Усреднение многозначных интегральных уравнений
Розглянуто обґрунтування методу усереднення для багатозначного iнтегрального рiвняння. We substantiate an averaging method for a multivalued integral equation.
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177130 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Усреднение многозначных интегральных уравнений / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 408-415. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859905472292716544 |
|---|---|
| author | Скрипник, Н.В. |
| author_facet | Скрипник, Н.В. |
| citation_txt | Усреднение многозначных интегральных уравнений / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 408-415. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглянуто обґрунтування методу усереднення для багатозначного iнтегрального рiвняння.
We substantiate an averaging method for a multivalued integral equation.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:59:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
УСРЕДНЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Н. В. Скрипник
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
Украина, 65082, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: talie@ukr.net
We substantiate an averaging method for a multivalued integral equation.
Розглянуто обґрунтування методу усереднення для багатозначного iнтегрального рiвняння.
Интегральные уравнения находят многочисленные приложения в различных областях
знаний, таких как теория упругости, передача тепла и массы, теория колебаний, динами-
ка жидкости, теория фильтрации, электростатика, электродинамика, биомеханика, те-
ория игр, теория управления, теория голосования, электротехника, экономика и меди-
цина.
Исследования реальных процессов, основанных на идеализированных математиче-
ских моделях, зачастую приводят к уравнениям с малыми параметрами. Для их иссле-
дования широко используются различные асимптотические методы. Выбор конкретно-
го асимптотического метода зависит от структуры уравнения, описывающего динамику
объекта. В последнее время методы усреднения получили широкое развитие в нелиней-
ной механике и теории колебаний. Математическое обоснование метода усреднения для
обыкновенных дифференциальных уравнений началось в 1937 г. с фундаментальной ра-
боты Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [1]. Большую роль в разработке метода усред-
нения для различных классов дифференциальных уравнений сыграли работы Е. А. Гре-
беникова, Ю. А. Митропольского, Н. Н. Моисеева, Н. А. Перестюка, В. А. Плотникова,
А. М. Самойленко, А. Н. Филатова и др. [2 – 4, 7 – 11, 14]. В последующем идеи метода
усреднения были распространены на дифференциальные уравнения с многозначной и
нечеткой правой частью (см.[5, 6, 9, 12, 13] и библиографию в них).
В данной статье рассмотрим обоснование метода усреднения для многозначного ин-
тегрального уравнения.
Пусть conv (Rn) — метрическое пространство непустых компактных выпуклых под-
множеств Rn с метрикой Хаусдорфа h(F,G).
Рассмотрим многозначное интегральное уравнение
X(t) = X0 + ε
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds, (1)
где t ∈ R+ — время, X : R+ → D, D ⊂ conv (Rn), ε — малый параметр.
Вопрос существования решений многозначных интегральных уравнений такого вида
рассмотрен в [15].
c© Н. В. Скрипник, 2013
408 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 409
Уравнению (1) поставим в соответствие усредненное многозначное интегральное урав-
нение
X̄(t) = X0 + ε
t∫
0
F̄ (t, X̄(s)) ds, (2)
где
F̄ (t,X) = lim
T→∞
1
T
τ+T∫
τ
F (t, s,X) ds. (3)
Имеет место следующая теорема, устанавливающая близость решений уравнений (1)
и (2) на конечном промежутке.
Теорема 1. Пусть в области Q = {(t, s,X) : t, s ∈ R+, X ∈ D ⊂ conv (Rn)} выполне-
ны следующие условия:
1) многозначное отображение F (t, s,X) непрерывно и удовлетворяет по X условию
Липшица с постоянной λ;
2) многозначное отображение
∫ t
0
F (t, s,X(s)) ds равномерно непрерывно на R+ для
любого непрерывного отображения X : R+ → D;
3) равномерно относительно t, τ ∈ R+, X ∈ D существует предел (3);
4) решение X̄(·) уравнения (2) определено при t ≥ 0 для всех ε ∈ (0, σ] и лежит с
некоторой ρ-окрестностью в области D.
Тогда для любых сколь угодно малого η > 0 и сколь угодно большого L > 0 можно
указать такое ε0(η, L) ∈ (0, σ], что при ε ∈ (0, ε0] для всех t ∈ [0, Lε−1] выполняется
неравенство
h(X(t), X̄(t)) < η, (4)
где X(·) и X̄(·) — решения уравнений (1) и (2) соответственно.
Доказательство. Заметим, что многозначное отображение F̄ (t,X) удовлетворяет усло-
вию Липшица.
Действительно, в силу условия 3 теоремы для любого δ > 0 можно найти такое T (δ),
что при T > T (δ) будут выполнено неравенство
h
1
T
τ+T∫
τ
F (t, s,X) ds, F̄ (t,X)
< δ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
410 Н. В. СКРИПНИК
Тогда
h
(
F̄ (t,X ′), F̄ (t,X ′′)
)
≤ h
F̄ (t,X ′),
1
T
τ+T∫
τ
F (t, s,X ′) ds
+
+ h
1
T
τ+T∫
τ
F (t, s,X ′) ds,
1
T
τ+T∫
τ
F (t, s,X ′′) ds
+
+ h
1
T
τ+T∫
τ
F (t, s,X ′′) ds, F̄ (t,X ′′)
<
< 2δ + h
1
T
τ+T∫
τ
F (t, s,X ′) dt,
1
T
τ+T∫
τ
F (t, s,X ′′) dt
≤
≤ 2δ +
1
T
τ+T∫
τ
h
(
F (t, s,X ′), F (t, s,X ′′)
)
dt ≤ 2δ + λh(X ′, X ′′).
Поскольку δ произвольно, получим
h
(
F̄ (t,X ′), F̄ (t,X ′′)
)
≤ λh(X ′, X ′′),
что и требовалось показать.
Оценим расстояние между решениями исходного и усредненного многозначных интег-
ральных уравнений:
h(X(t), X̄(t)) = h
X0 + ε
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,X0 + ε
t∫
0
F̄ (t, X̄(s)) ds
=
= εh
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (t, X̄(s)) ds
≤
≤ εh
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (t,X(s)) ds
+
+ εh
t∫
0
F̄ (t,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (t, X̄(s)) ds
≤
≤ εh
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (t,X(s)) ds
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 411
+ ε
t∫
0
h(F̄ (t,X(s)), F̄ (t, X̄(s))) ds ≤
≤ εh
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (t,X(s)) ds
+ ελ
t∫
0
h
(
X(s), X̄(s)
)
ds.
На основании леммы Гронуолла – Беллмана имеем
h(X(t), X̄(t)) ≤ εeελth
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (t,X(s)) ds
≤
≤ εeλL sup
t∈[0,Lε−1]
h
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (t,X(s)) ds
. (5)
Обозначим через φ : R+ → R+ модуль непрерывности многозначного отображения
G(t) =
∫ t
0
F (t, s,X(s)) ds. Тогда
h
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,
t̄∫
0
F (t̄, s,X(s)) ds
< φ(τ)
при |t− t̄| < τ.
Проведем разбиение отрезка [0, Lε−1] с шагом γ(ε), где
γ(ε) → ∞, εφ(γ(ε)) → 0
при ε → 0. Такой выбор шага возможен в силу свойств модуля непрерывности, а именно,
так как φ(γ(ε)) ≤ (1 + γ(ε))φ(1), то
εφ(γ(ε)) ≤ ε(1 + γ(ε))φ(1)
и в качестве γ(ε) можно выбрать, например, ε−
1
2 .
Обозначим ti = iγ(ε), i = 0,m− 1, (m − 1)γ(ε) <
L
ε
≤ mγ(ε), tm =
L
ε
— точки
разбиения, Xi = X(ti) — решение уравнения (1) в точках разбиения.
Оценим выражение
εh
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (t,X(s)) ds
на промежутке [tk, tk+1], k = 0,m− 1 :
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
412 Н. В. СКРИПНИК
εh
t∫
0
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (t,X(s)) ds
=
= εh
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
F (t, s,X(s)) ds+
t∫
tk
F (t, s,X(s)) ds,
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
F (t,X(s)) ds+
+
t∫
tk
F (t,X(s)) ds
≤ ε
k−1∑
i=0
h
ti+1∫
ti
F (t, s,X(s)) ds,
ti+1∫
ti
F (t,X(s)) ds
+
+ h
t∫
tk
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
tk
F (t,X(s)) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
h
ti+1∫
ti
F (t, s,X(s)) ds,
ti+1∫
ti
F (t, s,Xi) ds
+
+ h
ti+1∫
ti
F (t, s,Xi) ds,
ti+1∫
ti
F (t,Xi) ds
+
+h
ti+1∫
ti
F (t,Xi) ds,
ti+1∫
ti
F (t,X(s)) ds
+ h
t∫
tk
F (t, s,X(s)) ds,
t∫
tk
F (t, s,Xk) ds
+
+ h
t∫
tk
F (t, s,Xk) ds,
t∫
tk
F (t,Xk) ds
+ h
t∫
tk
F (t,Xk) ds,
t∫
tk
F (t,X(s)) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
h(F (t, s,X(s)), F (t, s,Xi)) ds+ h
ti+1∫
ti
F (t, s,Xi) ds,
ti+1∫
ti
F (t,Xi) ds
+
+
ti+1∫
ti
h(F (t,X(s)), F (t,Xi)) ds
+
t∫
tk
h(F (t, s,X(s)), F (t, s,Xk)) ds+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 413
+ h
t∫
tk
F (t, s,Xk) ds,
t∫
tk
F (t,Xk) ds
+
t∫
tk
h(F (t,X(s)), F (t,Xk)) ds
≤
≤ ε
k∑
i=0
ti+1∫
ti
h(F (t, s,X(s)), F (t, s,Xi)) ds+
ti+1∫
ti
h(F (t,X(s)), F (t,Xi)) ds
+
+
k−1∑
i=0
h
ti+1∫
ti
F (t, s,Xi) ds,
ti+1∫
ti
F (t,Xi) ds
+ h
t∫
tk
F (t, s,Xk) ds,
t∫
tk
F (t,Xk) ds
≤
≤ 2λε
k∑
i=0
ti+1∫
ti
h(X(s), X(ti)) ds+
+
k−1∑
i=0
h
ti+1∫
ti
F (t, s,Xi) ds,
ti+1∫
ti
F (t,Xi) ds
+ h
t∫
tk
F (t, s,Xk) ds,
t∫
tk
F (t,Xk) ds
.
В силу условия 2 теоремы имеем
h(X(s), Xi) = εh
s∫
0
F (s, ν,X(ν)) dν,
ti∫
0
F (ti, ν,X(ν)) dν
≤ εφ(γ(ε)),
тогда
2λε
k∑
i=0
ti+1∫
ti
h(X(s), X(ti)) ds ≤ 2λε2φ(γ(ε))(k + 1)γ(ε) ≤ 2λLεγ(ε).
В силу условия 3 теоремы существует такая монотонно убывающая функция θ(υ),
стремящаяся к нулю при υ → ∞, что при всех t, υ, τ ∈ R+, X ∈ D
h
τ+υ∫
τ
F (t, s,X)ds,
τ+υ∫
τ
F (t,X)ds
≤ υθ(υ).
Тогда
εh
ti+1∫
ti
F (t, s,Xi) ds,
ti+1∫
ti
F (t,Xi) ds
≤ γ(ε)θ(γ(ε)),
εh
t∫
tk
F (t, s,Xk) ds,
t∫
tk
F (t,Xk) ds
≤ γ(ε)θ(γ(ε)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
414 Н. В. СКРИПНИК
Следовательно,
ε
k−1∑
i=0
h
ti+1∫
ti
F (s,Xi) ds,
ti+1∫
ti
F (s,Xi) ds
+
+ h
t∫
tk
F (s,Xk) ds,
t∫
tk
F (s,Xk) ds
≤ mεγ(ε)θ(γ(ε)) ≤ Lθ(γ(ε)).
Таким образом,
εh
t∫
0
F (s,X(s)) ds,
t∫
0
F̄ (s,X(s)) ds
≤ 2λLεφ(γ(ε)) + Lθ(γ(ε)). (6)
Обозначим η1 = min{ρ, η}. Найдем ε0 из условия
2λLεφ(γ(ε)) + Lθ(γ(ε)) ≤ η1e
−λL.
Тогда для всех ε ∈ (0, ε0] в силу (5) имеем
h(X(t), X̄(t)) ≤ η1 = min{ρ, η},
и теорема доказана при условии, что решение X(·) на всем отрезке [0, Lε−1] не выходит
из области Q, что верно в силу условия 4 теоремы.
Замечание. Данный результат обобщает результаты [9] по обоснованию метода усред-
нения для дифференциальных уравнений с производной Хукухары, так как переходя от
дифференциального уравнения с производной Хукухары к эквивалентному ему инте-
гральному уравнению, получаем, что условия 1, 3, 4 теоремы выполнены вследствие со-
ответствующих условий на правые части исходного дифференциального уравнения, а
условие 2 выполнено, так как многозначное отображение
∫ t
0
F (s,X(s)) ds, где F (s,X) —
правая часть дифференциального уравнения с производной Хукухары, является липши-
цевым, а значит, равномерно непрерывным.
1. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937. —
363 с.
2. Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. – М.: Наука, 1986. — 256 с.
3. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наук. думка, 1971. — 440 с.
4. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981. — 400 с.
5. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциаль-
ные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. — Киев: Ин-т математики НАН Украи-
ны, 2007. — 428 с.
6. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с четкой и нечеткой многозначной
правой частью. Асимптотические методы. — Одесса: Астропринт, 2009. — 192 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 415
7. Плотников В. А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. — Одесса: Одес. гос.
ун-т, 1976. — 103 с.
8. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. – Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. — 188 с.
9. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной пра-
вой частью. Асимптотические методы. — Одесса: Астропринт, 1999. — 356 с.
10. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 с.
11. Филатов А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных
уравнений. — Ташкент: Фан, 1974. — 216 с.
12. Kisielewicz M. Differential inclusion and optimal control. — Warszawa: PWN, 1991. — 239 p.
13. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects:
multivalued right-hand sides with discontinuities // De Gruyter Stud. Math. — Berlin; Boston: Walter De
Gruyter GmbH and Co., 2011. — 40. — 307 p.
14. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. — Singapore: World Sci., 1995. — 462 p.
15. Tise I. Set integral equations in metric spaces // Math. Morav. — 2009. — 13, № 1. — P. 95 – 102.
Получено 14.04.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177130 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:59:37Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Скрипник, Н.В. 2021-02-10T16:07:54Z 2021-02-10T16:07:54Z 2013 Усреднение многозначных интегральных уравнений / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 408-415. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177130 517.929 Розглянуто обґрунтування методу усереднення для багатозначного iнтегрального рiвняння. We substantiate an averaging method for a multivalued integral equation. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Усреднение многозначных интегральных уравнений Усереднення многозначних iнтегральних рiвнянь Averaging of multivalued integral equations Article published earlier |
| spellingShingle | Усреднение многозначных интегральных уравнений Скрипник, Н.В. |
| title | Усреднение многозначных интегральных уравнений |
| title_alt | Усереднення многозначних iнтегральних рiвнянь Averaging of multivalued integral equations |
| title_full | Усреднение многозначных интегральных уравнений |
| title_fullStr | Усреднение многозначных интегральных уравнений |
| title_full_unstemmed | Усреднение многозначных интегральных уравнений |
| title_short | Усреднение многозначных интегральных уравнений |
| title_sort | усреднение многозначных интегральных уравнений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177130 |
| work_keys_str_mv | AT skripniknv usredneniemnogoznačnyhintegralʹnyhuravnenii AT skripniknv userednennâmnogoznačnihintegralʹnihrivnânʹ AT skripniknv averagingofmultivaluedintegralequations |