Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів
The exact analytical solution of the nonstationary heat problem for many-layer cylindrical half-spaces is constructed by the method of integral transformations.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1771 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів / І.М. Конет // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 17–24. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859816428978307072 |
|---|---|
| author | Конет, І.М. |
| author_facet | Конет, І.М. |
| citation_txt | Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів / І.М. Конет // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 17–24. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | The exact analytical solution of the nonstationary heat problem for many-layer cylindrical half-spaces is constructed by the method of integral transformations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:22:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
© 2007
I.М. Конет
Iнтегральнi зображення розв’язкiв нестацiонарних
задач теплопровiдностi для багатошарових
цилiндричних пiвпросторiв
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.О. Перестюком)
The exact analytical solution of the nonstationary heat problem for many-layer cylindrical half-
spaces is constructed by the method of integral transformations.
Нестацiонарнi крайовi задачi феноменологiчної теорiї теплопровiдностi для багатошаро-
вих (кусково-однорiдних) середовищ становлять значний теоретичний та практичний iн-
терес [1–3]. Питанням побудови методом iнтегральних перетворень точних аналiтичних
розв’язкiв згаданих задач у декартовiй, сферичнiй та цилiндричнiй системах координат
присвяченi монографiї [4–6]. Зокрема, в [6] розглянуто необмеженi, напiвобмеженi та обме-
женi багатошаровi за радiальною координатою цилiндрично-круговi областi.
У цьому повiдомленнi пропонуються iнтегральнi зображення нестацiонарних задач теп-
лопровiдностi для багатошарових цилiндричних пiвпросторiв.
Задача про структуру нестацiонарного температурного поля в ортотропному суцiльно-
му (n + 1)-шаровому за декартовою координатою цилiндричному пiвпросторi математично
зводиться до побудови обмеженого в областi
D =
{
(t, r, ϕ, z) : t ∈ (0;∞), r ∈ (0;∞); ϕ ∈ [0; 2π); z ∈ I+
n =
n+1⋃
j=1
Ij ≡
n+1⋃
j=1
(lj−1; lj),
l0 > 0, lk < lk+1; k = 1, n; ln+1 = ∞
}
2π-перiодичного щодо кутової змiнної ϕ розв’язку сепаратної системи диференцiальних рiв-
нянь теплопровiдностi параболiчного типу [7]
∂Tj
∂t
−
[
a2
rj
(
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
1
r2
∂2
∂ϕ2
)
+ a2
zj
∂2
∂z2
]
Tj + χ2
jTj = fj(t, r, ϕ, z),
z ∈ Ij , j = 1, n + 1,
(1)
за початковими умовами
Tj(t, r, ϕ, z)
∣∣
t=0
= gj(r, ϕ, z), j ∈ Ij , j = 1, n + 1, (2)
крайовими умовами
(
α0
11
∂
∂z
+ β0
11
)
T1
∣∣∣∣
z=l0
= g0(t, r, ϕ),
∂Tn+1
∂z
∣∣∣∣
z=∞
= 0, (3)
Tj(t, r, ϕ, z)
∣∣∣∣
r=0
< ∞,
∂Tj
∂r
∣∣∣∣
r=∞
= 0, j = 1, n + 1, (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 17
та умовами неiдеального теплового контакту [8]
[(
Rk
∂
∂z
+ 1
)
Tk − Tk+1
]∣∣∣∣
z=lk
= 0,
(
νk
∂Tk
∂z
− νk+1
∂Tk+1
∂z
)∣∣∣∣
z=lk
= 0, k = 1, n.
(5)
Фiзико-механiчний змiст параметрiв i функцiй, якi беруть участь у формулюваннi за-
дачi, розкрито в [7, 8].
Вважаємо, що для задачi (1)–(5) виконуються умови узгодженостi [7]
(
α0
11
∂
∂z
+ β0
11
)
g1(r, ϕ, z)
∣∣∣∣
z=l0
= g0(0, r, ϕ),
∂gn+1
∂z
∣∣∣∣
z=∞
= 0,
gj(r, ϕ, z)
∣∣∣∣
r=0
< ∞,
∂gj
∂r
∣∣∣∣
r=∞
= 0, z ∈ Ij , j = 1, n + 1.
До задачi (1)–(5) застосуємо скiнченне iнтегральне перетворення Фур’є щодо кутової
змiнної ϕ [6] та iнтегральне перетворення Фур’є–Бесселя щодо радiальної змiнної r [6].
Одержуємо задачу про структуру обмеженого в областi D′′ = {(t, z); t ∈ (0;∞); z ∈ I+
n }
розв’язку сепаратної системи диференцiальних рiвнянь
∂T̃jm
∂t
− a2
zj
∂2T̃jm
∂z2
+ (a2
rjλ
2 + χ2
j)T̃jm = f̃jm(t, λ, z), z ∈ Ij , j = 1, n + 1, (6)
за початковими умовами
T̃jm(t, λ, z)
∣∣
t=0
= g̃jm(λ, z), z ∈ Ij , j = 1, n + 1, (7)
крайовими умовами
(
α0
11
∂
∂z
+ β0
11
)
T̃1m
∣∣∣∣
z=l0
= g̃0m(t, λ),
∂T̃n+1,m
∂z
∣∣∣∣
z=∞
= 0 (8)
та умовами спряження
[(
Rk
∂
∂z
+ 1
)
T̃km − T̃k+1,m
]∣∣∣∣
z=lk
= 0,
(
νk
∂T̃km
∂z
− νk+1
∂T̃k+1,m
∂z
)∣∣∣∣
z=lk
= 0, k = 1, n.
(9)
До задачi (6)–(9) застосуємо iнтегральне перетворення Фур’є на декартовiй пiвосi z >
> l0 > 0 з n точками спряження [4]:
Fn,+[f(z)] =
∞∫
l0
f(z)V (z, β)σ(z) dz ≡ f̃(β), (10)
F−1
n,+[f̃(β)] =
2
π
∞∫
0
f̃(β)V (z, β)Ωn(β)dβ ≡ f(z), (11)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Fn,+
[
n∑
j=1
a2
jθ(z − lj−1)θ(lj − z)
d2f
dz2
+ a2
n+1θ(z − ln)
d2f
dz2
]
≡
≡
n+1∑
j=1
a2
j
lj∫
lj−1
d2f
dz2
Vj(z, β)σjdz ≡ −β2f̃(β) − σ1a
2
1(α
0
11)
−1V1(l0, β) ×
×
(
α0
11
df
dz
+ β0
11f
)∣∣∣∣
z=l0
−
n+1∑
j=1
γ2
j
lj∫
lj−1
f(z)Vj(z, β)σjdz. (12)
У рiвностях (10)–(12) беруть участь величини i функцiї:
V (z, β) =
n∑
k=1
Vk(z, β)θ(z − lk−1)θ(lk − z) + Vn+1(z, β)θ(z − ln);
σ(z) =
n∑
k=1
σkθ(z − lk−1)θ(lk − z) + σn+1θ(z − ln);
Vm(z, β) =
n∏
j=m
c2jqn+1(β
2)Gm(z, β), m = 1, n;
Vn+1(z, β) = ωn2(β) cos(qn+1(β
2)z) − ωn1(β) sin(qn+1(β
2)z);
σk =
n∏
j=1
c1jan+1
c2ja
2
k
; σn =
c1nan+1
c2na2
n
; σn+1 =
1
a2
n+1
;
Gk(z, β) = ωk−1,2(β) cos(qk(β
2)z) − ωk−1,1(β) sin(qk(β
2)z), k = 1, n;
qj(β
2) = a−1
j (β2 + γ2
j )1/2, j = 1, n + 1; bj(β
2) = (β2 + γ2
j )1/2;
ω01(q1l0) = −ν01
11(q1l0); ω02(q1l0) = −ν02
11(q1l0);
ωjm(β) = ωj−1,2(β)Ψj
1m(qj lj, qj+1lj) − ωj−1,1(β)Ψj
2m(qjlj , qj+1lj);
Ψk
jm(qklk, qk+1lk) = ν
kj
11 (qklk)ν
km
22 (qk+1lk) − ν
kj
21 (qklk)ν
km
12 (qk+1lk);
νk1
ij (qslm) = −αk
ijqs(β
2) cos(qs(β
2)lm) + βk
ij sin(qs(β
2)lm), i, j = 1, 2, k = 1, n;
νk2
ij (qslm) = αk
ijqs(β
2) cos(qs(β
2)lm) + βk
ij sin(qs(β
2)lm), s = 1, n + 1, m = 1, n + 1;
αk
11 = Rk; βk
11 = 1; αk
12 = 0; βk
12 = 1;
αk
21 = νk; βk
21 = 0; αk
22 = νk+1; βk
22 = 0;
cjk = αk
2jβ
k
1j − αk
1jβ
k
2j 6= 0, j = 1, 2, k = 1, n;
ωn(β) = [ωn1(β)]2 + [ωn2(β)]2; Ωn(β) =
1
bn+1(β2)ωn(β)
;
θ(x) — одинична функцiя Гевiсайда.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 19
Запишемо систему диференцiальних рiвнянь (6) та початковi умови (7) у матричнiй
формi
(
∂
∂t
− a2
z1
∂2
∂z2
+ a2
r1λ
2 + χ2
j
)
T̃1m(t, λ, z)
(
∂
∂t
− a2
z2
∂2
∂z2
+ a2
r2λ
2 + χ2
j
)
T̃2m(t, λ, z)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
∂
∂t
− a2
z,n+1
∂2
∂z2
+ a2
r,n+1λ
2 + χ2
j
)
T̃n+1,m(t, λ, z)
=
f̃1m(t, λ, z)
f̃2m(t, λ, z)
. . . . . . . . . . . . .
f̃n+1,m(t, λ, z)
, (13)
T̃1m(t, λ, z)
T̃2m(t, λ, z)
. . . . . . . . . . . . . .
T̃n+1,m(t, λ, z)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
t=0
=
g̃1m(λ, z)
g̃2m(λ, z)
. . . . . . . . . . . .
g̃n+1,m(λ, z)
(14)
i подамо iнтегральний оператор Fn,+, який дiє за правилом (10), у виглядi операторної
матрицi-рядка
Fn,+[. . .] =
[ l1∫
l0
. . . V1(z, β)σ1dz . . .
∞∫
ln
. . . Vn+1(z, β)σn+1dz
]
. (15)
Перепозначимо сталi a2
zj через a2
j та застосуємо до задачi (13), (14) за правилом множен-
ня матриць операторну матрицю-рядок (15). Внаслiдок тотожностi (12), одержуємо задачу
Кошi
n+1∑
j=1
(
d
dt
+ β2 + γ2
j + a2
zjλ
2 + χ2
j
)
≈
T jm(t, λ, β) =
=
n+1∑
j=1
≈
f jm(t, λ, β) − σ1a
2
1(α
0
11)
−1V1(l0, β)g̃0m(t, λ), (16)
n+1∑
j=1
≈
T jm(t, λ, β)
∣∣
t=0
=
n+1∑
j=1
≈
gjm(λ, β), (17)
де
≈
T jm(t, λ, β) =
lj∫
lj−1
T̃jm(t, λ, z)Vj(z, β)σj dz;
≈
f jm(t, λ, β) =
lj∫
lj−1
f̃jm(t, λ, z)Vj(z, β)σj dz;
≈
gjm(λ, β) =
lj∫
lj−1
g̃jm(λ, z)Vj(z, β)σj dz, j = 1, n + 1.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Припустимо, що max(a2
r1−a2
rj)λ
2
> 0 (j = 2, n + 1) при будь-яких λ ∈ (0;∞), i покладемо
всюди γ2
j = (a2
ri − a2
zj)λ
2. Задача Кошi (16), (17) набуває вигляду
d
≈
Tm
dt
+ (β2 + a2
r1λ
2 + χ2
j )
≈
Tm =
≈
fm(t, λ, β) − σ1a
2
1(α
0
11)
−1V1(l0, β)
≈
g0m(t, λ), (18)
≈
Tm(t, λ, β)
∣∣
t=0
=
≈
gm(λ, β), (19)
де
≈
Tm(t, λ, β) =
n+1∑
j=1
≈
T jm(t, λ, β);
≈
fm(t, λ, β) =
n+1∑
j=1
≈
f jm(t, λ, β);
≈
gm(λ, β) =
n+1∑
j=1
≈
gjm(λ, β).
Безпосередньо перевiряється, що єдиним обмеженим розв’язком задачi (18), (19)
є функцiя
≈
Tm(t, λ, β) =
t∫
0
e−(β2+a2
r1
λ2+χ2
1
)[
≈
fm(τ, λ, β) − σ1a
2
1(α
0
11)
−1V1(l0, β)g̃0m(τ, λ) +
+ δ+(τ)
≈
gm(λ, β)]dτ, (20)
де δ+(τ) — мiра Дiрака, зосереджена в точцi τ = 0+.
Оскiльки суперпозицiя операторiв Fn,+ та F−1
n,+ є одиничним оператором, то оператор
F−1
n,+ зобразимо у виглядi операторної матрицi-стовпця
F−1
n,+[. . .] =
2
π
∞∫
0
. . . V1(z, β)Ωn(β)dβ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
π
∞∫
0
. . . Vn+1(z, β)Ωn(β)dβ
. (21)
Застосуємо до матрицi-елемента [
≈
Tm(t, λ, β)], де функцiя
≈
Tm(t, λ, β) визначена форму-
лою (20), за правилом множення матриць операторну матрицю-стовпець (21). Одержуємо
єдиний обмежений розв’язок задачi (6)–(9):
T̃jm(t, λ, z) =
t∫
0
2
π
∞∫
0
e−(β2+a2
r1
λ2+χ2
1
)(t−τ)[
≈
fm(τ, λ, β)−σ1a
2
1(α
0
11)
−1V1(l0, β)g̃0m(τ, λ) +
+ δ+(τ)
≈
gm(λ, β)]Vj(z, β)Ωn(β)dβdτ, j = 1, n + 1. (22)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 21
До функцiї
≈
T jm(t, λ, z) послiдовно застосуємо оберненi оператори Фур’є–Бесселя та
Фур’є. Виконавши нескладнi перетворення, одержуємо функцiї
Tj(t, r, ϕ, z) =
n+1∑
k=1
t∫
0
∞∫
0
2π∫
0
lk∫
lk−1
Ejk(t − τ, r, ρ, ϕ − α, z, ζ) ×
× [fk(τ, ρ, α, ξ) + δ+(τ)gk(ρ, ϕ, ξ)]σkρdξdαdρdτ +
+
t∫
0
∞∫
0
2π∫
0
Wj(t − τ, r, ρ, ϕ − α, z)g0(τ, ρ, α)ρdαdρdτ, j = 1, n + 1, (23)
якi описують структуру нестацiонарного температурного поля в ортотропному (n + 1)-ша-
ровому за декартовою координатою цилiндричному пiвпросторi.
У формулах (23) беруть участь: компоненти фундаментальної матрицi розв’язкiв
Ejk(t, r, ρ, ϕ, z, ξ) =
1
π2
∞∑
m=0
εmEjk,m(t, r, ρ, z, ξ) cos(mϕ)
та компоненти аплiкатної матрицi Грiна
Wj(t, r, ρ, ϕ, z) = −σ1a
2
1(α
0
11)
−1Ej1(t, r, ρ, ϕ, z, l0)
параболiчної крайової задачi (1)–(5), де
Ejk,m(t, r, ρ, z, ξ) =
∞∫
0
∞∫
0
e−(β2+a2
r1
λ2+χ2
j )tVj(z, β)Vk(ξ, β)Ωn(β)dβJm(λr)Jm(λρ)λdλ;
j, k = 1, n + 1.
Вiдомо [9], що
∞∫
0
e−b2x2
Jν(αx)Jν(βx)x dx =
1
2b2
exp
(
−
α2 + β2
4b2
)
Iν
(
αβ
2b2
)
, (24)
де Iν(x) — модифiкована цилiндрична функцiя 1-го роду ν-го порядку.
Скориставшись формулою (24), одержуємо, що
Ejk,m(t, r, ρ, z, ξ) =
e−χ2
j t
2a2
r1t
exp
(
−
r2 + ρ2
4a2
r1t
)
Im
(
rρ
2a2
r1t
) ∞∫
0
e−tβ2
Vj(z, β)Vk(ξ, β)Ωn(β) dβ.
Пiдсумком викладеного вище є така теорема.
Теорема. Припустимо, що:
1) функцiї fk(t, r, ϕ, z), k = 1, n, неперервнi на множинах {(t, r, ϕ, z); t ∈ (0;∞); r ∈
∈ (0;∞); ϕ ∈ [0; 2π); z ∈ Ik} i мають обмежену варiацiю за кожною iз змiнних r, ϕ, z;
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
2) функцiя fn+1(t, r, ϕ, z) неперервна на множинi {(t, r, ϕ, z); t ∈ (0;∞), r ∈ (0;∞); ϕ ∈
∈ [0; 2π); z ∈ In+1}, має обмежену варiацiю за кожною iз змiнних r, ϕ, z, абсолютно
сумовна на промiжку {z; z > ln} i зникає разом зi своїми частинними похiдними 1-го
порядку при z → ∞;
3) функцiї fj(t, r, ϕ, z), j = 1, n + 1, абсолютно сумовнi з вагою r на промiжку {r; r > 0}
i зникають разом зi своїми частинними похiдними 1-го порядку при r → ∞;
4) функцiї fj(t, r, ϕ, z), gj(r, ϕ, z), j = 1, n + 1, задовольняють умови неiдеального теп-
лового контакту;
5) функцiї gk(r, ϕ, z), k = 1, n, неперервнi i мають обмежену варiацiю за кожною змiн-
ною на множинах {(r, ϕ, z); r ∈ (0;∞), ϕ ∈ [0; 2π); z ∈ Ik};
6) функцiя gn+1(r, ϕ, z) неперервна i має обмежену варiацiю за кожною змiнною на
множинi {(r, ϕ, z); r ∈ (0;∞), ϕ ∈ [0; 2π); z ∈ In+1}, абсолютно сумовна на промiжку
{z; z > ln} i зникає разом зi своїми частинними похiдними 1-го порядку при z → ∞;
7) функцiї gj(r, ϕ, z), j = 1,m + 1, абсолютно сумовнi з вагою r на промiжку {r, r > 0}
i зникають разом зi своїми частинними похiдними 1-го порядку при r → ∞;
8) функцiя g0(t, r, ϕ) неперервна на множинi {(t, r, ϕ); t ∈ (0;∞), ϕ ∈ [0; 2π)}, має обме-
жену варiацiю за кожною iз змiнних r, ϕ, абсолютно сумовна з вагою r на промiжку
{r; r > 0} i зникає разом зi своїми частинними похiдними 1-го порядку при r → ∞;
9) виконуються умови узгодженостi.
Тодi в класi неперервно диференцiйовних за змiнною t i двiчi неперервно диференцiйов-
них за змiнними r, ϕ, z в областi D вектор-функцiй u(t, r, ϕ, z) = {u1(t, r, ϕ, z), u2(t, r, ϕ, z),
. . . , un(t, r, ϕ, z)}, що задовольняють умови 1–3, єдиний обмежений розв’язок параболiчної
початково-крайової задачi (1)–(5) визначається формулами (23).
Зауваження:
1. При Rk = 0 (k = 1, n) безпосередньо з формул (23) одержуємо структуру нестацiонар-
ного температурного поля у випадку здiйснення на площинах z = lk iдеального теплового
контакту.
2. У випадку a2
rj = a2
zj = a2
j > 0 формули (23) визначають структуру нестацiонарного
температурного поля в iзотропному (n + 1)-шаровому за декартовою координатою цилiн-
дричному пiвпросторi.
3. Параметри α0
11, β0
11 дають можливiсть видiляти iз формул (23) розв’язки перiодичних
початково-крайових задач у випадках задання на поверхнi z = l0 крайової умови 1, 2 i 3-го
роду.
Таким чином, при найбiльш загальних припущеннях в межах феноменологiчної теорiї
теплопровiдностi побудовано iнтегральнi зображення точних аналiтичних розв’язкiв неста-
цiонарних задач в багатошарових цилiндричних пiвпросторах. Одержанi розв’язки мають
алгоритмiчний характер, неперервно залежать вiд параметрiв та даних задачi й можуть
бути використанi як в теоретичних дослiдженнях, так i в iнженерних розрахунках.
1. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. –
Москва: Наука, 1984. – 368 с.
2. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – Киев: Наук. думка,
1992. – 280 с.
3. Сергиенко И.В., Скопецкий В. В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование про-
цессов в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с.
4. Ленюк М.П. Температурнi поля в плоских кусково-однорiдних ортотропних областях. – Київ: Iн-т
математики НАН України, 1997. – 188 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 23
5. Конет I.М. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в ортотропних сферичних областях. –
Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. – 209 с.
6. Конет I.М., Ленюк М.П. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в цилiндрично-кругових
областях. – Чернiвцi: Прут, 2001. – 312 с.
7. Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорiя рiвнянь математичної фiзики. – Київ: Либiдь, 2001. – 336 с.
8. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. – Москва: Мир, 1964. – 517 с.
9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Москва: Наука,
1971. – 1108 с.
Надiйшло до редакцiї 26.10.2006Кам’янець-Подiльський державний унiверситет
УДК 517.535.4
© 2007
К.Г. Малютин, В.А. Герасименко
Обобщенные представления субгаpмонических функций
в полуплоскости
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
We obtain the presentation of subharmonic functions of finite gamma-growth in a half-plane.
This presentation is a generalization of the known integral formulas for the subharmonic func-
tions of finite order.
В теории аналитических и субгармонических функций многие важные результаты получа-
ются с помощью различных представлений этих функций. Наиболее известная их них —
формула Пуассона–Иенсена, на которую опирается значительная часть теории субгармо-
нических функций. К ним также относятся формулы Неванлинны, Симидзу–Альфорса,
Карлемана, Левина, которые приведены в [1]. Теория субгармонических функций в полу-
плоскости C+ = {z : Im z > 0}, созданная А.Ф. Гришиным [2], в значительной мере опи-
рается на открытые им интегральные формулы. Из представления Гришина ясно видно,
что субгармоническая функция конечного порядка в верхней полуплоскости определяется
своей полной мерой с точностью до гармонического полинома, обращающегося в нуль на
вещественной оси, аналогично тому, как целая функция конечного порядка определяется
своими корнями с точностью до функции вида exp{P (z)}, где P (z) — полином.
В настоящей работе приведены представления субгармонических функций в полуплос-
кости более общего роста γ(r), чем конечный порядок. Вышеупомянутое представление
Гришина получается как частный случай при γ(r) = rρ, где ρ > 0 — фиксированное число.
Обозначим через C+ = {z : Im z > 0} верхнюю полуплоскость комплексного перемен-
ного z. Через C(a, r) будем обозначать открытый, а через B(a, r) — замкнутый круг ра-
диуса r с центром в точке a; через Ω+ — пересечение множества Ω с полуплоскостью
C+ : Ω+ = Ω
⋂
C+. Если 0 < r1 < r2, то D+(r1, r2) = C+(0, r2) \ C+(0, r1) означает замк-
нутое полукольцо.
Субгармоническая в C+ функция v называется истинно субгармонической, если
lim sup
z→t
v(z) 6 0 для любого вещественного числа t ∈ R. Класс истинно субгармонических
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1771 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:22:34Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Конет, І.М. 2008-09-02T17:18:44Z 2008-09-02T17:18:44Z 2007 Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів / І.М. Конет // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 17–24. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1771 517.946 The exact analytical solution of the nonstationary heat problem for many-layer cylindrical half-spaces is constructed by the method of integral transformations. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів Article published earlier |
| spellingShingle | Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів Конет, І.М. Математика |
| title | Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів |
| title_full | Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів |
| title_fullStr | Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів |
| title_full_unstemmed | Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів |
| title_short | Інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів |
| title_sort | інтегральні зображення розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності для багатошарових циліндричних півпросторів |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1771 |
| work_keys_str_mv | AT konetím íntegralʹnízobražennârozvâzkívnestacíonarnihzadačteploprovídnostídlâbagatošarovihcilíndričnihpívprostorív |