Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка
Отримано достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними дробового порядку в просторах сумовних функцiй. We find sufficient conditions for existence and uniqueness of a solution to a differential system with fractional order partial derivative c...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2004 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177020 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка / А.Н. Витюк, А.В. Голушков // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 328-335. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177020 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Витюк, А.Н. Голушков, А.В. 2021-02-09T20:42:18Z 2021-02-09T20:42:18Z 2004 Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка / А.Н. Витюк, А.В. Голушков // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 328-335. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177020 517.954 Отримано достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними дробового порядку в просторах сумовних функцiй. We find sufficient conditions for existence and uniqueness of a solution to a differential system with fractional order partial derivative considered on spaces of integrable functions. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка Існування розв'язків систем диференціальних рівнянь з частинними похідними дробного порядку Existence of solutions of differential systems with fractional order partial derivative Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка |
| spellingShingle |
Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка Витюк, А.Н. Голушков, А.В. |
| title_short |
Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка |
| title_full |
Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка |
| title_fullStr |
Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка |
| title_full_unstemmed |
Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка |
| title_sort |
существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка |
| author |
Витюк, А.Н. Голушков, А.В. |
| author_facet |
Витюк, А.Н. Голушков, А.В. |
| publishDate |
2004 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Існування розв'язків систем диференціальних рівнянь з частинними похідними дробного порядку Existence of solutions of differential systems with fractional order partial derivative |
| description |
Отримано достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку системи диференцiальних рiвнянь
з частинними похiдними дробового порядку в просторах сумовних функцiй.
We find sufficient conditions for existence and uniqueness of a solution to a differential system with fractional order partial derivative considered on spaces of integrable functions.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177020 |
| citation_txt |
Существование решений систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка / А.Н. Витюк, А.В. Голушков // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 328-335. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT vitûkan suŝestvovanierešeniisistemdifferencialʹnyhuravneniisčastnymiproizvodnymidrobnogoporâdka AT goluškovav suŝestvovanierešeniisistemdifferencialʹnyhuravneniisčastnymiproizvodnymidrobnogoporâdka AT vitûkan ísnuvannârozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimidrobnogoporâdku AT goluškovav ísnuvannârozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimidrobnogoporâdku AT vitûkan existenceofsolutionsofdifferentialsystemswithfractionalorderpartialderivative AT goluškovav existenceofsolutionsofdifferentialsystemswithfractionalorderpartialderivative |
| first_indexed |
2025-11-27T00:49:21Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:49:21Z |
| _version_ |
1850789446225494016 |
| fulltext |
УДК 517.954
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
А. Н. Витюк, А. В. Голушков
Одеск. нац. ун-т
Ин-т математики, экономики и механики
Украина, 65026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: Alexander VG@ukr.net
We find sufficient conditions for existence and uniqueness of a solution to a differential system with fracti-
onal order partial derivative considered on spaces of integrable functions.
Отримано достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку системи диференцiальних рiвнянь
з частинними похiдними дробового порядку в просторах сумовних функцiй.
Пусть P = (0, a] × (0, b], 0 < a, b < ∞. Обозначим через Rn пространство n-мерных
векторов, R+ = [0,+∞). L(P ) — пространство интегрируемых по Лебегу функций f :
P → R1 с нормой
‖f(x, y)‖1 =
∫
P
∫
|f(x, y)|dxdy.
Пусть 0 < α, β ≤ 1, r = (α, β). Для f ∈ L(P ) выражение
(Ir
0f)(x, y) =
1
Γ(α)Γ(β)
x∫
0
y∫
0
(x− s)α−1(y − t)β−1f(s, t)dsdt,
где Γ(·) — гамма-функция Эйлера, назовем [1, с. 341] левосторонним смешанным инте-
гралом Римана – Лиувилля порядка r. В частности,
(I1
0f)(x, y) =
x∫
0
y∫
0
f(s, t)dsdt, (I0
0f)(x, y) = f(x, y) для почти всех (x, y) ∈ P .
Если f1−r(x, y) = (I1−r
0 f)(x, y), то смешанной дробной производной Римана – Лиувилля
порядка r называем [1, с. 342] выражение (Dr
0f)(x, y) = Dxyf1−r(x, y), где Dxy =
∂2
∂x∂y
.
1. Пусть q = (γ, δ), q > 0. Имеет место соотношение [1, с. 342]
(Iq
0I
r
0f)(x, y) = (Iq+r
0 f)(x, y). (1)
Рассмотрим систему
(Dri
0 ui)(x, y) = fi[x, y, u(x, y)] ≡ fi[x, y, u1(x, y), . . . , un(x, y))], (2)
c© А. Н. Витюк, А. В. Голушков, 2004
328 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 329
решения которой удовлетворяют условиям
ui,1−ri(x, 0) = ϕi(x), 0 ≤ x ≤ a,
(3)
ui,1−ri(0, y) = ψi(y), 0 ≤ y ≤ b, ϕ(0) = ψ(0),
причем ri = (αi, βi), 0 < αi, βi ≤ 1, ϕi(x) ∈ AC([0, a]), ψi(y) ∈ AC([0, b]), i = 1, n.
Вопросы существования решений задачи типа Коши для обыкновенных дифферен-
циальных уравнений дробного порядка в пространствах суммируемых функций рассмат-
ривались во многих работах (см., например, [2, 3]).
Настоящая работа посвящена исследованию условий существования и единственнос-
ти решений задачи (2), (3) в пространствах суммируемых функций. Заметим, что анало-
гичная задача в пространствах непрерывных функций рассматривалась в [4].
Решением задачи (2), (3) назовем вектор-функцию u(x, y) = (u1(x, y), . . . , un(x, y)) та-
кую, что ui(x, y) принадлежат L(P ), удовлетворяют условиям (3) и системе (2) для почти
всех (x, y) ∈ P .
Рассмотрим следующую задачу:
(Dr
0u)(x, y) = f(x, y), f(x, y) ∈ L(P ), (4)
u1−r(x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ a,
u1−r(0, y) = ψ(y), 0 ≤ y ≤ b, ϕ(0) = ψ(0), (5)
где функции ϕ(x) и ψ(y) абсолютно непрерывны.
Под решением задачи (4), (5) понимаем функцию u(x, y) ∈ L(P ), которая удовлетво-
ряет условиям (5) и уравнению (4) для почти всех (x, y) ∈ P .
Лемма 1. Для того чтобы функция u(x, y) ∈ L(P ) была решением задачи (4), (5),
необходимо и достаточно, чтобы u(x, y) для почти всех (x, y) ∈ P удовлетворяла
уравнению
u(x, y) = µ(x, y) + (Ir
0f)(x, y), (6)
где
µ(x, y) =
xα−1
Γ(α)
(Iβ
0 ψ̇)(y) +
yβ−1
Γ(β)
(Iα
0 ϕ̇)(x) +
xα−1yβ−1ϕ(0)
Γ(α)Γ(β)
(точкой обозначаем дифференцирование).
Доказательство. Пусть u(x, y) ∈ L(P ) — решение задачи (4), (5). Тогда с учетом опре-
деления производной (Dr
0u)(x, y) имеем
u1−r(x, y) = γ(x, y) + (I1
0f)(x, y), γ(x, y) = ϕ(x) + ψ(y)− ϕ(0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
330 А. Н. ВИТЮК, А. В. ГОЛУШКОВ
Отсюда в силу (1) получаем
(I1−r
0 (u(x, y)− (I1
0f)(x, y))(x, y) = γ(x, y),
(Ir
0(I1−r
0 (u(x, y)− (Ir
0f)(x, y)))(x, y))(x, y) = (Ir
0γ)(x, y),
(I1
0 (u(x, y)− (Ir
0f)(x, y)))(x, y) = (Ir
0γ)(x, y). (7)
Преобразуем правую часть (7):
(Ir
0γ)(x, y) =
1
Γ(α)Γ(β)
x∫
0
y∫
0
(x− s)α−1(y − t)β−1(ϕ(s) + ψ(t)− ϕ(0))dsdt =
= A1 +A2 +A3.
Поскольку ϕ(x) = ϕ(0) +
∫ x
0
ϕ̇(s)ds, то
A1 =
1
Γ(α)Γ(β)
x∫
0
y∫
0
(x− s)α−1(y − t)β−1
ϕ(0) +
s∫
0
ϕ̇(τ)dτ
dsdt =
=
yβ
Γ(α)Γ(β + 1)
x∫
0
(x− s)α−1
s∫
0
ϕ̇(τ)dτds+
xαyβϕ(0)
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
=
=
yβ
Γ(β + 1)
x∫
0
1
Γ(α)
s∫
0
(s− τ)α−1ϕ̇(τ)dτ
ds+
xαyβϕ(0)
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
.
Аналогично получаем
A2 +A3 =
xα
Γ(α+ 1)
y∫
0
1
Γ(β)
t∫
0
(t− τ)β−1ψ̇(τ)dτ
dt.
Следовательно,
(Ir
0γ)(x, y) =
xαyβϕ(0)
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
+
yβ
Γ(β + 1)
x∫
0
1
Γ(α)
s∫
0
(s− τ)α−1ϕ̇(τ)dτ
ds+
+
xα
Γ(α+ 1)
y∫
0
1
Γ(β)
t∫
0
(t− τ)β−1ψ̇(τ)dτ
dt. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 331
Поскольку (Iα
0 ϕ̇)(x) ∈ L(0, a), (Iβ
0 ψ̇)(y) ∈ L(0, b), то
∫ x
0
(Iα
0 ϕ̇)(s)ds и
∫ y
0
(Iβ
0 ψ̇)(t)dt —
абсолютно непрерывные функции. Следовательно, для почти всех (x, y) ∈ P существует
D2
xy(I
r
0γ)(x, y). Применив операцию D2
xy к обеим частям (7) с учетом (8), получаем, что
u(x, y) для почти всех (x, y) ∈ P удовлетворяет (6).
Пусть теперь u(x, y) ∈ L(P ) удовлетворяет (6). Тогда из (6) с учетом (1) следует
u1−r(x, y) = (I1−r
0 µ)(x, y) + (I1
0f)(x, y). (9)
Рассмотрим слагаемое (I1−r
0 µ)(x, y) = B1 +B2 +B3. Имеем
B1 = I1−r
0
(
xα−1
Γ(α)
(Iβ
0 ψ̇)(y)
)
(x, y) =
1
Γ(1− α)Γ(1− β)
x∫
0
y∫
0
(x− s)−α(y − t)−β×
×
(
sα−1
Γ(α)
(Iβ
0 ψ̇)(t)
)
dsdt =
1
Γ(α)Γ(1− α)Γ(1− β)
x∫
0
y∫
0
(x− s)−αsα−1×
× (y − t)−β(Iβ
0 ψ̇)(t)dsdt =
1
Γ(α)Γ(1− α)
x∫
0
(x− s)−αsα−1ds
1
Γ(1− β)
×
×
y∫
0
(y − t)−β(Iβ
0 ψ̇)(t)dt =
B(α, 1− α)
Γ(α)Γ(1− α)
(
I1−β
0 (Iβ
0 ψ̇)(t)
)
(y) = (I1
0 ψ̇)(y) =
= ψ(y)− ψ(0),
гдеB(z, w) =
∫ 1
0
xz−1(1−x)w−1dx =
Γ(z)Γ(w)
Γ(z + w)
. Аналогично доказываем, чтоB2 = ϕ(x)−
−ϕ(0), B3 = ϕ(0). Следовательно,
(I1−r
0 µ)(x, y) = γ(x, y), γ(x, y) ∈ AC(P ), P = [0, a]× [0, b],
(10)
u1−r(x, y) = γ(x, y) + (I1
0f)(x, y).
Из (10) следует, что u(x, y) удовлетворяет условиям (5) и (Dr
0u)(x, y) = Dxyu1−r(x, y) =
= f(x, y) для почти всех (x, y) ∈ P .
Лемма доказана.
Введем обозначения (ниже i = 1, n):
µi(x, y) =
xαi−1
Γ(αi)
(Iβi
0 ψ̇i)(y) +
yβi−1
Γ(βi)
(Iαi
0 ϕ̇i)(x) +
xαi−1yβi−1ϕi(0)
Γ(αi)Γ(βi)
,
G = {(x, y, u1(x, y), . . . , un(x, y)) : (x, y) ∈ P, ‖ui(x, y)− µi(x, y)‖1 ≤ di}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
332 А. Н. ВИТЮК, А. В. ГОЛУШКОВ
Используя лемму, легко доказать следующую теорему.
Теорема 1. Пусть для u(x, y) ∈ G fi[x, y, u(x, y)] ∈ L(P ). Для того чтобы вектор-
функция u(x, y) ∈ G была решением задачи (2),(3), необходимо и достаточно, чтобы
u(x, y) для почти всех (x, y) ∈ P удовлетворяла системе интегральных уравнений
ui(x, y) = µi(x, y) +
1
Γ(αi)Γ(βi)
x∫
0
y∫
0
(x− s)αi−1(y − t)βi−1fi[s, t, u(s, t)]dsdt. (11)
Далее приведем условия существования и единственности локального решения зада-
чи (2), (3).
Пусть функции fi[x, y, u] удовлетворяют условиям:
a) существуют mi : P → R+, mi(x, y) ∈ L(P ) такие, что для u(x, y) ∈ G и почти всех
(x, y) ∈ P
|fi[x, y, u(x, y)]| ≤ mi(x, y);
б) для любых u(x, y), v(x, y) ∈ G
‖fi[x, y, u(x, y)]− fi[x, y, v(x, y)]‖1 ≤ K
n∑
j=1
‖uj(x, y)− vj(x, y)‖1.
Теорема 2. Пусть функции fi удовлетворяют условиям а), б) и
aαibβi‖mi(x, y)‖1
Γ(αi + 1)Γ(βi + 1)
≤ di, (12)
δ = nρK < 1, (13)
где
ρ = max
i
aαibβi
Γ(αi + 1)Γ(βi + 1)
.
Тогда существует единственное решение u(x, y) ∈ G, ui(x, y) ∈ L(P ) задачи (2), (3).
Доказательство. Построим последовательность функций
{
u
(m)
i (x, y)
}
, m = 0, 1, 2, . . .,
положив u(0)
i (x, y) = µi(x, y):
u
(m+1)
i (x, y) =µi(x, y) +
1
Γ(αi)Γ(βi)
x∫
0
y∫
0
(x− s)αi−1(y − t)βi−1×
× fi[s, t, u(m)(s, t)]dsdt. (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 333
Используя (12) – (14), условия а), б), доказываем справедливость следующих оценок:
‖u(m)
i (x, y)− µi(x, y)‖1 ≤ di,
(15)
‖u(m+1)
i (x, y)− u
(m)
i (x, y)‖1 ≤
max
i
‖mi(x, y)‖1
nK
δm, m = 1, 2, . . . .
На основании оценок (15) можно утверждать, что последовательности
{
u
(m)
i (x, y)
}
являются фундаментальными в L(P ). Пусть vi(x, y) ∈ L(P ) — сильный предел после-
довательностей
{
u
(m)
i (x, y)
}
. Тогда существует подпоследовательность вектор-функций{
u
(mk)
i (x, y)
}
, k = 1, 2, . . ., которая почти всюду на P сходится к вектор-функции v(x, y).
Согласно мажорантной теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
Лебега получаем, что vi(x, y) удовлетворяют системе (11). Очевидно, что v(x, y) ∈ G.
Докажем единственность. Пусть w(x, y) = (w1(x, y), . . . , wn(x, y)) ∈ G — также реше-
ние задачи (2),(3). В силу условия б)
‖vi(x, y)− wi(x, y)‖1 ≤
aαibβiK
Γ(αi + 1)Γ(βi + 1)
n∑
j=1
‖vj(x, y)− wj(x, y)‖1 .
Тогда
n∑
i=1
‖vi(x, y)− wi(x, y)‖1 ≤ nρK
n∑
i=1
‖vi(x, y)− wi(x, y)‖1 .
Отсюда следует, что nρK ≥ 1, что противоречит условию (13).
Теорема 2 доказана.
Замечание 1. Условие а) будет иметь место для функций fi : P × Rn → R1 типа
Каратеодори, т. е.:
1) fi[ , , u] — измеримая функция для любого фиксированного u ∈ Rn;
2) fi[x, y, ·] — непрерывная функция для любых фиксированных (x, y) ∈ P ;
3) существуют mi : P → R+, mi ∈ L(P ), такие, что |fi[x, y, u]| ≤ mi(x, y) для u ∈ Rn
и почти всех (x, y) ∈ P .
Для выполнения условия б) достаточно потребовать еще, чтобы fi(x, y, u1, . . . , un)
удовлетворяли условию Липшица по последним n переменным с постоянной K.
Замечание 2. При αi = βi = 1 задача (2), (3) является хорошо изученной задачей
Дарбу для системы
∂2ui(x, y)
∂x∂y
= fi [x, y, u(x, y)] ,
ui(x, 0) = ϕi(x), x ∈ [0, a], ui(0, y) = ψi(y), y ∈ [0, b], ϕi(0) = ψi(0),
которая эквивалентна решению системы интегральных уравнений
ui(x, y) = ϕi(x) + ψi(y)− ϕi(0) +
x∫
0
y∫
0
fi [s, t, u(s, t)] dsdt
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
334 А. Н. ВИТЮК, А. В. ГОЛУШКОВ
(система (11) при αi = βi = 1).
Пример 1. Рассмотрим следующую задачу:
(Dr
0u) (x, y) = λu(x, y) + f(x, y), r = (α, β), 0 < α, β ≤ 1, f ∈ L(P ),
u1−r(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, a], u1−r(0, y) = ψ(y), y ∈ [0, b],
ϕ(x) ∈ AC([0, a]), ψ(y) ∈ AC([0, b]), ϕ(0) = ψ(0), f(x, y) ∈ L(P ).
Построим решение этой задачи. С этой целью, как и в теореме 2, построим последо-
вательность {um(x, y)}, m = 0, 1, 2, . . ., положив u0(x, y) = µ(x, y),
um+1(x, y) = µ(x, y) +
1
Γ(α)Γ(β)
λ x∫
0
y∫
0
(x− s)α−1(y − t)β−1um(s, t)dsdt+
+
x∫
0
y∫
0
(x− s)α−1(y − t)β−1f(s, t)dsdt
.
Используя индукцию, доказываем, что
um(x, y) = xα−1yβ−1ϕ(0)T (m)
α,β
(
λxαyβ
)
+ xα−1
y∫
0
(y − t)β−1T
(m)
α,β
(
λxα(y − t)β
)
ψ̇(t)dt+
+ yβ−1
x∫
0
(x− s)α−1T
(m)
α,β
(
λ(x− s)αyβ
)
ϕ̇(s)ds+
+
x∫
0
y∫
0
(x− s)α−1(y − t)β−1T
(m)
α,β
(
λ(x− s)α−1(y − t)β−1
)
f(s, t)dsdt,
где
T
(m)
α,β =
m∑
k=0
zk
Γ ((k + 1)α) Γ ((k + 1)β)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 335
При m → ∞ получаем
u(x, y) = xα−1yβ−1ϕ(0)Eα,β
(
λxαyβ
)
+ xα−1
y∫
0
(y − t)β−1Eα,β
(
λxα(y − t)β
)
ψ̇(t)dt+
+ yβ−1
x∫
0
(x− s)α−1Eα,β
(
λ(x− s)αyβ
)
ϕ̇(s)ds+
+
x∫
0
y∫
0
(x− s)α−1(y − t)β−1Eα,β
(
λ(x− s)α−1(y − t)β−1
)
f(s, t)dsdt,
где
Eα,β(z) =
∞∑
k=0
zk
Γ ((k + 1)α) Γ ((k + 1)β)
.
При α = β = 1 имеем задачу Гурса для так называемого телеграфного уравнения, а
E1,1(z) =
∞∑
k=0
zk
(k!)2
является для него функцией Римана [5, c. 130].
1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. Н. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. — Минск: Техника, 1987. — 688 с.
2. Семенчук Н. П. Об одном классе дифференциальных уравнений нецелого порядка //Дифференц. урав-
нения. — 1982. — 18, №10. — С. 1831 – 1833.
3. Килбас А. А., Бонилла Б., Трухилло Х. Нелинейные дифференциальные уравнения дробного порядка
в пространстве интегрируемых функций //Докл. РАН. — 2000. — 374, №4. — С. 445 – 449.
4. Витюк А. Н. Существование решений дифференциальных включений с частными производными
дробных порядков // Изв. вузов. Математика. — 1997. — №8. — С. 13 – 19.
5. Гурса Э. Курс математического анализа. — М.: Гостехтеориздат, 1933. — Т. 3, ч. 1. — 269 с.
Получено 01.03.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
|