Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь
Отримано умови абсолютної нестiйкостi розв’язкiв диференцiально-рiзницевих рiвнянь. We find conditions for absolute instability of solutions of differential-difference equations.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2004 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177016 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 430-436. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859843345511088128 |
|---|---|
| author | Слюсарчук, В.Ю. |
| author_facet | Слюсарчук, В.Ю. |
| citation_txt | Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 430-436. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Отримано умови абсолютної нестiйкостi розв’язкiв диференцiально-рiзницевих рiвнянь.
We find conditions for absolute instability of solutions of differential-difference equations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:38:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
УМОВИ АБСОЛЮТНОЇ НЕСТIЙКОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail:V.Ye.Slyusarchuk@USUWM.rv.ua
We find conditions for absolute instability of solutions of differential-difference equations.
Отримано умови абсолютної нестiйкостi розв’язкiв диференцiально-рiзницевих рiвнянь.
1. Скалярнi диференцiально-рiзницевi рiвняння загаяного типу. Розглянемо диференцi-
ально-рiзницеве рiвняння
dx(t)
dt
= a0x(t) +
∞∑
k=1
akx(t−∆k), t ≥ 0, (1)
де ak ∈ R, k ≥ 0, ∆l ≥ 0, l ≥ 1, i
∞∑
k=0
|ak| < ∞. (2)
Нульовий розв’язок рiвняння (1) (або аналогiчного нелiнiйного рiвняння) будемо на-
зивати абсолютно нестiйким по вiдношенню до вiдхилень аргументу, якщо цей розв’язок
нестiйкий для всiх сталих невiд’ємних ∆k, k ≥ 1, для яких
sup
k≥1
∆k < ∞. (3)
Теорема 1. Нульовий розв’язок рiвняння (1) абсолютно нестiйкий тодi i тiльки то-
дi, коли
∞∑
k=0
ak > 0. (4)
Доведення. Нехай справджується спiввiдношення (1) i ∆k, k ≥ 1, — довiльнi невiд’ємнi
числа, що задовольняють (3). Використаємо характеристичний квазiполiном
χ(p) = p− a0 −
∞∑
k=1
ake
−p∆k .
c© В. Ю. Слюсарчук, 2004
430 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
УМОВИ АБСОЛЮТНОЇ НЕСТIЙКОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 431
Оскiльки
χ(0) = −
∞∑
k=0
ak < 0,
lim
p→+∞
χ(p) = +∞
i функцiя χ(p) є неперервною на [0,+∞), то за теоремою Больцано – Кошi [1] iснує таке
число ε > 0, що
χ(ε) = 0.
Тому функцiя x = eεt є розв’язком рiвняння (1).
Звiдси, з довiльностi вибору невiд’ємних чисел ∆k, k ≥ 1, що задовольняють (3), та з
того, що ε > 0, випливає абсолютна нестiйкiсть нульового розв’язку рiвняння (1).
Отже, з (4) випливає абсолютна нестiйкiсть нульового розв’язку рiвняння (1).
Доведемо обернене твердження.
Нехай нульовий розв’язок рiвняння (1) абсолютно нестiйкий. Тодi нульовий розв’язок
цього рiвняння нестiйкий i для ∆k = 0, k ≥ 1. У цьому випадку рiвняння (1) є звичайним
лiнiйним диференцiальним рiвнянням
dx(t)
dt
=
( ∞∑
k=0
ak
)
x(t), t ≥ 0.
Нестiйкiсть нульового розв’язку цього рiвняння можлива лише у випадку виконання спiв-
вiдношення (4).
Отже, з абсолютної нестiйкостi нульового розв’язку рiвняння (1) випливає виконання
спiввiдношення (4).
Теорему 1 доведено.
Твердження теореми 1 справджується й у випадку малих нелiнiйних збурень правої
частини рiвняння (1).
Нехай l∞ — банахiв простiр обмежених послiдовностей
τ = (τ1, τ2, . . . , τn, . . .)
дiйсних чисел з нормою
‖τ‖l∞ = sup
t≥1
|τk|.
Позначимо через F множину неперервних вiдображень f : [0,+∞)× l∞ −→ R, для
кожного з яких iснують функцiя γ : [0,+∞) −→ [0,+∞), для якої
lim
t→+0
γ(t)
t
= 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
432 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
та додатнi числа a i M такi, що
sup
t≥0
|f(t, x1, . . . , xn, . . .)− f(t, y1, . . . , yn, . . .)| ≤
≤M sup
n≥1
|xn − yn|
i
sup
t≥0
|f(t, x1, . . . , xn, . . .)| ≤ γ
(
sup
n≥1
|xn|
)
,
якщо
sup
n≥1
|xn| ≤ a
i
sup
n≥1
|yn| ≤ a.
Розглянемо нелiнiйне диференцiально-рiзницеве рiвняння
dx(t)
dt
= a0x(t) +
∞∑
k=1
akx(t−∆k)+
+ f(t, x(t), x(t−∆1), . . . , x(t−∆n), . . .), t ≥ 0, (5)
де ak ∈ R, k ≥ 0, i ∆k, k ≥ 1, задовольняють вiдповiдно спiввiдношення (2) i (3), i f ∈ F .
Теорема 2. Нульовий розв’язок рiвняння (5) абсолютно нестiйкий для всiх f ∈ F
тодi i тiльки тодi, коли справджується спiввiдношення (4).
Доведення. Якщо виконується спiввiдношення (4), то для всiх ∆k, k ≥ 1, що задоволь-
няють спiввiдношення (4), i f ∈ F нульовий розв’язок рiвняння (5) є нестiйким завдяки
теоремi про нестiйкiсть за лiнiйним наближенням (див., наприклад, [2]) та тому, що для ха-
рактеристичного квазiполiнома χ(p) лiнiйного рiвняння (1) множина {p : Re p > 0, χ(p) =
= 0} є непорожньою i скiнченною.
Навпаки, якщо нульовий розв’язок рiвняння (5) є абсолютно нестiйким для всiх f ∈ F ,
то цей розв’язок абсолютно нестiйкий, якщо f = 0. Тодi за теоремою 1 справджується
спiввiдношення (4).
Теорему 2 доведено.
2. Скалярнi диференцiально-рiзницевi рiвняння нейтрального типу. Твердження, ана-
логiчнi теоремам 1 i 2, мають мiсце i для диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрально-
го типу.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
УМОВИ АБСОЛЮТНОЇ НЕСТIЙКОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 433
Спочатку розглянемо диференцiально-рiзницеве рiвняння
dx(t)
dt
+
∞∑
k=1
bk
dx(t− δk)
dt
= c0x(t) +
∞∑
k=1
ckx(t− τk), t ≥ 0, (6)
де bk ∈ R, δk, τk ∈ [0,+∞), k ≥ 1, i ck ∈ R, k ≥ 0, причому
∞∑
k=1
|bk|+
∞∑
k=0
|ck| < ∞ (7)
i
sup
k≥1
(δk + τk) < ∞. (8)
Нульовий розв’язок рiвняння (6) (або аналогiчного нелiнiйного рiвняння) будемо на-
зивати абсолютно нестiйким по вiдношенню до вiдхилень аргументу, якщо цей розв’язок
нестiйкий для всiх сталих невiд’ємних δk i τk, k ≥ 1, для яких виконується спiввiдношен-
ня (8).
Теорема 3. Нехай
∞∑
k=1
|bk| < 1. (9)
Нульовий розв’язок рiвняння (6) абсолютно нестiйкий тодi i тiльки тодi, коли
∞∑
k=0
ck > 0. (10)
Доведення. Нехай справджується спiввiдношення (10) i δk, τk, k ≥ 1, — довiльнi невiд’-
ємнi числа, що задовольняють (8). Оскiльки для характеристичного квазiполiнома рiв-
няння (6)
χ(p) = p
(
1 +
∞∑
k=1
bke
−pδk
)
− c0 −
∞∑
k=1
cke
−pτk
виконуються спiввiдношення
χ(0) = −
∞∑
k=0
ck < 0
i
lim
p→+∞
χ(p) = +∞
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
434 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
(з урахуванням нерiвностi (9)), то на пiдставi неперервностi функцiї χ(p) на [0,+∞) i тео-
реми Больцано – Кошi iснує таке число ε > 0, що
χ(ε) = 0.
Тому функцiя x = eεt є розв’язком рiвняння (6). Звiдси випливає абсолютна нестiйкiсть
нульового розв’язку рiвняння (6).
Отже, iз спiввiдношення (10) випливає нестiйкiсть нульового розв’язку рiвняння (6).
Доведемо обернене твердження.
Нехай нульовий розв’язок рiвняння (6) абсолютно нестiйкий. Тодi нульовий розв’я-
зок цього рiвняння нестiйкий i для δk = τk = 0, k ≥ 1. У цьому випадку рiвняння (6) є
звичайним лiнiйним диференцiальним рiвнянням(
1 +
∞∑
k=1
bk
)
dx(t)
dt
=
( ∞∑
k=0
ck
)
x(t), t ≥ 0.
Нестiйкiсть нульового розв’язку цього рiвняння на пiдставi (9), очевидно, можлива тiльки
у випадку виконання спiввiдношення (10).
Отже, з абсолютної нестiйкостi нульового розв’язку рiвняння (6) випливає виконання
спiввiдношення (10).
Теорему 3 доведено.
Далi розглянемо нелiнiйне диференцiально-рiзницеве рiвняння
dx(t)
dt
+
∞∑
k=1
bk
dx(t− δk)
dt
= c0x(t) +
∞∑
k=1
ckx(t− τk)+
+ f(t, x(t), x(t− δ1), x(t− τ1), . . . , x(t− δn), x(t− τn), . . .), (11)
де bk ∈ R, k ≥ 1, ck ∈ R, k ≥ 0, i δk, τk ∈ [0,+∞), k ≥ 1, задовольняють вiдповiдно
спiввiдношення (7) i (8) i f ∈ F .
Теорема 4. Нехай виконується спiввiдношення (9).
Нульовий розв’язок рiвняння (11) абсолютно нестiйкий для всiх f ∈ F тодi i тiльки
тодi, коли справджується спiввiдношення (10).
Доведення цiєї теореми аналогiчне доведенню теореми 2.
Зауважимо, що застосування диференцiально-рiзницевого рiвняння нейтрального ти-
пу з абсолютно нестiйким нульовим розв’язком наведено в [3].
3. Системи диференцiально-рiзницевих рiвнянь. Розглянемо систему диференцiально-
рiзницевих рiвнянь
dxi(t)
dt
=
m∑
j=1
a
(0)
ij xj(t) +
∞∑
k=1
m∑
j=1
a
(k)
ij xj(t−∆k), i = 1,m, (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
УМОВИ АБСОЛЮТНОЇ НЕСТIЙКОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 435
де t ≥ 0, m — натуральне число, a
(k)
ij , i = 1,m, j = 1,m, k ≥ 1, — дiйснi числа, для яких
m∑
i=1
m∑
j=1
∞∑
k=1
|a(k)
ij | < ∞,
i ∆k, k ≥ 1, — довiльнi невiд’ємнi числа, що задовольняють спiввiдношення (3).
Позначимо через Ak матрицю, утворену з коефiцiєнтiв a
(k)
ij , i = 1,m, j = 1,m.
Наведемо просту достатню умову абсолютної нестiйкостi нульового розв’язку сис-
теми рiвнянь (12), що збiгається з (4) у випадку скалярного рiвняння (m = 1).
Теорема 5. Нехай
det
(
−
∞∑
k=0
Ak
)
< 0. (13)
Тодi нульовий розв’язок системи рiвнянь (12) абсолютно нестiйкий.
Доведення. Нехай ∆k, k ≥ 1, — довiльнi невiд’ємнi числа, що задовольняють спiввiд-
ношення (3). Використаємо характеристичний квазiполiном системи рiвнянь (12)
χ(p) = det
(
pI −A0 −
∞∑
k=1
e−p∆kAk
)
.
Оскiльки
χ(0) = det
(
−
∞∑
k=0
Ak
)
< 0,
χ(s) > 0
для досить великого додатного числа s i функцiя χ(p) є неперервною на [0,+∞), то за
теоремою Больцано – Кошi iснує таке число ε > 0, що
χ(ε) = 0.
Тому система рiвнянь (12) має розв’язок
xi(t) = eεtai, i = 1,m,
де a1, . . . , am — координати ненульового вектора a, для якого(
pI −A0 −
∞∑
k=1
e−ε∆kAk
)
a = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
436 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Звiдси, з довiльностi вибору невiд’ємних чисел ∆k, k ≥ 1, та з того, що ε > 0, випливає
абсолютна нестiйкiсть нульового розв’язку системи рiвнянь (12).
Теорему 5 доведено.
Зауважимо, що твердження цiєї роботи є узагальненнями вiдповiдних тверджень iз
монографiї [3].
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального исчисления: В 3 т. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.
2. Слюсарчук В. Ю. Стiйкiсть розв’язкiв рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi. — Рiвне: Вид-во Укр.
ун-ту водн. госп-ва та природокористування, 2003. — 366 с.
3. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. — Рiвне: Вид-во Укр. ун-ту
водн. госп-ва та природокористування, 2003. — 288 с.
Одержано 09.06.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177016 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:38:01Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Слюсарчук, В.Ю. 2021-02-09T20:40:41Z 2021-02-09T20:40:41Z 2004 Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 430-436. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177016 517.9 Отримано умови абсолютної нестiйкостi розв’язкiв диференцiально-рiзницевих рiвнянь. We find conditions for absolute instability of solutions of differential-difference equations. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь Conditions for absolute instability of solutions of differential-difference equations Условия абсолютной неустойчивости решений дифференциально-разностных уравнений Article published earlier |
| spellingShingle | Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь Слюсарчук, В.Ю. |
| title | Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь |
| title_alt | Conditions for absolute instability of solutions of differential-difference equations Условия абсолютной неустойчивости решений дифференциально-разностных уравнений |
| title_full | Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь |
| title_fullStr | Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь |
| title_full_unstemmed | Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь |
| title_short | Умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь |
| title_sort | умови абсолютної нестійкості розв'язків диференціально-різницевих рівнянь |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177016 |
| work_keys_str_mv | AT slûsarčukvû umoviabsolûtnoínestíikostírozvâzkívdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹ AT slûsarčukvû conditionsforabsoluteinstabilityofsolutionsofdifferentialdifferenceequations AT slûsarčukvû usloviâabsolûtnoineustoičivostirešeniidifferencialʹnoraznostnyhuravnenii |