Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi
Установлены достаточные условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z. We find sufficient conditions for the nonlinear difference equation x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z, in a Banach space to have...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177111 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi / I.М. Грод // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 165-172. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859664929158594560 |
|---|---|
| author | Грод, I.М. |
| author_facet | Грод, I.М. |
| citation_txt | Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi / I.М. Грод // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 165-172. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Установлены достаточные условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z.
We find sufficient conditions for the nonlinear difference equation x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z, in a Banach space to have bounded solutions.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:18:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.938
IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ
РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI
I. М. Грод
Тернопiл. нац. пед. ун-т
Україна, 46027, Тернопiль, вул. М. Кривоноса, 2
e-mail: grod@tnpu.edu.ua
We find sufficient conditions for the nonlinear difference equation x(n + 1) = F (n, x(n))x(n) + f(n),
n ∈ Z, in a Banach space to have bounded solutions.
Установлены достаточные условия существования ограниченных решений нелинейных раз-
ностных уравнений в банаховом пространстве x(n+ 1) = F (n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z.
Вступ. Постановка задачi. Розглянемо простiр обмежених двобiчних послiдовностей еле-
ментiв простору E. E — деякий скiнченновимiрний банахiв простiр iз нормою ‖ · ‖E, який
позначатимемо l∞ = l∞(Z,E) (Z — множина всiх цiлих чисел). Цей простiр є банаховим
з нормою
‖x‖l∞ = sup
n∈Z
‖x(n)‖E.
Задамо рiзницевий оператор F , що дiє у просторi l∞(Z,E) i визначається рiвнiстю
(Fx)n = F (n, x(n))x(n), n ∈ Z,
де F (n, x) — функцiя, визначена на Z × E, причому для кожного фiксованого n i x на-
буває значень iз простору L(E,E) (L(E,E) — банахiв простiр усiх лiнiйних неперервних
операторiв, що дiють у просторi E), x ∈ l∞(Z,E), i розглянемо рiвняння
x(n+ 1) = (Fx)n + f(n), n ∈ Z. (1)
Тут f ∈ l∞(Z,E).
У данiй роботi з допомогою теорiї c-неперервних операторiв [1 – 3] вивчається питання
iснування у просторi l∞(Z,E) розв’язкiв рiвняння (1).
Нагадаємо деякi необхiднi для подальшого викладу означення.
Означення 1. Послiдовнiсть xk ∈ l∞, k ∈ N, називається локально збiжною до еле-
мента x ∈ l∞ при k → ∞ i позначається
xk
лок., l∞−−−−−→ x при k → ∞,
якщо ця послiдовнiсть обмежена i
lim
k→∞
max
|n|≤p
‖xk(n)− x(n)‖E = 0
для всiх p ∈ N.
c© I. М. Грод, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 165
166 I. М. ГРОД
Означення 2. Оператор називається c-неперервним, якщо для довiльних x ∈ l∞
i послiдовностi xk ∈ l∞, k ∈ N, для яких xk
лок., l∞−−−−−→ x при k → ∞, випливає, що
Fxk
лок., l∞−−−−−→ Fx при k → ∞. Клас таких операторiв, очевидно, є досить широким.
Основний результат. Припустимо, що рiвняння (1) таке, що:
1) F (n, x) неперервно залежить вiд x ∈ E при n ∈ Z i
lim
u−v→0
sup
n∈Z,‖u‖E≤r,‖v‖E≤r
‖F (n, u)− F (n, v)‖L(E,E) = 0;
2) sup(n,x)∈E×B[0,r] ‖F (n, x)‖L(E,E) < ∞ для всiх r, де B[0, r] = {x ∈ E : ‖x‖E ≤ r}—
замкнена куля радiуса r.
Уведемо до розгляду допомiжнi оператори D : l∞ → l∞ i Dy : l∞ → l∞, що визнача-
ються рiвностями
(Dx)(n) = x(n+ 1)− F (n, x(n))x(n), n ∈ Z,
(Dyx)(n) = x(n+ 1)− F (n, y(n))x(n), n ∈ Z,
де y(n) ∈ E, n ∈ Z, — довiльний фiксований вектор.
Зауважимо, що оператор Dy є лiнiйним оператором при кожному фiксованому y ∈
∈ l∞, а тому завдяки неперервностi F (n, x) на E та скiнченнiй розмiрностi простору E
легко показати, що вiн є неперервним i обмеженим на l∞(Z,E).
Для оператора (Dyx) вимагатимемо, щоб виконувались умови:
3) для кожного y ∈ l∞ оператор Dy : l∞(Z,E) → l∞(Z,E) має обернений неперервний
(Dy)
−1 : l∞(Z,E) → l∞(Z,E);
4) supy∈l∞ ‖(Dy)
−1‖L(l∞,l∞) < +∞.
Сформулюємо основну теорему.
Теорема 1. Припустимо, що функцiя F (n, x) така, що виконуються умови 1 – 4.
Тодi для кожної функцiї f ∈ l∞(Z,E) рiзницеве рiвняння
x = Fx+ f (2)
має хоча б один розв’язок x ∈ l∞(Z,E).
Допомiжнi твердження. Розглянемо рiвняння
x(n+ 1) = F (n, y(n))x(n) + f(n), n ∈ Z, (3)
де y = y(n) — довiльний елемент простору l∞. Оскiльки це рiвняння є лiнiйним, до нього
можна застосовувати теорiю, викладену, наприклад, у роботах [1 – 5]. Завдяки припущен-
ню 3 єдиний розв’язок x ∈ l∞ рiвняння (3), що вiдповiдає функцiї f ∈ l∞, подається за
допомогою оператора (Dy)
−1 у виглядi
x = (Dy)
−1f. (4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 167
Далi, вважаючи, що функцiю f ∈ l∞ зафiксовано, розглянемо вiдображення Uf : l∞ →
→ l∞, яке кожному елементу y ∈ l∞ ставить у вiдповiднiсть елемент (Dy)
−1f цього ж
простору. Це вiдображення, очевидно, визначається рiвнiстю
Ufy = (Dy)
−1f, (5)
де y ∈ l∞.
Зупинимось на деяких властивостях вiдображень Uf при f ∈ l∞.
Лема 1. Для оператора Uf при будь-якому y ∈ l∞ має мiсце оцiнка
‖Ufy‖l∞ ≤ d‖f‖l∞ ,
де d — скiнченне додатне число.
Дiйсно, завдяки припущенню 4 можна стверджувати, що iснує деяке скiнченне додат-
не число d таке, що
d = sup
y∈l∞
‖(Dy)
−1‖L(l∞,l∞).
Тому з урахуванням рiвностi (5) для всiх y ∈ l∞ та f ∈ l∞ має мiсце спiввiдношення
‖Ufy‖l∞ = ‖(Dy)−1f‖l∞ ≤ ‖(Dy)−1‖L(l∞,l∞)‖f‖l∞ ≤ d‖f‖l∞ , (6)
яке i доводить справедливiсть леми 1.
Зауваження 1. З леми 1 випливає, що замкнена куля B(0, d‖f‖l∞) (d визначається згiд-
но з (6)) iнварiантна по вiдношенню до оператора Uf .
Лема 2. Оператор Uf : l∞ → l∞ є неперервним для кожного f ∈ l∞.
Доведення. Зафiксуємо довiльнi елементи y = y(n) i z = z(n), n ∈ Z, простору l∞ i
розглянемо рiзницевi рiвняння
x(n+ 1) = F (n, y(n))x(n) + f(n), n ∈ Z,
x(n+ 1) = F (n, z(n))x(n) + f(n), n ∈ Z.
Нехай x(y) = xy(n) i x(z) = xz(n), n ∈ Z, — вiдповiднi розв’язки цих рiвнянь, тобто
xy(n+ 1) ≡ F (n, y(n))xy(n) + f(n), n ∈ Z,
(7)
xz(n+ 1) ≡ F (n, z(n))xz(n) + f(n), n ∈ Z.
Тодi
xy = (Dy)
−1f = Ufy (8)
i
xz = (Dz)
−1f = Ufz. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
168 I. М. ГРОД
Запишемо (7) у виглядi
xz(n+ 1)− F (n, y(n))xz(n) ≡ [F (n, z(n))− F (n, y(n))]xz(n) + f(n), n ∈ Z.
Звiдси, ввiвши позначення
(Bz,yw)(n) = [F (n, z(n))− F (n, y(n))]w(n),
отримаємо
xz = (Dy)
−1(By,zxz + f) = (Dy)
−1f + (Dy)
−1(By,zxz) = (Dy)
−1f + (Dy)
−1(By,z(Dz)
−1f).
Отже, на пiдставi (8) та (9) маємо
Ufz − Ufy = (Dy)
−1(By,zUfz). (10)
Далi розглянемо довiльну послiдовнiсть (yk)k≥1 елементiв yk ∈ l∞, k ≥ 1, для якої
lim
k→∞
‖yk − y‖l∞ = 0. (11)
Використовуючи рiвнiсть (10), записуємо
Ufyk − Ufy = (Dy)
−1(Byk,yUfyk) (12)
для всiх k ≥ 1.
Враховуючи (11), припущення 4 та рiвнiсть (5), можемо стверджувати, що iснує стала
a > 0 така, що
sup
k≥0
‖Ufyk‖l∞ ≤ a. (13)
Оскiльки
‖Byk,yUfyk‖l∞ = sup
n∈Z
‖[F (n, yk(n))− F (n, y(n))](Ufyk)(n)‖E ≤
≤ sup
n∈Z
‖F (n, yk(n))− F (n, y(n)))‖L(E,E)‖Ufyk‖l∞ ≤
≤ a sup
n∈Z
‖F (n, yk(n))− F (n, y(n))‖L(E,E), n ≥ 1,
операторна функцiя F (n, x) задовольняє умову 1, а банахiв простiр E скiнченновимiрний,
то завдяки (11)
lim
k→∞
sup
n∈Z
‖F (n, yk(n))− F (n, y(n))‖L(E,E) = 0
або
lim
k→∞
‖Byk,y Ufyk‖l∞ = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 169
Тодi на пiдставi умови 3
lim
k→∞
‖(Dy)
−1(Byk,yUfyk‖l∞ = 0.
Звiдси з урахуванням (12) отримуємо
lim
k→∞
‖Ufyk − Ufy‖l∞ = 0. (14)
Отже, якщо виконується спiввiдношення (11), то має мiсце також рiвнiсть (13). Це
забезпечує неперервнiсть вiдображення Uf : l∞ → l∞ у точцi y ∈ l∞. А оскiльки точку
y ∈ l∞ було вибрано довiльно, Uf є неперервним на l∞ для кожного f ∈ l∞.
Лему 2 доведено.
Лема 3. Вiдображення Uf : l∞ → l∞, f ∈ l∞ є c-цiлком неперервним.
Доведення. Нагадаємо [2], що в даному випадку оператор (Dy)
−1 : l∞ → l∞ є c-непе-
рервним.
Розглянемо довiльнi y ∈ l∞ i послiдовнiсть yk ∈ l∞, k ∈ N, для яких
yk
лок., l∞−−−−−→ y при k → ∞. (15)
Нехай xy ∈ l∞ i xyk ∈ l∞, k ∈ N, — такi функцiї, що
xy(n+ 1) ≡ F (n, y(n))xy(n) + f(n), n ∈ Z, (16)
i
xyk(n+ 1) ≡ F (n, yk(n))xyk(n) + f(n), n ∈ Z. (17)
Запишемо друге iз цих спiввiдношень у виглядi
xyk(n+ 1) ≡ F (n, y(n))xyk(n) + [F (n, yk(n))− F (n, y(n))]xyk(n) + f(n), n ∈ Z. (18)
Згiдно з припущеннями 3 та 4, враховуючи (15), (16), отримуємо
xy = (Dy)
−1f
i
xyk = (Dy)
−1(f +Byk,yxyk), k ≥ 1.
Далi, на пiдставi леми 1 робимо висновок, що послiдовнiсть (x(yk))k≥1 є обмеженою. Тому
завдяки (14), неперервностi F (n, x) на E по x при кожному n ∈ Z та скiнченнiй розмiрнос-
тi простору E маємо
Byk,yxyk
лок., l∞−−−−−→ 0 при k → ∞,
або
f +Byk,yxyk
лок., l∞−−−−−→ f при k → ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
170 I. М. ГРОД
Звiдси з урахуванням c-неперервностi оператора (Dy)
−1 : l∞ → l∞ маємо
xyk
лок., l∞−−−−−→ xy при k → ∞. (19)
Оскiльки на пiдставi (5)
xy = Ufy = (Dy)
−1f (20)
i
xyk = Ufyk = (Dyk)
−1f, r ≥ 1, (21)
то
Ufyk
лок., l∞−−−−−→ Ufy при k → ∞,
що забезпечує c-неперервнiсть оператора Uf . Бiльше того, оскiльки простiр E скiнчен-
новимiрний, то на пiдставi c-неперервностi вiдображення Uf : l∞ → l∞, f ∈ l∞, можемо
стверджувати, що вiн є c-цiлком неперервним. Це випливає з того, що множина
{(PrUfy) : ‖y‖l∞ ≤ 1}
є передкомпактною в E для кожного r ∈ Z (Pr — проектор: Pry = yr).
Лему 3 доведено.
Доведення теореми. Завдяки (5) i (6) зрозумiло, що кожна нерухома точка вiдображен-
ня Uf : l∞ → l∞ є обмеженим розв’язком рiвняння (1). Крiм цього, на основi доведених
лем можна стверджувати, що вiдображення Uf : l∞ → l∞, f ∈ l∞, є c-цiлком неперерв-
ним. Залишилося показати, що у випадку виконання умов теореми для кожного f ∈ l∞
множина нерухомих точок вiдображення Uf : l∞ → l∞ не є порожньою.
Для того щоб це показати, введемо до розгляду послiдовнiсть операторiв Uf k : l∞ →
→ l∞ подiбно до того, як це зроблено в роботi [8]:
(Uf k)n =
(Uf )n, якщо n ∈ [−k, k]
⋂
Z,
0, якщо n ∈ Z \ [−k, k],
k ∈ N. (22)
Тут f ∈ l∞ є довiльним, фiксованим. Далi, на пiдставi зауваження 1 можемо стверджува-
ти, що кожний з операторiв послiдовностi вiдображає кулю B(0, d‖f‖l∞) саму в себе. Крiм
цього, заданi вiдображення є цiлком неперервними. Це випливає з того, що сам оператор
Uf є c-цiлком неперервним. Тому згiдно з теоремою Шаудера про нерухому точку [9] для
кожного k ∈ N iснує така точка ck ∈ B(0, d‖f‖l∞), що
Uf kck = ck. (23)
Оскiльки множини {cn,k, k ∈ N}, n ∈ Z, передкомпактнi i
sup
k∈N,n∈Z
‖cn,k‖E ≤ r,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 171
то iснує строго зростаюча послiдовнiсть натуральних чисел kl, l ≥ 1, така, що послiдов-
нiсть
ckl
лок., l∞−→ c при l → ∞, (24)
де c — деяка точка з кулi B(0, d‖f‖l∞).
Враховуючи c-неперервнiсть оператора i (23), можна показати, що
Uf klc− Ufc
лок., l∞−→ 0 при l → ∞
i
Uf klc− Uf klckl
лок., l∞−→ 0 при l → ∞.
Тому, враховуючи (23) i (24), отримуємо
Ufc = c.
Теорему доведено.
Як приклад системи, для якої виконуються всi вимоги теореми 1, можна розглянути
систему рiвнянь
x(n+ 1) = b(y(n))x(n) + f1(n),
y(n+ 1) = (−3 + sin(x(n) + n)y(n) + f2(n), n ∈ Z,
де
b(x) =
1
2
, якщо x ≤ 2,
1− 1
x
, якщо 2 < x ≤ 3,
2
3
, якщо x > 3.
1. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274.
2. Слюсарчук В. Ю. Узагальнення теореми Мухамадiєва про оборотнiсть функцiональних операторiв у
просторi обмежених функцiй // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 3. — С. 398 – 412.
3. Слюсарчук В. Е. Слабо нелинейные возмущения нормально разрешимых функционально-дифферен-
циальных и дискретных уравнений // Укр. мат. журн. — 1987. — 39, № 5. — С. 660 – 662.
4. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системи дифференциальных уравнений. — Киев: Ин-т
математики НАН УССР, 1990. — 308 с.
5. Слюсарчук В. Е. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем // Укр. мат. журн. —
1983. — 35, № 1. — С. 109 – 115.
6. Баскаков А. Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных опера-
торов // Докл. АН. Математика. — 1993. — 333, № 3. — С. 282 – 284.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
172 I. М. ГРОД
7. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. — Воронеж: Изд-во Воронеж.
ун-та, 1990. — 168 с.
8. Грод I. М. Достатнi умови iснування обмежених розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь //
Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 2. — С. 165 – 173.
9. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1997. — 232 с.
Одержано 19.06.12,
пiсля доопрацювання — 15.10.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177111 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T10:18:04Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Грод, I.М. 2021-02-10T13:13:12Z 2021-02-10T13:13:12Z 2013 Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi / I.М. Грод // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 165-172. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177111 517.938 Установлены достаточные условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z. We find sufficient conditions for the nonlinear difference equation x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z, in a Banach space to have bounded solutions. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi Существование ограниченных решений нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве Existence of bounded solutions of nonlinear difference equations in a Banach space Article published earlier |
| spellingShingle | Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi Грод, I.М. |
| title | Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi |
| title_alt | Существование ограниченных решений нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве Existence of bounded solutions of nonlinear difference equations in a Banach space |
| title_full | Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi |
| title_fullStr | Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi |
| title_full_unstemmed | Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi |
| title_short | Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi |
| title_sort | iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177111 |
| work_keys_str_mv | AT grodim isnuvannâobmeženihrozvâzkivneliniinihriznicevihrivnânʹvbanahovomuprostori AT grodim suŝestvovanieograničennyhrešeniinelineinyhraznostnyhuravneniivbanahovomprostranstve AT grodim existenceofboundedsolutionsofnonlineardifferenceequationsinabanachspace |