Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала
Побудовано i обґрунтовано обмежене оптимальне параметричне керування у формi оберненого зв’язку для параболiчного рiвняння з нелокальними крайовими умовами i напiввизначеного функцiонала. We construct and substantiate a bounded optimal parametric control in the feedback form for a parabolic equation...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177039 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала / В.Е. Капустян, И.С. Лазаренко // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177039 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Капустян, В.Е. Лазаренко, И.С. 2021-02-10T07:41:27Z 2021-02-10T07:41:27Z 2013 Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала / В.Е. Капустян, И.С. Лазаренко // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177039 517.9 + 519.3 Побудовано i обґрунтовано обмежене оптимальне параметричне керування у формi оберненого зв’язку для параболiчного рiвняння з нелокальними крайовими умовами i напiввизначеного функцiонала. We construct and substantiate a bounded optimal parametric control in the feedback form for a parabolic equation with non-local boundary conditions and semidefined functional. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала Параметричний оптимальний синтез для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами i напіввизначеного функціонала Parametric optimal syntheses for parabolic equation with non-local boundary conditions and semidefined functional Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала |
| spellingShingle |
Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала Капустян, В.Е. Лазаренко, И.С. |
| title_short |
Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала |
| title_full |
Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала |
| title_fullStr |
Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала |
| title_full_unstemmed |
Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала |
| title_sort |
параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала |
| author |
Капустян, В.Е. Лазаренко, И.С. |
| author_facet |
Капустян, В.Е. Лазаренко, И.С. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Параметричний оптимальний синтез для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами i напіввизначеного функціонала Parametric optimal syntheses for parabolic equation with non-local boundary conditions and semidefined functional |
| description |
Побудовано i обґрунтовано обмежене оптимальне параметричне керування у формi оберненого зв’язку для параболiчного рiвняння з нелокальними крайовими умовами i напiввизначеного функцiонала.
We construct and substantiate a bounded optimal parametric control in the feedback form for a parabolic equation with non-local boundary conditions and semidefined functional.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177039 |
| citation_txt |
Параметрический оптимальный синтез для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и полуопределенного функционала / В.Е. Капустян, И.С. Лазаренко // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kapustânve parametričeskiioptimalʹnyisintezdlâparaboličeskogouravneniâsnelokalʹnymikraevymiusloviâmiipoluopredelennogofunkcionala AT lazarenkois parametričeskiioptimalʹnyisintezdlâparaboličeskogouravneniâsnelokalʹnymikraevymiusloviâmiipoluopredelennogofunkcionala AT kapustânve parametričniioptimalʹniisintezdlâparabolíčnogorívnânnâznelokalʹnimikraiovimiumovamiinapívviznačenogofunkcíonala AT lazarenkois parametričniioptimalʹniisintezdlâparabolíčnogorívnânnâznelokalʹnimikraiovimiumovamiinapívviznačenogofunkcíonala AT kapustânve parametricoptimalsynthesesforparabolicequationwithnonlocalboundaryconditionsandsemidefinedfunctional AT lazarenkois parametricoptimalsynthesesforparabolicequationwithnonlocalboundaryconditionsandsemidefinedfunctional |
| first_indexed |
2025-11-24T20:55:15Z |
| last_indexed |
2025-11-24T20:55:15Z |
| _version_ |
1850496472228823040 |
| fulltext |
УДК 517.9+519.3
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
И ПОЛУОПРЕДЕЛЕННОГО ФУНКЦИОНАЛА
В. Е. Капустян, И. С. Лазаренко
Нац. техн. ун-т Украины „КПИ”
Украина, 03057, Киев, просп. Победы, 37
e-mail: kapustyanv@ukr.net
lazarenko@ukr.net
We construct and substantiate a bounded optimal parametric control in the feedback form for a parabolic
equation with non-local boundary conditions and semidefined functional.
Побудовано i обґрунтовано обмежене оптимальне параметричне керування у формi обернено-
го зв’язку для параболiчного рiвняння з нелокальними крайовими умовами i напiввизначеного
функцiонала.
Введение. В работе [1] для одномерного уравнения теплопроводности с нелокальными
краевыми условиями исследованы некоторые задачи с минимальной энергией, близкие
по постановке к аналогичным задачам с локальными краевыми условиями [2]. При этом
существенно используются представление классического решения краевой задачи в виде
ряда по биортогональным системам Рисса и специальный вид нормы функций, эквива-
лентный L2-норме. Последнее дало возможность в случае распределенного управления
получить полное решение задачи с минимальной энергией. В работе [3] для указанных
выше краевых задач для распределенного управления и специального критерия качества
построено и обосновано решение задачи оптимальной стабилизации. В данной работе по-
строено и обосновано ограниченное оптимальное параметрическое управление в форме
обратной связи для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями и
полуопределенного функционала.
Постановка задачи. Формальные построения. Пусть процесс описывается функцией
y(x, t), которая удовлетворяет краевой задаче
∂y
∂t
=
∂2y
∂x2
+ g(x)u(t), (x, t) ∈ Π, (1)
y(x, t0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ 1, (2)
y(0, t) = 0,
∂y(0, t)
∂x
=
∂y(1, t)
∂x
, t > t0, (3)
где Π = {(x, t) : 0 < x1, t0 < t ≤ T}, g(x) — фиксированная функция.
Для краевой задачи (1) – (3) рассмотрим задачу оптимального управления в форме
обратной связи: найти управление |u∗[y∗(·, t)]| ≤ 1, доставляющее наименьшее значение
c© В. Е. Капустян, И. С. Лазаренко, 2013
38 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 39
функционалу
J(u) = 0, 5
1∫
0
q(x)(y(x, T )− ψ(x)) dx
2
+ γ
T∫
0
u2(t) dt
, (4)
где q(x), ψ(x) — заданные функции.
Cистемы функций
W0 = {X0(x) = x, X2k−1(x) = x cos(2πkx), X2k(x) = sin(2πkx), k > 0},
R0 = {Y0(x) = 2, Y2k−1(x) = 4 cos(2πkx), Y2k(x) = 4(1− x) sin(2πkx), k > 0}
являются биортогональными базисами Рисса в L2(0, 1).
Задача (1) – (4) может быть сведена к одномерной задаче оптимального управления
(для задач с локальными краевыми условиями см. [4]). С этой целью запишем разложе-
ние функции q(x) по базису R0:
q(x) = q0Y0(x) +
∞∑
k=1
(q2k−1Y2k−1(x) + q2kY2k(x)), (5)
где qi = (q,Xi), i = 0, 1, . . . .
Функции g(x), ψ(x), y(x, t) запишем в виде рядов по базису W0:
g(x) = g0X0(x) +
∞∑
k=1
(g2k−1X2k−1(x) + g2kX2k(x)), (6)
ψ(x) = ψ0X0(x) +
∞∑
k=1
(ψ2k−1X2k−1(x) + ψ2kX2k(x)), (7)
y(x, t) = y0(t)X0(x) +
∞∑
k=1
(y2k−1(t)X2k−1(x) + y2k(t)X2k(x)), (8)
где gi = (q, Yi), ψi = (ψ, Yi), i = 0, 1, . . . , а коэффициенты разложения (8) имеют вид
y0(t) = ϕ0 + g0
t∫
t0
u(τ) dτ,
y2k−1(x) = ϕ2k−1 = exp(−λ2k(t− t0)) + g2k−1
t∫
t0
exp(−λ2k(t− τ))u(τ) dτ, (9)
y2k(x) = ϕ2k exp(−λ2k(t− t0))− 2λkϕ2k−1(t− t0) exp(−λ2k(t− t0))+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
40 В. Е. КАПУСТЯН, И. С. ЛАЗАРЕНКО
+ g2k
t∫
t0
exp(−λ2k(t− τ))u(τ)dτ − 2λkg2k−1
t∫
t0
exp(−λ2k(t− τ))(t− τ)u(τ) dτ.
Определим функции
A(ϕ, t0) = q0ϕ0 +
∞∑
k=1
(ϕ2k−1(q2k−1 − 2λk(T − t0)q2k) + ϕ2kq2k) exp(−λ2k(T − t0)),
B(t) = q0g0 +
∞∑
k=1
(g2k−1(q2k−1 − 2λk(T − t)q2k) + g2kq2k) exp(−λ2k(T − t)), (10)
C =
∞∑
k=0
qkψk.
Предположим, что ряды из (10) сходятся равномерно. Тогда критерий (4) представим в
виде
J(u) = 0, 5
A(ϕ, t0) +
T∫
t0
B(t)u(t) dt+ C
2
+ γ
T∫
0
u2(t) dt
. (11)
Функционал (11) является строго выпуклым. Поэтому он достигает минимума в един-
ственной точке u∗(t) ∈ C(t0, T ), которая удовлетворяет необходимым и достаточным
условиям оптимальности
T∫
t0
A(ϕ, t0) +
T∫
t0
B(τ)u∗(τ) dτ + C
B(t) + γu∗(t)
[u(t)− u∗(t)] dt ≥ 0 ∀|u(t)| ≤ 1. (12)
Предположим, что |u∗(t)| < 1, t ∈ [t0, ζ); u∗(t) = 1, t ∈ [ζ, T ]. Тогда из условия (12)
находим программное оптимальное управление
u∗(t) = −
B(t)
(
A(ϕ, t0) +
∫ T
ζ
B(τ) dτ + C
)
γ +
∫ ζ
t0
B2(τ) dτ
, t ∈ [t0, ζ),
(13)
u∗(t) = 1, t ∈ [ζ, T ] : B(t)
A(ϕ, t0) +
T∫
ζ
B(τ) dτ + C
+ γ +
ζ∫
t0
B2(τ) dτ < 0,
а число ζ находится из уравнения
B(ζ)(A(ϕ, t0) +
T∫
ζ
B(τ) dτ + C) + γ +
ζ∫
t0
B2(τ) dτ = 0. (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 41
Указанное выше управление будет иметь место, если выполняется условие (i): функция
B(t) положительная, монотонно возрастающая и при этом A(ϕ, t0) +
∫ T
ζ
B(τ)dτ + C <
< 0 или функция B(t) отрицательная, монотонно убывающая и при этом A(ϕ, t0) +
+
∫ T
ζ
B(τ)dτ + C > 0.
Если функция A(ϕ, t0) непрерывна относительно своих аргументов, то параметриче-
ское синтезированное управление имеет вид [4]
u∗[t, y(·, t)] = −
B(t)
(
A(y(·, t), t) +
∫ T
ζ
B(τ)dτ + C
)
γ +
∫ ζ
t
B2(τ)dτ
, t ∈ [t0, ζ),
(15)
u∗[t, y(·, t)] = 1, t ∈ [ζ, T ],
а число ζ находится из уравнения
B(ζ)
A(y(·, t), t) +
T∫
ζ
B(τ)dτ + C
+ γ +
ζ∫
t
B2(τ)dτ = 0. (16)
Найденное выше оптимальное управление в форме параметрического синтеза нереали-
зуемо, так как его составляющие представлены рядами. Поэтому рассмотрим прибли-
женное управление вида
u(N)[t, y(N)(·, t)] = −
B(N)(t)
(
A(N)(y(N)(·, t), t) +
∫ T
ζ(N)
B(N)(τ)dτ + C(N )
)
γ +
∫ ζ(N)
t
(B(N))2(τ)dτ
, t ∈ [t0, ζ
(N)),
(17)
u(N)[t, y(N)(·, t)] = 1, t ∈ [ζ(N), T ],
причем число ζ(N) находится из уравнения
B(N)(ζ)
A(N)(y(N)(·, t), t) +
T∫
ζ
B(N)(τ)dτ + C(N)
+ γ +
ζ∫
t
(B(N))2(τ)dτ = 0. (18)
В (17), (18) через A(N)(·, ·),B(N)(·), C(N) обозначены конечные суммы для соответствую-
щих рядов; число N взято таким, чтобы для указанных приближений рядов выполнялось
условие (i), а y(N)(x, t) — классическое решение краевой задачи
∂y(N)
∂t
=
∂2y(N)
∂x2
+ g(x)u(N)[t, y(N)(·, t)], (x, t) ∈ Π, (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
42 В. Е. КАПУСТЯН, И. С. ЛАЗАРЕНКО
y(N)(x, t0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ 1, (20)
y(N)(0, t) = 0,
∂y(N)(0, t)
∂x
=
∂y(N)(1, t)
∂x
, t > t0. (21)
Обоснование результатов. Для того чтобы решение задачи (1) – (3) было классиче-
ским при непрерывном управлении, достаточно функции ϕ(x), g(x) выбирать из области
определения оператора: Ly = −y′′, y(0) = 0, y′(0) = y′(1). Тогда
|A(ϕ, t0)| ≤ q0| |ϕ0|+
∞∑
k=1
(|ϕ2k−1|(|q2k−1|+ 2λk(T − t0)|q2k|)+
+ |ϕ2k| |q2k|) exp(−λ2k(T − t0),
|B(t)| ≤ |q0| |g0|+
∞∑
k=1
(|g2k−1|(|q2k−1|+ 2λk(T − t)|q2k|) + |g2k| |q2k|) exp(−λ2k(T − t), (22)
|C| ≤
∞∑
k=0
|qk| |ψk|.
Пусть функция q(x) выбирается из области определения оператора: L′y = −y′′, y(0) =
= y(1), y′(1) = 0, а функция ψ(x) принадлежит L2(0, 1). Тогда будут сходиться указанные
выше ряды, причем два первых ряда сходятся равномерно.
Для приближенного управления (17), (18) справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть:
1) функции ϕ(x), g(x) принадлежат области определения дифференциального опе-
ратора L, функция q(x) принадлежит области определения дифференциального опера-
тора L′;
2) для рядов (A(ϕ, t0),B(t), C и их приближений выполнено условие (i).
Тогда для любого достаточно малого числа η > 0 существует такое целое число
N > 0, что имеют место неравенства
|ζ − ζ(N)| < η,
|u∗[t, y∗(·, t)]− u(N)[t, y(N)(·, t)]| < η,
|y∗(x, t)− y(N)(x, t)| < η,
|I(u∗)− I(uN )| < η.
Доказательство проводится по схеме, приведенной в работе [5].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 43
1. Капустян В. Е., Лазаренко И. С. Задачи с минимальной энергией для параболических уравнений с не-
локальными краевыми условиями // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Сер. моделювання. — 2009. — 17, № 8. —
С. 47 – 60.
2. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. — М.: Наука, 1978. —
463 с.
3. Капустян В. Е., Лазаренко И. С. Оптимальная стабилизация распределенным управлением решений
параболических уравнений с нелокальными краевыми условиями // Компьютер. моделирование. —
2010. — № 2.
4. Белозеров В. Е., Капустян В. Е. Геометрические методы модального управления. — Киев: Наук. дум-
ка, 1999. — 260 c.
5. Сукретна А. В., Капустян О. А. Наближений усереднений синтез задачi оптимального керування для
параболiчного рiвняння // Укр. мат. журн. — 2004. — 56, № 10. — С. 1384 – 1394.
Получено 27.12.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
|