Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць
Побудовано асимптотичне розвинення фундаментальної системи розв’язкiв лiнiйної сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь m-го порядку з виродженою головною матрицею при старших похiдних. Дослiджено випадок, коли вiдповiдний характеристичний полiном має кратний спектр. Встановлено, що в цьо...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177097 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць / С. П. Пафик, В. П. Яковець // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 379-398 — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177097 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Пафик, С.П. Яковець, В.П. 2021-02-10T13:02:48Z 2021-02-10T13:02:48Z 2014 Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць / С. П. Пафик, В. П. Яковець // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 379-398 — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177097 517.9 Побудовано асимптотичне розвинення фундаментальної системи розв’язкiв лiнiйної сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь m-го порядку з виродженою головною матрицею при старших похiдних. Дослiджено випадок, коли вiдповiдний характеристичний полiном має кратний спектр. Встановлено, що в цьому випадку асимптотичнi розвинення будуються за дробовими степенями малого параметра. Виведено рекурентнi формули для знаходження коефiцiєнтiв цих розвинень. We construct an asymptotic expansion for a fundamental system of solutions of a linear singularly perturbed system of differential equations of order m with a degenerate principal matrix at higher order derivatives. We also study the case where the corresponding characteristic polynomial has multiple spectrum. We prove that the asymptotic expansions are constructed, in this case, in fractional powers of the small parameter. Recurrence formulas for finding coefficients in these expansions are obtained. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць Асимптотика общего решения линейных сингулярно возмущённых систем дифференциальных уравнений высших порядков с вырождениями в случае кратного спектра предельной связки матриц Asymptotics of a generalized solution of linear singularly perturbed systems of higher order differential equations with degenerations in the case of multiple spectrum of boundary coupling of matrices Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць |
| spellingShingle |
Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць Пафик, С.П. Яковець, В.П. |
| title_short |
Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць |
| title_full |
Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць |
| title_fullStr |
Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць |
| title_full_unstemmed |
Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць |
| title_sort |
асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць |
| author |
Пафик, С.П. Яковець, В.П. |
| author_facet |
Пафик, С.П. Яковець, В.П. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Асимптотика общего решения линейных сингулярно возмущённых систем дифференциальных уравнений высших порядков с вырождениями в случае кратного спектра предельной связки матриц Asymptotics of a generalized solution of linear singularly perturbed systems of higher order differential equations with degenerations in the case of multiple spectrum of boundary coupling of matrices |
| description |
Побудовано асимптотичне розвинення фундаментальної системи розв’язкiв лiнiйної сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь m-го порядку з виродженою головною матрицею при старших похiдних. Дослiджено випадок, коли вiдповiдний характеристичний полiном має кратний спектр. Встановлено, що в цьому випадку асимптотичнi розвинення будуються за дробовими степенями малого параметра. Виведено рекурентнi формули для знаходження коефiцiєнтiв цих розвинень.
We construct an asymptotic expansion for a fundamental system of solutions of a linear singularly perturbed system of differential equations of order m with a degenerate principal matrix at higher order derivatives. We also study the case where the corresponding characteristic polynomial has multiple spectrum. We prove that the asymptotic expansions are constructed, in this case, in fractional powers of the small parameter. Recurrence formulas for finding coefficients in these expansions are obtained.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177097 |
| citation_txt |
Асимптотика загального розв’язку лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вищих порядків з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць / С. П. Пафик, В. П. Яковець // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 379-398 — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT pafiksp asimptotikazagalʹnogorozvâzkulíníinihsingulârnozburenihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkívzvirodžennâmiuvipadkukratnogospektragraničnoívâzkimatricʹ AT âkovecʹvp asimptotikazagalʹnogorozvâzkulíníinihsingulârnozburenihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkívzvirodžennâmiuvipadkukratnogospektragraničnoívâzkimatricʹ AT pafiksp asimptotikaobŝegorešeniâlineinyhsingulârnovozmuŝennyhsistemdifferencialʹnyhuravneniivysšihporâdkovsvyroždeniâmivslučaekratnogospektrapredelʹnoisvâzkimatric AT âkovecʹvp asimptotikaobŝegorešeniâlineinyhsingulârnovozmuŝennyhsistemdifferencialʹnyhuravneniivysšihporâdkovsvyroždeniâmivslučaekratnogospektrapredelʹnoisvâzkimatric AT pafiksp asymptoticsofageneralizedsolutionoflinearsingularlyperturbedsystemsofhigherorderdifferentialequationswithdegenerationsinthecaseofmultiplespectrumofboundarycouplingofmatrices AT âkovecʹvp asymptoticsofageneralizedsolutionoflinearsingularlyperturbedsystemsofhigherorderdifferentialequationswithdegenerationsinthecaseofmultiplespectrumofboundarycouplingofmatrices |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:48Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:48Z |
| _version_ |
1850593382554927104 |
| fulltext |
УДК 517.9
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ
З ВИРОДЖЕННЯМИ У ВИПАДКУ КРАТНОГО СПЕКТРА
ГРАНИЧНОЇ В’ЯЗКИ МАТРИЦЬ
С. П. Пафик
Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова
Україна, 01030, Київ, вул. Пирогова, 9
В. П. Яковець
Ун-т менеджменту освiти Нац. акад. пед. наук України
Україна, 01601, Київ, вул. Артема, 52-а
We construct an asymptotic expansion for a fundamental system of solutions of a linear singularly pertur-
bed system of differential equations of order m with a degenerate principal matrix at higher order deri-
vatives. We also study the case where the corresponding characteristic polynomial has multiple spectrum.
We prove that the asymptotic expansions are constructed, in this case, in fractional powers of the small
parameter. Recurrence formulas for finding coefficients in these expansions are obtained.
Побудовано асимптотичне розвинення фундаментальної системи розв’язкiв лiнiйної сингуляр-
но збуреної системи диференцiальних рiвнянь m-го порядку з виродженою головною матри-
цею при старших похiдних. Дослiджено випадок, коли вiдповiдний характеристичний полiном
має кратний спектр. Встановлено, що в цьому випадку асимптотичнi розвинення будуються
за дробовими степенями малого параметра. Виведено рекурентнi формули для знаходження
коефiцiєнтiв цих розвинень.
1. Постановка задачi. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь вигляду
εmhAm(t, ε)
dmx
dtm
+ ε(m−1)hAm−1(t, ε)
dm−1x
dtm−1
+ . . .+ εhA1(t, ε)
dx
dt
+A0(t, ε)x = 0, (1.1)
де x(t, ε) — шуканий n-вимiрний вектор, Ai(t, ε), i = 0,m, — дiйснi або комплекснозначнi
(n× n)-матрицi, ε ∈ (0; ε0] — малий дiйсний параметр, h ∈ N, t ∈ [0;T ].
Припускаємо, що виконуються наступнi умови:
1◦) матрицi Ai(t, ε), i = 0,m, допускають на вiдрiзку [0;T ] рiвномiрнi асимптотичнi
розвинення за степенями ε:
Ai(t, ε) ∼
∑
k≥0
εkA
(k)
i (t), i = 0,m; (1.2)
2◦) матрицi A(k)
i (t), i = 0,m, k = 0, 1, . . . , — нескiнченно диференцiйовнi на вiдрiзку
[0;T ];
3◦) detA
(0)
m (t) = 0 ∀t ∈ [0;T ];
c© С. П. Пафик, В. П. Яковець, 2014
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3 379
380 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
4◦) гранична в’язка матриць
P (t, λ) =
m∑
i=0
λiA
(0)
i (t) (1.3)
системи (1.1) регулярна при всiх t ∈ [0;T ] i має один скiнченний елементарний дiльник
(λ− λ0(t))p кратностi p i один нескiнченний — кратностi q = mn− p;
5◦)
(
A
(1)
m (t)ϕ̃(t), ψ̃(t)
)
6= 0 ∀t ∈ [0;T ], де ϕ̃(t), ψ̃(t) — елементи нуль-просторiв матрицi
A
(0)
m (t) i спряженої до неї (A
(0)
m (t))∗ вiдповiдно.
Символом (x, y) тут i далi позначається скалярний добуток в n-вимiрному комплекс-
ному просторi.
Питання побудови асимптотичних розв’язкiв системи (1.1) за степенями малого пара-
метра вивчалось рiзними авторами [1 – 8]. Однак вони розглядали в основному системи
рiвнянь другого порядку. Системи ж рiвнянь вищих порядкiв дослiджувались лише в най-
простiших випадках i, як правило, за умови, коли матрицi Ai(t, ε), i = 1,m− 1, нульовi, а
Am(t, ε) — одинична [9]. Бiльш загальну систему при h = 1 з одиничною матрицею при
старшiй похiднiй розглянуто у [10], де для побудови асимптотичних розв’язкiв використа-
но розклад характеристичного полiнома даної системи на лiнiйнi множники. При цьому
вивчався випадок, коли характеристичний полiном має простий спектр.
У данiй роботi вперше розглядається випадок кратного спектра. Для дослiдження
асимптотики лiнiйно незалежних розв’язкiв системи (1.1) використовується теорiя по-
лiномiальних матричних в’язок, викладена у [13]. У пунктi 2 доведено основну теорему,
якою визначається вигляд формальних розв’язкiв системи (1.1) у випадку кратних коре-
нiв характеристичного рiвняння. У процесi доведення цiєї теореми наведено алгоритм,
за яким визначаються коефiцiєнти вiдповiдних формальних розвинень. У заключному
пунктi 3 сформульовано умови, за виконання яких побудованi формальнi розв’язки ма-
ють асимптотичний характер, i наведено вiдповiднi асимптотичнi оцiнки.
2. Побудова формальних розв’язкiв. Як показано у [8, с. 95], за умови 5◦ матриця
Am(t, ε) буде неособливою при досить малих ε > 0, t ∈ [0;T ], що згiдно з [12] гаран-
тує iснування mn лiнiйно незалежних розв’язкiв системи (1.1), якi необхiдно побудувати.
Розв’язки, що вiдповiдають скiнченному елементарному дiльнику граничної в’язки
матриць P (t, λ), будемо шукати у виглядi
x(t, µ) = u(t, µ) exp
ε−h t∫
0
λ(τ, µ)dτ
, (2.1)
де u(t, µ) — n-вимiрний вектор, а λ(t, µ) — скалярна функцiя, якi зображуються у виглядi
формальних розвинень
u(t, µ) =
∞∑
k=0
µku(k)(t), (2.2)
λ(t, µ) =
∞∑
k=0
µkλ(k)(t), (2.3)
в яких µ = p
√
ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 381
Покажемо, що вектор (2.1) формально задовольняє систему (1.1). Диференцiюючи
вектор-функцiю (2.1) k разiв, отримуємо рекурентний вираз
dkx
dtk
=
k∑
i=0
i∑
j=0
ε−jhCik
dk−iu(t, µ)
dtk−i
Di−j [λ
j ] exp
ε−h t∫
0
λ(τ, µ)dτ
, k = 0, m, (2.4)
де
Di−j [λ
j ] =
∑
s1+s2+...+sj=i−j
j∏
α=1
Γsα [λ], j = 1, i, i = 1, m, (2.5)
— суми всiх можливих добуткiв j операторiв Γsα [λ] =
dsα
dtsα
λ(t, µ), α = 1, j, з цiлими
невiд’ємними iндексами, сума яких дорiвнює i − j. Оператори диференцiювання, якi мiс-
тяться в Γsα [λ], дiють на весь вираз, що знаходиться справа вiд них. Наприклад,
D2[λ
2] =
∑
s1+s2=2
Γs1 [λ]Γs2 [λ].
Перебравши всi можливi набори iндексiв sα, α = 1, 2, дiстанемо
D2[λ
2] = Γ2[λ]Γ0[λ] + Γ1[λ]Γ1[λ] + Γ0[λ]Γ2[λ].
Згiдно зi структурою операторiв Γs[λ], s = 0, 1, 2, остаточно матимемо
D2[λ
2] =
d2λ2(t, µ)
dt2
+
d
dt
(
λ(t, µ)
dλ(t, µ)
dt
)
+ λ(t, µ)
d2λ(t, µ)
dt2
.
Пiдставивши вектори (2.4) у систему (1.1), одержимо
m∑
k=0
k∑
i=0
i∑
j=0
ε(k−j)hCikDi−j [λ
j ]Ak(t, ε)
dk−iu(t, µ)
dtk−i
= 0.
Видiливши доданки, в яких k = i = j, отримаємо
m∑
k=0
D0[λ
k]Ak(t, ε)u(t, µ) = −
m∑
k=1
k−1∑
i=0
i∑
j=0
ε(k−j)hCikDi−j [λ
j ]Ak(t, ε)
dk−iu(t, µ)
dtk−i
−
−
m∑
k=2
k−1∑
j=1
ε(k−j)hDk−j [λ
j ]Ak(t, ε)u(t, µ). (2.6)
Оскiльки функцiя λ(t, µ) зображується у виглядi формального розвинення (2.3), то функ-
цiї Di−j [λ
j ], j = 1, i, i = 1, m, якi визначаються формулою (2.5), теж можна подати у
виглядi формальних розвинень за степенями µ:
Di−j [λ
j ] =
∞∑
k=0
µkD
(k)
i−j [λ
j ], j = 1, i, i = 1, m, (2.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
382 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
де
D
(k)
i−j [λ
j ] =
∑
s1+s2+...+sj=i−j
∑
k1+k2+...+kj=k
j∏
α=1
Γ(kα)
sα [λ], j = 1, i, i = 1, m (2.8)
(пiдсумовування проводиться за всiма можливими наборами цiлих невiд’ємних iндексiв
sα, kα, α = 1, j, причому сума нижнiх iндексiв дорiвнює i− j, а верхнiх — k).
Пiдставивши у (2.6) розвинення (1.2), (2.2), (2.3), (2.7) та прирiвнявши доданки при
однакових степенях µ, отримаємо нескiнченну систему алгебраїчних рiвнянь
P (t, λ(0)(t))u(0)(t) = 0, (2.9)
P (t, λ(0)(t))u(α)(t) = b(α)(t), α = 1, 2, . . . , (2.10)
де
b(α)(t) = −
m∑
k=1
α∑
β=1
D
(β)
0 [λk]A
(0)
k (t)u(α−β)(t) + g(α)(t), α = 1, 2, . . . ,
(2.11)
g(α)(t) = −
m∑
k=0
α−p∑
β=0
[
α−β
p
]∑
γ=1
D
(β)
0 [λk]−A(γ)
k (t)u(α−β−γp)(t)−
−
m∑
k=1
k−1∑
i=0
i∑
j=0
α−(k−j)ph∑
β=0
[
α−β−(k−j)ph
p
]∑
γ=0
CikD
(β)
i−j [λ
j ]A
(γ)
k (t)
dk−iu(α−β−γp−(k−j)ph)(t)
dtk−i
−
−
m∑
k=2
k−1∑
j=1
α−(k−j)ph∑
β=0
[
α−β−(k−j)ph
p
]∑
γ=0
D
(β)
k−j [λ
j ]A
(γ)
k (t)u(α−β−γp−(k−j)ph)(t),
α = p, p+ 1, . . . .
Покажемо, що з цiєї системи можна визначити будь-якi коефiцiєнти розвинень (2.2),
(2.3).
З рiвняння (2.9) одразу маємо
λ(0)(t) = λ0(t), (2.12)
u(0)(t) = ϕ(t), (2.13)
де λ0(t) — власне значення в’язки матриць (1.3), а ϕ(t) — вiдповiдний власний вектор,
який визначимо так, щоб виконувалось включення ϕ(t) ∈ C∞[0;T ],що згiдно з [8] завжди
є можливим.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 383
Рiвняння (2.10) розв’язнi тодi i тiльки тодi, коли виконується умова
(b(α)(t), ψ(t)) = 0, α = 1, 2, . . . , (2.14)
де ψ(t) — елемент нуль-простору матрицi P ∗(t, λ0(t)), спряженої з P (t, λ0(t)).
За виконання умови (2.14) вектори u(α)(t), α = 1, 2, . . . , визначатимемо за формулою
u(α)(t) = H(t)b(α)(t), α = 1, 2, . . . , (2.15)
де H(t) — напiвобернена матриця до матрицi P (t, λ0(t)), яку виберемо так, щоб H(t) ∈
∈ C∞[0;T ],що згiдно з [8] та умовою 2◦ завжди є можливим. Умову ж (2.14) використаємо
для визначення функцiй λ(j)(t), j = 1, 2, . . . . З цiєю метою виразимо через цi функцiї
вектори b(α)(t), α = 1, 2, . . . .
Пiдставлятимемо послiдовно (2.13), (2.15) в (2.11) при α < p. При α = 1 дiстанемо
b(1)(t) = −
m∑
k=1
D
(1)
0 [λk]A
(0)
k (t)ϕ(t).
Нехай
P (k)
s (λ) =
∑
j1+j2+...+js=k
λ(j1)(t)λ(j2)(t) . . . λ(js)(t) (2.16)
— сума всiх можливих добуткiв s функцiй λ(j)(t) з натуральними iндексами ji, i = 1, s,
сума яких дорiвнює k. Враховуючи (2.8), (2.16), маємо
D
(j)
0 [λk] =
j∑
i=1
Cik(λ0(t))
k−iP
(j)
i (λ), k = 1, m, j = 1, 2, . . . . (2.17)
Використавши (2.17), вектор b(1)(t) подамо у виглядi
b(1)(t) = −
m∑
k=1
C1
k(λ0(t))
k−1P
(1)
1 (λ)A
(0)
k (t)ϕ(t),
а використавши формулу
m∑
k=i
Cik(λ0(t))
k−iA
(0)
k (t) =
∂iP (t, λ0(t))
i!∂λi
, i = 1, m,
остаточно отримаємо
b(1)(t) = −P (1)
1 (λ)
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
ϕ(t). (2.18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
384 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
Провiвши аналогiчнi мiркування при α = 2, 3, дiстанемо
b(2)(t) = −P (2)
2 (λ)
[
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
H1(t) +
∂2P (t, λ0(t))
2!∂λ2
]
ϕ(t)−
− P (2)
1 (λ)
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
ϕ(t), (2.19)
b(3)(t) = −P (3)
3 (λ)
[
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
(
H2
1 (t) +H2(t)
)
+
∂2P (t, λ0(t))
2!∂λ2
H1(t) +
+
∂3P (t, λ0(t))
3!∂λ3
]
ϕ(t)− P (3)
2 (λ)
[
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
H1(t) +
∂2P (t, λ0(t))
2!∂λ2
]
ϕ(t)−
− P (3)
1 (λ)
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
ϕ(t), (2.20)
де
Hk(t) = −H(t)
∂kP (t, λ0(t))
k!∂λk
, k = 1, m. (2.21)
Скориставшись формулою
σ1(H1, H2, . . . ,Hm) = E,
σi(H1, H2, . . . ,Hm) =
min(i−1, m)∑
j=1
Hj(t)σ
i−j(H1, H2, . . . ,Hm), i = 2, 3, . . . , (2.22)
рiвностi (2.18) – (2.20) подамо у виглядi
b(1)(t) = −P (1)
1 (λ)
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
σ1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t),
b(2)(t) = −P (2)
2 (λ)
[
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
σ2(H1, H2, . . . ,Hm) +
+
∂2P (t, λ0(t))
2!∂λ2
σ1(H1, H2, . . . ,Hm)
]
ϕ(t)−
− P (2)
1 (λ)
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
σ1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 385
b(3)(t) = −P (3)
3 (λ)
[
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
σ3(H1, H2, . . . ,Hm) +
∂2P (t, λ0(t))
2!∂λ2
σ2(H1, H2, . . . ,Hm) +
+
∂3P (t, λ0(t))
3!∂λ3
σ1(H1, H2, . . . ,Hm)
]
ϕ(t)−
− P (3)
2 (λ)
[
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
σ2(H1, H2, . . . ,Hm)+
+
∂2P (t, λ0(t))
2!∂λ2
σ1(H1, H2, . . . ,Hm)
]
ϕ(t)−
− P (3)
1 (λ)
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
σ1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t).
Взявши до уваги, що g(α)(t) = 0 при α < p, методом математичної iндукцiї встанови-
мо, що
b(α)(t) =−
α∑
i=1
min(i, m)∑
j=1
P
(α)
i (λ)
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
σi−j+1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t), α = 1, p− 1.
(2.23)
При α ≥ p у вираз b(α)(t) входять вектори g(α)(t). Позначимо доданки, якi мiстять цi
вектори, через b̃(α)(t). Якщо продовжувати пiдстановку (2.13), (2.15) в (2.11), то отримає-
мо вираз вигляду (2.23) та доданки b̃(α)(t), якi мiстять вектори g(α)(t), α = p, p+ 1, . . . . Для
останнiх маємо
b̃(p)(t) = g(p)(t),
b̃(p+1)(t) = −P (1)
1 (λ)
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
H(t)g(p)(t) + g(p+1)(t), (2.24)
b̃(p+2)(t) = P
(2)
2 (λ)
[(
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
H(t)
)2
− ∂2P (t, λ0(t))
2!∂λ2
H(t)
]
g(p)(t)−
− P (2)
1 (λ)
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
H(t)g(p)(t)− P (1)
1 (λ)
∂P (t, λ0(t))
1!∂λ
H(t)g(p+1)(t) + g(p+2)(t).
Ввiвши позначення
H̃j(t) = −∂
jP (t, λ0(t))
j!∂λj
H(t), j = 1, m, (2.25)
та використавши (2.22), вектори b̃(p+1)(t), b̃(p+2)(t) запишемо у виглядi
b̃(p+1)(t) = P
(1)
1 (λ)σ2(H̃1, H̃2, . . . , H̃m)g(p)(t) + g(p+1)(t), (2.26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
386 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
b̃(p+2)(t) =
[
P
(2)
2 (λ)σ3(H̃1, H̃2, . . . , H̃m) + P
(2)
1 (λ)σ2(H̃1, H̃2, . . . , H̃m)
]
g(p)(t)+
+ P
(1)
1 (λ)σ2(H̃1, H̃2, . . . , H̃m)g(p+1)(t) + g(p+2)(t). (2.27)
Проаналiзувавши вирази (2.24), (2.26), (2.27) i провiвши iндукцiю по α, дiстанемо
b̃(α)(t) =
α−p−1∑
j=0
α−p−j∑
i=1
P
(α−p−j)
i (λ)σi+1(H̃1, H̃2, . . . , H̃m)g(p+j)(t) + g(α)(t), α = p, p+ 1, . . . .
(2.28)
Об’єднуючи вирази (2.23), (2.28), остаточно маємо
b(α)(t) = −
α∑
i=1
min(i, m)∑
j=1
P
(α)
i (λ)
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
σi−j+1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t)+
+
α−p−1∑
j=0
α−p−j∑
i=1
P
(α−p−j)
i (λ)σi+1(H̃1, H̃2, . . . , H̃m)g(p+j)(t) + g(α)(t), α = 1, 2, . . . .
(2.29)
Перейдемо тепер до визначення коефiцiєнтiв λ(α)(t), α = 1, 2, . . . , розвинення (2.2).
Оскiльки за умовою 4◦ в’язка матриць (1.3) має скiнченний елементарний дiльник крат-
ностi p, то, як показано у [13], йому вiдповiдає жорданiв ланцюжок завдовжки p, що скла-
дається з власного вектора ϕ(t) та приєднаних векторiв ϕi(t), i = 2, p, якi задовольняють
спiввiдношення
P (t, λ0(t))ϕ(t) = 0,
(2.30)
P (t, λ0(t))ϕi(t) +
min(i−1, m)∑
j=1
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
ϕi−j(t) = 0, i = 2, p,
а рiвняння
P (t, λ0(t))y +
min(p, m)∑
j=1
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
ϕp+1−j(t) = 0 (2.31)
є не розв’язним вiдносно y. Виразимо приєднанi вектори цього ланцюжка через власний
вектор. Оскiльки
ϕi(t) = −
min(i−1, m)∑
j=1
H(t)
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
ϕi−j(t), i = 2, p,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 387
то, використавши (2.21), дiстанемо
ϕi(t) =
min(i−1, m)∑
j=1
Hj(t)ϕi−j(t), i = 2, p,
звiдки
ϕi(t) = σi(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t), i = 2, p. (2.32)
Зокрема,
ϕ2(t) = H1(t)ϕ(t), ϕ3(t) =
(
H2
1 (t) +H2(t)
)
ϕ(t),
ϕ4(t) =
(
H3
1 (t) +H1(t)H2(t) +H2(t)H1(t) +H3(t)
)
ϕ(t).
За означенням жорданового ланцюжка
min(i, m)∑
j=1
(
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
ϕi−j+1(t), ψ(t)
)
= 0, i = 1, p− 1,
min(p, m)∑
j=1
(
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
ϕp−j+1(t), ψ(t)
)
6= 0,
звiдки, врахувавши (2.32), матимемо
min(i, m)∑
j=1
(
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
σi−j+1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t), ψ(t)
)
= 0, i = 1, p− 1,
(2.33)
min(p, m)∑
j=1
(
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
σp−j+1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t), ψ(t)
)
6= 0.
Оскiльки вектор ψ(t) визначається з точнiстю до довiльного скалярного множника, то
його можна вибрати так, щоб ψ(t) ∈ C∞[0;T ] i виконувалась рiвнiсть
min(p, m)∑
j=1
(
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
σp−j+1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t), ψ(t)
)
= 1. (2.34)
Отже,
min(i, m)∑
j=1
(
∂jP (t, λ0(t))
j!∂λj
σi−j+1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t), ψ(t)
)
= δi, p, i = 1, p, (2.35)
де δi, p — символ Кронекера.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
388 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
Iз (2.29), (2.35) випливає, що при α < p умова (2.14) виконується, а при α = p набирає
вигляду
P (p)
p (λ)−
(
g(p)(t), ψ(t)
)
= 0. (2.36)
Оскiльки P (p)
p (λ) = (λ(1)(t))p i g(p)(t) = K(t)ϕ(t), де
K(t) = −
m∑
k=0
λk0(t)A
(1)
k (t)−δ1,h
m∑
k=1
Ck−1k λk−10 (t)A
(0)
k (t)
d
dt
−δ1,h
m∑
k=2
k−1∑
i=1
λk−1−i0 (t)
dλi0(t)
dt
A
(0)
k (t),
то з рiвняння (2.36) дiстанемо
(λ(1)(t))p =
(
K(t)ϕ(t), ψ(t)
)
.
Припустимо, що виконується умова
6◦) (K(t)ϕ(t), ψ(t)) 6= 0 ∀t ∈ [0, T ].
Тодi з останнього рiвняння знайдемо p рiзних, вiдмiнних вiд нуля функцiй λ(1)(t):
λ(1)(t) = p
√
‖(K(t)ϕ(t), ψ(t))‖
[
cos
arg(K(t)ϕ(t), ψ(t)) + 2π(j − 1)
p
+
+ i sin
arg(K(t)ϕ(t), ψ(t)) + 2π(j − 1)
p
]
, j = 1, p. (2.37)
Знайшовши функцiю λ(1)(t), за формулою (2.15) визначимо вектор u(1)(t), оскiльки
вектор b(1)(t) вже вiдомий, а рiвняння (2.10) є розв’язним при α = 1.
Зафiксуємо одну з функцiй λ(1)(t), що визначається виразом (2.37), а також вiдповiд-
ний вектор u(1)(t) i знайдемо наступнi коефiцiєнти розвинень (2.2), (2.3). Для визначення
функцiї λ(2)(t) використаємо умову (2.14) при α = p + 1. Згiдно з (2.29), (2.35) цю умову
запишемо у виглядi
P (p+1)
p (λ) = C1(t),
де
C1(t) = P
(1)
1 (λ)
(
σ2(H̃1, H̃2, . . . , H̃m)g(p)(t), ψ(t)
)
+
(
g(p+1)(t), ψ(t)
)
−
−
min(p+1,m)∑
i=1
P
(p+1)
p+1 (λ)
(
∂iP (t, λ0(t))
i!∂λi
σp−i+2(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t), ψ(t)
)
.
Оскiльки P (p+1)
p (λ) = pλ(2)(t)(λ(1)(t))p−1, а C1(t) — вже вiдомий вираз, то звiдси маємо
λ(2)(t) =
C1(t)
p(λ(1)(t))p−1
.
Визначивши функцiю λ(2)(t), за формулою (2.11) знайдемо вектор b(2)(t), а потiм за фор-
мулою (2.15) — вектор u(2)(t). Продовжуючи цей iтерацiйний процес, можна визначити
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 389
будь-якi коефiцiєнти розвинень (2.2), (2.3). Дiйсно, нехай λ(i)(t), u(i)(t) вже вiдомi при
i 6 s. Тодi для визначення функцiї λ(s+1)(t) використаємо умову (2.14) при α = p + s.
Згiдно з (2.29), (2.35) ця умова набирає вигляду
P (p+s)
p (λ) = Cs(t),
де
Cs(t) =
s−1∑
k=0
min(s−k, m)∑
i=1
P
(s−k)
i (λ)
(
σi+1(H̃1, H̃2, . . . , H̃m)g(p+k)(t), ψ(t)
)
+
(
g(p+s)(t), ψ(t)
)
−
−
p+s∑
k=p+1
min(k, m)∑
i=1
P
(p+s)
k (λ)
(
∂iP (t, λ0(t))
i!∂λi
σk−i+1(H1, H2, . . . ,Hm)ϕ(t), ψ(t)
)
— вже вiдомий вираз згiдно з припущенням iндукцiї.
ПокладемоP (p+s)
p (λ) = pλ(s+1)(t)(λ(1)(t))p−1+P̃
(p+s)
p (λ), де P̃ (p+s)
p (λ) — частина виразу
P
(p+s)
p (λ), яка мiстить лише тi функцiї λ(i)(t), iндекси яких i ≤ s. Тодi
λ(s+1)(t) =
Cs(t)− P̃ (p+s)
p (λ)
p(λ(1)(t))p−1
. (2.38)
Визначивши λ(s+1)(t), за формулою (2.15) знайдемо вiдповiдний вектор u(s+1)(t).
Рекурентнi формули (2.13), (2.15), (2.12), (2.37), (2.38) дають змогу визначити будь-якi
коефiцiєнти формальних розвинень (2.2), (2.3). Iснування похiдних, якi входять у цi фор-
мули, гарантується умовою 2◦ та вiдповiдною гладкiстю функцiї λ0(t), вектор-функцiй
ϕ(t), ψ(t) та матрицi H(t). Згiдно з (2.37) описаним способом можна знайти p рiзних фор-
мальних розв’язкiв системи (1.1).
Дотримуючись [8], другу групу розв’язкiв системи (1.1), якi вiдповiдають нескiнчен-
ному елементарному дiльнику граничної в’язки матриць (1.3), шукатимемо у виглядi
x(t, ν) = v(t, ν) exp
ν−qh−1 t∫
0
dτ
ξ(τ, ν)
, (2.39)
де n-вимiрний вектор v(t, ν) i скалярна функцiя ξ(t, ν) зображуються у виглядi формаль-
них розвинень
v(t, ν) =
∞∑
k=0
νkv(k)(t), (2.40)
ξ(t, ν) =
∞∑
k=0
νkξ(k)(t) (2.41)
за степенями ν = q
√
ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
390 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
Використавши формули (2.4), (2.5), матимемо
dkx
dtk
=
k∑
i=0
i∑
j=0
ν−(qh+1)jCik
dk−iv(t, ν)
dtk−i
Di−j [ξ
−j ] exp
ν−qh−1 t∫
0
dτ
ξ(τ, ν)
, k = 0, m,
(2.42)
де
Di−j [ξ
−j ] =
∑
s1+s2+...+sj=i−j
j∏
α=1
Γsα [ξ−1], j = 1, i, i = 1, m.
Пiдставивши вектори (2.42) у систему (1.1), отримаємо
m∑
k=0
k∑
i=0
i∑
j=0
νq(k−j)h−jCikDi−j [ξ
−j ]Ak(t, ε)
dk−iv(t, ν)
dtk−i
= 0.
Помноживши цю рiвнiсть на функцiю νmξm(t, ν), дiстанемо
m∑
k=0
k∑
i=0
i∑
j=0
νq(k−j)h+m−jCikξ
m(t, ν)Di−j [ξ
−j ]Ak(t, ε)
dk−iv(t, ν)
dtk−i
= 0.
Видiливши тут доданки, в яких k = i = j, та взявши до уваги, що D0[ξ
α] = ξα(t, ν),
матимемо
m∑
k=0
νm−kD0[ξ
m−k]Ak(t, ε)v(t, ν) +
m∑
k=2
k−1∑
j=1
νq(k−j)h+m−jD0[ξ
m]Dk−j [ξ
−j ]Ak(t, ε)v(t, ν)+
+
m∑
k=1
k−1∑
i=0
i∑
j=0
νq(k−j)h+m−jCikD0[ξ
m]Di−j [ξ
−j ]Ak(t, ε)
dk−iv(t, ν)
dtk−i
= 0. (2.43)
Запишемо шукану функцiю
1
ξ(t, ν)
= ξ̃(t, ν) у виглядi формального ряду за степеня-
ми параметра ν:
ξ̃(t, ν) =
∞∑
k=0
νkξ̃(k)(t),
коефiцiєнти якого визначаються за рекурентними формулами
ξ̃(0)(t) =
1
ξ(0)(t)
,
ξ̃(k)(t) = −
∑k
j=1 ξ
(j)(t)ξ̃(k−j)(t)
ξ(0)(t)
, k = 1, 2, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 391
Згiдно з (2.7), (2.8) маємо
Di−j [ξ̃
j ] =
∞∑
k=0
νkD
(k)
i−j [ξ̃
j ], j = 1, i, i = 1, m, (2.44)
де
D
(k)
i−j [ξ̃
j ] =
∑
s1+s2+...+sj=i−j
∑
k1+k2+...+kj=k
j∏
α=1
Γ(kα)
sα [ξ̃], j = 1, i, i = 1, m.
Пiдставивши в (2.43) розвинення (1.2), (2.40), (2.41), (2.44) i прирiвнявши вирази при
однакових степенях ν, дiстанемо нескiнченну систему алгебраїчних рiвнянь
A(0)
m (t)v(0)(t) = 0, (2.45)
A(0)
m (t)v(s)(t) = a(s)(t), s = 1, 2, . . . , (2.46)
де
a(s)(t) = −
m−1∑
k=0
s−m+k∑
α=0
D
(α)
0 [ξm−k]A
(0)
k (t)v(s−α−m+k)(t) + g(s)(t), s = 1, 2, . . . ,
g(s)(t) = g
(s)
1 (t) + g
(s)
2 (t) + g
(s)
3 (t), s = q, q + 1, . . . ,
g
(s)
1 (t) = −
m∑
k=0
s−q−m+k∑
α=0
[
s−α−m+k
q
]∑
β=1
D
(α)
0 [ξm−k]A
(β)
k (t)v(s−α−βq+k−m)(t), s = q, q + 1, . . . ,
(2.47)
g
(s)
2 (t) = −
m∑
k=2
k−1∑
j=1
s−θ(k,j)∑
α=0
s−α−θ(k,j)∑
β=0
[
s−α−β−θ(k,j)
q
]∑
γ=0
D
(α)
0 [ξm]D
(β)
k−j [ξ̃j ]A
(γ)
k (t)v(s−α−β−γq−θ(k,j))(t),
s = qh+m− 1, qk +m, . . . ,
g
(s)
3 (t) = −
m∑
k=1
k−1∑
i=0
i∑
j=0
s−θ(k,j)∑
α=0
s−α−θ(k,j)∑
β=0
[
s−α−β−θ(k,j)
q
]∑
γ=0
CikD
(α)
0 [ξm]D
(β)
i−j [ξ̃
j ]A
(γ)
k (t)×
× dk−iv(s−α−β−γq−θ(k,j))(t)
dtk−i
,
s = qh+m, qk +m+ 1, . . . , θ(k, j) = q(k − j)h+m− j.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
392 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
Покажемо, що з цiєї системи можна послiдовно визначити будь-якi коефiцiєнти роз-
винень (2.40), (2.41). З рiвняння (2.45) маємо
v(0)(t) = ϕ̃(t). (2.48)
Як i при розв’язуваннi системи рiвнянь (2.10), сумiснiсть системи (2.46) забезпечимо, ви-
значаючи функцiї ξ(i)(t), i = 0, 1, . . . , з умови ортогональностi її правої частини вектору
ψ̃(t):
(a(s)(t), ψ̃(t)) = 0, s = 1, 2, . . . . (2.49)
За виконання умови (2.49) вектори v(s)(t), s = 1, 2, . . . , визначатимемо за формулою
v(s)(t) = G(t)a(s)(t), s = 1, 2, . . . , (2.50)
де G(t) — матриця, напiвобернена до A(0)
m (t), яку визначимо так, щоб G(t) ∈ C∞[0;T ].
Виразимо вектори a(s)(t), s = 1, 2, . . . , через шуканi функцiї ξ(i)(t), i = 0, 1, . . . . Пiд-
ставляючи послiдовно (2.48), (2.50) у (2.47) при s < q, маємо
a(1)(t) = −D(0)
0 [ξ1]A
(0)
m−1(t)ϕ̃(t),
a(2)(t) = D
(0)
0 [ξ2]
[
A
(0)
m−1(t)G(t)A
(0)
m−1(t)−A
(0)
m−2(t)
]
ϕ̃(t)−D(1)
0 [ξ1]A
(0)
m−1(t)ϕ̃(t),
a(3)(t) = −D(0)
0 [ξ3]
[
A
(0)
m−1(t)
(
(G(t)A
(0)
m−1(t))
2 −G(t)A
(0)
m−2(t)
)
−A(0)
m−2(t)G(t)A
(0)
m−1(t) +
+ A
(0)
m−3(t)
]
ϕ̃(t) +D
(1)
0 [ξ2]
[
A
(0)
m−1(t)G(t)A
(0)
m−1(t)−A
(0)
m−2(t)
]
ϕ̃(t)−
−D(2)
0 [ξ1]A
(0)
m−1(t)ϕ̃(t).
Беручи до уваги, що
A
(0)
m−j(t) =
∂jM(t, 0)
j!∂ωj
, j = 1, m,
де
M(t, ω) =
m∑
j=0
ωjA
(0)
m−j(t), (2.51)
i вводячи позначення
Gj(t) = −G(t)
∂jM(t, 0)
j!∂ωj
, j = 1, m,
вектори a(1)(t), a(2)(t), a(3)(t) записуємо у виглядi
a(1)(t) = −D(0)
0 [ξ1]
∂M(t, 0)
1!∂ω
ϕ̃(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 393
a(2)(t) = −D(0)
0 [ξ2]
[
∂M(t, 0)
1!∂ω
G1(t) +
∂2M(t, 0)
2!∂ω2
]
ϕ̃(t)−D(1)
0 [ξ1]
∂M(t, 0)
1!∂ω
ϕ̃(t),
a(3)(t) = −D(0)
0 [ξ3]
[
∂M(t, 0)
1!∂ω
(G2
1(t) +G2(t)) +
∂2M(t, 0)
2!∂ω2
G1(t) +
∂3M(t, 0)
3!∂ω3
]
ϕ̃(t)−
−D(1)
0 [ξ2]
[
∂M(t, 0)
1!∂ω
G1(t) +
∂2M(t, 0)
2!∂ω2
]
ϕ̃(t)−D(2)
0 [ξ1]
∂M(t, 0)
1!∂ω
ϕ̃(t).
Нарештi, використовуючи формулу (2.22), дiстаємо
a(1)(t) = −D(0)
0 [ξ1]
∂M(t, 0)
1!∂ω
σ1(G1, G2, . . . , Gm)ϕ̃(t),
a(2)(t) = −D(0)
0 [ξ2]
[
∂M(t, 0)
1!∂ω
σ2(G1, G2, . . . , Gm) +
∂2M(t, 0)
2!∂ω2
σ1(G1, G2, . . . , Gm)
]
ϕ̃(t)−
−D(1)
0 [ξ1]
∂M(t, 0)
1!∂ω
σ1(G1, G2, . . . , Gm)ϕ̃(t),
a(3)(t) = −D(0)
0 [ξ3]
[
∂M(t, 0)
1!∂ω
σ3(G1, G2, . . . , Gm) +
∂2M(t, 0)
2!∂ω2
σ2(G1, G2, . . . , Gm) +
+
∂3M(t, 0)
3!∂ω3
σ1(G1, G2, . . . , Gm)
]
ϕ̃(t)−D(1)
0 [ξ2]
[
∂M(t, 0)
1!∂ω
σ2(G1, G2, . . . , Gm) +
+
∂2M(t, 0)
2!∂ω2
σ1(G1, G2, . . . , Gm)
]
ϕ̃(t)−D(2)
0 [ξ1]
∂M(t, 0)
1!∂ω
σ1(G1, G2, . . . , Gm)ϕ̃(t).
Методом математичної iндукцiї встановимо, що у загальному випадку
a(s)(t) = −
s∑
i=1
min(i, m)∑
j=1
D
(s−i)
0 [ξi]
∂jM(t, 0)
j!∂ωj
σi−j+1(G1, G2, . . . , Gm)ϕ̃(t), s = 1, q − 1.
(2.52)
При s ≥ q у складi a(s)(t) з’являються вирази g(s)(t), s = q, q + 1, . . . . Тому, продов-
живши пiдстановку (2.48), (2.50) у (2.47), дiстанемо вирази вигляду (2.52) та вирази, що
мiстять вектори g(s)(t). Позначивши останнi через ã(s)(t), s = q, q + 1, . . . , виразимо їх
через функцiї ξ(i)(t), i = 0, 1, . . . .
При s = q, q + 1, q + 2 матимемо
ã(q)(t) = g(q)(t),
ã(q+1)(t) = −D(0)
0 [ξ1]
∂M(t, 0)
1!∂ω
G(t)g(q)(t) + g(q+1)(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
394 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
ã(q+2)(t) = D
(0)
0 [ξ2]
[(
∂M(t, 0)
1!∂ω
G(t)
)2
− ∂2M(t, 0)
2!∂ω2
G(t)
]
g(q)(t)−
−D(1)
0 [ξ1]
∂M(t, 0)
1!∂ω
G(t)g(q)(t)−D(0)
0 [ξ1]
∂M(t, 0)
1!∂ω
G(t)g(q+1)(t) + g(q+2)(t).
Ввiвши позначення
G̃j(t) = −∂
jM(t, 0)
j!∂ωj
G(t), j = 1, m,
i використавши формулу (2.22), дiстанемо
ã(q+1)(t) = D
(0)
0 [ξ1]σ2(G̃1, G̃2, . . . , G̃m)g(q)(t) + g(q+1)(t),
ã(q+2)(t) =
[
D
(0)
0 [ξ2]σ3(G̃1, G̃2, . . . , G̃m) +D
(1)
0 [ξ1]σ2(G̃1, G̃2, . . . , G̃m)
]
g(q)(t)+
+D
(0)
0 [ξ1]σ2(G̃1, G̃2, . . . , G̃m)g(q+1)(t) + g(q+2)(t).
Провiвши iндукцiю по s, встановимо, що у загальному випадку
ã(s)(t) =
s−q−1∑
j=0
s−q−j∑
i=1
D
(s−q−j−i)
0 [ξi]σi+1(G̃1, G̃2, . . . , G̃m)g(q+j)(t) + g(s)(t), s = q, q + 1, . . . .
(2.53)
Об’єднавши формули (2.52), (2.53), отримаємо
a(s)(t) = −
s∑
i=1
min(i, m)∑
j=1
D
(s−i)
0 [ξi]
∂jM(t, 0)
j!∂ωj
σi−j+1(G1, G2, . . . , Gm)ϕ̃(t)+
+
s−q−1∑
j=0
s−q−j∑
i=1
D
(s−q−j−i)
0 [ξi]σi+1(G̃1, G̃2, . . . , G̃m)g(q+j)(t) + g(s)(t), s = 1, 2, . . . .
(2.54)
Перейдемо до визначення коефiцiєнтiв ξ(s)(t), s = 0, 1, . . . , розвинення (2.41). Оскiль-
ки за умовою 4◦ в’язка матриць (1.3) має нескiнченний елементарний дiльник кратностi
q, то згiдно з [13] нульовому власному значенню симетричної в’язки матриць (2.51) вiдпо-
вiдає жорданiв ланцюжок векторiв завдовжки q, що складається з власного вектора ϕ̃(t)
i приєднаних векторiв ϕ̃i(t), i = 2, q, якi задовольняють спiввiдношення
M(t, 0)ϕ̃(t) = 0,
M(t, 0)ϕ̃i(t) +
min(i−1, m)∑
j=1
∂jM(t, 0)
j!∂ωj
ϕ̃i−j(t) = 0, i = 2, q.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 395
При цьому рiвняння
M(t, 0)ỹ +
min(q, m)∑
j=1
∂jM(t, 0)
j!∂ωj
ϕ̃q−j+1(t) = 0
є не розв’язним вiдносно вектора ỹ. Виходячи з цього i провiвши такi самi мiркування, як
i для жорданового ланцюжка, що вiдповiдає скiнченному елементарному дiльнику, вста-
новимо, що при вiдповiдному виборi вектора ψ̃(t) виконуються спiввiдношення
min(i, m)∑
j=1
(
∂jM(t, 0)
j!∂ωj
σi−j+1(G1, G2, . . . , Gm)ϕ̃(t), ψ̃(t)
)
= δi, q, i = 1, q. (2.55)
Згiдно з (2.54), (2.55) при s < q умова (2.49) виконується, а при s = q набирає вигляду
D
(0)
0 [ξq]−
(
g(q)(t), ψ̃(t)
)
= 0.
Оскiльки D(0)
0 [ξq] = (ξ(0)(t))q, g(q)(t) = −A(1)
m (t)ϕ̃(t), то звiдси маємо
(ξ(0)(t))q = −
(
A(1)
m (t)ϕ̃(t), ψ̃(t)
)
.
Вiдповiдно до умови 5◦ з останнього рiвняння визначимо q рiзних, вiдмiнних вiд нуля
функцiй ξ(0)(t):
ξ(0)(t) = q
√∥∥∥(A(1)
m (t)ϕ̃(t), ψ̃(t)
)∥∥∥
cos
arg
(
−
(
A
(1)
m (t)ϕ̃(t), ψ̃(t)
))
+ 2π(j − 1)
q
+
+ i sin
arg
(
−
(
A
(1)
m (t)ϕ̃(t), ψ̃(t)
))
+ 2π(j − 1)
q
, j = 1, q. (2.56)
Таким чином, функцiю ξ(0)(t) i вектор v(0)(t) визначено. Iншi коефiцiєнти розвинень
(2.40), (2.41) можна знайти рекурентним способом. Зафiксуємо одну iз знайдених функцiй
ξ(0)(t) i вважатимемо, що вiдповiднi функцiї ξ(i)(t) та вектори v(i)(t) вже вiдомi при i < r.
Тодi для визначення функцiї ξ(r)(t) скористаємось умовою (2.49) при s = q+ r. Взявши до
уваги рiвнiсть (2.55), матимемо
D
(r)
0 [ξq]− Sr(t) = 0,
де
Sr(t) = −
r+q∑
α=q+1
min(α, m)∑
β=1
D
(r+q−α)
0 [ξα]
(
∂βM(t, 0)
β!∂ωβ
σα−β+1(G1, G2, . . . , Gm)ϕ̃(t), ψ̃(t)
)
+
+
r−1∑
α=0
r−α∑
β=1
D
(r−α−β)
0 [ξβ]
(
σβ+1(G̃1, G̃2, . . . , G̃m)g(q+α)(t), ψ̃(t)
)
+
(
g(q+r)(t), ψ̃(t)
)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
396 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
— вже вiдомий вираз згiдно з припущенням iндукцiї.
Оскiльки
D
(r)
0 [ξq] = qξ(r)(t)(ξ(0)(t))q−1 + D̃
(r)
0 [ξq],
де доданок D̃(r)
0 [ξq] мiстить лише тi функцiї ξ(i)(t), iндекси яких меншi за r, то
ξ(r)(t) =
Sr(t)− D̃(r)
0 [ξq]
q(ξ(0)(t))q−1
. (2.57)
Знайшовши функцiю ξ(r)(t), вектор v(r)(t) знайдемо за формулою (2.50).
Отриманi формули дають можливiсть визначити будь-якi коефiцiєнти розвинень (2.40),
(2.41). Iснування похiдних, якi входять в цi формули, гарантується умовою 2◦ та вiдповiд-
ною гладкiстю вектор-функцiй ϕ̃(t), ψ̃(t) i матрицi G(t). Згiдно з (2.56) таким способом
можна побудувати q рiзних формальних розв’язкiв системи (1.1).
Таким чином, справджується така теорема.
Теорема. Якщо виконуються умови 1◦ – 6◦, то на вiдрiзку [0, T ] система диференцi-
альних рiвнянь (1.1) має p формальних розв’язкiв вигляду
xi(t, µ) = ui(t, µ) exp
ε−h t∫
0
λi(τ, µ)dτ
, i = 1, p,
що вiдповiдають скiнченному елементарному дiльнику граничної в’язки матриць (1.3),
i q розв’язкiв вигляду
xj(t, ν) = vj(t, ν) exp
ν−qh−1 t∫
0
dτ
ξj(τ, ν)
, j = 1, q,
якi вiдповiдають нескiнченному елементарному дiльнику цiєї в’язки, де ui(t, µ), vj(t, ν) —
n-вимiрнi вектори, а λi(t, µ), ξj(t, ν) — скалярнi функцiї, якi зображуються у виглядi
формальних розвинень (2.2), (2.3), (2.40), (2.41) за степенями параметрiв µ = p
√
ε та
ν = q
√
ε вiдповiдно. Коефiцiєнти цих розвинень визначаються за рекурентними форму-
лами (2.13), (2.15), (2.12), (2.37), (2.38),(2.48), (2.50), (2.56), (2.57).
Зазначимо, що дана теорема поширюється i на той випадок, коли головна матриця
A
(0)
m (t) при старшiй похiдний у системi (1.1) є неособливою. У цьому випадку гранична
в’язка матриць матиме тiльки скiнченний елементарний дiльник, якому вiдповiдає p =
= mn розв’язкiв вигляду (2.1).
Методами, викладеними у роботах [8, 11], можна довести, що формальнi розв’язки, якi
будуються за вказаним алгоритмом, лiнiйно незалежнi в тому розумiннi, що такими бу-
дуть l-наближення, утворенi шляхом обривання розвинень (2.2), (2.3), (2.40), (2.41) на l-му
членi, якщо l ≥ max(p− 1, q− 1). Тому їх лiнiйна комбiнацiя буде загальним формальним
розв’язком системи (1.1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 397
3. Асимптотичнi властивостi формальних розв’язкiв. Використовуючи результати [8,
11], можна переконатися, що отриманi розв’язки є асимптотичним розвиненням точних
лiнiйно незалежних розв’язкiв системи (1.1) при ε → 0, якщо функцiї
Re
(
λ0(t) +
ph−1∑
k=1
µkλ
(k)
i (t)
)
, i = 1, p,
i
Re
(
qh∑
k=0
νkξ
(k)
j (t)
)
, j = 1, q,
не змiнюють знак на заданому вiдрiзку [0; T ]. Для цього необхiдно звести систему (1.1) до
еквiвалентної системи рiвнянь першого порядку i застосувати процедуру оцiнки вiдхилу,
описану в [8, 11]. В результатi отримаємо асимптотичнi оцiнки
‖xi(t, ε)−x(l)i (t, ε)‖ ≤ ciε
δ(l+1−ph)+p(1−δ)
pδ sup
t∈[0; T ]
exp
ε−h t∫
t0
Re
(
λ0(τ) +
ph−1∑
k=1
µkλ
(k)
i (τ)
)
dτ
,
∥∥∥∥∥dkxi(t, ε)dtk
−
dkx
(l)
i (t, ε)
dtk
∥∥∥∥∥ ≤
≤ ciε
δ(l+1−ph)+p(1−δ)
pδ ε−kh sup
t∈[0; T ]
exp
ε−h t∫
t0
Re
(
λ0(τ) +
ph−1∑
k=1
µkλ
(k)
i (τ)
)
dτ
,
i = 1, p для розв’язкiв першої групи, що вiдповiдають скiнченному елементарному дiль-
нику, i
‖xj(t, ε)− x(l)j (t, ε)‖ ≤ ε
δ(l−qh)+q(1−δ)
qδ sup
t∈[0; T ]
exp
ε−qh−1
q
t∫
t0
Re
(∑qh
k=0 ν
kξ
(k)
j (τ)
)
∣∣ξ(l)(τ, ν)
∣∣2 dτ
,
∥∥∥∥∥dkxj(t, ε)dtk
−
dkx
(l)
j (t, ε)
dtk
∥∥∥∥∥ ≤
≤ ε
δ(l−ph)+p(1−δ)
pδ ε−kh sup
t∈[0; T ]
exp
ε−qh−1
q
t∫
t0
Re
(∑qh
k=0 ν
kξ
(k)
j (τ)
)
∣∣ξ(l)(τ, ν)
∣∣2 dτ
,
j = 1, q, для розв’язкiв другої групи, якi вiдповiдають нескiнченному елементарному
дiльнику граничної в’язки матриць P (t, λ), де xi(t, ε), xj(t, ε) — точнi розв’язки системи
(1.1), x(l)i (t, ε), x
(l)
j (t, ε) — вiдповiднi l-наближення, ci, cj — деякi сталi, що не залежать
вiд ε, δ = max(p, q).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
398 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
1. Фещенко С. Ф. Малi коливання систем iз скiнченним числом ступенiв вiльностi // Наук. зап. Київ. пед.
iн-ту. Фiз-мат. сер. — 1949. — 9, № 4. — С. 99 – 155.
2. Павлюк I. А. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв неавтономних систем диференцiальних рiвнянь дру-
гого порядку. — Київ: Вид-во Київ. ун-ту, 1970. — 208 с.
3. Шкиль Н. И., Шаманов З. Об асимптотическом решении системы линейных дифференциальных урав-
нений второго порядка // Приближенные методы математического анализа. — Киев: Киев. пед. ин-т,
1978. — С. 137 – 146.
4. Шкиль Н. И., Мейлиев Т. К. Об асимптотическом представлении решений системы линейных диффе-
ренциальных уравнений второго порядка с малым параметром при производной дробного ранга //
Докл. АН УССР. — 1979. — № 4. — С. 264 – 267.
5. Шкиль Н. И., Конет И. И. Асимптотические свойства формальных фундаментальных матриц систем
линейных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих параметр // Укр. мат. журн. —
1983. — 35, № 1. — С. 124 – 130.
6. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений. — Киев: Вища шк., 1989. — 287 с.
7. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. — М.: Наука, 1983. — 352 с.
8. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
9. Кушнир В. А. Асимптотические разложения решений систем линейных дифференциальных уравне-
ний высших порядков з малым параметром при производных: дис.... канд. физ.-мат. наук. — Киев,
1984. — 139 с.
10. Кушнiр В. А., Кушнiр Г. А. Побудова асимптотичних розв’язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiв-
нянь вищих порядкiв з малим параметром при похiдних // Наук. часопис Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Дра-
гоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. науки. — 2007. – Вип. 8. — С. 139 – 143.
11. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с вырождениями. — Киев: Вища шк., 1991. — 207 с.
12. Пафик С. П., Яковець В. П. Про структуру загального розв’язку та умови розв’язностi задачi Кошi для
вироджених лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв // Укр. мат. журн. — 2013. — 65,
№ 2. — С. 296 – 306.
13. Пафик С. П., Яковець В. П. Побудова асимптотики розв’язкiв лiнiйних сингулярно збурених систем
диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв з виродженнями // Наук. часопис Нац. пед. ун-ту iм. М. П.
Драгоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. науки. — 2012. — Вип. 13. — С. 201 – 217.
Одержано 03.07.13,
пiсля доопрацювання — 14.04.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
|