Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області
Построено и обосновано асимптотическое разложение для решения неоднородной краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона с правой частью, зависящей от продольной и поперечной переменных, в тонкой каскадной области. Получены асимптотические энергетические и равномерные поточечные оценки для разности...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177115 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області / А.В. Клевцовський, Т.А. Мельник // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 214-237. — Бібліогр.: 31 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177115 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1771152025-02-09T16:58:09Z Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області Асимптотическое разложение для решения эллиптической краевой задачи в тонкой каскадной области Asymptotic expansions of a solution to an elliptic boundary-value problem for a thin cascade domain Клевцовський, А.В. Мельник, Т.А. Построено и обосновано асимптотическое разложение для решения неоднородной краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона с правой частью, зависящей от продольной и поперечной переменных, в тонкой каскадной области. Получены асимптотические энергетические и равномерные поточечные оценки для разности между решением исходной задачи и решением соответствующей граничной задачи. We construct and substantiate an asymptotic expansion of a solution to a nonhomogeneous Neumann boundary-value problem for the Poisson equation for a a thin cascade domain, with the right-hand side of the equation depending on both the longitudinal and transversal variables. We find asymptotic energy and uniform pointwise estimates for the difference between a solution of the initial problem and a solution of the corresponding limit problem. 2013 Article Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області / А.В. Клевцовський, Т.А. Мельник // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 214-237. — Бібліогр.: 31 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177115 517.956 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Построено и обосновано асимптотическое разложение для решения неоднородной краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона с правой частью, зависящей от продольной и поперечной переменных, в тонкой каскадной области. Получены асимптотические энергетические и равномерные поточечные оценки для разности между решением исходной задачи и решением соответствующей граничной задачи. |
| format |
Article |
| author |
Клевцовський, А.В. Мельник, Т.А. |
| spellingShingle |
Клевцовський, А.В. Мельник, Т.А. Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області Нелінійні коливання |
| author_facet |
Клевцовський, А.В. Мельник, Т.А. |
| author_sort |
Клевцовський, А.В. |
| title |
Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області |
| title_short |
Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області |
| title_full |
Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області |
| title_fullStr |
Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області |
| title_sort |
асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177115 |
| citation_txt |
Асимптотичне розвинення для розв’язку еліптичної крайової задачі в тонкiй каскадній області / А.В. Клевцовський, Т.А. Мельник // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 214-237. — Бібліогр.: 31 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT klevcovsʹkijav asimptotičnerozvinennâdlârozvâzkuelíptičnoíkrajovoízadačívtonkijkaskadníjoblastí AT melʹnikta asimptotičnerozvinennâdlârozvâzkuelíptičnoíkrajovoízadačívtonkijkaskadníjoblastí AT klevcovsʹkijav asimptotičeskoerazloženiedlârešeniâélliptičeskojkraevojzadačivtonkojkaskadnojoblasti AT melʹnikta asimptotičeskoerazloženiedlârešeniâélliptičeskojkraevojzadačivtonkojkaskadnojoblasti AT klevcovsʹkijav asymptoticexpansionsofasolutiontoanellipticboundaryvalueproblemforathincascadedomain AT melʹnikta asymptoticexpansionsofasolutiontoanellipticboundaryvalueproblemforathincascadedomain |
| first_indexed |
2025-11-28T05:42:28Z |
| last_indexed |
2025-11-28T05:42:28Z |
| _version_ |
1850011603361071104 |
| fulltext |
УДК 517.956
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ
КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI В ТОНКIЙ КАСКАДНIЙ ОБЛАСТI
А. В. Клевцовський, Т. А. Мельник
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01601, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail: melnyk@imath.kiev.ua
We construct and substantiate an asymptotic expansion of a solution to a nonhomogeneous Neumann
boundary-value problem for the Poisson equation for a a thin cascade domain, with the right-hand side of
the equation depending on both the longitudinal and transversal variables. We find asymptotic energy and
uniform pointwise estimates for the difference between a solution of the initial problem and a solution of
the corresponding limit problem.
Построено и обосновано асимптотическое разложение для решения неоднородной краевой за-
дачи Неймана для уравнения Пуассона с правой частью, зависящей от продольной и попереч-
ной переменных, в тонкой каскадной области. Получены асимптотические энергетические и
равномерные поточечные оценки для разности между решением исходной задачи и решением
соответствующей граничной задачи.
1. Вступ. Крайовим задачам у тонких областях (один iз лiнiйних розмiрiв такої областi
значно менший за iншi) присвячено велику кiлькiсть статей та книг (див., наприклад,
[1 – 12]). Причина такої популярностi цих задач полягає у широких можливостях засто-
сування результатiв до прикладних задач. Незважаючи на величезний прогрес обчислю-
вальних засобiв, неможливо знайти прийнятнi чисельнi розв’язки крайових задач у таких
областях, оскiльки достатньо мала товщина областi природно приводить до подовження
часу обчислень та iстотно ускладнює пiдтримання прийнятного рiвня точностi. Таким чи-
ном, основним методом дослiдження є асимптотичний аналiз. Мета цього аналiзу полягає
в розробцi строгих асимптотичних методiв для крайових задач у тонких областях.
В останнi роки у зв’язку з розвитком новiтнiх технологiй пористих, композитних та iн-
ших мiкронеоднорiдних матерiалiв та бiологiчних структур зростає iнтерес до дослiджен-
ня крайових задач у тонких областях бiльш складної структури: в тонких перфорованих
областях з швидко змiнною товщиною та рiзними граничними розмiрностями [8, 15, 16],
у тонких областях з швидкозмiнною товщиною [8, 13 – 15, 21, 22], у з’єднаннях тонких
областей [20, 24, 27, 30, 31], у густих з’єднаннях тонких областей [25, 26, 29], у перiодичних
сiтках та каркасах [23, 28].
Дослiдження рiзних фiзичних та бiологiчних процесiв у каналах є актуальним для ба-
гатьох галузей природознавства (див., наприклад, [18] i наведену там бiблiографiю). Ве-
ликий iнтерес викликає в дослiдникiв поява рiзних ефектiв в околах локальних нерегу-
лярностей геометрiї (звужень або розширень) каналiв (наприклад, налипання на стiнках,
зварювальнi шви, стенози). У [18, 19] пiдсумовано результати останнiх теоретичних, екс-
периментальних та чисельних дослiджень течiй i пульсацiй пристiнного тиску в каналах з
рiзними типами звуження.
c© А. В. Клевцовський, Т. А. Мельник, 2013
214 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 215
Рис. 1. Тонка каскадна область.
В роботi [20] методами формального асимптотичного аналiзу отримано граничну за-
дачу для однорiдної задачi Неймана для рiвняння Пуассона з правою частиною, яка за-
лежить тiльки вiд однiєї поздовжньої змiнної, в з’єднаннi тонких областей. Показано, що
локальна геометрична неоднорiднiсть у зонi з’єднання не впливає на вигляд граничної
задачi. Однак теореми збiжностi та асимптотичних оцiнок не було доведено.
Зауважимо, що оцiнки похибок i швидкостi збiжностей є дуже важливими як в об-
ґрунтуваннi адекватностi одновимiрних (двовимiрних) моделей реальним тривимiрним
тонким тiлам, так i в дослiдженнi крайових ефектiв та ефектiв локальних (внутрiшнiх)
неоднорiдностей в механiцi та прикладнiй математицi. Такi оцiнки можуть бути доведеннi
шляхом розробки нових асимптотичних методiв.
У данiй статтi ми починаємо розробку асимптотичних методiв для крайових задач
у тонких каскадних областях, якi є об’єднанням тонких областей з рiзною товщиною
(рис. 1). Для побудови формального асимптотичного розвинення було узагальнено асимп-
тотичний метод для тонких областей сталої товщини з монографiї [12]. Зокрема, бу-
ло введено додатковий внутрiшнiй примежовий шар в зонах з’єднання тонких областей
та дослiджено його властивостi. Таким чином, асимптотика для розв’язку складається з
трьох частин: регулярної частини, примежової частини бiля крайнiх вертикальних сторiн
та внутрiшньої примежової асимптотики в зонах з’єднання.
Зрозумiло, що немає принципової рiзницi мiж побудовою асимптотики для розв’язку
крайової задачi в тонкiй каскаднiй областi, яка складається з двох тонких областей рiзної
товщини, та в тонкiй каскаднiй областi, яка складається з n тонких областей рiзної тов-
щини. Тому в данiй роботi вивчається двоступiнчаста тонка каскадна область. Також для
спрощення викладок розглядається двовимiрний випадок.
Метою роботи є побудова та обґрунтування асимптотичного розвинення для розв’яз-
ку неоднорiдної крайової задачi Неймана для рiвняння Пуассона з правою частиною, яка
залежить вiд поздовжньої i поперечної змiнних, у тонкiй каскаднiй областi, що складає-
ться з двох тонких прямокутникiв рiзної малої товщини εh1 та εh2 вiдповiдно.
Стаття мiстить чотири пункти. У другому пунктi побудовано формальну асимптотику
для розв’язку задачi (1). Третiй пункт присвячено обґрунтуванню асимптотики (теоре-
ма 1) та доведенню асимптотичних оцiнок для головних членiв асимптотики (наслiдок 1).
У четвертому пунктi проведено аналiз отриманих результатiв та показано можливi уза-
гальнення.
1.1. Постановка задачi. Модельна тонка каскадна область Ωε складається з двох тон-
ких прямокутникiв
Ω(1)
ε =
(
(−1, 0)×Υ(1)
ε
)
та Ω(2)
ε =
(
(0, 1)×Υ(2)
ε
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
216 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Рис. 2. Модельна тонка каскадна область Ωε.
де Υ
(i)
ε =
(
−ε hi
2
, ε
hi
2
)
, i = 1, 2, ε — малий параметр; h1 та h2 — фiксованi додатнi сталi,
h2 < h1 (рис. 2).
В областi Ωε = ((−1, 0)×Υ
(1)
ε ) ∪ ([0, 1)×Υ
(2)
ε ) розглянемо мiшану крайову задачу
−∆uε(x, y) = f
(
x,
y
ε
)
, (x, y) ∈ Ωε,
− ∂yuε(x, y)|
y=±εhi
2
= εϕ
(i)
± (x), x ∈ Ii, i = 1, 2,
uε(−1, y) = 0, y ∈ Υ(1)
ε ,
uε(1, y) = 0, y ∈ Υ(2)
ε ,
(1)
∂xuε(x, y)|x=0 = 0, y ∈ Υ(1)
ε \Υ(2)
ε ,
[uε]|x=0 = 0, y ∈ Υ(2)
ε ,
[∂xuε]|x=0 = 0, y ∈ Υ(2)
ε ,
де I1 = (−1, 0), I2 = (0, 1), [u]|x=0 = u(x, y)|x=0+ − u(x, y)|x=0− — стрибок функцiї,
∂x = ∂/∂x, ∂2
xx = ∂2/∂x2. Будемо вважати, що заданi функцiї f та {ϕ(i)
± } є гладкими у
вiдповiдних областях визначення.
З теорiї лiнiйних крайових задач випливає, що при кожному фiксованому значеннi ε
для задачi (1) iснує єдиний узагальнений розв’язок uε з простору Соболєва H1(Ωε), слiди
якого на крайнiх вертикальних сторонах областi Ωε дорiвнюють нулю, тобто uε|x=±1 = 0,
та який задовольняє iнтегральну тотожнiсть∫
Ωε
∇uε · ∇ψ dx dy =
∫
Ωε
f ψ dx dy ∓ ε
2∑
i=1
∫
Ii
ϕ
(i)
± ψ dx (2)
для довiльної функцiї ψ ∈ H1(Ωε) такої, що ψ|x=±1 = 0.
Зауваження 1. У правiй частинi тотожностi (2) введено скорочення запису
∓ε
2∑
i=1
∫
Ii
ϕ
(i)
± ψ dx := −ε
2∑
i=1
∫
Ii
ϕ
(i)
+ ψ dx+ ε
2∑
i=1
∫
Ii
ϕ
(i)
− ψ dx,
яке будемо використовувати в подальшому.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 217
Метою роботи є побудова й обґрунтування асимптотичного розвинення для розв’язку
uε задачi (1) при ε → 0.
2. Формальна побудова асимптотичного ряду. 2.1. Регулярна частина асимптотики.
Регулярну частину асимптотики будемо шукати у виглядi
u(i)
∞ :=
+∞∑
k=2
εk
(
u
(i)
k
(
x,
y
ε
)
+ ε−2ω
(i)
k (x)
)
, (x, y) ∈ Ω(i)
ε , i = 1, 2. (3)
Формально пiдставивши ряд (3) в диференцiальне рiвняння та першу крайову умову за-
дачi (1), отримаємо
−
+∞∑
k=2
εk∂2
xxu
(i)
k (x, η)−
+∞∑
k=2
εk−2∂2
ηηu
(i)
k (x, η)−
+∞∑
k=2
εk−2d
2ω
(i)
k
dx2
(x) ≈ f(x, η), η =
y
ε
,
−
+∞∑
k=2
εk∂ηu
(i)
k
(
x,±hi
2
)
≈ ε2ϕ
(i)
± (x).
Прирiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях ε, виводимо рекурентнi спiввiдношен-
ня крайових задач для визначення коефiцiєнтiв розкладу (3). Розглянемо задачу для ве-
личини u(i)
2 :
−∂2
ηηu
(i)
2 (x, η) = f(x, η) +
d 2ω
(i)
2
dx2
(x), η ∈ Υi,
− ∂ηu(i)
2 (x, η)
∣∣∣
η=±hi
2
= ϕ
(i)
± (x), x ∈ Ii, (4)
〈u(i)
2 (x, ·)〉Υi = 0, x ∈ Ii,
де Υi =
(
−hi
2
,
hi
2
)
, 〈u(x, ·)〉Υi :=
∫
Υi
u(x, η)dη, i = 1, 2. При кожному значеннi i зада-
ча (4) — це задача Неймана для звичайного диференцiального рiвняння вiдносно змiнної
η ∈ Υi; змiнна x сюди входить як параметр. Записуючи необхiдну та достатню умову
розв’язностi задачi (4), отримуємо диференцiальне рiвняння для функцiї ω(i)
2 :
−hi
d2ω
(i)
2
dx2
(x) =
∫
Υi
f(x, η) dη − ϕ(i)
+ (x) + ϕ
(i)
− (x), x ∈ Ii, i = 1, 2. (5)
Нехай ω(i)
2 — деякий розв’язок диференцiального рiвняння (5) (крайовi умови для цього
диференцiального рiвняння будуть визначенi пiзнiше). Тодi розв’язок задачi (4) iснує та
визначається з точнiстю до адитивної сталої.
Для знаходження коефiцiєнтiв u(i)
3 , i = 1, 2, отримуємо такi задачi:
−∂2
ηηu
(i)
3 (x, η) =
d 2ω
(i)
3
dx2
(x), η ∈ Υi,
− ∂ηu(i)
3 (x, η)
∣∣∣
η=±hi
2
= 0, x ∈ Ii, (6)
〈u(i)
3 (x, ·)〉Υi = 0, x ∈ Ii.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
218 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Повторюючи попереднi мiркування, знаходимо u(i)
3 ≡ 0,
d 2ω
(i)
3
dx2
(x) = 0, x ∈ Ii, i = 1, 2.
Розглянемо крайовi задачi для функцiй u(i)
k k ≥ 4, i = 1, 2 :
−∂2
ηηu
(i)
k (x, η) =
d 2ω
(i)
k
dx2
(x) + ∂2
xxu
(i)
k−2(x, η), η ∈ Υi,
− ∂ηu(i)
k (x, η)
∣∣∣
η=±hi
2
= 0, x ∈ Ii, (7)
〈u(i)
k (x, ·)〉Υi = 0, x ∈ Ii.
Припустимо, що ми визначили всi коефiцiєнти u
(i)
2 , . . . , u
(i)
k−1, ω
(i)
2 , . . . , ω
(i)
k−1 розкладу (3).
Визначимо u(i)
k , ω
(i)
k iз задачi (7). З умови розв’язностi задачi (7) випливає, що
hi
d2ω
(i)
k
dx2
(x) = −
∫
Υi
∂2
xuk−2(x, η) dη = −∂2
x
∫
Υi
u
(i)
k−2(x, η) dη
= 0,
тобто ω(i)
k — лiнiйна функцiя, яка є розв’язком диференцiального рiвняння
d2ω
(i)
k
dx2
(x) = 0, x ∈ Ii. (8)
Зауваження 2. Крайовi умови для диференцiальних рiвнянь (5), (8) наперед невiдомi i
будуть знайденi на наступних етапах побудови асимптотики.
Таким чином, однозначно визначається розв’язок задачi (7), а отже, рекурентна про-
цедура для визначення коефiцiєнтiв ряду (3) розв’язується однозначно.
Зауваження 3. З рекурентної процедури крайових задач (7) легко отримати, що для
непарних k = 2p+ 1, p ∈ N, функцiї u(i)
2p+1, i = 1, 2, тотожно дорiвнюють нулю.
2.2. Примежова асимптотика бiля вертикальних меж областi Ωε. У попередньому
пунктi було розглянуто регулярну асимптотику, яка враховувала неоднорiднiсть правої
частини диференцiального рiвняння з (1) та крайової умови на горизонтальних сторонах
тонкої каскадної областi Ωε. Далi побудуємо примежову частину асимптотики, яка бу-
де нейтралiзувати вiдхил, що залишає регулярна частина асимптотики на лiвому Ω
(1)
ε та
правому Ω
(2)
ε кiнцях.
На лiвiй вертикальнiй частинi межi областi Ω
(1)
ε будемо шукати примежову асимпто-
тику для розв’язку у виглядi
Π(1)
∞ :=
+∞∑
k=0
εkΠ
(1)
k
(
1 + x
ε
,
y
ε
)
. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 219
Пiдставивши (9) в (1) i зiбравши коефiцiєнти при однакових степенях ε, отримаємо мiша-
ну крайову задачу
−∆ξηΠ
(1)
k (ξ, η) = 0, (ξ, η) ∈ (0,+∞)×Υ1,
− ∂ηΠ(1)
k (ξ, η)
∣∣∣
η=±h1
2
= 0, ξ ∈ (0,+∞),
(10)
Π
(1)
k (0, η) = Φ
(1)
k (η), η ∈ Υ1,
Π
(1)
k (ξ, η) → 0, ξ → +∞, η ∈ Υ1,
де ξ =
1 + x
ε
, η =
y
ε
, Φ
(1)
k = −ω(1)
k+2(−1), k = 0, 1,
Φ
(1)
k (η) = −u(1)
k (−1, η)− ω(1)
k+2(−1), k ≥ 2.
Використовуючи метод вiдокремлення змiнних, знаходимо розв’язок задачi (10):
Π
(1)
k (ξ, η) =
+∞∑
p=0
[
a(1)
p e
− 2pπ
h1
ξ
cos
(
2pπ
h1
η
)
+ b(1)
p e
− (2p+1)π
h1
ξ
sin
(
(2p+ 1)π
h1
η
)]
, (11)
де
a(1)
p =
2
h1
h1
2∫
−h1
2
Φ
(1)
k (η) cos
(
2pπ
h1
η
)
dη, b(1)
p =
2
h1
h1
2∫
−h1
2
Φ
(1)
k (η) sin
(
(2p+ 1)π
h1
η
)
dη,
a
(1)
0 =
1
h1
h1
2∫
−h1
2
Φ
(1)
k (η) dη =
1
h1
h1
2∫
−h1
2
u
(1)
k (−1, η) dη − ω(1)
k+2(−1) = −ω(1)
k+2(−1).
З четвертої умови в (10) випливає, що коефiцiєнт a(1)
0 повинен дорiвнювати нулю. Таким
чином, приходимо до крайових умов для функцiй {ω(1)
k+2}:
ω
(1)
k+2(−1) = 0, k ∈ N0. (12)
Примежову асимптотику на правому кiнцi шукаємо у виглядi
Π(2)
∞ :=
+∞∑
k=0
εkΠ
(2)
k
(
1− x
ε
,
y
ε
)
. (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
220 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Для визначення коефiцiєнтiв {Π(2)
k }k∈N0 отримаємо такi крайовi задачi:
−∆ξ∗ηΠ
(2)
k (ξ∗, η) = 0, (ξ∗, η) ∈ (0,+∞)×Υ2,
−∂ηΠ(2)
k (ξ∗, η)|
η=±h2
2
= 0, ξ∗ ∈ (0,+∞),
(14)
Π
(1)
k (0, η) = Φ
(2)
k (η), η ∈ Υ2,
Π
(1)
k (ξ∗, η) → 0, ξ∗ → +∞, η ∈ Υ2,
де ξ∗ =
1− x
ε
, η =
y
ε
, Φ
(2)
k = −ω(2)
k+2(1), k = 0, 1,
Φ
(2)
k (η) = −u(2)
k (1, η)− ω(2)
k+2(1), k ≥ 2.
Аналогiчно знаходимо розв’язок задачi (14):
Π
(2)
k (ξ∗, η) =
+∞∑
p=0
[
a(2)
p e
− 2pπ
h2
ξ∗
cos
(
2pπ
h2
η
)
+ b(2)
p e
− (2p+1)π
h2
ξ∗
sin
(
(2p+ 1)π
h2
η
)]
, (15)
де
a(2)
p =
2
h2
h2
2∫
−h2
2
Φ
(2)
k (η) cos
(
2pπ
h2
η
)
dη, b(2)
p =
2
h2
h2
2∫
−h2
2
Φ
(2)
k (η) sin
(
(2p+ 1)π
h2
η
)
dη,
a
(2)
0 =
1
h2
h2
2∫
−h2
2
Φ
(2)
k (η)dη =
1
h2
h2
2∫
−h2
2
u
(2)
k (1, η)dη − ω(2)
k+2(1) = −ω(2)
k+2(1).
З четвертої умови в (14) випливає, що коефiцiєнт a
(2)
0 повинен дорiвнювати нулю. Це
можливо тодi, коли
ω
(2)
k+2(1) = 0, k ∈ N0. (16)
Зауваження 4. Оскiльки u(i)
k ≡ 0 для k = 2p+ 1, p ∈ N, то Φ
(i)
k = 0, а тому
Π
(i)
0 ≡ 0, Π
(i)
2p−1 ≡ 0, p ∈ N, i = 1, 2.
Крiм того, iз зображень (11) та (15) випливають асимптотичнi оцiнки
Π
(1)
k (ξ, η) = O
(
exp
(
− π
h1
ξ
))
при ξ → +∞,
(17)
Π
(2)
k (ξ∗, η) = O
(
exp
(
− π
h2
ξ
))
при ξ∗ → +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 221
Спiввiдношення (12) та (16) задають крайовi умови в точках −1 та 1 для кожної з
функцiй ω
(1)
k та ω
(2)
k (k ∈ N, k ≥ 2) вiдповiдно. У наступному пунктi ми вияснимо якi
умови для цих функцiй потрiбно задавати в точцi 0.
2.3. Внутрiшня примежова частина асимптотики. Розглянемо, що вiдбувається з регу-
лярною частиною асимптотики в зонi з’єднання двох тонких областей Ω
(1)
ε i Ω
(2)
ε . Пiдста-
вивши формально регулярнi частини асимптотики u(1)
∞ та u(2)
∞ в умови спряження задачi
(1), отримаємо спiввiдношення
+∞∑
k=2
εk
(
u
(1)
k
(
0,
y
ε
)
+ ε−2ω
(1)
k (0)
)
≈
+∞∑
k=2
εk
(
u
(2)
k
(
0,
y
ε
)
+ ε−2ω
(2)
k (0)
)
, (18)
+∞∑
k=2
εk
(
∂xu
(1)
k
(
0,
y
ε
)
+ ε−2dω
(1)
k
dx
(0)
)
≈
+∞∑
k=2
εk
(
∂xu
(2)
k
(
0,
y
ε
)
+ ε−2dω
(2)
k
dx
(0)
)
. (19)
Прирiвняємо, наприклад, вiдповiднi коефiцiєнти при однакових степенях ε в (18):
ω
(2)
k (0) = ω
(1)
k (0) при k = 2 та k = 2p+ 1,
u
(2)
k
(
0,
y
ε
)
− u(1)
k
(
0,
y
ε
)
= ω
(2)
k+2(0)− ω(1)
k+2(0) при k = 2p, p ∈ N. (20)
Оскiльки в лiвiй частинi (20) при фiксованому значеннi k стоїть визначена величина, яка
залежить вiд швидкої змiнної
y
ε
i не обов’язково дорiвнює нулю, то неможливо у правiй
частинi вибрати так сталу ω(2)
k+2(0)− ω(1)
k+2(0), щоб виконувалась рiвнiсть (20).
Таким чином, необхiдно ввести додаткову внутрiшню асимптотику в зонi з’єднання,
щоб зняти вiдхил, який залежить вiд швидкої змiнної
y
ε
, у першiй умовi спряження за-
дачi (1) у зонi з’єднання двох тонких областей Ω
(1)
ε i Ω
(2)
ε . Внутрiшнє розвинення будемо
шукати у виглядi
N∞ =
+∞∑
k=1
εkNk
(x
ε
,
y
ε
)
. (21)
Перейшовши в зонi з’єднання до координат ξ =
x
ε
, η =
y
ε
, а потiм спрямувавши пара-
метр ε до нуля, отримаємо нескiнченну область
Ξ = ((−∞, 0)×Υ1) ∪ ([0,+∞)×Υ2) ,
яка є об’єднанням пiвсмуг Ξ(1) = (−∞, 0)×Υ1 та Ξ(2) = (0,+∞)×Υ2.
Введемо такi позначення для частин межi областi Ξ:
∂Ξ‖ = {0} × (Υ1 \Υ2) — вертикальнi частини межi ∂Ξ,
∂Ξ
(i)
= — горизонтальнi частини межi ∂Ξ(i), i = 1, 2,
∂Ξ= = ∂Ξ
(1)
= ∪ ∂Ξ
(2)
= .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
222 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Пiдставивши (21) в (1), врахувавши залишки, якi залишають регулярнi частини асимп-
тотики на вертикальних сторонах i в зонi з’єднання, та прирiвнявши вiдповiднi коефiцi-
єнти при однакових степенях ε, отримаємо такi спiввiдношення для коефiцiєнтiв {Nk}:
при парних значеннях k = 2p, p ∈ N:
−∆N2p = 0 в Ξ,
∂ηN2p = 0 на ∂Ξ=,
∂ξN2p = Θ2p на ∂Ξ‖, (22)
[N2p]|ξ=0 = Ψ2p на Υ2,
[∂ξN2p]|ξ=0 = Φ2p на Υ2,
де
Θ2p(η) = −
dω
(1)
2p+1
dx
(0), η ∈ ∂Ξ‖,
Ψ2p(η) = u
(1)
2p (0, η)− u(2)
2p (0, η), η ∈ Υ2,
Φ2p(η) =
dω
(1)
2p+1
dx
(0)−
dω
(2)
2p+1
dx
(0), η ∈ Υ2;
при непарних k = 2p+ 1, p ∈ N0:
−∆N2p+1 = 0 в Ξ,
∂ηN2p+1 = 0 на ∂Ξ=,
∂ξN2p+1 = Θ2p+1 на ∂Ξ‖, (23)
[N2p+1]|ξ=0 = 0 на Υ2,
[∂ξN2p+1]|ξ=0 = Φ2p+1 на Υ2,
де
Θ2p+1(η) = −∂xu(1)
2p (0, η)−
dω
(1)
2p+2
dx
(0), η ∈ ∂Ξ‖,
Φ2p+1(η) = ∂xu
(1)
2p (0, η)− ∂xu(2)
2p (0, η) +
dω
(1)
2p+2
dx
(0)−
dω
(2)
2p+2
dx
(0), η ∈ Υ2.
Зауважимо, що u0 ≡ 0, u1 ≡ 0.
Для того щоб вияснити чи iснують функцiї, якi задовольняють спiввiдношення задач
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 223
(22) та (23), дослiдимо спочатку розв’язнiсть крайової задачi
−∆N(ξ, η) = F (ξ, η), (ξ, η) ∈ Ξ,
∂ηN(ξ, η)|
η=±hi
2
= ±B(i)
± (ξ), (−1)iξ ∈ (0,+∞), i = 1, 2,
∂ξN(ξ, η)|ξ=0 = G(η), η ∈ Υ1 \Υ2, (24)
[N ]|ξ=0 = Ψ(η), η ∈ Υ2,
[∂ξN ]|ξ=0 = Φ(η), η ∈ Υ2.
Нехай C∞0,ξ(Ξ) — простiр нескiнченно диференцiйовних функцiй на Ξ, якi є фiнiтними
вiдносно змiнної ξ, тобто
∀ v ∈ C∞0,ξ(Ξ) ∃R > 0 ∀ (ξ, η) ∈ Ξ |ξ| ≥ R : v(ξ, η) = 0.
Означимо простiрH :=
(
C∞0,ξ(Ξ), ‖ · ‖H
)
, де
‖v‖H =
√√√√∫
Ξ
|∇v(ξ, η)|2 dξdη +
∫
Ξ
|v(ξ, η)|2|ρ(ξ)|2 dξ dη,
а функцiя ρ(ξ) = (1 + |ξ|)−1, ξ ∈ R.
Випадок Ψ ≡ 0. Вiзьмемо довiльну функцiю v ∈ C∞0,ξ(Ξ), домножимо диференцi-
альне рiвняння задачi (24) i зiнтегруємо по областi Ξ. Використовуючи формулу Грiна –
Остроградського, отримуємо iнтегральну тотожнiсть
∫
Ξ
∇N · ∇v dξ dη =
∫
Ξ
Fv dξ dη +
0∫
−∞
B
(1)
± (ξ)v
(
ξ,±h1
2
)
dξ +
+∞∫
0
B
(2)
± (ξ)v
(
ξ,±h2
2
)
dξ+
+
∫
Υ1\Υ2
G(η)v(0, η) dη −
∫
Υ2
Φ(η)v(0, η) dη. (25)
Означення 1. Функцiя N з простору H називається узагальненим розв’язком задачi
(24), якщо для довiльної функцiї v ∈ H має мiсце тотожнiсть (25).
З леми 4.1, зауважень 4.1 та 4.2 [17] випливає таке твердження.
Твердження 1. Нехай ρ−1F ∈ L2(Ξ), ρ−1B
(2)
± ∈ L2(0,+∞), ρ−1B
(1)
± ∈ L2(−∞, 0), G ∈
∈ L2(Υ1 \Υ2) та Φ ∈ L2(Υ2).
Iснує узагальнений розв’язок задачi (24) тодi i тiльки тодi, коли
∫
Υ2
Φ(η) dη =
∫
Ξ
F dξ dη +
0∫
−∞
B
(1)
± (ξ) dξ +
+∞∫
0
B
(2)
± (ξ) dξ +
∫
Υ1\Υ2
G(η) dη. (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
224 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Цей розв’язок визначається з точнiстю до адитивної сталої.
Адитивну сталу можна вибрати таким чином, що буде iснувати єдиний розв’язок
задачi (24) з диференцiйовною асимптотикою
N0(ξ, η) =
O
(
exp
(
π
h1
ξ
))
при ξ → −∞,
d0 +O
(
exp
(
− π
h2
ξ
))
при ξ → +∞.
(27)
Крiм того, якщо функцiї F, G, Φ є парними вiдносно змiнної η (F, G, Φ — непарнi
функцiї вiдносно η) та B(i)
− ≡ B
(i)
+ , i = 1, 2 (B
(i)
− ≡ −B(i)
+ , i = 1, 2), то розв’язок N0 є
парною (непарною) функцiєю вiдносно змiнної η. ЯкщоN0 — непарна функцiя, то в (27)
стала d0 дорiвнює нулю.
З наслiдку 4.1 [17] випливає таке твердження.
Твердження 2. Iснує нетривiальний розв’язок Z0 однорiдної задачi (24), який не на-
лежить просторуH, з диференцiйовною асимптотикою
Z0(ξ, η) =
ξ
h1
+ Ch1 +O
(
exp
(
π
h1
ξ
))
при ξ → −∞,
ξ
h2
+ Ch2 +O
(
exp
(
− π
h2
ξ
))
при ξ → +∞,
(28)
де Chi = h−1
i 〈Z0(0, η)〉Υi , i = 1, 2.
Крiм того, цей розв’язок є парною функцiєю вiдносно змiнної η i будь-який iнший
розв’язок однорiдної задачi (24), який має полiномiальне зростання при ξ → ±∞, є лi-
нiйною комбiнацiєю α1 + α2Z0, де α1 та α2 — деякi сталi.
Зауваження 5. Використовуючи другу формулу Грiна – Остроградського, як це було
зроблено в зауваженнi 4.3 [17], сталу d0 iз (27) можна знайти за формулою
d0 =
∫
Ξ
F (ξ, η)Z0(ξ, η) dξ dη +
0∫
−∞
B
(1)
± (ξ)Z0
(
ξ,±h1
2
)
dξ +
+∞∫
0
B
(2)
± (ξ)Z0
(
ξ,±h2
2
)
dξ+
+
∫
Υ1\Υ2
G(η)Z0(0, η) dη −
∫
Υ2
Φ(η)Z0(0, η) dη. (29)
У загальному випадку, коли Ψ 6= 0, в задачi (24) потрiбно виконати замiну
W = N − χδΨ,
де χδ ∈ C∞(R+), 0 ≤ χδ ≤ 1, та
χδ(ξ) =
0 при ξ < 0,
1 при 0 ≤ ξ ≤ δ (δ > 0),
0 при ξ ≥ 2δ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 225
Тодi [W ]|ξ=0 = 0, i ми приходимо до попереднього випадку.
Означення 2. ФункцiяN називається узагальненим розв’язком задачi (24), якщо iснує
функцiяW, яка належить просторуH i така, що задовольняє iнтегральну тотожнiсть
∫
Ξ
∇W · ∇v dξ dη =
∫
Ξ
Fv dξ dη −
∫
Ξ(2)
∇(χδ(ξ)Ψ(η)) · ∇v dξ dη +
0∫
−∞
B
(1)
± (ξ) v
(
ξ,±h1
2
)
dξ+
+
+∞∫
0
B
(2)
± (ξ)v
(
ξ,±h2
2
)
dξ +
∫
Υ1\Υ2
G(η)v(0, η) dη−
−
∫
Υ2
Φ(η)v(0, η) dη ∀v ∈ H. (30)
Зауваження 6. Легко переконатися, що i в загальному випадку буде мати мiсце твер-
дження 1 з цiєю ж самою умовою розв’язностi (26), якщо Ψ ∈ H1(Υ2). Крiм того, потрiб-
но вимагати, щоб в останньому абзацi твердження 1 Ψ була парною (непарною) функ-
цiєю.
Тепер повернемося до задач (22) та (23). З (26) випливає, що умовою їх розв’язностi є
рiвностi ∫
∂Ξ‖
Θk(η)dη =
∫
Υ2
Φk(η)dη, k ∈ N. (31)
Враховуючи третю рiвнiсть в задачi (4), з (31) виводимо такi спiввiдношення для функ-
цiй {ω(i)
k }:
h1
dω
(1)
k
dx
(0) = h2
dω
(2)
k
dx
(0), k ∈ N, k ≥ 2. (32)
Отже, якщо {ω(i)
k } задовольняють (32), то iснують розв’язки задач (22) та (23). Їх згiд-
но з твердженням 1 можна вибрати єдиним чином так, щоб вони мали асимптотику
Nk(ξ, η) =
O
(
exp
(
π
h1
ξ
))
при ξ → −∞,
d+
k +O
(
exp
(
− π
h2
ξ
))
при ξ → +∞.
(33)
Далi в асимптотичному розвиненнi (21) будемо використовувати функцiї
Nk(ξ, η) =
{
Nk(ξ, η), ξ < 0,
Nk(ξ, η)− d+
k , ξ > 0,
k ∈ N.
Тодi на пiдставi (33) функцiї {Nk} будуть експоненцiально спадати при ξ → ±∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
226 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Якщо формально пiдставити ряди (3) та (21) в першу умову спряження задачi (1), то
отримаємо рiвнiсть (
u(1)
∞ +N∞
)∣∣∣
x=0−
=
(
u(2)
∞ +N∞
)∣∣∣
x=0+
,
з якої на пiдставi вiдповiдних рiвностей в задачах (22) та (23) випливають такi спiввiдно-
шення для функцiй {ω(i)
k }:
ω
(2)
2 (0) = ω
(1)
2 (0), ω
(2)
k (0)− ω(1)
k (0) = d+
k−2, k ∈ N, k ≥ 3.
Таким чином, отримали послiдовнiсть крайових задач для визначення функцiй {ω(i)
k }.
Для функцiй ω(1)
2 i ω(2)
2 , якi формують головний член асимптотики, задача має вигляд
−hi
d2ω
(i)
2
dx2
(x) = F̂ (i)(x), x ∈ Ii, i = 1, 2,
ω
(1)
2 (0) = ω
(2)
2 (0),
(34)
h1
dω
(1)
2
dx
(0) = h2
dω
(2)
2
dx
(0),
ω
(1)
2 (−1) = 0, ω
(2)
2 (1) = 0,
де
F̂ (i)(x) :=
∫
Υi
f(x, η) dη − ϕ(i)
+ (x) + ϕ
(i)
− (x), x ∈ Ii, i = 1, 2. (35)
Задачу (34) будемо називати усередненою задачею для задачi (1).
Для наступних функцiй {ω(1)
k , ω
(2)
k : k ≥ 3} задачi мають вигляд
−hi
d2ω
(i)
k
dx2
(x) = 0, x ∈ Ii, i = 1, 2,
ω
(1)
k (0) = ω
(2)
k (0)− d+
k−2,
(36)
h1
dω
(1)
k
dx
(0) = h2
dω
(2)
k
dx
(0),
ω
(1)
k (−1) = 0, ω
(2)
k (1) = 0,
а їх розв’язок є таким:
ω
(1)
k (x) = −
h2d
+
k−2
h1 + h2
(x+ 1), x ∈ I1,
(37)
ω
(2)
k (x) =
h1d
+
k−2
h1 + h2
(1− x), x ∈ I2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 227
3. Схема побудови повної асимптотики та її обґрунтування. Введемо позначення
uk
(
x,
y
ε
)
=
u
(1)
k
(
x,
y
ε
)
, (x, y) ∈ Ω
(1)
ε ,
u
(2)
k
(
x,
y
ε
)
, (x, y) ∈ Ω
(2)
ε ,
ωk(x) =
ω
(1)
k (x), x ∈ I1,
ω
(2)
k (x), x ∈ I2,
k ∈ N, k ≥ 2.
З усередненої задачi (34) однозначно визначаємо головний член асимптотики ω2 ряду
(3). Потiм iз задач (4), якi можна записати у виглядi
−∂2
ηηu
(i)
2 (x, η) = f(x, η)− h−1
i F̂ (i)(x), η ∈ Υi,
−∂ηu(i)
2 (x, η)|
η=±hi
2
= ϕ
(i)
± (x), x ∈ Ii, i = 1, 2, (38)
〈u(i)
2 (x, ·)〉Υi = 0, x ∈ Ii,
однозначно визначаємо
u
(i)
2 (x, η) = −
η∫
−hi
2
(η − t)
(
f(x, t)− h−1
i F̂ (i)(x)
)
dt− ηϕ(i)
− (x) + α
(i)
2 (x), (39)
де функцiя α(i)
2 однозначно визначається з третьої умови в (38), тобто
α
(i)
2 (x) =
∫
Υi
η∫
−hi
2
(η − t) f(x, t) dt dη − 6−1h2
i F̂
(i)(x), i = 1, 2;
функцiї F̂ (1) та F̂ (2) задаються формулами (35).
Тепер знаходимо першi члени Π
(1)
2 та Π
(2)
2 примежових асимптотичних розвинень (9)
та (13) вiдповiдно, як розв’язки задач (10) та (14), якi можна записати у виглядi
−∆ξηΠ
(1)
2 (ξ, η) = 0, (ξ, η) ∈ (0,+∞)×Υ1,
− ∂ηΠ(1)
2 (ξ, η)
∣∣∣
η=±h1
2
= 0, ξ ∈ (0,+∞),
(40)
Π
(1)
2 (0, η) = −u(1)
2 (−1, η), η ∈ Υ1,
Π
(1)
2 (ξ, η) → 0, ξ → +∞, η ∈ Υ1;
−∆ξ∗ηΠ
(2)
2 (ξ∗, η) = 0, (ξ∗, η) ∈ (0,+∞)×Υ2,
− ∂ηΠ(2)
2 (ξ∗, η)
∣∣∣
η=±h2
2
= 0, ξ∗ ∈ (0,+∞),
(41)
Π
(1)
2 (0, η) = −u(2)
2 (1, η), η ∈ Υ2,
Π
(1)
2 (ξ∗, η) → 0, ξ∗ → +∞, η ∈ Υ2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
228 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Далi знаходимо перший член внутрiшнього асимптотичного розвинення (21):
N1(ξ, η) =
{
N1(ξ, η), ξ < 0,
N1(ξ, η)− d+
1 , ξ > 0,
де N1 — єдиний розв’язок задачi (23), яку можна записати у виглядi
−∆N1 = 0 в Ξ,
∂ηN1 = 0 на ∂Ξ=,
∂ξN1 = −dω
(1)
2
dx
(0) на ∂Ξ‖, (42)
[N1]|ξ=0 = 0 на Υ2,
[∂ξN1]|ξ=0 =
dω
(1)
2
dx
(0)− dω
(2)
2
dx
(0) на Υ2,
з асимптотикою (33). Нагадаємо, що стала d+
1 також визначається однозначно (див. за-
уваження 5).
Таким чином, однозначно визначаються першi члени асимптотичних розвинень (3),
(9), (13) та (21).
Припустимо, що ми визначили коефiцiєнти ω2, . . . , ω2n−2, u2, u4, . . . , u2n−2 ряду (3), ко-
ефiцiєнти Π
(i)
2 ,Π
(i)
4 , . . . ,Π
(i)
2n−2 рядiв (9) та (13) вiдповiдно i коефiцiєнти N1, . . . , N2n−3 ря-
ду (21).
Тодi за формулами (37) записуємо розв’язок ω2n−1 задачi (36) iз сталою d+
2n−3 в першiй
умовi спряження. Далi знаходимо коефiцiєнт
N2n−2(ξ, η) =
{
N2n−2(ξ, η), ξ < 0,
N2n−2(ξ, η)− d+
2n−2, ξ > 0,
внутрiшнього асимптотичного розвинення (23), де N2n−2 — єдиний розв’язок задачi (23),
яку можна записати у виглядi
−∆N2n−2 = 0 в Ξ,
∂ηN2n−2 = 0 на ∂Ξ=,
∂ξN2n−2 =
h2d
+
2n−3
h1 + h2
на ∂Ξ‖, (43)
[N2n−2]|ξ=0 = u
(1)
2n−2(0, η)− u(2)
2n−2(0, η) на Υ2,
[∂ξN2n−2]|ξ=0 =
d+
2n−3(h1 − h2)
h1 + h2
на Υ2,
з асимптотикою (33).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 229
Знаючи d+
2n−2, за допомогою (37) записуємо розв’язок ω2n задачi (36). Наступний ко-
ефiцiєнт
N2n−1(ξ, η) =
{
N2n−1(ξ, η), ξ < 0,
N2n−1(ξ, η)− d+
2n−1, ξ > 0,
внутрiшнього асимптотичного розвинення (21) шукаємо через розв’язок N2n−1 задачi
(23), яку можна записати у виглядi
−∆N2n−1 = 0 в Ξ,
∂ηN2n−1 = 0 на ∂Ξ=,
∂ξN2n−1 = −∂xu(1)
2n−2(0, η) +
h2d
+
2n−2
h1 + h2
на ∂Ξ‖, (44)
[N2n−1]|ξ=0 = 0 на Υ2,
[∂ξN2n−1]|ξ=0 = ∂xu
(1)
2n−2(0, η)− ∂xu(2)
2n−2(0, η) +
d+
2n−2(h1 − h2)
h1 + h2
на Υ2.
Коефiцiєнти u(i)
2n, i = 1, 2, визначаємо як розв’язки вiдповiдних задач
−∂2
ηηu
(i)
2n(x, η) = ∂2
xxu
(i)
2n−2(x, η), η ∈ Υi,
− ∂ηu(i)
2n(x, η)
∣∣∣
η=±hi
2
= 0, x ∈ Ii, (45)
〈u(i)
2n(x, ·)〉Υi = 0, x ∈ Ii.
I нарештi, знаходимо коефiцiєнти Π
(1)
2n та Π
(2)
2n примежових асимптотичних розвинень (9)
та (13) вiдповiдно, як розв’язки задач (10) та (14), якi можна записати у виглядi
−∆ξηΠ
(1)
2n (ξ, η) = 0, (ξ, η) ∈ (0,+∞)×Υ1,
− ∂ηΠ(1)
2n (ξ, η)
∣∣∣
η=±h1
2
= 0, ξ ∈ (0,+∞),
(46)
Π
(1)
2n (0, η) = −u(1)
2n (−1, η), η ∈ Υ1,
Π
(1)
2n (ξ, η) → 0, ξ → +∞, η ∈ Υ1;
−∆ξ∗ηΠ
(2)
2n (ξ∗, η) = 0, (ξ∗, η) ∈ (0,+∞)×Υ2,
− ∂ηΠ(2)
2n (ξ∗, η)
∣∣∣
η=±h2
2
= 0, ξ∗ ∈ (0,+∞),
(47)
Π
(1)
2n (0, η) = −u(2)
2n (1, η), η ∈ Υ2,
Π
(1)
2n (ξ∗, η) → 0, ξ∗ → +∞, η ∈ Υ2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
230 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Таким чином, послiдовно визначають всi коефiцiєнти рядiв (3), (9), (13) та (21).
За допомогою рядiв (3), (9), (13) та (21) побудуємо ряд
ω2(x) +
+∞∑
k=1
ε2k−1
(
ω2k+1(x) + χ0(x)N2k−1
(x
ε
,
y
ε
))
+
+
+∞∑
k=1
ε2k
(
u2k
(
x,
y
ε
)
+ ω2k+2(x) + χ0(x)N2k
(x
ε
,
y
ε
)
+
+ χ−(x)Π
(1)
2k
(
1 + x
ε
,
y
ε
)
+ χ+(x)Π
(2)
2k
(
1− x
ε
,
y
ε
))
, (x, y) ∈ Ωε, (48)
в якому гладкi зрiзаючi функцiї χ±, χ0 визначаються таким чином:
χ±(x) =
{
1 при |1∓ x| ≤ δ,
0 при |1∓ x| ≥ 2δ,
χ0(x) =
{
1 при |x| < δ,
0 при |x| > 2δ.
Тут δ — довiльне достатньо мале фiксоване додатне число.
Теорема 1. Ряд (48) є асимптотичним розвиненням для розв’язку крайової задачi (1)
у просторi Соболєва H1(Ωε). Крiм того, має мiсце асимптотична оцiнка
∀m ∈ N ∃Cm > 0 ∃ ε0 > 0 ∀ ε ∈ (0, ε0) : ‖uε − U (m)
ε ‖H1(Ωε) ≤ Cmε
2m+ 1
2 , (49)
де U (m)
ε — часткова сума ряду (48):
U (m)
ε (x, y) = ω2(x) +
m∑
k=1
ε2k−1
(
ω2k+1(x) + χ0(x)N2k−1
(x
ε
,
y
ε
))
+
m∑
k=1
ε2k
(
u2k
(
x,
y
ε
)
+
+ ω2k+2(x) + χ0(x)N2k
(x
ε
,
y
ε
)
+ χ−(x)Π
(1)
2k
(
1 + x
ε
,
y
ε
)
+
+ χ+(x)Π
(2)
2k
(
1− x
ε
,
y
ε
))
, (x, y) ∈ Ωε. (50)
Зауваження 7. Тут i далi всi сталi в нерiвностях не залежать вiд параметра ε.
Доведення. Розглянемо довiльне m ∈ N. Пiдставляючи часткову суму U (m)
ε у рiвняння
та крайовi умови задачi (1) i враховуючи спiввiдношення (34) – (47), якi задовольняють
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 231
коефiцiєнти ряду (48), знаходимо
∆U (m)
ε (x, y) + f
(
x,
y
ε
)
= ε2m∂xxu2m
(
x,
y
ε
)
+
+
m∑
k=1
ε2k−1
(
2ε−1dχ
0
dx
(x)∂ξN2k−1(ξ, η) +
d2χ0
dx2
(x)N2k−1(ξ, η)
)∣∣∣∣
ξ=x
ε
, η= y
ε
+
+
m∑
k=1
ε2k
(
2ε−1 dχ
0
dx
(x)∂ξN2k(ξ, η) +
d2χ0
dx2
(x)N2k(ξ, η) +
+ 2ε−1 dχ
−
dx
(x)∂ξΠ
(1)
2k (ξ, η) +
d2χ−
dx2
(x)Π
(1)
2k (ξ, η)+
+ 2ε−1 dχ
+
dx
(x)∂ξΠ
(2)
2k (ξ, η) +
d2χ0
dx2
(x)Π
(2)
2k (ξ, η)
)∣∣∣∣
ξ= 1−x
ε
, η= y
ε
=: R(m)
ε (x, y).
(51)
Беручи до уваги експоненцiальне спадання функцiй {Nk,Π
(1)
k ,Π
(2)
k } (див. (33), (17)), роби-
мо висновок, що
∃ Čm ∃ ε0 ∀ ε ∈ (0, ε0) : lim sup
(x,y)∈Ω
(i)
ε
∣∣∣R(m)
ε (x, y)
∣∣∣ ≤ Čmε
2m, i = 1, 2. (52)
Легко перевiрити, що часткова сума залишає такi вiдхили у крайових умовах:
− ∂yU (m)
ε (x, y)
∣∣∣
y=±εhi
2
= εϕ
(i)
± (x), x ∈ Ii,
U (m)
ε (±1, y) = 0, y ∈ Υ(i)
ε , i = 1, 2,
∂xU
(m)
ε (x, y)
∣∣∣
x=0
= ε2m
(
∂xu
(1)
2m
(
0,
y
ε
)
− h2
h1 + h2
d+
2m
)
=: R
(m)
ε (y), y ∈ Υ(1)
ε \Υ(2)
ε ,
та в умовах спряження:
[U (m)
ε ]|x=0 = 0, y ∈ Υ(2)
ε ,
[∂xU
(m)
ε ]|x=0 = ε2m
(
[∂xu2m]|x=0 +
h2 − h1
h1 + h2
d+
2m
)
=: R̂(m)
ε (y), y ∈ Υ(2)
ε .
Очевидно, що iснують такi додатнi сталi Cm та ε0, що
∀ ε ∈ (0, ε0) : lim sup
y∈Υ
(1)
ε \Υ
(2)
ε
∣∣∣R(m)
ε (y)
∣∣∣ ≤ Cmε
2m, lim sup
y∈Υ
(2)
ε
∣∣∣R̂(m)
ε (y)
∣∣∣ ≤ Cmε
2m. (53)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
232 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Тодi рiзниця Wε := uε − U (m)
ε задовольняє систему
−∆Wε = R(m)
ε в Ωε,
∂yWε
(
x,±ε hi
2
)
= 0, x ∈ Ii, i = 1, 2,
Wε(±1, y) = 0, y ∈ Υ(i)
ε , i = 1, 2,
(54)
−∂xWε(0, y) = R
(m)
ε , y ∈ Υ(1)
ε \Υ(2)
ε ,
[Wε]|x=0 = 0, y ∈ Υ(2)
ε ,
[∂xWε]|x=0 = −R̂(m)
ε , y ∈ Υ(2)
ε .
Таким чином, побудований ряд є формальним асимптотичним розв’язком задачi (1).
З (54) виводимо iнтегральне спiввiдношення∫
Ωε
|∇Wε|2 dx dy =
∫
Ωε
R(m)
ε Wε dx dy −
∫
Υ
(1)
ε \Υ
(2)
ε
R
(m)
ε (Wε|x=0) dy +
∫
Υ
(2)
ε
R̂(m)
ε (Wε|x=0) dy.
Тепер, використовуючи нерiвнiсть Фрiдрiкса та оцiнки (52) i (53), з попередньої рiвностi
отримуємо∫
Ωε
|∇Wε|2 dx dy ≤ Čm
√
h1 + h2 ε
2m+ 1
2 ‖Wε‖L2(Ωε) + Cm
√
h1ε
2m+ 1
2 ‖Wε(0, ·)‖L2(Υ
(1)
ε )
≤
≤ Cm ε
2m+ 1
2 ‖∇Wε‖L2(Ωε),
звiдки випливає асимптотична оцiнка (49), яка обґрунтовує побудовану асимптотику i
доводить теорему.
Наслiдок 1. Для рiзницi мiж розв’язком uε задачi (1) та розв’язком ω2 усередненої
задачi (34) мають мiсце такi асимптотичнi оцiнки:
‖uε − ω2‖L2(Ωε) ≤ C0 ε
3
2 , ‖uε − ω2‖H1(Ωε) ≤ C0 ε, (55)∥∥uε − ω2 − ε(ω3 + χ0N1)
∥∥
H1(Ωε)
≤ C1 ε
3
2 , (56)
‖E(i)
ε (uε)− ω2‖L2(Ii) ≤ C2 ε, ‖E(i)
ε (uε)− ω2‖H1(Ii) ≤ C2 ε
1
2 , i = 1, 2, (57)
max
x∈Ii
∣∣∣E(i)
ε (uε)(x)− ω2(x)
∣∣∣ ≤ C3 ε
1
2 , i = 1, 2, (58)
де
E(i)
ε (uε)(x) =
1
ε hi
∫
Υ
(i)
ε
uε(x, y) dy, i = 1, 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 233
Доведення. Оскiльки функцiїN2,Π
(1)
2 та Π
(2)
2 експоненцiально спадають на нескiнчен-
ностi, то з оцiнки (49) при m = 1 випливає така нерiвнiсть (56):
∥∥uε − ω2 − ε(ω3 + χ0N1)
∥∥
H1(Ωε)
≤
∥∥∥uε − U (1)
ε
∥∥∥
H1(Ωε)
+
∥∥∥U (1)
ε − ω2 − ε(ω3 + χ0N1)
∥∥∥
H1(Ωε)
≤
≤ C̃1 ε
5
2 + ε2
∥∥∥u2 + ω4 + χ0N2 + χ−Π
(1)
2 + χ+Π
(2)
2
∥∥∥
H1(Ωε)
≤
≤ ε2
∥∥∥∇x (u2 + ω4 + χ0N2 + χ−Π
(1)
2 + χ+Π
(2)
2
)∥∥∥
L2(Ωε)
+
+ ε2
∥∥∥u2 + ω4 + χ0N2 + χ−Π
(1)
2 + χ+Π
(2)
2
∥∥∥
L2(Ωε)
+ C̃1 ε
5
2 ≤
≤ ε
3
2
2∑
i=1
∫
Ii×Υi
|∂ηu2(x, η)|2 dx dη
1
2
+
+ ε
5
2
2∑
i=1
(
c2‖ω4‖H1(Ii) + ‖u2‖L2(Ii×Υi) + ‖∂xu2‖L2(Ii×Υi)
)
+
+ ε2
(
‖∇ξηN2‖L2(Ξ) + ‖∇ξηΠ
(1)
2 ‖L2((0,+∞)×Υ1) + ‖∇ξ∗ηΠ
(2)
2 ‖L2((0,+∞)×Υ2)
)
+
+ ε3
(
‖N2‖L2(Ξ) + ‖Π(1)
2 ‖L2((0,+∞)×Υ1) + ‖Π(2)
2 ‖L2((0,+∞)×Υ2)
)
+ C̃1 ε
5
2 ≤ C1 ε
3
2 .
(59)
Враховуючи той факт, що ‖χ0N1‖L2(Ωε) ≤ c2 ε та ‖χ0N1‖H1(Ω
(i)
ε )
≤ c3, i = 1, 2, з (56)
отримуємо нерiвностi (55).
Використовуючи нерiвнiсть Кошi – Буняковського, з (55) виводимо нерiвностi (57).
Оскiльки простiр H1(Ii) неперервно вкладається в C(Ii), то з другої нерiвностi в (57) ви-
пливають нерiвностi (58).
Наслiдок доведено.
Зауваження 8. Основний вклад у сталу C1 з нерiвностi (56) вносять доданки з шосто-
го рядка при ε
3
2 в оцiнцi (59). Знаючи явний вигляд коефiцiєнтiв u(i)
2 (див. (39)), можна
вказати залежнiсть цiєї сталої вiд правих частин задачi (1):
2∑
i=1
∫
Ii×Υi
|∂ηu2(x, η)|2 dx dη
1
2
≤
≤
2∑
i=1
√
hi
(√
5hi‖f‖L2(Ii×Υi) + 2
√
2‖ϕ(i)
− ‖L2(Ii) +
√
6‖ϕ(i)
+ ‖L2(Ii)
)
. (60)
Наступний вклад у сталу C1 вносять доданки з восьмого рядка при ε2 в оцiнцi (59). Iз
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
234 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
вiдповiдної iнтегральної тотожностi для розв’язку N2 (див. (30)) виводимо
‖∇ξηN2‖L2(Ξ) ≤ c(δ)‖Ψ2‖L2(Υ2) + ‖Ψ′2‖L2(Υ2) + 2d+
1
h2
√
h1 + h1
√
h2
h1 + h2
≤
≤ 2
2∑
i=1
(
hi
(
c(δ)
√
2hi
√
1 + h2
i +
√
5
)(
‖f‖L2(Ii×Υi) + ‖∂xf‖L2(Ii×Υi)
)
+
+
√
hi
(
c(δ)hi
√
3 + 2h2
i + 2
√
2
)(
‖ϕ(i)
− ‖L2(Ii) + ‖∂xϕ(i)
− ‖L2(Ii)
)
+
+
√
hi
(
c(δ)hi
√
3 + 2h2
i +
√
6
)(
‖ϕ(i)
+ ‖L2(Ii) + ‖∂xϕ(i)
+ ‖L2(Ii)
))
+
+ 2d+
1
h2
√
h1 + h1
√
h2
h1 + h2
, (61)
де Ψ2(η) = u
(1)
2 (0, η)−u(2)
2 (0, η). Аналогiчно оцiнюються величини ‖∇ξηΠ
(1)
2 ‖L2((0,+∞)×Υ1)
та ‖∇ξ∗ηΠ
(2)
2 ‖L2((0,+∞)×Υ2).
Зауважимо також, що якщо ϕ(i)
± ≡ 0 та функцiя f у правiй частинi диференцiального
рiвняння задачi (1) залежить лише вiд змiнної x, то всi коефiцiєнти {u2k}, {Π
(1)
2k } та {Π(2)
2k }
тотожно дорiвнюють нулю. В цьому випадку асимптотичний ряд (48) має вигляд
ω2(x) +
+∞∑
k=1
εk
(
ωk+2(x) + χ0(x)Nk
(x
ε
,
y
ε
))
, (x, y) ∈ Ωε, (62)
а асимптотична оцiнка (56) має порядок ε2. Крiм того, основний вклад у сталу C1 з нерiв-
ностi (56) вносить величина ‖∇ξηN2‖L2(Ξ), яка обмежується тепер величиною
2d+
1
h2
√
h1 + h1
√
h2
h1 + h2
(див. (61)).
4. Обговорення результатiв. 1. З оцiнки (56) видно структуру коректора в асимптотич-
ному наближеннi для розв’язку uε задачi (1). Коректор має вигляд
ε
(
ω3(x) + χ0(x)N1
(x
ε
,
y
ε
))
,
а його градiєнт дорiвнює
χ0(x)∇ξηN1(ξ, η)|ξ=x
ε
, η= y
ε
+ ε
(
ω′3(x) + (χ0(x))′N1
(x
ε
,
y
ε
))
.
Оскiльки функцiя N1 експоненцiально спадає на нескiнченностi (див. (33)), то
ε
∥∥ω3 + χ0N1
∥∥
H1(Ωε)
≤ C0ε,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 235
Рис. 3. Тонка каскадна область з локальним розширенням.
Рис. 4. Тонка каскадна область типу графа.
а отже, за даної структури тонкого каскадного з’єднання в околi зони з’єднання будуть
вiдсутнi суттєвi примежовi ефекти для розв’язку uε задачi (1). На це також вказує друга
оцiнка в (55) i рiвномiрна поточкова оцiнка (58).
Отриманi результати дають право, з точки зору практичного застосування, замiнити
складну вихiдну крайову задачу (1) на просту граничну задачу (34) з достатньою точнiс-
тю, яка вимiрюється параметром ε, що визначає характерну товщину тонкої каскадної
областi.
Крiм того, в данiй роботi встановлено залежнiсть сталої C1 в основнiй асимптотичнiй
оцiнцi (56) вiд правих частин задачi (1) i вiд геометричних параметрiв h1, h2 та d+
1 (див.
зауваження 8). Також можна явно записати залежнiсть i iнших сталих в асимптотичних
оцiнках наслiдку 1 вiд цих самих величин. Цей факт дає можливiсть використовувати
асимптотичнi оцiнки безпосередньо для наближення розв’язкiв крайових задач у тонких
каскадних областях замiсть чисельних розрахункiв.
2. Запропонований у данiй статтi метод побудови асимптотичних розвинень можна
застосувати без суттєвих змiн i до асимптотичного дослiдження крайових задач у тонких
каскадних областях бiльш складної структури, а саме, або в тонких каскадних областях з
локальними звуженнями чи розширеннями в околах з’єднання тонких областей (рис. 3),
або в тонких каскадних областях типу графа (рис. 4), або в тонких каскадних перфоро-
ваних областях з швидкозмiнною товщиною (рис. 5). Для останнiх потрiбно в регулярну
частину асимптотики додати ряди з швидкоосцилюючими коефiцiєнтами (див. [15, 16]).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
236 А. В. КЛЕВЦОВСЬКИЙ, Т. А. МЕЛЬНИК
Рис. 5. Тонка каскадна перфорована область з швидкозмiнною товщиною.
1. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического
интегрирования уравнений теории упругости // Прикл. математика и механика. — 1962. — 26, № 4. —
С. 668 – 686 .
2. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Наука, 1976.
3. Джавадов М. Г. Асимптотика решения краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка
в тонких областях // Дифференц. уравнения. — 1968. — 4, № 10. — С. 1901 – 1909.
4. Ciarlet P., Kesavan S. Two-dimensional approximations of three-dimensional eigenvalue problem in plate
theory // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. — 1981. — 26. — С. 145 – 172.
5. Назаров С. А. Структура решений краевой задачи для эллиптических уравнений в тонких областях //
Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. математика, механика, астрономия. — 1982. — Вып. 2. — С. 65 – 68.
6. Панасенко Г. П., Резцов М. В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородной плас-
тине // Докл. АН СССР. — 1987. — 294, № 5. — С. 1061 – 1065.
7. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.:
Высш. шк., 1990.
8. Мельник Т. А. Усереднення елiптичних рiвнянь, якi описують процеси в сильно неоднорiдних тонких
перфорованих областях з швидко змiнною товщиною // Доп. АН України. — 1991. — № 10. — С. 15 – 19.
9. Назаров С. А. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных облас-
тях, в том числе тонких // Алгебра и анализ. 1995. — 7, № 5. — С. 1 – 92.
10. Колпаков А. Г. Определяющие уравнения тонкой упругой напряженной балки периодической струк-
туры // Прикл. математика и механика. — 1999. — 63, вып. 3. — С. 513 – 523.
11. Lewinsky T., Telega J. Plates, laminates and shells // Asymptotic Analysis and Homogenization. — Singapore:
Wold Sci., 2000.
12. Назаров С. А. Асимптотический анализ тонких пластин и стержней. — Новосибирск: Научная книга,
2002. — Т. 1.
13. Chechkin G. A., Pichugina E. A. Weighted Korn’s inequality for a thin plate with a rough surface // Rus. J.
Math. Phys. — 2000. — 7, № 3. — P. 375 – 383.
14. Korn R. V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness.II: A convergence proof
// Quart. Appl. Math. — 1985. — 18, № 1. — P. 1 – 22.
15. Мельник Т. А., Попов А. В. Асимптотический анализ краевых и спектральных задач в тонких перфо-
рированных областях с быстро изменяющейся толщиной и различными предельными размерностями
// Мат. сб. — 2012. — 203, № 8. — С. 97 – 124.
16. Mel’nyk T. A., Popov A. V. Asymptotic analysis of the Dirichlet spectral problems in thin perforated domains
with rapidly varying thickness and different limit dimensions // Math. and Life Sci. / Eds A. V. Antoniouk,
R. V. N. Melnik. — Berlin: De Gruyter, 2012. — P. 87 – 111.
17. Mel’nyk T. A. Homogenization of the Poisson equation in a thick periodic junction // Z. Anal. und ihre
Anwendungen. — 1999. — 18, № 4. — P. 953 – 975.
18. Борисюк А. О. Генерацiя звуку течiями в каналах з локальними нерегулярностями геометрiї // Акуст.
вiсн. — 2007. — 10, № 2. — С. 4 – 21.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВИНЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЕЛIПТИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 237
19. Borisyuk A. O. Experimental study of wall pressure fluctuations in rigid and elastic pipes behind an axi-
symmetric narrowing // J. Fluids and Structures. — 2010. — 26. — P. 658 – 674.
20. Gaudiello A., Kolpakov A. G. Influence of non degenerated joint on the global and local behavior of joined
rods // Int. J. Eng. Sci. — 2010. — 49, Issue 3. — P. 295 – 309.
21. Arrieta J. M., Carvalho A. N., Silva R. P., Pereira M. C. Semilinear parabolic problems in thin domains with a
highly oscillatory boundary // Nonlinear Anal. — 2011. — 74, № 15. — P. 5111 – 5132.
22. Arrieta J. M., Carvalho A. N., Silva R. P., Pereira M. C. Nonlinear parabolic problems in thin domains with a
highly oscillatory boundary // Cad. mat. — 2010. — 11. — P. 331 – 364.
23. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критиче-
ской толщины // Мат. сб. — 2003. — 194, № 5. — P. 61 – 96.
24. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика спектра задачи Неймана в сингулярно вырождающих-
ся тонких областях. I // Алгебра и анализ. — 1990. — 2, № 2. — С. 85 – 111.
25. Blanchard D., Gaudiello A., Mel’nyk T. A. Boundary homogenization and reduction of dimention in a Kirch-
hoff – Love plate // SIAM J. Math. Anal. — 2008. — 39. — P. 1764 – 1787.
26. Mel’nyk T. A., Nazarov S. A. Asymptotic structure of the spectrum of the Neumann problem in a thin comb-
like domain // C. r. Acad. sci. Ser. 1. — 1994. — 319. — P. 1343 – 1348.
27. Nazarov S. A. Junctions of singularly degenerating domains with different limit dimensions // J. Math. Sci. —
1996. — 80, № 5. — P. 1989 – 2034.
28. Cioranescu D., Saint Jean Paulin J. Homogenization of reticulated structures // Appl. Math. Sci. — New York:
Springer, 1999. — 139.
29. Blanchard D., Gaudiello A. Homogenization of highly oscillating boundaries and reduc-tion of dimension
for a monotone problem // ESAIM Control. Optim. Calc. Var. — 2003. — 9. — P. 449 – 460.
30. Gaudiello A., Zappale E. Junction in a thin multidomain for a fourth order problem // Math. Models Methods
Appl. Sci. — 2006. — 16. — P. 1887 – 1918.
31. Panasenko G. P. Asymptotic analysis of bar systems // Int. Rus. J. Math. Phys. — 1994. — 2, № 3. — P. 325 –
352.
Одержано 25.02.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
|