Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією
На пiдставi рiвномiрних оцiнок осциляцiйних iнтегралiв i сум доведено теореми про асимптотичну та умовну асимптотичну стiйкiсть iнтегрального многовиду багаточастотної системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу. Using uniform estimates for oscillating integr...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177013 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією / Р.І. Петришин, П.М. Дудницький // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 365-394. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859732014851162112 |
|---|---|
| author | Петришин, Р.І. Дудницький, П.М. |
| author_facet | Петришин, Р.І. Дудницький, П.М. |
| citation_txt | Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією / Р.І. Петришин, П.М. Дудницький // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 365-394. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | На пiдставi рiвномiрних оцiнок осциляцiйних iнтегралiв i сум доведено теореми про асимптотичну та умовну асимптотичну стiйкiсть iнтегрального многовиду багаточастотної системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу.
Using uniform estimates for oscillating integrals and sums, we prove theorems on asymptotic and conditional asymptotic stability of the integral manifold of a multifrequence differential system with impulsive
effects at fixed times.
|
| first_indexed | 2025-12-01T14:01:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.928
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ
З ПОВIЛЬНО ЗМIННИМИ ЧАСТОТАМИ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
Р. I. Петришин, П. М. Дудницький
Чернiв. нац. ун-т
Україна, 58012, Чернiвцi, вул. Коцюбинського, 2
e-mail: rompetr@math.chnu.cv.ua
Using uniform estimates for oscillating integrals and sums, we prove theorems on asymptotic and condi-
tional asymptotic stability of the integral manifold of a multifrequence differential system with impulsive
effects at fixed times.
На пiдставi рiвномiрних оцiнок осциляцiйних iнтегралiв i сум доведено теореми про асимпто-
тичну та умовну асимптотичну стiйкiсть iнтегрального многовиду багаточастотної систе-
ми звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу.
Метод iнтегральних многовидiв у теорiї диференцiальних рiвнянь є потужним матема-
тичним апаратом, оскiльки дослiдження розв’язкiв таких рiвнянь значно спрощується,
якщо вони належать многовиду меншого вимiру, нiж вимiр фазового простору. Цей метод
було поширено на рiзнi класи диференцiальних рiвнянь [1 – 5], в тому числi i на квазiлiнiй-
нi системи з iмпульсною дiєю [6]. У роботi [7] встановлено умови iснування iнтегрального
многовиду одночастотної iмпульсної коливної системи, а у [8] цей результат узагальнено
на випадок багаточастотних резонансних систем.
Основний результат даної статтi полягає в тому, що на пiдставi рiвномiрних оцiнок
осциляцiйних iнтегралiв i сум вивчено питання стiйкостi побудованого у [8] iнтегрального
многовиду iмпульсної коливної системи з повiльно змiнними частотами.
Розглянемо нелiнiйну коливну систему звичайних диференцiальних рiвнянь iз повiль-
но змiнними частотами та iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу tν = ε−1τν вигляду
dx
dτ
= a(x, τ) + ã(x, ϕ, τ) + εA(x, ϕ, τ, ε),
dϕ
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b(x, ϕ, τ, ε), τ 6= τν , (1)
∆x|τ=τν = εp(x, τν) + εp̃(x, ϕ, τν) + ε2P (x, ϕ, τν , ε), ∆ϕ|τ=τν = εq(x, ϕ, τν , ε),
де x ∈ D ⊂ Rn, ϕ ∈ Rm, (0, ε0] 3 ε — малий параметр, τ = εt ∈ R, τν+1 − τν = εθ
для всiх ν ∈ Z, θ — додатне число, D — обмежена область, правi частини рiвностей в (1)
належать певним класам гладких i 2π-перiодичних за кожною iз координат ϕs, s = 1,m,
вектора ϕ функцiй. Не втрачаючи загальностi, середнi по ϕ в кубi перiодiв функцiй ã i p̃
можна вважати тотожними нулями.
c© Р. I. Петришин, П. М. Дудницький, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3 365
366 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
Нехай
(a, ã, A, b, p, p̃, P, q) ∈ C1
x,ϕ,τ (G, σ1),
∑
k 6=0
‖k‖µ
[
‖k‖ sup
G
‖ck‖+ sup
G
∥∥∥∥∥∂ck∂x
∥∥∥∥∥+ sup
G
∥∥∥∥∥∂ck∂τ
∥∥∥∥∥+
+‖k‖2
(
‖k‖ sup
G
‖rk‖+ sup
G
∥∥∥∥∥∂rk∂x
∥∥∥∥∥+ sup
G
∥∥∥∥∥∂rk∂τ
∥∥∥∥∥
)]
≤ σ1, (2)
sup
τ∈R
‖(V ∗l (τ)Vl(τ))−1V ∗l (τ)‖ ≤ σ1,
причому функцiї
dgωs(τ)
dτ g
, g = 0, l, l ≥ m, s = 1,m, рiвномiрно неперервнi на R, а матриця
B(x, τ) =
∂
∂x
(a(x, τ), p(x, τ)) розмiрностi 2n × n одностайно по τ ∈ R рiвномiрно непе-
рервна по x ∈ D, тобто для довiльного δ1 > 0 iснує таке не залежне вiд τ , x i y число
δ2 > 0, що
‖B(x, τ)−B(y, τ)‖ < δ1, x ∈ D, y ∈ D, τ ∈ R, (3)
при ‖x − y‖ < δ2. В умовах (2) G = D × Rm × R × (0, ε0], µ — число, яке буде уточ-
нене нижче, σ1 — додатна стала, C1
x,ϕ,τ (G, σ1) — множина вектор-функцiй, якi при кож-
ному ε ∈ (0, ε0] мають неперервнi та обмеженi σ1 частиннi похiднi першого порядку
по x, ϕ, τ на множинi D × Rm+1, ck = ck(x, τ, ε) i rk = rk(x, τ, ε) — коефiцiєнти Фур’є
2π-перiодичних по ϕs, s = 1,m, вектор-функцiй c(x, ϕ, τ, ε) = (ã(x, ϕ, τ), b(x, ϕ, τ, ε)) i
r(x, ϕ, τ, ε) = (p̃(x, ϕ, τ), q(x, ϕ, τ, ε)), k — m-вимiрний вектор з цiлочисловими коорди-
натами, Vl(τ) i V ∗l (τ) позначають вiдповiдно матрицю(
dgωs(τ)
dτ g
)l,m
g,s=1
розмiрностi l × m i транспоновану матрицю. Пiд нормою вектора розумiємо евклiдову
норму, а норму матрицi узгоджено з евклiдовою нормою вектора.
Вважатимемо, що усереднена за всiма кутовими змiнними система диференцiальних
рiвнянь з iмпульсною дiєю
dx̃
dτ
= a(x̃, τ), τ 6= τν , ∆x|τ=τν = εp(x̃, τν) (4)
має розв’язок x̃ = ξ(τ, ε), який визначений для всiх τ ∈ R, ε ∈ (0, ε0] i належить D разом
iз своїм ρ-околом, ρ > 0, а вiдповiдна цьому розв’язку система у варiацiях [6]
dz
dτ
= H(τ, ε)z, ∆z|τ=τν = εG(τν , ε)z (5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 367
гiперболiчна [6] рiвномiрно по ε. При такому обмеженнi (5) розпадається на двi сепаратнi
лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю:
dz+
dτ
= H+(τ, ε)z+, τ 6= τν , ∆z+|τ=τν = εG+(τν , ε)z+, (6)
dz−
dτ
= H−(τ, ε)z−, τ 6= τν , ∆z−|τ=τν = εG−(τν , ε)z−, (7)
де z = (z+, z−), z+ ∈ Rn0 , z− ∈ Rn−n0 , n0 не залежить вiд ε, H(τ, ε) = diag (H+(τ, ε),
H−(τ, ε)), G(τ, ε) = diag (G+(τ, ε), G−(τ, ε)), а матрицанти Q+(τ, t, ε) i Q−(τ, t, ε) лiнiйних
систем (6) i (7) задовольняють нерiвностi
‖Q+(τ, t, ε)‖ ≤ Keγ(τ−t), τ ≤ t ∈ R, ε ∈ (0, ε0],
(8)
‖Q−(τ, t, ε)‖ ≤ Ke−γ(τ−t), τ ≥ t ∈ R, ε ∈ (0, ε0],
з не залежними вiд ε сталими K ≥ 1 i γ > 0.
За таких припущень умови
σ0 = σ̃0 + σ
˜
0 < 1, (9)
де
σ̃0 =
2K
γ
sup
G
∥∥∥∥∥∂ã(x, ϕ, τ)∂x
∥∥∥∥∥, σ
˜
0 =
2K
γθ
sup
G
∥∥∥∥∥∂p̃(x, ϕ, τ)∂x
∥∥∥∥∥,
у роботi [8] доведено iснування iнтегрального многовиду y = Y (ψ, τ, ε) системи
dy
dτ
= H(τ, ε)y + F1(y, ϕ, τ, ε),
dϕ
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b(ξ(τ, ε) + y, ϕ, τ, ε), τ 6= τν ,
(10)
∆y|τ=τν = εG(τν , ε)y + εΦ1(y, ϕ, τν , ε), ∆ϕ|τ=τν = εg(ξ(τν , ε) + y, ϕ, τν , ε),
яку одержуємо з (1) шляхом замiни y = x− ξ(τ, ε). Тут
F1(y, ϕ, τ, ε) = F (y, τ, ε) + ã(ξ(τ, ε) + y, ϕ, τ) + εA(ξ(τ, ε) + y, ϕ, τ, ε),
Φ1(y, ϕ, τ, ε) = Φ(y, τ, ε) + p̃(ξ(τ, ε) + y, ϕ, τ) + εP (ξ(τ, ε) + y, ϕ, τ, ε),
F (y, τ, ε) = a(ξ(τ, ε) + y, τ)− a(ξ(τ, ε), τ)−H(τ, ε)y,
Φ(y, τ, ε) = p(ξ(τ, ε) + y, τ)− p(ξ(τ, ε), τ)−G(τ, ε)y.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
368 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
У [8] встановлено, що функцiя Y (ψ, τ, ε) — 2π-перiодична по ψs, s = 1,m, кусково-
неперервна по τ з розривами першого роду в точках τν , ‖Y (ψ, τ, ε)‖ ≤ d1ε
β для всiх ψ ∈
∈ Rm, τ ∈ R, ε ∈ (0, ε0] (β = (l + 1)−1, d1 — стала), задовольняє умову Лiпшиця по ψ зi
сталою d2ε
β i її можна визначити як границю при j → ∞ послiдовних наближень
Yj+1(ψ, τ, ε) =
∞∫
−∞
Q(τ, t, ε)F1(Yj(ϕtτ,j(ψ, ε), t, ε), t, ε), ϕ
t
τ,j(ψ, ε), t, ε)dt+
+ ε
∑
−∞<τν<∞
Q(τ, τν , ε)Φ1(Yj(ϕτντ,j(ψ, ε), τν , ε), ϕ
τν
τ,j(ψ, ε), τν , ε), (11)
де j ≥ 0, Y0 = 0, Q(τ, t, ε) — n-вимiрна квадратна матриця, яка визначається рiвнiстю
Q(τ, t, ε) =
{
−diag (Q+(τ, t, ε), 0), τ < t,
diag (0, Q−(τ, t, ε)), τ > t,
i на пiдставi (8) задовольняє нерiвнiсть
‖Q(τ, t, ε)‖ ≤ Ke−γ|τ−t|, τ ∈ R, t ∈ R, ε ∈ (0, ε0], (12)
а ϕ = ϕτt,j(ψ, ε) — розв’язок системи диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю
dϕ
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b(ξ(τ, ε) + Yj(ϕ, τ, ε), ϕ, τ, ε), τ 6= τν ,
(13)
∆ϕ|τ = τν = εq(ξ(τν , ε) + Yj(ϕ, τν , ε), ϕ, τν , ε),
який при τ = t набуває значення ψ.
Дослiдимо спочатку випадок n0 = 0, тобто випадок Q(τ, t, ε) = Q−(τ, t, ε) при τ > t i
Q(τ, t, ε) = 0 при τ < t, завдяки чому ξ(τ, ε) — асимптотично стiйкий розв’язок системи
(4). Як випливає з роботи [8], при n0 = 0 нерiвнiсть (9) можна послабити до вигляду
σ0 < 2.
Далi нам буде потрiбне наступне твердження, в якому x0 = ξ(τ0, ε), а x̃ττ∗(y, ε) i xττ∗(y,
ψ, ε), ϕττ∗(y, ψ, ε) — тi розв’язки систем вiдповiдно (4) i (1), для яких
x̃τ∗τ∗(y, ε) = y, xτ∗τ∗(y, ψ, ε) = y, ϕτ∗τ∗(y, ψ, ε) = ψ.
На пiдставi припущень (2) функцiї a, ã, A, b, p, p̃, P, q мають обмеженi частиннi похiднi
першого порядку по x, ϕ i при досить малому ε0 > 0 вiдображення
x → x+ εp(x, τν) + εp̃(x, ϕ, τν) + ε2P (x, ϕ, τν , ε),
ϕ → ϕ+ εq(x, ϕ, τν , ε)
взаємно однозначне. Тому розв’язки x̃ττ∗(y, ε) i xττ∗(y, ψ, ε), ϕ
τ
τ∗(y, ψ, ε) вiдповiдних систем
iснують i єдинi на деякому часовому промiжку (τ∗ − α, τ∗ + +α).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 369
Теорема 1. Нехай:
1) виконуються умови (2) при µ = −1 i (3);
2) iснує розв’язок ξ(τ, ε) системи (4), який визначений для всiх τ ∈ R, ε ∈ (0, ε0] i
належить D разом iз своїм ρ-околом;
3) матрицант Q−(τ, t, ε) системи у варiацiях (5) задовольняє нерiвнiсть
‖Q−(τ, t, ε)‖ ≤ Ke−γ(τ−t), τ ≥ t ∈ R, ε ∈ (0, ε0].
Тодi iснують такi додатнi сталi c1, c2, h i ε∗0, що при ε0 ≤ ε∗0 для кожного τ̄ ∈ R
справджуються твердження:
а) розв’язок xττ̄ (x
0, ϕ0, ε), ϕττ̄ (x
0, ϕ0, ε) системи (1) визначено для всiх τ ∈ [τ̄ ,∞), ε ∈
∈ (0, ε0], ϕ0 ∈ Rm, причому
‖xττ̄ (x0, ϕ0, ε)− ξ(τ, ε)‖ ≤ c1ε
β, τ ∈ [τ̄ ,∞), ϕ0 ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0]; (14)
б) при τ ∈ [τ̄ ,∞), ‖y‖ < h, ϕ0 ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0] виконується нерiвнiсть
‖xττ̄ (x0 + y, ϕ0, ε)‖ ≤ c2. (15)
Доведення. Для функцiї yττ∗ = x̃ττ∗(x
0 +y, ε)− ξ(τ, ε) при τ ≥ τ∗ ≥ τ̄ маємо зображення
yττ∗ = Q−(τ, τ∗, ε)y +
τ∫
τ∗
Q−(τ, t, ε)F (ytτ∗ , t, ε)dt+
+ ε
∑
τ∗≤τν<τ
Q−(τ, τν , ε)Φ(yτντ∗ , τν , ε),
з якого, як i в [6, c. 115], на пiдставi нерiвностi (3), умови 3 теореми i обмеження τν+1−τν =
= εθ знаходимо
‖yττ∗‖ ≤ K(1 +Kδ1)‖y‖e−(γ−Kδ1(1+θ−1))(τ−τ∗) ≤ 2K‖y‖e−
γ
2
(τ−τ∗)
при
τ ≥ τ∗, δ1 ≤ min
{
1
2K
,
γ
2K(1 + θ−1)
}
, ‖y‖ < ρ1 = min
{
ρ
4K
,
δ2
2K
}
.
Таким чином,
‖x̃ττ∗(x
0 + y, ε)− ξ(τ, ε)‖ ≤ 2K‖y‖e−
γ
2
(τ−τ∗), τ ≥ τ∗, ‖y‖ < ρ1, ε ∈ (0, ε0], (16)
i крива x̃ττ∗(x
0 + y, ε) належить D разом iз своїм
1
2
ρ-околом.
Розглянемо гладку систему звичайних диференцiальних рiвнянь
dx̄
dτ
= a(x̄, τ) +
1
θ
p(x̄, τ). (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
370 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
Якщо через x̄τ (y0) позначити той її розв’язок, для якого x̄τ∗τ∗(y
0) = y0, то iз рiвнянь (4),
(17) для τ ∈ [τ∗, τ∗ + L], де L — довiльне фiксоване додатне число, маємо
‖x̃ττ∗(x
0 + y, ε) − x̄ττ∗(x
0 + y)‖ ≤ σ1
τ∫
τ∗
‖x̃tτ∗(x
0 + y, ε)− x̄tτ∗(x
0 + y)‖dt+
+
∥∥∥∥∥1
θ
τ∫
τ∗
p(x̄tτ∗(x
0 + y), t)dt− ε
∑
τ∗≤τν<τ
p(x̃τντ∗ (x
0 + y, ε), τν)
∥∥∥∥∥.
Оскiльки ∥∥∥∥∥1
θ
τν+1∫
τν
p(x̄tτ∗(x
0 + y), t)dt− εp(x̃τντ∗ (x
0 + y, ε), τν)
∥∥∥∥∥ ≤
≤ 1
θ
τν+1∫
τν
‖p(x̄tτ∗(x
0 + y), t)− p(x̃τντ∗ (x
0 + y, ε), τν)‖dt ≤
≤ σ1
θ
τν+1∫
τν
‖x̄tτ∗(x
0 + y)− x̃tτ∗(x
0 + y, ε)‖dt+ σ1(2 + θ)ε2,
то
‖x̃ττ∗(x
0 + y, ε)− x̄ττ∗(x
0 + y)‖ ≤ σ1(1 + θ−1)
τ∫
τ∗
‖x̃tτ∗(x
0 + y, ε)− x̄tτ∗(x
0 + y)‖dt+
+ σ1[(2 + θ)(Lθ−1 + 1) + 2]ε.
Звiдси одержуємо нерiвнiсть
‖x̃ττ∗(x
0 + y, ε)− x̄ττ∗(x
0 + y)‖ ≤ c̃1(L)ε,
(18)
τ ∈ [τ∗, τ∗ + L], ‖y‖ < ρ1, ε ∈ (0, ε0],
зi сталою
c̃1(L) = eσ1(1+θ−1)Lσ1[(2 + θ)(Lθ−1 + 1) + 2].
Якщо вибрати додатне ε0 настiльки малим, що c̃1(L)ε0 ≤
1
4
ρ, то при τ ∈ [τ∗, τ∗ + L] i
‖y‖ < ρ1 крива x̄ττ∗(x
0 + y) належатиме D разом iз своїм
1
4
ρ-околом.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 371
На пiдставi умови (2) з µ = −1 в роботi [9] при досить малому ε0 > 0 встановлено
оцiнку
‖xττ∗(x
0 + y, ϕ0, ε)− x̄ττ∗(x
0 + y)‖ ≤ c
∼1(L)εβ (19)
для всiх τ ∈ [τ∗, τ∗ + L], ϕ0 ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0], причому стала c
∼1(L) залежить вiд L, але не
залежить вiд τ∗, ϕ0, ε, y.
Покладемо L =
2
γ
ln(4K), c̃1 = c̃1(L), c
∼1 = c
∼1(L). Тодi за допомогою нерiвностей (16),
(18), (19) дiстанемо
‖xττ̄ (x0 + y, ϕ0, ε)− ξ(τ, ε)‖ ≤ ‖xττ̄ (x0 + y, ϕ0, ε)− x̄ττ̄ (x
0 + y)‖+
+ ‖x̄ττ̄ (x0 + y)− x̃ττ̄ (x
0 + y, ε)‖+ ‖x̃ττ̄ (x0 + y, ε)− ξ(τ, ε)‖ ≤
≤(c̃1 + c
∼1)εβ + 2K‖y‖ < K1(εβ + ‖y‖)
при τ ∈ [τ̄ , τ̄ + L) i
‖xτ̄+Lτ̄ (x0 + y, ϕ0, ε)− ξ(τ̄ + L, ε)‖ ≤ (c̃1 + c
∼1)εβ +
1
2
‖y‖ ≤ K2(εβ + ‖y‖),
де K2 = 2(c̃1 + c
∼1) + 1, K1 = K2(2K + 1).
Аналогiчно,
‖xττ̄+L(x(1), ϕ(1), ε)− ξ(τ, ε)‖ ≤ ‖xττ̄+L(x(1), ϕ(1), ε)− x̄ττ+L(x(1))‖+
+ ‖x̄ττ̄+L(x(1))− x̃ττ̄+L(x(1), ε)‖+ ‖x̃ττ̄+L(x(1), ε)− ξ(τ, ε)‖ ≤
≤ (c̃1 + c
∼1)εβ + 2KK2(εβ + ‖y‖) < K1(εβ + ‖y‖)
при τ ∈ [τ̄ + L, τ̄ + 2L) i
‖xτ̄+2L
τ̄+L (x(1), ϕ(1), ε)− ξ(τ̄ + 2L, ε)‖ ≤ (c̃1 + c
∼1)εβ + 2KK2e
− γ
2
L(εβ + ‖y‖) < K2(εβ + ‖y‖).
Тут x(1) = xτ̄+Lτ̄ (x0 + y, ϕ0, ε), ϕ(1) = ϕτ̄+Lτ̄ (x0 + y, ϕ0, ε). За допомогою методу матема-
тичної iндукцiї для кожного натурального s ≥ 2 доводимо, що
‖xττ̄+sL(x(s), ϕ(s), ε)− ξ(τ, ε)‖ < K1(εβ + ‖y‖)
при τ ∈ [τ̄ + sL, τ̄ + (s+ 1)L) i
‖xτ̄+(s+1)L
τ̄+sL (x(s), ϕ(s), ε)− ξ(τ̄ + (s+ 1)L, ε)‖ < K2(εβ + ‖y‖),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
372 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
де
x(s) = xτ̄+sLτ̄+(s−1)L(x(s−1), ϕ(s−1), ε) = xτ̄+sLτ̄ (x0 + y, ϕ0, ε),
ϕ(s) = ϕτ̄+sLτ̄+(s−1)L(x(s−1), ϕ(s−1), ε) = ϕτ̄+sLτ̄ (x0 + y, ϕ0, ε).
Звiдси робимо висновок, що
‖xττ̄ (x0 + y, ϕ0, ε)− ξ(τ, ε)‖ < K1(εβ + ‖y‖) (20)
для всiх τ ≥ τ̄ , ‖y‖ < ρ1, ϕ0 ∈ Rm i ε ∈ (0, ε0]. Нехай
εβ0 ≤ ρ(4K1)−1 = ρ̃1, ‖y‖ < ρ̃1.
Тодi крива xττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε) належить D разом iз своїм
1
2
ρ-околом при τ ≥ τ̄ , ‖y‖ < ρ2 =
= min{ρ1, ρ̃1}, ϕ0 ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0]. З (20) випливає нерiвнiсть (15) з h = ρ2 i нерiвнiсть
(14) при y = 0.
Теорему доведено.
Зазначимо, що такий пiдхiд до розбиття [τ̄ ,∞) на вiдрiзки певної довжини L викорис-
товувався також в [5, 9] при доведеннi оцiнок вигляду (14), (15) для розв’язкiв багаточас-
тотних систем.
Зафiксуємо довiльне τ̄ ∈ R i розглянемо розв’язок xττ̄ (x
0 + y, ψ, ε), ϕττ̄ (x
0 + y, ψ, ε)
системи (1), який визначено для всiх τ ≥ τ̄ , ψ ∈ Rm, ‖y‖ < ρ2, ε ∈ (0, ε0] i повiльна ком-
понента якого згiдно з теоремою 1 рiвномiрно обмежена. Якщо позначити yττ̄ (y, ψ, ε) =
= xττ̄ (x
0 + y, ψ, ε)− ξ(τ, ε), де x0 = ξ(τ̄ , ε), то дiстанемо зображення
yττ̄ = Q−(τ, τ̄ , ε)y +
τ∫
τ̄
Q−(τ, t, ε)F1(ytτ̄ , ϕ
t
τ̄ , t, ε)dt+
+ ε
∑
τ̄≤τν<τ
Q−(τ, τν , ε)Φ1(yτντ̄ , ϕ
τν
τ̄ , τν , ε), (21)
в якому yττ̄ = yττ̄ (y, ψ, ε), ϕ
τ
τ̄ = ϕττ̄ (x
0 + y, ψ, ε).
Оскiльки Q−(τ, τ̄ , ε)Q−(τ̄ , t, ε) = Q−(τ, t, ε), то при n0 = 0 маємо [8]
Y (ψ, τ, ε) = Q−(τ, τ̄ , ε)α(ψ, τ, τ̄ , ε)+
+
τ∫
τ̄
Q−(τ, t, ε)F1(Y (θtτ (ψ, ε), t, ε), θ
t
τ (ψ, ε), t, ε)dt+
+ ε
∑
τ̄≤τν<τ
Q−(τ, τν , ε)Φ1(Y (θτντ (ψ, ε), τν , ε), θτντ (ψ, ε), τν , ε), (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 373
де
α(ψ, τ, τ̄ , ε) =
τ̄∫
−∞
Q−(τ̄ , t, ε)F1(Y (θtτ (ψ, ε), t, ε), θ
t
τ (ψ, ε), t, ε)dt+
+ ε
∑
τν<τ̄
Q−(τ̄ , τν , ε)Φ1(Y (θτντ (ψ, ε), τν , ε), θτντ (ψ, ε), τν , ε),
‖α(ψ, τ, τ̄ , ε)‖ ≤ d1ε
β ,
а θ̃ = θτt (ψ, ε) — розв’язок системи диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю
dθ̃
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b(ξ(τ, ε) + Y (θ̃, τ, ε), θ̃, τ, ε), τ 6= τν ,
(23)
∆θ̃|τ=τν = εq(ξ(τν , ε) + Y (θ̃, τν , ε), θ̃, τν , ε),
який при τ = t набуває значення ψ.
З (21) i (22) при τ ≥ τ̄ отримаємо рiвнiсть
zττ̄ = Q−(τ, τ̄ , ε)(y − α(ϕττ̄ , τ, τ̄ , ε))+
+
τ∫
τ̄
Q−(τ, t, ε)[F1(ȳtτ̄ + ztτ̄ , ϕ
t
τ̄ , t, ε)−
− F1(Y (θtτ (ϕ
τ
τ̄ , ε), t, ε), θ
t
τ (ϕ
τ
τ̄ , ε), t, ε)]dt+
+ ε
∑
τ̄≤τν<τ
Q−(τ, τν , ε)[Φ1(ȳτντ̄ + zτντ̄ , ϕ
τν
τ̄ , τν , ε)−
− Φ1(Y (θτντ (ϕττ̄ , ε), τν , ε), θ
τν
τ (ϕττ̄ , ε), t, ε)], (24)
в якiй zττ̄ = yττ̄ − ȳττ̄ , ȳττ̄ = Y (ϕττ̄ , τ, ε). Позначимо
utτ = ϕtτ̄ − θtτ (ϕ
τ
τ̄ , ε), t ≥ τ̄ , τ ≥ τ̄ ,
MT = sup
τ∈[τ̄ ,τ̄+T )
(‖zττ̄ ‖eγ1(τ−τ̄)),
де (0, γ) 3 γ1 — число, яке буде означене нижче, T — довiльне додатне число.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
374 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
Лема 1. Якщо σ0 < 2, виконуються умови (2) при µ = 0, (3), (9) i (12) при n0 = 0,
то для довiльного γ2 > 0 iснує таке ε̄0 = ε̄0(γ2), що при ε0 ≤ ε̄0 для всiх t ∈ [τ̄ , τ̄ + T ),
τ ∈ [τ̄ , τ̄ + T ), ψ ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0], ‖y‖ < ρ2 справджується нерiвнiсть
‖utτ‖ ≤ c3MT e
γ2|t−τ |−γ1(min(t,τ)−τ̄) (25)
з деякою додатною сталою c3.
Доведення. Оскiльки
ϕττ̄ = ψ +
τ∫
τ̄
[
ω(l)
ε
+ b(ξ(l, ε) + ȳlτ̄ + zlτ̄ , ϕ
l
τ̄ , l, ε)
]
dl+
+ ε
∑
τ̄≤τν<τ
q(ξ(τν , ε) + ȳτντ̄ + zτντ̄ , ϕ
τν
τ̄ , τν , ε), (26)
θττ̄ (ψ, ε) = ψ +
τ∫
τ̄
[
ω(l)
ε
+ b(ξ(l, ε) + Y (θlτ̄ (ψ, ε), l, ε), θ
l
τ̄ (ψ, ε), l, ε)
]
dl+
+ ε
∑
τ̄≤τν<τ
q(ξ(τν , ε) + Y (θτντ̄ (ψ, ε), τν , ε), θτντ̄ (ψ, ε), τν , ε), (27)
то на пiдставi нерiвностi
‖Y (θlτ (ϕ
τ
τ̄ , ε), τ, ε)− ȳlτ̄‖ ≤ d2ε
β‖ulτ‖
iз (26), (27) при τ ≥ t+ 1 дiстанемо
‖utτ‖ ≤ σ1
τ∫
t
(‖zlτ̄‖+ d2ε
β‖ulτ‖)dl + εσ1
∑
t≤τν<τ
(‖zτντ̄ ‖+ d2ε
β‖uτντ ‖)+
+
∑
k 6=0
s0∑
s=0
[∥∥∥∥∥
∫
Ts
b̃kΩk(l, τ̄ , ε)dl
∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥ε ∑
αs≤τν<βs
q̃kνΩk(τν , τ̄ , ε)
∥∥∥∥∥
]
. (28)
Тут
b̃k = bk(ξ(l, ε) + Y (θlτ (ϕ
τ
τ̄ , ε), l, ε), l, ε)e
i(k,ϕ̃l
τ̄ )(1− ei(k,u
l
τ )),
q̃kν = qk(ξ(τν , ε) + Y (θτντ (ϕττ̄ , ε), τν , ε), τν , ε)e
i(k,ϕ̃τν
τ̄ )(1− ei(k,u
τν
τ )),
ϕ̃lτ̄ = ϕlτ̄ −
1
ε
l∫
τ̄
ω(z)dz, Ωk(l, τ̄ , ε) = e
i
ε
lR
τ̄
(k,ω(z))dz
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 375
i — уявна одиниця, bk i qk — коефiцiєнти Фур’є 2π-перiодичних по ϕr, r = 1,m, функцiй b
i q, (k, ω) — скалярний добуток векторiв, s0 — цiла частина числа τ − t− 1, Ts = [t+ s, t+
+s+ 1] = [αs, βs] при 0 ≤ s ≤ s0 − 1 i Ts0 = [t+ s0 − 1, τ ] = [αs0 , βs0 ].
При прийнятих для частот ωr(τ), r = 1,m, припущеннях мають мiсце оцiнки [10]
‖Jk‖ ≤ σ̄εβ
sup
[t̄,t̄+L]
‖f(t, ε)‖+
1
‖k‖
sup
[t̄,t̄+L]
t6=τν
∥∥∥∥∥ ddtf(t, ε)
∥∥∥∥∥+
∑
t̄≤τν<t̄+L
‖fν(ε)‖
, (29)
‖J̃k‖ ≤ σ̄εβ‖k‖
sup
[t̄,t̄+L]
‖f(t, ε)‖+ sup
[t̄,t̄+L]
t6=τν
∥∥∥∥∥ ddtf(t, ε)
∥∥∥∥∥+
∑
t̄≤τν<t̄+L
‖fν(ε)‖
(30)
осциляцiйних iнтеграла i суми
Jk =
t̄+τ∫
t̄
f(t, ε)Ωk(t, τ̄ , ε)dt, J̃k = ε
∑
t̄≤τν<t̄+τ
f(τν , ε)Ωk(τν , τ̄ , ε),
в яких τ ∈ [0, L], σ̄ = σ̄(L) — стала, t̄ ∈ R, τ̄ ∈ R, 0 6= k — вектор з цiлочисловими
координатами, τν+1 − τν = εθ, матриця f(t, ε) неперервно диференцiйовна по t ∈ R за
винятком точок τν , причому
∆f |t=τν = fν(ε).
На пiдставi оцiнок (29) i (30) з (28) одержуємо нерiвнiсть
‖utτ‖ ≤ σ1
τ∫
t
(‖zlτ̄‖+ d2ε
β‖ulτ‖)dl + εσ1
∑
t≤τν<τ
(‖zτντ̄ ‖+ d2ε
β‖uτντ ‖)+
+ σ̄εβ
∑
k 6=0
[
‖k‖ sup
G
‖bk‖+ sup
G
∥∥∥∥∥∂bk∂x
∥∥∥∥∥+ sup
G
∥∥∥∥∥∂bk∂τ
∥∥∥∥∥+ ‖k‖2
(
‖k‖ sup
G
‖qk‖+ sup
G
∥∥∥∥∥∂qk∂x
∥∥∥∥∥+
+ sup
G
∥∥∥∥∥∂qk∂τ
∥∥∥∥∥
)]
(1 + 5σ1)
s0∑
s=0
(
sup
l∈Ts
‖ulτ‖+ sup
l∈Ts
∥∥∥∥∥ ddlulτ
∥∥∥∥∥
)
+
+ σ̄εβ
∑
t≤τν<τ
∑
k 6=0
(
1
‖k‖
‖∆(b̃k)|l=τν‖+ ‖k‖‖∆(q̃k)|l=τν‖
)
. (31)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
376 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
Оскiльки
‖∆(b̃k)|l=τν‖ = ‖b̃k|l=τν+0 − b̃k|l=τν‖ ≤
≤
(
‖k‖2 sup
G
‖bk‖+ ‖k‖ sup
G
∥∥∥∥∥∂bk∂x
∥∥∥∥∥
)
εσ1(‖uτντ ‖+ ‖∆(ulτ )|l=τν‖)
i
‖∆(ulτ )|l=τν‖ = ‖ϕτν+0
τ̄ − ϕτντ̄ − (θτν+0
τ (ϕττ̄ , ε)− θτντ (ϕττ̄ , ε))‖ =
= ε‖q(ξ(τν , ε) + ȳτντ̄ + zτντ̄ , ϕ
τν
τ , τν , ε)− q(ξ(τν , ε) + Y (θτντ (ϕττ̄ , ε), τν , ε),
θτντ (ϕττ̄ , ε), τν , ε)‖ ≤ εσ1(‖zτντ̄ ‖+ (d2ε
β + 1)‖uτντ ‖), (32)
то при d2ε
β
0 ≤ 1
‖∆(b̃k)|l=τν‖ ≤ ε3σ1
(
‖k‖2 sup
G
‖bk‖+ ‖k‖ sup
G
∥∥∥∥∥∂bk∂x
∥∥∥∥∥
)
(‖uτντ ‖+ ‖zτντ̄ ‖). (33)
Оцiнка (33) залишається справедливою i тодi, коли в нiй замiсть b̃k i bk покласти вiдповiд-
но q̃k i qk.
Таким чином, згiдно з припущеннями (2) iз (31) отримаємо нерiвнiсть
‖utτ‖ ≤ σ1
τ∫
t
(‖zlτ̄‖+ d2ε
β‖ulτ‖)dl+
+ ε(σ1 + c4ε
β)
∑
t≤τν<τ
(‖zτντ̄ ‖+ d2ε
β‖uτντ ‖)+
+ c4ε
β
s0∑
s=0
(
sup
l∈Ts
‖ulτ‖+ sup
l∈Ts
∥∥∥∥∥ ddlulτ
∥∥∥∥∥
)
(34)
зi сталою c4, не залежною вiд ε, τ̄ , τ , t.
Iз (26), (27) випливає∥∥∥∥∥ ddlulτ
∥∥∥∥∥ ≤ sup
G
∥∥∥∥∥ ∂b∂x
∥∥∥∥∥(‖zlτ̄‖+ d2ε
β‖ulτ‖)+
+ sup
G
∥∥∥∥∥ ∂b∂ϕ
∥∥∥∥∥‖ulτ‖ ≤ 2σ1(‖zlτ̄‖+ ‖ulτ‖) при l 6= τν . (35)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 377
Розглянемо нерiвнiсть [8]
sup
Ts
‖ulτ‖ ≤ sup
(αs,τ1]
‖ulτ‖ − inf
(αs,τ1]
‖ulτ‖+
g−1∑
ν=1
(
sup
(τν ,τν+1]
‖ulτ‖ − inf
(τν ,τν+1]
‖ulτ‖
)
+
+ sup
(τg ,βs]
‖ulτ‖ − inf
(τg ,βs]
‖ulτ‖+
βs∫
αs
‖ulτ‖dl +
g∑
ν=1
∣∣∣∣∣∆(‖ulτ‖)
∣∣∣∣∣
l=τν
∣∣∣∣∣,
де g — кiлькiсть iмпульсiв τ1, ..., τg на вiдрiзку Ts = [αs, βs].
Оскiльки згiдно з (35)
sup
(τν ,τν+1]
‖ulτ‖ − inf
(τν ,τν+1]
‖ulτ‖ ≤
τν+1∫
τν
∣∣∣∣∣ ddl‖ulτ‖
∣∣∣∣∣dl ≤
≤
τν+1∫
τν
∥∥∥∥∥ ddlulτ
∥∥∥∥∥dl ≤ 2σ1
τν+1∫
τν
(‖zlτ̄‖+ ‖ulτ‖)dl,
то, використовуючи нерiвностi (32) i
∆(‖ulτ‖)|l=τν ≤ ‖∆(ulτ )
∣∣
l=τν
‖,
одержуємо
sup
Ts
‖ulτ‖ ≤ (1 + 2σ1)
βs∫
αs
(
‖zlτ̄‖+ ‖ulτ‖
)
dl + 2σ1ε
∑
αs≤τν<βs
(‖zτντ̄ ‖+ ‖uτντ ‖). (36)
Отже, на пiдставi (35), (36) i нерiвностей
‖zlτ̄‖ ≤ MT e
−γ1(l−τ̄),
s0∑
s=0
e−γ1(t+s−τ̄) <
eγ1
eγ1 − 1
e−γ1(t−τ̄),
ε
∑
t≤τν<τ
e−γ1(τν−τ̄) ≤ eγ1θε0
γ1θ
e−γ1(t−τ̄)
iз (31) при τ ≥ t+ 1 дiстаємо оцiнку
‖utτ‖ ≤ c5
(
εβ
τ∫
t
‖ulτ‖dl + εβ+1
∑
t≤τν<τ
‖uτντ ‖+ e−γ1(t−τ̄)MT
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
378 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
в якiй стала c5 не залежить вiд ε i τ̄ . Звiдси випливає нерiвнiсть
h(t) ≤ c5MT + c5ε
β
τ∫
t
h(l)dl + c5ε
1+β
∑
t≤τν<τ
h(τν) (37)
для t ∈ [τ̄ , τ − 1], де h(t) = ‖utτ‖eγ1(t−τ̄).
Якщо ж τ ∈ [t, t+ 1], то з (26) i (27) одержуємо нерiвнiсть
‖utτ‖ ≤
τ∫
t
[
sup
G
∥∥∥∥∥ ∂b∂x
∥∥∥∥∥(‖zlτ̄‖+ d2ε
β‖ulτ‖) + sup
G
∥∥∥∥∥ ∂b∂ϕ
∥∥∥∥∥‖ulτ‖
]
dl+
+ ε
∑
t≤τν<τ
[
sup
G
∥∥∥∥∥∂q∂x
∥∥∥∥∥(‖zτντ̄ ‖+ d2ε
β‖uτντ ‖) + sup
G
∥∥∥∥∥ ∂q∂ϕ
∥∥∥∥∥‖uτντ ‖
]
,
або
‖utτ‖ ≤ 2σ1
τ∫
t
‖ulτ‖dl + 2σ1ε
∑
t≤τν<τ
‖uτντ ‖+ c6MT e
−γ1(t−τ̄)
при τ ∈ [t, t+ 1]. У термiнах h(t) остання нерiвнiсть набирає вигляду
h(t) ≤ c6MT + 2σ1
τ∫
t
h(l)dl + 2σ1ε
∑
t≤τν<τ
h(τν), t ∈ [τ − 1, τ ],
i згiдно з [6] її розв’язок задовольняє оцiнку
h(t) ≤ c7MT , t ∈ [τ − 1, τ ], (38)
зi сталою c7 = 2c6e2σ1(1+θ−1).
Якщо тепер повернутись до нерiвностi (37), то, враховуючи (38), отримуємо
h(t) ≤ c8MT + c5ε
β
τ−1∫
t
h(l)dl + c5ε
1+β
∑
t≤τν<τ−1
h(τν), t ∈ [τ̄ , τ − 1],
де c8 = c5(1 + c7ε
β
0 (1 + 2θ−1)), або
h(t) ≤ c8MT (1 + c5ε
β
0 )ec5(1+θ−1)εβ0 (τ − t− 1), t ∈ [τ̄ , τ − 1]. (39)
Отже, якщо покласти
c3 = max{c7, c8(1 + c5ε
β
0 )e−γ2}, εβ0 ≤
γ2
c5(1 + θ−1)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 379
то iз (38) i (39) одержимо оцiнку (25) для всiх t ∈ [τ̄ , τ ]. У випадку t > τ оцiнка (25)
доводиться аналогiчно.
Лему доведено.
Наступна теорема обґрунтовує експоненцiальне прямування при τ → ∞ до iнтеграль-
ного многовидуX(ψ, τ, ε) = Y (ψ, τ, ε)+ξ(τ, ε) системи (1) повiльної компоненти кожного
її розв’язку xττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε), ϕττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε) з досить малим ‖y‖.
Теорема 2. Якщо iснує розв’язок ξ(τ, ε) системи (4), який визначений при τ ∈ R, ε ∈
∈ (0, ε0] i належить D разом iз своїм ρ-околом, та виконуються умови леми 1, то для
довiльного додатного γ1 < γ
(
1 − σ0
2
)
можна вказати такi ε0 = ε0(γ1) > 0 i ρ3 =
= ρ3(γ1) > 0, що для всiх τ ≥ τ̄ ∈ R, ϕ0 ∈ Rm, ‖y‖ < ρ3 i ε ∈ (0, ε0], де ε0 ≤ ε0,
виконується нерiвнiсть
‖xττ̄ (x0 + y, ϕ0, ε)−X(ϕττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε), τ, ε)‖ ≤ c9e
−γ1(τ−τ̄) (40)
зi сталою c9, не залежною вiд τ̄ , ϕ0, ε, y.
Доведення. Згiдно з теоремою 1 розв’язок xττ̄ (x
0 +y, ϕ0, ε), ϕττ̄ (x
0 +y, ϕ0, ε) системи (1)
визначено для всiх τ ∈ [τ̄ ,∞), ϕ0 ∈ Rm, ‖y‖ < ρ2, ε ∈ (0, ε0] при досить малих ρ2 > 0
i ε0 > 0. Тому функцiї yττ̄ = xττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε) − ξ(τ, ε), ȳττ̄ = Y (ϕττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε), τ, ε) i
zττ̄ = yττ̄ − ȳττ̄ також визначенi при τ ∈ [τ̄ ,∞).
Iз (24) для τ ≥ τ̄ одержимо
‖zττ̄ ‖ ≤ Ke−γ(τ−τ̄)(‖y‖+ d1ε
β) +K
τ∫
τ̄
e−γ(τ−t)[(c̃0 + δ1 + εσ1)(‖ztτ̄‖+ d2ε
β‖utτ‖)+
+ εσ1‖utτ‖]dt+ εK
∑
τ̄≤τν<τ
e−γ(τ−τν)[(c
∼0 + δ1 + εσ1)(‖zτντ̄ ‖+ d2ε
β‖uτντ ‖) + εσ1‖uτντ ‖]+
+
∥∥∥∥∥
τ∫
τ̄
Q−(τ, t, ε)[ã(ξ(t, ε) + Y (θtτ (ϕ
τ
τ̄ , ε), t, ε), θ
t
τ (ϕ
τ
τ̄ , ε), t)−
− ã(ξ(t, ε) + Y (θtτ (ϕ
τ
τ̄ , ε), t, ε), ϕ
t
τ̄ , t)]dt
∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥ε ∑
τ̄≤τν<τ
Q−(τ, τν , ε)[p̃(ξ(τν , ε)+
+ Y (θτντ (ϕττ̄ , ε), τν , ε), θ
τν
τ (ϕττ̄ , ε), τν)− p̃(ξ(τν , ε) + Y (θτντ (ϕττ̄ , ε), τν , ε), ϕ
τν
τ̄ , τν)]
∥∥∥∥∥
при ‖y‖ < 1
2
δ2 i d1ε0 <
1
2
δ2, де
c̃0 = sup
G
∥∥∥∥∥∂ã(x, ϕ, τ)∂x
∥∥∥∥∥, c
∼0 = sup
G
∥∥∥∥∥∂p̃(x, ϕ, τ)∂x
∥∥∥∥∥.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
380 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
Зафiксуємо довiльне T > 0 i припустимо, що τ ∈ [τ̄ , τ̄ + T ) = NT . Якщо лiву i праву ча-
стини останньої нерiвностi помножити на eγ1(τ−τ̄), то на пiдставi леми 1 дiстанемо оцiнку
MT ≤ K(‖y‖+ d1ε
β) +K(c̃0 + δ1 + εσ1)MT sup
τ∈NT
τ∫
τ̄
e−γ(τ−t)+γ1(τ−τ̄)(e−γ1(t−τ̄)+
+ d2ε
βc3e
γ2(τ−t)−γ1(t−τ̄))dt+K(c
∼0 + δ1 + εσ1)ε×
× sup
τ∈NT
∑
τ̄≤τν<τ
(e−γ1(τν−τ̄) + d2ε
βc3e
γ2(τ−τν)−γ1(τν−τ̄))e−γ(τ−τν)+γ1(τ−τ̄)+
+
c2
γ − γ1 − γ2
KMT (1 + 2θ−1)ε+ sup
τ∈NT
s0∑
s=0
∑
k 6=0
(‖Jsk‖+ ‖J̃sk‖) (41)
при γ − γ1 − γ2 > 0 i (γ − γ1 − γ2)θε0 ≤ 1, де
Jsk =
β̃s∫
α̃s
Q(τ, t, ε)eγ1(τ−τ̄)ak(ξ(t, ε) + Y (θtτ (ϕ
τ
τ̄ , ε), t, ε), t)(1− ei(k,u
t
τ ))Ωk(t, τ̄ , ε)dt,
J̃sk = ε
∑
α̃s≤τν<β̃s
Q(τ, τν , ε)eγ1(τ−τ̄)×
× pk(ξ(τν , ε) + Y (θτντ (ϕττ̄ , ε), τν , ε), τν)(1− ei(k,u
τν
τ ))Ωk(τν , τ̄ , ε),
s0 — цiла частина числа τ − τ̄ , [α̃s, β̃s] = T̃s = [τ̄ + s, τ̄ + s + 1] при 0 ≤ s ≤ s0 − 1 i
[α̃s0 , β̃s0 ] = T̃s0 = [τ̄ + s0, τ ].
Враховуючи нерiвностi (29), (31), (32) i (35), одержуємо
‖Jsk‖ ≤ c̃10
(
‖k‖ sup
G
‖ak‖+ sup
G
∥∥∥∥∥∂ak∂x
∥∥∥∥∥+ sup
G
∥∥∥∥∥∂ak∂τ
∥∥∥∥∥
)
εβL(s, τ, τ̄),
де
L(s, τ, τ̄) = e−(γ−γ1)(τ−τ̄)
[(
sup
Ts
‖utτ‖+ sup
Ts
‖ztτ̄‖
)
eγs+
+ ε
∑
α̃s≤τν<β̃s
(‖uτντ ‖+ ‖zτντ ‖)eγ(τν−τ̄)
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 381
а стала c̃10 не залежить вiд ε, k i s. За допомогою обмеження на коефiцiєнти Фур’є функцiї
ã(x, ϕ, τ), леми 1 i умови τν+1 − τν = εθ дiстанемо оцiнку
sup
τ∈NT
s0∑
s=0
∑
k 6=0
‖Jsk‖ ≤ c̃11ε
βMT (42)
зi сталою c̃11, не залежною вiд ε.
Використовуючи оцiнку (30) осциляцiйної суми, аналогiчно доводимо нерiвнiсть
‖J̃sk‖ ≤ c
∼10‖k‖2
(
‖k‖ sup
G
‖pk‖+ sup
G
∥∥∥∥∥∂pk∂x
∥∥∥∥∥+ sup
G
∥∥∥∥∥∂pk∂τ
∥∥∥∥∥
)
εβL(s, τ, τ̄),
яка на пiдставi леми 1 приводить до оцiнки
sup
τ∈NT
s0∑
s=0
∑
k 6=0
‖J̃sk‖ ≤ c
∼11ε
βMT , (43)
в якiй стала c
∼11 не залежить вiд ε.
З урахуванням (42), (43) iз нерiвностi (41) одержимо нерiвнiсть
MT ≤ K(‖y‖+ d1ε
β
0 ) +
[
σ0
γ
2(γ − γ1)
+ δ1
K(1 + θ−1)
γ − γ1
+ c12ε
β
0
]
MT . (44)
Зафiксуємо довiльне додатне γ1 < γ
(
1− σ0
2
)
. Тодi
σ0
γ
2(γ − γ1)
= γ0 < 1.
Покладемо γ2 =
1
2
(γ − γ1). Виберемо далi ε0 > 0 i δ1 > 0 настiльки малими, щоб
c12ε
β
0 ≤
1− γ0
3
, δ1
K(1 + θ−1)
γ − γ1
≤ 1− γ0
3
.
За вибраним δ1 знаходимо δ2 = δ2(δ1) > 0 так, щоб виконувалась нерiвнiсть (3). Нехай
тепер
‖y‖ < min
{
ρ2,
δ2
2
}
= ρ3, d1ε
β
0 ≤ ρ3.
Тодi з нерiвностi (44) дiстанемо
MT < 2Kρ3 +
γ0 + 2
3
MT ,
або
MT <
6Kρ3
1− γ0
= c9.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
382 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
Отже, при τ ∈ [τ̄ , τ̄ + T ) виконується нерiвнiсть
‖zττ̄ ‖ ≤ c9e
−γ1(τ−τ̄). (45)
Внаслiдок довiльностi T > 0 нерiвнiсть (45) справджується для всiх τ ∈ [τ̄ ,∞). Врахову-
ючи, що X(ψ, τ, ε) = ξ(τ, ε) + Y (ψ, τ, ε) i
xττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε) = ξ(τ, ε) + zττ̄ + Y (ϕττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε), τ, ε),
iз (45) одержуємо нерiвнiсть (40).
Теорему доведено.
Нехай тепер n0 ≥ 1. Зрозумiло, що в цьому випадку не для всiх досить малих y ∈ Rn
повiльна компонента розв’язку xττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε), ϕττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε) буде обмеженою для всiх
τ ∈ [τ̄ ,∞). Нижче при кожних ϕ0 ∈ Rm i ε ∈ (0, ε0] ми побудуємо множину початкових
значень повiльної компоненти, для яких xττ̄ (x
0 + y, ϕ0, ε) буде обмеженою при τ ≥ τ̄ . У
просторi Rn+m будуть побудованi також поверхнi, яким належать зазначенi розв’язки.
Задамо довiльний (n − n0)-вимiрний вектор h = (h1, ..., hn−n0) i з нього утворимо n-
вимiрний вектор
h̄ = (0, h) = (0, ..., 0, h1, ..., hn−n0).
Розглянемо послiдовнiсть {Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h)}∞j=0, яка визначається формулою
Zj+1(ψ, τ, ε, τ̄ , h) = Q̄(τ, τ̄ , ε)h̄+
∞∫
τ̄
Q(τ, t, ε)F1(Zj(ϕ̄tτ,j , t, ε, τ̄ , h), ϕ̄
t
τ,j , t, ε)dt+
+ ε
∑
τ̄≤τν
Q(τ, τν , ε)Φ1(Zj(ϕ̄τντ,j , τν , ε, τ̄ , h), ϕ̄
τν
τ,j , τν , ε). (46)
Тут τ ≥ τ̄ , Q̄(τ, τ̄ , ε) = diag (0, Q−(τ, τ̄ , ε)), 0 — n0-вимiрна квадратна нуль-матриця, Z0 =
= 0, ε ∈ (0, ε0], а ϕ̄τt,j = ϕ̄τt,j(ψ, ε, τ̄ , h) — розв’язок системи диференцiальних рiвнянь з
iмпульсною дiєю
dϕ̄τt,j
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b(ξ(τ, ε) + Zj(ϕ̄τt,j , τ, ε, τ̄ , h), ϕ̄
τ
t,j , τ, ε), τ 6= τν ,
∆(ϕ̄τt,j)|τ=τν = εq(ξ(τν , ε) + Zj(ϕ̄τνt,j , τν , ε, τ̄ , h), ϕ̄
τν
t,j , τν , ε), (47)
який при τ = t набуває значення ψ ∈ Rm.
Безпосередньою пiдстановкою легко переконатись, що коли функцiя Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h)
обмежена, неперервно диференцiйовна по ψ ∈ Rm та кусково-неперервна по τ ∈ [τ̄ ,∞)
з точками розриву першого роду τν , то на пiдставi рiвностi
ϕ̄tτ,j(ϕ̄
τ
τ̄ ,j(ψ, ε, τ̄ , h), ε, τ̄ , h) = ϕ̄tτ̄ ,j(ψ, ε, τ̄ , h)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 383
функцiя
yττ̄ ,j = Zj+1(ϕ̄ττ̄ ,j , τ, ε, τ̄ , h) = Q̄(τ, τ̄ , ε)h̄+
+
∞∫
τ̄
Q(τ, t, ε)F1(Zj(ϕ̄tτ̄ ,j , t, ε, τ̄ , h), ϕ̄
t
τ̄ ,j , t, ε)dt+
+ ε
∑
τ̄≤τν
Q(τ, τν , ε)Φ1(Zj(ϕ̄τντ̄ ,j , τν , ε, τ̄ , h), ϕ̄
τν
τ̄ ,j , τν , ε) (48)
при кожних h ∈ Rn−n0 , ψ ∈ Rm i ε ∈ (0, ε0] є обмеженим на [τ̄ ,∞) розв’язком системи
dy
dτ
= H(τ, ε)y + F1(Zj(ϕ̄ττ̄ ,j , τ, ε, τ̄ , h), ϕ̄
τ
τ̄ ,j , τ, ε), τ 6= τν ,
∆y|τ=τν = εG(τν , ε)y + εΦ1(Zj(ϕ̄τντ̄ ,j , τν , ε, τ̄ , h), ϕ̄
τν
τ̄ ,j , τν , ε).
Як i в статтi [8] для функцiї Yj , так i в нашому випадку для Zj = Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h) легко
довести, що при досить малих додатних ρ4 i ε0 функцiяZj — 2π-перiодична по ϕs, s = 1,m,
а Zj ,
∂Zj
∂ψ
,
∂Zj
∂τ
неперервнi по ψ i кусково-неперервнi по τ з розривами першого роду при
τ = τν та задовольняють нерiвностi
‖Zj‖ ≤ d̄1(‖h‖+ εβ),
∥∥∥∥∥∂Zj∂ψ
∥∥∥∥∥ ≤ d̄2ε
β, ‖∆Zj |τ=τν‖ ≤ d̃1ε,
∥∥∥∥∥∂Zj∂τ
+
∂Zj
∂ψ
ω(τ)
ε
∥∥∥∥∥ ≤ d1, τ 6= τν , (49)
для всiх ψ ∈ Rm, τ ∈ [τ̄ ,∞), ε ∈ (0, ε0], ‖h‖ < ρ4. Крiм того,
sup
ψ,τ
‖Zj+1 − Zj‖ ≤ σ sup
ψ,τ
‖Zj − Zj−1‖,
(50)
‖ϕ̄τt,j+1(ψ, ε, τ̄ , h)− ϕ̄τt,j(ψ, ε, τ̄ , h)‖ ≤ c13e
γ
3
|t−τ | sup
ψ,τ
‖Zj+1 − Zj‖.
Тут d̄1, d1, d̃1, d̄2, σ < 1 i c13 — додатнi сталi.
Вивчимо далi залежнiсть функцiй Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h) вiд параметра h.
Лема 2. При зроблених припущеннях для довiльного додатного γ̃1 < γ
√
1− σ0 iсну-
ють такi досить мале ε̃0 > 0 i досить велике d̄3 > 0, що при ε0 ≤ ε̃0 виконується
нерiвнiсть ∥∥∥∥∥∂Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h)∂h
∥∥∥∥∥ ≤ d̄3e
−γ̃1(τ−τ̄) (51)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
384 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
для всiх j ≥ 0, ψ ∈ Rm, τ ≥ τ̄ , ε ∈ (0, ε0] i ‖h‖ < ρ4.
Доведення. Оскiльки Z0 = 0, то з (46) при j = 0 випливає, що Z1 — лiнiйна функцiя
змiнної h i ∥∥∥∥∥∂Z1
∂h
∥∥∥∥∥ ≤ ‖Q−(τ, τ̄ , ε)‖ ≤ Ke−γ(τ−τ̄) ≤ d̄3e
−γ̃1(τ−τ̄)
при τ ≥ τ̄ , де сталу d̄3 ≥ K i буде означено нижче.
При кожному ε ∈ (0, ε0] з досить малим ε0 функцiї b i q мають неперервнi обмеженi
частиннi похiднi першого порядку по x, ϕ, τ на множинi D ×Rm ×R, тому згiдно з теоре-
мами iснування i диференцiйовностi розв’язкiв диференцiальних рiвнянь за параметрами
функцiя ϕ̄τt,1, ϕ̄tt,1 = ψ, як розв’язок системи (47) при j = 1 при кожних фiксованих ψ, τ, ε, t
має неперервну частинну похiдну по h.
Припустимо, що для всiх j = 0, s функцiї Zj мають неперервнi частиннi похiднi пер-
шого порядку по h i для цих j виконується нерiвнiсть (51).
Згiдно iз зазначеним вище ϕ̄τt,s також має неперервну частинну похiдну першого по-
рядку по h. Покажемо, що для довiльного додатного γ̃2 < γ − γ̃1 iснує таке досить мале
ε0 > 0, що ∥∥∥∥∥∂ϕ̄tτ,s∂h
∥∥∥∥∥ ≤ c14e
γ̃2|t−τ |−γ̃1(min(t,τ)−τ̄)d̄3 (52)
при t ≥ τ̄ , τ ≥ τ̄ , ψ ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0], ‖h‖ < ρ4.
Iз (47) знаходимо, що при t ≥ τ ≥ τ̄ матриця utτ,s =
∂ϕ̄tτ,s
∂h
задовольняє нерiвнiсть
‖utτ,s‖ ≤ sup
G
∥∥∥∥∥ ∂b∂x
∥∥∥∥∥
t∫
τ
(d̄1ε
β‖ulτ,s‖+ d̄3e
−γ̃1(l−τ̄))dl+
+ ε sup
G
∥∥∥∥∥∂q∂x
∥∥∥∥∥ ∑
τ≤τν<t
(d̄1ε
β‖uτντ,s‖+ d̄3e
−γ̃1(τν−τ̄)) +
∥∥∥∥∥
t∫
τ
B̃ulτ,sdl
∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥ε ∑
τ≤τν<t
C̃uτντ,s
∥∥∥∥∥,
(53)
де
B̃ =
∂
∂ϕ
b(ξ(l, ε) + Zs(ϕ̄lτ,s, l, ε, τ̄ , h), ϕ̄
l
τ,s, l, ε),
C̃ =
∂
∂ϕ
q(ξ(τν , ε) + Zs(ϕ̄τντ,s, τν , ε, τ̄ , h), ϕ̄
τν
τ,s, τν , ε).
Якщо t ∈ [τ, τ + 1], то при d̄1ε
β
0 ≤ 1 на пiдставi умови τν+1 − τν = εθ з (53) знаходимо
‖utτ,s‖ ≤ c̃14e
−γ̃1(τ−τ̄)d̄3, t ∈ [τ, τ + 1], τ ≥ τ̄ , (54)
де c̃14 — стала, не залежна вiд d̄3 i s.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 385
Нехай t > τ + 1. Оскiльки середнi по ϕ в кубi перiодiв матриць
∂
∂ϕ
b(x, ϕ, τ, ε) i
∂
∂ϕ
q(x, ϕ, τ, ε) дорiвнюють нулю i
∥∥∥∥∥dulτ,sdl
∥∥∥∥∥ ≤ 2σ1(‖ulτ,s‖+ d̄3e
−γ̃1(l−τ̄)),
‖∆(ulτ,s)|l=τν‖ ≤ 2σ1ε(‖uτντ,s‖+ d̄3e
−γ̃1(τν−τ̄)),
то завдяки рiвномiрним оцiнкам (29) i (30) осциляцiйних iнтегралiв i сум та припущенням
(2) дiстанемо нерiвнiсть
∥∥∥∥∥
t∫
τ
B̃ulτ,sdl
∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥ε ∑
τ≤τν<t
C̃uτντ,s
∥∥∥∥∥ ≤ c
∼14ε
β
( t∫
τ
‖ulτ,s‖dl + ε
∑
τ≤τν<t
‖uτντ,s‖+ d̄3e
−γ̃1(τ−τ̄)
)
(55)
з деякою не залежною вiд ε, s i d̄3 сталою c
∼14. Враховуючи (55), iз (53) виводимо нерiв-
нiсть
‖utτ,s‖ ≤ c15
(
εβ
τ∫
t
‖ulτ,s‖dl + ε1+β
∑
τ≤τν<t
‖uτντ,s‖+ d̄3e
−γ(τ−τ̄)
)
при t > τ + 1, яка разом з нерiвнiстю (54) приводить до оцiнки
‖utτ,s‖ ≤ c̃15d̄3e
c̃15εβ(t−τ)−γ̃1(τ−τ̄) (56)
при t ≥ τ ≥ τ̄ , ψ ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0], ‖h‖ < ρ4. Якщо вибрати довiльне γ̃2 ∈ (0, γ − γ̃1), то за
рахунок припущення c̃15ε
β
0 ≤ γ̃2 iз (56) отримаємо оцiнку (52) для t ≥ τ . У випадку t < τ
її доведення аналогiчне.
На пiдставi нерiвностi (51) при j = s iз (46) одержимо∥∥∥∥∥∂Zs+1
∂h
∥∥∥∥∥ ≤ Ke−γ(τ−τ̄) +K
∞∫
τ̄
e−γ|τ−t|[(δ1 + c̃0 + εσ1)(d̄2ε
β‖utτ,s‖+
+ d̄3e
−γ̃1(t−τ̄)) + εσ1‖utτ,s‖]dt+Kε
∑
τ̄≤τν
e−γ|τ−τν |[(δ1 + c
∼0+
+ εσ1)(d̄2ε
β‖uτντ,s‖+ d̄3e
−γ̃1(τν−τ̄)) + εσ1‖uτντ,s‖]+
+
∥∥∥∥∥
∞∫
τ̄
Q(τ, t, ε)
∑
k 6=0
Aku
t
τ,se
i(k,ϕ̄t
τ,s)dt
∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥ε∑
τ̄≤τν
Q(τ, τν , ε)Ãkνuτντ,se
i(k,ϕτν
τ,s)
∥∥∥∥∥,
(57)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
386 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
де Ak i Ãkν — (n×m)-вимiрнi матрицi, якi визначаються формулами
Ak = (akk1, akk2, ..., akkm), Ãkν = (pkk1, pkk2, ..., pkkm),
ak = ak(ξ(t, ε) + Zs(ϕ̄tτ,s, t, ε, τ̄ , h), t),
pk = pk(ξ(τν , ε) + Zs(ϕ̄τντ,s, τν , ε, τ̄ , h), τν), k = (k1, ..., km).
Оцiнюючи осциляцiйнi iнтеграл i суму в правiй частинi нерiвностi (57) за формулами
(29) i (30) та використовуючи нерiвнiсть (52) при γ̃2 < γ− γ̃1, перепишемо нерiвнiсть (57)
у виглядi ∥∥∥∥∥∂Zs+1
∂h
∥∥∥∥∥ ≤
[
K +
(
σ0
γ2
γ2 − γ̃2
1
+ δ21
Kγ(1 + θ−1)
γ2 − γ̃2
1
+ εβ0 c16
)
d̄3
]
e−γ̃1(τ−τ̄).
Виберемо довiльне додатне γ̃1 < γ
√
1− σ0, а δ1 i ε0 виберемо настiльки малими, щоб
c16ε
β
0 ≤
γ2(1− σ0)− γ̃2
1
3(γ2 − γ̃2
1)
, δ1 ≤
γ2(1− σ0)− γ̃2
1
6γK(1 + θ−1)
.
Тодi ∥∥∥∥∥∂Zs+1
∂h
∥∥∥∥∥ ≤ (K + σ∗d̄3)e−γ̃1(τ−τ̄) ≤ d̄3e
−γ̃1(τ−τ̄)
для всiх τ ≥ τ̄ , ψ ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0], ‖h‖ < ρ4, де
d̄3 =
K
1− σ∗
, σ∗ =
2 + σ0
γ2
γ2−γ̃2
1
3
< 1.
Згiдно з методом математичної iндукцiї нерiвнiсть (51) виконується для всiх j ≥ 0.
Лему доведено.
Нерiвностi (50) означають, що
lim
j→∞
Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h) = Z(ψ, τ, ε, τ̄ , h), lim
j→∞
ϕ̄τt,j(ψ, ε, τ̄ , h) = ϕ̄τt (ψ, ε, τ̄ , h), (58)
причому згiдно з зазначеними вище властивостями функцiй Zj гранична функцiя Z
2π-перiодична по ψs, s = 1,m, обмежена величиною d̄1(εβ + ‖h‖), кусково-неперервна
по τ з розривами першого роду в точках τ = τν i задовольняє умову Лiпшиця по ψ i h:
‖Z(ψ, τ, ε, τ̄ , h)− Z(ψ̃, τ, ε, τ̄ , h̃)‖ ≤ d̄2ε
β‖ψ − ψ̃‖+ d̄3e
−γ̃1(τ−τ̄)‖h− h̃‖ (59)
для всiх ψ ∈ Rm, ψ̃ ∈ Rm, τ ∈ [τ̄ ,∞), ε ∈ (0, ε0], ‖h‖ < ρ4, ‖h̃‖ < ρ4.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 387
Iз формул (46) – (48) випливають рiвностi
Zj+1(ϕ̄ττ̄ ,j , τ, ε, τ̄ , h) = Zj+1(ψ, τ̄ , ε, τ̄ , h) +
τ∫
τ̄
[H(t, ε)Zj+1(ϕ̄tτ̄ ,j , t, ε, τ̄ , h)+
+ F1(Zj(ϕ̄tτ̄ ,j , t, ε, τ̄ , h), ϕ̄
t
τ̄ ,j , t, ε)]dt+
+ ε
∑
τ̄≤τν<τ
[G(τν , ε)Zj+1(ϕ̄τντ̄ ,j , τν , ε, τ̄ , h)+
+ Φ1(Zj(ϕ̄τντ̄ ,j , τν , ε, τ̄ , h), ϕ̄
τν
τ̄ ,j , τν , ε], (60)
ϕ̄ττ̄ ,j = ψ +
τ∫
τ̄
[
ω(t)
ε
+ b(ξ(t, ε) + Zj(ϕ̄tτ̄ ,j , t, ε, τ̄ , h), ϕ̄
t
τ̄ ,j , t, ε)
]
dt+
+ ε
∑
τ̄≤τν<τ
q(ξ(τν , ε) + Zj(ϕ̄τντ̄ ,j , τν , ε, τ̄ , h), ϕ̄
τν
τ̄ ,j , τν , ε), (61)
граничний перехiд в яких при j → ∞ згiдно з (58) приводить до спiввiдношень
Z(ϕ̄ττ̄ , τ, ε, τ̄ , h) = Z(ψ, τ̄ , ε, τ̄ , h) +
τ∫
τ̄
[H(t, ε)Z(ϕ̄tτ̄ , t, ε, τ̄ , h)+
+ F1(Z(ϕ̄tτ̄ , t, ε, τ̄ , h), ϕ̄
t
τ̄ , t, ε)]dt+ ε
∑
τ̄≤τν<τ
[G(τν , ε)Z(ϕ̄τντ̄ , τν , ε, τ̄ , h)+
+ Φ1(Z(ϕ̄τντ̄ , τν , ε, τ̄ , h), ϕ̄
τν
τ̄ , τν , ε)],
ϕ̄ττ̄ = ψ +
τ∫
τ̄
[
ω(t)
ε
+ b(ξ(t, ε) + Z(ϕ̄tτ̄ , t, ε, τ̄ , h), ϕ̄
t
τ̄ , t, ε)
]
dt+
+ ε
∑
τ̄≤τν<τ
q(ξ(τν , ε) + Z(ϕ̄τντ̄ , τν , ε, τ̄ , h), ϕ̄
τν
τ̄ , τν , ε). (62)
Покладемо
Z(ψ, τ̄ , ε, τ̄ , h) = (f+(ψ, τ̄ , ε, h), h),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
388 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
де f — n0-вимiрний вектор. У термiнах системи (10) отриманий результат означає наступ-
не: якщо y = (y+, y−) i при τ = τ̄ змiннi ϕ, y− i y+ набувають вiдповiдно значень ϕ0, y0
− i
y0
+ = f+(ϕ0, τ̄ , ε, y0
−), то yττ̄ (y
0, ϕ0, ε), ϕττ̄ (y
0, ϕ0, ε), де
yτ̄τ̄ (y
0, ϕ0, ε) = y0 = (y0
+, y
0
−), ϕτ̄τ̄ (y
0, ϕ0, ε) = ϕ0,
ε ∈ (0, ε0], ϕ0 ∈ Rm, ‖y0
−‖ < ρ4,
yττ̄ (y
0, ϕ0, ε) = Z(ϕ̄ττ̄ , τ, ε, τ̄ , y
0
−), ϕττ̄ (y
0, ϕ0, ε) = ϕ̄ττ̄ ,
а ϕ̄ττ̄ визначається другою рiвнiстю в (62) при ψ = ϕ0 i h = y0
−, є розв’язком системи (10),
який визначений на [τ̄ ,∞) i повiльна компонента yττ̄ (y
0, ϕ0, ε) якого рiвномiрно обмежена
сталою d̄1(ε
β
0 + ρ4). Крiм того, при кожних y0
− i ε кривi yττ̄ (y
0, ϕ0, ε) належать поверхнi
y = Z(ψ, τ, ε, τ̄ , y0
−) при τ ∈ [τ̄ ,∞). Покладемо
S+
n−n0
= S+
n−n0
(ϕ0, τ̄ , ε) = {y0 : y0 ∈ Rn, ‖y0
−‖ < ρ4, y0
+ = f+(ϕ0, τ̄ , ε, y0
−)}.
Покажемо далi, що Z(ψ, τ, ε, τ̄ , h) експоненцiально прямує при τ → ∞ до iнтеграль-
ного многовиду y = Y (ψ, τ, ε) системи (10). Для цього позначимо
rj(τ, ε, τ̄ , h) = sup
ψ∈Rm
‖Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h)− Yj(ψ, τ, ε)‖,
Nj = sup
τ∈[τ̄ ,∞)
[rj(τ, ε, τ̄ , h)eγ̃1(τ−τ̄)],
де додатне число γ̃1 означене в нерiвностi (51) i вибирається з умови γ̃1 < γ
√
1− σ0, а Yj i
Zj виражаються формулами (11) i (46). Зазначимо, що
rj(τ, ε, τ̄ , h) ≤ Nje
−γ̃1(τ−τ̄), τ ∈ [τ̄ ,∞).
У наступнiй лемi ϕτt,j i ϕ̄τt,j позначають розв’язки систем диференцiальних рiвнянь з iм-
пульсною дiєю вiдповiдно (13) i (47), якi при τ = t набувають значення ψ, а γ̃2 — довiльне
фiксоване додатне число, яке визначається умовою γ̃2 < γ − γ̃1.
Лема 3. Iснує така стала c17, не залежна вiд ε, j, τ̄ , h, що при досить малому ε0 =
= ε0(γ̃2) > 0 для всiх τ ≥ τ̄ , t ≥ τ̄ , ψ ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0] i ‖h‖ < ρ4 виконується нерiвнiсть
‖ϕtτ,j − ϕ̄tτ,j‖ ≤ c17Nje
γ̃2|t−τ |−γ̃1(min(t,τ)−τ̄). (63)
Доведення. Оскiльки
‖Zj(ϕ̄tτ,j , t, ε, τ̄ , h)− Yj(ϕtτ,j , t, ε)‖ ≤ d2ε
β‖ϕtτ,j − ϕ̄tτ,j‖+ hj(t, ε, τ̄ , h),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 389
то iз систем (13) i (47) знаходимо, що при t ≥ τ ≥ τ̄ функцiя vtτ,j = ϕ̄tτ,j−ϕtτ,j задовольняє
нерiвнiсть
‖vtτ,j‖ ≤ σ1
t∫
τ
(d2ε
β‖vlτ,j‖+Nje
−γ̃1(l−τ̄))dl + εσ1
∑
τ≤τν<τ
(d2ε
β‖vτντ,j‖+Nje
−γ(τν−τ̄))+
+
∑
k 6=0
[∥∥∥∥∥
t∫
τ
bk(ξ(l, ε) + Yj(ϕlτ,j , l, ε), l, ε)(1− ei(k,v
t
τ,j))ei(k,ϕ̃
l
τ,j)Ωk(l, τ̄ , ε)dl
∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥ε ∑
τ≤τν<t
qk(ξ(τν , ε) + Yj(ϕτντ,j , τν , ε), τν , ε)(1− ei(k,v
τν
τ,j))ei(k,ϕ̃
τν
τ,j)Ωk(τν , τ̄ , ε)
∥∥∥∥∥
]
,
(64)
в якiй
ϕ̃tτ,j = ϕtτ,j −
1
ε
t∫
τ
ω(l)dl.
Як i при доведеннi леми 1, подамо вiдрiзок [τ, t] у виглядi
[τ, t] =
s0⋃
s=0
Ts,
розкладемо осциляцiйнi iнтеграл i суму в правiй частинi нерiвностi (64) на суму iнтегралiв
i сум за складовими вiдрiзками Ts та скористаємось оцiнками (29) i (30). Тодi дiстанемо
‖vtτ,j‖ ≤ c̃18
(
εβ
t∫
τ
‖vlτ,j‖dl + εβ+1
∑
τ≤τν<t
‖vτντ,j‖+Nje
−γ̃1(τ−τ̄)
)
(65)
при t > τ + 1, де c̃18 — стала. Якщо ж t ∈ [τ, τ + 1], то з (64) при d2ε
β
0 ≤ 1 одержимо
нерiвнiсть
‖vtτ,j‖ ≤ 2σ1
( t∫
τ
‖vlτ,j‖dl + ε
∑
τ≤τν<t
‖vτντ,j‖
)
+ c
∼18Nje
−γ̃1(τ−τ̄). (66)
Нерiвностi (65) i (66) приводять до оцiнки вигляду
‖vtτ,j‖ ≤ c17Nje
c17ε
β
0 (t−τ)−γ̃1(τ−τ̄)
для всiх t ≥ τ , звiдки випливає (63) при t ≥ τ i c17ε
β
0 ≤ γ̃2. Для t < τ оцiнка (63) дово-
диться аналогiчно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
390 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
Лему доведено.
Iз (11) i (46) при τ ≥ τ̄ отримуємо нерiвнiсть
eγ̃1(τ−τ̄)‖Yj+1(ψ, τ, ε)− Zj+1(ψ, τ, ε, τ̄ , h)‖ ≤ K(‖α(ψ, τ, τ̄ , ε)‖+ ‖h‖)+
+K(δ1 + c̃0 + εσ1)
∞∫
τ̄
e−γ|t−τ |+γ̃1(τ−τ̄)(d2ε
β‖vtτ,j‖+ hj(t, ε, τ̄ , h))dt+
+K(δ1 + c
∼0 + εσ1)
∑
τ̄≤τν
e−γ|τ−τν |+γ̃1(τ−τ̄)(d2ε
β‖vτντ,j‖+ hj(τν , ε, τ̄ , h))+
+
∑
k 6=0
∞∑
s=0
[∥∥∥∥∥
τ̄+s+1∫
τ̄+s
Q(τ, t, ε)eγ̃1(τ−τ̄)ak(ξ(t, ε)+
+ Yj(ϕtτ,j , t, ε), t)e
i(k,ϕ̃t
τ,j)(1− ei(k,v
t
τ,j))Ωk(t, τ̄ , ε)dt
∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥ε ∑
τ̄+s≤τν<τ̄+s+1
Q(τ, τν , ε)eγ̃1(τ−τ̄)pk(ξ(τν , ε)+
+ Yj(ϕτντ,j , τν , ε), τν)e
i(k,ϕ̃τν
τ,j)(1− ei(k,v
τν
τ,j))Ωk(τν , τ̄ , ε)
∥∥∥∥∥
]
.
Звiдси на пiдставi оцiнок (29), (30) i леми 3 при γ̃1 + γ̃2 < γ дiстаємо нерiвнiсть
Nj+1 ≤ ρ5 + σ∗Nj , (67)
де
ρ5 = (ρ4 + d1ε
β
0 )K, σ∗ =
σ0γ
2
γ2 − γ̃2
1
+ δ1
2γK(1 + θ−1)
γ2 − γ̃2
1
+ c18ε
β
0 ,
а c18 — стала, не залежна вiд ε i j. За рахунок досить малих додатних ε0 i δ1 на пiдставi
припущення γ̃1 < γ
√
1− σ0 можна вважати, що σ∗ < 1. Оскiльки N0 = 0, то з нерiвностi
(67) випливає
Nj ≤
ρ5
1− σ∗
= c
для всiх j ≥ 0. Отже,
‖Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h)− Yj(ψ, τ, ε)‖ ≤ ce−γ̃1(τ−τ̄),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 391
а тому граничний перехiд при j → ∞ в останнiй нерiвностi дозволяє стверджувати, що
‖Z(ψ, τ, ε, τ̄ , h)− Y (ψ, τ, ε)‖ ≤ ce−γ̃1(τ−τ̄) (68)
для всiх ψ ∈ Rm, τ ≥ τ̄ ∈ R, ε ∈ (0, ε0] i ‖h‖ < ρ4.
Оскiльки повiльна компонента розв’язку yττ̄ (y
0, ϕ0, ε), ϕττ̄ (y
0, ϕ0, ε) системи (10), для
якого
y0 = (y0
+, y
0
−) = (f+(ϕ0, τ̄ , ε, y0
−), y0
−),
а ϕ0 ∈ Rm i y0
− ∈ Rn−n0 , ‖y0
−‖ < ρ4, — довiльнi, визначається рiвнiстю
yττ̄ (y
0, ϕ0, ε) = Z(ϕττ̄ (y
0, ϕ0, ε), τ, ε, τ̄ , y0
−),
то з нерiвностi (68) маємо оцiнку
‖yττ̄ (y0, ϕ0, ε)− Y (ϕττ̄ (y
0, ϕ0, ε), τ, ε)‖ ≤ ce−γ̃1(τ−τ̄) (69)
при τ ≥ τ̄ , ϕ0 ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0] i ‖y0
−‖ < ρ4.
Якщо замiсть послiдовностi {Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h)}∞j=0 розглянути послiдовнiсть
{Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h)}∞j=0, яка при τ ∈ (−∞, τ̄ ] визначається рекурентною формулою
Zj+1(ψ, τ, ε, τ̄ , h) = Q(τ, τ̄ , ε)h+
+
τ̄∫
−∞
Q(τ, t, ε)F1(Zj(ϕ
t
τ,j
, t, ε, τ̄ , h), ϕt
τ,j
, t, ε)dt+
+ ε
∑
τν<τ̄
Q(τ, τν , ε)Φ1(Zj(ϕ
τν
τ,j
, τν , ε, τ̄ , h), ϕτντ,j , τν , ε),
де Z0 = 0, h = (h1, ..., hn0), h = (h1, ..., hn0 , 0, ..., 0) — n-вимiрний вектор, Q(τ, τ̄ , ε) =
= diag (Q+(τ, τ̄ , ε), 0) — n-вимiрна квадратна матриця, а ϕ = ϕτ
t,j
є розв’язком системи
диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю
dϕ
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b(ξ(τ, ε) + Zj(ϕ, τ, ε, τ̄ , h), ϕ, τ, ε), τ 6= τν ,
∆ϕ|τ=τν = εq(ξ(τν , ε) + Zj(ϕ, τν , ε, τ̄ , h), ϕ, τν , ε),
який при τ = t набуває значення ψ, то аналогiчно можна побудувати функцiю
Z(ψ, τ, ε, τ̄ , h) = lim
j→∞
Zj(ψ, τ, ε, τ̄ , h).
Ця функцiя визначена при ψ ∈ Rm, τ ∈ (−∞, τ̄ ], ε ∈ (0, ε0], ‖h‖ < ρ4, 2π-перiодична
по ψs, s = 1,m, кусково-неперервна по τ з розривами першого роду в точках τ = τν i
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
392 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
задовольняє нерiвностi
‖Z(ψ, τ, ε, τ̄ , h)‖ ≤ d̄1(εβ + ‖h‖),
‖Z(ψ, τ, ε, τ̄ , h)− Z(ψ̃, τ, ε, τ̄ , h̃)‖ ≤ d̄2ε
β‖ψ − ψ̃‖+ d̄3e
γ̃1(τ−τ̄)‖h− h̃‖, (70)
‖Z(ψ, τ, ε, τ̄ , h)− Y (ψ, τ, ε)‖ ≤ ceγ̃1(τ−τ̄)
для всiх ψ ∈ Rm, ψ̃ ∈ Rm, τ ∈ (−∞, τ̄ ], ε ∈ (0, ε0], ‖h‖ < ρ4, ‖h̃‖ < ρ4.
Оскiльки
Z(ψ, τ̄ , ε, τ̄ , h) = (h, f−(ψ, τ̄ , ε, h)),
де f− — (n − n0)-вимiрний вектор, то всi розв’язки yττ̄ (y
0, ϕ0, ε), ϕττ̄ (y
0, ϕ0, ε) системи (10),
для яких
y0 = (y0
+, y
0
−) = (y0
+, f−(ϕ0, ε, τ̄ , y0
+)),
ϕ0 ∈ Rm i y0
+ ∈ Rn0 , ‖y0
+‖ < ρ4, — довiльнi, визначенi на (−∞, τ̄ ] i
yττ̄ (y
0, ϕ0, ε) = Z(ϕττ̄ (y
0, ϕ0, ε), τ, ε, τ̄ , y0
+),
(71)
‖yττ̄ (y0, ϕ0, ε)− Y (ϕττ̄ (y
0, ϕ0, ε), τ, ε)‖ ≤ ceγ̃1(τ−τ̄)
при τ ≤ τ̄ , ϕ0 ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0], ‖y0
+‖ < ρ4, y0
− = f−(ϕ0, τ̄ , ε, y0
+).
Покладемо
S−n0
= S−n0
(ϕ0, τ̄ , ε) =
{
y0 : y0 ∈ Rn, ‖y0
+‖ < ρ4, y0
− = f−(ϕ0, τ̄ , ε, y0
+)
}
.
Нерiвностi (69) i (71) вказують на експоненцiальне прямування до iнтегрального мно-
говиду повiльних компонент розв’язкiв системи (10) вiдповiдно при τ → +∞ чи τ → −∞
за умови, що початковi значення y0 = (y0
+, y
0
−) i ϕ0 при τ = τ̄ цих розв’язкiв задовольня-
ють умови y0
+ = f+(ϕ0, τ̄ , ε, y0
−) чи y0
− = f−(ϕ0, τ̄ , ε, y0
+).
Таким чином, справедлива наступна теорема.
Теорема 3. Нехай iснує розв’язок ξ(τ, ε) системи (4), який визначений для всiх τ ∈ R,
ε ∈ (0, ε0] та належить D разом iз своїм ρ-околом, i виконуються умови (2) при µ = 0,
(3), (8), (9).
Тодi можна вказати такi досить малi додатнi ε̄ i ρ0, що при ε ∈ (0, ε0], ε0 ≤ ε̄:
1) для кожного τ̄ ∈ R в ρ0-околi точки ξ(τ0, ε) iснують такi многовиди S+
n−n0
i S−n0
по-
чаткових даних для повiльних змiнних вимiрiв вiдповiдно n− n0 i n0, що при y0 ∈ S+
n−n0
,
ϕ0 ∈ Rm кожний розв’язок yττ̄ (y
0, ϕ0, ε), ϕττ̄ (y
0, ϕ0, ε) системи (10) визначений на [τ̄ ,∞) i
виконується нерiвнiсть (69), а при y0 ∈ S−n0
, ϕ0 ∈ Rm кожний розв’язок визначений на
(−∞, τ̄ ] i виконується нерiвнiсть (71);
2) повiльнi компоненти вказаних розв’язкiв лежать вiдповiдно на поверхнях y =
= Z(ψ, τ, ε, τ̄ , y0
−) при τ ∈ [τ̄ ,∞) i y = Z(ψ, τ, ε, τ̄ , y0
+) при τ ∈ (−∞, τ̄ ], а швидкi ви-
значаються як розв’язок системи
dϕ
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b(ξ(τ, ε) + Z(ϕ, τ, ε, τ̄ , y0
−), ϕ, τ, ε), τ 6= τν ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СТIЙКIСТЬ IНТЕГРАЛЬНОГО МНОГОВИДУ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ . . . 393
∆ϕ|τ=τν = εq(ξ(τν , ε) + Z(ϕ, τν , ε, τ̄ , y0
−), ϕ, τν , ε), ϕ|τ=τ̄ = ϕ0
при τ ∈ [τ̄ ,∞) i такої ж системи iз замiною в нiй Z на Z при τ ∈ (−∞, τ̄ ];
3) функцiї Z(ψ, τ, ε, τ̄ , y0
−) i Z(ψ, τ, ε, τ̄ , y0
+) — 2π-перiодичнi по ψs, s = 1,m, обмеженi,
кусково-неперервнi по τ з розривами першого роду в точках τν вiдповiдно при τ ≥ τ̄ i
τ ≤ τ̄ , задовольняють нерiвностi
‖Z(ψ, τ, ε, τ̄ , y0
−)− Z(ψ̃, τ, ε, τ̄ , y0
−)‖ ≤
≤ d̄2ε
β‖ψ − ψ̃‖+ d̄3e
−γ̃1(τ−τ̄)‖y0
− − ỹ0
−‖, τ ∈ [τ̄ ,∞),
‖Z(ψ, τ, ε, τ̄ , y0
+)− Z(ψ̃, τ, ε, τ̄ , ỹ0
+)‖ ≤
≤ d̄2ε
β‖ψ − ψ̃‖+ d̄3e
γ1(τ−τ̄)‖y0
+ − ỹ0
+‖, τ ∈ (−∞, τ̄ ],
для всiх ψ ∈ Rm, ψ̃ ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0], ‖y0
+‖ < ρ4, ‖ỹ0
+‖ < ρ4, ‖y0
−‖ < ρ4, ‖ỹ0
−‖ < ρ4
i експоненцiально прямують до iнтегрального многовиду y = Y (ψ, τ, ε) системи (10)
вiдповiдно при τ → +∞ i τ → −∞.
Зауваження. Враховуючи формулу x = y+ ξ(τ, ε) переходу вiд системи (1) до системи
(10), теорему 3 легко перефразувати в термiнах розв’язкiв системи (1).
Висновки
1. Знайдено доcтатнi умови асимптотичної стiйкостi iнтегрального многовиду багато-
частотної системи з iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу.
2. Побудовано такi множини S+
n−n0
i S−n0
початкових даних для повiльної компоненти
розв’язку системи, що при належностi цiєї компоненти в початковий момент часу множи-
нi S+
n−n0
вона експоненцiально прямує до iнтегрального многовиду системи при τ → +∞,
а при її належностi множинi S−n0
— до iнтегрального многовиду при τ → −∞.
1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механи-
ке // Труды Междунар. симп. по нелинейным колебаниям.— Киев: Изд-во АН УССР, 1963. — 1. —
С. 93 – 154.
2. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. — М.:
Наука, 1973.— 412 с.
3. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные то-
ры. — М.: Наука, 1987. — 304 с.
4. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. — М.:
Наука, 1977. — 304 с.
5. Самойленко А. М., Петришин Р. I. Багаточастотнi коливання нелiнiйних систем. — Київ: Iн-т мате-
матики НАН України, 1998. — 340 c.
6. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Выща шк., 1987. — 288 с.
7. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Метод усреднения в системах с импульс-
ным воздействием // Укр. мат. журн. — 1985. — 37, № 1. — C. 56 – 64.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
394 Р. I. ПЕТРИШИН, П. М. ДУДНИЦЬКИЙ
8. Самойленко А. М., Петришин Р. I., Сопронюк Т. М. Побудова iнтегрального многовиду багаточас-
тотної коливної системи з фiксованими моментами iмпульсної дiї // Там же. — 2003.— 55, № 5. —
С. 641 – 662.
9. Петришин Я. Р. Обґрунтування методу усереднення на пiвосi для одного класу нелiнiйних коливних
систем з iмпульсним впливом // Наук. вiсник Чернiвец. ун-ту: Зб. наук. пр. Математика. — 2001. —
Вип. 111. — С. 105 – 109.
10. Петришин Р. I., Сопронюк Т. М. Експоненцiальна оцiнка фундаментальної матрицi лiнiйної iмпульс-
ної системи // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, № 8. — С. 1101 – 1108.
Одержано 29.12.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177013 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T14:01:20Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Петришин, Р.І. Дудницький, П.М. 2021-02-09T20:37:20Z 2021-02-09T20:37:20Z 2004 Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією / Р.І. Петришин, П.М. Дудницький // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 365-394. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177013 517.928 На пiдставi рiвномiрних оцiнок осциляцiйних iнтегралiв i сум доведено теореми про асимптотичну та умовну асимптотичну стiйкiсть iнтегрального многовиду багаточастотної системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу. Using uniform estimates for oscillating integrals and sums, we prove theorems on asymptotic and conditional asymptotic stability of the integral manifold of a multifrequence differential system with impulsive effects at fixed times. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією Stability of the integral manifold of an oscillating system with slowly changing frequencies and an impulsive effect Устойчивость интегрального многообразия колебательной системы с медленно изменяющимися частотами и импульсным воздействием Article published earlier |
| spellingShingle | Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією Петришин, Р.І. Дудницький, П.М. |
| title | Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією |
| title_alt | Stability of the integral manifold of an oscillating system with slowly changing frequencies and an impulsive effect Устойчивость интегрального многообразия колебательной системы с медленно изменяющимися частотами и импульсным воздействием |
| title_full | Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією |
| title_fullStr | Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією |
| title_full_unstemmed | Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією |
| title_short | Стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією |
| title_sort | стійкість інтегрального многовиду коливної системи з повільно змінними частотами та імпульсною дією |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177013 |
| work_keys_str_mv | AT petrišinrí stíikístʹíntegralʹnogomnogovidukolivnoísistemizpovílʹnozmínnimičastotamitaímpulʹsnoûdíêû AT dudnicʹkiipm stíikístʹíntegralʹnogomnogovidukolivnoísistemizpovílʹnozmínnimičastotamitaímpulʹsnoûdíêû AT petrišinrí stabilityoftheintegralmanifoldofanoscillatingsystemwithslowlychangingfrequenciesandanimpulsiveeffect AT dudnicʹkiipm stabilityoftheintegralmanifoldofanoscillatingsystemwithslowlychangingfrequenciesandanimpulsiveeffect AT petrišinrí ustoičivostʹintegralʹnogomnogoobraziâkolebatelʹnoisistemysmedlennoizmenâûŝimisâčastotamiiimpulʹsnymvozdeistviem AT dudnicʹkiipm ustoičivostʹintegralʹnogomnogoobraziâkolebatelʹnoisistemysmedlennoizmenâûŝimisâčastotamiiimpulʹsnymvozdeistviem |