤ n < l, {n, l} ⊂ Z, однозначно визначається рiвнiстю
Ωn
l (ϕ) =
l−1∏
i=n
P−1(ϕi(ϕ)).
Тодi iснує обмежений напiвiнварiантний многовид системи рiвнянь (1), який визначається
функцiєю
u(ϕ) = −
∞∑
l=1
l−1∏
i=0
P−1(ϕi(ϕ))c(ϕl−1(ϕ)),
оскiльки
xn = −
∞∑
l=n+1
l−1∏
i=n
P−1(ϕi(ϕ))c(ϕl−1(ϕ)) = u(ϕn(ϕ))
є розв’язком рiвняння
xn+1 = P (ϕn(ϕ))xn + c(ϕn(ϕ)), n ∈ Z+
0 , ϕ ∈ W.
Зрозумiло, що виконання нерiвностей (4), (5) забезпечують, наприклад, оцiнки
‖P (ϕ)‖ ≤ g, ‖P−1(ϕ)‖ ≤ g вiдповiдно, де g = const < 1, ϕ ∈ W .
Наступнi мiркування стосуватимуться побудови обмеженого напiвiнварiантного
многовиду нелiнiйної системи рiзницевих рiвнянь, що має виродження, вказанi у тверд-
женнi 20.
Розглянемо систему рiвнянь
ϕn+1 = ϕn + a(ϕn, xn), xn+1 = P (ϕn, xn)xn + c(ϕn), n ∈ Z, (6)
де ϕ, x — такi самi, як i ранiше, функцiя a(ϕ, x) та матриця P (ϕ, x) визначенi на множинi
D = W ×D0 = W × {x ∈ m
∣∣ ‖x‖ ≤ d = const > 0}, причому на цiй множинi ‖a(ϕ, x)‖ ≤
≤ A0, ‖c(ϕ)‖ ≤ C0, ‖P (ϕ, x)‖ ≤ P 0, де A0, C0 i P 0 — додатнi сталi. Вважатимемо та-
кож, що для будь-яких (ϕ, x) ∈ D матриця P (ϕ, x) оборотна, i обернена до неї матриця
P−1(ϕ, x) рiвномiрно вiдносно (ϕ, x) ∈ D обмежена за нормою додатною сталою P1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
382 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
Означення 3. Обмеженим напiвiнварiантним многовидом системи рiвнянь (6) назве-
мо множину точок x = u(ϕ), що задовольняє умови означення 1, якщо в ньому рiвняння
(2) замiнити таким:
u(ϕn+1(ϕ)) = P (ϕn(ϕ), u(ϕn(ϕ)))u(ϕn(ϕ)) + c(ϕn(ϕ)), n ∈ Z+
0 , (7)
де ϕn(ϕ) є розв’язком рiвняння
ϕn+1(ϕ) = ϕn(ϕ) + a(ϕn(ϕ), u(ϕn(ϕ))), n ∈ Z+
0 , (8)
причому ϕ0(ϕ) = ϕ ∈ W .
Припустимо, що виконуються нерiвностi
P1 < 1, C0P1 ≤ d(1− P1), (9)
i запишемо систему рiвнянь
ϕn+1 = ϕn + a(ϕn, 0), xn+1 = P (ϕn, 0)xn + c(ϕn), n ∈ Z. (10)
Очевидно, що при P1 < 1 для неї виконуються умови 20 леми 1. Тодi система (10) має
обмежений напiвiнварiантний многовид, що визначається функцiєю
u(0)(ϕ) = −
∞∑
l=1
l−1∏
i=0
P−1(ϕ(0)
i (ϕ), 0)c(ϕ(0)
l−1(ϕ)). (11)
Це означає, що справджуються рiвностi
ϕ
(0)
0 (ϕ) = ϕ ∈ W, ϕ
(0)
n+1(ϕ) = ϕ(0)
n (ϕ) + a(ϕ(0)
n (ϕ), 0),
u(0)(ϕ(0)
n+1(ϕ)) = P (ϕ(0)
n (ϕ), 0)u(0)(ϕ(0)
n (ϕ)) + c(ϕ(0)
n (ϕ)), n ∈ Z+
0 .
При цьому з (9), (11) випливають оцiнки
∥∥∥u(0)(ϕ)
∥∥∥ ≤ C0P1
1− P1
≤ d,
тобто u(0)(ϕ) ∈ D0 ∀ ϕ ∈ W .
Iндуктивними мiркуваннями неважко переконатись у можливостi побудови послiдов-
ностi функцiй {u(s)(ϕ)}∞s=1, кожна з яких визначає обмежений напiвiнварiантний много-
вид системи рiвнянь
ϕn+1 = ϕn + a(ϕn, u(s−1)(ϕn)), xn+1 = P (ϕn, u(s−1)(ϕn))xn + c(ϕn), n ∈ Z.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 383
Це означає, що для будь-яких n ∈ Z+
0 , s ∈ Z+ = Z+
0 \ {0}, ϕ ∈ W справджуються
рiвностi
ϕ
(s)
n+1(ϕ) = ϕ(s)
n (ϕ) + a(ϕ(s)
n (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
n (ϕ))), ϕ
(s)
0 (ϕ) = ϕ ∈ W,
(12)
u(s)(ϕ(s)
n+1(ϕ)) = P (ϕ(s)
n (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
n (ϕ)))u(s)(ϕ(s)
n (ϕ)) + c(ϕ(s)
n (ϕ)),
де
u(s)(ϕ) = −
∞∑
l=1
l−1∏
i=0
P−1(ϕ(s)
i (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
i (ϕ)))c(ϕ(s)
l−1(ϕ)), (13)
причому
∥∥u(s)(ϕ)
∥∥ ≤ C0P1
1− P1
≤ d ∀s ∈ Z+.
Лема 2. Нехай справджуються нерiвностi (9) i для будь-яких ϕ ∈ W , {x, x̄} ⊂ D0
‖a(ϕ, x)− a(ϕ, x̄)‖ ≤ α ‖x− x̄‖ ,
∥∥P−1(ϕ, x)− P−1(ϕ, x̄)
∥∥ ≤ β ‖x− x̄‖ ,
де додатнi сталi α, β не залежать вiд ϕ, x, x̄. Якщо при цьому для будь-яких {ϕ, ϕ̄} ⊂
⊂ W , s ∈ Z+
0 ∥∥∥u(s)(ϕ)− u(s)(ϕ̄)
∥∥∥ ≤ L(s) ‖ϕ− ϕ̄‖ ,
де додатнi сталi L(s) не залежать вiд ϕ, ϕ̄ i обмеженi зверху сталою L та виконується
оцiнка
γ =
P1Lα+ βd+ βC0
1− P1
< 1,
то послiдовнiсть
{
u(s)(ϕ)
}∞
s=0
збiгається вm рiвномiрно вiдносно ϕ ∈ W .
Доведення. Запишемо рiвностi (12) при n = 0:
ϕ
(s)
1 (ϕ) = ϕ+ a(ϕ, u(s−1)(ϕ)),
u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ)) = P (ϕ, u(s−1)(ϕ))u(s)(ϕ) + c(ϕ), s ∈ Z+.
Враховуючи оборотнiсть матрицi P (ϕ, x) на D, отримуємо рiвнiсть
u(s)(ϕ) = P−1(ϕ, u(s−1)(ϕ))(u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))− c(ϕ)), s ∈ Z+.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
384 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
Тодi
u(s+1)(ϕ)− u(s)(ϕ) = P−1(ϕ, u(s)(ϕ))(u(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))− c(ϕ))−
− P−1(ϕ, u(s−1)(ϕ))(u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))− c(ϕ)) = P−1(ϕ, u(s)(ϕ))(u(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))−
− u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))) + (P−1(ϕ, u(s)(ϕ))− P−1(ϕ, u(s−1)(ϕ)))(u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))− c(ϕ)).
Позначаючи через ω(s+1) рiзницю u(s+1)(ϕ)−u(s)(ϕ), покладаючи
∥∥ω(s+1)
∥∥
0
= sup
ϕ∈W
∥∥ω(s+1)
∥∥
i беручи до уваги оцiнку∥∥∥ϕ(s+1)
1 (ϕ)− ϕ(s)
1 (ϕ)
∥∥∥ ≤ α
∥∥∥u(s)(ϕ)− u(s−1)(ϕ)
∥∥∥ = α
∥∥∥ω(s)
∥∥∥ ,
записуємо ланцюжок нерiвностей∥∥∥ω(s+1)
∥∥∥ ≤ P1
∥∥∥u(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))− u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
∥∥∥+ β
∥∥∥u(s)(ϕ)− u(s−1)(ϕ)
∥∥∥×
× (d+ C0) ≤ P1
∥∥∥u(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))− u(s+1)(ϕ(s)
1 (ϕ))
∥∥∥+ P1
∥∥∥u(s+1)(ϕ(s)
1 (ϕ))−
− u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
∥∥∥+ β
∥∥∥ω(s)
∥∥∥ (d+ C0) ≤ P1L
(s+1)
∥∥∥ϕ(s+1)
1 (ϕ)− ϕ(s)
1 (ϕ)
∥∥∥+
+ P1
∥∥∥ω(s+1)
∥∥∥
0
+ β
∥∥∥ω(s)
∥∥∥ (d+ C0) ≤ P1
∥∥∥ω(s+1)
∥∥∥
0
+
+
(
P1L
(s+1)α+ β(d+ C0)
)∥∥∥ω(s)
∥∥∥ ,
з яких випливає рекурентна оцiнка∥∥∥ω(s+1)
∥∥∥
0
≤ γ
∥∥∥ω(s)
∥∥∥ , s ∈ Z+.
Очевиднi iндуктивнi мiркування приводять до нерiвностей∥∥∥ω(s+1)
∥∥∥
0
≤ γs
∥∥∥ω(1)
∥∥∥ ≤ γs · 2d,
якi гарантують фундаментальнiсть послiдовностi
{
u(s)(ϕ)
}∞
s=0
у просторim. Повнота ос-
таннього завершує доведення леми 2.
За норму елемента (ϕ, x) ∈ D приймемо вираз max {‖ϕ‖ , ‖x‖} i позначимо її через
‖(ϕ, x)‖. Тут ‖ϕ‖ i ‖x‖— норми ϕ та x у просторах W таm вiдповiдно.
Лема 3. Припустимо, що функцiї a(ϕ, x) та c(ϕ) неперервнi на D та W вiдповiдно,
матрична функцiя P (ϕ, x) неперервна на D i виконуються умови леми 2. Тодi система
рiвнянь (6) має обмежений напiвiнварiантний многовид.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 385
Доведення. Зафiксуємо довiльне ϕ ∈ W i перейдемо у першiй з рiвностей (12) до
границi послiдовно при n = 0, n = 1, n = 2, . . . в процесi s → ∞. Очевидно, що
Lim
s→∞
ϕ
(s)
0 (ϕ) = ϕ, а Lim
s→∞
ϕ
(s)
1 (ϕ) = ϕ+ a(ϕ, u(ϕ)) позначимо через ϕ1(ϕ).
При n = 1
Lim
s→∞
ϕ
(s)
2 (ϕ) = Lim
s→∞
ϕ
(s)
1 (ϕ) + Lim
s→∞
a(ϕ(s)
1 (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
1 (ϕ))) =
=ϕ1(ϕ) + a(ϕ1(ϕ), u(ϕ1(ϕ)).
Це випливає з неперервностi функцiї a(ϕ, x) на D та збiжностi за нормою простору D по-
слiдовностi
{(
ϕ
(s)
1 (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
1 (ϕ))
)}∞
s=1
, що забезпечується оцiнкою ‖u(s)(ϕ) −
−u(s)(ϕ̄)‖ ≤ L‖ϕ− ϕ̄‖ ∀s ∈ Z+, {ϕ, ϕ̄} ⊂ W .
Справдi,
V1 =
∥∥∥(ϕ(s)
1 (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
1 (ϕ))
)
− (ϕ1(ϕ), u(ϕ1(ϕ)))
∥∥∥ =
=
∥∥∥(ϕ(s)
1 (ϕ)− ϕ1(ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
1 (ϕ))− u(ϕ1(ϕ)))
∥∥∥ =
= max
{∥∥∥ϕ(s)
1 (ϕ)− ϕ1(ϕ)
∥∥∥ ,∥∥∥u(s−1)(ϕ(s)
1 (ϕ))− u(ϕ1(ϕ))
∥∥∥} ≤
≤max
{∥∥∥ϕ(s)
1 (ϕ)− ϕ1(ϕ)
∥∥∥ , L∥∥∥ϕ(s)
1 (ϕ)− ϕ1(ϕ)
∥∥∥+
+
∥∥∥u(s−1)(ϕ1(ϕ))− u(ϕ1(ϕ))
∥∥∥}.
Оскiльки для будь-якого як завгодно малого додатного дiйсного числа ε iснують такi на-
туральнi числа N1, N2, N3, що∥∥∥ϕ(s)
1 (ϕ)− ϕ1(ϕ)
∥∥∥ ≤ ε ∀s ≥ N1,
∥∥∥ϕ(s)
1 (ϕ)− ϕ1(ϕ)
∥∥∥ ≤ ε
2L
∀s ≥ N2,
∥∥∥u(s−1)(ϕ1(ϕ))− u(ϕ1(ϕ))
∥∥∥ ≤ ε
2
∀s ≥ N3,
то для будь-якого s ≥ max {N1, N2, N3} справджується оцiнка V1 ≤ ε.
Позначимо Lim
s→∞
ϕ
(s)
2 (ϕ) через ϕ2(ϕ). Продовжуючи цей процес, одержуємо функцiю
ϕn(ϕ), що є розв’язком рiвняння (8), причому ϕ0(ϕ) = ϕ ∈ W .
Залишається довести рiвнiсть (7). Для цього досить перейти до границi при
s → ∞ в останнiй з рiвностей (12) для кожного n ∈ Z+
0 . Цей процес не викликає
труднощiв. Покажемо, наприклад, що
P
(
ϕ(s)
n (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
n (ϕ))
)
u(s)(ϕ(s)
n (ϕ)) → P (ϕn(ϕ), u(ϕn(ϕ)))u(ϕn(ϕ))
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
386 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
при s → ∞ за нормою просторуm.
Норму рiзницi двох останнiх добуткiв позначимо через V2. Легко переконатись у ви-
конаннi нерiвностей
V2 =
∥∥∥P (ϕ(s)
n (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
n (ϕ))
)∥∥∥ ∥∥∥u(s)(ϕ(s)
n (ϕ))− u(ϕn(ϕ))
∥∥∥+
+
∥∥∥P (ϕ(s)
n (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
n (ϕ))
)
− P (ϕn(ϕ), u(ϕn(ϕ)))
∥∥∥ ‖u(ϕn(ϕ))‖ ≤
≤P 0 {J1 + J2}+ dJ3,
де
J1 =
∥∥∥u(s)(ϕ(s)
n (ϕ))− u(s)(ϕn(ϕ))
∥∥∥ , J2 =
∥∥∥u(s)(ϕn(ϕ))− u(ϕn(ϕ))
∥∥∥ ,
J3 =
∥∥∥P (ϕ(s)
n (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
n (ϕ)))− P (ϕn(ϕ), u(ϕn(ϕ)))
∥∥∥ .
Оскiльки J1 ≤ L
∥∥∥ϕ(s)
n (ϕ)− ϕn(ϕ)
∥∥∥, то Lim
s→∞
J1 = 0;
∥∥∥ϕ(s)
n (ϕ)− ϕn(ϕ)
∥∥∥ → 0 при
s → ∞, як показано вище; Lim
s→∞
J2 = 0 за лемою 2, а Lim
s→∞
J3 = 0, оскiльки матриця
P (ϕ, x) неперервна на D i послiдовнiсть
{(
ϕ
(s)
n (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
n (ϕ))
)}∞
s=1
⊂ D збiгається
при s → ∞ до точки (ϕn(ϕ), u(ϕn(ϕ))) ∈ D.
Лему 3 доведено. Зауважимо лише, що всi граничнi переходи, якi розглянуто в остан-
ньому доведеннi, здiйснюються рiвномiрно вiдносноϕ ∈ W , якщо в умовах леми 3 функцiї
a(ϕ, x), P (ϕ, x) та c(ϕ) рiвномiрно неперервнi на вiдповiдних множинах.
Через Dρ
0 та Dρ, де ρ — як завгодно мале додатне число, позначимо множини {x ∈ m
∣∣
‖x‖ < d + ρ} та W ×Dρ
0 вiдповiдно, а через C1
W (ϕ) та C1
Dρ
(ϕ, x) — множини, елементами
яких є функцiї, неперервно диференцiйовнi за Фреше вiдносно ϕ на W та (ϕ, x) на Dρ
вiдповiдно.
Надалi пiд похiдною розумiтимемо виключно похiдну в сенсi Фреше. Пiд символом
P (ϕ, x) розумiтимемо також вiдображення (матричну функцiю) Dρ у множину Γ нескiн-
ченних обмежених за нормою ‖ · ‖ матриць з дiйсними елементами. Вiдображення P (ϕ, x)
вiд його значення (матрицi P (ϕ, x)) будемо розрiзняти за контекстом.
Напiвiнварiантний многовид системи рiвнянь (6) вважатимемо гладким, якщо по-
роджуючa ого функцiя u(ϕ) неперервно диференцiйовна за Фреше на W .
Теорема 1. Нехай матрична функцiя P (ϕ, x) рiвномiрно неперервна на Dρ i викону-
ються такi умови:
1)
{
a(ϕ, x), P−1(ϕ, x)
}
⊂ C1
Dρ
(ϕ, x), c(ϕ) ∈ C1
W (ϕ), причому для будь-яких ϕ ∈ W ,
(ϕ, x) ∈ Dρ справджуються оцiнки∥∥∥∥da(ϕ, x)
d(ϕ, x)
∥∥∥∥ ≤ A∗,
∥∥∥∥dP−1(ϕ, x)
d(ϕ, x)
∥∥∥∥ ≤ P∗,
∥∥∥∥dc(ϕ)
dϕ
∥∥∥∥ ≤ C∗,
де A∗, P∗, C∗ — додатнi сталi, що не залежать вiд ϕ, x;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 387
2) виконуються нерiвностi
P <
1
1 +A∗
,
C0P1
1− P1
≤ d, η =
P∗C
0(1 +A∗) + C∗P1A
∗
A∗(1− P1(1 +A∗))
≤ 1,
γ =
P1ηA
∗ + P∗(d+ C0)
1− P1
< 1.
Тодi система рiвнянь (6) має обмежений напiвiнварiантний многовид, породжуючa фун-
кцiя u(ϕ) якого задовольняє умову Лiпшиця на W :
‖u(ϕ)− u(ϕ̄)‖ ≤ η ‖ϕ− ϕ̄‖ ∀ {ϕ, ϕ̄} ⊂ W.
Доведення. Очевидно, що в умовах сформульованої теореми функцiї a(ϕ, x) та ϕ(x)
рiвномiрно неперервнi на Dρ та W вiдповiдно. З опуклостi множин Dρ та W випливає
iснування сталих α i β, що фiгурують в умовi леми 2, причому α = A∗, β = P∗. Отже,
доведення теореми зводиться до обґрунтування правильностi нерiвностi
∥∥∥u(s)(ϕ)− u(s)(ϕ̄)
∥∥∥ ≤ η ‖ϕ− ϕ̄‖ ∀s ∈ Z+
0 , {ϕ, ϕ̄} ⊂ W. (14)
Доведення розiб’ємо на двi частини.
1. Покажемо, що нерiвнiсть (14) виконується при s = 0. Методом повної математичної
iндукцiї неважко переконатися, що для будь-яких n ∈ Z+
0 , ϕ ∈ W iснує лiнiйний оператор
dϕ
(0)
n (ϕ)
dϕ
, який належить простору L(W,W ), причому
∥∥∥∥∥dϕ(0)
n (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ (1 +A∗)n. (15)
Обґрунтування цього твердження буде наведено в другiй частинi доведення теореми.
Оскiльки вiдображення P−1(ϕ, x) переводить вiдкриту в декартовому добутку W ×m
множину Dρ в лiнiйний нормований простiр Γ, то
dP−1(ϕ, x)
d(ϕ, x)
є лiнiйним оператором з
простору L(W ×m,Γ). Очевидно, що для будь-якого i ∈ Z+
0 виконуються нерiвностi
∥∥∥∥∥dP−1(ϕ(0)
i (ϕ), 0)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ P∗
∥∥∥∥∥dϕ(0)
i (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ P∗(1 +A∗)i,
(16)∥∥∥∥∥dc(ϕ(0)
i (ϕ))
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ C∗(1 +A∗)i.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
388 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
Оскiльки добуток n матриць iз Γ визначає мультилiнiйне вiдображення Γn → Γ, то [12]
iснує похiдна добутку
l−1∏
i=0
P−1(ϕ(0)
i (ϕ), 0) вiдносно ϕ ∈ W , причому
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
d
l−1∏
i=0
P−1(ϕ(0)
i (ϕ), 0)
dϕ
∥∥∥∥∥∥∥∥∥ ≤ P
l−1
1
l−1∑
i=0
∥∥∥∥∥dP−1(ϕ(0)
i (ϕ), 0)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤
≤ P l−1
1 P∗
l−1∑
i=0
(1 +A∗)i ≤ P∗
A∗
P l−1
1 (1 +A∗)l, l ∈ Z+. (17)
Вираз, що стоїть пiд знаком суми в рiвностi (11), позначимо через u(0)
l . Спiввiдношення
(16) та (17) дають можливiсть записати оцiнку∥∥∥∥∥du
(0)
l
dϕ
∥∥∥∥∥ < P∗C
0
A∗
P l−1
1 (1 +A∗)l + P l1C∗(1 +A∗)l−1, l ∈ Z+, ϕ ∈ W.
Очевидно, що для завершення доведення першого етапу досить показати, що ряд
∞∑
l=1
∥∥∥du(0)
l
dϕ
∥∥∥ є збiжним рiвномiрно вiдносно ϕ ∈ W . Останнє випливає з спiввiдношень
∞∑
l=1
∥∥∥∥∥du
(0)
l
dϕ
∥∥∥∥∥ < P∗C
0
A∗P1
∞∑
l=1
(P1(1 +A∗))l + P1C∗
∞∑
l=1
(P1(1 +A∗))l−1 =
=
P∗C
0(1 +A∗)P1
A∗P1(1− P1(1 +A∗))
+
P1C∗
1− P1(1 +A∗)
= η.
Отже, u(0)(ϕ) ∈ C1
W (ϕ) i
∥∥∥du(0)(ϕ)
dϕ
∥∥∥ ≤ η ∀ϕ ∈ W , звiдки завдяки опуклостi W одержуємо
оцiнку ∥∥∥u(0)(ϕ)− u(0)(ϕ̄)
∥∥∥ ≤ η ‖ϕ− ϕ̄‖ .
2. Доведемо, що нерiвнiсть (14) виконується при всiх s ∈ Z+. Для цього застосуємо
метод повної математичної iндукцiї.
Нехай s = 1. Покажемо спочатку, що при η ≤ 1∥∥∥∥∥dϕ(1)
i (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ (1 +A∗)i ∀i ∈ Z+
0 . (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 389
Очевидно, що
∥∥∥dϕ(1)
0 (ϕ)
dϕ
∥∥∥ =
∥∥∥dϕ
dϕ
∥∥∥ = 1. При i = 1 справджуються спiввiдношення
∥∥∥∥∥dϕ(1)
1 (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥dϕdϕ +
da(ϕ(1)
0 (ϕ), u(0)(ϕ(1)
0 (ϕ)))
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤
≤ 1 +A∗max
{∥∥∥∥dϕdϕ
∥∥∥∥ ,
∥∥∥∥∥du(0)(ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥
}
≤ 1 +A∗max {1, η} ,
тобто нерiвнiсть (18) виконується. Припустимо, що вона виконується для будь-якого i ≤
≤ k, k ∈ Z+. Тодi
∥∥∥∥∥dϕ
(1)
k+1(ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ (1 +A∗)k +A∗max
{
(1 +A∗)k, η(1 +A∗)k
}
≤
≤ (1 +A∗)k +A∗(1 +A∗)k = (1 +A∗)k+1,
оскiльки η ≤ 1. Отже, згiдно з принципом повної математичної iндукцiї оцiнка (18) справ-
джується для будь-якого i ∈ Z+.
Аналогiчно (16), (17), для будь-якого ϕ ∈ W одержуємо оцiнки
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
d
l−1∏
i=0
P−1(ϕ(1)
i (ϕ), u(0)(ϕ(1)
i (ϕ)))
dϕ
∥∥∥∥∥∥∥∥∥ <
P∗
A∗
P l−1
1 (1 +A∗)l,
∥∥∥∥∥dc(ϕ
(1)
l−1(ϕ))
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ C∗(1 +A∗)l−1.
Запишемо рiвнiсть (13) при s = 1:
u(1)(ϕ) = −
∞∑
l=1
l−1∏
i=0
P−1(ϕ(1)
i (ϕ), u(0)(ϕ(1)
i (ϕ)))c(ϕ(1)
l−1(ϕ))
i вираз, що стоїть у нiй пiд знаком суми, позначимо через u(1)
l . Неважко переконатись, що
виконується нерiвнiсть
∥∥∥∥∥du
(1)
l
dϕ
∥∥∥∥∥ < P∗C
0
A∗
P l−1
1 (1 +A∗)l + P l1C∗(1 +A∗)l−1 ∀l ∈ Z+, ϕ ∈ W,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
390 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
оскiльки η ≤ 1. Тодi
∞∑
l=1
∥∥∥du(1)
l (ϕ)
dϕ
∥∥∥ ≤ η, отже, u(1)(ϕ) ∈ C1
W (ϕ), причому
∥∥∥du(1)(ϕ)
dϕ
∥∥∥ ≤
≤ η ∀ϕ ∈ W , звiдки
∥∥∥u(1)(ϕ)− u(1)(ϕ̄)
∥∥∥ ≤ η‖ϕ− ϕ̄‖ ∀ {ϕ, ϕ̄} ⊂ W.
Таким чином, нерiвнiсть (14) виконується при s = 1. Припустимо, що нерiвнiсть
∥∥∥∥∥du(s)(ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ η ∀ϕ ∈ W (19)
справджується для всiх s ≤ k ∈ Z+. Записавши рiвнiсть (13) при s = k + 1, аналогiчно до
попереднiх перетворень одержуємо оцiнку (19) при s = k+ 1. Згiдно з принципом повної
математичної iндукцiї ця оцiнка виконується при всiх s ∈ Z+, що веде до правильностi
оцiнки
∥∥∥u(s)(ϕ)− u(s)(ϕ̄)
∥∥∥ ≤ η ‖ϕ− ϕ̄‖ ∀ {ϕ, ϕ̄} ⊂ W, s ∈ Z+
0 .
Граничний перехiд в останнiй нерiвностi при s → ∞ завершує доведення теореми 1.
Через C1
Lip(ϕ) та C1
Lip(ϕ, x) позначимо пiдмножини з C1
W (ϕ) та C1
Dρ
(ϕ, x), елементи
яких мають лiпшицевi похiднi вiдносно ϕ та (ϕ, x) вiдповiдно. Це означає, що функцiя
f(ϕ) ∈ C1
Lip(ϕ) з коефiцiєнтом δ, якщо
∥∥∥∥df(ϕ)
dϕ
− df(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥ ≤ δ ‖ϕ− ϕ̄‖ ∀ {ϕ, ϕ̄} ⊂ W,
i f(ϕ, x) ∈ C1
Lip(ϕ, x) з коефiцiєнтом δ, якщо
∥∥∥∥df(ϕ, x)
d(ϕ, x)
− df(ϕ̄, x̄)
d(ϕ̄, x̄)
∥∥∥∥ ≤ δ ‖(x, ϕ)− (x̄, ϕ̄)‖ ∀ {ϕ, ϕ̄} ⊂ W, {x, x̄} ⊂ Dρ
0,
де δ — додатна стала, що не залежить вiд ϕ, ϕ̄, x, x̄.
Лема 4. Нехай виконуються всi умови теореми 1, причому
{
a(ϕ, x), P−1(ϕ, x)
}
⊂
⊂ C1
Lip(ϕ, x), c(ϕ) ∈ C1
Lip(ϕ) i P1(1 +A∗)2 < 1. Тодi u(s)(ϕ) ∈ C1
Lip(ϕ) ∀s ∈ Z+
0 .
Доведення. Скориставшись рiвнiстю (13), запишемо нерiвнiсть
∥∥∥∥∥du(s)(ϕ)
dϕ
− du(s)(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ≤
4∑
i=1
J
(s)
i , (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 391
де
J
(s)
1 =
∞∑
l=1
∥∥∥∥∥dΠ(s)(ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥∥∥∥c(ϕ(s)
l−1(ϕ))− c(ϕ(s)
l−1(ϕ̄))
∥∥∥ ,
J
(s)
2 =
∞∑
l=1
∥∥∥Π(s)(ϕ)−Π(s)(ϕ̄)
∥∥∥∥∥∥∥∥dc(ϕ
(s)
l−1(ϕ̄))
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ,
J
(s)
3 =
∞∑
l=1
∥∥∥Π(s)(ϕ)
∥∥∥∥∥∥∥∥dc(ϕ
(s)
l−1(ϕ))
dϕ
−
dc(ϕ(s)
l−1(ϕ̄))
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ,
J
(s)
4 =
∞∑
l=1
∥∥∥∥∥dΠ(s)(ϕ)
dϕ
− dΠ(s)(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥∥∥∥c(ϕ(s)
l−1(ϕ̄))
∥∥∥ ,
Π(s)(ϕ) =
l−1∏
i=0
P−1(ϕ(s)
i (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
i (ϕ))),
яка справджується для будь-яких s ∈ Z+
0 , {ϕ, ϕ̄} ⊂ W , якщо пiд символом u(−1)(ϕ(0)
i (ϕ))
розумiти 0 ∈ m. Iндуктивними вiдносно i ∈ Z+
0 мiркуваннями неважко переконатись у
виконаннi нерiвностей ∥∥∥∥∥dϕ(s)
i (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ (1 +A∗)i,
(21)∥∥∥ϕ(s)
i (ϕ)− ϕ(s)
i (ϕ̄)
∥∥∥ ≤ (1 +A∗)i ‖ϕ− ϕ̄‖
для всiх s ∈ Z+
0 .
У цьому випадку справджуються такi оцiнки:∥∥∥∥∥dc(ϕ
(s)
l−1(ϕ))
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ C∗
∥∥∥∥∥dϕ
(s)
l−1(ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ C∗(1 +A∗)l−1,
∥∥P−1(ϕ(s)
i (ϕ),u(s−1)(ϕ(s)
i (ϕ)))− P−1(ϕ(s)
i (ϕ̄), u(s−1)(ϕ(s)
i (ϕ̄)))
∥∥ ≤
≤ P∗max
{∥∥∥ϕ(s)
i (ϕ)− ϕ(s)
i (ϕ̄)
∥∥∥ ,∥∥∥u(s−1)(ϕ(s)
i (ϕ))− u(s−1)(ϕ(s)
i (ϕ̄))
∥∥∥} =
= P∗(1 +A∗)i ‖ϕ− ϕ̄‖ ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
392 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
∥∥∥Π(s)(ϕ) − Π(s)(ϕ̄)
∥∥∥ ≤ P l−1
1
l−1∑
i=0
∥∥∥P−1(ϕ(s)
i (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
i (ϕ))) −
− P−1(ϕ(s)
i (ϕ̄), u(s−1)(ϕ(s)
i (ϕ̄)))
∥∥∥ ≤ P l−1
1
l−1∑
i=0
P∗(1 +A∗)i ‖ϕ− ϕ̄‖ =
=
P∗
A∗
P l−1
1 (1 +A∗)l ‖ϕ− ϕ̄‖ ,
∥∥∥∥∥dΠ(s)(ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ P l−1
1
l−1∑
i=0
∥∥∥∥∥dP−1(ϕ(s)
i (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
i (ϕ)))
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤
≤ P∗P l−1
1
l−1∑
i=0
∥∥∥∥∥dϕ(s)
i (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ P∗P
l−1
1
l−1∑
i=0
(1 +A∗)i <
<
P∗
A∗
P l−1
1 (1 +A∗)l ∀ {i, s} ⊂ Z+
0 , l ∈ Z
+.
Цi оцiнки дають можливiсть для J (s)
1 та J (s)
2 записати нерiвнiсть
max
{
J
(s)
1 , J
(s)
2
}
≤ P∗C∗
A∗P1(1 +A∗)
∞∑
l=1
P l1(1 +A∗)2l ‖ϕ− ϕ̄‖ =
= =
P∗C∗(1 +A∗)
A∗(1− P1(1 +A∗)2)
‖ϕ− ϕ̄‖ ,
яка не залежить вiд s ∈ Z+
0 .
Оцiнити J (s)
3 та J (s)
4 значно складнiше. З (12), (21) випливають нерiвностi
∥∥∥∥∥dϕ(s)
i (ϕ)
dϕ
−
dϕ
(s)
i (ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ≤
∥∥∥∥∥dϕ
(s)
i−1(ϕ)
dϕ
−
dϕ
(s)
i−1(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+
+ A∗max
{∥∥∥∥∥dϕ
(s)
i−1(ϕ)
dϕ
−
dϕ
(s)
i−1(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ,
∥∥∥∥∥du(s−1)(ϕ(s)
i−1(ϕ))
dϕ
−
du(s−1)(ϕ(s)
i−1(ϕ̄))
dϕ̄
∥∥∥∥∥
}
+
+ A∗max
{∥∥∥ϕ(s)
i−1(ϕ)− ϕ(s)
i−1(ϕ̄)
∥∥∥ ,∥∥∥u(s−1)(ϕ(s)
i−1(ϕ))− u(s−1)(ϕ(s)
i−1(ϕ̄))
∥∥∥}×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 393
× max
{∥∥∥∥∥dϕ
(s)
i−1(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ,
∥∥∥∥∥du(s−1)(ϕ(s)
i−1(ϕ̄))
dϕ̄
∥∥∥∥∥
}
≤
≤ (1 +A∗)
∥∥∥∥∥dϕ
(s)
i−1(ϕ)
dϕ
−
dϕ
(s)
i−1(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+A∗(1 +A∗)2(i−1) ‖ϕ− ϕ̄‖+
+ A∗(1 +A∗)i−1
∥∥∥∥∥du(s−1)(ϕ(s)
i−1(ϕ))
dϕ
(s)
i−1(ϕ)
−
du(s−1)(ϕ(s)
i−1(ϕ̄))
dϕ
(s)
i−1(ϕ̄)
∥∥∥∥∥ , (22)
∥∥∥∥∥dc(ϕ
(s)
l−1(ϕ))
dϕ
−
dc(ϕ(s)
l−1(ϕ̄))
dϕ̄
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥dc(ϕ
(s)
l−1(ϕ))
dϕ
(s)
l−1(ϕ)
dϕ
(s)
l−1(ϕ)
dϕ
−
−
dc(ϕ(s)
l−1(ϕ̄))
dϕ
(s)
l−1(ϕ̄)
dϕ
(s)
l−1(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ≤ C∗
∥∥∥∥∥dϕ
(s)
l−1(ϕ)
dϕ
−
dϕ
(s)
l−1(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+
+ C∗
∥∥∥ϕ(s)
l−1(ϕ)− ϕ(s)
l−1(ϕ̄)
∥∥∥∥∥∥∥∥dϕ
(s)
l−1(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ≤ C∗
∥∥∥∥∥dϕ
(s)
l−1(ϕ)
dϕ
−
dϕ
(s)
l−1(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+
+ C∗(1 +A∗)2(l−1) ‖ϕ− ϕ̄‖ , (23)
де A∗ та C∗ — коефiцiєнти, з якими у простори C1
Lip(ϕ, x) та C1
Lip(ϕ) входять функцiї
a(ϕ, x) та c(ϕ) вiдповiдно.
У свою чергу записуємо ланцюжок оцiнок
∥∥∥∥∥dΠ(s)(ϕ)
dϕ
− dΠ(s)(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ≤
≤ P l−1
1
∥∥∥∥dP−1(ϕ0)
dϕ
− dP−1(ϕ̄0)
dϕ̄
∥∥∥∥+ P l−2
1
∥∥∥∥dP−1(ϕ̄0)
dϕ̄
∥∥∥∥∥∥P−1(ϕ1)− P−1(ϕ̄1)
∥∥+
+ P l−2
1
∥∥∥∥dP−1(ϕ̄0)
dϕ̄
∥∥∥∥∥∥P−1(ϕ2)− P−1(ϕ̄2)
∥∥+ . . .
. . .+
∥∥∥∥dP−1(ϕ̄0)
dϕ̄
∥∥∥∥P l−2
1
∥∥P−1(ϕl−1)− P−1(ϕ̄l−1)
∥∥+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
394 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
+
∥∥P−1(ϕ0)− P−1(ϕ̄0)
∥∥∥∥∥∥dP−1(ϕ1)
dϕ
∥∥∥∥P l−2
1 + P l−1
1
∥∥∥∥dP−1(ϕ1)
dϕ
− dP−1(ϕ̄1)
dϕ̄
∥∥∥∥+
+ P l−2
1
∥∥∥∥dP−1(ϕ̄1)
dϕ̄
∥∥∥∥∥∥P−1(ϕ2)− P−1(ϕ̄2)
∥∥+ . . .
. . .+ P l−2
1
∥∥∥∥dP−1(ϕ̄1)
dϕ̄
∥∥∥∥∥∥P−1(ϕl−1)− P−1(ϕ̄l−1)
∥∥+ . . .
. . .+
∥∥P−1(ϕ0)− P−1(ϕ̄0)
∥∥P l−2
1
∥∥∥∥dP−1(ϕl−1)
dϕ
∥∥∥∥+
+ P l−2
1
∥∥P−1(ϕ1)− P−1(ϕ̄1)
∥∥∥∥∥∥dP−1(ϕl−1)
dϕ
∥∥∥∥+ . . .+ P l−1
1
∥∥∥∥dP−1(ϕl−1)
dϕ
− dP−1(ϕ̄l−1)
dϕ̄
∥∥∥∥ ≤
≤ P l−1
1
∥∥∥∥dP−1(ϕ0)
dϕ
− dP−1(ϕ̄0)
dϕ̄
∥∥∥∥+ P l−2
1 P 2
∗ (1 +A∗)K ‖ϕ− ϕ̄‖+
+ P l−1
1
∥∥∥∥dP−1(ϕ1)
dϕ
− dP−1(ϕ̄1)
dϕ̄
∥∥∥∥+ P l−2
1 P 2
∗ (1 +A∗)2K ‖ϕ− ϕ̄‖+ . . .
. . .+ P l−1
1
∥∥∥∥dP−1(ϕl−1)
dϕ
− dP−1(ϕ̄l−1)
dϕ̄
∥∥∥∥+ P l−2
1 P 2
∗ (1 +A∗)lK ‖ϕ− ϕ̄‖ =
= P l−1
1
l−1∑
k=0
∥∥∥∥dP−1(ϕk)
dϕ
− dP−1(ϕ̄k)
dϕ̄
∥∥∥∥+ P l−2
1 P 2
∗ (1 +A∗)K2 ‖ϕ− ϕ̄‖ <
< P l−1
1
l−1∑
k=0
∥∥∥∥dP−1(ϕk)
dϕ
− dP−1(ϕ̄k)
dϕ̄
∥∥∥∥+
P 2
∗P
l−2
1
A∗2
(1 +A∗)2l+1K2 ‖ϕ− ϕ̄‖ ,
де через P−1(ϕk) та P−1(ϕ̄k) позначено вирази P−1(ϕ(s)
k (ϕ), u(s−1)(ϕ(s)
k (ϕ))) та P−1(ϕ(s)
k (ϕ̄),
u(s−1)(ϕ(s)
k (ϕ̄))) вiдповiдно, а через K — суму
l−1∑
k=0
(1 +A∗)k.
Враховуючи, що∥∥∥∥dP−1(ϕk)
dϕ
− dP−1(ϕ̄k)
dϕ̄
∥∥∥∥ ≤
≤P∗
∥∥∥∥∥dϕ
(s)
k (ϕk)
dϕ
−
dϕ
(s)
k (ϕ̄k)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+ P ∗(1 +A∗)2k ‖ϕ− ϕ̄‖+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 395
+ P∗(1 +A∗)k
∥∥∥∥∥du(s−1)(ϕ(s)
k (ϕ))
dϕ
(s)
k (ϕ)
−
du(s−1)(ϕ(s)
k (ϕ̄))
dϕ
(s)
k (ϕ̄)
∥∥∥∥∥ ,
де P ∗ — коефiцiєнт, з яким P−1(ϕ, x) входить до C1
Lip(ϕ, x), маємо оцiнку
∥∥∥∥∥dΠ(s)(ϕ)
dϕ
− dΠ(s)(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ < P l−1
1
l−1∑
k=0
{
P∗
∥∥∥∥∥dϕ
(s)
k (ϕ)
dϕ
−
dϕ
(s)
k (ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+
+ P ∗(1 +A∗)2k ‖ϕ− ϕ̄‖+ P∗(1 +A∗)k
∥∥∥∥∥du(s−1)(ϕ(s)
k (ϕ))
dϕ
(s)
k (ϕ)
−
du(s−1)(ϕ(s)
k (ϕ̄))
dϕ
(s)
k (ϕ̄)
∥∥∥∥∥
}
+
+
P 2
∗P
l−2
1
A∗2
(1 +A∗)2l+1 ‖ϕ− ϕ̄‖ . (24)
Далi застосуємо метод повної математичної iндукцiї. Доведемо твердження леми 4 при
s = 0. У цьому випадку з (22) одержуємо iндуктивну нерiвнiсть∥∥∥∥∥dϕ(0)
i (ϕ)
dϕ
−
dϕ
(0)
i (ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ≤ (1 +A∗)
∥∥∥∥∥dϕ
(0)
i−1(ϕ)
dϕ
−
dϕ
(0)
i−1(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+
+ A∗(1 +A∗)2(i−1) ‖ϕ− ϕ̄‖ ,
з якої випливають оцiнки∥∥∥∥∥dϕ(0)
i (ϕ)
dϕ
−
dϕ
(0)
i (ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ≤ (1 +A∗)
{
(1 +A∗)
∥∥∥∥∥dϕ
(0)
i−2(ϕ)
dϕ
−
dϕ
(0)
i−2(ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+
+ A∗(1 +A∗)2(i−2) ‖ϕ− ϕ̄‖
}
+A∗(1 +A∗)2(i−1) ‖ϕ− ϕ̄‖ ≤ . . .
. . . ≤ (1 +A∗)i
∥∥∥∥∥dϕ(0)
0 (ϕ)
dϕ
− dϕ
(0)
0 (ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+A∗
{
(1 +A∗)i−1 + (1 +A∗)i + . . .
. . .+ (1 +A∗)2(i−1)
}
‖ϕ− ϕ̄‖ < A∗
A∗
(1 +A∗)2i−1 ‖ϕ− ϕ̄‖ .
Тодi, використовуючи (23), (24), записуємо нерiвностi
J
(0)
3 <
∞∑
l=1
P l1
{
A∗
A∗
(1 +A∗)2l−3 + C∗(1 +A∗)2l−2
}
‖ϕ− ϕ̄‖ < P1(A∗ +A∗C∗)
A∗(1− P1(1 +A∗)2)
‖ϕ− ϕ̄‖,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
396 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
J
(0)
4 <
∞∑
l=1
C0
{
P l−1
1
l−1∑
k=0
[
P∗
∥∥∥∥∥dϕ
(0)
k (ϕ)
dϕ
−
dϕ
(0)
k (ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+ P ∗(1 +A∗)2k ‖ϕ− ϕ̄‖
]
+
+
P 2
∗P
l−2
1
A∗2
(1 +A∗)2l+1 ‖ϕ− ϕ̄‖
}
≤ C0
{
P∗A∗
A∗(1 +A∗)
∞∑
l=1
P l−1
1
l−1∑
k=0
(1 +A∗)2k +
+ P ∗
∞∑
l=1
P l−1
1
l−1∑
k=0
(1 +A∗)2k +
P 2
∗ (1 +A∗)
A∗2P 2
1
∞∑
l=1
P l1(1 +A∗)2l
}
‖ϕ− ϕ̄‖ <
< C0
{(
P ∗ +
P∗A∗
A∗(1 +A∗)
)
(1 +A∗)2
((1 +A∗)2 − 1)(1− P1(1 +A∗)2)
+
+
P 2
∗ (1 +A∗)3
A∗2P1(1− P1(1 +A∗)2)
}
‖ϕ− ϕ̄‖ .
Отже, враховуючи (20) та оцiнки для J (0)
1 та J (0)
2 , приходимо до висновку, що u(0)(ϕ) ∈
∈ C1
Lip(ϕ) з коефiцiєнтом, який ми позначимо через x0. Вираз для цього коефiцiєнта до-
сить громiздкий, i ми його не наводимо, оскiльки в цьому немає потреби.
Припустимо тепер, що твердження леми 4 справджується для всiх s ∈ {1, 2, 3, . . . ,m},
i позначимо через xs коефiцiєнти, з якими функцiї u(s)(ϕ) ∈ C1
Lip(ϕ), s ∈ {1, 2, 3, . . . ,m}.
З (22) випливає iндуктивна нерiвнiсть
∥∥∥∥∥dϕ(m+1)
i (ϕ)
dϕ
−
dϕ
(m+1)
i (ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ ≤ (1 +A∗)
∥∥∥∥∥dϕ
(m+1)
i−1 (ϕ)
dϕ
−
dϕ
(m+1)
i−1 (ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥+
+ {A∗ +A∗xm} (1 +A∗)2(i−1) ‖ϕ− ϕ̄‖ ,
яка приводить до оцiнки
∥∥∥∥∥dϕ(m+1)
i (ϕ)
dϕ
−
dϕ
(m+1)
i (ϕ̄)
dϕ̄
∥∥∥∥∥ < A∗ +A∗xm
A∗
(1 +A∗)2i−1 ‖ϕ− ϕ̄‖ .
Застосувавши останню нерiвнiсть, неважно переконатись у лiпшицевостi J (m+1)
3 , J
(m+1)
4 ,
за аналогiєю з попереднiми викладками. Враховуючи, що J
(s)
1 , J
(s)
2 не залежать вiд s ∈
∈ Z+
0 , приходимо до висновку, що u(m+1)(ϕ) ∈ C1
Lip(ϕ), що й завершує доведення леми 4.
Тепер сформулюємо основний результат цiєї роботи.
Теорема 2. Нехай матрична функцiя P (ϕ, x) рiвномiрно неперервна на Dρ i викону-
ються такi умови:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 397
1)
{
a(ϕ, x), P−1(ϕ, x)
}
⊂ C1
Lip(ϕ, x), c(ϕ) ∈ C1
Lip(ϕ), причому справджуються оцiнки
∥∥∥∥da(ϕ, x)
d(ϕ, x)
∥∥∥∥ ≤ A∗,
∥∥∥∥dP−1(ϕ, x)
d(ϕ, x)
∥∥∥∥ ≤ P∗,
∥∥∥∥dc(ϕ)
dϕ
∥∥∥∥ ≤ C∗ ∀ϕ ∈ W, (ϕ, x) ∈ Dρ,
де A∗, P∗, C∗ — додатнi сталi, що не залежать вiд ϕ, x;
2) виконуються нерiвностi
P1 <
1
(1 +A∗)2
,
C0P1
1− P1
≤ d, η =
P∗C
0(1 +A∗) + C∗P1A
∗
A∗(1− P1(1 +A∗))
≤ 1,
p =
P∗d+ P∗C
0 + P1A
∗
1− P1(1 +A∗)
< 1.
Тодi система рiвнянь (6) має обмежений напiвiнварiантний многовид, породжуюча фун-
кцiя якого u(ϕ) задовольняє наW умову Лiпшиця з коефiцiєнтом η, а функцiї u(s)(ϕ), що
визначенi рiвнiстю (13), для всiх s ∈ Z+
0 належать множинi C1
Lip(ϕ).
Якщо при цьому u(s)(ϕ) ∈ C1
Lip(ϕ) з коефiцiєнтом G, який не залежить вiд s ∈ Z+
0 ,
то цей многовид є гладким, причому u(ϕ) ∈ C1
Lip(ϕ).
Доведення. Легко бачити, що в умовах теореми 2 справджуються теорема 1 та лема
4, тому обґрунтування потребує лише умова гладкостi напiвiнварiантного многовиду си-
стеми рiвнянь (6).
Для зручностi рiзницю
du(s+1)(ϕ)
dϕ
− du(s)(ϕ)
dϕ
позначимо через $(s+1)
1 , s ∈ Z+
0 .
Використовуючи подання функцiї u(s)(ϕ) з леми 2, переконуємось, що її похiдна вiд-
носно ϕ ∈ W дiє на будь-яке ξ ∈ W таким чином:
du(s)(ϕ)
dϕ
ξ =
dP−1(ϕ, u(s−1)(ϕ))
dϕ
ξ(u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))− c(ϕ)) +
+ P−1(ϕ, u(s−1)(ϕ))
d(u(s)(ϕ(s)_
1 (ϕ))− c(ϕ))
dϕ
ξ, s ∈ Z+.
Звiдси неважко одержати рiвнiсть
ω
(s+1)
1 ξ =
dP−1(ϕ, u(s)(ϕ))
dϕ
ξ
{
u(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))− u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
}
+
+
(
dP−1(ϕ, u(s)(ϕ))
dϕ
− dP−1(ϕ, u(s−1)(ϕ))
dϕ
)
ξ
(
u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))− c(ϕ))
)
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
398 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
+ P−1(ϕ, u(s)(ϕ))
(
du(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))
dϕ
− du(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
dϕ
)
ξ +
+
{
P−1(ϕ, u(s)(ϕ))− P−1(ϕ, u(s−1)(ϕ))
} d(u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))− c(ϕ))
dϕ
ξ,
з якої при η ≤ 1 для будь-якого s ∈ Z+ випливає нерiвнiсть∥∥∥ω(s+1)
1
∥∥∥ ≤ P∗ ∥∥∥u(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))− u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
∥∥∥+
{
P∗
∥∥∥$(s)
1
∥∥∥+ P ∗ · 2dγs−1
}
(d+ C0) +
+ P1
∥∥∥∥∥du(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))
dϕ
− du(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
dϕ
∥∥∥∥∥+
+ 2dP∗γs−1
(∥∥∥∥∥dϕ(s)
1 (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥+ C∗
)
. (25)
Враховуючи нерiвностi∥∥∥∥∥dϕ(s)
1 (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ 1 +
∥∥∥∥∥da(ϕ, u(s−1)(ϕ))
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ 1 +A∗,
∥∥∥u(s+1) (ϕ(s+1)
1 (ϕ))− u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
∥∥∥ ≤ ∥∥∥u(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))− u(s+1)(ϕ(s)
1 (ϕ))
∥∥∥+
+
∥∥∥u(s+1)(ϕ(s)
1 (ϕ))− u(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
∥∥∥ ≤ ∥∥∥ϕ(s+1)
1 (ϕ)− ϕ(s)
1 (ϕ)
∥∥∥+
∥∥∥$(s+1)
∥∥∥ ≤
≤ A∗
∥∥∥$(s)
∥∥∥+
∥∥∥$(s+1)
∥∥∥ ≤ 2d(γ +A∗)γs−1,
∥∥∥∥∥dϕ(s+1)
1 (ϕ)
dϕ
− dϕ
(s)
1 (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥da(ϕ, u(s)(ϕ))
dϕ
− da(ϕ, u(s−1)(ϕ))
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤
≤ A∗
∥∥∥w(s)
1
∥∥∥+A∗ · 2dγs−1,
∥∥∥∥∥du(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))
dϕ
−du
(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
dϕ
∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥∥du(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))
dϕ
(s+1)
1 (ϕ)
dϕ
(s+1)
1 (ϕ)
dϕ
− du(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
dϕ
(s)
1 (ϕ)
dϕ
(s)
1 (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
ПРО IСНУВАННЯ ГЛАДКОГО ОБМЕЖЕНОГО НАПIВIНВАРIАНТНОГО МНОГОВИДУ ВИРОДЖЕНОЇ . . . 399
≤
∥∥∥∥∥du(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))
dϕ
(s+1)
1 (ϕ)
∥∥∥∥∥
∥∥∥∥∥dϕ(s+1)
1 (ϕ)
dϕ
− dϕ
(s)
1 (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥du(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))
dϕ
(s+1)
1 (ϕ)
− du(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
dϕ
(s)
1 (ϕ)
∥∥∥∥∥
∥∥∥∥∥dϕ(s)
1 (ϕ)
dϕ
∥∥∥∥∥ ≤ A∗
∥∥∥w(s)
1
∥∥∥+
+ A∗2dγ(s−1) +
∥∥∥∥∥du(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))
dϕ
(s+1)
1 (ϕ)
− du(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
dϕ
(s)
1 (ϕ)
∥∥∥∥∥ (1 +A∗),
∥∥∥∥∥du(s+1)(ϕ(s+1)
1 (ϕ))
dϕ
(s+1)
1 (ϕ)
− du(s)(ϕ(s)
1 (ϕ))
dϕ
(s)
1 (ϕ)
∥∥∥∥∥ ≤ G
∥∥∥ϕ(s+1)
1 (ϕ)− ϕ(s)
1 (ϕ)
∥∥∥+
+
∥∥∥ω(s+1)
1
∥∥∥
0
≤ 2dGγs−1 +
∥∥∥ω(s+1)
1
∥∥∥
0
,
з (25) одержуємо iндуктивну оцiнку∥∥∥ω(s+1)
1
∥∥∥
0
≤ ξγs−1 + p
∥∥∥ω(s)
1
∥∥∥
0
∀ s ∈ Z+, ϕ ∈ W, (26)
де ξ = 2d
{
P∗(γ +A∗) + P ∗(d+ C0) +A∗P1 + P1(1 +A∗)G+ P∗(1 +A∗ + C∗)
}
— додатна
стала, яка не залежить вiд s, ϕ.
Iндуктивними мiркуваннями неважко перевiрити, що з (26) випливають спiввiдношен-
ня
∥∥∥ω(s+1)
1
∥∥∥
0
≤ ξ
s−1∑
i=0
piγs−i−1 + ps
∥∥∥ω(1)
1
∥∥∥
0
= ξ
γs−1
((
p
γ
)s
− 1
)
p
γ − 1
+
+ ps
∥∥∥ω(1)
1
∥∥∥
0
< ξ
ps
p− γ
+ ps
∥∥∥ω(1)
1
∥∥∥
0
≤
(
ξ
p− γ
+ 2
)
ps −−−−−−−−→
s−→∞
,
оскiльки γ < p < 1.
У цьому випадку послiдовнiсть
{
du(s)(ϕ)
dϕ
}∞
s=1
є фундаментальною в банаховому про-
сторi L(W,m), що гарантує її збiжнiсть за його нормою, причому ця збiжнiсть рiвномiрна
вiдносно ϕ ∈ W . Як вiдомо [12], границя вказаної послiдовностi є похiдною
du(ϕ)
dϕ
. Вклю-
чення u(ϕ) ∈ C1
Lip(ϕ) очевидне. Теорему 2 доведено.
Зауваження 1. Умови леми 4 не є достатнiми для iснування сталої G, що фiгурує в
формулюваннi теореми 2, оскiльки послiдовнiсть {xs}∞s=0 є зростаючою, а обмеженiсть її
з умов леми 4 не випливає. Достатнiми для iснування сталої G є умови, при яких для всiх
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
400 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, I. В. СЕМЕНИШИНА
s ∈ Z+
0 iснує похiдна Фреше другого порядку
d2u(s)(ϕ)
dϕ2
, обмежена за нормою простору
L(W,L(W,m)) рiвномiрно вiдносно s ∈ Z+
0 та ϕ ∈ W . Вiдшукання цих умов є далеко не
тривiальною задачею i може стати об’єктом окремого дослiдження.
Зауваження 2. Якщо пiд простором W розумiти простiр m i вважати функцiї α(ϕ, x),
P (ϕ, x), c(ϕ) перiодичними вiдносно ϕi, i = 1, 2, 3, . . . , з перiодом 2π , де (ϕ1, ϕ2, ϕ3, . . . ) =
= ϕ ∈ m, то напiвiнварiантний многовид системи рiвнянь (6) перетворюється у напiвiн-
варiантний нескiнченновимiрний тор.
Зауваження 3. Очевидно, що в означеннях 2 i 3 напiвiнварiантних многовидiв умо-
ву ϕ0(ϕ) = ϕ ∈ W можна замiнити умовою ϕk(ϕ) = ϕ ∈ W для довiльного k ∈ Z i
одночасно множину Z+
0 замiнити множиною {k, k + 1, k + 2, . . .}. Це досягається зсувом
нумерацiї n → n+ k ∀n ∈ Z.
1. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с
периодическими и условно периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1984. — 214 с.
2. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследования дихотомии линейных систем
дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. — Киев: Наук. думка, 1990. — 272 с.
3. Мартынюк Д. И., Кравец В. М., Жанбусинова Б. Х. Об инвариантном торе счетной системы диф-
ференциальных уравнений с запаздыванием // Асимптотические методы в задачах математической
физики. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989. — С. 77 – 87.
4. Мартинюк Д. I., Верьовкiна Г. В. Iнварiантнi множини злiченних систем рiзницевих рiвнянь // Вiсн.
Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. наук. — 1997. — Вип. 1. — С. 117 – 127.
5. Марчук Н. А. Про iснування iнварiантного тора зчисленної системи рiзницевих рiвнянь, що визна-
чена на нескiнченновимiрному торi i мiстить вiдхилення дискретного аргумента // Крайовi задачi для
диференцiальних рiвнянь. — 2002. — Вип. 7. — С. 160 – 170.
6. Ельназаров А. А. Деякi питання теорiї злiченних систем та асимптотичних методiв: Автореф. дис. . . .
канд. фiз.-мат. наук. — Київ, 1998. — 16 с.
7. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. — Киев: Ин-т
математики НАН Украины, 1993. — 308 с.
8. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Инвариантные торы линейных счетных систем дискретных урав-
нений, заданных на бесконечномерном торе // Укр. мат. журн. — 1998. — 50, № 2. — С. 244 – 251.
9. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Предельные теоремы в теории систем разностных уравнений.
— Киев, 1998. — 60 с. — (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 98. 3).
10. Теплiнський Ю. В., Марчук Н. А. Про гладкiсть iнварiантного тора зчисленної системи рiвнянь //
Допов. НАН України. — 2002. — № 2. — С. 33 – 37.
11. Теплiнський Ю. В., Марчук Н. А. Про Cρ-гладкiсть iнварiантного тора зчисленної системи рiзницевих
рiвнянь, визначеної на m-вимiрному торi // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 2. — С. 251 – 265.
12. Шварц Л. Анализ. — М.: Мир, 1972. — Т. 1. — 824 с.
Одержано 13.12.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
|