Робастна стабілізація нелінійних механічних систем

Рассматриваются задачи робастной стабилизации и оптимизации состояний равновесия нелинейных механических систем. Для линейных систем с обратной связью по измеряемому выходу сформулированы достаточные условия стабилизируемости с помощью наблюдателей состояний полного порядка. Приведены решение общей...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
1. Verfasser:	Купріянчик, Л.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2014
Schriftenreihe:	Нелінійні коливання
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177095
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Робастна стабілізація нелінійних механічних систем / Л.В. Купріянчик // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 462-475 — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177095
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1770952025-02-10T00:53:07Z Робастна стабілізація нелінійних механічних систем Робастная стабилизация нелинейных механических систем Robust stabilization of nonlinear mechanical systems Купріянчик, Л.В. Рассматриваются задачи робастной стабилизации и оптимизации состояний равновесия нелинейных механических систем. Для линейных систем с обратной связью по измеряемому выходу сформулированы достаточные условия стабилизируемости с помощью наблюдателей состояний полного порядка. Приведены решение общей задачи робастной стабилизации и оценки квадратичного критерия качества семейства нелинейных систем на примерах однозвенного маятника на подвижной платформе в верхнем положении равновесия и маятника с маховичным управлением. Применение полученных результатов сводится к решению систем линейных матричных неравенств. The work is devoted to the problems of robust stabilization and optimization of the equilibrium states of nonlinear mechanical systems. Sufficient conditions for stabilization of a linear system with a measured output feedback are formulated by means of the full order state observer. The solution of the general problem of robust stabilization and evaluation of the quadratic performance criterion for a family of nonlinear systems are demonstrated with examples of an inverted pendulum and a flywheel pendulum. Application of the results reduces to solving systems of linear matrix inequalities. 2014 Article Робастна стабілізація нелінійних механічних систем / Л.В. Купріянчик // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 462-475 — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177095 517.93; 519.711 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Рассматриваются задачи робастной стабилизации и оптимизации состояний равновесия нелинейных механических систем. Для линейных систем с обратной связью по измеряемому выходу сформулированы достаточные условия стабилизируемости с помощью наблюдателей состояний полного порядка. Приведены решение общей задачи робастной стабилизации и оценки квадратичного критерия качества семейства нелинейных систем на примерах однозвенного маятника на подвижной платформе в верхнем положении равновесия и маятника с маховичным управлением. Применение полученных результатов сводится к решению систем линейных матричных неравенств.
format	Article
author	Купріянчик, Л.В.
spellingShingle	Купріянчик, Л.В. Робастна стабілізація нелінійних механічних систем Нелінійні коливання
author_facet	Купріянчик, Л.В.
author_sort	Купріянчик, Л.В.
title	Робастна стабілізація нелінійних механічних систем
title_short	Робастна стабілізація нелінійних механічних систем
title_full	Робастна стабілізація нелінійних механічних систем
title_fullStr	Робастна стабілізація нелінійних механічних систем
title_full_unstemmed	Робастна стабілізація нелінійних механічних систем
title_sort	робастна стабілізація нелінійних механічних систем
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2014
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177095
citation_txt	Робастна стабілізація нелінійних механічних систем / Л.В. Купріянчик // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 462-475 — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT kupríânčiklv robastnastabílízacíânelíníinihmehaníčnihsistem AT kupríânčiklv robastnaâstabilizaciânelineinyhmehaničeskihsistem AT kupríânčiklv robuststabilizationofnonlinearmechanicalsystems
first_indexed	2025-12-02T07:48:04Z
last_indexed	2025-12-02T07:48:04Z
_version_	1850381890418114560
fulltext	УДК 517.93; 519.711 РОБАСТНА СТАБIЛIЗАЦIЯ НЕЛIНIЙНИХ МЕХАНIЧНИХ СИСТЕМ Л. В. Купрiянчик Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3 e-mail: Lyudmyla.mail@gmail.com The work is devoted to the problems of robust stabilization and optimization of the equilibrium states of nonlinear mechanical systems. Sufficient conditions for stabilization of a linear system with a measured output feedback are formulated by means of the full order state observer. The solution of the general problem of robust stabilization and evaluation of the quadratic performance criterion for a family of nonlinear systems are demonstrated with examples of an inverted pendulum and a flywheel pendulum. Application of the results reduces to solving systems of linear matrix inequalities. Рассматриваются задачи робастной стабилизации и оптимизации состояний равновесия нели- нейных механических систем. Для линейных систем с обратной связью по измеряемому выходу сформулированы достаточные условия стабилизируемости с помощью наблюдателей состо- яний полного порядка. Приведены решение общей задачи робастной стабилизации и оценки квадратичного критерия качества семейства нелинейных систем на примерах однозвенного маятника на подвижной платформе в верхнем положении равновесия и маятника с маховичным управлением. Применение полученных результатов сводится к решению систем линейных мат- ричных неравенств. 1. Вступ. Динамiка широкого класу керованих механiчних об’єктiв описується системами нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку A2ẍ+A1ẋ+A0x = B0u, y = C0x+ C1ẋ+Du, (1) де x i ẋ ∈ Rn — вектори узагальнених координат та швидкостей, u ∈ Rm — вектор керу- вання, y ∈ Rl — вектор вимiрюваного виходу, а матричнi коефiцiєнти A0, A1, A2, B0, C0, C1 i D вiдповiдних розмiрiв можуть неперервно залежати вiд x, ẋ i t в околi iзольованого стану рiвноваги x = ẋ = 0 при t ≥ 0.Системи керування такого типу будуються на основi рiвнянь Лагранжа другого роду i можуть мiстити невизначенi параметри, коефiцiєнти або функцiї. При цьому вiдповiднi елементи невизначеностi описують деякi множини, якi ха- рактеризують робастнiсть (грубiсть) математичної моделi. Як множини невизначеностi використовуються iнтервали, полiтопи, афiннi, елiпсоїдальнi сiм’ї матриць та iн. (див., на- приклад, [1 – 3]). Стан рiвноваги системи (1) називається робастно стiйким вiдносно заданої множини елементiв невизначеностi A, якщо вiн асимптотично стiйкий за Ляпуновим при кожних значеннях даних елементiв з A. Основна проблема теорiї робастної стiйкостi полягає в тому, щоб описати умови стiйкостi або нестiйкостi руху механiчної системи в термiнах вихiдних даних i множин невизначеностi. Однiєю з основних задач для системи (1) є побудова керування у виглядi статично- го зворотного зв’язку (СЗЗ) по виходу, що забезпечує асимптотичну стiйкiсть нульового стану рiвноваги. Ця задача вiдноситься до категорiї складних задач теорiї керування [4]. c© Л. В. Купрiянчик, 2014 462 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 РОБАСТНА СТАБIЛIЗАЦIЯ НЕЛIНIЙНИХ МЕХАНIЧНИХ СИСТЕМ 463 Навiть властивостi керованостi i спостережуваностi системи не гарантують для неї iсну- вання статичного стабiлiзуючого регулятора по виходу. В таких випадках в задачах ста- бiлiзацiї застосовуються динамiчний зворотний зв’язок (ДЗЗ) або СЗЗ по стану спосте- рiгача, що асимптотично вiдтворює стан системи (див., наприклад, [1, 3]). Огляд вiдомих методiв стабiлiзацiї лiнiйних систем за допомогою СЗЗ по виходу наведено у [5, 6]. У данiй статтi розглядаються задачi робастної стабiлiзацiї та оптимiзацiї станiв рiв- новаги нелiнiйних механiчних систем зi зворотним зв’язком по вимiрюваному виходу, що мiстить компоненти як фазових змiнних, так i керування. На пiдставi результатiв робiт [3, 7 – 9] пропонуються новi методи робастної стабiлiзацiї станiв рiвноваги нелiнiйних систем керування з ДЗЗ на основi спостережникiв стану повного порядку. Для систем стабiлiзацiї одноланкового маятника на рухомiй платформi та маятника з маховиковим керуванням iз невизначеними механiчними параметрами будуються спiльнi функцiї Ляпунова i верх- нi оцiнки квадратичних функцiоналiв якостi. Дослiджено залежнiсть радiуса робастної стабiлiзацiї вiд механiчних параметрiв. Практичне застосування одержаних результатiв зводиться до знаходження розв’язкiв систем диференцiальних або алгебраїчних лiнiйних матричних нерiвностей (ЛМН). Для розв’язання ЛМН зi сталими матрицями може бути використана ефективна процедура LMI Toolbox комп’ютерної системи MATLAB. Будемо використовувати такi позначення: Rn×m — простiр дiйсних матриць розмi- рiв n × m; In — одинична матриця порядку n; 0n×m — нульова матриця розмiрiв n × m; Co{A1, . . . , Aν} = { ∑ν i=1 αiAi : αi ≥ 0, ∑ν i=1 αi = 1}— опуклий многогранник (полiтоп) iз вершинами A1, . . . , Aν у просторi матриць; X = XT > 0 (≥ 0) — додатно (невiд’ємно) означена симетрична матриця X ; λmax(X) (λmin(X)) — максимальне (мiнiмальне) власне значення матрицi X ; σ(A) — спектр матрицi A. 2. Динамiчнi регулятори i спостережники стану повного порядку. Розглянемо лiнiйну систему керування Eẋ = Ax+Bu, y = Cx+Du, (2) де x ∈ Rn, u ∈ Rm i y ∈ Rl — вектори вiдповiдно стану, керування (входу) i спостережува- ного виходу об’єкта, A,E ∈ Rn×n — матрицi коефiцiєнтiв системи, B ∈ Rn×m — матриця входу, C ∈ Rl×n — матриця виходу по стану i D ∈ Rl×m — матриця виходу по керуван- ню (матриця обходу), яка визначає пряму залежнiсть виходу вiд входу. Припускаємо, що detE 6= 0, rankB = m i rankC = l. Побудуємо динамiчний регулятор для системи (2) у виглядi ДЗЗ ẇ = Zw + V y, (3) u = Uw +Ky, деw ∈ Rr — вектор стану регулятора,Z, V, U iK — невiдомi матрицi вiдповiдних розмiрiв r × r, r × l, m× r i m× l. В окремому випадку r = 0 маємо статичний регулятор u = Ky. При r 6= 0 спiввiдношення (2) i (3) можна записати у компактному виглядi Ê ˙̂x = Âx̂+ B̂û, ŷ = Ĉx̂+ D̂û, û = K̂ŷ, (4) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 464 Л. В. КУПРIЯНЧИК де x̂ = [ x w ] , ŷ = [ w y ] , û = [ ẇ u ] , K̂ = [ Z V U K ] , Ê = [ E 0n×r 0r×n Ir ] , Â = [ A 0n×r 0r×n 0r×r ] , B̂ = [ 0n×r B Ir 0r×m ] , Ĉ = [ 0r×n Ir C 0l×r ] , D̂ = [ 0r×r 0r×m 0l×r D ] , причому rank B̂ = r+m i rank Ĉ = r+l. Згiдно з (4) задачi керування, зокрема стабiлiзацiї i оптимiзацiї системи (2) з ДЗЗ (3), зводяться до аналогiчних задач керування зi СЗЗ. Введемо на множинi матриць KD = {K : det(Im −KD) 6= 0} нелiнiйний оператор D : Rm×l → Rm×l, D(K) = (Im −KD)−1K ≡ K(Il −DK)−1. Властивостi даного оператора, якi далi будемо використовувати, встановлено у [8]. Розглянемо систему керування (2) разом зi спостережником стану повного порядку, який описується так: Eẇ = Aw +Bu+ F (y − Cw −Du), (5) де w ∈ Rn — вектор стану спостережника, F — деяка невiдома матриця розмiрiв n × l (див., наприклад, [10]). При цьому керування для системи (2) будується у виглядi u = Uw +Ky. (6) Система (5) є асимптотичним спостережником стану системи (2), якщо e(t) = w(t)− x(t) → 0, t → ∞. (7) Покажемо, що при деяких додаткових обмеженнях задача стабiлiзацiї системи (2) на основi спостережника (5) зводиться до побудови стабiлiзуючого динамiчного регулятора (3) порядку r = n. Означення. Пара матриць (A,B) називається стабiлiзовною, якщо iснує матриця F така, що матриця M = A+BF гурвiцева, тобто Reλ < 0 ∀λ ∈ σ(M). Пара матриць (A,C) називається детектовною, якщо пара матриць (AT , CT ) стабiлiзовна. Стабiлiзовнiсть системи є бiльш слабкою вимогою, нiж її керованiсть. Лема. Нехай (Ã, B̃) i (Ã, C) — вiдповiдно стабiлiзовна i детектовна пари матриць, де Ã = E−1A, B̃ = E−1B. Тодi iснує динамiчний регулятор (3) у виглядi зворотного зв’язку (6) на основi спостережника стану (5) повного порядку r = n, що забезпечує умову (7) i асимптотичну стiйкiсть замкненої системи (2), (5), (6). Доведення. Покладемо EZ = A− FC + (B − FD)U, EV = F + (B − FD)K, (8) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 РОБАСТНА СТАБIЛIЗАЦIЯ НЕЛIНIЙНИХ МЕХАНIЧНИХ СИСТЕМ 465 де K ∈ KD, U ∈ Rm×n i F ∈ Rn×l — деякi матрицi. Тодi перше рiвняння у (3) описує дина- мiку спостережника (5), а замкнену систему (2), (5), (6) можна записати в еквiвалентному виглядi ˙̃x = M̃x̃, M̃ = [ M0 B̃(Im −KD)−1U 0n×n M1 ] , x̃ = [ x e ] , (9) де M0 = Ã+ B̃D(K)C + B̃(Im −KD)−1U, M1 = Ã−E−1FC, e = w− x — вектор вiдхилу. Зокрема, якщо K = 0, то M0 = Ã+ B̃U. Отже, за припущеннями iснують матрицi K, U i F такi, що дiйснi частини всiх влас- них значень дiагональних блокiв M0 i M1 матрицi M̃ вiд’ємнi i система (9) асимптотично стiйка. При цьому виконується умова (7), тобто (5) є асимптотичним спостережником системи (2). Шуканi матрицi стабiлiзуючого динамiчного регулятора (3) можна знайти за допомогою спiввiдношень (8) i U = −KC − (Im −KD)B̃TX−1, F = EY −1CT , (10) де K ∈ KD — довiльна матриця, а X = XT > 0 i Y = Y T > 0 — розв’язки вiдповiдних ЛМН (див., наприклад, [1]) ÃX +XÃT < 2B̃B̃T , ÃTY + Y Ã < 2CTC. (11) Лему доведено. 3. Робастна стабiлiзацiя нелiнiйних систем керування. Розглянемо систему керування (1), матриця iнерцiї A2 якої не залежить вiд часу t, i запишемо її у виглядi E(z)ż = A(z, t)z +B(z, t)u, y = C(z, t)z +D(z, t)u, (12) де z = [xT , ẋT ]T — вектор повного стану системи, E = [ In 0n×n 0n×n A2 ] , A = [ 0n×n In −A0 −A1 ] , B = [ 0n×m B0 ] , C = [C0, C1]. Побудуємо множину стабiлiзуючих керувань для системи (12) у виглядi статичного зворотного зв’язку: u = Ky, K = K∗ + ∆, ∆ ∈ K. (13) Тут K∗ ∈ Rm×l — матриця коефiцiєнтiв пiдсилення зворотного зв’язку, що забезпечує асимптотичну стiйкiсть нульового стану замкненої системи, а K = {∆ : ∆TP∆ ≤ Q}— елiпсоїдальна множина допустимих збурень матрицi K∗, яку описують додатно означенi матрицi P = P T > 0 i Q = QT > 0 вiдповiдних розмiрiв m×m i l × l. При цьому ‖∆‖ = √ λmax(∆T∆) ≤ ρ = √ λmax(Q) λmin(P ) , (14) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 466 Л. В. КУПРIЯНЧИК оскiльки λmin(P )∆T∆ ≤ ∆TP∆ ≤ Q ≤ λmax(Q)Il. Величину ρ в (14), яку визначає елiп- соїд K, будемо називати радiусом стабiлiзацiї системи (12). Ставиться задача встановлення умов, за якими нульовий стан замкненої системи керу- вання (12), (13) є асимптотично стiйким для кожної матрицi ∆ ∈ K i виконується оцiнка квадратичного функцiонала якостi J(u, z0) = ∞∫ 0 ϕ(z, u, t) dt ≤ ω, (15) де ϕ(z, u, t) = [ zT , uT ] Φ(t) [ z u ] , Φ(t) = [ S N NT R ] =  S0 S2 N0 ST2 S1 N1 NT 0 NT 1 R  , S ≥ NR−1NT + δIn, R > 0, δ > 0, t ≥ 0. (16) При розв’язаннi задачi застосовуємо метод квадратичних функцiй Ляпунова v(z, t) = = zTX(t)z з неперервно диференцiйовною додатно означеною матрицею X(t), який до- зволяє враховувати наявнiсть невизначеностi матричних коефiцiєнтiв при z = 0 i t ≥ 0: A0 ∈ Co{A01, . . . , A0α0}, A1 ∈ Co{A11, . . . , A1α1}, A2 ∈ Co{A21, . . . , A2α2}, (17) B0 ∈ Co{B01, . . . , B0β}, C0 ∈ Co{C01, . . . , C0γ0}, C1 ∈ Co{C11, . . . , C1γ1}, де заданi набори матриць є вершинами деяких полiтопiв у вiдповiдних матричних просто- рах. У випадку K∗ ≡ 0 можна врахувати також аналогiчну умову D ∈ Co{D1, . . . , Dδ}. Використавши результати роботи [9] i блочне розбиття матрицi X(t) = [ X1 X3 XT 3 X2 ] > 0, (18) де X1 = XT 1 , X2 = XT 2 i X3 — блоки розмiрiв n× n, сформулюємо наступний результат у термiнах вихiдних матриць для замкненої системи керування (12), (13), яка при K ∈ KD зводиться до форми Лагранжа A2ẍ+ [A1 −B0D(K)C1]ẋ+ [A0 −B0D(K)C0]x = 0. (19) Теорема. Нехай для деяких εi > 0, i = 0, 1, 2, i симетричної матрицi (18) при z = 0 i t ≥ 0 виконується система спiввiдношень zT0 [ X1 X3A2 AT2X T 3 AT2X2A2 ] z0 ≤ ω, ε1I2n ≤ X(t) ≤ ε2I2n, (20) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 РОБАСТНА СТАБIЛIЗАЦIЯ НЕЛIНIЙНИХ МЕХАНIЧНИХ СИСТЕМ 467 Ω =  Ω11 Ω12 BT 0∗ CT0∗ Ω21 Ω22 BT 1∗ CT1∗ B0∗ B1∗ R−GTPG DT C0∗ C1∗ D −Q−1  < 0, (21) де Ω11 = Ẋ1 +AT0∗X T 3 +X3A0∗ + S0 + CT0 K T c N T 0 +N0KcC0 + CT0 K T c RKcC0 + ε0In, Ω21 = ΩT 12 = AT2 Ẋ T 3 +X1 +AT1∗X T 3 +AT2X2A0∗+ + ST2 + CT1 K T c N T 0 +N1KcC0 + CT1 K T c RKcC0, Ω22 = AT2 Ẋ2A2 +AT2X T 3 +X3A2 +AT2X2A1∗ +AT1∗X2A2+ + S1 + CT1 K T c N T 1 +N1KcC1 + CT1 K T c RKcC1 + ε0In, A0∗ = B0KcC0 −A0, B0∗ = BT 0 X T 3 +NT 0 +RKcC0, C0∗ = C0 +DKcC0, A1∗ = B0KcC1 −A1, B1∗ = BT 0 X2A2 +NT 1 +RKcC1, C1∗ = C1 +DKcC1, M∗ = A+BKcC, Φ∗ = LT∗ ΦL∗, B∗ = BTXE +NT +RKcC, C∗ = C +DKcC, LT∗ = [I2n, C TKT c ], G = Im −K∗D, Kc = D(K∗). Тодi кожне керування (13) забезпечує асимптотичну стiйкiсть нульового стану x = = ẋ = 0 системи (19), оцiнку функцiонала (15) i спiльну функцiю Ляпунова v(x, ẋ, t) = = xTX1x+ 2xTX3A2ẋ+ ẋTAT2X2A2ẋ. Доведення теореми проводиться на основi методу функцiй Ляпунова та допомiжного твердження [8], що узагальнює лему Пiтерсена про матричну невизначенiсть [11]. Можна сформулювати наслiдки теореми для системи (19) з невизначеностями коефi- цiєнтiв типу (17). Наведемо один iз таких наслiдкiв у випадку сталих матриць. Наслiдок. Нехай разом iз (18) виконується система ЛМН зi сталими матрицями Ω11 Ω12 X3B0r +N0 CT0p∗ Ω21 Ω22 AT2kX2B0r +N1 CT1q∗ BT 0rX T 3 +NT 0 BT 0rX2A2k +NT 1 R−GTPG DT C0p∗ C1q∗ D −Q−1  < 0, (22) де Ω11 =AT0irpX T 3 +X3A0irp + S0 + CT0pK T c N T 0 +N0KcC0p + CT0pK T c RKcC0p, Ω21 =X1 +AT1jrqX T 3 +AT2kX2A0irp + ST2 + CT1qK T c N T 0 +N1KcC0p + CT1qK T c RKcC0p, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 468 Л. В. КУПРIЯНЧИК Рис. 1. Одноланковий маятник на платформi. Ω22 = AT2kX T 3 +X3A2k +AT2kX2A1jrq +AT1jrqX2A2k + S1+ + CT1qK T c N T 1 +N1KcC1q + CT1qK T c RKcC1q, A0irp = B0rKcC0p −A0i, A1jrq = Br0KcC1q −A1j , C0p∗ = C0p +DKcC0p, C1q∗ = C1q +DKcC1q, i = 1, α0, j = 1, α1, k = 1, α2, r = 1, β, p = 1, γ0, q = 1, γ1. Тодi кожне керування (13) забезпечує асимптотичну стiйкiсть стану рiвноваги x = = ẋ = 0 i оцiнку функцiонала (15) сiм’ї систем (17), (19), де ω = max 1≤k≤α2 ωk, ωk = xT0X1x0 + 2xT0X3A2kẋ0 + ẋT0A T 2kX2A2kẋ0. Приклад 1. Побудуємо систему керування для одноланкового маятника на рухомiй платформi (рис. 1). Кiнетична та потенцiальна енергiї системи вiдповiдно мають вигляд T = 1 2 m0ξ̇ 2 + 1 2 m1 ( ξ̇21 + η̇21 ) , H = m1gη1, де ξ1 = ξ−h sin θ, η1 = h cos θ, m0 — маса платформи,m1 — маса маятника, θ — кут вiдхи- лення маятника, ξ — горизонтальне перемiщення платформи, g — прискорення вiльного падiння. Рух системи в узагальнених координатах ξ i θ описується рiвняннями Лагранжа d dt ( ∂L ∂ξ̇ ) − ∂L ∂ξ = v, d dt ( ∂L ∂θ̇ ) − ∂L ∂θ = 0, де L = T −H = 1 2 m0ξ̇ 2 + 1 2 m1 ( ξ̇2 − 2hξ̇θ̇ cos θ + h2θ̇2 ) −m1gh cos θ. Врахувавши силу опору руху платформи, покладемо v = u − kξ̇, де u — керуюча сила, прикладена до платформи, k — коефiцiєнт опору. Тодi рiвняння руху системи набирають ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 РОБАСТНА СТАБIЛIЗАЦIЯ НЕЛIНIЙНИХ МЕХАНIЧНИХ СИСТЕМ 469 вигляду (m0 +m1)ξ̈ −m1hθ̈ cos θ +m1hθ̇ 2 sin θ + kξ̇ = u, (23) ξ̈ cos θ − hθ̈ + g sin θ = 0, причому якщо кутову змiнну θ замiнити на θ + π, то дана система буде описувати рух платформи з маятником в околi нижнього положення рiвноваги. Систему рiвнянь (23) можна подати у виглядi A2(x) ẍ+A1(x, ẋ) ẋ+A0(x)x = B0u, (24) де x = [ ξ θ ] , B0 = [ 1 0 ] , A0(x) = [ 0 0 0 −g ϕ(θ) ] , A1(x, ẋ) = [ k m1hθ̇ sin θ 0 0 ] , A2(x) = [ m0 +m1 −m1h cos θ − cos θ h ] , ϕ(θ) = sin θ/θ — неперервна функцiя. Покладемо h = 0, 6096 м, m0 = 0, 94 кг, m1 = 0, 23 кг, k = 0 кг/с [12] i розгляне- мо вектор спостереження y = [ξ + ξ̇ + u, θ̇]T . В цьому випадку маємо нелiнiйну систему керування у векторно-матричнiй формi: E(z)ż = A(z)z +B u, y = Cz +Du, (25) де z = [ x ẋ ] , E(z) = [ I2 0 0 A2 ] , A(z) = [ 0 I2 −A0 −A1 ] , B = [ 0 B0 ] , C = [C0, C1], C0 = [ 1 0 0 0 ] , C1 = [ 0 0 0 1 ] , D = [ 1 0 ] . Для пошуку керування, що забезпечує асимптотичну стiйкiсть нульового стану систе- ми (25), застосуємо доведену лему до вiдповiдної лiнiйної системи (2), побудованої iз (25) при E = E(0) i A = A(0). Розв’язавши двi ЛМН (11) вiдносно X i Y, знайдено стабiлiзую- че керування (6) на основi спостережника (5) повного порядку r = 4. При цьому згiдно з (8) i (10) побудовано блокиU ,Z, V iK матрицi зворотного зв’язку K̂∗ в об’єднанiй системi керування (4): K̂∗ =  −0, 8596 14, 0109 0, 6664 3, 1444 0, 8251 0, 1002 −0, 0245 0, 3987 −0, 0095 −1, 3801 0, 0235 2, 4725 −0, 1680 −12, 2034 0, 3476 −4, 7947 0, 2040 1, 4134 −0, 0314 −7, 9234 0, 6650 −18, 0111 0, 1002 11, 5424 0, 0418 −16, 9811 0, 4043 −3, 9324 0 0  . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 470 Л. В. КУПРIЯНЧИК Рис. 2. Поведiнка розв’язкiв системи з керуванням û = K̂∗ŷ. У даному випадку K = 0 i керування û = K̂∗ŷ забезпечує асимптотичну стiйкiсть системи (4). Нульовий стан замкненої нелiнiйної системи (5), (25) також асимптотично стiйкий. На рис. 2 зображено поведiнку розв’язкiв даної системи з початковим вектором x̂0 = [0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 − 0, 05 − 0, 1 − 0, 15 − 0, 2]T . Для iлюстрацiї доведеної теореми задамо блочнi матрицi Ŝ, R̂ i N̂ функцiонала: R = 1, S0 = S1 = 0, 5I2, S2 = [ 0 0, 1 0 0 ] , N0 = [ 0, 5 0 ] , N1 = [ 0 0 ] . Нехай маса платформи та коефiцiєнт опору є невизначеними i набирають значень на iнтервалах 0, 89 ≤ m0 ≤ 1, 01, 0 ≤ k ≤ 0, 3. (26) Тодi система спiввiдношень (22) складається з чотирьох матричних нерiвностей, що вiд- повiдають можливим значенням m0 i k на кiнцях заданих iнтервалiв. Iз використанням системи MATLAB знайдено додатно означенi матрицi P̂ , Q̂ i X̂, якi задовольняють вказа- ну систему нерiвностей. Отже, для всiх значень невизначених параметрiв m0 i k з iнтер- валiв (26) i матриць ДЗЗ K̂ = K̂∗ + ∆̂, де ∆̂T P̂ ∆̂ ≤ Q̂, рух маятника в околi нульового стану рiвноваги є асимптотично стiйким. При цьому v(x̂) = x̂T X̂x̂ є спiльною функцiєю Ляпунова, а значення заданого функцiонала якостi не перевищує v(x̂0) = 172760. Тут всi вектори i матрицi iз символом ̂ отримано шляхом зведення системи керування з ДЗЗ до системи зi СЗЗ типу (4) (див. п. 2). Проведено також дослiдження впливу коефiцiєнта опору та маси платформи на ро- бастнiсть динамiчного регулятора. В таблицi наведено значення радiуса робастної стабi- лiзацiї ρ, отриманi при рiзних значеннях вказаних параметрiв. З наведеної таблицi можна зробити висновок, що на вказаному iнтервалi змiни маси платформи робастнiсть динамiчного стабiлiзуючого регулятора найбiльша при k = 0, 1 або k = 0, 2.Подальше збiльшення коефiцiєнта опору на даному iнтервалi призводить до зменшення радiуса стабiлiзацiї системи. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 РОБАСТНА СТАБIЛIЗАЦIЯ НЕЛIНIЙНИХ МЕХАНIЧНИХ СИСТЕМ 471 Таблиця 1. Залежнiсть радiуса стабiлiзацiї ρ вiд m0 i k. k m0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,90 0,0075 0,0098 0,0003 0,0079 0,0088 0,0014 0,91 0,0030 0,0096 0,0002 0,0077 0,0077 0,0014 0,92 0,0030 0,0094 0,0086 0,0082 0,0075 0,0074 0,93 0,0029 0,0016 0,0088 0,0006 0,0014 0,0014 0,94 0,0033 0,0039 0,0089 0,0087 0,0069 0,0001 0,95 0,0031 0,0080 0,0006 0,0006 0,0004 0,0004 Приклад 2. Розглянемо систему стабiлiзацiї нестiйкого положення рiвноваги однолан- кового маятника з маховиком на кiнцi (рис. 3). Маховик обертається електродвигуном, який разом iз редуктором вмонтовано на маятнику. Керування рухом маятника здiйсню- ється за рахунок змiни напрямку i швидкостi обертання iнерцiйного маховика, що в свою чергу досягається змiною обертання двигуна пiд дiєю керуючої напруги живлення яко- ря двигуна. Ця напруга обмежена по модулю i задається у вiдповiдностi з командами, що надходять вiд комп’ютера. Маятник може здiйснювати обертання у вертикальнiй площи- нi. Його вiсь обертання розмiщено горизонтально i закрiплено на нерухомiй основi, а вiсь обертання маховика знаходиться на маятнику. Для вимiрювання кутiв повороту маятника i маховика передбачено iмпульснi датчики. Рух системи в узагальнених координатах ψ (кут крена маятника) i ϕ (кут повороту маховика вiдносно маятника) описується рiвняннями Лагранжа d dt ( ∂L ∂ψ̇ ) − ∂L ∂ψ = 0, d dt ( ∂L ∂ϕ̇ ) − ∂L ∂ϕ = Tu, (27) де L = T −H, T = 1 2 [(Jv +m1h 2)ψ̇2 + Jr(ψ̇ + Ω)2 + Jm(ψ̇ + ω)2], H = (m0b+m1h)g cosψ, ϕ̇ = ω = χΩ — кутова швидкiсть обертання маховика вiдносно маятника, Ω — швид- кiсть обертання ротора двигуна, χ — коефiцiєнт редукцiї, m0 — маса маятника, m1 — маса двигуна, Jm — момент iнерцiї маховика вiдносно його головної осi (осi обертання), Jr — момент iнерцiї ротора електродвигуна, J = Jv + Jr + Jm + m1h 2 — повний момент Рис. 3. Маятник, керований маховиком. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 472 Л. В. КУПРIЯНЧИК iнерцiї системи, Jv — момент iнерцiї маятника вiдносно осi обертання, g — прискорення вiльного падiння, b i h — вiдстанi вiд осi обертання до центрiв мас маятника i маховика (з ротором двигуна), Tu — момент електромагнiтних сил, прикладених до ротора двигуна, який наближено записується у виглядi Tu = c1u − c2ωχ−1, u — керуюча напруга в колi двигуна, c1 i c2 — параметри двигуна. Рiвняння динамiки маятника з маховиком мають вигляд [13] Jχψ̈ + (Jr + χJm)ω̇ = (m0b+m1h)gχ sinψ, (28) (Jr + χJm)χψ̈ + (Jr + χ2Jm)ω̇ = χTu. Запишемо систему рiвнянь (28) у векторно-матричнiй формi: Eẋ = A(x)x+B u, (29) де x =  ψ ψ̇ ω  , B =  0 0 c1χ  , E =  1 0 0 0 Jχ Jr + χJm 0 Jrχ+ Jmχ 2 Jr + Jmχ 2  , A(x) =  0 1 0 (m0b+m1h)gχϕ(x1) 0 0 0 0 −c2  , ϕ(x1) = sinx1/x1 — неперервна функцiя. Далi використовуємо такi числовi значення параметрiв [14]: m0 = 1 кг, m1 = 3 кг, b = 0, 1 м, h = 0, 13 м, Jv = 0, 0392 кг · м2, Jm = 0, 03 кг · м2, Jr = 0, 0001 кг · м2, χ = 0, 1, c1 = 0, 08 Н · м/В, c2 = 0, 0076 Н · м · с. Припустимо, що вимiрюється вектор y = Cx+Du, де C = [ 1 0 0 0 1 0, 5 ] , D = [ 0, 1 0 ] . На пiдставi леми 2.1 роботи [8] знаходимо керування u = K∗y, K∗ = [6, 346 0, 8949], (30) що забезпечує асимптотичну стiйкiсть лiнiйної системи Eẋ = M∗x, M∗ = A(0) +BD(K∗)C, (31) спектр якої {−1, 4141±6, 5441i;−6, 1280}.При цьому нульове положення рiвноваги вихiд- ної нелiнiйної системи (29) iз керуванням (30) також є асимптотично стiйким. Поведiнку розв’язкiв замкненої системи (29), (30) з початковим вектором x0 = [1 2 3]T зображено на рис. 4. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 РОБАСТНА СТАБIЛIЗАЦIЯ НЕЛIНIЙНИХ МЕХАНIЧНИХ СИСТЕМ 473 Рис. 4. Поведiнка розв’язкiв системи (29) з керуванням u = K∗y. Для iлюстрацiї отриманих результатiв задамо матрицi функцiонала S = 0, 1I3, N = = [0, 1 0 0]T , R = 0, 5 i припустимо, що система має невизначенi параметри 0, 5 ≤ m0 ≤ 1, 2, 0, 03 ≤ Jv ≤ 0, 04. (32) На пiдставi доведеної теореми знайдено P = 11, 0734 i додатно означенi матрицi Q = [ 1, 2794 −0, 0091 −0, 0091 1, 2667 ] , X =  55277, 7706 10550, 6231 762, 3395 10550, 6231 82951, 7451 4833, 6928 762, 3395 4833, 6928 86386, 5232  , якi задовольняють систему чотирьох матричних нерiвностей (22), що вiдповiдають мож- ливим значенням пари (m0, Jv) на кiнцях iнтервалiв (32). Отже, для всiх значень параметрiв (32) i вектора коефiцiєнтiв пiдсилення зворотно- го зв’язку K iз замкненої областi, обмеженої елiпсом (K − K∗)Q −1(K − K∗) T = P−1 (рис. 5), рух маятника, керованого маховиком, в околi нульового положення рiвноваги є асимптотично стiйким. При цьому v(x) = xTETXEx є спiльною функцiєю Ляпунова, значення заданого функцiонала якостi не перевищує v(x0) = 1, 27 · 106, а радiус стабiлiза- цiї ρ = 0, 3405. Рис. 5. Область коефiцiєнтiв керування K∗при змiнi параметрiв m0 i Jv . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 474 Л. В. КУПРIЯНЧИК Тепер для системи (29) побудуємо динамiчний регулятор (3) у виглядi спостережника повного порядку (5). Нехай вимiрюванню доступний вектор y = Cx+Du, C = [ 1 0 0 0 1 0 ] , D = [ 1 0 ] . Для лiнiйної системи (4) на основi формул (8), (10) i (11) знайдено стабiлiзуючу матрицю K̂∗ =  −0, 6444 −1, 6812 0 0, 6444 2, 6812 −431, 2678 −94, 5918 −8, 1519 2, 6812 21, 4257 1814, 4536 289, 7701 31, 5559 −0, 5055 −6, 5464 74, 0897 11, 326 2, 2119 0 0  . Знайдено також додатно означенi матрицi P̂ , Q̂ та X̂, якi задовольняють систему чоти- рьох матричних нерiвностей (22), що вiдповiдають можливим значенням параметрiв m0 i Jv на кiнцях iнтервалiв (32). Отже, для всiх значень параметрiв (32) i коефiцiєнтiв пiдсилення зворотного зв’язку K̂ = K̂∗ + ∆̂, де ∆̂T P̂ ∆̂ ≤ Q̂, рух маятника з маховиковим керуванням в околi нульового положення рiвноваги є асимптотично стiйким. При цьому радiус стабiлiзацiї системи ρ = = 0, 0088. 4. Висновок. В роботi отримано новi методи робастної стабiлiзацiї лiнiйних та нелiнiй- них систем керування з динамiчним зворотним зв’язком на основi спостережникiв станiв повного порядку. Практична реалiзацiя запропонованих методiв базується на розв’язаннi ЛМН. Для знаходження розв’язкiв ЛМН зi сталими матрицями може бути застосована ефективна процедура в системi MATLAB. Вiдмiнною особливiстю побудованих ЛМН у порiвняннi з вiдомими є можливiсть побудови елiпсоїда стабiлiзуючих матриць зворотно- го зв’язку, спiльної квадратичної функцiї Ляпунова, а також оцiнки квадратичного функ- цiонала якостi в задачi оптимiзацiї нелiнiйних систем керування з невизначеними матрич- ними коефiцiєнтами. 1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 с. 2. Zhou K., Doyle J. C., Glover K. Robust and optimal control. — Englewood: Prentice Hall, 1996. — 586 p. 3. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — 280 с. 4. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к ре- шению // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 7 – 46. 5. Syrmos V. L., Abdallah C. T., Dorato P., Grigoriadis K. Static output feedback: a survey // Automatica. — 1997. — 33, № 2. — P. 125 – 137. 6. Алиев Ф. А., Ларин В. Б. Задачи стабилизации системы с обратной связью по выходной переменной (обзор) // Прикл. механика. — 2011. — 47, № 3. — С. 3 – 49. 7. Мазко А. Г., Шрам В. В. Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем // Нелiнiйнi коливання. — 2011. — 14, № 2. — C. 227 – 237. 8. Мазко О. Г., Богданович Л. В. Робастна стiйкiсть i оптимiзацiя нелiнiйних систем керування // Аналi- тична механiка та її застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2012. — 9, № 1. — С. 200 – 218. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 РОБАСТНА СТАБIЛIЗАЦIЯ НЕЛIНIЙНИХ МЕХАНIЧНИХ СИСТЕМ 475 9. Мазко О. Г., Богданович Л. В. Стабiлiзацiя механiчних систем з невизначеними параметрами // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013. — 10, № 3. — С. 123 – 144. 10. Краснова С. А., Уткин В. А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. — М.: Наука, 2006. — 272 c. 11. Petersen I. A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems // Systems Control Lett. — 1987. — 8, № 4. — P. 351 – 357. 12. Singh N. M., Dubey J., Laddha G. Control of pendulum on a cart with state dependent Riccati equations // World Acad. Sci. Eng. and Technol. — 2008. — 41. — P. 671 – 675. 13. Гришин А. А., Ленский А. В., Охоцимский Д. Е., Панин Д. А., Формальский А. М. О синтезе управле- ния неустойчивым объектом. Перевернутый маятник // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2002. — №5. — С. 14 – 24. 14. Андриевский Б. Р. Глобальная стабилизация неустойчивого маятника с маховичным управлением // Управление большими системами. — 2009. — Вып. 24. — С. 258 – 280. Одержано 25.07.14 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4

Робастна стабілізація нелінійних механічних систем

Institution

Ähnliche Einträge