Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння
Наведено точнi достатнi умови глобальної стiйкостi нульового розв’язку рiзницевого рiвняння вигляду xn+1 = qxn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, де нелiнiйнi функцiї fn задовольняють умови негативного зворотного зв’язку та пiдлiнiйного росту We give precise conditions that are sufficient for global st...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177027 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня, В.І. Ткаченко, С.І. Трофімчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 4. — С. 487-494. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177027 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Неня, О.І. Ткаченко, В.І. Трофімчук, С.І. 2021-02-09T20:46:28Z 2021-02-09T20:46:28Z 2004 Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня, В.І. Ткаченко, С.І. Трофімчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 4. — С. 487-494. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177027 517.9 Наведено точнi достатнi умови глобальної стiйкостi нульового розв’язку рiзницевого рiвняння вигляду xn+1 = qxn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, де нелiнiйнi функцiї fn задовольняють умови негативного зворотного зв’язку та пiдлiнiйного росту We give precise conditions that are sufficient for global stability of the zero solution of the difference equation xn+1 = qxn +fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, where the nonlinear functions fn satisfy the negative feedback condition and have sublinear growth. Частково пiдтримано Фондом фундаментальних дослiджень України (грант 01.07/00109). Пiдтримано Fondecyt, Чилi (грант 1030992). uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння On a global stability of a certain nonlinear difference equation О глобальной устойчивости одного нелинейного разностного равнения Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| spellingShingle |
Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння Неня, О.І. Ткаченко, В.І. Трофімчук, С.І. |
| title_short |
Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| title_full |
Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| title_fullStr |
Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| title_full_unstemmed |
Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| title_sort |
про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння |
| author |
Неня, О.І. Ткаченко, В.І. Трофімчук, С.І. |
| author_facet |
Неня, О.І. Ткаченко, В.І. Трофімчук, С.І. |
| publishDate |
2004 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On a global stability of a certain nonlinear difference equation О глобальной устойчивости одного нелинейного разностного равнения |
| description |
Наведено точнi достатнi умови глобальної стiйкостi нульового розв’язку рiзницевого рiвняння вигляду xn+1 = qxn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, де нелiнiйнi функцiї fn задовольняють умови
негативного зворотного зв’язку та пiдлiнiйного росту
We give precise conditions that are sufficient for global stability of the zero solution of the difference equation xn+1 = qxn +fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, where the nonlinear functions fn satisfy the negative feedback
condition and have sublinear growth.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177027 |
| citation_txt |
Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня, В.І. Ткаченко, С.І. Трофімчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 4. — С. 487-494. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT nenâoí proglobalʹnustíikístʹodnogonelíníinogoríznicevogorívnânnâ AT tkačenkoví proglobalʹnustíikístʹodnogonelíníinogoríznicevogorívnânnâ AT trofímčuksí proglobalʹnustíikístʹodnogonelíníinogoríznicevogorívnânnâ AT nenâoí onaglobalstabilityofacertainnonlineardifferenceequation AT tkačenkoví onaglobalstabilityofacertainnonlineardifferenceequation AT trofímčuksí onaglobalstabilityofacertainnonlineardifferenceequation AT nenâoí oglobalʹnoiustoičivostiodnogonelineinogoraznostnogoravneniâ AT tkačenkoví oglobalʹnoiustoičivostiodnogonelineinogoraznostnogoravneniâ AT trofímčuksí oglobalʹnoiustoičivostiodnogonelineinogoraznostnogoravneniâ |
| first_indexed |
2025-11-25T20:37:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:37:29Z |
| _version_ |
1850527118960623616 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО
РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ
О. I. Неня, В. I. Ткаченко*
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
С. I. Трофимчук**
Iн-математики та фiзики Унiверситету Тальки
Чилi, 747, Талька
We give precise conditions that are sufficient for global stability of the zero solution of the difference equati-
on xn+1 = qxn +fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, where the nonlinear functions fn satisfy the negative feedback
condition and have sublinear growth.
Наведено точнi достатнi умови глобальної стiйкостi нульового розв’язку рiзницевого рiвнян-
ня вигляду xn+1 = qxn + fn(xn, . . . , xn−k), n ∈ Z, де нелiнiйнi функцiї fn задовольняють умови
негативного зворотного зв’язку та пiдлiнiйного росту.
1. Вступ та основнi результати. Розглянемо рiзницеве рiвняння
xn+1 = qxn + fn(xn, . . . , xn−k), xn ∈ R, n ∈ Z, (1)
де q ∈ (0, 1) i нелiнiйнi fn : Rk+1 → R задовольняють деякi додатковi умови, наведенi
нижче. Розв’язком рiвняння (1) з початковою умовою
xi = ϕi, i = −k, . . . , 0, (2)
є послiдовнiсть {xn}, яка означена для всiх n ≥ −k, задовольняє початкову умову (2) i
рiвняння (1) при n = 0, 1, . . .. Очевидно, що розв’язок {xn} iснує для всiх n ≥ 0 i може
бути побудований послiдовно.
Рiвняння вигляду (1) з’являються як дискретнi моделi бiологiчних популяцiй. Метою
даної роботи є дослiдження глобальної стiйкостi єдиної нерухомої точки рiвняння (1).
Глобальна стiйкiсть рiзних часткових класiв (1) вивчалася в [1 – 11]. Означимо функцiонал
M : Rk+1 → R+ таким чином: M(φ) = maxi{0, φi}. Припустимо, що нелiнiйнi функцiї fn
задовольняють узагальненi умови Йорка (H) (див. [12, 13]):
H1. Iснує ϑ : R → R таке, що fn(φ) ≤ ϑ(z) для всiх φ ∈ Rk+1 з mini φi ≥ z.
H2. Iснує r(x) = ax/(1 + bx), b ≥ 0, a < 0, таке, що
r(M(φ)) ≤ fn(φ) ≤ r(−M(−φ)), n ∈ Z, (3)
∗ Частково пiдтримано Фондом фундаментальних дослiджень України (грант 01.07/00109).
∗∗ Пiдтримано Fondecyt, Чилi (грант 1030992).
c© О. I. Неня, В. I. Ткаченко, С. I. Трофимчук, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4 487
488 О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО, С. I. ТРОФИМЧУК
де перша нерiвнiсть виконується для всiх φ ∈ Rk+1, а друга — для всiх φ ∈ Rk+1 таких,
що mini φi > −b−1 ∈ [−∞, 0).
Як випливає з умов H, точка x = 0 є єдиною нерухомою точкою рiвняння (1). Якщо
умова H2 виконується для b = 0, то умова H1 виконується автоматично з ϑ(z) =
= −aM(−z). Умову H2 з b = 0 часто називають умовою Йорка [14].
Узагальнену умову Йорка було введено в [12]. Вона визначає важливий клас ска-
лярних функцiонально-диференцiальних рiвнянь, до якого належать такi вiдомi рiвнян-
ня математичної бiологiї, як рiвняння Райта, Нiколсона, Маккея – Гласса. В [12] отримано
простий критерiй глобальної стiйкостi єдиної нерухомої точки таких рiвнянь.
Рiзницеве рiвняння (1) можна розглядати як функцiонально-диференцiальне рiвняння
з кусково-сталим аргументом. Це дозволило на пiдставi результатiв робiт [12, 15] отри-
мати наступну умову глобальної стiйкостi рiвняння (1), яке задовольняє умови H.
Теорема 1 [11]. Припустимо, що q ∈ (0, 1) i функцiї fn задовольняють умови H. Тодi
якщо виконується нерiвнiсть
qk+1 > − a
1− q
ln
a2 − a(1− q)
a2 + (1− q)2
, (4)
то limn→∞ xn = 0 для кожного розв’язку {xn} рiвняння (1).
На вiдмiну вiд функцiонально-диференцiальних рiвнянь, для яких аналогiчна до (4)
умова глобальної стiйкостi є точною, для рiзницевих рiвнянь (1), якi задовольняють умо-
ви H, умова (4) не є точною.
У роботi [11] доведено таку теорему.
Теорема 2. Нехай b 6= 0 i функцiї fn задовольняють умови H. Тодi для кожного k ∈ N
iснує таке qk ∈ (0, 1), що при q ∈ (0, qk] умова
a
1− q
≥ −1 + qk+1
1− qk+1
(5)
є достатньою для глобальної стiйкостi рiвняння (1). Для кожного k умова (5) є точ-
ною для пiдкласу рiвнянь (1), якi задовольняють умови H i обмеження b 6= 0, q ∈
∈ (0, qk].
Точнiсть умови (5) означає наступне: для кожного значення параметрiв a, k i q ∈
∈ (0, qk], якi не задовольняють умову (5), iснує рiвняння (1), яке не є глобально стiйким.
Числа qk конструктивно визначаються через параметри q i k. Наведемо значення qk
при деяких k : q1 = 0, 887, q2 = 0, 796, q3 = 0, 788, q4 = 0, 795, q5 = 0, 805, q6 = 0, 815, q7 =
= 0, 825, q8 = 0, 834, q9 = 0, 842, q10 = 0, 849, q100 = 0, 965, q1000 = 0, 994. Крiм цьо-
го, числа qk задовольняють нерiвнiсть qk < q∗k, де q∗k – корiнь рiвняння (q∗k)
k+1(q∗k + . . .
. . . + (q∗k)
k) = 1. Наведемо для порiвняння деякi значення q∗k : q∗1 = 1, q∗2 = 0, 855,
q∗3 = 0, 831, q∗4 = 0, 828, q∗5 = 0, 833, q∗6 = 0, 839, q∗7 = 0, 846, q∗8 = 0, 853, q∗9 = 0, 859,
q∗10 = 0, 865, q∗100 = 0, 967, q∗1000 = 0, 994.
У цiй роботi ми покажемо, що у пiдлiнiйному випадку (b = 0) теорему 2 можна поши-
рити на iнтервал q ∈ (0, q∗k].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 489
Теорема 3. Припустимо, що qk+1(q + . . . + qk) < 1 i функцiї fn задовольняють умову
Йорка: iснує a < 0 таке, що
aM(φ) ≤ fn(φ) ≤ −aM(−φ), n ∈ Z, (6)
для всiх φ ∈ Rk+1. Тодi рiвняння (1) є глобально асимптотично стiйким для кожної
трiйки параметрiв (a, q, k), якi задовольняють умову
a
1− q
> −1 + qk+1
1− qk+1
. (7)
Це означає, що iснують λ ∈ (0, 1) i Γ > 0 такi, що
max
j = n−k,n
|xj | ≤ Γλn−s max
j = s−k,s
|xj |, n ≥ s, (8)
для кожного розв’язку {xn} рiвняння (1). Умова (7) є точною для класу рiвнянь (1), якi
задовольняють нерiвнiсть qk+1(q + . . . + qk) < 1 та умову (6).
Вiдмiтимо, що для q, близьких до 1, умова (7) не гарантує навiть локальну стiйкiсть
нульового розв’язку рiвняння (1).
При q ≥ q∗k для глобальної стiйкостi рiвняння (1) з пiдлiнiйною нелiнiйнiстю викону-
ються наступнi умови.
Теорема 4. Нехай функцiї fn задовольняють умову Йорка (6). Тодi кожний розв’язок
{xn} рiвняння (1) прямує до 0 i задовольняє нерiвнiсть (8), якщо
min
s = 0,...,k
(
qk+s+1 + aqs
(
s +
1− qk+1
1− q
)
+ a2 1 + qs(sq − s− 1)
(1− q)2
)
> −1. (9)
Ця умова є точною для класу рiвнянь (1), якi задовольняють умову Йорка (6).
Зауважимо, що теорема 3 випливає з теореми 4 при q < q∗k. У цьому випадку мiнiмум
у (9) досягається при s = 0.
2. Доведення теореми 3. Розглянемо рiвняння (1) з параметрами a, q, k, якi задоволь-
няють (7). Для цих параметрiв iснує таке γ ∈ (0, 1), що γ > max{q,−qk+1 − a(1 + q + . . .
. . . + qk), qk+1(q + . . . + qk)}.
Спочатку доведемо, що для кожного розв’язку {xn} рiвняння (1) виконується нерiв-
нiсть
|xn| ≤ γ max
s∈{τ−k,...,τ+3k}
|xs| для всiх n > τ + 3k. (10)
Припустимо вiд супротивного, що (10) не виконується. Тодi iснує розв’язок {xn} такий,
що або для деякого ν ≥ τ + 3k + 1 виконуються нерiвностi
|xν | > γM = γ max
s∈{τ−k,...,τ+3k}
|xs|, |xj | ≤ γM, j = τ + 3k + 1, . . . , ν − 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
490 О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО, С. I. ТРОФИМЧУК
або ж |xτ+3k+1| > γM, |xτ+3k| > γM. В останньому випадку iснує така точка τ0 ∈ {τ +
+2k, . . . , τ + 3k}, що xτ+3k+1 xτ0 < 0. Дiйсно, якщо, наприклад, xτ+3k+1 < −γM i xn ≤ 0
для всiх n ∈ {τ + 2k, . . . , τ + 3k}, то fτ+3k(φτ+3k) ≥ 0, де φτ+3k = (xτ+3k, . . . , xτ+2k).
Тому xτ+3k+1 ≥ qxτ+3k. З останньої нерiвностi отримуємо xτ+3k < −γM/q < −M, що
суперечить нерiвностi |xτ+3k| ≤ M.
Нехай для визначеностi xν < −γM < 0. Доведемо, що iснує такий iнтервал ∆ =
= {α, . . . , β}, що ν ∈ {α, . . . , β}, ν − α ≤ k + 1, xα ≥ 0, xβ ≥ 0, i xn < 0 для n ∈ {α +
+1, . . . , β − 1}. Нехай, навпаки, xn < 0 для всiх n ∈ {ν − k − 1, . . . , ν − 1}. Тодi
xν = xν−1 + (q − 1)xν−1 + fν−1(φν−1) ≥ xν−1,
що суперечить припущенню. Ми показали iснування α з вказаними вище властивостями.
Найменше n > ν таке, що xn ≥ 0, приймаємо за β. Якщо такого n немає, то xn < 0 для
всiх n > α. Тодi fn(φn) ≥ 0 i
xn+1 = qxn + fn(φn) ≥ qxn, n > α + k.
Тому 0 > xn ≥ qn−α−k−1xα+k+1, n > α + k + 1. Отже, якщо xn < 0 для всiх n > α, то
limn→∞ xn = 0 i β = ∞.
Таким чином, за нашим припущенням −γM > minn∈∆ xn = xξ, де ξ – найменше цiле
число, яке має цю властивiсть. Вiзьмемо α′ ∈ {ξ − k − 1, . . . , ξ − 1}, для якого 0 ≤ xα′ =
= M(φξ−1). Тодi
−γM > xξ = qξ−α′
xα′ +
ξ−1∑
s=α′
qξ−s−1fs(φs) ≥
≥ qk+1xα′ +
ξ−1∑
s=α′
qξ−s−1r(M(φs)) ≥
≥ qk+1xα′ + axα′ + (q + . . . + qk)aM = T (xα′). (11)
Якщо a ≤ −qk+1, то, враховуючи 0 ≤ xα′ ≤ M, отримуємо суперечнiсть
−γM > xξ ≥ M(qk+1 + a(qk + . . . + q + 1)) > −γM.
Якщо ж a ≥ −qk+1, то −γM > xξ ≥ Ma(qk + . . . + q), що теж суперечить вибору γ.
Тепер доведемо нерiвнiсть (8). З (10) випливає
max
j=n−k,...,n
|xj | ≤ max
j=s−k,...,s+3k
|xj | exp(−ρ(n− s− 4k − 1)), (12)
де ρ = − ln γ/(4k + 1) > 0. Залишилось показати, що iснує таке Γ1 > 0, що
max
j=s−k,...,s+3k
|xj | ≤ Γ1 max
j=s−k,...,s
|xj | = Γ1M0, n ≥ s. (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 491
Нехай ξ – перша праворуч вiд s точка локального екстремуму розв’язку {xn}. Вважаємо
для визначеностi xξ < 0. Iснують точки α ∈ {ξ − k− 1, . . . , ξ − 1} i β > α такi, що xα ≥ 0,
xi < 0, i = α + 1, . . . , β − 1, i xβ ≥ 0 або β = s + 3k.
Позначимо minn=α,...,β xn = xα+δ < 0. Тодi
xα+δ ≥ qδxα +
α+δ−1∑
j=α
qα+δ−1−jr(M(φj)) ≥ M0aδ.
Продовжуючи аналогiчно, показуємо, що на iнтервалi {s − k, . . . , s + 3k} iснує m ≥ 1
аналогiчних чисел αi + δi. Тодi
max
j=s,...,s+3k
|xj | = max |xαi+δi
| ≤ M0
m∏
i=1
(−aδi) ≤
≤ M0
(
−a
∑
δi
m
)m
≤ M0
(
−4ka
m
)m
≤ M0 exp(−4ka).
Комбiнуючи (13) i (12), отримуємо (8).
Нарештi, як i в роботi [11], для доведення точностi умови (5) спочатку вiзьмемо (k+1)-
перiодичну функцiю h : Z → {0, . . . , k}, яка означається на перiодi {0, . . . , k} спiввiдно-
шенням h(j) = j, а далi будемо розглядати наступне лiнiйне (k + 1)-перiодичне рiзницеве
рiвняння: xn+1 = qxn + axn−h(n), n ∈ Z. Отримаємо xk+1 = (qk+1 + a(1 + q + · · ·+ qk))x0 i
вiдповiдно |xm(k+1)| = |ζ|m|x0|, m = 0, 1, . . ., де ζ = qk+1 +a(qk + . . .+q+1). Якщо ζ < −1,
то кожний ненульовий розв’язок рiвняння є необмеженим. Якщо ζ = −1, то всi розв’язки
є перiодичними.
Доведення теореми 4. Нехай γ ∈ (q, 1). У доведеннi теореми 3 показано, що у випадку
iснування розв’язку {xn} рiвняння (1), який не задовольняє (10), завжди знайдуться iнтер-
вал осциляцiї ∆ = {α, . . . , β} i ξ ∈ ∆ такi, що minn∈∆ xn = xξ < −γM , причому ξ –
найменше число з ∆, яке має цю властивiсть.
Для ξ позначимо через α′ ∈ {ξ − k − 1, . . . , ξ − 1} таке число, для якого 0 ≤ xα′ =
= M(φξ−1). Як i ранiше, φs = (xs, . . . , xs−k) ∈ Rk+1.
З нерiвностi
xα′ = qxα′−1 + fα′−1(xα′−1, . . . , xα′−k−1) ≥ qxα′−1 + aM
отримуємо оцiнку xα′−1 ≤ (xα′ − aM)/q = zα′−1. Аналогiчно
xα′−l ≤ xα′q−l − q−laM(1 + . . . + ql−1) = zα′−l. (14)
При l = 0 покладемо zα′ = xα′ . Позначимо через s ∈ {0, . . . , k} таке цiле число, що
zα′−s ≤ M i zα′−s−1 > M (виконання другої нерiвностi вимагається тiльки при s < k).
Тодi (q + a)M ≤ xα′ ≤ M при s = 0 та
M(qs+1 + a(1 + q + . . . + qs−1 + qs)) ≤ xα′ ≤ M(qs + a(1 + q + . . . + qs−1)) (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
492 О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО, С. I. ТРОФИМЧУК
при s ≥ 1. Врахувавши (14), оцiнимо xξ:
0 > −γM > xξ = qξ−α′
xα′ +
ξ−1∑
j=α′
qξ−j−1fj(φj) ≥
≥ qk+1xα′ +
ξ−1∑
j=α′
qξ−j−1r(M(φj)) ≥
≥ qk+1xα′ +
k∑
l=s+1
qlaM +
s∑
l=0
qla(xα′q−l − aM(q−1 + . . . + q−l)) =
= xα′(qk+1 + a(s + 1)) + aM
(
qs+1 − qk+1
1− q
− a
s∑
l=0
1− ql
1− q
)
= S(s,M).
Якщо a ≤ −qk+1/(s + 1), то за нерiвнiстю (15)
−γM > S(s,M) ≥ M
(
qs + a
1− qs
1− q
)
(qk+1 + a(s + 1))+
+ aM
qs+1 − qk+1
1− q
− a2M
1− q
(
s + 1− 1− qs+1
1− q
)
=
= M
(
qk+s+1 + aqs
(
s +
1− qk+1
1− q
)
+ a2 1 + qs(sq − s− 1)
(1− q)2
)
= MΩ(s, k, q, a).
Якщо ж a ≥ −qk+1/(s + 1), то
−γM > S(s,M) ≥ M
(
qs+1 + a
1− qs+1
1− q
)
(qk+1 + a(s + 1))+
+ aM
qs+1 − qk+1
1− q
− a2M
1− q
(
s + 1− 1− qs+1
1− q
)
=
= M
(
qk+s+2 + aqs+1
(
s + 1 +
1− qk+1
1− q
)
+ a2 1 + qs+1((s + 1)(q − 1)− 1)
(1− q)2
)
=
= MΩ(s + 1, k, q, a).
Для a ≥ −qk+1/(k + 1), використовуючи менш точну оцiнку xα′ ≥ 0, отримуємо
S(k, M) ≥ MΩ(k + 1, k, q, a) ≥
(
− q2k+2
(k + 1)(1− q)
+
q2k+2(1− qk+1)
(k + 1)2(1− q)2
)
M ≥
≥ k2 − k(2k + 1)
2(k + 1)2
M =
−k
2(k + 1)
M ≥ −M.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ОДНОГО НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ 493
Враховуючи останню оцiнку, при виконаннi (9) можна вибрати таке число γ ∈ (0, 1), що
γ > q, γ > k/(2k + 2) i γ > −Ω(s, k, q, a), s = 0, . . . , k + 1. Тодi
γM > S(s,M) ≥ min
s=0,...,k+1
Ω(s, k, q, a)M > −γM, M > 0,
що суперечить припущенню про невиконання нерiвностi (10). Як i при доведеннi теореми
3, показуємо справедливiсть оцiнки (8).
Нарештi встановимо точну природу умови min1≤s≤k Ω(s, a, q, k) > −1. Дiйсно, вiзьме-
мо трiйку параметрiв (a, q, k) таку, що Ω(s0, a, q, k) = mins Ω(s, a, q, k) ≤ −1 для деякого
цiлого s0 ∈ [0, k]. Означимо (k + s0 + 1)-перiодичну функцiю h : Z → {0, . . . , k} таким
чином: h(j) = j для 0 ≤ j ≤ k i h(j) = k для k + 1 ≤ j ≤ k + s0. Тепер розглянемо
(k + s0 + 1)-перiодичне лiнiйне рiзницеве рiвняння xn+1 = qxn + axn−k(n), n ∈ Z. Вико-
ристовуючи формулу варiацiї сталої, отримуємо
xj = qjx0 +
j−1∑
i=0
qj−i−1axi−h(i) = qjx0 +
j−1∑
i=0
qj−i−1ax0 = x0
(
qj + a
j−1∑
i=0
qi
)
для всiх j ∈ {1, . . . , k + 1}. Тому
xk+s0+1 = qs0xk+1 +
k+s0∑
j=k+1
qk+s0−jaxj−h(j) = qs0xk+1 +
k+s0∑
j=k+1
qk+s0−jaxj−k =
= x0q
s0
qk+1 + a
k∑
j=0
qj
+
s0∑
j=1
qs0−jaxj =
= x0q
s0
qk+1 + a
k∑
j=0
qj
+ ax0
s0∑
j=1
qs0−j
(
qj + a
j−1∑
i=0
qi
)
= x0Ω(s0, a, q, k).
Отже, xm(k+1+s0) = x0Ωm(s0, a, q, k), m = 1, 2, . . ., так що всi розв’язки рiвняння є не-
обмеженими, якщо Ω(s0, a, q, k) < −1. Якщо ж Ω(s0, a, q, k) = −1, то всi розв’язки рiвнян-
ня є перiодичними.
1. El-Morshedy H. A. On global attractivity of difference equations of nonincreasing nonlinearities with appli-
cations // Comput. and Math. Appl. – 2003. – 45. – P. 749 – 758.
2. Graef J. R., Qian C. Global attractivity of the equilibrium of a nonlinear difference equation // Czech. Math.
J. – 2002. – 52. – P. 757 – 769.
3. Graef J.R., Qian C. Global stability in a nonlinear difference equation // J. Difference Equat. and Appl. –
1999. – 5. – P. 251 – 270.
4. Győri I., Trofimchuk S. Global attractivity and persistence in discrete population model // Ibid. – 2000. – 6. –
P. 647 – 665.
5. Kocić V. L., Ladas G. Global asymptotic behaviour of nonlinear difference equations of higher order with
applications. – Dordrecht: Kluwer Acad., 1993. – 228 p.
6. Krause U., Pituk M. Boundedness and stability for higher order difference equations // J. Difference Equat.
and Appl. – 2004. – 10. – P. 343 – 356.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
494 О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО, С. I. ТРОФИМЧУК
7. Li X. Global attrractivity in a genotype selection model // Int. J. Math. and Math. Sci. – 2002. – 29, № 9. –
P. 537 – 544.
8. Liz E., Ivanov A., and Ferreiro J. B. Discrete Halanay-type inequalities and applications // Nonlinear Analysis:
Theory, Methods and Appl. – 2003. – 55, № 6. – P. 669 – 678.
9. Liz E., Ferreiro J. B. A note on the global stability of generalized difference equations // Appl. Math. Lett. –
2002. – 15. – P. 655 – 659.
10. Matsunaga H., Hara T., and Sakata S. Global attractivity for a nonlinear difference equation with variable
delay // Comput. and Math. Appl. – 2001. – 41. – P. 543 – 551.
11. Tkachenko V., Trofimchuk S. Global stability in difference equations satisfying the generalized Yorke condi-
tions // J. Math. Anal. and Appl. (to appear).
12. Liz E., Tkachenko V., and Trofimchuk S. A global stability criterion for scalar functional differential equations
// SIAM J. Math. Anal. – 2003. – 35. – P. 596 – 622.
13. Liz E., Tkachenko V., and Trofimchuk S. Yorke and Wright 3/2-stability theorems from a unified point of
view // Discrete Contin. Dynam. Syst. Suppl. Vol. – 2003. – P. 580 – 589.
14. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. – Boston: Acad. Press, 1993.
– 398 p.
15. Ivanov A., Liz E., and Trofimchuk S. Halanay inequality, Yorke 3/2 stability criterion, and differential equati-
ons with maxima // Tohoku Math. J. – 2002. – 54. – P. 277 – 295.
Отримано 10.09.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
|