Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки
Наведено деякi нелiнiйнi математичнi моделi коливних процесiв при поперечному перерiзi судинної стiнки. We give some nonlinear mathematical models for oscillating processes in a cross-section of the wall of the
 vessel....
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177012 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки / В.В. Новицький, Н.С. Браніцька // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 356-364. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860268596557512704 |
|---|---|
| author | Новицький, В.В. Браніцька, Н.С. |
| author_facet | Новицький, В.В. Браніцька, Н.С. |
| citation_txt | Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки / В.В. Новицький, Н.С. Браніцька // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 356-364. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Наведено деякi нелiнiйнi математичнi моделi коливних процесiв при поперечному перерiзi судинної стiнки.
We give some nonlinear mathematical models for oscillating processes in a cross-section of the wall of the
vessel.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:04:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 31.534
ДЕЯКI НЕЛIНIЙНI МАТЕМАТИЧНI МОДЕЛI КОЛИВНИХ ПРОЦЕСIВ
ПРИ ПОПЕРЕЧНОМУ ПЕРЕРIЗI СУДИННОЇ СТIНКИ
В. В. Новицький, Н. С. Бранiцька
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We give some nonlinear mathematical models for oscillating processes in a cross-section of the wall of the
vessel.
Наведено деякi нелiнiйнi математичнi моделi коливних процесiв при поперечному перерiзi судин-
ної стiнки.
Вiдомо, що в людини серце, кровоноснi i лiмфатичнi судини утворюють серцево-судинну
систему. До кровоносних судин належать: артерiї, артерiоли, капiляри, венули i вени.
Стiнка великих артерiй i вен складається з трьох головних шарiв (оболонок): внут-
рiшня (iнтима), середня (медiя) i зовнiшня (адвентицiя).
Ендотелiй, пiдендотелiальний шар та внутрiшня еластична мембрана утворюють внут-
рiшню оболонку. Каркас середньої оболонки (медiї) утворюють вiд 40 до 60 з’єднаних мiж
собою концентричних еластичних мембран. Пружинноподiбна структура медiї забезпе-
чує повернення судинної стiнки у початкове положення пiсля розтягу її пульсовою хви-
лею кровi. Ця оболонка переважно являє собою найтовстiший шар стiнки судини, будова
i властивостi якого суттєво вiдрiзняються в рiзних областях системи кровообiгу. Саме то-
му в лiтературi артерiї подiляють на артерiї еластичного i м’язевого типiв. Вiдомо, що
в нормi спiввiдношення товщини внутрiшньої i середньої оболонок складає приблизно
1 : 10. Вважається, що в усiх малих артерiях середнiй шар є головною структурою, яка
утворює стiнку судини [1 – 4].
Зовнiшня оболонка (адвентицiя) деяких артерiй може бути такою ж товстою, як i
середня, або навiть товщою, i складається з рихлої з’єднувальної тканини з рiдкими ела-
стиновими i колагеновими волокнами.
Вiдомо, що пружнi властивостi стiнок артерiй є нелiнiйними i їхнiй модуль пружнос-
тi Юнга збiльшується з вiддаленням вiд серця [3, 5]. Що стосується складових стiнки су-
дини, то еластин — це гумоподiбний матерiал, модуль пружностi Юнга якого дорiвнює
приблизно 3·105 Н·м−2. Колаген жорсткiший за еластин, його модуль Юнга дорiвнює при-
близно 108 Н·м−2. Модуль пружностi Юнга для гладких м’язiв приблизно такий, як i в ела-
стину. Його значення залежить вiд рiвня фiзiологiчної активностi i може змiнюватися вiд
1·105 Н·м−2 (повнiстю розслабленi гладкi м’язи) до 2·106 Н·м−2 (в активному станi) [3].
Будова стiнки великих вен аналогiчна будовi стiнки артерiй, проте вони мають певнi
вiдмiнностi: середня оболонка венозної стiнки значно тонша за аналогiчну в артерiаль-
нiй, а зовнiшня (адвентицiя) складається переважно з колагенових волокон i є основою
венозної стiнки [1, 3]. Венозна стiнка тонша за артерiальну i є менш пружною.
Вивченням загальних механiчних властивостей судинної стiнки i їх змiн при патологiч-
них станах вченi займалися досить давно. Так, Ю. А. Владимиров та iн. (1983 р.) не тiльки
c© В. В. Новицький, Н. С. Бранiцька, 2004
356 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ДЕЯКI НЕЛIНIЙНI МАТЕМАТИЧНI МОДЕЛI КОЛИВНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 357
дослiджували iзольованi стiнки судини (визначали кривi розтягу при тангенцiальнiй та
поздовжнiй деформацiях), але й вивчали деформацiю цiлої судини [5]. Пружнi властивос-
тi стiнок судин вивчали К. Каро, Т. Педлi, Р. Шротер, У. Сiд [3].
Сьогоднi експериментальними дослiдженнями поведiнки стiнок кровоносних судин та
їх математичним моделюванням займаються А. Вольмiр, М. Герштейн, Б. Пурiня,
П. I. Бєгун, Ю А. Шукейло та iн [1, 6]. Автори побудували просту розрахункову схему
для визначення напруг у стiнцi судини при її малих та великих деформацiях, описали схе-
му багатошарової оболонки, в якiй тече в’язка рiдина, дослiдили пiддатливiсть судинної
стiнки в поперечному та поздовжньому напрямках як основу для створення штучного за-
мiнника та iн.
Побудуємо нелiнiйну математичну модель коливних процесiв при поперечному пере-
рiзi судинної стiнки.
Уявимо динамiчну модель поперечного перерiзу судини у виглядi шестимасової (2mi,
i = 1, 6) системи. Поперечним перерiзом судини є коло iз центром у точцi (0; 0) в системi
координат Оxy.
Мiж масами встановлюємо 6 пружин iз рiзними жорсткостями (ci, i = 1, 6) та вiдпо-
вiдно 6 пружин мiж масами та центром у точцi (0; 0) (c0i, i = 1, 6).
Дана система має 12 степенiв вiльностi, оскiльки положення кожної маси (2mi, i =
= 1, 6) в системi координат Оxy характеризується двома незалежними координатами
вiдповiдно ((xi, yi), i = 1, 6). Тому узагальненi координати системи будуть такими: q1 =
= x1, q2 = y1, q3 = x2, q4 = y2, q5 = x3, q6 = y3, q7 = x4, q8 = y4, q9 = x5, q10 = y5,
q11 = x6, q12 = y6.
Розглянемо власнi коливання системи з 12 степенями вiльностi без урахування тер-
тя. Для отримання вiдповiдних диференцiальних рiвнянь руху скористаємося рiвняннями
Лагранжа II роду [7, 8]
d
dt
∂T
∂
·
qi
− ∂T
∂qi
= −∂Π
∂qi
, i = 1, n,
де qi — узагальненi координати, T — кiнетична енергiя системи, Π — потенцiальна
енергiя.
У положеннi рiвноваги цю систему можна описати таким чином: коло вибраного ра-
дiуса R дiлимо на 6 рiвностороннiх трикутникiв, на колi розмiщуємо 6 мас (при цьому
маси 2m1 та 2m4 знаходяться на осi Ox). У положеннi рiвноваги початкова довжина усiх
пружин системи дорiвнює R.
Запишемо кiнетичну та потенцiальну енергiї [9] дослiджуваної моделi у виглядi (вва-
жаємо, що c0 = c6, y0 = y6, x0 = x6, y7 = y1, x7 = x1)
T =
1
2
6∑
i=1
2miẏ
2
i +
1
2
6∑
i=1
2miẋ
2
i ,
Π =
1
2
(
6∑
i=1
2ci
(√
(yi+1 − yi)2 + (xi+1 − xi)2 −R
)2
+
6∑
i=1
2c0i
(√
y2
i + x2
i −R
)2
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
358 В. В. НОВИЦЬКИЙ, Н. С. БРАНIЦЬКА
де 2mi — маси, (xi, yi) — вiдповiднi координати мас 2mi, сi та с0i — вiдповiднi жорсткостi
мiж масами та центром (0, 0) системи, R — початкова довжина пружин сиcтеми, i = 1, 6.
Iз рiвнянь Лагранжа II роду пiсля вiдповiдних обчислень та перетворень одержимо
рiвняння руху
miẋi − ci−1R
xi − xi−1√
(yi − yi−1)2 + (xi − xi−1)2
+ ciR
xi+1 − xi√
(yi+1 − yi)2 + (xi+1 − xi)2
−
− c0iR
xi√
y2
i + x2
i
+ ci−1(xi − xi−1)− ci(xi+1 − xi) + c0ixi = 0,
(1)
miẏi − ci−1R
yi − yi−1√
(yi − yi−1)2 + (xi − xi−1)2
+ ciR
yi+1 − yi√
(yi+1 − yi)2 + (xi+1 − xi)2
−
− c0iR
yi√
y2
i + x2
i
+ ci−1(yi − yi−1)− ci(yi+1 − yi) + c0iyi = 0,
i = 1, 6.
Введемо позначення
q =
[
x
y
]
, x =
x1
...
x6
, y =
y1
...
y6
i запишемо рiвняння (1) у матричнiй формi
A
··
q + Cq + N(q) = 0, (2)
де A = diag {A,A}, A = diag {m1,m2, . . . ,m6},
C = diag {C,C}, де C =
C11 C12 0 0 0 C16
C12 C22 C23 0 0 0
0 C23 C33 C34 0 0
0 0 C34 C44 C45 0
0 0 0 C45 C55 C56
C16 0 0 0 C56 C66
,
Cij =
ci−1 + ci + c0i, i = j, j = 1, 6,
−ci−1, 1 ≤ i < j ≤ 6, j = i + 1,
−ci−1, i = 1, j = 6.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ДЕЯКI НЕЛIНIЙНI МАТЕМАТИЧНI МОДЕЛI КОЛИВНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 359
Нелiнiйну частину (2) запишемо у виглядi
N(q) =
[
Nx
Ny
]
,
де
Nx = −ci−1R
xi − xi−1√
(yi − yi−1)2 + (xi − xi−1)2
+
+ ciR
xi+1 − xi√
(yi+1 − yi)2 + (xi+1 − xi)2
− c0iR
xi√
y2
i + x2
i
,
Ny = −ci−1R
yi − yi−1√
(yi − yi−1)2 + (xi − xi−1)2
+
+ ciR
yi+1 − yi√
(yi+1 − yi)2 + (xi+1 − xi)2
− c0iR
yi√
y2
i + x2
i
,
i = 1, 6.
Розглянемо випадок, коли стiнка судини є однорiдною та iзотропною i серцево-судинна
система людини функцiонує в нормi, зокрема коливання судинної стiнки є iдеальними,
тобто такими, якi вiдповiдають руховi мас у напрямку вiдповiдних променiв. У цьому ви-
падку mi = m, ci = c, c0i = c0, i = 1, 6, i маємо такi геометричнi в’язi:
y1 = 0, y2 = −
√
3x2, y3 =
√
3x3,
(3)
y4 = 0, y5 = −
√
3x5, y6 =
√
3x6.
Оскiльки в початковий момент часу усi маси знаходяться на колi радiуса R0 i закони
коливань усiх мас однаковi по вiдношенню до центра, то
x1(t) = −x(t), x2(t) = x6(t) = −1
2
x(t), x3(t) = x5(t) =
1
2
x(t), x4(t) = x(t), (4)
x1(0) = −R0, x2(0) = x6(0) = −1
2
R0, x3(0) = x5(0) =
1
2
R0, x4(0) = R0,
·
x1(0) = − ·
x0,
·
x2(0) =
·
x6(0) = −1
2
·
x0,
·
x3(0) =
·
x5(0) =
1
2
·
x0,
·
x4(0) =
·
x0. (5)
Пiдставивши (3) та (4) в систему рiвнянь (1), отримаємо дванадцять однакових лiнiй-
них диференцiальних рiвнянь другого порядку, а саме:
m
··
x + (c + c0)x− (c + c0)R = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
360 В. В. НОВИЦЬКИЙ, Н. С. БРАНIЦЬКА
Розв’язок такого рiвняння має вигляд
x(t) = R + C1 sinωt + C2 cos ωt = R + D sin(ωt + ϕ),
де
ω =
√
c0 + c
m
, C1 =
V
ω
, C2 = R0 −R, tanϕ =
C2
C1
, D =
√
C2
1 + C2
2 ,
оскiльки з початкових умов при t = t0 усi маси знаходяться на колi радiуса R0 i швидкiсть
при t = t0 усiх мас дорiвнює V.
Одержимо систему рiвнянь збуреного руху, врахувавши, що незбурений рух x∗(t) має
вигляд
x∗(t) = R + D sin(ωt + ϕ),
x∗1(t) = −x∗(t), x∗2(t) = x∗6(t) = −1
2
x∗(t),
(6)
x∗3(t) = x∗5(t) =
1
2
x∗(t), x∗4(t) = x∗(t),
y∗1(t) = y∗4(t) = 0, y∗2(t) = y∗3(t) = y∗5(t) = y∗6(t) =
√
3
2
x∗(t).
Тодi узагальненi координати у збуреному русi запишуться так:
xi(t) = x∗i (t) + ξi(t),
(7)
yi(t) = y∗i (t) + ηi(t), i = 1, 6,
де x∗i та y∗i — вiдповiднi координати в незбуреному русi (6), а ξi та ηi — збурення.
Пiдставивши (7) у систему (1), отримаємо рiвняння
mi(x∗i + ξi)
.. − ci−1R
(x∗i + ξi)− (x∗i−1 + ξi−1)√
((y∗i + ηi)− (y∗i−1 + ηi−1))2 + ((x∗i + ξi)− (x∗i−1 + ξi−1))2
+
+ ciR
(x∗i+1 + ξi+1)− (x∗i + ξi)√
((y∗i+1 + ηi+1)− (y∗i + ηi))2 + ((x∗i+1 + ξi+1)− (x∗i + ξi))2
−
− c0iR
x∗i + ξi√
(y∗i + ηi)2 + (x∗i + ξi)2
+ ci−1((x∗i + ξi)− (x∗i−1 + ξi−1))−
− ci(x∗i+1 + ξi+1)− (x∗i + ξi) + c0i(x∗i + ξi) = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ДЕЯКI НЕЛIНIЙНI МАТЕМАТИЧНI МОДЕЛI КОЛИВНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 361
mi(y∗i + ηi)
.. − ci−1R
(y∗i + ηi)− (y∗i−1 + ηi−1)√
((y∗i + ηi)− (y∗i−1 + ηi−1))2 + ((x∗i + ξi)− (x∗i−1 + ξi−1))2
+
+ ciR
(y∗i+1 + ηi+1)− (y∗i + ηi)√
((y∗i+1 + ηi+1)− (y∗i + ηi))2 + ((x∗i+1 + ξi+1)− (x∗i + ξi))2
−
− c0iR
y∗i + ηi√
(y∗i + ηi)2 + (x∗i + ξi)2
+ ci−1((y∗i + ηi)− (y∗i−1 + ηi−1))−
− ci(y∗i+1 + ηi+1)− (y∗i + ηi) + c0i(y∗i + ηi) = 0,
i = 1, 6.
Використавши мализну збурень, розкладемо нелiнiйнi функцiї в ряд Тейлора в околi
точки (ξi, ηi) = (0, 0). В результатi отримаємо лiнiйну нестацiонарну систему
miξi
.. − ci−1(ξi − ξi−1)(Rf1i(t)− 1) + ci(ξi+1 − ξi)(Rf3i(t)− 1)− c0iξi(Rf5i(t)− 1)+
+ ci−1(ηi − ηi−1)Rf2i(t)− ci(ηi+1 − ηi)Rf4i(t) + c0iηiRf6i(t) = 0,
(8)
miηi
.. − ci−1(ηi − ηi−1)(Rh1i(t)− 1) + ci(ηi+1 − ηi)(Rh3i(t)− 1)− c0iηi(Rh5i(t)− 1)+
+ ci−1(ξi − ξi−1)Rf2i(t)− ci(ξi+1 − ξi)Rf4i(t) + c0iξiRf6i(t) = 0,
i = 1, 6,
де
f1i(t) =
(y∗i − y∗i−1)
2√
((y∗i − y∗i−1)2 + (x∗i − x∗i−1)2)3
, f2i(t) =
(x∗i − x∗i−1)(y
∗
i − y∗i−1)√
((y∗i − y∗i−1)2 + (x∗i − x∗i−1)2)3
,
f3i(t) =
(y∗i+1 − y∗i )
2√
((y∗i − y∗i−1)2 + (x∗i − x∗i−1)2)3
, f4i(t) =
(x∗i+1 − x∗i )(y
∗
i+1 − y∗i )√
((y∗i − y∗i−1)2 + (x∗i − x∗i−1)2)3
,
f5i(t) =
y∗i
2√
(y∗i
2 + x∗i
2)3
, f6i(t) =
x∗i y
∗
i√
(y∗i
2 + x∗i
2)3
,
h1i(t) =
(x∗i − x∗i−1)
2√
((y∗i − y∗i−1)2 + (x∗i − x∗i−1)2)3
, h3i(t) =
(x∗i+1 − x∗i )
2√
((y∗i − y∗i−1)2 + (x∗i − x∗i−1)2)3
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
362 В. В. НОВИЦЬКИЙ, Н. С. БРАНIЦЬКА
h5i(t) =
x∗i
2√
(y∗i
2 + x∗i
2)3
, h6i(t) = f6i(t),
i = 1, 6.
Запишемо (8) у матричному виглядi
A
··
g + (C + C1(t))g = 0,
де
g =
[
ξ
η
]
, ξ =
ξ1
...
ξ6
, η =
η1
...
η6
,
матрицi A i C описано в (2), C1(t) =
[
Cξ C∗
C∗ Cη
]
,
Cξ =
Cξ
11 Cξ
12 0 0 0 Cξ
16
Cξ
12 Cξ
22 Cξ
23 0 0 0
0 Cξ
23 Cξ
33 Cξ
34 0 0
0 0 Cξ
34 Cξ
44 Cξ
45 0
0 0 0 Cξ
45 Cξ
55 Cξ
56
Cξ
16 0 0 0 Cξ
56 Cξ
66
(Cη та C∗ записуються аналогiчно),
Cξ
ij =
−ci−1Rf1i(t)− ciRf3i(t)− c0iRf5i(t), i = j, j = 1, 6,
ciRf3i(t), 1 ≤ i < j ≤ 6, j = i + 1,
ciRf3i(t), i = 1, j = 6,
Cη
ij =
−ci−1Rh1i(t)− ciRh3i(t)− c0iRh5i(t), i = j, j = 1, 6,
ciRh3i(t), 1 ≤ i < j ≤ 6, j = i + 1,
ciRh3i(t), i = 1, j = 6,
C∗
ij =
ci−1Rf2i(t) + ciRf4i(t) + c0iRf6i(t), i = j, j = 1, 6,
−ciRf4i(t), 1 ≤ i < j ≤ 6, j = i + 1,
−ciRf4i(t), i = 1, j = 6.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ДЕЯКI НЕЛIНIЙНI МАТЕМАТИЧНI МОДЕЛI КОЛИВНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 363
Використовуючи (6), запишемо усi функцiї fji(t) та hji(t), j, i = 1, 6, вважаючи, що X(t) =
= |x∗(t)|−1:
f1i(t) =
3
4
X(t), i = 1, 2, 4, 5, f1i(t) = 0, i = 3, 6,
f2i(t) =
√
3
4
X(t), i = 1, 2, f2i(t) = 0, i = 3, 6, f2i(t) = −
√
3
4
X(t), i = 4, 5,
f3i(t) =
3
4
X(t), i = 1, 3, 4, 6, f3i(t) = 0, i = 2, 5,
f4i(t) =
√
3
4
X(t), i = 1, 6, f4i(t) = 0, i = 2, 5, f4i(t) = −
√
3
4
X(t), i = 3, 4,
f5i(t) =
3
4
X(t), i = 2, 3, 5, 6, f5i(t) = 0, i = 1, 4, (9)
f6i(t) =
√
3
4
X(t), i = 3, 5, f6i(t) = 0, i = 1, 4, f6i(t) = −
√
3
4
X(t), i = 2, 6,
h1i(t) =
1
4
X(t), i = 1, 2, 4, 5, h1i(t) = X(t), i = 3, 6,
h3i(t) =
1
4
X(t), i = 1, 3, 4, 6, h3i(t) = X(t), i = 2, 5,
h5i(t) =
1
4
X(t), i = 2, 3, 5, 6, h5i(t) = X(t), i = 1, 4.
Використовуючи функцiї (9) та враховуючи, що X(t) = |R +D sin(ωt+ϕ)|−1, можна зро-
бити висновок, що вибирати довiльним чином m,R, c0, c, R0, V не можна. Для того щоб
судина не сплющувалася, що є нормою для функцiонування судинної системи, необхiдно,
щоб R > D, тобто
R >
1
2
(
mV 2
R0(c0 + c)
+ R0
)
.
Отже, за допомогою описаних моделей можна дослiдити один iз варiантiв власних ко-
ливань судинної стiнки при поперечному перерiзi без тиску кровi на неї. Iншi коливання
стiнки судин потребують окремого дослiдження.
Слiд наголосити на необхiдностi дослiдження таких моделей, адже побудованi систе-
ми можна максимально наблизити до реальної картини функцiонування судинної стiнки
шляхом пiдбирання вiдповiдних пружин (описати усi оболочки, з яких складається стiнка
судини in vivo).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
364 В. В. НОВИЦЬКИЙ, Н. С. БРАНIЦЬКА
1. Бегун П. И., Шукейло Ю. А. Биомеханика: Уч. для вузов. — СПб.: Политехника, 2000. – 463 с.
2. Лелюк В. Г., Лелюк С. Э. Ультразвуковая ангиология. — 2-е изд., доп. и пер. — М.: Реальное время,
2003. — 336 с.
3. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения / Под ред. С. А. Регирера,
В. М. Хаютина: Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. — 162 с.
4. Морман Д., Хеллер. Л. Физиология сердечно-сосудистой системы. — СПб.: Питер, 2000. — 256 с.
5. Владимиров Ю. А., Рощупкин Д. И., Потапенко А. Я., Деев А. И. Биофизика: Уч. / Под ред. Ю. А.
Владимирова. — М.: Медицина, 1983. — 272 с.
6. Вольмир А. С., Герштейн М. С. Проблемы динамики оболочек кровеносных сосудов // Механика по-
лимеров. — 1970. — №2. — С. 373 – 379.
7. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах: Уч. пос. /
Под ред. Г. Ю. Джанелидзе и Д. Р. Меркина. — М.: Наука, 1973. — Т. 3. — 488 с.
8. Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике: Уч. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина,
А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. — 496 с.
9. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. — М.: Наука, 1980. —
384 с.
Одержано 18.04.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177012 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:04:16Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Новицький, В.В. Браніцька, Н.С. 2021-02-09T20:36:45Z 2021-02-09T20:36:45Z 2004 Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки / В.В. Новицький, Н.С. Браніцька // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 356-364. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177012 31.534 Наведено деякi нелiнiйнi математичнi моделi коливних процесiв при поперечному перерiзi судинної стiнки. We give some nonlinear mathematical models for oscillating processes in a cross-section of the wall of the
 vessel. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки Article published earlier |
| spellingShingle | Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки Новицький, В.В. Браніцька, Н.С. |
| title | Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки |
| title_full | Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки |
| title_fullStr | Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки |
| title_full_unstemmed | Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки |
| title_short | Деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки |
| title_sort | деякі нелінійні математичні моделі коливних процесів при поперечному перерізі сдинної стінки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177012 |
| work_keys_str_mv | AT novicʹkiivv deâkínelíníinímatematičnímodelíkolivnihprocesívpripoperečnomupererízísdinnoístínki AT branícʹkans deâkínelíníinímatematičnímodelíkolivnihprocesívpripoperečnomupererízísdinnoístínki |