О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия
Знайдено умови регуляризацiї лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом. Побудовано узагальнений оператор Грiна та знайдено вигляд лiнiйного iмпульсного збурення регуляризованої лiнiйної крайової задачi. We find conditions fro regularizing a linear bo...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177046 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 133-145. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859460986424000512 |
|---|---|
| author | Чуйко, С.М. |
| author_facet | Чуйко, С.М. |
| citation_txt | О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 133-145. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Знайдено умови регуляризацiї лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом. Побудовано узагальнений оператор Грiна та знайдено вигляд лiнiйного iмпульсного збурення регуляризованої лiнiйної крайової задачi.
We find conditions fro regularizing a linear boundary-value problem for a system of ordinary differential
equations with impulsive effect. We also construct a generalized Green’s operator and find the form of a
linear impulsive perturbation of the regularized linear boundary-value problem.
|
| first_indexed | 2025-11-24T02:53:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
С ПОМОЩЬЮ ВЫРОЖДЕННОГО ИМПУЛЬСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ*
С. М. Чуйко
Славян. пед. ун-т
Украина, 84112, Славянск Донецкой обл., ул. Г. Батюка, 19
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
We find conditions fro regularizing a linear boundary-value problem for a system of ordinary differential
equations with impulsive effect. We also construct a generalized Green’s operator and find the form of a
linear impulsive perturbation of the regularized linear boundary-value problem.
Знайдено умови регуляризацiї лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних
рiвнянь з iмпульсним впливом. Побудовано узагальнений оператор Грiна та знайдено вигляд
лiнiйного iмпульсного збурення регуляризованої лiнiйної крайової задачi.
1. Постановка задачи. Создание теории импульсно возмущенных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений неразрывно связано с развитием киевской школы нели-
нейных колебаний. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов впервые использовали импульсную
модель для изучения механизма часов, в котором затухание колебаний, вызванное трени-
ем, компенсировалось периодическими толчками анкера [1]. Исследования Н. М. Крыло-
ва и Н. Н. Боголюбова были продолжены в работах А. М. Самойленко и А. Д. Мышкиса
[2, 3]. Конструктивная теория систем обыкновенных дифференциальных уравнений с им-
пульсным воздействием создана в монографиях А. М. Самойленко и Н. А. Перестюка [4,
5]. В работах А. М. Самойленко, Н. А. Перестюка и А. А. Бойчука [4 – 9] найдены не-
обходимые и достаточные условия существования решений импульсно возмущенных не-
теровых краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в кри-
тических и некритических случаях, конструкция обобщенного оператора Грина краевой
задачи с импульсным воздействием, а также критерии регуляризации некорректно по-
ставленных нетеровых краевых задач с помощью импульсного воздействия [9].
В продолжение исследования условий регуляризации краевых задач с помощью им-
пульсного воздействия [9] предположим, что линейная нетерова (m 6= n) краевая задача
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений [5, 9]
dz(t)
dt
= A(t)z(t) + f(t), `z(·) = α (1)
некорректно поставлена для произвольной непрерывной функции f(t) и произвольного
вектора α ∈ Rm:
PQ∗{α− `K[f(s)](·)} 6= 0, Q := `X0(·) ∈ Rm×n, rankQ := n1,
∗ Выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований
(№ 0112U000372).
c© С. М. Чуйко, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1 133
134 С. М. ЧУЙКО
в пространстве z(t) ∈ C1[a, b]. Здесь A(t) и f(t) — непрерывные по t на отрезке [a, b]
действительные функции, X0(t) — фундаментальная матрица однородной части диффе-
ренциальной системы (1), PQ∗ ∈ Rn×n — матрица-ортопроектор PQ∗ : Rn → N(Q∗).
Исследуем задачу о регуляризации [11, 13] краевой задачи (1) с помощью импульсного
воздействия [5, 9, 10, 12, 14 – 16]
∆z(τ) = Sz(τ − 0) + µ, ∆z(τ) := z(τ + 0)− z(τ − 0), S ∈ Rn×n.
В отличие от монографии [9] и статьи [15] поставим задачу не об условиях разрешимости
линейной нетеровой краевой задачи (1) с фиксированным импульсным воздействием, а о
нахождении решения
z(t) ∈ C1 {[a, b] \ {τ}I} , τ ∈ [a, b],
а также матрицы S, которая бы гарантировала разрешимость этой задачи для произволь-
ной непрерывной функции f(t) и произвольного вектора α ∈ Rm. Поставленная задача
продолжает исследование условий регуляризации нетеровых краевых задач с помощью
импульсного воздействия, приведенных в монографии [9, c. 248] и статье [15], в случае не
фиксированной матрицы S.
2. Условия разрешимости задачи о регуляризации. Линейный ограниченный вектор-
ный функционал
`z(·) : C[a, b] → Rm
представим в виде
`z(·) = `0z(·) + `1z(·), `0z(·) : C[a, τ ] → Rm, `1z(·) : C[τ, b] → Rm.
В пространстве
z(t) ∈ C1 {[a, b] \ {τ}I} , a < τ < b,
решение дифференциальной системы (1) подчиняем краевому условию
Lz(·) = α, Lz(·) := `0z(·) + `1z(·).
Таким образом, получаем краевую задачу с импульсным воздействием
dz(t)
dt
= A(t)z(t) + f(t), ∆z(τ) = Sz(τ − 0) + µ, Lz(·) = α. (2)
Обозначим черезX0(t) нормальную (X(τ−0) = In) фундаментальную матрицу однород-
ной части дифференциальной системы (1). Общее решение
z(t) ∈ C1{[a, b] \ {τ}I}
дифференциальной системы (2) представимо в виде
z(t, c) = X(t)c+K[f(s)](t), c ∈ Rn,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 135
где
K[f(s)](t) :=
−X0(t)
∫ τ
t
X−10 (s)f(s) ds, t ∈ [a, τ [,
X0(t)
∫ t
τ
X−10 (s)f(s) ds, t ∈ [τ, b],
— обобщенный оператор Грина задачи Коши z(τ − 0) = c для дифференциальной сис-
темы (2), непрерывный в точке t = τ, и X(t) — нормальная (X(τ − 0) = In) фундамен-
тальная матрица однородной части дифференциальной системы (2) с импульсным воз-
действием:
X(t) =
X0(t), t ∈ [a, τ [,
X0(t)(In + S), t ∈ [τ, b].
Обозначим матрицу Q := LX(·) ∈ Rm×n и ее ортопроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗), а также
матрицы
Q0 := `0X0(·) ∈ Rm×n, Q1 := `1X0(·) ∈ Rm×n.
Имеют место равенства
Q = Q0 +Q1(In + S), Q = Q0 +Q1.
Подставляя общее решение дифференциальной системы (2)
z(t, c) = X(t)c+K[f(s)](t)
в краевое условие (2) и полагая µ := 0, получаем уравнение
Q · c = α− LK[f(s)](·),
разрешимое тогда и только тогда, когда
PQ∗{α− LK[f(s)](·)} = 0.
Таким образом, разрешимость краевой задачи (2) для произвольной непрерывной функ-
ции f(t) и произвольного вектора α ∈ Rm гарантирует условие PQ∗ = 0, равносильное
уравнению
(Q+Q1S)(Q+Q1S)+ = Im (3)
относительно неизвестной матрицы S ∈ Rn×n. Заметим, что в критическом случае:
PQ∗ 6= 0
уравнение (3) разрешимо лишь для фредгольмовой (m = n) либо недоопределенной
(m < n) краевой задачи (2). Действительно, предположим задачу (2) переопределенной
(m > n), при этом
rank (Q+Q1S)(Q+Q1S)+ ≤ rank (Q+Q1S) = rank (Q+Q1S)+ ≤ n < m,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
136 С. М. ЧУЙКО
что противоречит равенству рангов левой и правой частей уравнения (3).
Уравнение (3), в частности, разрешимо для фредгольмовой (m = n) краевой задачи
(2) при условии
det(Q+Q1S) 6= 0,
при этом существует по меньшей мере одна матрица S, являющаяся решением уравне-
ния (3).
Предположим, что уравнение (3) имеет решение S ∈ Rn×n, которому соответствует
нормальная (X(τ − 0) = In) фундаментальная матрица X(t) однородной части систе-
мы (2):
X(t) =
X0(t), t ∈ [a, τ [,
X0(t)(In + S), t ∈ [τ, b].
Найденной матрице X(t) соответствует по меньшей мере одно решение задачи (2)
z(t, c) = X(t) · Q+{α− LK[f(s)](·)}+K[f(s)](t).
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема. Если краевая задача (1) в классе z(t) ∈ C1[a, b] является некорректно по-
ставленной,
PQ∗{α− `K[f(s)](·)} 6= 0
и уравнение (3) имеет действительное решение S ∈ Rn×n, то для произвольной непре-
рывной функции f(t) ∈ C[a, b] и произвольного вектора α ∈ Rm в классе
z(t) ∈ C1{[a, b] \ {τ}I}
существует по меньшей мере одно решение
z(t) = G[f(s), α](t)
краевой задачи с импульсным воздействием (3), где S = S, µ := 0,
G[f(s), α](t) := X(t) · Q+{α− LK[f(s)](·)}+K[f(s)](t)
— обобщенный оператор Грина в задаче о регуляризации с помощью импульсного воз-
действия (2),
X(t) =
X0(t), t ∈ [a, τ [,
X0(t)(In + S), t ∈ [τ, b],
— нормальная (X(τ − 0) = In) фундаментальная матрица однородной части диффе-
ренциальной системы (2) с импульсным воздействием.
В зависимости от матрицы S импульсное воздействие (2) при условии
det(In + S) 6= 0
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 137
является невырожденным [5, 9] либо вырожденным [18, 19]:
det(In + S) = 0.
Пример 1. Условия доказанной теоремы выполняются для антипериодической задачи
dz
dt
= A(t)z + f(t), z(0) + z(π) = 0,
которая для произвольной непрерывной функции f(t) ∈ C[0, π] не имеет решений в клас-
се функций z(t) ∈ C1[0;π]. В то же время в классе
z(t) ∈ C1{[0, π] \ {τ}I}, τ :=
π
2
,
антипериодическая краевая задача с импульсным воздействием
dz
dt
= A(t)z + f(t), t 6= τ, z(0) + z(π) = 0, ∆z(τ) = Sz(τ − 0) (4)
разрешима для произвольной непрерывной функции f(t) ∈ C[0, π]. Здесь
A(t) =
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
, f(t) =
0
0
sin t
.
Поскольку
X0(t) =
et−
π
2 0 0
0 sin t − cos t
0 cos t sin t
,
то
Q =
e−
π
2 (1 + eπ) 0 0
0 0 0
0 0 0
, PQ∗ =
0 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Следовательно, в случае антипериодической задачи для дифференциального уравнения
(4) имеет место критический случай, при этом необходимое и достаточное условие су-
ществования гладкого решения в классе z(t) ∈ C1[0, π] для произвольной непрерывной
функции f(t) ∈ C[0, π] не выполнено, в том числе для данной функции f(t):
PQ∗{α− `K[f(s)](·)} =
0
π
2
0
6= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
138 С. М. ЧУЙКО
Далее вычисляем матрицы
Q0 = I3, Q1 =
e
π
2 0 0
0 0 1
0 −1 0
и ортопроектор PQ∗
1
= 0. В случае фредгольмовой краевой задачи (4) решением уравне-
ния (3) является любая матрица S ∈ R3×3, для которой
det(Q+Q1S) 6= 0.
Положим
S =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
,
при этом нормальная
(
X
(π
2
− 0
)
= I3
)
фундаментальная матрицаX(t) однородной час-
ти части дифференциальной системы с импульсным воздействием (4)
X(t) =
et−
π
2 0 0
0 sin t − cos t
0 cos t sin t
, t ∈
[
0;
π
2
[
,
et−
π
2 0 et−
π
2
− cos t 2 sin t − cos t
sin t 2 cos t sin t
, t ∈
[π
2
, π
]
,
гарантирует разрешимость неоднородной задачи (4) для произвольной непрерывной функ-
ции f(t), так как PQ∗ = 0. Здесь
Q =
e−
π
2 (1 + eπ) 0 e
π
2
1 0 0
0 −1 0
.
При этом антипериодическая краевая задача с импульсным воздействием (4), регуляри-
зованная с помощью импульсного воздействия
∆z(τ) = Sz(τ − 0),
имеет единственное решение
G[f(s), 0](t) =
1
4
−2πet−
π
2
−e−π(π(2 + eπ) + 2eπt) cos t
−2 cos t+ (π + 2πe−π + 2t) sin t
, t ∈
[
0,
π
2
[
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 139
G[f(s), 0](t) =
1
4
2πet−
3π
2
(π − 2πe−π − 2t) cos t
−2 cos t+ (π(2e−π − 1) + 2t) sin t
, t ∈
[π
2
, π
]
.
Заметим, что det(I3 + S) = 0, поэтому импульсное воздействие в случае антипериоди-
ческой краевой задачи (4) является вырожденным [18, 19].
Пример 2. Краевую задачу (4) можно также регуляризовать с помощью невыроджен-
ного импульсного воздействия.
Действительно, положим
S1 =
0 1 0
0 0 1
1 0 0
,
тогда нормальная
(
X
(π
2
− 0
)
= I3
)
фундаментальная матрица X(t) однородной части
дифференциальной системы с импульсным воздействием (4)
X(t) =
et−
π
2 0 0
0 sin t − cos t
0 cos t sin t
, t ∈
[
0;
π
2
[
,
et−
π
2 et−
π
2 0
− cos t sin t sin t− cos t
sin t cos t sin t+ cos t
, t ∈
[π
2
, π
]
,
гарантирует разрешимость неоднородной задачи (4) для произвольной непрерывной функ-
ции f(t), так как
Q =
e−
π
2 (1 + eπ) e
π
2 0
1 0 0
0 0 −1
, PQ∗ = 0.
При этом антипериодическая краевая задача с импульсным воздействием (4), регуляри-
зованная с помощью невырожденного
det(I3 + S1) = 2 6= 0
импульсного воздействия
∆z(τ) = S1z(τ − 0),
имеет единственное решение
G[f(s), 0](t) =
1
4
−2πet−
π
2
(π − 2t) cos t+ 2e−π(1 + eπ)π sin t
2(π − 1 + πe−π) cos t− (π − 2t) sin t
, t ∈
[
0,
π
2
[
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
140 С. М. ЧУЙКО
G[f(s), 0](t) =
1
4
2πet−
3π
2
(3π − 2t) cos t+ 2π(1 + e−π) sin t
2(π − 1 + πe−π) cos t+ (2t− 3π) sin t
, t ∈
[π
2
, π
]
.
При наличии действительных корней S ∈ Rn×n уравнения (3) будем говорить, что
задача о регуляризации линейной краевой задачи с помощью импульсного воздействия
корректна. В противном случае, при отсутствии действительных корней уравнения (3),
будем говорить, что задача о регуляризации линейной краевой задачи с помощью им-
пульсного воздействия некорректна, при этом может быть поставлена задача о бифур-
кации решений линейной краевой задачи с импульсным возмущением.
3. Задача о бифуркации решений линейной краевой задачи с импульсным воздействи-
ем. Предположим, что уравнение (3) не имеет действительных корней. Это возможно,
например, в критическом случае для переопределенной (m > n) нетеровой краевой за-
дачи (2).
Контрпример. Уравнение (3) не разрешимо для фредгольмовой (m = n = 3) антипе-
риодической задачи
dz
dt
= A(t)z + f(t), z(0) + z(π) = 0, (5)
которая для произвольной непрерывной функции f(t) не имеет решений в классе функ-
ций z(t) ∈ C1[0; 2π]. Здесь
A(t) =
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
.
Поскольку
X0(t) =
et−π 0 0
0 − cos t − sin t
0 sin t − cos t
,
то
Q =
1 + e−π 0 0
0 0 0
0 0 0
, PQ∗ =
0 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Следовательно, в случае антипериодической задачи (5) имеет место критический случай,
при этом необходимое и достаточное условие существования гладкого решения в классе
z(t) ∈ C1[0, 2π] для произвольной непрерывной функции f(t) ∈ C[0, 2π] не выполнено.
Уравнение (3) для фредгольмовой задачи (5) принимает вид
1
2
0 0 0
0 −1 0
0 0 −1
6= 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 141
следовательно, задача о регуляризации линейной двухточечной краевой задачи (5) с по-
мощью импульсного воздействия поставлена некорректно.
Подставляя общее решение дифференциальной системы (2)
z(t, c) = X(t)c+K[f(s)](t)
в краевое условие (2) и полагая µ := 0, получаем уравнение
R(c) c = α− LK[f(s)](·)−Qc, R(c) := Q1S ∈ Rm×n,
относительно неизвестной матрицы R(c), разрешимое тогда и только тогда, когда
{α− LK[f(s)](·)−Qc}Pc = 0.
Здесь Pc ∈ R1 — ортопроектор Pc : R1 → N(c).При условии c 6= 0 имеет место равенство
Pc = 0, гарантирующее существование по меньшей мере одной матрицы
R(c) := {α− LK[f(s)](·)−Qc}c+.
Таким образом, для нахождения матрицы S приходим к уравнению Q1S = R(c), разре-
шимому тогда и только тогда, когда
PQ∗
1
{α− LK[f(s)](·)−Qc}c+ = 0. (6)
Если уравнение (6) имеет действительный корень c = ϑ ∈ Rn, то существует по меньшей
мере одна матрица
S = Q+
1 {α− LK[f(s)](·)−Qϑ}ϑ+,
гарантирующая разрешимость краевой задачи (2). Здесь PQ∗
1
∈ Rm×m — ортопроектор
PQ∗
1
: Rm → N(Q∗1). Таким образом, доказано следующее утверждение.
Лемма. Если краевая задача (1) в классе z(t) ∈ C1[a, b] является некорректно по-
ставленной,
PQ∗{α− `K[f(s)](·)} 6= 0
и уравнение (6) имеет действительный корень c = ϑ ∈ Rn, то для произвольной не-
прерывной функции f(t) ∈ C[a, b] и произвольного вектора α ∈ Rm существует по
меньшей мере одна матрица S ∈ Rn×n, для которой краевая задача с импульсным воз-
действием (2) при
S := Q+
1 {α− LK[f(s)](·)−Qϑ}ϑ+, µ := 0
в классе
z(t) ∈ C1{[a, b] \ {τ}I}
имеет единственное решение
z(t) = G[f(s), α](t),
где
G[f(s), α](t) := X(t)ϑ+K[f(s)](t)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
142 С. М. ЧУЙКО
— обобщенный оператор Грина некорректно поставленной задачи о регуляризации с
помощью импульсного воздействия.
Пример 3. Условия доказанной леммы выполняются для антипериодической задачи,
подчиненной условию Коши
dz
dt
= A(t)z + f(t), z(0) = η, z(0) + z(2π) = 0,
которая не имеет решений в классе функций z(t) ∈ C1[0; 2π]. В то же время в классе
z(t) ∈ C1{[0, 2π] \ {τ}I}
краевая задача с антипериодическим краевым условием
dz
dt
= A(t)z + f(t), t 6= τ, z(0) + z(2π) = 0, ∆z(τ) = Sz(τ − 0) (7)
разрешима. Здесь
A(t) =
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
, f(t) =
0
0
sin t
, η :=
0
0
1
.
Обозначим ω := 1 + e2π. Поскольку
X0(t) =
et 0 0
0 cos t sin t
0 − sin t cos t
,
то
Q =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ω 0 0
0 2 0
0 0 2
, PQ∗ =
ω2
1 + ω2
0 0 − ω
1 + ω2
0 0
0
4
5
0 0 −2
5
0
0 0
4
5
0 0 −2
5
− ω
1 + ω2
0 0
1
1 + ω2
0 0
0 −2
5
0 0
1
5
0
0 0 −2
5
0 0
1
5
.
Следовательно, в случае антипериодической задачи, подчиненной условию Коши для
уравнения (7), имеет место критический случай, при этом необходимое и достаточное
условие существования гладкого решения в классе z(t) ∈ C1[0, 2π] для произвольной не-
прерывной функции f(t) ∈ C[0, 2π] не выполнено, в том числе для данной функции f(t):
PQ∗{α− `K[f(s)](·)} =
(
1 0 0 0 0 0
)∗ 6= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 143
Далее вычисляем матрицы
Q0 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, Q1 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
e2π 0 0
0 1 0
0 0 1
и ортопроектор
PQ∗
1
=
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
.
В случае нетеровой краевой задачи (7) ненулевое решение уравнения (6) единственно
c =
1
0
0
,
ему соответствует матрица
S =
−1− e−2π 0 0
π
2
0 0
0 0 0
.
При этом антипериодическая задача, подчиненная условию Коши для уравнения (7), ре-
гуляризованная с помощью невырожденного
det(I3 + S) =
∣∣∣∣∣∣
−e−2π 0 0
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = −e−2π 6= 0
импульсного воздействия
∆z(τ) = Sz(τ − 0),
имеет единственное решение
G[f(s), η](t) =
1
2
2et
−t cos t+ sin t
t sin t
, t ∈ [0, π],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
144 С. М. ЧУЙКО
G[f(s), η](t) =
1
2
−2et−2π
(2π − t) cos t+ sin t
(t− 2π) sin t
, t ∈ [π, 2π].
Существенным отличием обобщенного оператора Грина в случае, когда уравнение
(3) имеет действительное решение S ∈ Rn×n, от некорректно поставленной задачи о
регуляризации линейной краевой задачи в рамках доказанной леммы или следствия яв-
ляется независимость матрицы S, а следовательно, и нормальной (X(a) = In) фунда-
ментальной матрицы X(t) однородной части системы (2) от неоднородностей краевой
задачи (2).
1. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937. —
365 с.
2. Самойленко А. М. К вопросу обоснования метода исследования колебаний в системах, подверженных
импульсному воздействию // Укр. мат. журн. — 1967. — 18, № 2. — С. 96 – 104.
3. Мышкис А. Д., Самойленко А. М. Системы с толчками в заданные моменты времени // Мат. сб. Новая
сер. — 1967. — 74, № 2. — С. 202 – 208.
4. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Киев. гос. ун-т, 1980. — 80 с.
5. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 287 с.
6. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Периодические решения слабо нелинейных систем с импульсным
воздействием // Дифференц. уравнения. — 1978. — 14, № 16. — С. 1034 – 1045.
7. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Периодические и почти периодические решения дифференциаль-
ных уравнений с импульсным воздействием // Укр. мат. журн. — 1982. — 34, № 1. — С. 66 — 73.
8. Бойчук А. А., Перестюк Н. А., Самойленко А. М. Периодические решения импульсных дифференци-
альных систем в критических случаях // Дифференц. уравнения. — 1991. — 27, № 9. — С. 1516 – 1521.
9. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — xiv + 317 p.
10. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения.
— 2001. — 37, № 8. — С. 1132 – 1135.
11. Азбелев Н. В., Максимов Н. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифферен-
циальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 277 с.
12. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Докл. АН. — 2001. — 379,
№ 2. — С. 170 – 172.
13. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. —М.: Наука, 1971. — 104 с.
14. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключени-
ями // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10, № 1. — C. 51 – 65.
15. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Бифуркация решений импульсной краевой задачи // Нелiнiйнi коливання. —
2008. — 11, № 1. — С. 21 – 31.
16. Чуйко С. М. Лекцiї з теорiї iмпульсних крайових задач. — Слов’янськ: Вид-во Маторiна, 2008. — 210 c.
17. Бойчук А. А., Чуйко С. М., Чуйко Е. В. Слабонелинейные краевые задачи с импульсным воздействием
типа „interface conditions” // Нелiнiйнi коливання. — 2000. — 3, № 3. — С. 291 – 296.
18. Бойчук А. А., Чуйко Е. В., Чуйко С. М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырожденным
импульсным воздействием // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 5. — С. 588 – 594.
19. Чуйко С. М., Чуйко Е. В. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воздействием //
Доп. НАН України. — 1999. — № 6. — С. 43 – 47.
Получено 26.09.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177046 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T02:53:31Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чуйко, С.М. 2021-02-10T07:44:03Z 2021-02-10T07:44:03Z 2013 О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 133-145. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177046 517.9 Знайдено умови регуляризацiї лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом. Побудовано узагальнений оператор Грiна та знайдено вигляд лiнiйного iмпульсного збурення регуляризованої лiнiйної крайової задачi. We find conditions fro regularizing a linear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations with impulsive effect. We also construct a generalized Green’s operator and find the form of a linear impulsive perturbation of the regularized linear boundary-value problem. Выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований (№ 0112U000372). ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия Про регуляризацію лінійної нетерової крайової задачі за допомогою виродженої імпульсної дії On regularization of a linear Noether boundary-value problem using a degenerate impulsive effect Article published earlier |
| spellingShingle | О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия Чуйко, С.М. |
| title | О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия |
| title_alt | Про регуляризацію лінійної нетерової крайової задачі за допомогою виродженої імпульсної дії On regularization of a linear Noether boundary-value problem using a degenerate impulsive effect |
| title_full | О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия |
| title_fullStr | О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия |
| title_full_unstemmed | О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия |
| title_short | О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия |
| title_sort | о регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177046 |
| work_keys_str_mv | AT čuikosm oregulârizaciilineinoineterovoikraevoizadačipripomoŝivyroždennogoimpulʹsnogovozdeistviâ AT čuikosm proregulârizacíûlíníinoíneterovoíkraiovoízadačízadopomogoûvirodženoíímpulʹsnoídíí AT čuikosm onregularizationofalinearnoetherboundaryvalueproblemusingadegenerateimpulsiveeffect |