Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи
Побудовано асимптотику розв’язку задачi Кошi для сингулярно збуреної лiнiйної системи з виродженою матрицею при похiдних у випадку, коли гранична в’язка матриць регулярна i має кратний „скiнченний” i простий „нескiнченний” елементарнi дiльники. The asymptotic solution of the Cauchy problem for the s...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 1999 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176954 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи / О.I. Кочерга // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 314-324. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176954 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кочерга, О.I. 2021-02-09T09:13:07Z 2021-02-09T09:13:07Z 1999 Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи / О.I. Кочерга // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 314-324. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176954 517.928 Побудовано асимптотику розв’язку задачi Кошi для сингулярно збуреної лiнiйної системи з виродженою матрицею при похiдних у випадку, коли гранична в’язка матриць регулярна i має кратний „скiнченний” i простий „нескiнченний” елементарнi дiльники. The asymptotic solution of the Cauchy problem for the singularly perturbed linear system with degenerate matrix at the derivatives in case when the limit matrix bundle is regular and has multiple „completed” and simple „endless” elementary divisor is constructed. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи Решение задачи Коши для вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы The solution of a Cauchy problem for a degenerate singularly perturbed linear system Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи |
| spellingShingle |
Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи Кочерга, О.I. |
| title_short |
Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи |
| title_full |
Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи |
| title_fullStr |
Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи |
| title_full_unstemmed |
Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи |
| title_sort |
розв'язання задачі коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи |
| author |
Кочерга, О.I. |
| author_facet |
Кочерга, О.I. |
| publishDate |
1999 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Решение задачи Коши для вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы The solution of a Cauchy problem for a degenerate singularly perturbed linear system |
| description |
Побудовано асимптотику розв’язку задачi Кошi для сингулярно збуреної лiнiйної системи з виродженою матрицею при похiдних у випадку, коли гранична в’язка матриць регулярна i має кратний „скiнченний” i простий „нескiнченний” елементарнi дiльники.
The asymptotic solution of the Cauchy problem for the singularly perturbed linear system with degenerate matrix at the derivatives in case when the limit matrix bundle is regular and has multiple „completed” and simple „endless” elementary divisor is constructed.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176954 |
| citation_txt |
Розв'язання задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи / О.I. Кочерга // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 314-324. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kočergaoi rozvâzannâzadačíkošídlâvirodženoísingulârnozburenoílíníinoísistemi AT kočergaoi rešeniezadačikošidlâvyroždennoisingulârnovozmuŝennoilineinoisistemy AT kočergaoi thesolutionofacauchyproblemforadegeneratesingularlyperturbedlinearsystem |
| first_indexed |
2025-11-26T05:21:08Z |
| last_indexed |
2025-11-26T05:21:08Z |
| _version_ |
1850613300898824192 |
| fulltext |
т. 2 •№ 3 • 1999
УДК 517.928
РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ
СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ
О.I. Кочерга
Нiжин. пед. ун-т,
Україна, 251200, Чернiгiвська обл., вул. Крапив’янського, 2
The asymptotic solution of the Cauchy problem for the singularly perturbed linear system with degenerate
matrix at the derivatives in case when the limit matrix bundle is regular and has multiple „completed” and
simple „endless” elementary divisor is constructed.
Побудовано асимптотику розв’язку задачi Кошi для сингулярно збуреної лiнiйної системи з
виродженою матрицею при похiдних у випадку, коли гранична в’язка матриць регулярна i має
кратний „скiнченний” i простий „нескiнченний” елементарнi дiльники.
Розглянемо задачу Кошi для лiнiйної системи диференцiальних рiвнянь вигляду
εhB(t)
dx
dt
= A (t, ε)x+ f (t, ε) , (1)
x (0, ε) = x0 , (2)
де t ∈ [0;T ], B(t), A(t, ε) (n × n)-вимiрнi матрицi, x(t, ε) i f(t, ε) n-вимiрнi вектори,
ε > 0 малий дiйсний параметр, h ∈ N , detB(t) ≡ 0 на [0, T ].
Питання про структуру загального розв’язку системи (1) та побудову його асим-
птотики у виглядi розвинень за степенями малого параметра дослiджувалось у роботах
[1 6]. Використовуючи результати цих робiт, у данiй статтi пропонується метод побудо-
ви асимптотики розв’язку задачi Кошi для системи (1) у випадку кратного спектра голов-
ного оператора.
Нехай виконуються такi умови:
1) матриця A(t, ε) i вектор f(t, ε) на даному вiдрiзку [0, T ] допускають рiвномiрнi асим-
птотичнi розвинення за степенями малого параметра ε:
A(t, ε) ∼
∑
k≥0
εkAk(t); f(t, ε) ∼
∑
k≥0
εkfk(t);
2) матрична в’язка L(t, λ) = A0(t) − λB(t) регулярна на [0, T ] i має один „скiнченний”
елементарний дiльник (λ−λ0)p кратностi p та один „нескiнченний” елементарний дiльник
кратностi q = n− p;
3) матрицi Ak(t), k = 0, 1, . . . , B(t) та вектор-функцiї fk(t), k = 0, 1, . . . , нескiнченно
диференцiйовнi на [0;T ].
314 c© О.I. Кочерга, 1999
З умови 2 випливає [1], що матриця A0(t) має B-жорданiв ланцюжок векторiв довжи-
ни p, що складається з власного вектора ϕ1(t) = ϕ(t), який вiдповiдає власному значенню
λ0(t), i p− 1 B-приєднаних векторiв ϕ2(t), . . . , ϕp(t), якi задовольняють спiввiдношення
(A0 − λ0B)ϕ = 0, (A0 − λ0B)ϕi = Bϕi−1 , i = 2, p , (3)
причому рiвняння
(A0 − λ0B) y = Bϕp (4)
несумiсне.
Приєднанi вектори з цих рiвнянь можна визначити за формулою
ϕi = (HB)i−1ϕ , i = 2, p , (5)
де H(t) напiвобернена матриця [1] до матрицi (A0 − λ0B).
В свою чергу, матриця B(t) має A0-жорданiв ланцюжок векторiв довжини q, що скла-
дається з власного вектора ϕ̃1(t) = ϕ̃(t), який вiдповiдає нульовому власному значенню, i
q − 1 A0-приєднаних векторiв ϕ̃2(t), . . . , ϕ̃q(t), якi задовольняють спiввiдношення
Bϕ̃ = 0 , Bϕ̃j = A0ϕ̃j−1 , j = 2, q , (6)
причому рiвняння
Bz = A0ϕ̃q (7)
несумiсне.
Приєднанi вектори з цих рiвнянь визначимо за формулою
ϕ̃j = (GA0)j−1ϕ̃ , j = 1, q , (8)
де G(t) напiвобернена матриця [1] до матрицi B(t).
Позначимо через ψ(t) нуль матрицi (A0 − λ0B)∗, а через ψ̃(t) нуль матрицi B∗(t). Iз
сумiсностi рiвнянь (3) i (6) i спiввiдношень (5) i (8) випливає
(B(HB)i−1ϕ,ψ) = 0 , i = 1, p− 1 ,
(A0(GA0)j−1ϕ̃, ψ̃) = 0 , j = 1, q − 1 ,
(9)
а з несумiсностi рiвнянь (4) i (7) i з того, що вектори ψ(t) i ψ̃(t) визначаються з точнiстю
до довiльного скалярного множника, маємо
(B(HB)p−1ϕ,ψ) = 1 ,
(A0(GA0)q−1ϕ̃, ψ̃) = 1 ,
(10)
де символом (x, y) позначено скалярний добуток векторiв x, y у n-вимiрному унiтарному
просторi Un.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 315
Припустимо, що має мiсце „нерезонанс”, тобто серед власних значень даної в’язки не-
має нульового. Згiдно iз структурою загального розв’язку системи (1), встановленого в
[1], розв’язок задачi (1), (2) шукатимемо у виглядi
x(t, ε) =
p∑
i=1
ui(t, ε) exp
ε−h t∫
0
(λ0 + λi(t, ε))dt
+
+
q−1∑
j=1
vj(t, ε) exp
ε−h t∫
0
dt
ξj(t, ε)
+ w(t, ε), (11)
i = 1, p, j = 1, q − 1,
де ui(t, ε), vj(t, ε), w(t, ε) n-вимiрнi вектор-функцiї, λi(t, ε), ξj(t, ε) скалярнi функцiї,
якi зображаються формальними розвиненнями
ui(t, ε) = µ−(p−1)
∞∑
k=0
µku
(i)
k (t) , i = 1, p ,
λi(t, ε) =
∞∑
k=1
µkλ
(i)
k (t) ,
vj(t, ε) = ν−(q−2)
∞∑
k=0
νkv
(j)
k (t) , j = 1, q ,
ξj(t, ε) =
∞∑
k=1
νkξ
(j)
k (t) ,
w(t, ε) =
∞∑
k=0
εkwk(t) ,
(12)
в яких µ =
p√
ε , ν = q−1√ ε .
Пiдставивши (11) в (1) i врахувавши (12), прирiвняємо вирази при однакових експо-
нентах. Врахувавши початкову умову (2), матимемо
µhpB
∞∑
k=0
µk
(
u
(i)
k (t)
)′
+B
(
λ0 +
∞∑
k=1
µkλ
(i)
k (t)
) ∞∑
k=0
µku
(i)
k (t) =
=
∞∑
k=0
µkpAk(t)
∞∑
k=0
µku
(i)
k (t) , i = 1, p , (13)
νh(q−1)B
∞∑
k=1
νkξ
(j)
k (t)
∞∑
k=0
νk
(
v
(j)
k (t)
)′
+B
∞∑
k=0
νkv
(j)
k (t) =
=
∞∑
k=0
νk(q−1)Ak(t)
∞∑
k=1
νkξ
(j)
k (t)
∞∑
k=0
νkv
(j)
k (t) , j = 1, q − 1 , (14)
316 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
εhB
∞∑
k=0
εk (wk(t))
′ =
∞∑
k=0
εkAk(t)
∞∑
k=0
εkwk(t) +
∞∑
k=0
εkfk(t) , (15)
µ−(p−1)
p∑
i=1
∞∑
k=0
µku
(i)
k (0) + ν−(q−2)
q−1∑
j=1
∞∑
k=0
νkv
(j)
k (0)+
+
∞∑
k=0
εkwk(0) = x0 . (16)
Покажемо, що з цiєї системи рiвнянь можна послiдовно визначити будь-якi коефiцi-
єнти формальних розвинень (12).
Розглянемо кожне з рiвнянь окремо. Прирiвнявши коефiцiєнти при однакових степе-
нях µ в рiвняннi (13), одержимо
(A0 − λ0B)u(i)
k = b
(i)
k , k = 0, 1, . . . ; i = 1, p , (17)
де
b
(i)
k (t) =
k∑
s=1
λ(i)
s Bu
(i)
k−s + g
(i)
k , k = 0, 1, . . . ; i = 1, p , (18)
g
(i)
k (t) = B
(
u
(i)
k−hp
)′
−
[k/p]∑
s=1
Asu
(i)
k−ps , k = p, p+ 1, . . . ; i = 1, p (19)
(символом [a] позначено цiлу частину числа a).
Рiвняння (17) розв’язнi вiдносно векторiв u(i)
k (t) тодi i тiльки тодi, коли виконується
умова(
b
(i)
k , ψ
)
= 0 , k = 0, 1, . . . ; i = 1, p . (20)
При виконаннi цiєї умови вектори u(i)
k (t) знаходимо за формулою
u
(i)
k (t) = H(t) b(i)k (t) + C
(i)
k ϕ , k = 0, 1, . . . ; i = 1, p , (21)
де C(i)
k сталi скалярнi множники, якi пiдлягають визначенню.
Пiдставивши (21) в (18), як i в [1], дiстанемо формули для векторiв b(i)k i u(i)
k , якi можна
довести методом математичної iндукцiї:
b
(i)
k (t) =
k−1∑
s=0
k−s∑
j=1
C(i)
s P k−sj (λ(i))B(HB)j−1ϕ+
+
k−p∑
s=0
k−p−s∑
j=0
P k−p−js (λ(i)) (BH)sg(i)
p+j , (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 317
u
(i)
k (t) =
k∑
s=0
k−s∑
j=0
C(i)
s P k−sj (λ(i)) (HB)jϕ+
+
k−p∑
s=0
k−p−s∑
j=0
P k−p−js (λ(i))H(BH)sg(i)
p+j , (23)
де g(i)
k (t) визначаються за формулою (19), символом P sj (λ(i)) позначено вираз
P sj (λ(i)) =
∑
k1+···+kj=s
λ
(i)
k1
λ
(i)
k2
. . . λ
(i)
kj
.
Тут пiдсумовування ведеться за всiма можливими наборами j натуральних iндексiв
k1, k2, . . . , kj , сума яких дорiвнює s. Крiм того, за означенням покладемо
P 0
0 (λ(i)) = 1, P k0 (λ(i)) = 0 при k 6= 0 .
Аналiзуючи формулу (22) i беручи до уваги (9) i (10), приходимо до висновку, що при
k < p умова (20) виконується. При k = p, згiдно з (9), (10) i (19), ця умова запишеться у
виглядi
C
(i)
0
[(
λ
(i)
1
)p
+ (K1ϕ,ψ)
]
= 0 , (24)
де
Ks = δs,hB
d
dt
−As , s = 1, 2, . . . .
Припустимо, що
(K1ϕ,ψ) = δh,1(Bϕ′, ψ)− (A1ϕ,ψ) 6= 0 ∀ t ∈ [0;T ] . (25)
Тодi з рiвняння (20) знайдемо функцiї λ(j)
1 (t):
λ
(j)
1 (t) =
p√
(K1ϕ,ψ) exp
(
i
arg (K1ϕ,ψ) + 2π(j − 1)
p
)
, j = 1, p . (26)
При k = p+ 1 умову (20) записуємо у виглядi
C
(i)
0 P p+1
p
(
λ(i)
)
+ C
(i)
1
(
λ
(i)
1
)p
+ C
(i)
0 λ
(i)
1 ((K1HB +BHK1)ϕ,ψ) +
+C(i)
1 (K1ϕ,ψ) = 0 ,
або, враховуючи (21), маємо
pλ
(i)
2
(
λ
(i)
1
)p−1
+ λ
(i)
1 ((K1HB +BHK1)ϕ,ψ) = 0 .
Звiдси визначаються функцiї λ(i)
2 (t):
λ
(i)
2 (t) = −((K1HB +BHK1)ϕ,ψ)
p(λ(i)
1 )p−2
, i = 1, p .
318 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
Використовуючи умову (20), аналогiчно можна знайти будь-яку функцiю λ
(i)
k (t), k =
= 3, 4, . . . ; i = 1, p.
Таким чином, використовуючи умову (20), можна знайти будь-якi коефiцiєнти роз-
винення для функцiй λi(t, ε), причому цi коефiцiєнти не залежать вiд множникiв C
(i)
k ,
k = 0, 1, . . . ; i = 1, p. Одночасно за формулами (23) визначаються й коефiцiєнти вiд-
повiдних розвинень для вектор-функцiй ui(t, ε).
Розглянемо рiвняння (14) i прирiвняємо коефiцiєнти при однакових степенях ν:
Bv
(j)
k (t) = a
(j)
k (t) , j = 1, q − 1 , (27)
де
a
(j)
k (t) =
[
k−1
q−1
]∑
s=0
k−s(q−1)−1∑
m=0
As(t)v(j)
m (t)ξ(j)
k−m−s(q−1)(t)−
−
k−h(q−1)∑
s=1
B(t)ξ(j)
s (t)
(
vk−s−h(q−1)(t)
)′
.
Рiвняння (27) розв’язнi вiдносно векторiв v(j)
k (t), j = 1, q − 1, тодi i тiльки тодi, коли
вектори a(j)
k (t), j = 1, q − 1, ортогональнi до вектора ψ̃:(
a
(j)
k (t), ψ̃
)
= 0 , k = 0, 1, . . . ; i = 1, q − 1 . (28)
При виконаннi цiєї умови вектори v(j)
k (t) знаходимо за формулою
v
(j)
k (t) = G(t)a(j)
k (t) + C̃
(j)
k ϕ̃ , j = 1, q − 1 , (29)
де C̃(j)
k , k = 0, 1, . . .; j = 1, q − 1, сталi скалярнi множники, якi пiдлягають визначенню,
a
(j)
k (t) =
k−1∑
s=0
k−s∑
i=0
C̃(j)
s P k−si (ξ(j))A0(t)(GA0)i−1ϕ̃+
+
k−q∑
s=0
k−s−q∑
i=0
P k−s−qi (ξ(j))(GA0)ig(j)
q+s(t) ,
g
(j)
k (t) =
[
k−1
q−1
]∑
s=1
k−s(q−1)−1∑
m=0
As(t)v(j)
m (t)ξ(j)
k−m−s(q−1)(t)−
−
k−h(q−1)∑
s=1
B(t)ξ(j)
s (t)
(
vk−s−h(q−1)(t)
)′
.
(30)
Враховуючи формули (30), а також (10), (12), приходимо до висновку, що при k < q − 1
умова (28) виконується. Припустимо, що(
K1ϕ̃, ψ̃
)
= δh,1
(
Bϕ̃′, ψ̃
)
−
(
A1ϕ̃, ψ̃
)
6= 0 ∀ t ∈ [0;T ] . (31)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 319
Тодi при k = q − 1, згiдно з (9), (10), (28) i (30), знайдемо функцiї ξ(j)
1 (t):
ξ
(j)
1 (t) =
q−1
√∣∣∣ (K1ϕ̃, ψ̃)
∣∣∣ exp
(
i
arg (K1ϕ̃, ψ̃) + 2π(j − 1)
q − 1
)
, j = 1, q − 1 . (32)
При k = q з умови (28) визначаються функцiї ξ(j)
2 (t):
ξ
(j)
2 (t) =
g̃
(j)
q+1(t)
q(ξ(j)
1 )q−1 + (A1ϕ̃, ψ̃)
, j = 1, q − 1 ,
де
g̃
(j)
q+1 =
((
ξ
(j)
1
)2
GA0K1ϕ̃, ψ̃
)
+
(
ξ
(j)
1 Bδ1,h
d
dt
GA0ξ
(j)
1 ϕ̃, ψ̃
)
−
−
((
ξ
(j)
1
)2
A1GA0ϕ̃, ψ̃
)
.
Використовуючи умову (28), аналогiчно можна знайти будь-яку функцiю ξ
(j)
k (t), k =
= 3, 4, . . . ; j = 1, q − 1.
Таким чином, використовуючи умову (28), можна знайти будь-якi коефiцiєнти роз-
винення для функцiй ξi(t, ε), причому цi коефiцiєнти не залежать вiд множникiв C̃
(j)
k ,
k = 0, 1, . . . ; j = 1, q − 1. Одночасно за формулами (29) визначаються й коефiцiєнти
вiдповiдних розвинень для вектор-функцiй vi(t, ε).
Прирiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях ε в рiвняннi (15), маємо
A0(t)wk(t) = dk(t) , k = 0, 1, . . . ,
де
dk(t) = B(t) (wk−h(t))′ −
k∑
s=1
As(t)wk−s(t)− fk(t) . (33)
Оскiльки за припущенням detA0(t) 6= 0 ∀ t ∈ [0;T ], то звiдси знаходимо
wk(t) = A−1
0 (t) dk(t) , k = 0, 1, . . . . (34)
Розглянемо тепер рiвняння (16). Покладемо p = q − 1. Тодi, прирiвнюючи в (16) кое-
фiцiєнти при однакових степенях µ, дiстаємо
p∑
i=1
u
(i)
k (0) +
q−1∑
j=1
v
(j)
k (0) + w k−(p−1)
p
(0) = δk,p−1x0 , k = 0, 1, . . . , (35)
де за означенням покладаємо vm/p = 0, якщо m не дiлиться на p. Пiдставляючи в (35)
формули (23), (29) i беручи до уваги лiнiйну незалежнiсть векторiв (HB)iϕ, i = 0, p− 1,
(GA0)jϕ̃, j = 0, q − 1, при k < p− 1 маємо
k−j∑
s=0
p∑
i=1
C(i)
s P k−sj (λ(i))(HB)jϕ = 0 ,
k−j∑
s=0
p∑
i=1
C̃(i)
s P k−sj (ξ(i))(GA0)jϕ̃ = 0 , j = 0, p− 2 .
(36)
320 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
При k = p− 1 рiвняння (35) запишеться у виглядi
p∑
i=1
p−1∑
s=0
p−1−s∑
k=0
C(i)
s P p−1−s
k (λ(i))(HB)kϕ+
+
p∑
i=1
p−1∑
s=0
p−1−s∑
k=0
C̃(i)
s P p−1−s
k (ξ(i))(GA0)kϕ̃ = x0 − w0(0) . (37)
Розкладемо за базисом (HB)iϕ, i = 0, p− 1, (GA0)jϕ̃, j = 0, q − 1, вектор x0 − w0(0):
x0 − w0(0) =
p∑
i=1
(
B(0) (x0 − w0(0)) , ψp+1−i
)
ϕi+
+
q∑
i=1
(
A0(0) (x0 − w0(0)) , ψ̃q+1−i
)
ϕ̃i .
Тодi рiвнiсть (37) набере вiгляду
p∑
i=1
p−1∑
s=0
p−1−s∑
k=0
C(i)
s P p−1−s
k (λ(i))(HB)kϕ+
+
p∑
i=1
p−1∑
s=0
p−1−s∑
k=0
C̃(i)
s P p−1−s
k (ξ(i))(GA0)kϕ̃ =
=
p∑
i=1
(
B(0) (x0 − w0(0)) , ψp+1−i
)
(HB)i−1ϕ+
+
q∑
i=1
(
A0(0) (x0 − w0(0)) , ψ̃q+1−i
)
(GA0)i−1ϕ̃ ,
звiдки завдяки лiнiйнiй незалежностi базисних векторiв матимемо
p∑
i=1
p−1−k∑
s=0
C(i)
s P p−1−s
k (λ(i)) =
(
B(0) (x0 − w0(0)) , ψp−k
)
, k = 0, p− 1 ,
(38)
p∑
i=1
p−1−k∑
s=0
C̃(i)
s P p−1−s
k (ξ(i)) =
(
A0(0) (x0 − w0(0)) , ψq−k
)
, k = 0, q − 2 ;(
A0(0) (x0 − w0(0)) , ψ̃
)
= 0 .
Взявши останнi з рiвнянь (36), (38), дiстанемо двi системи рiвнянь:
перша для визначення сталих C(i)
0 , i = 1, p :
p∑
i=1
C
(i)
0
[
λ
(i)
1
]k
= 0 , k = 0, p− 2 ,
p∑
i=1
C
(i)
0
[
λ
(i)
1
]p−1
=
(
B(0) (x0 − w0(0)) , ψ1
)
;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 321
друга для визначення сталих C̃(j)
0 , j = 1, q − 1 :
p∑
j=1
C̃
(j)
0
[
ξ
(j)
1
]k
= 0 , k = 0, p− 2 , (39)
p∑
j=1
C̃
(j)
0
[
ξ
(j)
1
]p−1
=
(
A0(0) (x0 − w0(0)) , ψ̃2
)
. (40)
Позначивши
C0 = col
(
C
(1)
0 , C
(2)
0 , . . . , C
(p)
0
)
,
C̃0 = col
(
C̃
(1)
0 , C̃
(2)
0 , . . . , C̃
(q−1)
0
)
,
m0 = col
(
0, . . . , 0, B(0)(x0 − w0(0)), ψ1
)
,
m̃0 = col
(
0, . . . , 0, (A0(x0 − w0(0)), ψ̃2
)
,
W =
1 1 . . . 1
λ
(1)
1 λ
(2)
1 . . . λ
(p)
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[
λ
(1)
1
]p−1 [
λ
(2)
1
]p−1
. . .
[
λ
(p)
1
]p−1
,
W̃ =
1 1 . . . 1
ξ
(1)
1 ξ
(2)
1 . . . ξ
(q−1)
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[
ξ
(1)
1
]q−2 [
ξ
(2)
1
]q−2
. . .
[
ξ
(q−1)
1
]q−2
,
запишемо цi системи у виглядi
WC0 = m0 , W̃ C̃0 = m̃0 .
Оскiльки визначники цих систем є визначниками Вандермонда [7], то, згiдно з (26),
(32), при виконаннi умов (25), (31) detW 6= 0, det W̃ 6= 0. Отже,
C0 = W−1m0 , C̃0 = W̃−1m̃0 .
Що стосується рiвностi (40), то вона визначає умову, яку повинен задовольняти почат-
ковий вектор x0 для iснування розв’язку даної задачi Кошi. З урахуванням (33), (34) цю
умову можна записати у виглядi(
A0(0)x0 + f0(0), ψ̃
)
= 0 .
322 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
Прирiвнюючи в формулi (35) вирази при µr, отримуємо в загальному виглядi формули
для визначення коефiцiєнтiв C(i)
r−p+1, C̃(j)
r−q+2:
C
(i)
r−p+1 = W−1mr−p+1 , i = 1, p ,
C̃
(j)
r−q+2 = W̃−1m̃r−q+2 , j = 1, q − 1 ,
де
mr−p+1 = col
((
B(0)pr−p+1, ψp
)
,
(
B(0)pr−p+2, ψp−1
)
−
−
r−p∑
s=0
p∑
i=1
C(i)
s P r−p+2−s
1 (λ(i)), . . . ,
(
B(0)pr, ψ1
)
−
−
r−p∑
s=0
p∑
i=1
C(i)
s P r−sp−1 (λ(i))
)
,
m̃r−q+2 = col
((
A0(0)pr−q+2, ψ̃q
)
,
(
A0(0)pr−q+3, ψ̃q−1
)
−
−
r−q+1∑
s=0
q−1∑
j=1
C̃(j)
s P r−q−s+3
1 (ξ(j)), . . . ,
(
A0(0)pr, ψ̃2
)
−
−
r−q+1∑
s=0
q−1∑
j=1
C̃(j)
s P r−sq−2 (ξ(j))
)
,
p(i)
r (t) = −
p∑
i=1
r−p∑
j=0
r−p−j∑
s=0
P r−p−js (λ(i))H(HB)sg(i)
p+j−
−
q−1∑
i=1
r−q∑
j=0
r−q−j∑
s=0
P r−q−js (ξ(i))G(GA0)sg(i)
q+j ,
g
(i)
m (t) обчислюється за формулою (30). А з рiвностi
q−1∑
i=1
r−q+1∑
s=0
C̃(i)
s P r−sq−1 (ξ(i)) =
(
A0(0)p(i)
r , ψ̃
)
одержимо умову, яку повинен задовольняти початковий вектор x0:(
Ak(0)x0 + fk(0), ψ̃
)
= 0 , k = 0, 1, . . . . (41)
Пiдсумовуючи наведенi мiркування, одержуємо таку теорему.
Теорема. Нехай виконуються умови 1 3 i серед власних значень в’язки L(t, λ) немає
нульового. Тодi якщо виконуються умови (26), (32) i вектор x0 задовольняє спiввiдно-
шення (41), то задача Кошi (1), (2) має на даному вiдрiзку [0;T ] формальний розв’язок
вигляду (11), де ui(t, ε), i = 1, p, vj(t, ε), j = 1, q − 1, w(t, ε) n-вимiрнi вектор-функцiї,
λi(t, ε), i = 1, p, ξj(t, ε), j = 1, q − 1, скалярнi функцiї, якi зображаються формальни-
ми розвиненнями (12), в яких µ =
p√
ε , ν = q−1√ ε .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 323
Зазначимо, що умова (41), яку повинен задовольняти початковий вектор x0, цiлком
узгоджується з теоремою про iснування i єдинiсть розв’язку задачi Кошi для виродженої
лiнiйної системи, доведеною в [4].
Методами робiт [1, 8] можна показати, що формальний розв’язок задачi (1), (2), який
будується за розробленим алгоритмом, є асимптотичним розвиненням точного розв’язку
даної задачi.
1. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с вырождениями. Киев: Выща шк., 1991. 207 с.
2. Жукова Г.С. Асимптотика решений одного класса линейных систем с вырожденной матрицей при про-
изводной. Киев, 1990. 24 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 90.36).
3. Яковець В.П. Асимптотичне iнтегрування сингулярно збурених систем диференцiальних рiвнянь з ви-
родженням: Автореф. дис. ... д-ра фiз.-мат. наук. Київ, 1993. 32 с.
4. Самойленко А.М., Яковец В.П. О приводимости вырожденной линейной системы к центральной ка-
нонической форме // Докл. НАН Украины. 1993. № 4. C. 10 15.
5. Яковець В.П. Деякi властивостi вироджених лiнiйних систем // Укр. мат. журн. 1997. 49, № 9.
C. 1278 1296.
6. Старун И.И. Система с вырожденной матрицей при производной // Там же. 1990. 42, № 11.
C. 1535 1537.
7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.
8. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Киев: Выща шк., 1989. 287 с.
Одержано 10.10.98
324 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
|