Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром
Установлены достаточные условия существования периодических решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с малым параметром и линейными отклонениями аргумента, а также исследованы их свойства. We find sufficient conditions for a system of nonlinear differential-functional equat...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177092 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 332-340 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177092 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Денисенко, Н.Л. 2021-02-10T12:59:37Z 2021-02-10T12:59:37Z 2014 Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 332-340 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177092 517.9 Установлены достаточные условия существования периодических решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с малым параметром и линейными отклонениями аргумента, а также исследованы их свойства. We find sufficient conditions for a system of nonlinear differential-functional equation to have a periodic solution, and conduct a study of properties of these solutions. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром О свойствах непрерывных периодических решений систем дифференциально-функциональных уравнений с малым параметром On properties of continuous periodic solutions of differential-functional systems with a small parameter Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром |
| spellingShingle |
Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром Денисенко, Н.Л. |
| title_short |
Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром |
| title_full |
Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром |
| title_fullStr |
Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром |
| title_full_unstemmed |
Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром |
| title_sort |
про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром |
| author |
Денисенко, Н.Л. |
| author_facet |
Денисенко, Н.Л. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
О свойствах непрерывных периодических решений систем дифференциально-функциональных уравнений с малым параметром On properties of continuous periodic solutions of differential-functional systems with a small parameter |
| description |
Установлены достаточные условия существования периодических решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с малым параметром и линейными отклонениями аргумента, а также исследованы их свойства.
We find sufficient conditions for a system of nonlinear differential-functional equation to have a periodic solution, and conduct a study of properties of these solutions.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177092 |
| citation_txt |
Про властивості неперервних періодичних розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь із малим параметром / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 332-340 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT denisenkonl provlastivostíneperervnihperíodičnihrozvâzkívsistemdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹízmalimparametrom AT denisenkonl osvoistvahnepreryvnyhperiodičeskihrešeniisistemdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniismalymparametrom AT denisenkonl onpropertiesofcontinuousperiodicsolutionsofdifferentialfunctionalsystemswithasmallparameter |
| first_indexed |
2025-11-25T23:55:36Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:55:36Z |
| _version_ |
1850590750682644480 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО ВЛАСТИВОСТI НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
IЗ МАЛИМ ПАРАМЕТРОМ
Н. Л. Денисенко
Нац. техн. ун-т України „КПI”
Україна, 03056, Київ, пр. Перемоги, 37
e-mail: natalia_den@bigmir.net
We find sufficient conditions for a system of nonlinear differential-functional equation to have a periodic
solution, and conduct a study of properties of these solutions.
Установлены достаточные условия существования периодических решений систем нелиней-
ных дифференциально-функциональных уравнений с малым параметром и линейными откло-
нениями аргумента, а также исследованы их свойства.
Рiзнi частиннi випадки систем диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
ẋ(t) = f(t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)),
де λi > 0, i = 1, k, f — деяка вектор-функцiя розмiрностi n, дослiджувались багатьма
математиками, i на сьогоднi низку питань їх теорiї досить добре вивчено (див. [1 – 7] i
наведену там бiблiографiю). Наприклад, в [1] достатньо повно дослiджено асимптотичнi
властивостi розв’язкiв лiнiйного скалярного рiвняння (n = 1), в [3] одержано достатнi
умови iснування та єдиностi обмеженого на всiй дiйснiй осi розв’язку системи нелiнiй-
них диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу, в [4] дослiджено питан-
ня iснування перiодичних розв’язкiв систем диференцiально-функцiональних рiвнянь iз
лiнiйними вiдхиленнями аргументу та вивчено їх властивостi. У данiй роботi дослiджу-
ється iснування перiодичних розв’язкiв систем диференцiально-функцiональних рiвнянь
iз малим параметром та вивчаються їх властивостi.
Розглянемо систему нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
ẋ(t) = Ax(t) + f(t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)) + εF (t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt), ε) (1)
у випадку, коли λi ∈ N, i = 1, k; ε — достатньо малий невiд’ємний скалярний параметр;
t ∈ R = (−∞,+∞); A — дiйсна стала (n × n)-матриця; вектор-функцiї f : R × Rn × . . .
. . . × Rn → Rn, F : R × Rn × . . . × Rn × R → Rn є неперервними за всiма змiнними i
T -перiодичними по t, тобто
f(t+ T, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)) ≡ f(t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)),
F (t+ T, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt), ε) ≡ F (t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt), ε).
Припустимо, що власнi значення aj , j = 1, n, матрицi A задовольняють умову
Re aj(A) 6= 0, j = 1, n.
c© Н. Л. Денисенко, 2014
332 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ПРО ВЛАСТИВОСТI НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 333
У цьому випадку, як вiдомо, iснує неособлива матриця C, яка зводить матрицю A до ви-
гляду
A = C−1diag (A1, A2)C,
де A1, A2 — деякi сталi матрицi розмiрностi p× p i (n− p)× (n− p), власнi значення яких
задовольняють умови
Re aj(A1) < 0, j = 1, . . . , p,
(2)
Re aj(A2) > 0, j = p+ 1, . . . , n (0 < p ≤ n).
1. У [5] дослiджено питання про iснування T -перiодичних розв’язкiв системи рiвнянь
(1) при ε = 0, тобто системи рiвнянь вигляду
ẋ(t) = Ax(t) + f(t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)). (3)
Для цього виконується перетворення
ẋ(t) = Ax(t) + y(t), (4)
де y(t) ∈ C0, де C0 — простiр неперервних T -перiодичних вектор-функцiй iз нормою
‖y(t)‖ = maxt |y(t)|. Тодi iз (3) безпосередньо випливає, що x(t) визначається єдиним чи-
ном за допомогою спiввiдношення
x(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ) y(τ) dτ, (5)
де
G(t) =
C−1diag (eA1t, 0)C при t > 0,
−C−1diag (0, eA2t)C при t < 0.
(6)
Неважко показати, що для матричної функцiї G(t) = (gij(t)) виконуються наступнi
умови:
а) G(+0)−G(−0) = E, де E — одинична матриця розмiрностi n× n;
б) |G(t)| ≤ Ke−α|t| при всiх t 6= 0, де K > 0, α > 0 i |G| = max1≤i≤n
∑n
j=1 |gij |;
в) Ġ = AG, t 6= 0.
В результатi перетворення (4) система рiвнянь (3) набирає вигляду
y(t) = f
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)y(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))y(λ1τ)dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))y(λkτ)dτ
, (7)
де G(t) визначається за допомогою спiввiдношення (6).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
334 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
Для системи рiвнянь (7) доведено наступну теорему.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) всi власнi значення aj , j = 1, n, матрицi A такi, що має мiсце (2), тобто ∃K > 0,
α > 0 : |G(t)| ≤ Ke−α|t| при всiх t 6= 0;
2) всi компоненти вектор-функцiї f(t, y0, y1, . . . , yk) є неперервними за всiма змiнни-
ми, T -перiодичними по t функцiями i maxt∈R |f(t, 0, . . . , 0)| ≤ f∗ < ∞;
3) |f(t, ỹ0, ỹ1, . . . , ỹk)−f(t, ˜̃y0, ˜̃y1, . . . , ˜̃yk)| ≤ l
∑k
i=0 |ỹi− ˜̃yi|, де t ∈ R, ỹi, ˜̃yi ∈ Rn, i = 0, k,
l = const > 0;
4)
2Kl(k + 1)
α
< 1.
Тодi iснує єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок γ = γ(t) системи рiвнянь (7).
Враховуючи теорему 1 i спiввiдношення (5), приходимо до висновку, що вектор-функцiя
x̄(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)γ(τ) dτ
є єдиним неперервним T -перiодичним розв’язком системи (3), тобто системи рiвнянь (1)
при ε = 0.
2. Перейдемо тепер до дослiдження T -перiодичних розв’язкiв системи рiвнянь (1) при
ε 6= 0.
Виконаємо в системi рiвнянь (1) взаємно однозначну замiну змiнних
x(t) = y(t) + x(t), (8)
де x(t) — T -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (1) при ε = 0. Тодi дослiдження питан-
ня про iснування T -перiодичного розв’язку системи рiвнянь (1) зводиться до дослiдження
iснування T -перiодичного розв’язку системи рiвнянь
ẏ(t) = Ay(t) + ϕ(t, y(t), y(λ1t), . . . , y(λkt)) + εΦ(t, y(t), y(λ1t), . . . , y(λkt), ε), (9)
де
ϕ (t, y(t), y(λ1t), . . . , y(λkt)) = f (t, y(t) + x(t), y(λ1t) + x(λ1t), . . . , y(λkt) + x(λkt))−
− f (t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)) ,
Φ (t, y(t), y(λ1t), . . . , y(λkt), ε) = F (t, y(t) + x(t), y(λ1t) + x(λ1t), . . . , y(λkt) + x(λkt), ε) .
Беручи до уваги умови 2, 3 теореми 1, легко переконатися, що вектор-функцiяϕ(t, y(t),
y(λ1t), . . . , y(λkt)) є неперервною за всiма змiнними, T -перiодичною по t, ϕ(t, 0, . . . , 0) ≡ 0
i задовольняє умову Лiпшиця
|ϕ(t, ỹ0, ỹ1, . . . , ỹk)− ϕ(t, ˜̃y0, ˜̃y1, . . . , ˜̃yk)| ≤ l1
k∑
i=0
|ỹi − ˜̃yi|,
де t ∈ R, ỹi, ˜̃yi ∈ Rn, i = 0, k, l1 = const > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ПРО ВЛАСТИВОСТI НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 335
Векторна функцiя Φ (t, y(t), y(λ1t), . . . , y(λkt), ε) також є неперервною за всiма змiн-
ними i T -перiодичною по t.
Для дослiдження питання про iснування T -перiодичних розв’язкiв системи рiвнянь (9)
виконаємо перетворення
ẏ(t) = Ay(t) + z(t), (10)
де z(t) ∈ C0, C0 — простiр неперервних на R T -перiодичних вектор-функцiй iз нормою
‖z(t)‖ = maxt |z(t)|. Тодi згiдно з (10) iз (9) безпосередньо випливає, що y(t) визначається
єдиним чином за допомогою рiвностi
y(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)z(τ)dτ, (11)
де G(t) визначається спiввiдношенням (6). В результатi перетворення (10) система рiв-
нянь (9) набирає вигляду
z(t) = ϕ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)z(τ)dτ,
+∞∫
−∞
G(λ1t− τ)z(τ)dτ, . . . ,
+∞∫
−∞
G(λkt− τ)z(τ)dτ
+
+ εΦ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)z(τ)dτ,
+∞∫
−∞
G(λ1t− τ)z(τ)dτ, . . . ,
+∞∫
−∞
G(λkt− τ)z(τ)dτ, ε
або
z(t) = ϕ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)z(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))z(λ1τ)dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))z(λkτ)dτ
+
+ εΦ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)z(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))z(λ1τ)dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))z(λkτ)dτ, ε
, (12)
де G(t) визначається за допомогою спiввiдношення (6).
Для системи рiвнянь (12) має мiсце наступна теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
336 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
Теорема 2. Нехай виконуються умови:
1) всi власнi значення aj , j = 1, n, матрицi A такi, що має мiсце (2), тобто ∃K > 0,
α > 0 : |G(t)| ≤ Ke−α|t| при всiх t 6= 0;
2) всi компоненти вектор-функцiй ϕ(t, y0, y1, . . . , yk), Φ(t, y0, y1, . . . , yk, ε) є неперерв-
ними за всiма змiнними, T -перiодичними по t функцiями;
3) ϕ(t, 0, . . . , 0) ≡ 0;
4) supt,ε |Φ(t, 0, . . . , 0, ε)| ≤ ∆;
5) |ϕ(t, ỹ0, ỹ1, . . . , ỹk)− ϕ(t, ˜̃y0, ˜̃y1, . . . , ˜̃yk)| ≤ l1
∑k
i=0 |ỹi − ˜̃yi|,
|Φ(t, ỹ0, ỹ1, . . . , ỹk, ε)− Φ(t, ˜̃y0, ˜̃y1, . . . , ˜̃yk, ε)| ≤ l2
k∑
i=0
|ỹi − ˜̃yi|,
де t ∈ R, ỹi, ˜̃yi ∈ Rn, i = 0, k, l1 = const > 0, l2 = const > 0;
6)
2K(k + 1)(l1 + εl2)
α
< 1.
Тодi iснує єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок γ̃ = γ̃(t, ε) системи рiвнянь
(12) такий, що limε→0 γ̃(t, ε) = 0.
Доведення. Розв’язок системи рiвнянь (12) побудуємо за допомогою методу послiдов-
них наближень, якi визначимо формулами
z0(t, ε) ≡ 0,
zm(t, ε) = ϕ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)zm−1(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))zm−1(λ1τ, ε)dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))zm−1(λkτ, ε)dτ
+
+ εΦ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)zm−1(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))zm−1(λ1τ, ε)dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))zm−1(λkτ, ε)dτ, ε
, m = 1, 2, . . . . (13)
Покажемо спочатку, що при всiх m = 1, 2, . . . , t ∈ R виконуються спiввiдношення
|zm(t, ε)− zm−1(t, ε)| ≤ ε∆θm−1, (14)
де
θ :=
2K(k + 1)(l1 + εl2)
α
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ПРО ВЛАСТИВОСТI НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 337
Справдi, зважаючи на умови теореми, маємо
|z1(t, ε)− z0(t, ε)| ≤ |ϕ(t, 0, . . . , 0) + εΦ(t, 0, . . . , 0, ε)| ≤ ε|Φ(t, 0, . . . , 0, ε)| ≤ ε∆,
тобто при m = 1 оцiнка (14) має мiсце. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що
оцiнку (14) доведено для деякого m ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi
вiд m до m+ 1. Дiйсно, беручи до уваги умови теореми, iз (13) одержуємо
|zm+1(t, ε)− zm(t, ε)| ≤ (l1 + εl2)
+∞∫
−∞
|G(t− τ)||zm(τ, ε)− zm−1(τ, ε)|dτ +
+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
|G(λi(t− τ))||zm(λiτ, ε)− zm−1(λiτ, ε)|dτ
≤
≤ (l1 + εl2)
+∞∫
−∞
Ke−α|t−τ |ε∆θm−1dτ +
+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
Ke−αλi|t−τ |ε∆θm−1dτ
≤
≤ ε∆θm−1(l1 + εl2)K
+∞∫
−∞
e−α|t−τ |dτ +
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
e−αλi|t−τ |dτ
≤
≤ ε∆θm−1(l1 + εl2)K
(
2
α
+
k∑
i=1
λi
2
αλi
)
=
= ε∆θm−1(l1 + εl2)K
2(k + 1)
α
= ε∆θm.
Цим доведено, що оцiнка (14) має мiсце для довiльного m ≥ 1.
По iндукцiї покажемо, що наближення zm(t, ε), m = 0, 1, 2, . . . , є T -перiодичними
вектор-функцiями по t, тобто
zm(t+ T, ε) = zm(t, ε), m = 0, 1, . . . . (15)
Дiйсно, згiдно з умовами теореми маємо z0(t+ T, ε) = z0(t, ε) ≡ 0, тобто спiввiдношення
(15) виконується при m = 0. Припустимо, що спiввiдношення (15) доведено для деякого
m ≥ 0, i покажемо, що воно не змiниться при переходi вiд m до m + 1. Справдi, iз (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
338 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
маємо
zm+1(t+ T, ε) =ϕ
t+T, +∞∫
−∞
G(t+ T − τ)zm(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t+ T − τ))zm(λ1τ, ε)dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t+ T − τ))zm(λkτ, ε)dτ
+
+ εΦ
t+ T,
+∞∫
−∞
G(t+ T − τ)zm(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t+ T − τ))zm(λ1τ, ε)dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t+ T − τ))zm(λkτ, ε)dτ, ε
=
= ϕ
t, +∞∫
−∞
G(t− s)zm(s, ε)ds, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− s))zm(λ1s, ε)ds, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− s))zm(λks, ε)ds
+
+ εΦ
t, +∞∫
−∞
G(t− s)zm(s, ε)ds, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− s))zm(λ1s, ε)ds, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− s))zm(λks, ε)ds, ε
= zm+1(t, ε).
Отже, спiввiдношення (15) виконуються при всiх m ≥ 0.
Таким чином, всi наближення zm(t, ε), m = 0, 1, 2, . . . , мають змiст, є неперервними
T -перiодичними вектор-функцiями i для них справджуються оцiнки (14). Враховуючи
умову 6 теореми i (14), приходимо до висновку, що ряд
+∞∑
m=1
(zm(t, ε)− zm−1(t, ε))
рiвномiрно збiгається для довiльного t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної вектор-
функцiї γ̃ = γ̃(t, ε), яка є розв’язком системи рiвнянь (12) (це легко показати, якщо в (13)
перейти до границi при m → +∞). При цьому
|γ̃(t, ε)| ≤
+∞∑
m=1
|zm(t, ε)− zm−1(t, ε)| ≤
+∞∑
m=1
ε∆θm−1 = ε∆
1
1− θ
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ПРО ВЛАСТИВОСТI НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 339
отже, limε→0 γ̃(t, ε) = 0.
Покажемо, що система (12) не має iнших неперервних T -перiодичних розв’язкiв. Дiйс-
но, нехай iснує ще один неперервний T -перiодичний розв’язок η(t, ε) системи рiвнянь (12)
такий, що γ̃(t, ε) 6= η(t, ε). Тодi одержуємо
|γ̃(t, ε)− η(t, ε)| ≤ (l1 + εl2)
+∞∫
−∞
|G(t− τ)||γ̃(τ, ε)− η(τ, ε)|dτ+
+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
|G(λi(t− τ))||γ̃(λiτ, ε)− η(λiτ, ε)|dτ
≤
≤ (l1 + εl2)
+∞∫
−∞
Ke−α|t−τ ||γ̃(τ, ε)− η(τ, ε)|dτ+
+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
Ke−αλi|t−τ ||γ̃(λiτ, ε)− η(λiτ, ε)|dτ
≤
≤ (l1 + εl2)
2K(k + 1)
α
max
t
|γ̃(t, ε)− η(t, ε)|.
Отже,
‖γ̃(t, ε)− η(t, ε)‖ ≤ θ‖γ̃(t, ε)− η(t, ε)‖.
Одержане спiввiдношення може мати мiсце лише у випадку, коли θ ≥ 1, що супере-
чить умовi 6 теореми. Цим доведено, що вектор-функцiя γ̃(t, ε) є єдиним неперервним
T -перiодичним розв’язком системи рiвнянь (12).
Теорему доведено.
Враховуючи теорему 2 i спiввiдношення (11), знаходимо, що вектор-функцiя
ỹ(t, ε) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)γ̃(τ, ε)dτ
є єдиним неперервним T -перiодичним розв’язком системи рiвнянь (1) при ε 6= 0, для яко-
го limε→0 ỹ(t, ε) = 0.
Таким чином, враховуючи (8) i теореми 1, 2, приходимо до висновку, що система рiв-
нянь (1) має єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок
x̂(t, ε) = ỹ(t, ε) + x̄(t)
такий, що limε→0 x̂(t, ε) = x̄(t), де x̄(t) — T -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (1) при
ε = 0, а ỹ(t, ε) — T -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (1) при ε 6= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
340 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. Kwapisz M. On the existence and uniqueness of solutions of certain integral-differential equation // Ann. pol.
math. — 1975. — 31, № 1. — P. 23 – 41.
3. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 6. —
С. 737 – 747.
4. Денисенко Н. Л. Перiодичнi розв’язки систем диференцiально-функцiональних рiвнянь iз лiнiйними
вiдхиленнями аргументу та їх властивостi // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 2. — С. 168 – 179.
5. Денисенко Н. Л. Дослiдження властивостей розв’язкiв систем диференцiально-функцiональних рiв-
нянь iз лiнiйно перетвореним аргументом: Автореф. дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. — Київ, 2009. —
20 с.
6. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с пе-
риодическими и условно периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1985. — 216 с.
7. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
Одержано 20.12.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
|