Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей
Iдею чисельно-аналiтичного методу А. М. Самойленка застосовано до дослiдження нелiнiйної крайової задачi з необмеженою зчисленною множиною крайових моментiв на додатнiй пiвосi у випадку, коли диференцiальне рiвняння i крайовi умови визначено у банаховому просторi обмежених числових послiдовностей....
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2003 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176986 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей / Ю.В. Теплінський, В.А. Недокіс // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 4. — С. 530-549. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176986 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. 2021-02-09T18:03:18Z 2021-02-09T18:03:18Z 2003 Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей / Ю.В. Теплінський, В.А. Недокіс // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 4. — С. 530-549. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176986 517. 948 Iдею чисельно-аналiтичного методу А. М. Самойленка застосовано до дослiдження нелiнiйної крайової задачi з необмеженою зчисленною множиною крайових моментiв на додатнiй пiвосi у випадку, коли диференцiальне рiвняння i крайовi умови визначено у банаховому просторi обмежених числових послiдовностей. The numerical-analytical method of A. M. Samoilenko is used to study a nonlinear boundary-value problem with an unbounded countable set of boundary moments on the positive half-line in the case where the differential equation and the boundary conditions are given in the Banach space of bounded number sequences. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей On a nonlinear boundary-value problem on the half-line for ordinary differential equations in the space of bounded number sequences with a countable set of boundary moments О счетноточечной нелинейной краевой задаче на полуоси для обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных числовых последовательностей Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей |
| spellingShingle |
Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. |
| title_short |
Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей |
| title_full |
Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей |
| title_fullStr |
Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей |
| title_full_unstemmed |
Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей |
| title_sort |
про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей |
| author |
Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. |
| author_facet |
Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. |
| publishDate |
2003 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On a nonlinear boundary-value problem on the half-line for ordinary differential equations in the space of bounded number sequences with a countable set of boundary moments О счетноточечной нелинейной краевой задаче на полуоси для обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных числовых последовательностей |
| description |
Iдею чисельно-аналiтичного методу А. М. Самойленка застосовано до дослiдження нелiнiйної
крайової задачi з необмеженою зчисленною множиною крайових моментiв на додатнiй пiвосi у
випадку, коли диференцiальне рiвняння i крайовi умови визначено у банаховому просторi обмежених числових послiдовностей.
The numerical-analytical method of A. M. Samoilenko is used to study a nonlinear boundary-value problem
with an unbounded countable set of boundary moments on the positive half-line in the case where the
differential equation and the boundary conditions are given in the Banach space of bounded number
sequences.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176986 |
| citation_txt |
Про зліченноточкову нелінійну крайову задачу на півосі для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей / Ю.В. Теплінський, В.А. Недокіс // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 4. — С. 530-549. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT teplínsʹkiiûv prozlíčennotočkovunelíníinukraiovuzadačunapívosídlâzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹuprostoríobmeženihčislovihposlídovnostei AT nedokísva prozlíčennotočkovunelíníinukraiovuzadačunapívosídlâzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹuprostoríobmeženihčislovihposlídovnostei AT teplínsʹkiiûv onanonlinearboundaryvalueproblemonthehalflineforordinarydifferentialequationsinthespaceofboundednumbersequenceswithacountablesetofboundarymoments AT nedokísva onanonlinearboundaryvalueproblemonthehalflineforordinarydifferentialequationsinthespaceofboundednumbersequenceswithacountablesetofboundarymoments AT teplínsʹkiiûv osčetnotočečnoinelineinoikraevoizadačenapoluosidlâobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniivprostranstveograničennyhčislovyhposledovatelʹnostei AT nedokísva osčetnotočečnoinelineinoikraevoizadačenapoluosidlâobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniivprostranstveograničennyhčislovyhposledovatelʹnostei |
| first_indexed |
2025-11-25T21:09:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:09:39Z |
| _version_ |
1850551612412526592 |
| fulltext |
УДК 517. 948
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI
ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ У ПРОСТОРI
ОБМЕЖЕНИХ ЧИСЛОВИХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ
Ю. В. Теплiнський, В. А. Недокiс
Кам’янець-Подiл. пед. ун-т
Україна, 32300, Кам’янець-Подiльський
Хмельницької обл., вул. Огiєнка, 61
e-mail: teplin@kp.rel.com.ua
The numerical-analytical method of A. M. Samoilenko is used to study a nonlinear boundary-value problem
with an unbounded countable set of boundary moments on the positive half-line in the case where the
differential equation and the boundary conditions are given in the Banach space of bounded number
sequences.
Iдею чисельно-аналiтичного методу А. М. Самойленка застосовано до дослiдження нелiнiйної
крайової задачi з необмеженою зчисленною множиною крайових моментiв на додатнiй пiвосi у
випадку, коли диференцiальне рiвняння i крайовi умови визначено у банаховому просторi обме-
жених числових послiдовностей.
Вiдомо, що чисельно-аналiтичний метод А. М. Самойленка протягом останнiх рокiв плi-
дно застосовувався до дослiдження рiзного виду крайових задач. Вiдмiтимо тут лише вiдо-
мi монографiї А. М. Самойленка та М. Й. Ронто [1 – 3], в яких викладено загальну теорiю
цього методу та вказано на можливостi його застосування. Досить повну бiблiографiю,
що стосується iсторiї розвитку цього методу, можна вiдшукати у серiї статей М. Й. Ронто,
А. М. Самойленка та С. I. Трофимчука в „Українському математичному журналi”, перша
з яких [4] опублiкована в 1998 роцi.
У цiй роботi, що є логiчним продовженням статей [5, 6], ми розглядаємо крайову зада-
чу з необмеженою злiченною множиною крайових моментiв на додатнiй пiвосi у випадку,
коли i саме рiвняння, i крайовi умови визначено у банаховому просторi обмежених число-
вих послiдовностей.
Позначимо через M простiр обмежених числових послiдовностей x = (x1, x2, x3, . . . )
дiйсних чисел з нормою ‖x‖ = sup
i∈N
{|xi|}, де N — множина натуральних чисел, а через
M∞ простiр послiдовностей ψ = (ψ1, ψ2, ψ3, . . .), ψi ∈ M ∀ i ∈ N , обмежених за нор-
мою ‖ψ‖ = sup
i∈N
{ ‖ψi‖ }, де ‖ψi‖ — норма у просторi M. Норму нескiнченної матрицi
A = [aij ]
∞
i,j=1, узгоджену з нормою вектора x ∈ M, визначимо рiвнiстю ‖A‖ = sup
i
∞∑
j=1
|aij |.
Нехай D = {x|x ∈ M, ‖x‖ ≤ M0 = const > 0} i D∞ = {ψ ∈ M∞| ‖ψ‖ ≤ M0}.
Поставимо задачу: знайти розв’язок рiвняння
dx
dt
= f(t, x), (1)
c© Ю. В. Теплiнський, В. А. Недокiс, 2003
530 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 531
який задовольняє умову
A0x(0) +
∞∑
i=1
Aix(ti) = ϕ(x(0);x(t1), x(t2), . . . ), (2)
де
0 < t1 < t2 < t3 < . . . , sup
i
{ti} = +∞,
x = (x1, x2, x3, . . .) ∈ D; f(t, x) = {f1(t, x), f2(t, x), f3(t, x), . . .} : [0,+∞)×D = D0 → M;
Ai, i = 0, 1, 2, . . . , — обмеженi за нормою нескiнченнi матрицi, такi, що
∞∑
i=1
‖Ai‖ < ∞; пiд
похiдною
dx(t)
dt
розумiємо вектор
(dx1(t)
dt
,
dx2(t)
dt
,
dx3(t)
dt
, . . .
)
; функцiя ϕ(ψ1, ψ2, . . . ) =
= {ϕ1(ψ1, ψ2, . . . ), ϕ2(ψ1, ψ2, . . . ), . . .} : D∞ → M.
Через h(t) позначимо функцiю h : [0,+∞) → [0, T ) , T = const > 0, що має такi
властивостi:
1∗) h(0) = 0, h(+∞) = lim
t→+∞
h(t) = T ;
2∗) на пiвосi [0,+∞) iснує неперервна, невiд’ємна похiдна h′(t), обмежена сталою h′ =
= sup
t≥0
h′(t).
Наступнi умови назвемо умовами (А):
1) для будь-яких {ψ,ψ∗} ⊂ D∞ справджуються нерiвностi
‖ϕ(ψ)‖ ≤ M, ‖ϕ(ψ)− ϕ(ψ∗)‖ ≤ K ‖ψ − ψ∗‖ , (3)
де M та K — додатнi сталi;
2) функцiя f(t, x) неперервна на D0 вiдносно t, x i iснує така функцiя h(t) з властиво-
стями 1∗, 2∗, що
‖f(t, x)‖ ≤ Mhh
′(t),
∥∥f(t, x)− f(t, x′)
∥∥ ≤ Khh
′(t)
∥∥x− x′∥∥ , (4)
де x, x′ — довiльнi точки з D, а Mh i Kh — додатнi сталi, що не залежать вiд точок (t, x) i
(t, x′) з D0;
3) матриця
∞∑
i=1
h(ti)Ai оборотна i обернена до неї матриця
( ∞∑
i=1
h(ti)Ai
)−1
обмежена
за нормою.
Легко помiтити, що тодi оборотною є матриця
∞∑
i=1
h(ti)
T
Ai i обернена до неї матриця
H = T
( ∞∑
i=1
h(ti)Ai
)−1
теж обмежена за нормою.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
532 Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
Через Dβ позначимо пiдмножину з D, кожен елемент x0 якої входить у множину D
разом зi своїм β-околом, де
β(x0) =
T
2
Mh + β1(x0), β1(x0) = ‖H‖
∥∥∥∥∥d−
∞∑
i=0
Aix0
∥∥∥∥∥+
∞∑
i=1
‖HAi‖α1(ti)Mh,
α1(t) = 2h(t)
(
1− h(t)
T
)
,
а вектор d = (d1, d2, . . .) узято так, що |di| = M , sgn di = −sgn d 0
i , причому d 0 =
= colon
(
d
/0
1 , d 0
2 , . . .
)
=
∞∑
j=0
Ajx0, i ∈ N . Неважко перевiрити, що 0 ≤ α1(t) ≤ T
2
.
Наступнi умови назвемо умовами (В):
а) множина Dβ є непорожньою;
б) справджується нерiвнiсть
Q =
KhT
2
[
1 +
∞∑
i=1
‖HAi‖
]
+K ‖H‖ < 1.
Надалi для вектор-функцiї f(τ) = {f1(τ), f2(τ), . . .}, τ ∈ R1, через
∫ b
a
f(τ)dτ позначати-
мемо вектор
(∫ b
a
f1(τ)dτ ,
∫ b
a
f2(τ)dτ , . . .
)
.
Запишемо формально рекурентну послiдовнiсть вектор-функцiй {xm(t, x0)}∞m=0 та-
ким чином:
x0(t, x0) = x0 = (x01, x02, . . . ) ∈ Dβ,
(5)
xm(t, x0) = x0 +
t∫
0
f(τ, xm−1(τ, x0))− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, xm−1(s, x0))ds
dτ +
+
h(t)
T
H
ϕ(xm−1(0);xm−1(t1), xm−1(t2), . . . )−
∞∑
i=0
Aix0−
−
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f(τ, xm−1(τ, x0))− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, xm−1(s, x0))ds
]
dτ
,m ∈ N.
Для iснування такої послiдовностi достатньо, щоб при всiх i ∈ N функцiї xi(t, x0) були
неперервними за нормою вiдносно змiнної t на додатнiй пiвосi та обмеженими за нор-
мою числом M (не виходили за межi множини D). Тодi збiжнiсть невласного iнтеграла
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 533∫ ∞
0
f(τ, xm−1(τ, x0))dτ (покоординатна) буде забезпечена першою з умов (4) та власти-
востями 1∗, 2∗ функцiї h(t).
Теорема 1. Припустимо, що виконуються умови (А) i (В). Тодi:
1) послiдовнiсть {xm(t, x0)}∞m=0, визначена рiвностями (5), рiвномiрно збiгається при
m → ∞ вiдносно (t, x0) ∈ [0,+∞)×Dβ до функцiї x∗(t, x0), причому
‖xm(t, x0)− x∗(t, x0)‖ ≤ Qm
1−Q
β(x0) ∀m ∈ N ; (6)
2) функцiя x∗(t, x0) задовольняє крайову умову (2) i є розв’язком рiвняння
dx
dt
= f(t, x) + µ · h′(t), (7)
де
µ = ∆(x0) =
1
T
H
ϕ(x∗(0);x∗(t1), x∗(t2), . . . )−
∞∑
i=0
Aix0−
−
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f(τ, x∗(τ, x0))− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, x∗(s, x0))ds
]
dτ
−
− 1
T
∞∫
0
f(τ, x∗(τ, x0))dτ ; (8)
3) якщо
∆(x0) = 0 (9)
то функцiя x∗(t, x0) є розв’язком крайової задачi (1), (2).
Доведення. При m = 1 з (5) одержуємо
x1(t, x0) = x0 +
t∫
0
f(τ, x0)− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, x0)ds
dτ +
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
534 Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
+
h(t)
T
H
ϕ(x0;x0, x0, . . . )−
∞∑
i=0
Aix0−
−
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f(τ, x0)− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, x0)ds
]
dτ
.
При всiх i ∈ N
∫ ∞
0
fi(s, x0)ds збiгається, оскiльки fi(s, x0) є неперервною вiдносно s на
промiжку [0,+∞) функцiєю i
∞∫
0
|fi(s, x0)| ds ≤
∞∫
0
Mhh
′(s)ds = lim
A→+∞
Mh
A∫
0
h′(s)ds = MhT.
Для довiльних {t′, t′′} ⊂ [0,+∞) маємо
∥∥x1(t′′, x0)− x1(t′, x0)
∥∥ ≤
∥∥∥∥∥∥
t′′∫
t′
[
f(τ, x0)− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, x0)ds
]
dτ
∥∥∥∥∥∥+
+
|h(t′′)− h(t′)|
T
‖H‖
∥∥∥∥∥∥
ϕ(x0;x0, x0, . . . )−
∞∑
i=0
Aix0 −
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f(τ, x0)−
− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, x0)ds
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ 2Mhh′
∣∣t′′ − t′∣∣+
|h(t′′)− h(t′)|
T
‖H‖ γ,
де γ = Mϕ + ‖x0‖
∞∑
i=0
‖Ai‖+ 2MhT
∞∑
i=1
‖Ai‖ = const > 0.
Оскiльки функцiя h(t) неперервна на [0,+∞), то останнi нерiвностi гарантують непе-
рервнiсть функцiї x1(t, x0) за нормою на цьому промiжку.
Оцiнимо тепер за нормою рiзницю x1(t, x0)− x0, використавши нерiвностi∥∥∥∥∥ϕ(x0, x0, . . . )−
∞∑
i=0
Aix0
∥∥∥∥∥ ≤
∥∥∥∥∥d−
∞∑
i=0
Aix0
∥∥∥∥∥ ,
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
f(τ, x0)− h′(τ)
T
0∫
∞
f(s, x0)ds
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ Mhα1(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 535
Доведення першої з цих нерiвностей не викликає труднощiв. Доведемо другу. Для
будь-якого A ∈ R+ маємо
t∫
0
[
f(τ, x0)− h′(τ)
T
A∫
0
f(s, x0)ds
]
dτ =
=
t∫
0
f(τ, x0)dτ −
t∫
0
h′(τ)
T
t∫
0
f(s, x0)ds+
A∫
t
f(s, x0)ds
dτ =
=
t∫
0
f(τ, x0)dτ − h(t)
T
t∫
0
f(s, x0)ds− h(t)
T
A∫
t
f(s, x0)ds =
=
(
1− h(t)
T
) t∫
0
f(s, x0)ds− h(t)
T
A∫
t
f(s, x0)ds.
Беручи до уваги першу з нерiвностей (4), приходимо до спiввiдношення∥∥∥∥∥∥
t∫
0
f(τ, x0)− h′(τ)
T
A∫
0
f(s, x0)ds
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ Mh
[(
1− h(t)
T
)
h(t) +
h(t)
T
(h(A)− h(t))
]
,
переходячи в якому до границi при A → ∞ i враховуючи при цьому умову 1∗, одержуємо
потрiбну нерiвнiсть.
Тепер легко перевiрити, що справджується спiввiдношення
‖x1(t, x0)− x0)‖ ≤Mhα1(t) + ‖H‖
∥∥∥∥∥d−
∞∑
i=0
Aix0
∥∥∥∥∥+Mh
∞∑
i=1
‖HAi‖α1(ti) ≤
≤ T
2
Mh + β1(x0) = β(x0),
тобто при x0 ∈ Dβ
x1(t, x0) ∈ D ∀ t ∈ [0,+∞) .
Припустивши, що для всiх i ≤ k ∈ N функцiї xi(t, x0) неперервнi за нормою на [0,+∞)
i не виходять за межi множини D, пiсля проведення аналогiчних мiркувань переконує-
мось, що цi властивостi при x0 ∈ Dβ має функцiя xk+1(t, x0). Згiдно з принципом повної
математичної iндукцiї цi властивостi має функцiя xi(t, x0) ∀ i ∈ N , тобто спiввiдношен-
ня (5) визначають функцiональну послiдовнiсть {xm(t, x0)}∞m=0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
536 Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
Простою пiдстановкою легко перевiрити, що елементи цiєї послiдовностi задоволь-
няють рекурентну умову
A0xm(0) +
∞∑
i=1
Aixm(ti) = ϕ(xm−1(0);xm−1(t1), xm−1(t2), . . . ) (10)
при кожному m ∈ N .
Доведемо, що вказана послiдовнiсть є збiжною за нормою приm → ∞. Оскiльки про-
стiр M повний, то досить довести її фундаментальнiсть. Використовуючи (3) – (5), отри-
муємо
∥∥xm+1(t, x0)− xm(t, x0)
∥∥ ≤Kh
(1− h(t)
T
) t∫
0
h′(s) ‖xm(s, x0)− xm−1(s, x0)‖ ds+
+
h(t)
T
∞∫
t
h′(s) ‖xm(s, x0)− xm−1(s, x0)‖ ds
+
+ Kh
h(t)
T
∞∑
i=1
‖HAi‖
[(
1− h(ti)
T
)
×
×
ti∫
0
h′(s) ‖xm(s, x0)− xm−1(s, x0)‖ ds+
+
h(ti)
T
∞∫
ti
h′(s) ‖xm(s, x0)− xm−1(s, x0)‖ ds
]
+
+ K ‖H‖ h(t)
T
sup
i
{
‖xm(ti, x0)− xm−1(ti, x0)‖
}
.
Ввiвши позначення rm+1 = sup
t∈[0,+∞)
‖xm+1(t, x0)− xm(t, x0)‖, з останньої нерiвностi одер-
жимо
rm+1 ≤
{
Kh
[(
1− h(t)
T
)
h(t) +
h(t)
T
(T − h(t))
]
+
+ Kh
h(t)
T
∞∑
i=1
‖HAi‖
[(
1− h(ti)
T
)
h(ti)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 537
+
h(ti)
T
(T − h(ti))
]
+K‖H‖
}
rm ≤
≤
{
KhT
2
[
1 +
∞∑
i=1
‖HAi‖
]
+K‖H‖
}
rm = Qrm.
Згiдно з принципом математичної iндукцiї неважко переконатися, що для довiльного на-
турального m
r̄m+1 ≤ Qmr̄1 ≤ Qmβ(x0).
Для довiльних натуральних m, j > m справджується тотожнiсть
xm+j(t, x0)− xm(t, x0) =
j∑
i=1
(xm+i(t, x0)− xm+i−1(t, x0)) ,
з якої, оцiнюючи праву частину зверху, одержуємо
∥∥xm+j(t, x0)− xm(t, x0)
∥∥ ≤ j∑
i=1
r̄m+i ≤
j−1∑
i=0
Qm+iβ(x0) ≤
≤ Qmβϕh(x0)
j−1∑
i=0
Qi <
Qm
1−Q
β(x0).
Оскiльки β(x0) ≤ M0 i Q < 1, то при m → ∞ рiвномiрно вiдносно (t, x0) ∈ [0,+∞) ×
×Dβ за нормою простору M
lim
m→∞
xm(t, x0) = x∗(t, x0),
i виконується нерiвнiсть (6). Послiдовнiсть {f(τ, xm(τ, x0))}∞m=1 збiгається до f(τ, x∗(τ, x0))
рiвномiрно вiдносно τ ∈ [0,+∞) i x0 ∈ Dβ . Це очевидним чином випливає з нерiвностi
‖f(τ, xm(τ, x0))− f(τ, x∗(τ, x0))‖ ≤ Khh′ ‖xm(τ, x0)− x∗(τ, x0)‖ .
Крiм того, послiдовнiсть
h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, xm(s, x0))ds
∞
m=1
збiгається до
h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, x∗(s, x0))ds
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
538 Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
рiвномiрно вiдносно τ ∈ [0,+∞), що випливає з нерiвностей
∥∥∥∥∥h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, x∗(s, x0))ds− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, xm(s, x0))ds
∥∥∥∥∥ ≤
≤ h′(τ)
T
∞∫
0
Khh
′(s) ‖x∗(s, x0)− xm(s, x0)‖ ds ≤
≤Kh
h′(τ)
T
∞∫
0
Qm
1−Q
β(x0)h′(s)ds ≤
≤ Khh′Q
m
1−Q
(
T
2
Mh + ‖H‖
∥∥∥∥∥d−
∞∑
i=0
Aix0
∥∥∥∥∥+
∞∑
i=1
‖HAi‖
T
2
Mh
)
=
= Qmγ1 −→
m→∞
0,
де γ1 — додатна стала при фiксованому x0.
Це дає можливiсть перейти у (5) покоординатно до границi при m → ∞ i одержати
рiвнiсть
x∗(t, x0) = x0 +
t∫
0
f(τ, x∗(τ, x0))− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, x∗(s, x0))ds
dτ +
+
h(t)
T
H
ϕ(x∗(0);x∗(t1), x∗(t2), . . . )−
∞∑
i=0
Aix0−
−
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f(τ, x∗(τ, x0))− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, x∗(s, x0))ds
]
dτ
.
Легко бачити, що
ϕ(xm(0);xm(t1), xm(t2), . . . ) −→
m→∞
ϕ(x∗(0);x∗(t1), x∗(t2), . . . )
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 539
за нормою простору M, i, крiм того,∥∥∥∥∥
(
A0xm(0) +
∞∑
i=1
Aixm(ti)
)
−
(
A0x
∗(0) +
∞∑
i=1
Aix
∗(ti)
)∥∥∥∥∥ ≤
≤M0
Qm
1−Q
∞∑
i=0
‖Ai‖ −→
m→∞
0 ∀m ∈ N.
Iз цих спiввiдношень випливає, що в рекурентних умовах (10) можна здiйснити граничний
перехiд за нормою приm → ∞, який показує, що x∗(t, x0) задовольняє крайову умову (2).
Це завершує доведення перших двох тверджень теореми 1. Доведення третього її твер-
дження є очевидним.
Умовами (В0) назвемо умови (В), в яких нерiвнiсть Q < 1 замiнено сильнiшою оцiн-
кою
KhT
[
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
]
+K‖H‖ < 1.
Наслiдок 1. Якщо функцiю h(t) обрано, то при умовах (А) i (В0) не iснує iншого зна-
чення µ такого, при якому розв’язок рiвняння (7) з початковою умовою x(0) = x0 задо-
вольняв би крайову умову (2).
Доведення. Припустимо, що iснують {µ1, µ2} ⊂ M i функцiї x1(t, x0) та x2(t, x0) такi,
що x1(0, x0) = x2(0, x0) = x0 ∈ Dβ ,
dxi(t, x0)
dt
= f(t, xi(t, x0)) +µih
′(t), i ∈ {1, 2}, причому
цi функцiї задовольняють рiвнiсть (2).
Тодi
xj(t, x0) = x0 +
t∫
0
f(τ, xj(τ, x0))dτ + µjh(t), j ∈ {1, 2} ,
i
A0x(0) +
∞∑
i=1
Ai
x0 +
ti∫
0
f(τ , xj(τ, x0))dτ + µjh(t)
= ϕ̃j , j ∈ {1, 2} ,
де
ϕ̃j = ϕ
x0; x0 +
t1∫
0
f(τ, xj(τ, x0))dτ + µjh(t1), x0 +
t2∫
0
f(τ , xj(τ, x0))dτ + µjh(t2), . . .
.
Зауважимо, що обидвi функцiї x1(t, x0), x2(t, x0) вважаються обмеженими на [0,+∞)
за нормою сталою M0. Позначимо sup
t∈[0,+∞)
‖x1(t, x0)− x2(t, x0)‖ через r. Iз вказаних вище
рiвностей випливають спiввiдношення
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
540 Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
‖x1(t, x0)− x2(t, x0)‖ ≤
t∫
0
Khh
′(τ)rdτ + ‖µ1 − µ2‖h(t),
r ≤ KhrT + ‖µ1 − µ2‖T,
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
(f(τ, x1(τ))− f(τ, x2(τ))) dτ + h(ti) (µ1 − µ2)
= ϕ̃1 − ϕ̃2,
‖µ1 − µ2‖ ≤
‖H‖
T
∞∑
i=1
‖Ai‖
ti∫
0
Khh
′(τ)rdτ +
+ K sup
i∈N
ti∫
0
Khh
′(τ)rdτ + ‖µ1 − µ2‖h(ti)
≤
≤ ‖H‖
T
(
KhrT
∞∑
i=1
‖Ai‖+KKhrT +KT‖µ1 − µ2‖
)
,
з яких, у свою чергу, випливають оцiнки
‖µ1 − µ2‖ ≤
‖H‖Kh
( ∞∑
i=1
‖Ai‖+K
)
1−K‖H‖
r,
r ≤
KhT +
T ‖H‖Kh
( ∞∑
i=1
‖Ai‖+K
)
1−K ‖H‖
r =
=
TKh
(
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
)
1−K ‖Hh‖
r,
а коефiцiєнт, що стоїть перед r у правiй частинi останньої нерiвностi, строго менший за
одиницю.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 541
Звiдси випливає, що r = 0, тобто x1(t, x0) ≡ x2(t, x0) ∀ t ∈ [0,+∞). При цьому, зви-
чайно, µ1 = µ2, що завершує доведення.
Домовимось надалi функцiю ∆(x0) вигляду (8) називати точною визначальною фун-
кцiєю, її значення µ при фiксованому x0 — керуючим параметром або керуванням, а рiв-
няння (9) — точним визначальним рiвнянням i розглядатимемо поряд з точним визна-
чальним рiвнянням наближене визначальне рiвняння
∆m(x0) = 0,
де
∆m(x0) =
1
T
H
ϕ(xm(0);xm(t1), xm(t2), . . . )−
∞∑
i=0
Aix0 −
−
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
f(τ, xm(τ, x0))− h′(τ)
T
∞∫
0
f(s, xm(s, x0))ds
dτ
−
− 1
T
∞∫
0
f(τ, xm(τ, x0))dτ (11)
— наближена визначальна функцiя.
Пiд топологiчним вiдображенням I замкненої множини D ⊂ M в M розумiтимемо
гомеоморфiзм I : D 7→ I(D), що переводить межу множини D в межу її образу I(D).
Наслiдок 2. Справджуються наступнi твердження:
1) якщо при умовах (А) та (В) iснує замкнена пiдмножина D1 ⊂ Dβ така, що для
деякого m ∈ N функцiя ∆m топологiчно вiдображає D1 на ∆mD1, рiвняння ∆m(x0) = 0
має в D1 єдиний розв’язок x0 i на межi ΓD1 множини D1 виконується нерiвнiсть
inf
x∈ΓD1
‖∆m(x)‖ ≥
(
1
T
K ‖H‖+
1
2
Kh
∞∑
i=1
‖HAi‖+Kh
)
Qm
1−Q
M0 = σ(m), (12)
то крайова задача (1), (2) має розв’язок x = x∗(t) з початковою умовою x∗(0) = x∗0 ∈
∈ D1;
2) якою б не була функцiя h(t), при якiй виконуються умови (А) та (В0), для того,
щоб деяка пiдмножина D2 ⊂ Dβ мiстила початкове значення x∗(0) = x∗0 розв’язку цiєї
крайової задачi, необхiдно, щоб для будь-яких m ∈ N i x0 ∈ D2 виконувалась нерiвнiсть
‖∆m(x0)‖ ≤ sup
x0∈D2
{
1
T
‖R‖+
(
1
T
K‖H‖+
+ Kh
(1
2
∞∑
i=0
‖HAi‖+ 1
))}1 + ‖R‖
1−Q
‖x0 − x0‖+ σ(m,x0), (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
542 Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
де через R позначено вираз H
∞∑
i=0
Ai, а через σ(m,x0) — вираз
(
1
T
K ‖H‖+
1
2
Kh
∞∑
i=1
‖HAi‖+Kh
)
Qm
1−Q
β(x0).
Доведення. Враховуючи умови (3), (4) та нерiвнiсть (6), для будь-якого m ∈ N з (8)
та (11) одержуємо
‖∆(x0)−∆m(x0)‖ ≤ 1
T
‖H‖ ‖ϕ(x∗(0);x∗(t1), x∗(t2), . . . ) −
− ϕ(xm(0);xm(t1), xm(t2), . . . )‖+
1
T
∞∑
i=1
‖HAi‖
(
1− h(ti)
T
) ti∫
0
‖f(τ, x∗(τ, x0)) −
− f(τ, xm(τ, x0))‖ dτ +
h(ti)
T
∞∫
ti
‖f(τ, x∗(τ, x0))− f(τ, xm(τ, x0))‖ dτ
+
+
1
T
∞∫
0
‖f(τ, x∗(τ, x0))− f(τ, xm(τ, x0))‖ dτ ≤ 1
T
‖H‖K Qm
1−Q
β(x0) +
+
1
T
∞∑
i=1
‖HAi‖Khα1(ti)
Qm
1−Q
β(x0) +
1
T
Kh
∞∫
0
h′(τ)dτ
Qm
1−Q
β(x0) ≤
≤
(
1
T
K ‖H‖+
1
2
Kh
∞∑
i=1
‖HAi‖+Kh
)
Qm
1−Q
β(x0) = σ(m,x0), (14)
де σ(m,x0) → 0 при m → ∞, x0 ∈ Dβ .
Враховуючи (8), запишемо оцiнку
∥∥∆(x′0)−∆(x′′0)
∥∥ ≤ { 1
T
‖R‖+
(
1
T
K‖H‖+
+ Kh
(1
2
∞∑
i=0
‖HAi‖+ 1
))1 + ‖R‖
1−Q
}∥∥x′0 − x′′0∥∥ ∀
{
x′0, x
′′
0
}
⊂ Dβ , (15)
з якої випливає рiвномiрна неперервнiсть вiдображення ∆ на множинi D1.
Згiдно з лемою 13.1 з [1] множина
∆mD1 − σ(m) = {x ∈ ∆mD1| ‖x− y‖ ≤ σ(m) ⇒ y ∈ ∆mD1} ⊂ ∆D1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 543
Оскiльки за умовою 0 ∈ ∆mD1, то для включення 0 ∈ ∆mD1 − σ(m) достатньо, щоб
нуль входив до множини ∆mD1 разом зi своїм σ(m)-околом. Це забезпечується нерiвнi-
стю (12).
Отже,
0 ∈ ∆mD1 − σ(m) ⊂ ∆D1,
що доводить перше твердження наслiдку.
Обґрунтуємо тепер друге його твердження. З (14) та (15) для всiх m ∈ N та x̄0 ∈ D2
випливає нерiвнiсть
‖∆m(x̄0)‖ ≤
{
1
T
‖R‖+
(
1
T
K‖H‖+
+ Kh
(1
2
∞∑
i=0
‖HAi‖+ 1
))1 + ‖R‖
1−Q
}
‖x̄0 − x∗0‖+ σ (m, x̄0) ,
яка забезпечує правильнiсть нерiвностi (13), що й завершує доведення.
Для виконання умов теореми 1 суттєвим є iснування функцiї h(t) з вказаними вище
властивостями. Розглянемо це питання докладнiше. Множину точок
{
x ∈ M
∣∣ ‖x‖ < M0+
+ρ
}
, де ρ — як завгодно мала додатна стала, позначимо через Dρ, декартовий добуток
[0,+∞) × Dρ — через D̄ρ, а похiдну вiд функцiї F (x) вiдносно x у сенсi Фреше – через
dΦF (x)
dΦx
. Справджується наступне твердження.
Теорема 2. Нехай для будь-якого t ∈ [0,+∞) функцiя f(t, x) диференцiйовна в сенсi
Фреше вiдносно x ∈ Dρ, рiвномiрно вiдносно x ∈ Dρ неперервна по t ∈ [0,+∞), причому
‖f(t, x)‖ ≤ M∗,
∥∥∥∥∂Φf(t, x)
∂Φx
∥∥∥∥ ≤ P ∗(t),
деM∗ = const > 0, а функцiя P ∗(t) набуває невiд’ємних значень i не залежить вiд x ∈ Dρ.
Якщо при цьому
∫ t
0
sup
x∈D
‖f(t, x)‖ dt є збiжним i
sup
t≥0
sup
x∈Dρ
∥∥∥∂Φf(t,x)
∂Φx
∥∥∥
sup
x∈D
‖f(t, x)‖
= ξ < ∞, (16)
то для функцiї h̃(t) =
∫ t
0
sup
x∈D
‖f(s, x)‖ ds :
1) виконуються умови 1∗, 2∗ при T =
∫ ∞
0
sup
x∈D
‖f(t, x)‖ dt;
2) виконуються нерiвностi (4) при Mh = 1,Kh ≥ ξ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
544 Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
Доведення. Позначимо sup
x∈D
‖f(t, x)‖ через f̃(t) i покажемо, що f̃(t) неперервна вiдно-
сно t на [0,+∞). Очевидно, що для будь-яких i ∈ N, {t1, t2} ⊂ [0,+∞), x ∈ Dρ виконує-
ться нерiвнiсть
| |fi(t1, x)| − |fi(t2, x)| | ≤ |fi(t1, x)− fi(t2, x)| ,
з якої випливають спiввiдношення
sup
i∈N
| |fi(t1, x)| − |fi(t2, x)| | ≤ sup
i∈N
|fi(t1, x)− fi(t2, x)| = ‖f(t1, x)− f(t2, x)‖ .
Але
sup
i∈N
| |fi(t1, x)| − |fi(t2, x)| | ≥
∣∣∣∣sup
i∈N
|fi(t1, x)| − sup
i∈N
|fi(t2, x)|
∣∣∣∣ ,
тобто
| ‖f(t1, x)‖ − ‖f(t2, x)‖ | ≤ ‖f(t1, x)− f(t2, x)‖ .
Тодi sup
x∈D
| ‖f(t1, x)‖ − ‖f(t2, x)‖ | ≤ sup
x∈D
‖f(t1, x)− f(t2, x)‖, звiдки одержуємо
∣∣∣f̃(t1)− f̃(t2)
∣∣∣ =
∣∣∣∣ sup
x∈D
‖f(t1, x)‖ − sup
x∈D
‖f(t2, x)‖
∣∣∣∣ ≤
≤ sup
x∈D
| ‖f(t1, x)‖ − ‖f(t2, x)‖ | ≤ sup
x∈D
‖f(t1, x)− f(t2, x)‖ .
Нехай t0 — довiльна точка з [0,+∞). За умовою теореми для будь-якого ε > 0 iснує
δ > 0 таке, що з нерiвностi |t− t0| < δ випливає нерiвнiсть ‖f(t, x)− f(t0, x)‖ < ε ∀ x ∈
∈ D. Зрозумiло, що при вказаних t sup
x∈D
‖f(t, x)− f(t0, x)‖ ≤ ε, тобто
∣∣∣f̃(t)− f̃(t0)
∣∣∣ ≤ ε
при |t− t0| < δ, що й доводить неперервнiсть функцiї f̃(t) в точцi t0, а отже, i на промiжку
[0,+∞).
У цьому випадку при будь-якому скiнченному t ≥ 0 iснує iнтеграл h̃(t) i h̃′(t) = f̃(t).
Тодi
‖f(t, x)‖ ≤ sup
x∈D
‖f(t, x)‖ = f̃(t) = h̃′(t) = 1h̃′(t),
тобто має мiсце перша з нерiвностей (4), в якiй Mh = 1.
Оскiльки множина опукла i вiдкрита, то
∥∥f(t, x′)− f(t, x′′)
∥∥ ≤ sup
x∈Dρ
∥∥∥∥∂Φf(t, x)
∂Φx
∥∥∥∥∥∥x′ − x′′∥∥ ∀
{
(t, x′), (t, x′′)
}
⊂ Dρ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 545
Отже, сталу Kh у другiй з нерiвностей (4) слiд обирати з умови, що нерiвнiсть
Kh ≥
sup
x∈Dρ
∥∥∥∥∂Φf(t, x)
∂Φx
∥∥∥∥
sup
x∈D
‖f(t, x)‖
справджується для будь-якого t ≥ 0. Тому досить покласти Kh ≥ ξ.
Виконання умов 1∗, 2∗ для функцiї h̃(t) є очевидним.
Теорему доведено.
Зауваження. Умову (16) можна замiнити умовою вiддiленостi функцiї f̃(t) вiд нуля,
тобто нерiвнiстю inf
t≥0
f̃(t) = ` = const > 0, вважаючи функцiю P ∗(t) додатною сталою
P ∗. Тодi Kh можна обирати з нерiвностi Kh ≥
P ∗
inf
t≥0
f̃(t)
. Остання оцiнка бiльш груба, нiж
вказана в теоремi.
Наведемо приклад функцiї f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), . . .), для якої виконуються умови
теореми 2. Нехай fi(t, x) = e−t (sinxi + cosxi+1) , i ∈ N , D =
{
x ∈ M
∣∣ ‖x‖ ≤ π
2
}
. Тодi
‖f(t, x)‖ = sup
i
{ ∣∣e−t (sinxi + cosxi+1)
∣∣ } = e−t sup
i
{ |sinxi + cosxi+1| } ,
звiдки f̃(t) = e−t sup
x∈D
{
sup
i
{ |sinxi + cosxi+1| }
}
= e−t · 2. Iнтеграл
∞∫
0
sup
x∈D
‖f(t, x)‖ dt =
∞∫
0
2e−tdt = −2e−t
∣∣∣∞
0
= 2,
а отже, збiгається.
Покажемо, що похiдна Фреше по x вiд f(t, x) при фiксованому t ≥ 0 задається нескiн-
ченною матрицею Lt,x = [`ij ]
∞
i,j=1, елементи якої визначаються спiввiдношенням
`ij =
e−t cosxi, j = i;
− e−t sinxi+1, j = i+ 1;
0, j 6= i, j 6= i+ 1,
i яка дiє на елемент з M за допомогою операцiї множення матрицi на вектор, здiйснюючи
вiдображення M → M. Згiдно з означенням для цього досить встановити, що
lim
‖∆x‖→0
‖α(t, x,∆x)‖
‖∆x‖
= 0 ∀ t ∈ [0,+∞), {x, x+ ∆x} ⊂ Dρ,
де
α(t, x,∆x) = f(t, x+ ∆x)− f(t, x)− Lt,x∆x,
α(t, x,∆x) = {α1(t, x,∆x), α2(t, x,∆x), . . .} .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
546 Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
Для вказаних x i ∆x, ‖∆x‖ 6= 0, маємо
αi(t, x,∆x) = fi(t, x+ ∆x)− fi(t, x)−
∞∑
j=1
`ij∆xj =
= fi(t, x+ ∆x)− fi(t, x)−
i+1∑
j=i
`ij∆xj =
= e−t
{
(sin(xi + ∆xi) + cos(xi+1 + ∆xi+1))− (sinxi + cosxi+1)−
− (cosxi ·∆xi − sinxi+1 ·∆xi+1)
}
= e−t
{
2 sin
∆xi
2
cos
(
xi +
∆xi
2
)
−
− 2 sin
(
xi+1 +
∆xi+1
2
)
sin
∆xi+1
2
− cosxi ·∆xi + sinxi+1 ·∆xi+1‘
}
=
= e−t
{
(sinxi cos ∆xi + cosxi sin ∆xi − sin ∆xi − cosxi ·∆xi)−
− (cosxi+1 cos ∆xi+1 − sinxi+1 sin ∆xi+1 − cosxi+1 + sinxi+1 ·∆xi+1)
}
,
звiдки
|αi(t, x,∆x)| ≤ e−t {|sinxi| |1− cos ∆xi|+ |cosxi| |sin ∆xi −∆xi| +
+ |cosxi+1| |1− cos ∆xi+1|+ |sinxi+1| |sin ∆xi+1 −∆xi+1|} ≤
≤ e−t { (|1− cos ∆xi|+ |sin ∆xi −∆xi|) +
+ (|1− cos ∆xi+1|+ |sin ∆xi+1 −∆xi+1|) } .
Оскiльки при ∆xi ∈
(
−π
2
;
π
2
)
|sin ∆xi| ≤ |∆xi| ≤ |tg ∆xi|, то
|1− cos ∆xi|+ | sin ∆xi −∆xi| ≤ |1− cos ∆xi|+ |sin ∆xi − tg ∆xi| =
= |1− cos ∆xi| (1 + |tg ∆xi|) = 2 sin2 ∆xi
2
×
× (1 + |tg ∆xi|) ≤
(∆xi)
2
2
(1 + |tg ∆xi|) ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 547
i попередня нерiвнiсть набирає вигляду
|αi(t, x,∆x)| ≤ e−t
2
{
(∆xi)
2 (1 + |tg ∆xi|) + (∆xi+1)2 (1 + |tg ∆xi+1|)
}
.
Розглядаючи поведiнку αi(t, x,∆x) при ‖∆x‖ → 0, досить обмежитись тими значення-
ми ∆x, для яких ‖∆x‖ ≤ π
4
; тодi |tg ∆xi| ≤ 1, |tg ∆xi+1| ≤ 1 i
‖α(t, x,∆x)‖
‖∆x‖
=
sup
i
{ |αi(t, x,∆x)| }
‖∆x‖
≤
≤
sup
i
{
e−t
2
(
2 (∆xi)
2 + 2 (∆xi+1)2
)}
‖∆x‖
≤
≤ 2e−t ‖∆x‖2
‖∆x‖
= 2e−t ‖∆x‖ → 0
при ‖∆x‖ → 0. А тому
∂Φf(t, x)
∂Φx
дiйсно задається матрицею Lt,x.
Далi,∥∥∥∥∂Φf(t, x)
∂Φx
∥∥∥∥ = sup
i
{ |`ii|+ |`i,i+1| } = sup
i
{
e−t |cosxi|+ e−t |sinxi|
}
≤ 2e−t,
звiдки ξ = sup
t≥0
2e−t
2e−t
= 1. При цьому умови зауваження не виконуються, оскiльки inf
t≥0
f̃(t) =
= inf
t≥0
2e−t = 0.
Неважко помiтити, що в наведеному прикладi при фiксованому t матриця Lt,x для
функцiї f(t, x) будується за аналогiєю до побудови якобiана функцiї z : Rm → Rn. Вини-
кає питання: при яких умовах ця аналогiя зберiгається в загальному випадку?
Розглянемо функцiю f(x) = {f1(x), f2(x), . . .}, що визначена у вiдкритiй кулi S =
= S(0, δ) = {x ∈ M | ‖x‖ < δ} i набуває значень з простору M, тобто f : S → M. Очеви-
дно, що ∀ i ∈ N fi : S → R1. Припустимо, що числова функцiя fi(x) має в точцi x0 ∈ S
часткову похiдну за Фреше вiдносно xj , j ∈ N . Цю похiдну позначимо через
∂Φfi(x)
∂Φxj
∣∣∣
x0
=
= `∗ij(x0). Очевидно, що `∗ij(x0) : R1 → R1, звiдки випливає `∗ij(x0)h = k∗h, де k∗ — число,
що дорiвнює `∗ij(x0), h — довiльне дiйсне число.
Будемо говорити, що функцiя f(x) належить множинi Ĉ1
Lip(S), якщо:
1) ∀ x ∈ S ‖f(x)‖ ≤ P = const > 0 i виконується нерiвнiсть∥∥f(x′)− f(x′′)
∥∥ ≤ Kε(m)
∥∥x′ − x′′∥∥ ,
де x′, x′′ — довiльнi точки кулi S, першi m координат яких збiгаються, K = const > 0,
ε(m) → 0 при m → ∞;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
548 Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
2) для будь-яких {i, j} ⊂ N iснують похiднi
∂Φfi(x)
∂Φxj
в кожнiй точцi x ∈ S i матриця[
∂Φfi(x)
∂Φxj
]∞
i,j=1
обмежена за нормою сталою M ′ > 0, яка не залежить вiд x ∈ S;
3) для будь-якого j ∈ N вектор-функцiя
∂Φf(x)
∂Φxj
=
(
∂Φf1(x)
∂Φxj
,
∂Φf2(x)
∂Φxj
, . . .
)
задоволь-
няє посилену умову Гельдера, тобто∥∥∥∥∂Φf(x′)
∂Φxj
− ∂Φf(x′′)
∂Φxj
∥∥∥∥ ≤ K ′ε′(m)
∥∥x′ − x′′∥∥α ,
де x′, x′′ — довiльнi точки з S, першi m координат яких збiгаються, K ′, α — додатнi сталi,
ряд
∞∑
m=0
ε′(m) є збiжним.
Справджується наступне твердження, що уточнює теорему 11 з [6].
Теорема 3. Якщо функцiя f(x) ∈ Ĉ1
Lip(S), то в кожнiй точцi x ∈ S вона має похiдну
Фреше вiдносно x, яка дiє на будь-який вектор h ∈ M шляхом множення на цей вектор
матрицi
∂Φf(x)
∂Φx
=
[
∂Φfi(x)
∂Φxj
]∞
i,j=1
.
Припустимо тепер, що рiвнiстю t = h∗(s) визначено дифеоморфiзм h∗ : [0, T ) →
→ [0,∞), h∗(0) = 0, lim
s→T
h∗(s) = ∞, i похiднi h′∗(s) та (h−1
∗ (t))′ не перетворюються в нуль
на вiдповiдних множинах.
Легко помiтити, що для довiльного T > 0 такий дифеоморфiзм можна задати рiвнi-
стю t = tg
( π
2T
s
)
. Тодi замiна змiнних y = x(h∗(s)) приводить крайову задачу (1), (2) до
задачi вигляду
dy
ds
= g(s, y), (17)
A0y(0) +
∞∑
i=1
Aiy(si) = ϕ(y(0); y(s1), y(s2), . . . ), si ∈ [0, T ) ∀ i ∈ N, (18)
де g(s, y) = f(h∗(s), y)h′∗(s), si = h−1
∗ (ti).
Якщо функцiя y = ψ(s) є розв’язком крайової задачi (17), (18), то функцiя x =
= ψ(h−1
∗ (t)) визначає розв’язок задачi (1), (2).
Припустимо, що функцiю g(s, y) можна довизначити в точцi s = T так, щоб рiвняння
(17) з крайовою умовою
A0y(0) +
∞∑
i=1
Aiy(si) + Cy(T ) = ϕ1(y(0), y(T ); y(s1), y(s2), . . . ), (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВУ НЕЛIНIЙНУ КРАЙОВУ ЗАДАЧУ НА ПIВОСI ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ . . . 549
в якiй ϕ1(y(0), y(T ); y(s1), y(s2), . . . ) = ϕ(y(0); y(s1), y(s2), . . . ) + Cy(T ), C = [cij ]
∞
i,j=1 —
деяка стала нескiнченна матриця, мало розв’язок y = ψ(s) на вiдрiзку [0, T ]. Тодi функцiя
ψ(s) одночасно визначає розв’язок задачi (17), (18) на промiжку [0, T ). До розв’язування
задачi (17), (19) можна застосувати метод укорочення К.П. Персидського [7] та редукува-
ти її до багатоточкової крайової задачi у скiнченновимiрному просторi.
1. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических ре-
шений. — Киев: Выща шк., 1976. — 180 с.
2. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических реше-
ний краевых задач. — Киев: Наук. думка, 1985. — 224 с.
3. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы в теории краевых задач обыкно-
венных дифференциальных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1992. — 224 с.
4. Ронто Н. И., Самойленко А. М., Трофимчук С. И. Теория численно-аналитического метода: достиже-
ния и новые направления развития. I // Укр. мат. журн. — 1998. — 50, № 1. — С. 93 – 108.
5. Теплинский Ю. В., Недокис В. А. Предельные теоремы в теории многоточечных краевых задач // Укр.
мат. журн. — 1999. — 51, № 4. — С. 519 – 531.
6. Теплiнський Ю. В., Недокiс В. А. Про злiченноточковi крайовi задачi для злiченних систем звичайних
диференцiальних рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. — 1999. — 2, № 2. — С. 252 – 266.
7. Персидский К. П. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравне-
ния в нелинейных пространствах. — Алма-Ата: Наука, 1976. — 247 с.
Одержано 29.08.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4
|