Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения
Розглядається задача Кошi для абстрактного напiвлiнiйного диференцiального рiвняння d/dt (Au(t))+ Bu(t) = f(t, u(t)), t₀ − T < t < t₀ + T, де A, B — лiнiйнi замкненi, взагалi кажучи, виродженi оператори, що дiють з банахова простору X в банахiв простiр Y , f(t, u) — неперервно диференцiйовн...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177015 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения / А.Г. Руткас, И.Г. Худошин // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 414-429. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859657355292049408 |
|---|---|
| author | Руткас, А.Г. Худошин, И.Г. |
| author_facet | Руткас, А.Г. Худошин, И.Г. |
| citation_txt | Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения / А.Г. Руткас, И.Г. Худошин // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 414-429. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглядається задача Кошi для абстрактного напiвлiнiйного диференцiального рiвняння
d/dt (Au(t))+ Bu(t) = f(t, u(t)), t₀ − T < t < t₀ + T,
де A, B — лiнiйнi замкненi, взагалi кажучи, виродженi оператори, що дiють з банахова простору
X в банахiв простiр Y , f(t, u) — неперервно диференцiйовна функцiя. Вважається, що резольвента (A + µB)⁻¹ має в точцi µ = 0 полюс порядку не вище двох. Отримано глобальнi умови
iснування та єдиностi розв’язку задачi Кошi. Результати застосовано до однiєї нелiнiйної виродженої початково-крайової задачi з частинними похiдними та до системи диференцiальноалгебраїчних рiвнянь нелiнiйного електричного ланцюга
The Cauchy problem for an abstract semilinear differential equation
d/dt (Au(t))+ Bu(t) = f(t, u(t)), t₀ − T < t < t₀ + T,
is studied. Here A, B are closed degenerate linear operators from a Banach space X into a Banach space
Y, f(t, u) is a continiously differentiable function. The resolvent (A + µB)⁻¹
is supposed to have a pole of
order not greater then two in the point µ = 0. Global existence and uniqueness theorems for the Cauchy
problem are obtained. The results are applied to an initial boudary-value problem for one nonlinear
degenerate partial differential equation and to one system of differential-algebraic equations describing
a nonlinear electric circuit.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:20:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО
ПОЛУЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО
УРАВНЕНИЯ
А. Г. Руткас, И. Г. Худошин
Харьков. нац. ун-т
Украина, 61077, Харьков, пл. Свободы, 4
e-mail:Anatoliy.G.Rutkas@univer.kharkov.ua
Ilya.G.Khudoshin@univer.kharkov.ua
The Cauchy problem for an abstract semilinear differential equation
d
dt
(
Au(t)
)
+Bu(t) = f(t, u(t)), t0 − T < t < t0 + T,
is studied. Here A,B are closed degenerate linear operators from a Banach space X into a Banach space
Y, f(t, u) is a continiously differentiable function. The resolvent (A+ µB)−1 is supposed to have a pole of
order not greater then two in the point µ = 0. Global existence and uniqueness theorems for the Cauchy
problem are obtained. The results are applied to an initial boudary-value problem for one nonlinear
degenerate partial differential equation and to one system of differential-algebraic equations describing
a nonlinear electric circuit.
Розглядається задача Кошi для абстрактного напiвлiнiйного диференцiального рiвняння
d
dt
(
Au(t)
)
+Bu(t) = f(t, u(t)), t0 − T < t < t0 + T,
деA,B — лiнiйнi замкненi, взагалi кажучи, виродженi оператори, що дiють з банахова простору
X в банахiв простiр Y , f(t, u) — неперервно диференцiйовна функцiя. Вважається, що резоль-
вента (A + µB)−1 має в точцi µ = 0 полюс порядку не вище двох. Отримано глобальнi умови
iснування та єдиностi розв’язку задачi Кошi. Результати застосовано до однiєї нелiнiйної ви-
родженої початково-крайової задачi з частинними похiдними та до системи диференцiально-
алгебраїчних рiвнянь нелiнiйного електричного ланцюга.
1. Предварительные сведения. Рассматривается абстрактное полулинейное дифферен-
циальное уравнение
d
dt
(Au(t)) +Bu(t) = f(t, u(t)), (1)
где A,B — линейные, замкнутые, вообще говоря, вырожденные операторы, действую-
щие из банахова пространства X в банахово пространство Y , определенные на линеалах
DA и DB соответственно, f(t, u) : J × S → Y — непрерывно дифференцируемая фун-
кция,
J = {t ∈ R : |t− t0| < T}, (2)
S = {u ∈ X : ‖u− u0‖ < r}. (3)
Для уравнения (1) ставится задача Коши с начальным условием
u(t0) = u0. (4)
c© А. Г. Руткас, И. Г. Худошин, 2004
414 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО . . . 415
Решением задачи Коши (1), (4) на отрезке J будем называть такую непрерывную
функцию u(t) : J → D, удовлетворяющую уравнению (1) при t ∈ J и начальному усло-
вию (4), для которой функция Au(t) непрерывно дифференцируема на J .
Фундаментальные результаты для линейного уравнения (1) (правая часть не зависит
от u) в пространствах Rn, Cn получены К. Вейерштрассом и Л. Кронекером с помо-
щью канонической формы пучка матриц [1]. Нестационарные линейные и нелинейные
дифференциально-алгебраические уравнения, имеющие векторную форму (1) в конеч-
номерном пространстве, интенсивно изучаются до настоящего времени (см., например,
результаты и библиографию в [2 – 4]).
Уравнение (1) в бесконечномерных банаховых пространствах называется иногда по-
лулинейным уравнением Соболева. Полученные для него теоремы существования обыч-
но имеют локальный характер [5 – 8], включая более общий случай нестационарных опе-
раторов A, B [9]. В данной статье доказываются глобальные теоремы существования и
единственности – на всем отрезке J или на заранее выделенной его части. В качестве
приложения получены условия глобальной разрешимости начально-краевой задачи для
одного нелинейного уравнения в частных производных, которая приводится к абстракт-
ной форме (1), (4) с вырожденным оператором A.
2. Пример из физики. На рисунке изображен передающий четырехполюсник с не-
линейными элементами. Колебания элементов четырехполюсника описываются следу-
ющими уравнениями относительно токов ik и напряжений uk:
u1 = Ri1 + ϕ1(t, i1), (5)
i2 = C
du2
dt
+ ϕ2(t, u2), (6)
u3 = L3
di3
dt
+ ϕ3(t, i3), (7)
u4 = L4
di4
dt
+ ϕ4(t, i4). (8)
Здесь ϕ1 — нелинейная часть омического сопротивления, функция ϕ2 характеризует не-
линейную утечку тока в емкости, функции ϕ3, ϕ4 — омические потери в индуктивностях.
Для данной схемы запишем следующие уравнения Кирхгофа:
u1 = u−, i1 + i2 + i3 = i−, u3 + u4 = u−, u2 = u−. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
416 А. Г. РУТКАС, И. Г. ХУДОШИН
j
j - -
� �� �� �� � j
?
j
? ?��������
6 6 6 6
�
u− R u1 C u2 L4 u4
i1 i2 i4
i− i3
u3
L3
Подставив значения переменных u1, i2, u3, u4 из уравнений элементов (5), (6), (7), (8) в
уравнения Кирхгофа (9), получим следующую систему уравнений, описывающую рас-
пределение токов и напряжений в четырехполюснике:
Ri1 = u−(t)− ϕ1(t, i1),
C
du2
dt
+ i1 + i3 = i−(t)− ϕ2(t, u2),
(10)
L3
di3
dt
+ L4
di4
dt
= u−(t)− ϕ2(t, i3)− ϕ4(t, i4),
u2 = u−(t).
Входной ток i−(t) и входное напряжение u−(t) считаются известными функциями. Cи-
стема (10) записывается в векторной форме (1), где
u =
i1
u2
i3
i4
, A =
0 0 0 0
0 C 0 0
0 0 L3 L4
0 0 0 0
, B =
R 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
0 1 0 0
, (11)
f(t, u(t)) =
u−(t)− ϕ1(t, i1(t))
i−(t)− ϕ2(t, u2(t))
u−(t)− ϕ3(t, i3(t))− ϕ4(t, i4(t))
u−(t)
. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО . . . 417
Обе матрицы A,B являются вырожденными и несимметричными, поэтому непосред-
ственное применение глобальной теоремы существования решений явных дифференци-
альных уравнений вида y′ = F (t, y) здесь невозможно. Заметим, что исключение пере-
менной u2 из четвертого уравнения системы (10) также не приводит к явному уравнению.
3. Признак существования нелокальной неявной функции. Приведем глобальное усло-
вие существования неявной функции, необходимое в дальнейшем.
Пусть задана функция Φ(x, y) : X × Y → Z (X , Y , Z — банаховы пространства),
непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных в области Gx ×Gy, где
Gx = {x ∈ X : ‖x− x0‖X < Rx}, Gy = {y ∈ Y : ‖y − y0‖Y < Ry}. (13)
Будем говорить, что функция Φ(x, y) удовлетворяет гипотезе H по переменной y в
области Gx × Gy, если для любых x ∈ Gx, y ∈ Gy частные производные Фреше
∂Φ
∂x
,
∂Φ
∂y
,
∂2Φ
∂x∂y
,
∂2Φ
∂y2
и обратный оператор
[∂Φ
∂y
(x, y)
]−1
∈ L[Z, Y ] существуют и ограничены
некоторыми константами M1, M2, M3, M4:∥∥∥∥∥
[
∂Φ
∂y
(x, y)
]−1
∥∥∥∥∥ ≤ M1,
∥∥∥∥∂Φ
∂x
(x, y)
∥∥∥∥ ≤ M2,
(H)∥∥∥∥∂2Φ
∂y2
(x, y)
∥∥∥∥ ≤ M3,
∥∥∥∥ ∂2Φ
∂x∂y
(x, y)
∥∥∥∥ ≤ M4.
Здесь L[Z, Y ] — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Z
в Y .
Лемма 1. Пусть функция Φ(x, y) ∈ C2(Gx × Gy ;Z) удовлетворяет гипотезе H по
переменной y в области Gx × Gy (13) и Φ(x0, y0) = 0. Тогда существует единственная
функция ϕ(x), непрерывно дифференцируемая в открытом шаре S(x0, ρ), где
ρ = min
(
Rx,
Ry
M
)
, M = M1max (M2,M3,M4), (14)
и принимающая значения в области Gy, такая, что Φ(x, ϕ(x)) = 0 для любого x ∈
∈ S(x0, ρ).
Доказательство. Для малого δ > 0 введем числа
ε = −δ
2
+
√
δ2
4
+ δ(1 +M), rx =
ε
1− ε+M
, ry =
ε(1− ε)
(1− ε+M)M
.
Выберем δ так, что ε < 1, rx ≤ ρ − δ
M
, и покажем, что для любого такого δ искомая
функция ϕ(x) существует и определена на замкнутом шаре S
[
x0, ρ −
δ
M
]
. Как обычно,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
418 А. Г. РУТКАС, И. Г. ХУДОШИН
для использования теорем о неподвижной точке переходим к функции
Θ(x, y) = y −
[
∂Φ
∂y
(x0, y0)
]−1
Φ(x, y) : Gx ×Gy → Y,
для которой Θ(x, y) = y тогда и только тогда, когда Φ(x, y) = 0. Покажем сначала, что
для любого x ∈ Sx = S[x0, rx] функция Θ(x, y) отображает замкнутый шар Sy = S[y0, ry]
в себя. Действительно, для любых x ∈ Sx и y ∈ Sy выполняется
‖Θ(x, y)− y0‖ ≤ ‖Θ(x, y0)− y0‖+ ‖Θ(x, y0)−Θ(x, y)‖ =
= ‖Θ(x, y0)−Θ(x0, y0)‖+ ‖Θ(x, y0)−Θ(x, y)‖ ≤
≤ sup
x∈Sx
∥∥∥∥∂Θ
∂x
(x, y0)
∥∥∥∥ ‖x− x0‖+ sup
x∈Sx, y∈Sy
∥∥∥∥∂Θ
∂y
(x, y)
∥∥∥∥ ‖y − y0‖ ≤
≤ sup
x∈Sx
∥∥∥∥∥
[
∂Φ
∂y
(x0, y0)
]−1 ∂Φ
∂x
(x, y0)
∥∥∥∥∥ rx+
+ sup
x∈Sx, y∈Sy
∥∥∥∥∥EY −
[
∂Φ
∂y
(x0, y0)
]−1 ∂Φ
∂y
(x, y)
∥∥∥∥∥ ry ≤
≤ M1M2rx +
∥∥∥∥∥
[
∂Φ
∂y
(x0, y0)
]−1
∥∥∥∥∥ sup
x∈Sx,y∈Sy
∥∥∥∥∂Φ
∂y
(x0, y0)−
∂Φ
∂y
(x, y)
∥∥∥∥ ry ≤
≤ M1M2rx +
∥∥∥∥∥
[
∂Φ
∂y
(x0, y0)
]−1
∥∥∥∥∥
(
sup
x∈Sx,y∈Sy
∥∥∥∥∥ ∂2Φ
∂x∂y
(x, y)
∥∥∥∥∥‖x− x0‖+
+ sup
x∈Sx,y∈Sy
∥∥∥∥∥∂2Φ
∂y2
(x, y)
∥∥∥∥∥‖y − y0‖
)
ry ≤
≤ M1M2rx +M1(M4rx +M3ry)ry ≤ Mrx +M(rx + ry)ry = ry.
Следовательно, Θ(x, y) ∈ Sy. Отображение Θ(x, y) : Sy → Sy является сжимающим
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО . . . 419
равномерно по x относительно переменной y:
‖Θ(x, y1)−Θ(x, y2)‖ ≤
≤ sup
x∈Sx, y∈Sy
∥∥∥∥∥EY −
[
∂Φ
∂y
(x0, y0)
]−1 ∂Φ
∂y
(x, y)
∥∥∥∥∥ ‖y1 − y2‖Y ≤
≤ M1(M4rx +M3ry)‖y1 − y2‖ < ε‖y1 − y2‖.
Поэтому для любого x ∈ Sx отображение Θ(x, y) имеет единственную неподвижную
точку y = ϕ(x) ∈ Sy, причем функция ϕ(x) непрерывна на Sx. Поскольку Θ(x, ϕ(x)) =
= ϕ(x), то Φ(x, ϕ(x)) = 0.
Доказательство того факта, что в любой точке области Sx × Sy функция ϕ(x) имеет
непрерывную производную Фреше, проводится аналогично случаю классической теоре-
мы о неявной функции (см., например, [10]).
Если для выбранного δ выполняется равенство rx = ρ − δ
M
, то полученная функция
ϕ(x) определена на всем замкнутом шаре S
[
x0, ρ−
δ
M
]
. В противном случае можно про-
должить функцию ϕ(x) на весь шар S
[
x0, ρ−
δ
M
]
cледующим образом.
Если выполняется неравенство 2rx ≤ ρ − δ
M
, то выберем произвольную точку x1 из
Gx так, чтобы ‖x1 − x0‖ = rx. В случае
1
2
(
ρ − δ
M
)
< rx < ρ − δ
M
выберем x1 так,
чтобы ‖x1 − x0‖ + rx = ρ − δ
M
. Применив доказанное утверждение в точке (x1, ϕ(x1)),
получим функцию ϕ1(x), удовлетворяющую равенству Φ(x, ϕ1(x)) = 0 при x ∈ S[x1, rx]
и принимающую значения в области S[y1, ry].
Покажем, что ϕ(x) = ϕ1(x) для всех x ∈ Sx ∩ S[x1, rx]. Предположим,что существует
точка x̄ ∈ Sx ∩ S[x1, rx] такая, что ϕ(x̄) 6= ϕ1(x̄). В силу единственности неподвижной
точки ȳ = ϕ1(x̄) /∈ Sy, т. е. ‖y0 − ȳ‖ > ry.
С другой стороны,
‖y0 − ȳ‖ ≤ sup
x∈Sx
∥∥∥∥∂ϕ∂x (x)
∥∥∥∥ ‖x0 − x̄‖ ≤ M1M4rx = Mrx < ry.
Следовательно, функция ϕ(x) единственным образом определена во всей области x ∈
∈ Sx ∪ S[x1, rx].
Заметим, что для того чтобы в точке x1 можно было применить доказанное локаль-
ное утверждение о неявной функции, необходимо, чтобы шар S[ϕ(x1), ry] лежал в Gy.
Докажем это. Для выбранной точки x1 выполняется равенство
‖x0 − x1‖+ rx ≤ ρ− δ
M
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
420 А. Г. РУТКАС, И. Г. ХУДОШИН
Для любого y из S[ϕ(x1), ry] выполняется неравенство
‖ϕ(x1)− y‖ ≤ ‖ϕ(x0)− ϕ(x1)‖+ ‖ϕ(x1)− y‖ ≤
≤ M‖x0 − x1‖+ ry = M‖x0 − x1‖+
Mrx
1− ε
=
= M‖x0 − x1‖+Mrx +Mrx
ε
1− ε
=
= M
(
ρ− δ
M
)
+
ε2
1− ε+M
= M
(
ρ− δ
M
)
+ δ < Mρ < Ry.
Поскольку точка x1 была выбрана произвольно, функцию ϕ(x) можно продлить с
сохранением свойств на весь шар S
[
x0, ρ−
δ
M
]
или на шар S[x0, 2rx] в зависимости от
выбранного δ.
Так как rx и ρ− δ
M
— конечные величины, за конечное число шагов получим искомую
функцию ϕ(x), определенную на всем замкнутом шаре S
[
x0, ρ−
δ
M
]
. Выбирая последо-
вательность δn → 0 и применяя доказанное утверждение для каждого ρ − δn
M
, получаем
искомую функцию ϕ(x), непрерывно дифференцируемую на
⋃
n
S
[
x0, ρ−
δn
M
]
= S(x0, ρ).
Лемма доказана.
Замечание 1. Лемма 1 выполняется, если в формулировке положить Ry = ∞ (Gy =
= Y ). В этом случае функция ϕ(x) определена на шаре Sx. Если, кроме того, Rx =
= ∞ (Gx = X), то функция ϕ(x) определена на всем пространстве X .
Замечание 2. Если функция Φ(x, y) определена в области GX × GY , а гипотеза H
выполняется лишь в меньшей по y области GX × ĜY , ĜY ⊂ GY , то согласно доказан-
ной лемме существует единственная функция ϕ(x), принимающая значения в ĜY . Однако
если эта функция ϕ(x) определена на всей областиGX , то она является единственной при
решении задачи во всей области GX ×GY .
4. Глобальные теоремы разрешимости. Часть предположений относится к характе-
ристическому многочлену линейной части уравнения (1) — операторному пучку λA+B с
областью опеределения D = DA∩DB ⊂ X и областью значений в пространстве Y . Мно-
жество его регулярных точек λ ∈ C, для которых резольвента R(λ) = (λA+B)−1 суще-
ствует и является ограниченным оператором из L(Y,X), образует открытое множество
ρ = ρ(A,B) иR(λ) : ρ → L(Y,X) есть голоморфная оператор-функция [5]. Наше предпо-
ложение заключается в том, что R(λ) имеет полюс первого порядка в точке λ = ∞. Это
равносильно тому, что резольвента (A + µB)−1 = V (µ) имеет полюс второго порядка в
точке µ = 0. Как известно [5, 11], в этом случае с помощью контурного интегрирования
можно построить спектральные проекторы типа Рисса
P1 =
1
2πi
∮
Γ
(λA+B)−1Adλ, P2 = IX − P1, (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО . . . 421
Q1 =
1
2πi
∮
Γ
A(λA+B)−1dλ, Q2 = IY −Q1. (16)
Здесь Q1 — ограниченный проектор в Y , P1 — проектирующий (идемпотентный) опе-
ратор в X с областью определения DA ⊃ D. Эти проекторы порождают такие прямые
разложения пространства Y и линеала D в X , которые приводят пучок λA+B:
D = D1+̇D2, Y = Y1+̇Y2 (Dk = PkD, Yk = QkY ),
A(Dk) ⊂ Yk, B(Dk) ⊂ Yk, k = 1, 2.
Сужения операторов A, B
A|Dk
=̇Ak : Dk → Yk, B|Dk
=̇Bk : Dk → Yk, k = 1, 2,
имеют следующие свойства. Резольвента (λA1 +B1)−1 ∈ L(Y1, D̄1) голоморфна при |λ| >
> K, lim
|λ|→∞
(λA1 + B1)−1 = 0, так что спектр пучка λA1 + B1 ограничен в C ∪∞. Спектр
пучка λA2+B2 состоит из единственной точки λ = ∞, причем λ = ∞ есть полюс первого
порядка резольвенты (λA2 + B2)−1. У операторов A1 : D1 → Y1 и B2 : D2 → Y2 суще-
ствуют ограниченные обратные, A−1
1 ∈ L(Y1, D̄1), B−1
2 ∈ L(Y2, D̄2) (см. [11]). Обозначим
D20 = D ∩KerA.
Будем говорить, что выполняется условие нормальной разложимости спектрально-
го подпространства Y2 пучкаA+µB в точке µ = 0, если подпространство Y20 = B(D20)
замкнуто и имеет замкнутое прямое дополнение Y21 в пространстве Y2:
Y2 = Y20+̇Y21. (17)
В частности, это заведомо так в случае конечномерности аннулятора KerA оператора A
и типично для дифференциальных операторов с компактными резольвентами. В даль-
нейшем будем предполагать, что условие спектральной разложимости (17) выполнено.
В этом случае в пространстве Y существуют ограниченные проекторы Q2k : Y → Y2k,
k = 0, 1, такие, что Q20 +Q21 = Q2, Q20Q21 = 0. На линеале D определены проектирую-
щие операторы P20 = B−1
2 Q20B, P21 = B−1
2 Q21B такие, что P20+P21 = P2|D и P20P21 = 0.
Обозначим D21 = P21(D).
Операторы BA−1
1 : Y1 → Y1, AB−1
2 : Y2 → Y2 также ограничены. Образ сужения
оператора AB−1
2 на подпространство Y21 лежит в Y20, и по построению AB−1
2 Q20 = 0.
Будем говорить, что выполняется условие усиленной нормальной разложимости
спектрального подпространства Y2 пучка A + µB в точке µ = 0, если дополнительно
к нормальной разложимости известно, что замкнутое подпространство E0 = AB−1
2 (Y21)
имеет замкнутое прямое дополнение E1 в пространстве Y20 :
Y20 = E0+̇E1. (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
422 А. Г. РУТКАС, И. Г. ХУДОШИН
В этом случае в пространстве Y20 существуют ограниченные проекторы Σk : Y20 → Ek,
k = 0, 1, такие, что Σ0 + Σ1 = Q20, Σ0Σ1 = 0, а оператор AB−1
2 : Y21 → E0 ограниченно
обратим.
Замечание 3. Пусть λ0 ∈ ρ(A,B) и T = A(λ0A + B)−1. Тогда T ∈ L(Y, Y ) и указан-
ные требования спектральной разложимости (17) и (18) пространства Y2 эквивалентны
свойству нормальной разложимости собственного нильпотента T2 = T |Y2 оператора
T , которое использовалось в [7] и позже в [8] при исследовании вырожденного уравне-
ния Tv′ + v = f(t,Nv) в пространстве Y . При этом в (17) подпространство Y0 состоит из
собственных векторов оператора, подпространство Y1 — из корневых (присоединенных)
векторов оператора T , соответствующих нулевому собственному числу.
Согласно определению функция f(t, u) : J × S → Y и пучок A + µB спектрально
согласованы, если для любых t ∈ J, u ∈ S ∩D выполняются условия
Q20(f(t, u)− f(t, (P20 + P21)u)) = 0, (19)
Q21(f(t, u)− f(t, P21u)) = 0. (20)
Замечание 4. Любая функция f , не зависящая от u, спектрально согласована с пучком
A + µB, так что для линейных уравнений вида (1) условия (19), (20) всегда выполнены.
Точно так же для невырожденного полулинейного уравнения с единичным оператором
A(= E) условия спектральной согласованности формально выполнены, так как Q20 = 0,
Q21 = 0. Если функция f достаточно гладкая, то вместо условий (19), (20) достаточно
проверить выполнение равенств
Q20
∂f
∂u
(P20 + P21) = 0, Q21
∂f
∂u
P21 = 0.
Хотя данные условия выглядят достаточно жесткими, они часто выполняются в урав-
нениях, описывающих механические системы или электрические цепи.
Утверждение 1. Спектральная согласованность функции f(t, u) и операторного пу-
чка A + µB не зависит от выбора Y21 — прямого дополнения к Y20 в (17) и, соответ-
ственно, от неоднозначности проектирующих операторов P2i, Q2i.
Будем говорить, что выполняется условие собственной фазовой согласованности на-
чальных данных (t0, u0) с уравнением (1), если u0 ∈ D и
Q21(Bu0 − f(t0, u0)) = 0. (21)
Далее, будем говорить, что выполняется условие корневой фазовой согласованности
начальных данных (t0, u0) с уравнением (1), если u0 ∈ D, существуют производные Фре-
ше
∂f
∂u
(t0, u0) и
∂f
∂t
(t0, u0), оператор
[
Q21
∂f
∂u
(t0, u0) − B2
]
: D21 → Y21 обратим и выпол-
няется равенство
Q20(Bu0 − f(t0, u0)) = A
(
Q21
∂f
∂u
(t0, u0)−B2
)−1
Q21
∂f
∂t
(t0, u0). (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО . . . 423
Замечание 5. В случае линейного уравнения вида (1) в конечномерном пространстве
условия (21), (22) принимают вид
Q21Bu0 = Q21f(t0), AB−1
2 Q21
df
dt
(t0) +Q20Bu0 = Q20f(t0),
и являются необходимыми условиями существования и единственности решения зада-
чи Коши (1), (4) (ср. с [1]).
В практических задачах условия (21), (22) часто представляют собой естественные
требования, налагаемые на начальные данные спецификой задачи.
Теорема 1. Предположим, что пучок A + µB имеет в точке µ = 0 полюс порядка
не выше двух и спектрально согласован в смысле (19), (20) с правой частью уравнения
(1) f(t, u) ∈ C1(J × X;Y ). Пусть, далее, выполняются условия (21), (22) фазовой со-
гласованности начальных данных (t0, u0) с уравнением (1) и условие (17) нормальной
разложимости спектрального подпространства пучка A + µB в точке µ = 0, а функ-
ция
F (t, v) = Q21f(t, B−1
2 v)− v : J × Y21 → Y21 (23)
удовлетворяет гипотезе H по переменной v в области J × Y21. Пусть, наконец, выпол-
няются условия:
10) ‖Q20(f(t, u1 +w)−f(t, u2 +w))‖ ≤ L1‖u1−u2‖ ∀t ∈ J ∀u1, u2 ∈ D20 ∀w ∈ D21;
20) ‖Q1(f(t, u1)− f(t, u2))‖ ≤ L2‖u1 − u2‖ ∀ t ∈ J ∀ u1, u2 ∈ X;
30) ‖Q1f(t, u)‖ ≤ L3 + L4‖u‖ ∀ t ∈ J ∀ u ∈ X,
с некоторыми постоянными L2, L3, L4, L1 <
1
‖B−1
2 ‖
.
Тогда существует единственное решение u(t) задачи (1), (4), определенное на всем
отрезке J .
Доказательство. Поскольку резольвента (A+ µB)−1 имеет в точке µ = 0 полюс вто-
рого порядка, то линеал D20 состоит из собственных векторов, а линеал D21 содержит
только присоединенные векторы высоты один для пучкаA+µB в точке µ = 0. При этом
присоединенных векторов высоты два и более в этой точке не существует. Следователь-
но, A(D21) ⊂ Y20 = B(D20).
Оператор K = A−1
1 Q1 +B−1
2 Q2 непрерывно отображает пространство Y в линеал D.
Выполним в уравнении (1) замену u = Kv и подействуем на уравнение проекторами Q1,
Q20, Q21. Воспользовавшись свойством спектральной согласованности, получим эквива-
лентную уравнению (1) систему уравнений
dv1(t)
dt
+BA−1
1 v1(t) = Q1f(t,K(v1(t) + v20(t) + v21(t))), (24)
d
dt
(AB−1
2 v21(t)) + v20(t) = Q20f(t, B−1
2 (v20(t) + v21(t))), (25)
v21(t) = Q21f(t, B−1
2 v21(t)), (26)
где v1 = Q1v, v2k = Q2kv, k = 0, 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
424 А. Г. РУТКАС, И. Г. ХУДОШИН
В силу условия (21) собственной фазовой согласованности начальных данных (t0, u0)
и уравнения (1) выполняется равенство F (t0, BP21u0) = 0. Следовательно, для функции
F (t, v) выполняются условия леммы 1 в области J × Y21 . Значит, существует и един-
ственна функция g(t), непрерывно дифференцируемая на J , принимающая значения в
Y21, удовлетворяющая условию g(t0) = BP21u0 и такая, что для любого t из J выполня-
ется равенство
g(t) = Q21f(t, B−1
2 g(t)). (27)
Подставляя в уравнение (25) вместо v21 полученную функцию g(t), обозначая v20(t) =
= h(t) и перенося первое слагаемое в правую часть, получаем уравнение
h(t) = Q20f(t, B−1
2 (h(t) + g(t)))− d
dt
(AB−1
2 g(t)). (28)
Правая часть уравнения (28) непрерывна по t, h в области J × Y20 и в силу условия 10
теоремы является равномерным по t сжимающим отображением на Y20. Согласно тео-
реме о неподвижной точке существует и единственна функция h(t), непрерывная на J и
принимающая значения в Y20, которая для любого t из J удовлетворяет равенству (28). В
силу условия (22) корневой фазовой согласованности начальных данных (t0, u0) и урав-
нения (1) выполняется равенство h(t0) = BP20u0.
Подставляя в уравнение (24) вместо v20(t) и v21(t) соответственно h(t) и g(t), получа-
ем обыкновенное дифференциальное уравнение с правой частью, непрерывной по t, v1 в
области J ×Y1. В силу свойств 20, 30 полученное уравнение удовлетворяет условиям тео-
ремы 1.2 [12] (гл. VII) о глобальной разрешимости обыкновенных дифференциальных
уравнений в банаховых пространствах, а значит, имеет единственное решение k(t), непре-
рывно дифференцируемое на J и удовлетворяющее начальному условию k(t0) = AP1u0.
Функция u(t) = K(k(t)+h(t)+g(t)) непрерывна на J , определена единственным обра-
зом, удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (4). Функция Au(t) = k(t) +
+AB−1
2 g(t) непрерывно дифференцируема на J . Следовательно, функция u(t) является
единственным решением задачи Коши (1) , (4).
Теорема доказана.
Замечание 6. В случае, когда подпространство Y21 одномерно, условия теоремы 1
можно ослабить, воспользовавшись вариантом теоремы о неявной функции, доказанным
в работе В. Г. Самойленко и Ю. И. Каплун [13] (теорема 2). Соответствующее утверж-
дение приведено ниже в теореме 2. Ситуация dimY21 = 1 встречается в конкретных не-
самосопряженных задачах для уравнений в частных производных (см., например, прило-
жение 5.2).
Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1, кроме гипотезы H, а под-
пространство Y21 одномерно : Y21 = л. о. {η}. Определим функцию F0(t, s) : J ×R → R
равенством F0(t, s)η = F (t, sη), где F (t, v) — функция (23). Предположим, что функция
F0(t, s) удовлетворяет следующим условиям:
10) F0(t, s) непрерывно дифференцируема по своим переменным на J ×R;
20)
∂F0
∂s
(t, s) 6= 0 для всех t ∈ J, s ∈ R.
Тогда существует единственное решение u(t) задачи (1), (4), определенное на всем
отрезке J .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО . . . 425
Для формулировки еще одного признака нелокальной разрешимости введем обозна-
чения следующих множеств векторов:
S2i(ρ) = {u ∈ D2i : ‖u− P2iu0‖ < ρ} ⊂ X,
Ŝ2i(ρ) = {v ∈ Y2i : ‖v −B2P2iv0‖ < ρ} ⊂ Y, i = 0, 1.
Теорема 3. Предположим, что пучок A+ µB имеет в точке µ = 0 полюс порядка не
выше двух и спектрально согласован в смысле (19), (20) с правой частью уравнения (1)
f(t, u) ∈ C1(J×S;Y ). Пусть, далее, выполняются условия (21), (22) фазовой согласован-
ности начальных данных (t0, u0) с уравнением (1) и условие нормальной разложимости
(17) спектрального подпространства пучка A+ µB в точке µ = 0. Предположим так-
же, что радиус r шара S (3) представляется в виде r = r1 + r20 + r21 так, что функция
F (t, v) = Q21f(t, B−1
2 v)− v : J × Y21 → Y21
удовлетворяет гипотезе H по переменной v в области J × Ŝ21
(
r21
‖B−1
2 ‖
)
. Пусть, нако-
нец, выполняются условия:
10) ∃ L1 <
1
‖B−1
2 ‖
: ‖Q20(f(t, u1 + w) − f(t, u2 + w))‖ ≤ L1‖u1 − u2‖ ∀ t ∈ J ∀ w ∈
∈ S21(r21) ∀ u1, u2 ∈ S20(r20);
20) Q20f(t, u+w)+A
(
Q21
∂f
∂u
(t, u)−B2
)−1
Q21
∂f
∂t
(t, u) ∈ Ŝ20
(
r20
‖B−1
2 ‖
)
∀ t ∈ J ∀u ∈
∈ S21(r21) ∀ w ∈ S20(r20);
30) ‖Q1f(t, u)−BP1u‖ ≤
r1
T‖B−1
2 ‖
∀ t ∈ J ∀ u ∈ S(u0, r);
40) ∃ L2 > 0 : ‖Q1(f(t, u1)− f(t, u2))‖ ≤ L2‖u1 − u2‖ ∀ t ∈ J ∀ u1, u2 ∈ D.
Тогда существует единственное решение u(t) задачи (1), (4), определенное на отрез-
ке (t0 − ρ, t0 + ρ), где ρ — постоянная (14).
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Замечание 7. В теоремах 1, 3 можно отказаться от условия корневой фазовой согласо-
ванности (22). Оставшиеся условия будут достаточными для существования глобаль-
ного на J непрерывного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию
(P1 + P21)(u(t0)− u0) = 0. (29)
Локальные условия разрешимости дифференциально-алгебраических уравнений с ана-
логичными начальными условиями в конечномерных пространствах рассматривались
в [3].
Замечание 8. Если точка µ = 0 является простым полюсом резольвенты (A+ µB)−1,
то подпространство Y21 и линеал D21 тривиальны. В этом случае P21 = 0, Q21 = 0, и
гипотеза H не выполняется. Тем не менее в теоремах 1, 3 можно отказаться от гипоте-
зы H, и оставшиеся условия оказываются достаточными для существования глобального
решения задачи (1), (4) на отрезке J .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
426 А. Г. РУТКАС, И. Г. ХУДОШИН
В отличие от локальных теорем разрешимости, полученных в работе [8], в доказан-
ных теоремах появились новые условия в виде гипотезы H и условий 20, 30 теоремы 3,
необходимые для существования глобального решения. Условия спектральной и фазо-
вой согласованности, а также условие 10 в теоремах 1, 3 являются необходимыми для
локальной разрешимости начальной задачи для вырожденного полулинейного уравне-
ния. Условия 20, 30 теоремы 1 и условие 40 теоремы 3 являются стандартными в клас-
сических теоремах существования и единственности для дифференциальных уравнений,
разрешенных относительно производной.
Следует заметить, что полученные теоремы о нелокальной разрешимости являются
новыми в случае конечномерных пространствX,Y . В этом случае гипотезу H достаточно
проверить для функции Q21f(t, u) − Bu : J ×X21 → Y21, где X21 = P21X , условия соб-
ственной и корневой фазовой согласованности (21), (22) записываются в более простой
форме (см. замечание 5), а условие нормальной разложимости (17) выполняется автома-
тически.
5. Приложения. 5.1. Вернемся к электрической цепи, приведенной на рисунке. Как
показано в пункте 2, данная цепь описывается системой уравнений вида (1) с элементами
(11), (12). Резольвента (A+ µB)−1 имеет полюс второго порядка в точке µ = 0. Условие
(17) нормальной разложимости спектрального подпространства выполнено в силу конеч-
номерности задачи: X = Y = R4. Проекторы P2k, Q2k ищутся в виде
P20u = (u, f0)ϕ0, P21u = (u, f1)ϕ1,
Q20v = (v, g0)ψ0, Q21v = (v, g1)ψ1,
где ϕk, ψk — собственные и присоединенные векторы операторных пучков A+ µB, A∗ +
+µB∗ в точке µ = 0, соответственно, fk = Bϕk, gk = B∗ψk, k = 0, 1 [14]. В данном случае
проекторы имеют вид
P20 =
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 −L3
L4
0
, P21 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, P1 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
L3
L4
1
,
Q20 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, Q21 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
, Q1 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
.
Легко убедиться, что условия спектральной согласованности (19), (20) пучка A + µB
и правой части f (12) выполнены.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО . . . 427
Условия собственной (21) и корневой (22) фазовой согласованности имеют вид
u0
2 = u−(t0),
Ri01 + ϕ1(t0, i01)− u−(t0) = 0, (30)
i01 + i03 + ϕ2(t0, u0
2)− i−(t0)− Cu̇−(t0) = 0.
Очевидно, что они представляют собой уравнения Кирхгофа, записанные в начальный
момент времени. Следовательно, собственная и корневая фазовые согласованности име-
ют физический смысл.
Начальные данные назовем допустимыми, если они удовлетворяют уравнениям Кирх-
гофа (30). Гипотеза H выполняется на любом отрезке времени при любых допустимых
начальных данных. При достаточно гладких функцияхϕk, k = 1, . . . , 4, а именно, дважды
непрерывно дифференцируемых, условия 20, 30 теоремы 1 выполняются. Условие 10 тео-
ремы 1 выполнено, если функции ϕ1, ϕ2 липшицевы с константой Липшица L <
1
‖B−1
2 ‖
,
где ‖B−1
2 ‖ =
√( 1
R2
+ 1
)(L3
L4
+ 1
)
+ 1. В этом случае исходная система уравнений одно-
значно разрешима на любом ограниченном отрезке времени при любых допустимых на-
чальных данных.
5.2. Рассмотрим начально-краевую задачу для эволюционного уравнения в частных
производных
∂
∂t
∂2
∂x2
u(t, x) +
(
∂2
∂x2
+ 1
)
u(t, x) = f(t, u(t, x)), (31)
2u(t, 1)− 2u(t, 0)− ∂
∂x
u(t, 1) = 0, (32)
∂
∂x
u(t, 0) = 0, (33)
u(0, x) = 0, (34)
t ∈ R, x ∈ [0, 1].
Запишем эту задачу в виде задачи Коши для неявного полулинейного уравнения в гиль-
бертовом пространстве
d
dt
(Au(t)) +Bu(t) = f(t, u(t)),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
428 А. Г. РУТКАС, И. Г. ХУДОШИН
где u(t) при каждом t есть функция из L2[0, 1], операторы A и B задаются дифференци-
альными выражениями
A =
∂2
∂x2
, B =
∂2
∂x2
+ 1,
а областью определения операторов является линеалDA = DB = {y(x)} таких функций,
что y′(x) абсолютно непрерывна при 0 ≤ x ≤ 1, y′′ ∈ L2[0, 1] и выполняются граничные
условия
dy
dx
(0) = 0, 2y(1)− 2y(0)− dy
dx
(1) = 0.
Точка µ = 0 является полюсом второго порядка резольвенты (A+ µB)−1. Ядро KerA
оператораA одномерно, следовательно, для пучкаA+µB выполняется условие нормаль-
ной разложимости спектрального подпространства. Cпектральные проекторы, как и в
предыдущем примере, записываются в виде
P20u = (u, f0)ϕ0, P21u = (u, f1)ϕ1, Q20v = (v, g0)ψ0, Q21v = (v, g1)ψ1,
ϕ0 = 1, ϕ1 =
√
5x2, ψ0 = 1, ψ1 =
√
5(x2 + 2),
g0 = 4x3 − 6x2 + 4x, g1 =
12√
5
(
x− 1
2
)
,
f0 = 4x3 − 6x2 + 28x− 12, f1 =
12√
5
(
x− 1
2
)
.
В качестве примера правой части, удовлетворяющей условиям теоремы 2, можно ука-
зать функцию
f(t, u(t, x)) = −
1∫
0
u(t, ξ)
(
ξ − 1
2
)
dξ
3
(x2 + 2). (35)
Данную функцию можно записать в виде f(t, u) = −
√
5
144
(u, f1)3ψ1. Легко убедиться, что
эта функция спектрально согласована с операторным пучком и выполняются условия
фазовой согласованности (21), (22) начальных данных из (34) c уравнением (31), (35).
Соответствующая функция F0(t, s) из условия теоремы 2 имеет вид F0(t, s) = −
√
5
72
s3− s.
Очевидно, что условия 10 − 30 теоремы 1 выполняются автоматически. Таким образом,
задача (31), (35), (32), (33), (34) удовлетворяет всем условиям теоремы 2 и, следовательно,
имеет единственное решение при всех t ∈ R.
1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
2. Campbell S. L. Singular systems of differential equations. — Pitman, 1980. — 176 p.
3. Marz R. On linear differential-algebraic equations and linearizations // Appl. Numer. Math. — 1994. — 1. —
P. 279 – 292.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО . . . 429
4. Самойленко А. М., Шкiль M. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з вироджен-
нями: Навч. посiб. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 c.
5. Руткас А. Г. Задача Коши для уравнения A
dx
dt
+ Bx(t) = f(t) // Дифференц. уравнения. — 1975. — 11,
№11. — C. 1996 – 2010.
6. Favini A., Plazzi P. Some results concernong the abstract nonlinear equation DtMu(t)+Lu(t) = f(t, Ku(t))
// Circuits, Systems, Signal Proc. — 1986. — P. 261 – 274.
7. Rutkas A. The solvability of a nonlinear differential equation in a Banach space // Spectral and Evolut.
Problems: Proc. Sixth Crim. Fall Math. School-Symp. (Simferopol). — 1996. — 6. — P. 317 – 320.
8. Favini A., Rutkas A. Existence and uniqueness of solution of some abstract degenerate nonlinear equation //
Different. Integr. Equat. — 1999. — 4, № 12. — P. 373 – 394.
9. Rutkas A. G., Vlasenko L. A. Existence of solutions of degenerate nonlinear differential operator equations
// Nonlinear Oscillations. — 2001. — 4, № 2. — P. 252 – 263.
10. Канторович А. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах: — М.:
Физматгиз, 1959.
11. Радбель Н. И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения Ax′(t) +
+Bx(t) = 0 // Дифференц. уравнения. — 1979. — 15, № 6.
12. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1979. —534 с.
13. Самойленко В. Г., Каплун Ю. I. Рiвняння g(t, x) = 0: iснування та продовжуванicть його розв’язкiв //
Укр. мат. журн. — 2001. — 53, № 3. — С. 372 – 382.
14. Худошин И. Г. Начальная задача для некоторых квазилинейных дифференциально-алгебраических
уравнений // Вiсн. Харкiв. ун-ту. Сер. Математика, прикл. математика i механiка. — 1999. — № 458. —
C. 159 – 164.
Получено 13.01.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177015 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:20:24Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Руткас, А.Г. Худошин, И.Г. 2021-02-09T20:40:17Z 2021-02-09T20:40:17Z 2004 Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения / А.Г. Руткас, И.Г. Худошин // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 414-429. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177015 517.9 Розглядається задача Кошi для абстрактного напiвлiнiйного диференцiального рiвняння d/dt (Au(t))+ Bu(t) = f(t, u(t)), t₀ − T < t < t₀ + T, де A, B — лiнiйнi замкненi, взагалi кажучи, виродженi оператори, що дiють з банахова простору X в банахiв простiр Y , f(t, u) — неперервно диференцiйовна функцiя. Вважається, що резольвента (A + µB)⁻¹ має в точцi µ = 0 полюс порядку не вище двох. Отримано глобальнi умови iснування та єдиностi розв’язку задачi Кошi. Результати застосовано до однiєї нелiнiйної виродженої початково-крайової задачi з частинними похiдними та до системи диференцiальноалгебраїчних рiвнянь нелiнiйного електричного ланцюга The Cauchy problem for an abstract semilinear differential equation d/dt (Au(t))+ Bu(t) = f(t, u(t)), t₀ − T < t < t₀ + T, is studied. Here A, B are closed degenerate linear operators from a Banach space X into a Banach space Y, f(t, u) is a continiously differentiable function. The resolvent (A + µB)⁻¹ is supposed to have a pole of order not greater then two in the point µ = 0. Global existence and uniqueness theorems for the Cauchy problem are obtained. The results are applied to an initial boudary-value problem for one nonlinear degenerate partial differential equation and to one system of differential-algebraic equations describing a nonlinear electric circuit. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения Глобальна розв'язність одного виродженого напівлінійного диференціально-операторного рівняння Global solvability of one degenerate semilinear differential-operator equation Article published earlier |
| spellingShingle | Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения Руткас, А.Г. Худошин, И.Г. |
| title | Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения |
| title_alt | Глобальна розв'язність одного виродженого напівлінійного диференціально-операторного рівняння Global solvability of one degenerate semilinear differential-operator equation |
| title_full | Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения |
| title_fullStr | Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения |
| title_full_unstemmed | Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения |
| title_short | Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения |
| title_sort | глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177015 |
| work_keys_str_mv | AT rutkasag globalʹnaârazrešimostʹodnogovyroždennogopolulineinogodifferencialʹnooperatornogouravneniâ AT hudošinig globalʹnaârazrešimostʹodnogovyroždennogopolulineinogodifferencialʹnooperatornogouravneniâ AT rutkasag globalʹnarozvâznístʹodnogovirodženogonapívlíníinogodiferencíalʹnooperatornogorívnânnâ AT hudošinig globalʹnarozvâznístʹodnogovirodženogonapívlíníinogodiferencíalʹnooperatornogorívnânnâ AT rutkasag globalsolvabilityofonedegeneratesemilineardifferentialoperatorequation AT hudošinig globalsolvabilityofonedegeneratesemilineardifferentialoperatorequation |