Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества
Розглянуто можливiсть застосування схеми усереднення для задач керування з термiнальним критерiєм якостi, коли поведiнка системи описується керованим нечiтким диференцiальним включенням, що мiстить малий параметр. We consider a possibility to apply an averaging scheme to control problems with termin...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177042 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества / А.В. Плотников // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 105-110. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177042 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Плотников, А.В. 2021-02-10T07:42:45Z 2021-02-10T07:42:45Z 2013 Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества / А.В. Плотников // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 105-110. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177042 517.928.7, 517.911.5 Розглянуто можливiсть застосування схеми усереднення для задач керування з термiнальним критерiєм якостi, коли поведiнка системи описується керованим нечiтким диференцiальним включенням, що мiстить малий параметр. We consider a possibility to apply an averaging scheme to control problems with terminal quality criterion in the case where the behavior of the system is described by a controlled fuzzy differential inclusion containing a small parameter. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества Усереднення нечітких керованих диференціальних включень з термінальним критерієм якості Averaging of fuzzy controlled differential inclusions with terminal quality criterion Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества |
| spellingShingle |
Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества Плотников, А.В. |
| title_short |
Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества |
| title_full |
Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества |
| title_fullStr |
Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества |
| title_full_unstemmed |
Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества |
| title_sort |
усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества |
| author |
Плотников, А.В. |
| author_facet |
Плотников, А.В. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Усереднення нечітких керованих диференціальних включень з термінальним критерієм якості Averaging of fuzzy controlled differential inclusions with terminal quality criterion |
| description |
Розглянуто можливiсть застосування схеми усереднення для задач керування з термiнальним критерiєм якостi, коли поведiнка системи описується керованим нечiтким диференцiальним включенням, що мiстить малий параметр.
We consider a possibility to apply an averaging scheme to control problems with terminal quality criterion in the case where the behavior of the system is described by a controlled fuzzy differential inclusion containing a small parameter.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177042 |
| citation_txt |
Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным критерием качества / А.В. Плотников // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 105-110. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT plotnikovav usrednenienečetkihupravlâemyhdifferencialʹnyhvklûčeniisterminalʹnymkriteriemkačestva AT plotnikovav userednennânečítkihkerovanihdiferencíalʹnihvklûčenʹztermínalʹnimkriteríêmâkostí AT plotnikovav averagingoffuzzycontrolleddifferentialinclusionswithterminalqualitycriterion |
| first_indexed |
2025-11-25T23:10:34Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:10:34Z |
| _version_ |
1850579160600150016 |
| fulltext |
УДК 517.928.7, 517.911.5
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ УПРАВЛЯЕМЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
С ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
А. В. Плотников
Одес. гос. акад. стр-ва и архитектуры
Украина, 65029, Одесса, ул. Дидрихсона, 4
e-mail: a-plotnikov@ukr.net
We consider a possibility to apply an averaging scheme to control problems with terminal quality criteri-
on in the case where the behavior of the system is described by a controlled fuzzy differential inclusion
containing a small parameter.
Розглянуто можливiсть застосування схеми усереднення для задач керування з термiнальним
критерiєм якостi, коли поведiнка системи описується керованим нечiтким диференцiальним
включенням, що мiстить малий параметр.
Исследование реальных управляемых процессов приводит обычно к дифференциаль-
ным или интегро-дифференциальным уравнениям с малым параметром. Для их иссле-
дования широко используются различные асимптотические методы. Начиная с работы
Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [1] широкое распространение в нелинейной механике
и особенно в теории колебаний получил метод усреднения. Большую роль в разработке и
обосновании возможности применения метода усреднения для все более широкого клас-
са систем сыграли работы Ю. А. Митропольского, А. М. Самойленко, Н. Н. Моисеева,
В. М. Волосова, Е. А. Гребеникова, В. А. Плотникова и др. (см. [2 – 12]).
Данная работа продолжает исследования, начатые в [13 – 15]. В ней рассмотрена воз-
можность применения схемы усреднения [16 – 18] для задач с нечетким критерием качест-
ва, когда поведение объекта описывается нечетким управляемым дифференциальным
включением [19 – 23].
Пусть conv (Rn) — пространство непустых выпуклых компактных подмножеств Rn с
метрикой Хаусдорфа
h(F,G) = max
{
sup
f∈F
inf
g∈G
‖f − g‖, sup
g∈G
inf
f∈F
‖f − g‖
}
,
где под ‖ · ‖ понимается евклидова норма в пространстве Rn.
Введем в рассмотрение пространство En отображений x : Rn → [0, 1], удовлетворя-
ющих следующим условиям:
1) x полунепрерывно сверху, т. е. для любых y′ ∈ Rn и ε > 0 существует δ(y′, ε) > 0
такое, что для всех ‖y − y′‖ < δ выполняется условие x(y) < x(y′) + ε;
2) x нормально, т. е. существует y0 ∈ Rn такой, что x(y0) = 1;
3) x нечетко выпукло, т. е. для любых y′, y′′ ∈ Rn и любого λ ∈ [0, 1] выполняется
неравенство x(λy′ + (1− λ)y′′) ≥ min{x(y′), x(y′′)};
c© А. В. Плотников, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1 105
106 А. В. ПЛОТНИКОВ
4) замыкание множества {y ∈ Rn : x(y) > 0} компактно.
Нулем в пространстве En является отображение 0̂(y) =
{
1, y = 0,
0, y ∈ Rn\0.
Определение 1.α-Срезкой [x]α отображения x ∈ En при 0 < α ≤ 1 назовем множест-
во {y ∈ Rn : x(y) ≥ α}. Нулевой срезкой отображения x ∈ En назовем замыкание
множества {y ∈ Rn : x(y) > 0}.
Теорема 1 [24]. Если x ∈ En, то:
1) [x]α ∈ conv (Rn) для всех 0 ≤ α ≤ 1;
2) [x]α2 ⊂ [x]α1 для всех 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1;
3) если {αk} ⊂ [0, 1] — неубывающая последовательность, сходящаяся к α > 0, то
[x]α =
⋂
k≥1
[x]αk .
Наоборот, если {Aα : 0 ≤ α ≤ 1}— семейство подмножествRn, удовлетворяющих
условиям 1 – 3, то существует отображение x ∈ En такое, что [x]α = Aα для 0 < α ≤
≤ 1 и [x]0 =
⋃
0<α≤1
Aα.
Определим в пространстве En метрику D : En × En → [0,+∞), положив
D(x, z) = sup
0≤α≤1
h([x]α, [z]α).
Из [25] следует, что:
1) (En, D) является полулинейным полным метрическим пространством;
2) D(u+ w, v + w) = D(u, v), D(ku, kv) = kD(u, v) для всех u, v, w ∈ En и k ≥ 0.
Пусть движение объекта управления описывается нечеткой системой дифференци-
альных включений вида
ẋ ∈ ε[f(t, x) + g(t, u)], x(0) = x0, (1)
где ε > 0 — малый параметр; t ∈ I = [0, Lε−1], L > 0 — время; x ∈ Rn — фазовый
вектор; u(t) ∈ U ∈ conv (Rk) — вектор управления; f : I ×Rn → En, g : I ×Rk → En —
нечеткие отображения.
Определение 2. Суммируемую на отрезке I функцию u(·) такую, что u(t) ∈ U для
всех t ∈ I, будем называть допустимым управлением.
Множество всех допустимых управлений обозначим через Θ(I).
Рассмотрим задачу оптимального управления с нечетким критерием качества (нечет-
кую задачу Майера)
J(u) = Φ(X(T, u)), (2)
где Φ : En → E1, T ≤ Lε−1, X(·, u) — нечеткое R-решение нечеткого дифференциаль-
ного включения (1) [26], соответствующее допустимому управлению u(·) ∈ Θ(I). Напри-
мер, Φ(X) такая, что [Φ(X)]α = [ϕαmin, ϕ
α
max] для всех α ∈ [0, 1], где ϕαmin = minς∈[Φ]α(ς, ψ),
ϕαmax = maxς∈[Φ]α(ς, ψ), ψ ∈ Rn — постоянная, (ς, ψ) = ς1ψ1 + . . .+ ςnψn.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 107
Определение 3. Управление u∗ ∈ Θ(I) назовем 0-максиминным (0-максимаксным) для
задачи (1), (4), если для любого управления u ∈ Θ(I) выполняется неравенство
m[J(u)]0 ≤ m[J(u∗)]
0 (M [J(u)]0 ≤ M [J(u∗)]0), (3)
где mA = min{a : a ∈ A,A ∈ conv (R)}, MA = max{a : a ∈ A,A ∈ conv(R)}.
Системе (1) поставим в соответствие усредненную систему
dx
dt
∈ ε[f(x) + w], x(0) = x0, (4)
где
f(x) =
1
2π
2π∫
0
f(t, x) dt, w ∈ W =
1
2π
2π∫
0
g(t, U) dt. (5)
Таким образом, неавтономной нечеткой системе уравнений движения объекта управ-
ления (1) приведенная выше схема усреднения ставит в соответствие автономную нечет-
кую систему уравнений движения (4) с некоторым новым нечетким управлением w.
Задаче (1), (2) поставим в соответствие усредненную задачу
J(w) = Φ(X(T,w)) (6)
на нечетких R-решениях системы (4).
Теорема 2. Предположим, что правая часть системы (1) в области
Q{t ∈ I, x ∈ G(x0) ⊂ Rn, u(t) ∈ U}
удовлетворяет следующим условиям:
1) нечеткое отображение f(·, ·) 2π-периодично и измеримо по t при фиксированном
x, равномерно ограничено и удовлетворяет условию Липшица с постоянной λ по x при
фиксированном t;
2) нечеткое отображение g(·, ·) 2π-периодично и измеримо по t при фиксированном
u, равномерно ограничено и удовлетворяет условию Липшица с постоянной λ по u при
фиксированном t.
Также пусть отображение Φ(·) удовлетворяет условию Липшица поX с постоянной µ.
Тогда для любого L > 0 можно указать такие C(L) > 0 и ε0(L, T ) > 0, что при
ε ∈ (0, ε0] будут выполняться неравенства
m[J(u∗)]
0 −m[J(u1)]0 ≤ Cε, |m[J(u∗)]
0 −m[J(w∗)]
0| ≤ Cε,
где u∗(·) — 0-максиминное управление для задачи (1), (2); w∗(·) — 0-максиминное управ-
ление для задачи (4), (6);
u1(t) =
ui(t) :
2π(i+1)∫
2πi
g(t, ui(t)) dt =
2π(i+1)∫
2πi
w∗(t) dt, t ∈ [2πi, 2π(i+ 1)), i = 0, 1, . . .
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
108 А. В. ПЛОТНИКОВ
Доказательство. Обозначим через w1(·) нечеткое управление
w1(t) =
wi : wi =
1
2π
2π(i+1)∫
2πi
g(t, u∗(t)) dt, t ∈ [2πi, 2π(i+ 1)), i = 0, 1, . . .
.
Пусть X(·, u∗), X(·, w∗), X(·, u1), X(·, w1) являются нечеткими R-решениями соответ-
ствующих нечетких дифференциальных включений
ẋ ∈ ε[f(t, x) + g(t, u∗(t))], x(0) = x0,
ẋ ∈ ε[f(x) + w∗(t)], x(0) = x0,
ẋ ∈ ε[f(t, x) + g(t, u1(t))], x(0) = x0,
ẋ ∈ ε[f(x) + w1(t)], x(0) = x0.
Тогда по теореме об усреднении нечетких дифференциальных включений [16, 17] для
t ∈ [0, Lε−1] справедливы оценки
D(X(t, u∗), X(t, w1)) ≤ C1ε, D(X(t, u1), X(t, w∗)) ≤ C1ε,
из которых в силу липшицевости отображения Φ(·) следует, что
D(J(u∗), J(w1)) ≤ µC1ε, D(J(u1), J(w∗)) ≤ µC1ε. (7)
Очевидно, что
m[J(u∗)]
0 ≥ m[J(u1)]0, m[J(w∗)]
0 ≥ m[J(w1)]0. (8)
Для J(u∗) и J(w∗) справедливо одно из следующих неравенств:
m[J(u∗)]
0 > m[J(w∗)]
0, (9)
m[J(u∗)]
0 ≤ m[J(w∗)]
0. (10)
В первом случае из (7) – (9) следует
m[J(w1)]0 + µC1ε ≥ m[J(u∗)]
0 > m[J(w∗)]
0 ≥ m[J(w1)]0,
т. е.
|m[J(u∗)]
0 −m[J(w∗)]
0| ≤ µC1ε. (11)
Во втором случае из (7), (8), (10) имеем
m[J(u1)]0 + µC1ε ≥ m[J(w∗)]
0 ≥ m[J(u∗)]
0 ≥ m[J(u1)]0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 109
т. е. справедливо неравенство (11). Полагая C = µC1, из (11) получаем второе неравен-
ство из утверждения теоремы. Аналогично можно доказать и первое неравенство.
Теорема доказана.
Замечание 1. Теорему, аналогичную предыдущей, можно доказать и для 0-максимакс-
ных управлений.
Замечание 2. Если 0-максиминные управления являются также и 0-максимаксными и
наоборот, то утверждение теоремы 2 можно записать в виде
h([J(u1)]0, [J(u∗)]
0) ≤ Cε, h([J(u∗)]
0, [J(w∗)]
0) ≤ Cε.
Замечание 3. Если 0-максиминные (0-максимаксные) управления заменить на 1-макси-
минные (1-максимаксные), т. е. условия (3) заменить на
m[J(u)]1 ≤ m[J(u∗)]
1, (M [J(u)]1 ≤ M [J(u∗)]1),
то теорема 2 и замечания 1, 2 останутся справедливыми.
1. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937. —
363 с.
2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.
— М.: Наука, 1974. — 503 с.
3. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебаний. — М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1971. — 508 с.
4. Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М.: Наука, 1986. — 256 с.
5. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наук. думка, 1971. — 440 с.
6. Митропольский Ю. А., Хома Г. Н. Математическое обоснование асимптотических методов нелиней-
ной механики. — Киев: Наук. думка, 1983. — 216 с.
7. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981. — 400 с.
8. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциаль-
ные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. — Киев: Ин-т математики НАН Украи-
ны, 2007. — 428 с.
9. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. — Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. — 188 с.
10. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной пра-
вой частью. Асимптотические методы. — Одесса: АстроПринт, 1999. — 354 с.
11. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 с.
12. Самойленко А. М., Петришин Р. I. Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних коливань. — Київ: Наук.
думка, 2004. — 475 с.
13. Плотников А. В. Усреднение уравнений управляемого движения с многозначными траекториями //
Укр. мат. журн. — 1987. — 39, № 5. — С. 657 – 659.
14. Плотников А. В. Асимптотическое исследование уравнений управляемого движения с многозначными
траекториями // Укр. мат. журн. — 1990. — 42, № 10. — С. 1409 – 1412.
15. Плотников А. В. Усреднение уравнений управляемого движения с многозначным критерием каче-
ства // Нелiнiйнi коливання. — 2000. — 3, № 4. — С. 505 – 510.
16. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. The partial averaging of differential inclusions with fuzzy
right-hand side // J. Adv. Res. Dynam. and Contr. Syst. — 2010. — 2, № 2. — P. 26 – 34.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
110 А. В. ПЛОТНИКОВ
17. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. On the averaging of differential inclusions with fuzzy right-
hand side when the average of the right-hand side is absent // Iran. J. Optim. — 2010. — 2, № 3. — P. 506 – 517.
18. Plotnikov A. V. Averaging of fuzzy integrodifferential inclusions // Int. J. Contr. Sci. and Eng. — 2011. — 1,
№ 1. —P. 8 – 14.
19. Plotnikov A. V., Komleva T. A. Linear problems of optimal control of fuzzy maps // Intelligent Information
Management (Sci. Res. Publ., Inc., USA). — 2009. — 1, № 3. — P. 139 – 144.
20. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Molchanyuk I. V. Linear control problems of the fuzzy maps // J. Software
Eng. & Appl. (Sci. Res. Publ., Inc., USA). — 2010. — 3, № 3. — P. 191 – 197.
21. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Molchanyuk I. V. Linear control differential inclusions with fuzzy right-hand
side and some optimal problems // J. Adv. Res. Dynam. and Contr. Syst. (Inst. Adv. Sci. Res., USA). —
2011. — 3, № 2. — P. 34 – 46.
22. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Molchanyuk I. V. The time-optimal problems for controlled fuzzy R-solutions
// Intelligent Control and Automation (Sci. Res. Publ., Inc., USA). — 2011. — 2, № 2. — P. 152 – 159.
23. Plotnikov A. V., Komleva T. A. The averaging of control linear fuzzy 2π-periodic differential equations //
Dynam. Contin., Discrete and Impulsive Syst., Ser. B. Applications & Algorithms. — 2011. — 18, № 6. —
P. 833 – 847.
24. Negoita C. V., Ralescu D. A. Application of fuzzy sets to systems analysis. — New York: Wiley, 1975.
25. Puri M. L., Ralescu D. A. Fuzzy random variables // J. Math. Anal. and Appl. — 1986. — 114. — P. 409 – 422.
26. Hüllermeier E. An approach to modelling and simulation of uncertain dynamical system // Int. J. Uncertain.
Fuzziness Knowl.-Based Syst. — 1997. — 7. — P. 117 – 137.
Получено 02.10.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
|