Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь
Получены условия существования непрерывных T-периодических решений систем нелинейных функциональных уравнений и разработан метод их построения.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177036 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь / Г.П. Пелюх, О.А. Сивак // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 90-93. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177036 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1770362025-02-09T14:47:07Z Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь Периодические решения систем нелинейных функциональных уравнений Periodic solutions of systems of nonlinear functional equations Пелюх, Г.П. Сивак, О.А. Получены условия существования непрерывных T-периодических решений систем нелинейных функциональных уравнений и разработан метод их построения. For a system of nonlinear functional equations, we establish conditions for existence of continuous T-periodic solutions, and a method for their construction has been investigated. 2013 Article Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь / Г.П. Пелюх, О.А. Сивак // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 90-93. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177036 517.962.2 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условия существования непрерывных T-периодических решений систем нелинейных функциональных уравнений и разработан метод их построения. |
| format |
Article |
| author |
Пелюх, Г.П. Сивак, О.А. |
| spellingShingle |
Пелюх, Г.П. Сивак, О.А. Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Пелюх, Г.П. Сивак, О.А. |
| author_sort |
Пелюх, Г.П. |
| title |
Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь |
| title_short |
Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь |
| title_full |
Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь |
| title_fullStr |
Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь |
| title_full_unstemmed |
Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь |
| title_sort |
перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177036 |
| citation_txt |
Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь / Г.П. Пелюх, О.А. Сивак
// Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 90-93. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT pelûhgp periodičnirozvâzkisistemnelinijnihfunkcionalʹnihrivnânʹ AT sivakoa periodičnirozvâzkisistemnelinijnihfunkcionalʹnihrivnânʹ AT pelûhgp periodičeskierešeniâsistemnelinejnyhfunkcionalʹnyhuravnenij AT sivakoa periodičeskierešeniâsistemnelinejnyhfunkcionalʹnyhuravnenij AT pelûhgp periodicsolutionsofsystemsofnonlinearfunctionalequations AT sivakoa periodicsolutionsofsystemsofnonlinearfunctionalequations |
| first_indexed |
2025-11-27T00:49:28Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:49:28Z |
| _version_ |
1849902572571197440 |
| fulltext |
УДК 517.962.2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ
ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
Г. П. Пелюх
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
О. А. Сивак
Нац. техн. ун-т України „КПI”
Україна, 03057, просп. Перемоги, 37
For a system of nonlinear functional equations, we establish conditions for existence of continuous
T -periodic solutions, and a method for their construction has been investigated.
Получены условия существования непрерывных T -периодических решений систем нелинейных
функциональных уравнений и разработан метод их построения.
У цiй роботi дослiджуються питання iснування i єдиностi неперервних перiодичних розв’яз-
кiв систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь вигляду
x(t) = F (t, x(q1t+ f1(t, x(t))), . . . , x(qkt+ fk(t, x(t)))), (1)
де F : R × Rn × . . . × Rn → Rn, qi = const 6= 0, fi : R × Rn → R, i = 1, . . . , k. Такi сис-
теми вивчалися багатьма математиками (див. [1 – 3] i наведену в них бiблiографiю) i на
даний час ряд важливих питань (в тому числi питання iснування та єдиностi перiодичних
розв’язкiв) їх теорiї досить добре дослiджено [4 – 7]. Проте iснують широкi класи нелiнiй-
них функцiональних рiвнянь, для яких невiдомими є навiть умови iснування перiодичних
розв’язкiв. Саме такi умови для системи рiвнянь (1) встановлено в наступнiй теоремi, яка
є основним результатом даної роботи.
Теорема. Нехай виконуються умови:
1) qi, i = 1, 2, . . . , k, — цiлi додатнi числа;
2) вектор-функцiя F (t, x1, . . . , xk) i функцiї fi(t, x), i = 1, . . . , k, є неперервними при
всiх t ∈ R, xi ∈ Rn, i = 1, . . . , k, x ∈ Rn, T -перiодичними по t i має мiсце спiввiдношення
sup
t∈R, xi∈Rn, i=1,k
|F (t, x1, . . . , xk)| = M < ∞;
3) вектор-функцiя F (t, x1, . . . , xk) i функцiї fi(t, x), i = 1, . . . , k, задовольняють умови
|F (t, x1, . . . , xk)− F (t, x
1
, . . . , x
k
)| ≤ L0|t− t|+
k∑
i=1
Li|x i − x i|,
|fi(t, x)− fi(t, x)| ≤ l
′
i|t− t|+ l
′′
i |x− x|, i = 1, . . . , k,
c© Г. П. Пелюх, О. А. Сивак, 2013
90 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 91
де Li, i = 0, k, l
′
i, l
′′
i , i = 1, k, — деякi додатнi сталi, (t, x1, . . . , xk), (t, x
1
, . . . , x
k
) ∈
∈ R×Rkn;
4) при достатньо малих Li, i = 0, 1, . . . , k, l
′
i, l
′′
i , i = 1, k, виконуються спiввiдношен-
ня
L0
l
+ L∗(q + l∗ + l∗l) ≤ 1, L∗ + ll∗L∗ = ∆ < 1,
де L∗ =
∑k
i=1 Li, l
∗ = maxi{l
′
i, l
′′
i }, q = maxi{qi}, l > 0.
Тодi система рiвнянь (1) має єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок, що задо-
вольняє умову
|x(t)− x(t) ≤ l|t− t|,
де t, t ∈ R.
Доведення. Позначимо через C0 множину неперервних i T -перiодичних вектор-функ-
цiй x(t). За допомогою спiввiдношення
ρ(x(t), y(t)) = ‖x(t)− y(t)‖ = max
t∈[0,T ]
|x(t)− y(t)|
введемо в C0 метрику ρ. Тодi, очевидно, множина вектор-функцiй C0 iз метрикою ρ є
повним метричним простором.
У просторi C0 видiлимо множину C0,l вектор-функцiй x(t), якi задовольняють умови
|x(t)| ≤ M, (2)
|x(t)− x(t)| ≤ l|t− t|, (3)
де t, t, t ∈ R. Легко показати, що множина C0,l є компактною в собi.
На множинi C0,l визначимо вiдображення S:
Sx(t) = F [t, x(q1t+ f1(t, x(t))), . . . , x(qkt+ fk(t, x(t)))] (4)
i доведемо, що воно є вiдображенням стиску множини C0,l в себе.
Дiйсно, нехай x(t) належить C0,l. Тодi на пiдставi (4) та умов 1, 2 вектор-функцiя Sx(t)
є неперервною, задовольняє умову (2) i умову T -перiодичностi:
Sx(t+ T ) = F [t+ T, x(q1t+ q1T + f1(t+ T, x(t+ T ))), . . .
. . . , x(qkt+ qkT + fk(t+ T, x(t+ T )))] =
= F [t, x(q1t+ f1(t, x(t))), . . . , x(qkt+ fk(t, x(t)))] = Sx(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
92 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СИВАК
Крiм цього, з огляду на умову 3 отримуємо
|Sx(t)− Sx(t)| ≤ L0|t− t|+
k∑
i=1
Li|x(qit+ fi(t, x))− x(qit+ fi(t, x(t))| ≤
≤ L0|t− t|+
k∑
i=1
Lil|qit+ fi(t, x(t))− qit− fi(t, x(t))| ≤
≤ L0|t− t|+
k∑
i=1
Lil
[
qi|t− t|+ |fi(t, x(t))− fi(t, x(t))|
]
≤
≤ L0|t− t|+ l
k∑
i=1
Li
[
qi|t− t|+ l
′
i|t− t|+ l
′′
i |x(t)− x(t)|
]
≤
≤ L0|t− t|+ l
k∑
i=1
Li
(
qi + l
′
i + ll
′′
i
)
|t− t| ≤
≤
[
L0 + l
k∑
i=1
Li (q + l∗ + l∗l)
]
|t− t| ≤
≤ [L0 + lL∗ (q + l∗ + l∗l)] |t− t| ≤
≤ l
[
L0
l
+ L∗(q + l∗ + l∗l)
]
|t− t| ≤ l|t− t|.
Таким чином, Sx(t) належить C0,l i для завершення доведення теореми залишилося
показати, що вiдображення S є вiдображенням стиску. Дiйсно, нехай x(t), y(t) належать
C0,l. Тодi маємо
|Sx(t)− Sy(t)| = |F [t, x(q1t+ f1(t, x(t))), . . . , x(qkt+ fk(t, x(t)))]−
− F [t, y(q1t+ f1(t, y(t))), . . . , y(qkt+ fk(t, y(t)))] | ≤
≤
k∑
i=1
Li|x(qit+ fi(t, x(t)))− y(qit+ fi(t, y(t)))| ≤
≤
k∑
i=1
Li|x(qit+ fi(t, x(t)))− x(qit+ fi(t, y(t)))|+
+
k∑
i=1
Li|x(qit+ fi(t, y(t)))− y(qit+ fi(t, y(t)))| ≤
≤ l
k∑
i=1
Lil
′′
i ‖x(t)− y(t)‖+
k∑
i=1
Li‖x(t)− y(t)‖ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 93
≤
(
l
k∑
i=1
Lil
′′
i +
k∑
i=1
Li
)
‖x(t)− y(t)‖ ≤ ∆‖x(t)− y(t)‖,
звiдки безпосередньо випливає
ρ(Sx(t), Sy(t)) ≤ ∆ρ(x(t), y(t)).
Отже, вiдображення S є вiдображенням стиску, має єдину нерухому точку x(t) ∈ C0,l
i виконується спiввiдношення
x(t) = lim
m→∞
Smx0(t),
де x0(t) — довiльна вектор-функцiя iз C0,l.
Теорему доведено.
1. Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Iterative functional equations. — Cambridge Univ. Press, 1990. — 552 p.
2. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с пе-
риодическими и условно-периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1985. — 216 c.
3. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. —
Киев: Наук. думка, 1986. — 280 c.
4. Пелюх Г. П. К теории линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл.
АН. — 1994. — 336, № 4. — С. 451 – 452.
5. Пелюх Г. П. О существовании и единственности непрерывных и ограниченных на вещественной оси
решений нелинейных функциональных уравнений // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 3. — С. 416 – 418.
6. Пелюх Г. П., Сiвак О. А. Про перiодичнi розв’язки систем лiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь
// Доп. НАН України. —2009. — № 8. — C. 24 – 28.
7. Пелюх Г. П., Сiвак О. А. Неперервнi розв’язки нелiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь i їх влас-
тивостi // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 4. — С. 515 – 529.
Одержано 29.10.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
|