Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь
Получены условия существования непрерывных решений одного класса систем линейных разностно-функциональных уравнений и исследованы их свойства. We find conditions for a certain class of linear difference-functional equations to have continuous solutions and study properties of such solutions....
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177093 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь / Т. О. Єрьоміна // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 341-350 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177093 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Єрьоміна, Т.О. 2021-02-10T13:00:00Z 2021-02-10T13:00:00Z 2014 Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь / Т. О. Єрьоміна // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 341-350 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177093 517.9 Получены условия существования непрерывных решений одного класса систем линейных разностно-функциональных уравнений и исследованы их свойства. We find conditions for a certain class of linear difference-functional equations to have continuous solutions and study properties of such solutions. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь Исследование структуры множества непрерывных решений систем линейных разностно-функциональных уравнений On the structure of the set of continuous solutions of linear systems of difference-functional equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| spellingShingle |
Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь Єрьоміна, Т.О. |
| title_short |
Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| title_full |
Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| title_fullStr |
Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| title_sort |
дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| author |
Єрьоміна, Т.О. |
| author_facet |
Єрьоміна, Т.О. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Исследование структуры множества непрерывных решений систем линейных разностно-функциональных уравнений On the structure of the set of continuous solutions of linear systems of difference-functional equations |
| description |
Получены условия существования непрерывных решений одного класса систем линейных разностно-функциональных уравнений и исследованы их свойства.
We find conditions for a certain class of linear difference-functional equations to have continuous solutions and study properties of such solutions.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177093 |
| citation_txt |
Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницево-функціональних рівнянь / Т. О. Єрьоміна // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 341-350 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT êrʹomínato doslídžennâstrukturimnožinineperervnihrozvâzkívsistemlíníinihríznicevofunkcíonalʹnihrívnânʹ AT êrʹomínato issledovaniestrukturymnožestvanepreryvnyhrešeniisistemlineinyhraznostnofunkcionalʹnyhuravnenii AT êrʹomínato onthestructureofthesetofcontinuoussolutionsoflinearsystemsofdifferencefunctionalequations |
| first_indexed |
2025-11-25T22:45:16Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:45:16Z |
| _version_ |
1850570960365682688 |
| fulltext |
УДК 517.9
ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ
НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ
РIЗНИЦЕВО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
Т. О. Єрьомiна
Нац. техн. ун-т України „КПI”
Україна, 03056, Київ, просп. Перемоги, 37
We find conditions for a certain class of linear difference-functional equations to have continuous solutions
and study properties of such solutions.
Получены условия существования непрерывных решений одного класса систем линейных раз-
ностно-функциональных уравнений и исследованы их свойства.
Розглянемо систему лiнiйних рiвнянь вигляду
x(qt) = A(t)x(t) +B(t)x(t+ 1) + F (t), (1)
де t ∈ <+ = [0,+∞), A(t), B(t) — дiйснi (n×n)-матрицi, F (t) — дiйсний вектор розмiрнос-
тi n, q — деяка дiйсна стала, яка поєднує в собi властивостi рiзницевих i q-рiзницевих
(функцiональних) рiвнянь, що були об’єктом дослiдження багатьох математикiв (див. [1 –
7] та наведену там бiблiографiю). Продовжуючи цi дослiдження, в данiй статтi будемо
вивчати питання iснування неперервних розв’язкiв рiзницево-функцiональних рiвнянь ви-
гляду (1) зi сталими коефiцiєнтами.
Розглянемо систему однорiдних рiвнянь вигляду
x(qt) = Ax(t) +Bx(t+ 1), (2)
деA, B — дiйснi сталi (n×n)-матрицi, q — деяка дiйсна стала. При цьому вiдносно матрицi
A припустимо, що її власнi значення λi, i = 1, . . . , n, задовольняють умови
λi 6= λj , |λi| 6= 0, 1, i, j = 1, . . . , n.
Тодi iснує замiна змiнних
x(t) = Cy(t),
де C — деяка стала неособлива (n × n)-матриця, яка приводить систему рiвнянь (2) до
вигляду
y(qt) = Λy(t) + B̃y(t+ 1), (3)
де Λ = diag (λ1, . . . , λn), B̃ = C−1BC.
Розглянемо випадок, коли виконуються такi умови:
1) λi > 1, i = 1, . . . , n, 0 < q < 1,
c© Т. О. Єрьомiна, 2014
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3 341
342 Т. О. ЄРЬОМIНА
2) ∆ =
b̃
λ∗ − 1
< 1, де b̃ = |B̃| = max
i
∑
j |b̃ij |, λ∗ = min{λi, i = 1, . . . , n}.
Справджується така теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються умови 1, 2. Тодi система рiвнянь (3) має сiм’ю не-
перервних обмежених при t ≥ T > 0 (T — деяка достатньо велика додатна стала)
розв’язкiв y(t) = y
(
t, ω
(
ln t
ln q
))
, що залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної
вектор-функцiї ω(τ).
Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (3) має неперервнi розв’язки у виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (4)
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (4) в (3),
отримуємо
∞∑
i=0
yi(qt) = Λ
∞∑
i=0
yi(t) + B̃
∞∑
i=0
yi(t+ 1).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послi-
довностi систем рiвнянь
y0(qt) = Λy0(t), (50)
yi(qt) = Λyi(t) + B̃yi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . , (5i)
то ряд (4) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (3).
Система рiвнянь (50) має множину неперервних при t ≥ T > 0 розв’язкiв вигляду
y0(t) = tνω
(
ln t
ln q
)
, (60)
де ω(τ) = (ω1(τ), ω2(τ), . . . , ωn(τ)), ωi(τ), i = 1, . . . , n, — довiльнi неперервнi 1-перiодичнi
функцiї,
tν = diag
(
t
lnλ1
ln q , t
lnλ2
ln q , . . . , t
lnλn
ln q
)
.
Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (5i), i = 1, 2, . . . , можна переконатися, що
вони мають формальнi розв’язки у виглядi рядiв
yi(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1)B̃yi−1(q
jt+ 1), i = 1, 2, . . . . (6i)
Покажемо, що при виконаннi умов 1, 2 ряди (5i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до
деяких неперервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки
|yi(t)| ≤ M∆i, i = 1, 2, . . . . (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 343
Дiйсно, оскiльки
|y0(t)| ≤ |tv||ω(τ)| ≤ t
lnλ∗
ln q |ω(τ)| ≤ M
t
∣∣∣ lnλ∗ln q
∣∣∣ ,
де M = max
τ
|ω(τ)|, то на пiдставi (61) i
lnλ∗
ln q
< 0 отримуємо
|y1(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣Λ−1∣∣j+1 |B̃|
∣∣y0(qjt+ 1)
∣∣ ≤ ∞∑
j=0
(
1
λ∗
)j+1
b̃M
1
(qjt+ 1)
∣∣∣ lnλ∗ln q
∣∣∣ ≤
≤ Mb̃
λ∗
∞∑
j=0
(
1
λ∗
)j
≤ Mb̃
λ∗
1
1− 1
λ∗
=
Mb̃
λ∗ − 1
= M∆.
Отже, оцiнка (7) справджується при i = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо,
що оцiнку (7) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для i + 1. Дiйсно,
оскiльки
yi+1(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1)B̃yi(q
jt+ 1), i = 1, 2, . . . , (8)
то
|yi+1(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣Λ−1∣∣j+1 |B̃|
∣∣yi(qjt+ 1)
∣∣ ≤ b̃M
∞∑
j=0
(
1
λ∗
)j+1
∆i ≤
≤ Mb̃
λ∗
∆i
1− 1
λ∗
=
Mb̃∆i
λ∗ − 1
= M∆i+1. (9)
Отже, ряди (6i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при всiх t ≥ T > 0 до деяких непе-
рервних функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки (7). Iз (7) безпосередньо
випливає, що ряд (4) рiвномiрно збiгається при всiх t ≥ T > 0 до деякої неперервної
функцiї y(t), яка задовольняє умову
|y(t)| ≤
∞∑
i=0
|yi(t)| ≤ M
∞∑
i=0
∆i ≤ M
1−∆
. (10)
Теорему 1 доведено.
Розглянемо тепер систему неоднорiдних рiвнянь вигляду
y(qt) = Λy(t) + B̃y(t+ 1) + F (t), (11)
де матрицi Λ = diag (λ1, . . . , λn), B̃, стала q i вектор-функцiя F (t) задовольняють такi
умови:
1) λi > 1, i = 1, . . . , n, 0 < q < 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
344 Т. О. ЄРЬОМIНА
2) ∆ =
b̃
λ∗ − 1
< 1, де b̃ = |B̃| = max
i
∑
j
|b̃ij |, λ∗ = min {λi, i = 1, . . . , n} ,
3) всi елементи вектор-функцiї F (t) є неперервними обмеженими при всiх t ∈ <функ-
цiями i sup
t
|F (t)| = M̃ < +∞.
Для системи (11) справедливою є така теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi система рiвнянь (11) має неперервний
обмежений при t ∈ < розв’язок ȳ(t) у виглядi ряду
ȳ(t) =
∞∑
i=0
ȳi(t), (12)
де ȳi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi обмеженi при t ∈ <+ вектор-функцiї.
Доведення. Пiдставляючи (12) в (11), отримуємо
∞∑
i=0
ȳi(qt) = Λ
∞∑
i=0
ȳi(t) + B̃
∞∑
i=0
ȳi(t+ 1) + F (t). (13)
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї ȳi(t), i = 0, 1, . . . , задоволь-
няють системи рiвнянь
ȳ0(qt) = Λȳ0(t) + F (t), (140)
ȳi(qt) = Λȳi(t) + B̃ȳi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . , (14i)
то ряд (12) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (11).
Система рiвнянь (140) має формальний розв’язок у виглядi ряду
ȳ0(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1)F (qjt). (150)
Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (14i), i = 1, 2, . . . , можна переконатися, що вони
також мають формальнi розв’язки у виглядi рядiв
ȳi(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1)B̃ȳi−1(q
jt+ 1), i = 1, 2, . . . . (15i)
Покажемо, що ряди (15i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних
вектор-функцiй ȳi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки
|ȳi(t)| ≤ M̃ ′∆i, i = 1, 2, . . . , (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 345
де M̃ ′ — деяка додатна стала. Дiйсно, оскiльки
|ȳ0(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣∣Λ−(j+1)
∣∣∣ ∣∣F (qjt)∣∣ ≤ ∞∑
j=0
∣∣Λ−1∣∣j+1 |F (qjt)| ≤
∞∑
j=0
(
1
λ∗
)j+1
M̃ ≤
≤ M̃
λ∗
∞∑
j=0
(
1
λ∗
)j
≤ M̃
λ∗
1
1− 1
λ∗
≤ M̃
λ∗ − 1
= M̃ ′, (17)
то на пiдставi (151) отримуємо
|ȳ1(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣∣Λ−(j+1)
∣∣∣ |B̃||ȳ0(qjt+ 1)| ≤
∞∑
j=0
∣∣Λ−1∣∣j+1 |B̃|
∣∣ȳ0(qjt+ 1)
∣∣ ≤
≤
∞∑
j=0
(
1
λ∗
)j+1
b̃M̃ ′ ≤ M̃ ′b̃
λ∗
1
1− 1
λ∗
=
M̃ ′b̃
λ∗ − 1
= M̃ ′∆. (18)
Отже, оцiнка (18) справджується при i = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо,
що оцiнку (18) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для i+ 1. Дiйсно,
оскiльки
ȳi+1(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1)B̃ȳi(q
jt+ 1), i = 1, 2, . . . , (19)
то
|ȳi+1(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣Λ−1∣∣j+1 |B̃||ȳi(qjt+ 1)| ≤ b̃M̃ ′
∞∑
j=0
(
1
λ∗
)j+1
∆i ≤
≤ M̃ ′b̃
λ∗
∆i
1− 1
λ∗
=
M̃ ′b̃∆i
λ∗ − 1
= M̃ ′∆i+1. (20)
Отже, ряди (15i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при всiх t ≥ T > 0 до деяких не-
перервних функцiй ȳi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки (16). Звiдси випливає,
що ряд (12) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ < до деякої неперервної функцiї ȳ(t), яка
задовольняє умову
|ȳ(t)| ≤
∞∑
i=0
|ȳi(t)| ≤ M̃ ′
∞∑
i=0
∆i ≤ M̃ ′
1−∆
. (21)
Теорему 2 доведено.
Дослiдимо тепер рiвняння (3) у випадку, коли 0 < λi < 1, i = 1, . . . , n, q > 1,
t ≥ T > 0.
Теорема 3. Нехай виконуються такi умови:
1) 0 < λi < 1, i = 1, . . . , n, q > 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
346 Т. О. ЄРЬОМIНА
2) ∆ =
b̃
1− λ∗
< 1, де b̃ = |B̃| = max
i
∑
j |b̃ij |, λ∗ = max{λi, i = 1, . . . , n}.
Тодi система рiвнянь (3) має сiм’ю неперервних обмежених при t ≥ T > 0 (T — деяка
достатньо велика додатна стала) розв’язкiв y(t) = y
(
t, ω
(
ln t
ln q
))
, що залежать вiд
довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(τ).
Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (3) має неперервнi розв’язки у виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (22)
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (22) в (3),
отримуємо
∞∑
i=0
yi(qt) = Λ
∞∑
i=0
yi(t) + B̃
∞∑
i=0
yi(t+ 1).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послi-
довностi систем рiвнянь
y0(qt) = Λy0(t), (230)
yi(qt) = Λyi(t) + B̃yi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . , (23i)
то ряд (22) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (3).
Система рiвнянь (230) має множину неперервних при t ≥ T > 0 розв’язкiв вигляду
y0(t) = tνω
(
ln t
ln q
)
, (240)
де ω(τ) = (ω1(τ), ω2(τ), . . . , ωn(τ)), ωi(τ), i = 1, . . . , n, — довiльнi неперервнi 1-перiодичнi
функцiї,
tν = diag
(
t
lnλ1
ln q , t
lnλ2
ln q , . . . , t
lnλn
ln q
)
.
Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (23i), i = 1, 2, . . . , можна переконатися, що
вони мають формальнi розв’язки у виглядi рядiв
yi(t) =
∞∑
j=0
ΛjB̃yi−1(q
−(j+1)t+ 1), i = 1, 2, . . . . (24i)
Покажемо, що при виконаннi умов 1, 2 ряди (24i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до
деяких неперервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки
|yi(t)| ≤ M∆i, i = 1, 2, . . . . (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 347
Дiйсно, оскiльки |y0(t)| ≤ |tv| |ω(τ)| ≤ t
lnλ∗
ln q |ω(τ)| ≤ t
lnλ∗
ln q M, де M = max
τ
|ω(τ)|, λ∗ =
= min{λi, i = 1, . . . , n}, то, враховуючи (231) i
lnλ∗
ln q
< 0, отримуємо
|y1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ|j |B̃|
∣∣∣y0(q−(j+1)t+ 1)
∣∣∣ ≤ ∞∑
j=0
|Λ|j |B̃|
(
1
qj+1
t+ 1
) lnλ∗
ln q
M ≤
≤ M
∞∑
j=0
(λ∗)j b̃ ≤ Mb̃
1− λ∗
≤ M∆. (26)
Отже, оцiнка (25) справджується при i = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо,
що оцiнку (25) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для i+ 1. Дiйсно,
оскiльки
yi+1(t) =
∞∑
j=0
ΛjB̃yi(q
−(j+1)t+ 1), i = 1, 2, . . . ,
то
|yi+1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ|j |B̃|
∣∣∣yi(q−(j+1)t+ 1)
∣∣∣ ≤ Mb̃
∞∑
j=0
(λ∗)j ∆i ≤ Mb̃∆i
1− λ∗
= M∆i+1.
Отже, ряди (24i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при всiх t ≥ T > 0 до деяких
неперервних функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки (25). Iз (25) без-
посередньо випливає, що ряд (22) рiвномiрно збiгається при всiх t ≥ T > 0 до деякої
неперервної функцiї y(t), яка задовольняє умову
|y(t)| ≤
∞∑
i=0
|yi(t)| ≤ M
∞∑
i=0
∆i ≤ M
1−∆
.
Теорему 3 доведено.
Розглянемо тепер неоднорiдне рiвняння вигляду (11), для якого виконуються умови
1, 2 теореми 3, всi елементи вектор-функцiї F (t) є неперервними обмеженими при всiх
t ∈ < функцiями i sup
t
|F (t)| = M̃ < +∞.
Аналогiчно тому, як було доведено теорему 2, можна показати, що рiвняння (13) має
неперервний обмежений при t ∈ < розв’язок ȳ(t), який можна подати у виглядi ряду
ȳ(t) =
∞∑
i=0
ȳi(t),
в якому функцiї ȳi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi рiвнянь
ȳ0(qt) = Λȳ0(t) + F (t),
ȳi(qt) = Λȳi(t) + B̃ȳi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
348 Т. О. ЄРЬОМIНА
i визначаються за допомогою спiввiдношень
ȳ0(t) =
∞∑
j=0
ΛjF
(
q−(j+1)t
)
,
ȳi(t) =
∞∑
j=0
ΛjB̃ȳi−1(q
−(j+1)t+ 1), i = 1, 2, . . . .
Зауваження. Виконавши в (11) замiну змiнних
y(t) = z(t) + ȳ(t), (27)
отримаємо систему рiвнянь (3) вiдносно вектор-функцiї z(t), для якої справджується тео-
рема 1.
У випадку, коли B̃ = ˜̃B(t), також мають мiсце аналогiчнi результати щодо iснування
неперервних розв’язкiв системи рiвнянь (11). Наприклад, для системи рiвнянь
y(qt) = Λy(t) + ˜̃B(t)y(t+ 1) + F̃ (t), (28)
де матриця Λ = diag (λ1, . . . , λn), q — стала, ˜̃B(t) : < → <n2
, F̃ (t) : < → <n, має мiсце
наступна теорема.
Теорема 4. Нехай виконуються умови:
1) λi > 1, i = 1, . . . , n, 0 < q < 1, t ≥ 0;
2) ∆̃ =
b̃∗
λ∗ − 1
< 1;
3) всi елементи вектор-функцiй F̃ (t) та ˜̃B(t) є неперервними й обмеженими функцiя-
ми при всiх t ∈ < i такими, що sup
t
|F̃ (t)| = M̃∗ < +∞, sup
t
| ˜̃B(t)| = b̃∗ < +∞.
Тодi система рiвнянь (28) має неперервний обмежений при t ∈ < розв’язок y(t) у
виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t),
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi обмеженi при t ∈ < вектор-функцiї.
Розглянемо тепер однорiдну систему рiвнянь вигляду (3) при λi < 0, i = 1, . . . , n, у
випадках, коли виконуються такi умови:
1) |λi| > 1, i = 1, . . . , n, 0 < q < 1,
2) |λi| < 1, i = 1, . . . , n, q > 1.
Покажемо, що така система рiвнянь має розв’язки у виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (29)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ . . . 349
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (29) у (3),
отримуємо
∞∑
i=0
yi(qt) = Λ
∞∑
i=0
yi(t) + B̃
∞∑
i=0
yi(t+ 1),
звiдки випливає, що якщо вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi
систем рiвнянь
y0(qt) = Λy0(t), (300)
yi(qt) = Λyi(t) + B̃yi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . , (30i)
то ряд (29) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (3).
Система рiвнянь (300) має множину неперервних при t ≥ T > 0 розв’язкiв вигляду
y0(t) = tνω
(
ln t
ln q
)
, (310)
де ω(τ) = (ω1(τ), ω2(τ), . . . , ωn(τ)), ωi(τ), i = 1, . . . , n, — довiльнi неперервнi вектор-
функцiї, що задовольняють умову ωi(τ + 1) = −ωi(τ), i
tν = diag
(
t
ln |λ1|
ln q , t
ln |λ2|
ln q , . . . , t
ln |λn|
ln q
)
.
Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (5i), i = 1, 2, . . . , можна переконатися, що
вони мають формальнi розв’язки у виглядi рядiв
yi(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1)B̃yi−1(q
jt+ 1), i = 1, 2, . . . . (31i)
Аналогiчно тому, як було доведено теорему 1, можна показати, що при виконаннi умови 1
теореми 4 i ∆ =
b̃
λ∗ − 1
< 1, де b̃ = |B̃| = max
i
∑
j |b̃ij |, λ∗ = min {|λi|, i = 1, . . . , n} , ряди
(31i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних вектор-функцiй yi(t),
i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки
|yi(t)| ≤ M∆i, i = 1, 2, . . . . (32)
Отже, ряди (31i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при всiх t ≥ T > 0 до деяких
неперервних функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки (32). Iз (32) без-
посередньо випливає, що ряд (29) рiвномiрно збiгається при всiх t ≥ T > 0 до деякої
неперервної функцiї y(t), яка задовольняє умову
|y(t)| ≤ M
1−∆
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
350 Т. О. ЄРЬОМIНА
Тим самим доведено наступну теорему.
Теорема 5. Нехай виконуються умови:
1) |λi| > 1, i = 1, . . . , n, λi < 0, 0 < q < 1,
2) ∆ =
b̃
λ∗ − 1
< 1, де b̃ = |B̃| = max
i
∑
j
|b̃ij |, λ∗ = min{|λi|, i = 1, . . . , n}.
Тодi система рiвнянь (3) має сiм’ю неперервних обмежених при t ≥ T > 0 (T — деяка
достатньо велика додатна стала) розв’язкiв y(t) = y
(
t, ω
(
ln t
ln q
))
, що залежать вiд
довiльної неперервної вектор-функцiї ω(τ) такої, що ω(τ + 1) = −ω(τ).
Аналогiчно доведенню теореми 3 можна встановити подiбний результат для випадку
|λi| < 1, i = 1, . . . , n, λi < 0, q > 1.
1. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1911. — 12. —
P. 243 – 284.
2. Agarwal R. P. Difference equations and inequalities // Theory, methods and Appl. — Second Ed. — 2000. —
972 р.
3. Trjitzinsky W. J. Analytic theory of linear q-difference equations // Theory, Methods and Appl. — 1933. —
61. — P. 1 – 38.
4. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1972. —
248 с.
5. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. — М.: Наука,
1986. — 128 с.
6. Пелюх Г. П. К теории систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Докл.
АН. — 2006. — 73, № 2. — С. 269 – 272.
7. Пелюх Г. П., Сивак О. А. Про структуру множини неперервних розв’язкiв функцiонально-рiзницевих
рiвнянь з лiнiйно перетвореним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2010. — 13, № 1. — С. 75 – 95.
Одержано 25.02.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
|