Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений
Для лiнiйних диференцiальних включень iз iмпульсами у фiксованi моменти часу встановлено умови iснування перiодичних звичайних розв’язкiв i R-розв’язкiв. For linear differential inclusions with impulsive effects at fixed moments, we find conditions for existence of periodic ordinary solutions and...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177028 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений / Н.В. Плотникова // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 4. — С. 495-515. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177028 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Плотникова, Н.В. 2021-02-09T20:46:48Z 2021-02-09T20:46:48Z 2004 Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений / Н.В. Плотникова // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 4. — С. 495-515. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177028 517.9 Для лiнiйних диференцiальних включень iз iмпульсами у фiксованi моменти часу встановлено умови iснування перiодичних звичайних розв’язкiв i R-розв’язкiв. For linear differential inclusions with impulsive effects at fixed moments, we find conditions for existence of periodic ordinary solutions and R-solutions. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений Періодичні розв'язки линійних імпульсних диференціальних включеь Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений |
| spellingShingle |
Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений Плотникова, Н.В. |
| title_short |
Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений |
| title_full |
Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений |
| title_fullStr |
Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений |
| title_full_unstemmed |
Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений |
| title_sort |
периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений |
| author |
Плотникова, Н.В. |
| author_facet |
Плотникова, Н.В. |
| publishDate |
2004 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Періодичні розв'язки линійних імпульсних диференціальних включеь Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions |
| description |
Для лiнiйних диференцiальних включень iз iмпульсами у фiксованi моменти часу встановлено
умови iснування перiодичних звичайних розв’язкiв i R-розв’язкiв.
For linear differential inclusions with impulsive effects at fixed moments, we find conditions for existence
of periodic ordinary solutions and R-solutions.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177028 |
| citation_txt |
Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений / Н.В. Плотникова // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 4. — С. 495-515. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT plotnikovanv periodičeskierešeniâlineinyhimpulʹsnyhdifferencialʹnyhvklûčenii AT plotnikovanv períodičnírozvâzkiliníinihímpulʹsnihdiferencíalʹnihvklûčeʹ AT plotnikovanv periodicsolutionsoflinearimpulsivedifferentialinclusions |
| first_indexed |
2025-11-27T06:03:13Z |
| last_indexed |
2025-11-27T06:03:13Z |
| _version_ |
1850803976135507968 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
Н. В. Плотникова
Одес. нац. ун-т
Украина, 27026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: talie@ukr.net
For linear differential inclusions with impulsive effects at fixed moments, we find conditions for existence
of periodic ordinary solutions and R-solutions.
Для лiнiйних диференцiальних включень iз iмпульсами у фiксованi моменти часу встановлено
умови iснування перiодичних звичайних розв’язкiв i R-розв’язкiв.
Исследованию условий существования периодических решений импульсных диффе-
ренциальных уравнений посвящено много работ (см., например, [1, 2]). Существование
обычных периодических решений импульсных дифференциальных включений рассмат-
ривалось в [3, 4]. В теории дифференциальных включений наряду с обычными решения-
ми большой интерес представляютR-решения [5, 6], свойства которых во многих случаях
аналогичны свойствам решений дифференциальных уравнений.
Рассмотрим вопрос о существовании периодических R-решений и обычных решений
линейных неоднородных периодических дифференциальных включений с импульсным
воздействием вида
ẋ ∈ A(t)x+ F (t), t 6= τi,
(1)
∆x|t=τi ∈ Bix+ Pi,
где A(t) — непрерывная T -периодическая матричная функция, F : R → comp (Rn) —
непрерывное T -периодическое отображение, постоянные матрицы Bi, множества Pi ∈
∈ conv (Rn) и моменты τi такие, что при некотором натуральном r
Bi+r = Bi, Pi+r = Pi, τi+r = τi + T, i ∈ N.
Предполагается также, что 0 ≤ τ1 < . . . < τr < T и det (E +Bi) 6= 0 для всех i = 1, r.
Пусть X(t, s) — матрицант соответствующей (1) однородной системы, т. е. решение
матричной задачи Коши для системы с импульсным воздействием
Ẋ = A(t)X, t 6= τi,
∆X|t=τi = BiX, X(s, s) = E.
c© Н. В. Плотникова, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4 495
496 Н. В. ПЛОТНИКОВА
Обычное решение x(t, x0), x(0, x0) = x0 линейного импульсного дифференциального
включения (1) представимо в виде
x(t, x0) = X(t, 0)x0 +
t∫
0
X(t, τ)f(τ)dτ +
∑
0≤τi<t
X(t, τi)pi,
где f(t) ∈ F (t), pi ∈ Pi [1].
Поскольку для линейного дифференциального включения R-решение единственно и
совпадает со всем пучком решений [5], использовав понятие интеграла Аумана от мно-
гозначного отображения [7], запишем R-решение дифференциального включения (1) в
виде
R(t, R0) = X(t, 0)R0 +
t∫
0
X(t, τ)F (τ)dτ +
∑
0≤τi<t
X(t, τi)Pi.
Таким образом, существование T -периодических R-решений и обычных решений не-
посредственно связано с существованием решений уравнений
R0 = X(T, 0)R0 +G, (2)
где
G =
T∫
0
X(T, τ)F (τ)dτ +
∑
0≤τi<T
X(T, τi)Pi ∈ conv (Rn),
и
x0 = X(T, 0)x0 + g, (3)
где
g =
T∫
0
X(T, τ)f(τ)dτ +
∑
0≤τi<T
X(T, τi)pi ∈ G.
В уравнении (3) различным f(t) ∈ F (t) и pi ∈ Pi соответствуют точки g ∈ G. Если
матрица E − X(T, 0) является невырожденной (т. е. среди собственных значений матри-
цы X(T, 0) нет 1), то обычные периодические решения существуют для всех g ∈ G, т. е.
для всех f(t) ∈ F (t) и pi ∈ Pi. Если же матрица E − X(T, 0) является вырожденной, то
обычные периодические решения существуют для тех g ∈ G, для которых ранг расши-
ренной матрицы (E −X(T, 0), g) равен рангу матрицы E −X(T, 0) [1].
Таким образом, если хотя бы для одного g ∈ G уравнение (3) имеет решение, то су-
ществует обычное T -периодическое решение для задачи (1).
Различным точкам g ∈ G соответствуют различные начальные точки обычных пе-
риодических решений (если периодические решения существуют). Обозначим через X0
множество начальных точек x0 обычных периодических решений, т. е.
X0 = {x0 ∈ Rn|x0 = X(T, 0)x0 + g, g ∈ G}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 497
Рассмотрим решение уравнения (2). Для матрицы X(T, 0) существует действительная
невырожденная матрица M такая, что
X(T, 0) = M−1JM, (4)
где
J =
J1 0 . . . 0
0 J2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . Js
— действительная каноническая форма [8]. Таким образом, уравнение (2) принимает вид
R0 = M−1JMR0 +G,
MR0 = JMR0 +MG, (5)
Z0 = JZ0 +D,
где Z0 = MR0, D = MD ∈ conv (Rn).
Обозначим через Λ спектральный радиус матрицы X(T, 0). Рассмотрим вопрос суще-
ствования решений уравнения (5) в зависимости от величины Λ.
1. Случай Λ < 1. Для матрицы J существует диагональная матрица L = diag {1, ε, . . .
. . . , εn−1} такая, что J = L−1J(ε)L, где J(ε) — модифицированная форма [9], т. е. Ji(ε) =
= Ji в случае, когда λi — простой корень и
Ji(ε) =
λi 0 . . . 0
ε1i λi . . . 0
...
. . . . . .
...
0 . . . εk−1i λi
или
Ji(ε) =
Re λi −Im λi
Im λi Re λi
0 . . . 0
ε1iE2
Re λi −Im λi
Im λi Re λi
. . . 0
0
. . . . . .
...
0 . . . εk−1i E2
Re λi −Im λi
Im λi Re λi
в случае кратного (соответственно действительного или комплексного) корня, ε ji ∈
∈ {0, ε}, ε — любое положительное число.
В этом случае уравнение (5) преобразуется к виду
Z0(ε) = J(ε)Z0(ε) +D(ε), (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
498 Н. В. ПЛОТНИКОВА
где Z0(ε) = LZ0, D(ε) = LD ∈ conv (Rn).
Норма матрицы J(ε), индуцированная евклидовой нормой вектора, равна квадратно-
му корню из спектрального радиуса матрицы JT (ε)J(ε), который является непрерывной
функцией переменной ε в точке ε = 0. Поэтому
ρ(JT (ε)J(ε)) = ρ(JT (0)J(0)) + σ(ε) = Λ2 + σ(ε),
где σ(ε) → 0 при ε → 0. Здесь ρ(M) — спектральный радиус матрицы M.
Постоянную ε > 0 выберем так, чтобы ||J(ε)|| =
√
Λ2 + σ(ε) была меньше 1.
Пространство conv (Rn) является полным [7, 10]. Существование T -периодического
R-решения уравнения (1), т. е. существование начального множества Z0(ε), удовлетворя-
ющего уравнению (6), связано с существованием неподвижной точки отображения
χ(Z) = J(ε)Z +D(ε). (7)
Используя свойства расстояния по Хаусдорфу h(·, ·) и опорной функции c(·, ·) [7], по-
лучаем
h(χ(Z1), χ(Z2)) = h(J(ε)Z1 +D(ε), J(ε)Z2 +D(ε)) = h(J(ε)Z1, J(ε)Z2) =
= sup
||ψ||≤1
|c(J(ε)Z1, ψ)− c(J(ε)Z2, ψ)| = |c(Z1, J
T (ε)ψ∗)− c(Z2, J
T (ε)ψ∗)| ≤
≤ ||JT (ε)ψ∗|| h(Z1, Z2) ≤ ||J(ε)|| h(Z1, Z2) < h(Z1, Z2),
т. е. отображение χ(Z) является сжимающим, следовательно, выполнены все условия
теоремы Банаха [11], а значит, отображение (7) имеет в conv (Rn) единственную непо-
движную точку.
Таким образом, если спектральный радиус матрицы X(T, 0) меньше 1, то линейное
импульсное дифференциальное включение (1) для любого T -периодического многознач-
ного отображения F (t) и любой периодической последовательности Pi имеет единствен-
ное T -периодическоеR-решениеR(t), начальное значение которогоR0 = M−1L−1Z0(ε),
где Z0(ε) находится как неподвижная точка отображения (7).
Пример 1. Рассмотрим импульсное дифференциальное включение(
ẋ1
ẋ2
)
∈
(
−1 0
0 −1
)(
x1
x2
)
+ α(1 + sin t)S1(0), t 6= (2i− 1)π,
(
∆x1
∆x2
)∣∣∣∣
t=(2i−1)π
∈
1
2
e2π − 1 0
0 −1
2
e2π − 1
( x1
x2
)
+ pS1(0),
где α =
4
3eπ + 1
, p =
12e−2π
3eπ + 1
, Sr(a) ∈ conv (Rn) — шар радиуса r с центром в точке a.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 499
Начальное множество R0, соответствующее 2π-периодическому R-решению, удовле-
творяет уравнению
R0 =
1
2
0
0 −1
2
R0 + S1(0).
В силу единственности решения в conv (R2) получаем R0 = S2(0).
Для нахождения множества X0 получаем систему
x01 =
1
2
x01 + g1,
x02 = −1
2
x02 + g2, g21 + g22 ≤ 1,
из которой следует
(x01)
2
4
+ 9
(x02)
2
4
≤ 1.
Таким образом, X0 — эллипс и X0 ⊂ R0.
2. Случай Λ > 1. Поскольку Λ = maxi=1,n |λi| > 1, где λi — собственные значения
матрицы X(T, 0), существует λi0 : |λi0 | > 1 (далее для простоты записи будем считать,
что i0 = 1).
В уравнении (5) рассмотрим отдельно случаи, когда λ1 является действительным (про-
стым и кратным) и комплексным (простым и кратным).
1. Пусть λ1 является простым и действительным. Тогда клетка Жордана
J1 = (λ1) .
Пусть прx1A — проекция множества A на ось x1, тогда
mes (прx1Z0) = mes (прx1(JZ0 +D)) = mes (прx1JZ0 + прx1D) = mes (прx1JZ0)+
+mes (прx1D) = mes (λ1прx1Z0) + mes (прx1D) = |λ1|mes (прx1Z0) + mes (прx1D).
Здесь mes A — мера Лебега множества A.
Следовательно, уравнение (5) может иметь решения тогда и только тогда, когда
mes (прx1D) = 0 и mes (прx1Z0) = 0, т. е. множество D лежит в гиперплоскости x1 = d∗1,
множество Z0 — в гиперплоскости x1 = x∗1, где x∗1 находится из уравнения x∗1 = λ1x
∗
1 +d∗1,
т. е. x∗1 =
d∗1
1− λ1
.
В этом случае Z0 и D можно рассматривать как множества размерности n− 1 и урав-
нение (5) сводится к уравнению
Z̃0 = J̃ Z̃0 + D̃,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
500 Н. В. ПЛОТНИКОВА
где
J̃ =
(
J2 0
0
. . .
)
,
Z̃0 = {(x2, . . . , xn) : (x∗1, x2, . . . , xn) ∈ Z0}, D̃ = {(d2, . . . , dn) : (d∗1, d2, . . . , dn) ∈ D}.
Таким образом, получили задачу размерности на 1 меньше, которая исследуется по
аналогии с исходной.
Пример 2. Рассмотрим линейное импульсное дифференциальное включение вида
ẋ1
ẋ2
ẋ3
∈
1
2π
0 0
0 1 0
0 0 1
x1
x2
x3
+ α(1 + cos t)S̃1(0),
∆x1
∆x2
∆x3
∣∣∣∣∣∣∣∣
t=(2i−1)π
∈
2e−1 − 1 0 0
0
1
2
e−2π − 1 0
0 0
1
2
e−2π − 1
x1
x2
x3
+ pS̃1(0),
где S̃1(0) = {(x1, x2, x3)T : x1 = 0, (x2, x3)
T ∈ S1(0) ∈ conv (R2)}, α =
2
2eπ − e−π − 3
,
p = eπ.
Уравнение (2) имеет вид
R0 =
2 0 0
0
1
2
0
0 0
1
2
R0 + S̃1(0).
Поскольку λ1 = 2 и S̃1(0) принадлежит гиперплоскости x1 = 0, R0 должно принадле-
жать гиперплоскости x1 = 0 и уравнение (2) сводится к уравнению
R̃0 =
1
2
0
0
1
2
R̃0 + S1(0),
решением которого является R̃0 = S2(0). Следовательно, R0 = {(x1, x2, x3)T : x1 =
= 0, (x2, x3)
T ∈ S2(0)} = S̃2(0).
Что касается существования обычных периодических решений, то они существуют
для всех g ∈ S̃1(0) и начальные условия находятся из системы
x0 =
2 0 0
0
1
2
0
0 0
1
2
x0 + g.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 501
Таким образом, множество начальных значений для обычных периодических реше-
ний X0 имеет вид
X0 =
−1 0 0
0
1
2
0
0 0
1
2
−1
S̃1(0) = 2S̃1(0) = R0.
Пример 3. Рассмотрим включение из предыдущего примера, только в качестве F (t) и
P возьмем F (t) = α(1+cos t)S1(0), P = pS1(0).В этом случаеG = S1(0), поэтому, так как
λ1 > 1, а G не принадлежит гиперплоскости x1 = g∗1, не существует 2π-периодического
R-решения. Обычные T -периодические решения существуют при любом g ∈ G, так как
среди собственных значений матрицыX(T, 0) нет единицы; при этом множествоX0 пред-
ставляет собой эллипсоид.
2. Пусть λ1 имеет кратность k, тогда клетка J1 имеет вид
J1 =
λ1 0 . . . 0
e11 λ1 . . . 0
...
. . . . . .
...
0 . . . ek−11 λ1
,
где ei1 ∈ {0, 1}.
В этом случае, по аналогии с предыдущим, получим, что уравнение (5) может иметь
решения тогда и только тогда, когда mes (прx1D) = 0 и mes (прx1Z0) = 0, т. е. множество
D лежит в гиперплоскости x1 = d∗1, множество Z0 — в гиперплоскости x1 = x∗1. Далее,
так как
mes (прx2Z0) = mes (прx2(JZ0 +D)) =
= mes (прx2JZ0 + прx2D)) = mes (прx2JZ0) + mes (прx2D) =
= mes (λ1прx2Z0 + e11x
∗
1) + mes (прx2D) =
= |λ1|mes (прx2Z0) + mes (прx2D),
получим, что уравнение (5) может иметь решения тогда и только тогда, когда
mes (прx2D) = 0 и mes (прx2Z0) = 0, т. е. множество D лежит в гиперплоскости x2 = d∗2,
множество Z0 — в гиперплоскости x2 = x∗2 и т. д.
Таким образом, уравнение (5) может иметь решения тогда и только тогда, когда мно-
жество D лежит в гиперплоскостях xi = d∗i , i = 1, k, а множество Z0 — в гиперплоскос-
тях xi = x∗i , i = 1, k, причем постоянные x∗i находятся из системы x∗1
...
x∗k
= J1
x∗1
...
x∗k
+
d∗1
...
d∗k
, (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
502 Н. В. ПЛОТНИКОВА
которая решается последовательно сверху вниз и имеет единственное решение, так как
матрица E − J1 является невырожденной.
3. Пусть λ1 является простым комплексным. Тогда клетка Жордана
J1 =
(
Re λ1 −Im λ1
Im λ1 Re λ1
)
.
Пусть пр(x1,x2)
A — проекция множества A на гиперплоскость (x1, x2), тогда
пр(x1,x2)
Z0 = пр(x1,x2)
(JZ0 +D).
Проекция множества Z0 на гиперплоскость (x1, x2) является выпуклым множеством,
поэтому либо пр(x1,x2)
Z0 — отрезок, либо среди кругов, содержащихся в пр(x1,x2)
Z0, мож-
но найти наибольший по площади (пусть Sr(a)).
В первом случае, если mes (пр(x1,x2)
D) > 0, уравнение (5) не имеет решения, так как
mes (пр(x1,x2)
(JZ0 +D)) ≥ mes (пр(x1,x2)
D) > 0 = mes (пр(x1,x2)
Z0).
Если же пр(x1,x2)
D является отрезком, то очевидно, что отрезок пр(x1,x2)
JZ0 должен
быть параллелен данному, иначе пр(x1,x2)
(JZ0 + D) является параллелограммом в силу
определения суммы двух множеств и не может совпадать с множеством пр(x1,x2)
Z0. Обо-
значим через (x11, x
1
2)
T , (x21, x
2
2)
T концы отрезка пр(x1,x2)
Z0. Тогда
длина пр(x1,x2)
(JZ0 +D) = длина пр(x1,x2)
(JZ0) + длина пр(x1,x2)
D =
=
[
(Re λ1x
1
1 − Im λ1x
1
2 − (Re λ1x
2
1 − Im λ1x
2
2))
2 + (Im λ1x
1
1 + Re λ1x
1
2 −
− (Im λ1x
2
1 + Re λ1x
2
2))
2
] 1
2 + длина пр(x1,x2)
D =
[
(Re λ21 + Im λ21)((x
1
1 − x21)2 +
+ (x12 − x22)2)
] 1
2 + длина пр(x1,x2)
D = |λ1|длина пр(x1,x2)
Z0 + длина пр(x1,x2)
D.
Таким образом, в данном случае уравнение (5) может иметь решение тогда и только
тогда, когда длина пр(x1,x2)
Z0 = 0 и длина пр(x1,x2)
D = 0, т. е. пр(x1,x2)
Z0 и пр(x1,x2)
D
являются точками.
Во втором случае, так как Sr(a) ⊂ пр(x1,x2)
Z0, J1Sr(a)+пр(x1,x2)
D ⊂ пр(x1,x2)
(JZ0+D).
Множество J1Sr(a) + пр(x1,x2)
D содержит круг
J1Sr(a) + d = |λ1|
(
cosϕ − sinϕ
sinϕ cosϕ
)
Sr(a) + d,
cosϕ =
Reλ1
|λ1|
, sinϕ =
Imλ1
|λ1|
, d ∈ пр(x1,x2)
D,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 503
т. е. круг радиуса r1 = |λ1|r > r, что в силу уравнения (5) противоречит выбору круга
Sr(a).
Таким образом, T -периодическоеR-решение может существовать лишь в случае, ког-
да множества пр(x1,x2)
Z0 и пр(x1,x2)
D являются одноточечными, причем для нахождения
пр(x1,x2)
Z0 получаем систему(
x∗1
x∗2
)
=
(
Reλ1 −Imλ1
Imλ1 Reλ1
)(
x∗1
x∗2
)
+
(
d∗1
d∗2
)
, (9)
определитель которой (1 − Reλ1)
2 + Imλ21 > 0. Следовательно, данная система имеет
единственное решение.
Множества Z0 и D можно рассматривать как множества в пространстве conv (Rn−2).
Размерность задачи, таким образом, понижается на 2 и вновь полученная задача
Z̃0 = J̃ Z̃0 + D̃,
где
J̃ =
(
J2 0
0
. . .
)
,
Z̃0 = {(x3, . . . , xn) : (x∗1, x
∗
2, x3, . . . , xn) ∈ Z0},
D̃ = {(d3, . . . , dn) : (d∗1, d
∗
2, d3, . . . , dn) ∈ D}
исследуется по аналогии с исходной.
Пример 4. Рассмотрим линейное импульсное дифференциальное включение вида
ẋ1 = x2,
ẋ2 = −x1,
ẋ3 ∈ x3 + α[−1, 1], t 6= (2i− 1)π,
∆x1|t=(2i−1)π = x2,
∆x2|t=(2i−1)π = −x1,
∆x3|t=(2i−1)π ∈
(
1
2
e−2π − 1
)
x3 + p[−1, 1],
где i ∈ N, α =
1
2eπ − e−π − 1
, p = eπ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
504 Н. В. ПЛОТНИКОВА
Уравнение (2) имеет вид
R0 =
1 1 0
−1 1 0
0 0
1
2
R0 + S1(0).
В силу изложенных выше рассуждений, пр(x1,x2)
R0− точка, которая находится из сис-
темы (
x∗1
x∗2
)
=
(
1 1
−1 1
)(
x∗1
x∗2
)
.
Таким образом, x∗1 = 0, x∗2 = 0. Уравнение (2) сводится к следующему:
R̃0 =
1
2
R̃0 + [−1, 1],
откуда следует, что R̃0 = [−2, 2], а значит, R0 = S2(0).
Что касается существования обычных периодических решений, то матрицаE−X(T, 0)
является невырожденной и периодические решения существуют для всех d ∈ S1(0), при-
чем
X0 =
0 −1 0
1 0 0
0 0
1
2
−1
S1(0) = S2(0) = R0.
4. Пусть λ1 является комплексным кратности k. Тогда клетка
J1 =
Reλ1 −Imλ1
Imλ1 Reλ1
0 . . . 0
e11E2
Reλ1 −Imλ1
Imλ1 Reλ1
. . . 0
0
. . . . . .
...
0 . . . ek−11 E2
Reλ1 −Imλ1
Imλ1 Reλ1
.
Следовательно, по аналогии со случаем простого комплексного корня, проекции мно-
жеств Z0 и D являются точками в гиперплоскости (x1, x2), а также (последовательно по-
нижая размерность задачи по аналогии со случаем кратного действительного корня) в
гиперплоскостях (x2i−1, x2i), i ∈ 2, k.
Таким образом, множества Z0 и D являются множествами размерности n − 2k. Для
нахождения x∗i , i = 1, 2k, получаем систему x∗1
...
x∗2k
= J1
x∗1
...
x∗2k
+
d∗1
...
d∗2k
. (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 505
3. Случай Λ = 1. Не ограничивая общности, будем считать, что maxi=1,n |λi| =
= |λ1| = 1.
1. Пусть λ1 является простым и действительным, т. е. λ1 = ±1. В силу уравнения (5)
имеем
прx1Z0 = прx1(JZ0 +D) = прx1JZ0 + прx1D = λ1прx1Z0 + прx1D.
Если λ1 = 1, то очевидно, что решение уравнения (5) существует тогда и только тог-
да, когда прx1D = {d∗1} = 0. В этом случае прx1Z0 — произвольный отрезок в R1.
Пусть λ1 = −1. Обозначим прx1Z0 = [x−1 , x
+
1 ], прx1D = [d−1 , d
+
1 ]. Тогда
x−1 = −x+1 + d−1 , x
+
1 = −x−1 + d+1 ,
откуда следует, что d−1 = d+1 = d∗1, т. е. D можно рассматривать как множество размер-
ности n− 1. В этом случае прx1Z0 = [x∗1, d
∗
1−x∗1], где x∗1 ≤
d∗1
2
− произвольная постоянная.
2. Пусть λ1 = ±1 — корень кратности k. Тогда по аналогии с предыдущим случаем
рассмотрим проекции на ось x1 и получим, что при λ1 = 1 множество D должно лежать
в гиперплоскости x1 = 0 и прx1Z0− произвольный отрезок, а при λ1 = −1 множество D
должно лежать в гиперплоскости x1 = d∗1 и прx1Z0 = [x∗1, d
∗
1 − x∗1], где x∗1 ≤
d∗1
2
.
Пусть e11 = 0, тогда
прx2Z0 = прx2(JZ0 +D) = прx2JZ0 + прx2D = λ1прx2Z0 + прx2D.
По аналогии с предыдущим при λ1 = 1 множество D должно лежать в гиперплоскос-
ти x2 = 0 и прx2Z0 — произвольный отрезок, а при λ1 = −1 множествоD должно лежать
в гиперплоскости x2 = d∗2 и прx2Z0 = [x∗2, d
∗
2 − x∗2], где x∗2 ≤
d∗2
2
.
Предположим теперь, что e11 = 1. Пусть eν,µ =
(
ν√
ν2 + µ2
,
µ√
ν2 + µ2
, 0, . . . , 0
)T
∈
∈ Rn, xν,µ — прямая в гиперплоскости (x1, x2), проходящая через точку (0, 0), опреде-
ляемая вектором eν,µ. Тогда
mes(прx2Z0) = mes (прx2(JZ0 +D)) = mes (прx2JZ0) + mes (прx2D) =
= c(JZ0, e0,1) + c(JZ0,−e0,1) + mes (прx2D) = c(Z0, J
T e0,1) + c(Z0,−JT e0,1)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
506 Н. В. ПЛОТНИКОВА
+ mes (прx2D) =
{
JT e0,1 = (1, λ1, 0, . . . , 0)T =
√
1 + λ21 e1,λ1 =
√
2e1,λ1
}
=
=
√
2[c(Z0, e1,λ1) + c(Z0,−e1,λ1)] + mes (прx2D) =
√
2mes (прx1,λ1Z0) + mes (прx2D) =
=
√
2(mes (прx1,λ1JZ0) + mes (прx1,λ1D)) + mes (прx2D) =
=
√
2[c(Z0, J
T e1,λ1) + c(Z0,−JT e1,λ1)] +
√
2mes (прx1,λ1D) + mes (прx2D) =
=
{
JT e1,λ1 =
1√
2
(2λ1, λ
2
1, 0, . . . , 0)T =
√
5√
2
e2λ1,λ21 ; mes (прx1,λ1D) =
= mes (прx2D)| cos ̂e2, e1,λ1 | =
1√
2
mes (прx2D)
}
=
√
5mes (прx
2λ1,λ
2
1
Z0)+
+ 2mes (прx2D) = . . . =
√
n2 + 1mes (прx
nλn−1
1 ,λn1
Z0) + n mes (прx2D).
При n → ∞ прямая xnλn−1
1 ,λn1
стремится к прямой x1, поэтому
lim
n→∞
√
n2 + 1 mes (прx
nλn−1
1 ,λn1
Z0)
существует тогда и только тогда, когда mes (прx1Z0) = 0, т. е. прx1Z0 = {x∗1}. Таким
образом, Z0 можно рассматривать как множество размерности n− 1. Кроме того,
mes (прx2D) = 0,
поэтому прx2D = {d∗2}.
Тогда
прx2Z0 = прx2(JZ0 +D) = прx2JZ0 + d∗2 = λ1прx2Z0 + x∗1 + d∗2.
По аналогии со случаем простого корня получим, что при λ1 = 1 множество D дол-
жно лежать в гиперплоскости d∗2 = −x∗1 и прx2Z0 — произвольный отрезок в R1, при
λ1 = −1 множество прx1Z0 =
{1
2
d∗1
}
, а прx2Z0 = [x∗2, (d
∗
2 + x∗1) − x∗2], где x∗2 ≤
d∗2 + x∗1
2
—
произвольная постоянная.
Таким образом, получим, что прxiD = {d∗i } для всех i = 1, k. Пусть i1, . . . , im−1 —
множество индексов, для которых ei1 = 0 и im = k. Тогда прxijZ0 — произвольный отре-
зок, удовлетворяющий уравнению прxijZ0 = λ1прxijZ0 + x∗ij−1 + d∗ij , если e
ij−1
1 = 1, и
прxijZ0 = λ1прxijZ0 + d∗ij , если e
ij−1
1 = 0 (при этом полагаем, что e01 = 0). Для всех
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 507
остальных индексов прxjZ0 = {x∗j}, где
x∗j =
−d∗j+1, если λ1 = 1,
x∗j−1 + d∗j
2
, если λ1 = −1 и j 6= iq + 1, q = 1,m− 1,
d∗j
2
, если λ1 = −1 и j = iq + 1, q = 1,m− 1.
Далее, в силу уравнения (5)
c(Z0, ψ) = c(JZ0 +D,ψ) = c(Z0, J
Tψ) + c(D,ψ) (11)
для всех ψ = (ψ1, . . . , ψk, 0, . . .)
T .
Пусть λ1 = 1. Запишем равенство (11) подробнее:
c(Z0, ψ) = max
x∈Z0
k∑
i=1
xiψi = max(xi1ψi1 + . . .+ ximψim) +
∑
i∈1,k
i6=iq
x∗iψi,
c(Z0, J
Tψ) + c(D,ψ) = max(xi1ψi1 + . . .+ ximψim) +
∑
i∈1,k
i6=iq
x∗i (ψi + ψi+1) +
k∑
i=1
d∗iψi.
Поскольку d∗1 = 0, d∗iq+1 = 0, q ∈ 1,m− 1, и x∗i = −d∗i+1 для всех остальных индек-
сов, равенство (11) означает, что проекция множества Z0 в пространстве xi1 , . . . , xim —
произвольный выпуклый компакт.
Пусть λ1 = −1 и множество Z таково, что Z0 = Z + (x∗1, . . .
. . . , x∗k, 0, . . . , 0)T , где (x∗1, . . . , x
∗
k)
T− решение системы (8). Тогда уравнение (11) эквива-
лентно уравнению
c(Z,ψ) = c(Z, JTψ)
или
max((xi1 − x∗i1)ψi1 + . . .+ (xim − x∗im)ψim) = max[−((xi1 − x∗i1)ψi1 + . . .+ (xim − x∗im)ψim)].
Таким образом, проекция множества Z0 в пространстве xi1 , . . . , xim− произвольный
выпуклый компакт, симметричный относительно точки (x∗i1 , . . . , x
∗
im
).
3. Пусть λ1 — простой комплексный корень. Тогда в силу уравнения (5) получим
пр(x1,x2)
Z0 = пр(x1,x2)
(JZ0 +D) = J1пр(x1,x2)
Z0 + пр(x1,x2)
D.
В этом случае J1 — матрица поворота на угол ϕ : cosϕ = Reλ1, sinϕ = Imλ1.
Очевидно, что mes (пр(x1,x2)
D) = 0. Если пр(x1,x2)
D− отрезок и пр(x1,x2)
JZ0− не отрезок,
параллельный пр(x1,x2)
D, то mes (пр(x1,x2)
(JZ0 + D)) > mes (пр(x1,x2)
Z0). Если отрезок
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
508 Н. В. ПЛОТНИКОВА
пр(x1,x2)
JZ0 параллелен отрезку пр(x1,x2)
D, то пр(x1,x2)
Z0 также должен быть параллелен
пр(x1,x2)
JZ0, что невозможно, так как Imλ1 6= 0, а значит, угол поворота ϕ /∈ {0, π}.
Таким образом, пр(x1,x2)
D = (d∗1, d
∗
2)
T , множество пр(x1,x2)
Z0 таково, что
пр(x1,x2)
Z0 = J1пр(x1,x2)
Z0 + (d∗1, d
∗
2)
T . (12)
Пусть множество Z ∈ conv (R2) таково, что пр(x1,x2)
Z0 = Z + (x∗1, x
∗
2)
T , где (x∗1, x
∗
2)
T
— решение системы уравнений(
x1
x2
)
= J1
(
x1
x2
)
+
(
d∗1
d∗2
)
. (13)
Тогда уравнение (12) принимает вид Z = J1Z.
Пусть x ∈ Z такова, что ||x|| = h({0}, Z). Точка J1x, получаемая из точки x пу-
тем поворота на угол ϕ относительно точки (0, 0)T , также принадлежит границе мно-
жества Z.
Таким образом, если ϕ = 2π
k
m
, где
k
m
— несократимая дробь, то решениями уравне-
ния являются „псевдо m-угольники”. Под „псевдо m-угольником” будем понимать выпу-
клый компакт в R2, который остается неизменным при повороте на угол
2π
m
относитель-
но начала координат. Очевидно, что круг произвольного радиуса с центром в точке (0, 0)T
является частным случаем „псевдо m-угольника”.
В силу выпуклости множества Z очевидно, что
Zm ⊂ Z ⊂ S||x||(0),
где Zm — правильный m-угольник с вершинами в точках x, J1x, . . . , Jm−11 x.
Если ϕ 6= 2π
k
m
, то множество граничных точек {Jn1 x, n ∈ N} расположено всю-
ду плотно на окружности радиуса ||x|| с центром в точке (0, 0)T . Следовательно, Z =
= S||x||(0).
4. Пусть λ1 — комплексный корень кратности k. Тогда по аналогии с предыдущим
случаем рассмотрим проекции на гиперплоскость (x1, x2) и получим, что множество D
должно вырождаться в точку в гиперплоскости (x1, x2) и при этом пр(x1,x2)
Z0 — про-
извольный выпуклый компакт в R2, удовлетворяющий уравнению
пр(x1,x2)
Z0 =
(
cosϕ − sinϕ
sinϕ cosϕ
)
пр(x1,x2)
Z0 + (d∗1, d
∗
2)
T , (14)
т. е. либо круг, либо „псевдо m-угольник” с центром в точке (x∗1, x
∗
2)
T .
Рассмотрим проекции на гиперплоскость (x3, x4). В силу уравнения (5) получим
пр(x3,x4)
Z0 = пр(x3,x4)
(JZ0 +D) = пр(x3,x4)
JZ0 + пр(x3,x4)
D. (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 509
Если e11 = 0, то по аналогии с предыдущим получим, что множество D должно вы-
рождаться в точку в гиперплоскости (x3, x4) и при этом пр(x3,x4)
Z0 — произвольный вы-
пуклый компакт в R2, удовлетворяющий уравнению, аналогичному (14), т. е. либо круг,
либо „псевдо m-угольник” с центром в точке (x∗3, x
∗
4)
T .
Пусть e11 = 1 и прx1,...,x4A — проекция множества A ∈ conv (Rn) в пространстве
x1, . . . , x4.
Выберем множество Z так, чтобы прx1,...,x4Z0 = Z + (x∗1, x
∗
2, 0, 0)T , где (x∗1, x
∗
2)
T —
решение системы (13). Тогда из уравнения (15) следует
Z = J∗Z +D1,
где
D1 : прx1,...,x4D = D1 + (d∗1, d
∗
2, 0, 0)T ,
J∗ =
cosϕ − sinϕ 0 0
sinϕ cosϕ 0 0
1 0 cosϕ − sinϕ
0 1 sinϕ cosϕ
.
Если Z — решение данного уравнения, то Z также является решением уравнения
Z = Jn∗ Z + (Jn−1∗ D1 + . . .+D1) (16)
для всех n ∈ N. Матрица J i∗ имеет вид
J i∗ =
cos iϕ − sin iϕ 0 0
sin iϕ cos iϕ 0 0
i cos(i− 1)ϕ −i sin(i− 1)ϕ cos iϕ − sin iϕ
i sin(i− 1)ϕ i cos(i− 1)ϕ sin iϕ cos iϕ
.
Кроме того, по свойствам операций в conv (Rn) получим
(Jn−1∗ D1 + . . .+D1) ⊃ (Jn−1∗ + . . .+ E)D1 =
=
n−1∑
i=0
cos iϕ −
n−1∑
i=1
sin iϕ 0 0
n−1∑
i=1
sin iϕ
n−1∑
i=0
cos iϕ 0 0
n−1∑
i=1
i cos(i− 1)ϕ −
n−1∑
i=2
i sin(i− 1)ϕ
n−1∑
i=0
cos iϕ −
n−1∑
i=1
sin iϕ
n−1∑
i=2
i sin(i− 1)ϕ
n−1∑
i=1
i cos(i− 1)ϕ
n−1∑
i=1
sin iϕ
n−1∑
i=0
cos iϕ
D1.
Таким образом, для любых точек x = (x1, . . . , x4)
T ∈ Z и d = (0, 0, d3, d4)
T ∈D1 точка
y = (y1, . . . , y4)
T = Jn∗ x+ (Jn−1∗ + . . .+ E)d ∈ Z для любого n ∈ N.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
510 Н. В. ПЛОТНИКОВА
При этом
y3 = nx1 cos(n− 1)ϕ− nx2 sin(n− 1)ϕ+ x3 cosnϕ− x4 sinnϕ+
+ d3
n−1∑
i=0
cos iϕ− d4
n−1∑
i=1
sin iϕ,
y4 = nx1 sin(n− 1)ϕ+ nx2 cos(n− 1)ϕ+ x3 sinnϕ+ x4 cosnϕ+
+ d3
n−1∑
i=1
sin iϕ+ d4
n−1∑
i=0
cos iϕ
или, если x21 + x22 > 0,
y3 = n
√
x21 + x22 cos((n− 1)ϕ+ β12) + x3 cosnϕ− x4 sinnϕ+
+ d3
sin n
2ϕ cos n−12 ϕ
sin ϕ
2
− d4
sin n
2ϕ sin n−1
2 ϕ
sin ϕ
2
,
y4 = n
√
x21 + x22 sin((n− 1)ϕ+ β12) + x3 sinnϕ+ x4 cosnϕ+
+ d3
sin n
2ϕ sin n−1
2 ϕ
sin ϕ
2
+ d4
sin n
2ϕ cos n−12 ϕ
sin ϕ
2
,
cosβ12 =
x1√
x21 + x22
, sinβ12 =
x2√
x21 + x22
.
В этом случае y23 + y24 → ∞ при n → ∞, что невозможно, так как Z — ограниченное
множество. Следовательно, равенство (16) возможно, лишь когда пр(x1,x2)
Z = (0, 0)T , т.
е. пр(x1,x2)
Z0 = (x∗1, x
∗
2)
T . Тогда уравнение (15) сводится к следующему:
пр(x3,x4)
Z0 = (x∗1, x
∗
2)
T +
(
cosϕ − sinϕ
sinϕ cosϕ
)
пр(x3,x4)
Z0 + пр(x3,x4)
D.
Аналогично случаю простого комплексного корня получаем пр(x3,x4)
D = (d∗3, d
∗
4)
T и
множество пр(x3,x4)
Z0 — „псевдо m-угольник” или круг с центром в точке (x∗3, x
∗
4)
T .
Далее рассмотрим проекции на гиперплоскости (x2i−1, x2i), i ≤ k, и т. д. Таким обра-
зом, получим пр(x2i−1,x2i)
D = (d∗2i−1, d
∗
2i)
T для всех i = 1, k. Пусть i1, . . . , im−1 — мно-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 511
жество индексов, для которых ei1 = 0 и im = k. Тогда пр(x2ij−1,x2ij )
Z0, j ∈ 1,m, —
произвольный выпуклый компакт вR2, удовлетворяющий уравнению, аналогичному (14),
т. е. либо круг, либо „псевдоm-угольник” с центром в точке (x∗2ij−1, x
∗
2ij
)T .Для всех осталь-
ных индексов пр(x2i−1,x2i)
Z0 = (x∗2i−1, x
∗
2i)
T .
Для нахождения x∗i , i = 1, 2k, получим систему x∗1
...
x∗2k
= J1
x∗1
...
x∗2k
+
d∗1
...
d∗2k
.
Далее, в силу уравнения (5)
c(Z0, ψ) = c(JZ0 +D,ψ) = c(Z0, J
Tψ) + c(D,ψ) (17)
для всех ψ = (ψ1, . . . , ψk, 0, . . .)
T .
Пусть множество Z таково, что Z0 = Z + (x∗1, . . . , x
∗
2k, 0, . . . , 0)T . Тогда уравнение (17)
эквивалентно уравнению
c(Z,ψ) = c(Z, JTψ) (18)
для всех ψ = (ψ1, . . . , ψk, 0, . . .)
T .
Распишем данное равенство подробнее:
c(Z,ψ) = max
x∈Z̃
2k∑
i=1
xiψi = max((x2i1−1 − x∗2i1−1)ψ2i1−1 + (x2i1 − x∗2i1)ψ2i1 + . . .
. . .+ (x2im−1 − x∗2im−1)ψ2im−1 + (x2im − x∗2im)ψ2im),
c(Z, JTψ) = max{(ψ2i1−1 cosϕ+ ψ2i1 sinϕ)(x2i1−1 − x∗2i1−1)+
+ (−ψ2i1−1 sinϕ+ ψ2i1 cosϕ)(x2i1 − x∗2i1) + . . .
. . .+ (ψ2im−1 cosϕ+ ψ2im sinϕ)(x2im−1 − x∗2im−1)+
+ (−ψ2im−1 sinϕ+ ψ2im cosϕ)(x2im − x∗2im)}.
Таким образом, равенство (18) означает, что проекция множества Z0 в пространстве
x2i1−1, x2i1 , . . . , x2is−1, x2is — произвольный выпуклый компакт, сохраняющийся при по-
вороте на угол ϕ в гиперплоскостях (x2ij−1, x2ij ), j = 1,m, относительно точек (x∗2ij−1,
x∗2ij )
T .
Рассмотрим общий случай. Пусть λ1, . . . , λm — различные собственные значения мат-
рицы X(T, 0), по модулю равные 1. Пусть kj , j = 1,m, — размеры соответствующих
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
512 Н. В. ПЛОТНИКОВА
клеток Жордана Jj . Найдем проекцию Z1 множества Z0 в пространстве x1, . . . , xm0 , где
m0 =
∑m
j=1 kj . В силу изложенного выше, множество Z1 по части переменных „вырож-
дается” в точки, по переменным, соответствующим λ = −1, множество Z1 симметрично
относительно некоторой точки, по парам переменных, соответствующим корням вида
λ = cosϕ+ i sinϕ, множество Z1 сохраняется при повороте на угол ϕ относительно неко-
торой точки.
Выберем произвольную точку x∗1, . . . , x
∗
m0
, принадлежащую множеству Z1, и рассмот-
рим сечение множества Z0 гиперплоскостями x1 = x∗1, . . . , xm0 = x∗m0
. В силу структуры
матрицы J и множества D для нахождения данного сечения получим уравнение
Z2 = J̃Z2 + D̃, (19)
где D̃ — сечение множества D (в силу изложенного выше множество D̃ не зависит от
выбора точки x∗1, . . . , x
∗
m0
), матрица J̃ содержит лишь те клетки Жордана из матрицы
J, которые соответствуют собственным значениям, по модулю меньшим 1. Поскольку
ρ(J̃) < 1, уравнение (19) имеет единственное решение Z2, которое не зависит от выбора
точки x∗1, . . . , x
∗
m0
. Таким образом, Z0 = Z1 × Z2.
Пример 5. Рассмотрим линейное импульсное дифференциальное включение вида
ẋ1
ẋ2
ẋ3
∈
1 0 0
0 1 0
0 0
1
2π
x1
x2
x3
+ α(1 + cos t)S1(0),
∆x1
∆x2
∆x3
∣∣∣∣∣∣∣∣
t=(2i−1)π
∈
e−2π − 1 0 0
0 e−2π − 1 0
0 0
1
2
e−1 − 1
x1
x2
x3
+ pS1(0),
где α =
1 + 4π2
16π3(e
3
2 − e−
1
2 )
, p = e
1
2 .
Уравнение (2) принимает вид
R0 =
1 0 0
0 1 0
0 0
1
2
R0 + S1(0).
λ1,2 = 1 и S1(0) принадлежит гиперплоскостям x1 = 0, x2 = 0, поэтому пр(x1,x2)
R0 —
произвольный выпуклый компакт в R2 и уравнение сводится к следующему:
R0 =
1
2
R0 + [−1, 1], R0 ∈ R1,
решением которого является R0 = [−2, 2]. Таким образом,
R0 = пр(x1,x2)
R0 × [−2, 2].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 513
Что касается существования обычных периодических решений, то матрицаE−X(T, 0)
является вырожденной, однако периодические решения существуют для всех d ∈ S1(0),
так как
rank
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
1
2
d3
= rank
0 0 0
0 0 0
0 0
1
2
= 1.
В этом случае система для нахождения x0 вырождается в уравнение
1
2
x3 = d3, d3 ∈ [−1, 1],
поэтому X0 = {(x1, x2, x3)T : x1, x2 ∈ R, x3 ∈ [−2, 2]}.
Замечание 1. Если Λ ≥ 1 и существует λi = 1, то в случае существования периодиче-
ского R-решения обычные периодические решения существуют для всех d ∈ D.
Действительно, ранг расширенной матрицы
(E − J, d) =
0 0 . . . 0 0 d1
−e1i 0 . . . 0 0 d2
...
. . . . . .
...
...
...
0 . . . ek−1i 0 0 dk
0 0 . . . 0
. . .
...
равен рангу матрицы E − J в силу того, что d1 = 0 и dj+1 = 0 для всех j ∈ {1, . . . , k − 1}
таких, что eji = 0, в противном случае dj = d∗j = const.
4. Соотношение между множествами X0 и R0. В силу изложенного выше очевидно,
что уравнение (2) может иметь не единственное решение, поэтому введем в рассмотрение
множествоR∗, представляющее собой объединение множествR0, определяемых уравне-
нием (2).
Покажем, что в случае, когда R∗ существует, X0 ⊂ R∗.
Использовав представление (4) для матрицы X(T, 0), по аналогии с (5) получим, что
уравнение (3) эквивалентно следующему:
y = Jy + d, где d ∈ D, y = Mx0.
В силу „клеточной” структуры матрицы J это уравнение распадается на s независи-
мых уравнений вида
yi = Jiy
i + di, i = 1, s. (20)
Для тех i, для которых |λi| > 1, вектор di выбирается из одноточечного множества и
в силу систем (8) – (10) множества Y0 = MX0 и Z∗ = MR∗ совпадают по переменным, со-
ответствующим данному собственному значению. Кроме того, их можно рассматривать
как множества более низкой размерности.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
514 Н. В. ПЛОТНИКОВА
Пусть i таково, что |λi| = 1, тогда вектор di также выбирается из одноточечного
множества, а составляющая множества Z0 по соответствующим переменным не един-
ственна и объединение множеств Z0 заполняет все пространство по части переменных
(по которым нет единственности). Что касается множества Y0, то в случае, когда λi 6= 1,
оно является одноточечным и, следовательно, Y0 строго входит в Z∗ по переменным, со-
ответствующим данному собственному значению. Если же λi = 1, то в данном случае в
системе (20) часть переменных оказываются свободными (а именно те, по которым Z0
не единственно), поэтому Y0 совпадает с Z∗ по переменным, соответствующим данному
собственному значению.
Рассмотрим множество I всех тех i, для которых |λi| < 1.По аналогии с (6) уравнения
(20) при i ∈ I эквивалентны уравнению
yI(ε) = JI(ε)y
I(ε) + dI(ε), dI(ε) ∈ DI(ε) = LDI , yI = LyI , (21)
где yI — вектор, состоящий из векторов yi, i ∈ I, DI и JI определяются аналогично.
По данным переменным для каждого dI(ε) ∈ DI(ε) решение уравнения (21) един-
ственно, так как матрица E − JI(ε) невырождена. Покажем, что Y (ε) = LY0 является
подмножеством Z∗(ε) = LZ∗ по соответствующим переменным.
Множество ZI(ε) — непустой выпуклый компакт, поэтому оно является полным ме-
трическим пространством. Отображение φ(y) = JI(ε)y + dI(ε), dI(ε) ∈ DI(ε) является
отображением сжатия, так как
ρ(φ(y1), φ(y2)) = ρ(JI(ε)y1 + dI(ε), JI(ε)y2 + dI(ε)) ≤ ||JI(ε)||ρ(y1, y2),
а ||JI(ε)|| < 1. Поэтому φ имеет в ZI(ε) единственную неподвижную точку. Таким обра-
зом, по соответствующим переменным Y (ε) ⊂ Z∗(ε), а следовательно, X0 ⊂ R∗. Как
следует из примера 1, в общем случае множества Y (ε) и Z∗(ε) не совпадают.
Замечания. 2. Полученные результаты очевидным образом переносятся на случай
измеримых A(t) и F (t).
3. Частными случаями импульсного дифференциального включения (1) являются ли-
нейное дифференциальное включение (Bi = 0, Pi = 0 для всех i) и линейное дискретное
включение (A(t) ≡ 0, F (t) ≡ 0).
4. ЕслиF (t) иPi являются одноточечными множествами (т. е. (1) — линейное импульс-
ное дифференциальное уравнение), то уравнения (2) и (3) задают различные объекты:
(3) — периодическое решение, (2) — периодический пучок решений.
1. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations // World Sci. Ser. A: Nonlinear Sci., —
1995. — 14. — 462 p.
2. Lakshmikantham V., Bainov D. D., and Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. — Sin-
gapore: World Sci., 1989. — 275 p.
3. Erbe L., Krawcewicz W. Existence of solutions to boundary value problems for impulsive second order di-
fferential inclusions // Rocky Mt. J. Math. — 1992. — 22, № 2. — P. 519 – 539.
4. Tarafdar E., Watson P. J. Periodic solutions of impulsive differential equations. — Moscow: Nauka, 1988. —
448 с.
5. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая оптимизация нелинейных систем управления. —
Минск: Изд-во Белорус. ун-та, 1977. — 206 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ 515
6. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Нау-
ка, 1986. — 296 с.
7. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление //
Топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы. — М.: Наука, 1985.
— С. 194 – 252.
8. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во
иностр. лит., 1958. — 475 с.
9. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. — 432 с.
10. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Многозначные отображения // Итоги
науки и техники Мат. анализ / ВИНИТИ. — 1982. — 19. — С. 127 – 130.
11. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со
свободной границей. — М.:Наука, 1988. — 448 с.
Получено 14.09.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
|