Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку
Для однiєї перiодичної системи з iмпульсним збуренням у резонансному випадку встановлено умови, за яких iзольоване положення рiвноваги вiдповiдної усередненої системи породжує при малих ε перiодичний розв’язок вихiдної системи....
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176953 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку / Т.В. Горбачук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 306-313. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176953 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1769532025-02-05T20:30:31Z Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку О существовании периодических решений одной системы дифференциальных уравнений с импульсным возмущением в резонансном случае On existence of periodic solutions for a system of impulsive differential equations in the resonance case Горбачук, Т.В. Для однiєї перiодичної системи з iмпульсним збуренням у резонансному випадку встановлено умови, за яких iзольоване положення рiвноваги вiдповiдної усередненої системи породжує при малих ε перiодичний розв’язок вихiдної системи. For a periodic system of impulsive differential equations we established conditions for which isolated balance position of corresponding averaged system, generates disconnected limiting cycle in the resonance case. 1999 Article Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку / Т.В. Горбачук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 306-313. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176953 517.91 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Для однiєї перiодичної системи з iмпульсним збуренням у резонансному випадку встановлено умови, за яких iзольоване положення рiвноваги вiдповiдної усередненої системи породжує при малих ε перiодичний розв’язок вихiдної системи. |
| format |
Article |
| author |
Горбачук, Т.В. |
| spellingShingle |
Горбачук, Т.В. Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку Нелінійні коливання |
| author_facet |
Горбачук, Т.В. |
| author_sort |
Горбачук, Т.В. |
| title |
Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку |
| title_short |
Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку |
| title_full |
Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку |
| title_fullStr |
Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку |
| title_full_unstemmed |
Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку |
| title_sort |
про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176953 |
| citation_txt |
Про існування періодичних розв'язків однієї системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням у резонансному випадку / Т.В. Горбачук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 306-313. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gorbačuktv proísnuvannâperíodičnihrozvâzkívodníêísistemidiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnimzburennâmurezonansnomuvipadku AT gorbačuktv osuŝestvovaniiperiodičeskihrešenijodnojsistemydifferencialʹnyhuravnenijsimpulʹsnymvozmuŝeniemvrezonansnomslučae AT gorbačuktv onexistenceofperiodicsolutionsforasystemofimpulsivedifferentialequationsintheresonancecase |
| first_indexed |
2025-11-25T07:41:30Z |
| last_indexed |
2025-11-25T07:41:30Z |
| _version_ |
1849747310327627776 |
| fulltext |
т. 2 •№ 3 • 1999
УДК 517.91
ПРО IСНУВАННЯ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ОДНIЄЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ
РIВНЯНЬ З IМПУЛЬСНИМ ЗБУРЕННЯМ
У РЕЗОНАНСНОМУ ВИПАДКУ
Т.В. Горбачук
Нац. ун-т iм. Т. Шевченка,
Україна, 252033, Київ, вул. Володимирська, 64
For a periodic system of impulsive differential equations we established conditions for which isolated
balance position of corresponding averaged system, generates disconnected limiting cycle in the resonance
case.
Для однiєї перiодичної системи з iмпульсним збуренням у резонансному випадку встановлено
умови, за яких iзольоване положення рiвноваги вiдповiдної усередненої системи породжує при
малих ε перiодичний розв’язок вихiдної системи.
Нехай система з одним ступенем вiльностi описується диференцiальними рiвняннями
dx
dt
= ωy + εf(νt, x, y)y,
dy
dt
= −ωx+ εg(νt, x, y),
(1)
коли y 6= 0, i пiддається iмпульсному збуренню кожен раз при проходженнi фазовою
точкою (x, y) положення y = 0. Будемо вважати, що в момент дiї миттєвого iмпульсу
змiна кiлькостi руху в системi задається виразом
∆y |y=0 = εI (x), (2)
де ε малий параметр.
Дослiдимо траєкторiї, що описуються точкою, яка рухається за законом (1), (2) за
умови, що функцiї f(νt, x, y), g(νt, x, y) перiодичнi по νt з перiодом 2π i ω ' ν. Для
розв’язання систем, в яких доводиться враховувати дiю миттєвих сил, як показано в [1
4], можна успiшно застосовувати асимптотичний метод Крилова Боголюбова. Зокрема,
в роботi [4] на системи вигляду
d2x
dt2
+ ω2x = εf
(
νt, x,
dx
dt
)
, коли x 6= x0,
∆
dx
dt
∣∣∣
x=x0
=
{
εI(ẋ−), коли x = x0, ẋ− ≥ 0;
0, коли x = x0, ẋ− < 0,
306 c© Т.В. Горбачук, 1999
у резонансному випадку перенесена одна з теорем М.М. Боголюбова по обґрунтуванню
методу усереднення. В роботi [5] за допомогою численно-аналiтичного методу А.М. Са-
мойленка встановлено умови iснування розривних граничних циклiв для автономних сис-
тем, подiбних до систем (1), (2).
В данiй роботi для 2π-перiодичної по νt системи (1), (2) у резонансному випадку дово-
диться, що iзольоване положення рiвноваги усередненої системи, яка вiдповiдає системi
(1), (2), породжує при малих ε перiодичний розв’язок вихiдної системи. Справедливе таке
твердження.
Теорема. Нехай функцiї f(νt, x, y)y, g(νt, x, y), I(x), що характеризують систему
dx
dt
= ωy + εf(νt, x, y)y,
dy
dt
= −ωx+ εg(νt, x, y), коли y 6= 0,
∆y |y=0 = εI(x),
визначенi, неперервнi, перiодичнi по νt з перiодом 2π i задовольняють умову Лiпшiца
вiдносно x, y для t, x, y з областi
−∞ < t <∞, α2 ≤ x2 +
y2
ω2
≤ β2,
де α, β деякi сталi, β > α > 0. Припустимо, що система
A(a, θ) = 0,
B(a, θ) + ∆a+
ν
2π
(
I(a)− I(−a)
)
= 0,
(3)
де
A(a, θ) =
1
2π
2π∫
0
[
f(θ − ϕ, a cosϕ, a sinϕ)a cosϕ+
+g(θ − ϕ, a cosϕ, a sinϕ)
]
sinϕdϕ,
B(a, θ) =
1
2π
2π∫
0
[
g(θ − ϕ, a cosϕ, a sinϕ) cosϕ−
−f(θ − ϕ, a cosϕ, a sinϕ)a sin2 ϕ
]
dϕ,
ω = ν + ε∆ ,
має iзольований розв’язок a = a0, θ = θ0, який знаходиться у смузi α ≤ a0 ≤ β разом з
деяким своїм ρ-околом, i такий, що iндекс вiдображення, визначеного лiвими частинами
рiвнянь (3), в точцi (a0, θ0) не дорiвнює нулю.
Тодi можна знайти таке ε0 > 0, що для всiх 0 ≤ ε < ε0 система (1), (2) має перiодич-
ний з перiодом 2π вiдносно νt розв’язок, для якого∣∣a(t)− a0
∣∣+
∣∣θ(t)− θ0
∣∣ ≤ η(ε),
де η(ε)→ 0, коли ε→ 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 307
Доведення. Нехай (1), (2) має перiодичний з перiодом 2π вiдносно νt розв’язок
x = x (t),
y = y (t),
який при t = t0 набуває значень x(t0) = x0, y(t0 − 0) = 0, x0 > 0, де t0 пiдлягає визначен-
ню. Моменти tk iмпульсного впливу такого розв’язку визначаються спiввiдношеннями
νtk = νt0 + 2kπ, νtk = νt0 + π + 2kπ, k = 0, 1, 2, . . . ,
а стрибки в цi моменти визначаються рiвнiстю
∆y = εI(x) =
{
εI+ при x > 0;
εI− при x < 0.
Внаслiдок перiодичностi розв’язку системи I+, I− сталi для всiх tk.
Таким чином, перiодичний розв’язок (1), (2) задовольняє систему
dx
dt
= ωy + εf(νt, x, y)y
при νt 6= νt0 + kπ,
dy
dt
= −ωx+ εg(νt, x, y)
∆y = εI+ при νt = νt0 + 2kπ,
∆y = εI− при νt = νt0 + π + 2kπ,
(4)
де k = 0, 1, 2, . . . .
З iншого боку, нехай система (4) має для деяких t0, I+, I− перiодичний з перiодом 2π
вiдносно νt розв’язок
x = x (t),
y = y (t).
Очевидно, що цей розв’язок є розв’язком вихiдної системи (1), (2), якщо
y(t0 − 0) = 0, y
(
t0 +
π
ν
− 0
)
= 0,
I+ = I(x+), I− = I(x−),
x+ = x(t0) > 0, x− = x
(
t0 +
π
ν
)
< 0.
(5)
Таким чином, вiдшукання перiодичних розв’язкiв системи (1), (2) зводиться до вiдшу-
кання перiодичних розв’язкiв системи (4) перiоду 2π вiдносно νt i пiдбору параметрiв t0,
I+, I− для цих розв’язкiв, щоб вони задовольняли спiввiдношення (5). Оскiльки ν ' ω,
можна подати ν у виглядi ν = ω + ε∆, де ∆ параметр, який треба визначити.
308 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
Систему (4) перепишемо так:
dx
dt
= νy + εf(νt, x, y)y − ε∆y
при ν(t− t0) 6= kπ,
dy
dt
= −νx+ εg(νt, x, y) + ε∆x
∆y |ν(t−t0)=2kπ = εI+
при k = 0, 1, 2, . . . .
∆y |ν(t−t0)=π+2kπ = εI−
(6)
Виконаємо в (6) замiну змiнних:
x = x̃+ εI+ψ+(ν(t− t0)) + εI−ψ−(ν(t− t0)),
де
ψ+(ν(t− t0)) =
1
π
(
1
2
−
∞∑
k=2
cos kν(t− t0)
k2 − 1
)
,
ψ−(ν(t− t0)) =
1
π
(
1
2
−
∞∑
k=2
(−1)k cos kν(t− t0)
k2 − 1
)
,
y = z + εI+φ+(ν(t− t0)) + εI−φ−(ν(t− t0)),
де
φ+(ν(t− t0)) =
1
π
∞∑
k=2
k sin kν(t− t0)
k2 − 1
,
φ−(ν(t− t0)) =
1
π
∞∑
k=2
(−1)kk sin kν(t− t0)
k2 − 1
.
Враховуючи те, що функцiї ψ+(ν(t− t0)), ψ−(ν(t− t0)), φ+(ν(t− t0)) та φ−(ν(t− t0)) нескiн-
ченно диференцiйовнi поза точками ν(t−t0) = kπ, а в точках ν(t−t0) = 2kπ, k = 0, 1, 2, . . .,
функцiя φ− неперервна, а φ+ зазнає розриву першого роду зi стрибком, що дорiвнює 1:
∆φ+ = φ+(2kπ + 0)− φ+(2kπ − 0) = 1 ,
та в точках ν(t− t0) = π+ 2kπ, k = 0, 1, 2, . . ., функцiя φ+ неперервна, а φ− зазнає розриву
першого роду зi стрибком, що дорiвнює 1:
∆φ− = φ−(2kπ + 0)− φ−(2kπ − 0) = 1 ,
пiсля замiни змiнних отримуємо систему, рiвносильну (6):
dx̃
dt
= νz + εf(z + εI+φ+ + εI−φ−)− ε∆(z + εI+φ+ + εI−φ−),
dz
dt
= −νx̃+ εg + ε∆(x̃+ εI+ψ+ + εI−ψ−) +
εν
π
(I+ − I−) cos νt .
(7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 309
Спiввiдношення (5) перепишемо так:
z(t0 − 0)− εI+
2
= 0, z
(
t0 +
π
ν
− 0
)
− εI−
2
= 0,
I+ = I (x+), I− = I (x−),
x+ = x̃(t0) +
5εI+
4π
+
3εI−
4π
> 0, x− = x̃
(
t0 +
π
ν
)
+
3εI+
4π
+
5εI−
4π
< 0.
(8)
Вiд рiвнянь (6) шляхом замiни
x̃ = a cosϕ
при ϕ = −νt+ θ
z = a sinϕ
перейдемо до системи рiвнянь
da
dt
= ε(fa sinϕ cosϕ+ g sinϕ) +
εν
π
(I+ − I−) cos ν(t− t0) sinϕ,
dθ
dt
=
ε
a
(g cos−fa sin2 ϕ) + ε∆ +
εν
πa
(I+ − I−) cos ν(t− t0) cosϕ.
(9)
Спiввiдношення (8) у змiнних a i θ з точнiстю до ε набирають вигляду
a0 sin(−νt0 + θ0) = 0,
I+ = I(x+), I− = I(x−),
x+ = a0 cos(−νt0 + θ0) +
ε
4π
(5I+ + 3I−) > 0,
x− = −a0 cos(−νt0 + θ0) +
ε
4π
(3I+ + 5I−) < 0,
(10)
де
a0 = a(t0), θ0 = θ(t0) .
За умовою теореми функцiї f(νt, x, y)y, g(νt, x, y) в деякiй областi
ν2α2 ≤ ν2x2 + y2 ≤ β2ν2, −∞ < t <∞,
неперервнi за всiма аргументами i задовольняють умову Лiпшiца по x, y, функцiя I(x)
задовольняє умову Лiпшiца по x в областi α ≤ x ≤ β. Тодi система (9) при малих ε є
T -системою
(
T =
2π
ν
, див. [6]
)
у смузi
0 < α ≤ a ≤ β (11)
i, згiдно з [6], розв’язок системи (9) є перiодичним з перiодом 2π вiдносно νt, якщо a0 i θ0
задовольняють рiвняння
εA(a0, θ0) +
εν
2π
(I+ − I−) sin(−νt0 + θ0) + ε2 · · · = 0,
ε
a0
B(a0, θ0) + ε∆ +
εν
2πa0
(I+ − I−) cos(−νt0 + θ0) + ε2 · · · = 0,
(12)
310 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
де
A(a, θ) =
1
2π
2π∫
0
[
f(θ − ϕ, a cosϕ, a sinϕ)a cosϕ+
+g(θ − ϕ, a cosϕ, a sinϕ)
]
sinϕdϕ,
B(a, θ) =
1
2π
2π∫
0
[
g(θ − ϕ, a cosϕ, a sinϕ) cosϕ−
−f(θ − ϕ, a cosϕ, a sinϕ)a sin2 ϕ
]
dϕ.
Крiм того, в силу [6] вказаний перiодичний розв’язок є границею послiдовностi:
an(t) = a0 + ε
t∫
t0
(
F1(t, an−1(t), θn−1(t), ε)− F1(t, an−1(t), θn−1(t), ε)
)
dt,
θn(t) = θ0 + ε
t∫
t0
(
F2(t, an−1(t), θn−1(t), ε)− F2(t, an−1(t), θn−1(t), ε)
)
dt,
де εF1(t, a, θ, ε) i εF2(t, a, θ, ε) правi частини вiдповiдно першого i другого рiвнянь систе-
ми (9),
F (t) =
1
T
T∫
0
F (t) dt, T =
2π
ν
, n = 1, 2, . . . .
Зокрема, при n = 1 iз (9) знаходимо, що з точнiстю до величин порядку ε2:
a(t) = a0 −
ε
ν
−νt+θ0∫
−νt0+θ0
(
f(θ0 − ϕ, a0 cosϕ, a0 sinϕ)a0 sinϕ cosϕ
)
dϕ−
− ε
ν
−νt+θ0∫
−νt0+θ0
(
g(θ0 − ϕ, a0 cosϕ, a0 sinϕ) sinϕ−A(a0, θ0)
)
dϕ+
+
ε
4π
(I+ − I−)
(
cos(2νt− θ0 − νt0)− cos(−νt0 + θ0)
)
,
θ(t) = θ0 −
ε
νa0
−νt+θ0∫
−νt0+θ0
(
g(θ0 − ϕ, a0 cosϕ, a0 sinϕ) cosϕ
)
dϕ+
+
ε
νa0
−νt+θ0∫
−νt0+θ0
(
f(θ0 − ϕ, a0 cosϕ, a0 sinϕ)a0 sin2 ϕ+B(a0, θ0)
)
dϕ+
+
ε
4πa0
(I+ − I−)
(
sin(2νt− θ0)− sin(νt0 − θ0)
)
.
(13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 311
Iз (10) випливає, що
sin(−νt0 + θ0) = 0, cos(−νt0 + θ0) = 1 . (14)
Пiдставляючи (14) в (10), отримуємо
I+ = I
(
a0 +
ε
4π
(5I+ + 3I−)
)
,
I− = I
(
−a0 +
ε
4π
(3I+ + 5I−)
)
.
(15)
Оскiльки I(y) задовольняє умову Лiпшiца, iз (15) видно, що з точнiстю до величин
порядку ε
I+ = I (a0), I− = I (−a0) . (16)
Пiдставляючи (14) i (16) в (12), одержуємо систему рiвнянь для визначення a0 i θ0:
A(a0, θ0) + ε · · · = 0 ,
B(a0, θ0) + ∆a0 +
ν
2π
(
I(a0)− I(−a0)
)
+ ε · · · = 0 .
(17)
Оскiльки лiвi частини рiвнянь (17) неперервнi вiдносно a0, θ0, ε, то система (17) при малих
ε має розв’язок, якщо тiльки система
A(a0, θ0) = 0 ,
B(a0, θ0) + ∆a0 +
ν
2π
(
I(a0)− I(−a0)
)
= 0
має розв’язок (a0, θ0), що знаходиться у смузi α ≤ a0 ≤ β разом з деяким своїм ρ-околом,
i iндекс вiдображення, що визначається лiвими частинами рiвнянь (3), в точцi (a0, θ0) вiд-
мiнний вiд нуля. Крiм того, розв’язок системи (17) неперервно по ε i з точнiстю до вели-
чин деякого порядку δ(ε), де δ(ε) → 0, коли ε → 0, визначається розв’язком системи (3).
Теорему доведено.
Зауваження. Згiдно з замiною, перiодичнi розв’язки системи (1), (2) з точнiстю до
величин порядку δ(ε) визначаються таким чином:
x(t) =
ε
π
(
I(a0)
(
1
2
−
∞∑
k=2
cos kν(t− t0)
k2 − 1
)
+
+I(−a0)
(
1
2
−
∞∑
k=2
(−1)k cos kν(t− t0)
k2 − 1
))
+
+a(t) cos(−νt+ θ(t)) ,
y(t) =
ε
π
(
I(a0)
( ∞∑
k=2
k sin kν(t− t0)
k2 − 1
)
+
+I(−a0)
( ∞∑
k=2
(−1)kk sin kν(t− t0)
k2 − 1
))
+
+a(t) sin(−νt+ θ(t)) ,
312 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
де a(t), θ(t) функцiї (13), a0, θ0 розв’язок системи (3),
νt0 = θ0 + 2πk .
1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колеба-
ний. М.: Наука, 1974. 502 с.
2. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наук. думка, 1971. 440 с.
3. Самойленко А.М. К вопросу обоснования метода усреднения для исследования колебаний в системах,
подверженных импульсному воздействию // Укр. мат. журн. 1967. 19, № 5. C. 96 106.
4. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. К вопросу обоснования метода усреднения для дифференциальных
уравнений второго порядка с импульсами // Там же. 1974. 24, № 3. C. 411 418.
5. Горбачук Т.В., Перестюк М.О. Про iснування розривних граничних циклiв однiєї системи диференцi-
альних рiвнянь з iмпульсним збуренням // Там же. 1997. 49, № 8. C. 1127 1134.
6. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических реше-
ний. Киев: Выща шк., 1976. 180 с.
7. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. Impulsive differential equations. Singapure: World Sci., 1995. 462 p.
Одержано 22.03.98
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 313
|