Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц
Стохастичнi моделi процесу самозаймання вугiльних частинок вiдрiзняються чiтко вираженою нелiнiйнiстю внаслiдок наближення Арренiуса для константи швидкостi реакцiї та складною структурою стохастичної компоненти — шуму. Наведено моделi, що описують динамiку розподiлу цiєї величини. Отриманi моделi...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176997 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц / И.А. Мальчевский, Б.В. Кузьменко, Л.С. Гапонич // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 111-114. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176997 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мальчевский, И.А. Кузьменко, Б.В. Гапонич, Л.С. 2021-02-09T18:33:43Z 2021-02-09T18:33:43Z 2004 Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц / И.А. Мальчевский, Б.В. Кузьменко, Л.С. Гапонич // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 111-114. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176997 536.46 Стохастичнi моделi процесу самозаймання вугiльних частинок вiдрiзняються чiтко вираженою нелiнiйнiстю внаслiдок наближення Арренiуса для константи швидкостi реакцiї та складною структурою стохастичної компоненти — шуму. Наведено моделi, що описують динамiку розподiлу цiєї величини. Отриманi моделi складаються iз звичайних нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, що розв’язуються числовими методами з використанням комп’ютерних технологiй. Stochastic models for self-inflammation of coal particles are characterized by a clear-cut nonlinearity that is due to the Arrenius approximation of the reaction velocity constant and a complex structure of the stochastic component of the noise. We give models that describe the dynamics of the component. The obtained models consist of nonlinear ordinary differential equations that are solved by using numerical methods implemented in a computer software. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц Гаусівські наближення у стохастичній теорії самозаймання вугільних часток Gaussian approximations in the stochastic theory of self-inflammation of coal particles Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц |
| spellingShingle |
Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц Мальчевский, И.А. Кузьменко, Б.В. Гапонич, Л.С. |
| title_short |
Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц |
| title_full |
Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц |
| title_fullStr |
Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц |
| title_full_unstemmed |
Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц |
| title_sort |
гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц |
| author |
Мальчевский, И.А. Кузьменко, Б.В. Гапонич, Л.С. |
| author_facet |
Мальчевский, И.А. Кузьменко, Б.В. Гапонич, Л.С. |
| publishDate |
2004 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Гаусівські наближення у стохастичній теорії самозаймання вугільних часток Gaussian approximations in the stochastic theory of self-inflammation of coal particles |
| description |
Стохастичнi моделi процесу самозаймання вугiльних частинок вiдрiзняються чiтко вираженою нелiнiйнiстю внаслiдок наближення Арренiуса для константи швидкостi реакцiї та складною структурою стохастичної компоненти — шуму. Наведено моделi, що описують динамiку
розподiлу цiєї величини. Отриманi моделi складаються iз звичайних нелiнiйних диференцiальних
рiвнянь, що розв’язуються числовими методами з використанням комп’ютерних технологiй.
Stochastic models for self-inflammation of coal particles are characterized by a clear-cut nonlinearity that
is due to the Arrenius approximation of the reaction velocity constant and a complex structure of the
stochastic component of the noise. We give models that describe the dynamics of the component. The
obtained models consist of nonlinear ordinary differential equations that are solved by using numerical
methods implemented in a computer software.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176997 |
| citation_txt |
Гауссовы приближения в стохастической теории самовоспламенения угольных частиц / И.А. Мальчевский, Б.В. Кузьменко, Л.С. Гапонич // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 111-114. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT malʹčevskiiia gaussovypribliženiâvstohastičeskoiteoriisamovosplameneniâugolʹnyhčastic AT kuzʹmenkobv gaussovypribliženiâvstohastičeskoiteoriisamovosplameneniâugolʹnyhčastic AT gaponičls gaussovypribliženiâvstohastičeskoiteoriisamovosplameneniâugolʹnyhčastic AT malʹčevskiiia gausívsʹkínabližennâustohastičníiteoríísamozaimannâvugílʹnihčastok AT kuzʹmenkobv gausívsʹkínabližennâustohastičníiteoríísamozaimannâvugílʹnihčastok AT gaponičls gausívsʹkínabližennâustohastičníiteoríísamozaimannâvugílʹnihčastok AT malʹčevskiiia gaussianapproximationsinthestochastictheoryofselfinflammationofcoalparticles AT kuzʹmenkobv gaussianapproximationsinthestochastictheoryofselfinflammationofcoalparticles AT gaponičls gaussianapproximationsinthestochastictheoryofselfinflammationofcoalparticles |
| first_indexed |
2025-11-25T04:54:27Z |
| last_indexed |
2025-11-25T04:54:27Z |
| _version_ |
1850507249814863872 |
| fulltext |
УДК 536.46
ГАУССОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
САМОВОСПЛАМЕНЕНИЯ УГОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
И. А. Мальчевский
Президиум НАН Украины
Украина, 01601, Киев 30, ул. Владимирская, 54
Б. В. Кузьменко, Л. С. Гапонич
Ин-т угольных энерготехнологий НАН Украины и Минтопэнерго Украины
Stochastic models for self-inflammation of coal particles are characterized by a clear-cut nonlinearity that
is due to the Arrenius approximation of the reaction velocity constant and a complex structure of the
stochastic component of the noise. We give models that describe the dynamics of the component. The
obtained models consist of nonlinear ordinary differential equations that are solved by using numerical
methods implemented in a computer software.
Стохастичнi моделi процесу самозаймання вугiльних частинок вiдрiзняються чiтко вираже-
ною нелiнiйнiстю внаслiдок наближення Арренiуса для константи швидкостi реакцiї та склад-
ною структурою стохастичної компоненти — шуму. Наведено моделi, що описують динамiку
розподiлу цiєї величини. Отриманi моделi складаються iз звичайних нелiнiйних диференцiальних
рiвнянь, що розв’язуються числовими методами з використанням комп’ютерних технологiй.
Колебание и повышение цен на нефть и природный газ в условиях Украины повышают
интерес к использованию угля во всех энергетических отраслях экономики Украины. В
вопросах сжигания угля важное место занимает вопрос создания теоретических основ и
разработка воспламенительных устройств. Ряд вопросов решает математическая теория
горения, в рамках которой возможно учесть влияние на этот процесс случайных воздей-
ствий вследствие флуктуации коэффициентов тепло- и массоотдачи, процесса пульсации
температуры во внешней турбулентной среде.
Стохастическое моделирование процесса самовоспламенения угольных частиц про-
водилось в направлении конструирования соответствующих стохастических дифферен-
циальных уравнений, содержащих случайные величины типа гауссовского и пуассонов-
ского белого шума [1 – 3] и уравнения типа Фоккера – Планка и Колмогорова – Феллера,
решение которых возможно с использованием сложнейших численных методов и соот-
ветствующих компьютерных технологий. На практике часто бывает достаточным опи-
сание не для функций распределения, а для динамики средней температуры (ее матема-
тического ожидания), для этого используется теория обыкновенных дифференциальных
уравнений для средних величин. Такое направление в литературе практически не об-
суждалось (теория стохастического самовоспламенения), хотя в теории случайных про-
цессов многие вопросы исследованы и могут быть использованы при решении проблем
угольной энергетики.
Для системы, поведение которой описывается стохастическим дифференциальным
c© И. А. Мальчевский, Б. В. Кузьменко, Л. С. Гапонич, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1 111
112 И. А. МАЛЬЧЕВСКИЙ, Б. В. КУЗЬМЕНКО, Л. С. ГАПОНИЧ
уравнением
dλ(t)
d(t)
= a(λ, t) +
√
b(λ, t)n(t), λ(t0) = λ0,
где a(λ, t), b(λ, t) — коэффициенты соответственно сноса и диффузии — детерминиро-
ванные функции своих аргументов; n(t) — нормальный „белый” шум с известными ста-
тистическими характеристиками
〈n(t)〉 = 0, 〈n(t1)n(t2)〉 = 2Sδ(t1 − t2),
дифференциальное уравнение Фоккера – Планка для плотности вероятности P (λ, t) (λ(t)
— марковский процесс), имеет вид
∂P (λ, t)
∂t
= −∂ [a(λ, t)P (λ, t)]
∂λ
+
1
2
∂2 [b(λ, t)P (λ, t)]
∂λ2
.
На практике часто применяются различные приближенные приемы, связанные с раз-
ложением a(λ, t), b(λ, t) в ряд Тейлора в окрестности точки mλ(t) =
+∞∫
−∞
λP (λ, t)dλ, когда
ограничиваются первыми членами разложения
a(λ, t) ≈ a(mλ, t) +
∂a(mλ, t)
∂mλ
[λ−mλ(t)] , (1)
b(λ, t) ≈ b(mλ, t) +
∂b(mλ, t)
∂mλ
[λ−mλ(t)] +
1
2
∂2b(mλ, t)
∂m2
λ
[λ−mλ(t)]2 . (2)
В этом случае для математического ожидания mλ(t) и дисперсии
Dλ(t) =
+∞∫
−∞
[λ−mλ(t)]2 P (λ, t)dλ
имеет место система обыкновенных дифференциальных уравнений
dmλ
dt
= a(mλ, t) +
1
2
∂2a(mλ, t)
∂m2
λ
Dλ(t),
dDλ(t)
dt
=
[
2
∂a(mλ, t)
∂mλ
+
1
2
∂2b(mλ, t)
∂m2
λ
]
Dλ(t) + b (mλ, t) .
Для случая стохастического воспламенения угольной частицы
λ(τ) = θ(τ) =
E
RT 2
(T − T0), a(λ, τ) =
δ exp(θ)
1 + µ exp(θ)
− θ, b(λ, t) = 2σ = 2
E2S
CαR2T 4
0
,
τ =
αt
c
, δ =
Qk(T0)c0E
αRT 2
0
, µ =
k(T )
β
, k(T ) = Z exp
(
− E
RT
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
ГАУССОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ САМОВОСПЛАМЕНЕНИЯ УГОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ 113
Здесь c — концентрация вещества у поверхности угольной частицы; T1 и T0 — темпера-
тура поверхности и окружающей среды; α и β — коэффициенты тепло- и массообмена;
Q — теплота реакции; C — теплоемкость; c0 — концентрация вещества при температуре
T0; E — энергия активации; R — универсальная газовая постоянная; S — параметр шума,
выражается через коррелятор случайной функции времени, оцениваемый в эксперимен-
те; Z — наблюдаемый предэкспоненциальный множитель.
В более простом случае система дифференциальных уравнений дляmλ(t) иDλ(t) име-
ет вид
dmλ
dt
= a(mλ, t),
dDλ(t)
dt
= 2Dλ(t)
∂a(mλ, t)
∂mλ
+ b (mλ, t) .
В рассматриваемом случае b(mλ, t) = 2σ = const,
∂b(mλ, t)
∂mλ
=
∂2b(mλ, t)
∂m2
λ
= 0,
∂a(mλ, t)
∂mλ
=
δeθ̄(1− µ+ µθ̄)
1 + µeθ̄
,
∂2a(mλ, t)
∂m2
λ
=
δeθ̄(1− µ+ µθ̄)
(1 + µeθ̄)2
, θ̄ =
∞∫
−∞
θP (θ, τ)dθ.
Т. е. для случая, когда учитываются только члены до первого порядка при разложении
коэффициентов a(λ, t), b(λ, t) в ряд Тэйлора, система двух обыкновенных уравнений для
определения θ̄λ(τ) и Dλ(τ) будет иметь вид
D(τ) =
∞∫
−∞
[
θ − θ̄(τ)
]2
P (θ, τ)dθ
:
dθ̄(τ)
dτ
=
δeθ̄(τ)
1 + µeθ̄(τ)
− θ̄(τ),
(3)
dD(τ)
dτ
= 2
[
δeθ̄(τ)
(1 + µeθ̄(τ))2
− 1
]
D(τ) + 2σ.
Для случая, когда учитываются составляющие разложения в ряд Тэйлора до второго по-
рядка включительно, с учетом (1), (2) для θ̄λ(τ) и D(τ) будут иметь место следующие
дифференциальные уравнения:
dθ̄(τ)
dτ
=
δeθ̄(τ)
1 + µeθ̄(τ)
+
δeθ̄(τ)
[
1 + µ(δ − 1)eθ̄(τ)
]
2
[
1 + µeθ̄(τ)
]3 D(τ)− θ̄(τ),
(4)
dD(τ)
dτ
= 2
[
δeθ̄(τ)
(1 + µeθ̄(τ))2
− 1
]
D(τ) + 2σ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
114 И. А. МАЛЬЧЕВСКИЙ, Б. В. КУЗЬМЕНКО, Л. С. ГАПОНИЧ
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3) и (4) дополняются началь-
ными условиями
θ̄λ(τ0) = θ̄0, D(τ0) = D0. (5)
Расчеты по моделям в виде систем (3), (4) и начальных условий (5) проводятся с использо-
ванием компьютерных технологий, включая возможность автоматического управления
процессом воспламенения и последующего горения твердого топлива.
Выводы.
1. Получены математические модели процессов самовоспламенения, учитывающие
случайную структуру этого процесса. Переменные величины моделей содержат величи-
ну средней температуры пылевоздушной смеси, ее дисперсию как вероятную величину и
существенно упрощают математическое описание процесса, поскольку не содержат диф-
ференциальную функцию распределения.
2. Полученные модели дают возможность исследовать динамику температуры нагре-
вающейся пылевоздушной смеси с учетом состава ее компонентов, а также аэродинами-
ческих и других характеристик потока.
1. Федотов С. П., Третьяков М. В. Стационарные режимы гетерогенных химических реакций при на-
личии внешних шумов // Хим. физика. — 1990. — 7, № 11. — С. 1533 – 1538.
2. Волков Э. П., Зайчик Л. И., Першуков В. А. Моделирование горения твердого топлива. — М.: Наука,
1994. — 320 с.
3. Кузьменко Б. В., Мальчевский И. А. Стохастическое моделирование процессов самовоспламенения и
горения частиц твердого топлива // Экотехнологии и ресурсосбережения. — 2000. — № 6. — С. 3 – 6.
Получено 10.06.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
|