Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі
Получены условия существования почти периодических и периодических решений почти периодических разностных уравнений с дискретным аргументом в метрическом пространстве, в которых не используются H-классы этих уравнений. We obtain conditions for existence of almost periodic and periodic solutions of a...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177136 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 112-119 — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859514122320740352 |
|---|---|
| author | Слюсарчук, В.Ю. |
| author_facet | Слюсарчук, В.Ю. |
| citation_txt | Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 112-119 — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Получены условия существования почти периодических и периодических решений почти периодических разностных уравнений с дискретным аргументом в метрическом пространстве, в которых не используются H-классы этих уравнений.
We obtain conditions for existence of almost periodic and periodic solutions of almost periodic differenсе equations with discrete argument in metric space without using the H-classes of these equations.
|
| first_indexed | 2025-11-25T20:32:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ
РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У МЕТРИЧНОМУ ПРОСТОРI
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.E.Slyusarchuk@gmail.com
We obtain conditions for existence of almost periodic and periodic solutions of almost periodic differenсе
equations with discrete argument in metric space without using theH-classes of these equations.
Получены условия существования почти периодических и периодических решений почти пе-
риодических разностных уравнений с дискретным аргументом в метрическом пространстве,
в которых не используютсяH-классы этих уравнений.
1. Основнi позначення та об’єкт дослiджень. Нехай M — метричний простiр iз метрикою
ρM , Z — множина всiх цiлих чисел i N — множина всiх натуральних чисел. Зафiксуємо
довiльний елемент a ∈ M . Позначимо через M метричний простiр усiх вiдображень x :
Z → M , для кожного з яких
sup
n∈Z
ρM (x(n), a) < ∞,
з метрикою
ρM(x1,x2) = sup
n∈Z
ρM (x1(n),x2(n)).
У просторi M визначимо оператор зсуву Sm, m ∈ Z, за допомогою формули
(Smx)(n) = x(n+m), n ∈ Z. (1)
Означення 1. Елемент y ∈ M називається майже перiодичним (за Бохнером) (див.
[1, 2]), якщо замикання множини {Smy : m ∈ Z} у просторi M є компактною пiдмно-
жиною цього простору.
Множина B майже перiодичних елементiв простору M є пiдпростором цього просто-
ру з метрикою ρM.
Нехай B[a, r] — замкнена куля у просторi M iз центром у точцi a ∈ M та радiусом r,
тобто множина {x ∈ M : ρM(x,a) ≤ r}.
Означення 2. Оператор H : M → M називається майже перiодичним, якщо для
кожних a ∈ M, r > 0 i послiдовностi (mk)k≥1 натуральних чисел iснує така пiдпослi-
довнiсть (mkl)l≥1, що
lim
l1→∞
l2→∞
sup
x∈B[a,r]
ρM
(
Sml1
HS−ml1
x, Sml2
HS−ml2
x
)
= 0.
c© В. Ю. Слюсарчук, 2015
112 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 113
Це означення у випадку лiнiйного майже перiодичного оператора H рiвносильне оз-
наченню, що використовувалось Е. Мухамадiєвим при дослiдженнi оборотностi лiнiйних
функцiональних операторiв у просторi обмежених на осi функцiй [3, 4].
Нехай K — множина всiх непорожнiх компактних пiдмножин K ⊂ M i R(x) — мно-
жина значень вiдображення x, тобто множина {x(n) : n ∈ Z}. Для компактної множи-
ни K ⊂ K позначимо через DK множину всiх елементiв x ∈ M, для кожного з яких
R(x) ⊂ K.
У подальшому ми будемо використовувати наступне означення майже перiодичного
оператора.
Означення 3. Оператор H : M → M називається майже перiодичним, якщо для
кожних множини K ∈ K i послiдовностi (mk)k>1 цiлих чисел iснує така пiдпослiдов-
нiсть (mkl)l>1, що
lim
l1→∞
l2→∞
sup
x∈DK
ρM
(
Sml1
HS−ml1
x, Sml2
HS−ml2
x
)
= 0.
Зазначимо, що майже перiодичний за означенням 3 оператор H може не бути майже
перiодичним за означенням 2 (вiдповiдний приклад наведено в пунктi 2). Однак майже
перiодичний за означенням 2 оператор H є майже перiодичним i за означенням 3.
Розглянемо майже перiодичний у сенсi означення 3 рiзницевий оператор F : M → M,
що визначається за допомогою формули
(Fx)(n) = F (n,x(n),x(n+m1), . . . ,x(n+mk)), n ∈ Z,
де x ∈ M, k ∈ N, m1, . . . ,mk ∈ Z i F : Z × Mk+1 → M — вiдображення, для якого
множина F (Z×M1×. . .×Mk+1) є обмеженою для всiх обмежених множинM1, . . . ,Mk+1 ⊂
⊂ M. Оператору F поставимо у вiдповiднiсть рiзницеве рiвняння
Fx = h, (2)
де h ∈ B.
Метою статтi є встановлення умов, при виконаннi яких обмеженi розв’язки рiвняння
(2) є майже перiодичними. При дослiдженнi рiвняння (2) будемо використовувати один
функцiонал, визначений на множинi розв’язкiв цього рiвняння, множини значень яких є
пiдмножинами компактних множин.
2. Приклад майже перiодичного за означенням 3 оператора, що не є майже перiодич-
ним за означенням 2. Нехай метричний простiр M є таким, що iснують елемент y = y(n)
простору M i число µ > 0, для яких:
1) y(n) = y(1) для всiх n < 1;
2) ρM (y(n1),y(n2)) ≥ µ, якщо n1, n2 ∈ N i n1 6= n2.
Таким простором є кожний нескiнченновимiрний банаховий простiр, якщо метрику ρ
визначити за допомогою рiвностi (див. [5, c. 203])
ρ(x, y) = ‖x− y‖.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
114 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Розглянемо множину S усiх елементiв x ∈ M, замикання множин значень яких є
компактними пiдмножинами простору M.
Зафiксуємо довiльний елемент b просторуM i розглянемо елемент b = b(n) простору
M, для якого b(n) = b для всiх n ∈ Z.
Визначимо оператор G : M → M за допомогою рiвностi
Gx =
{
b, якщо x ∈ S,
y, якщо x ∈ M \S.
Очевидно, що для кожної компактної множини K ⊂ M
{SmGS−mx : m ∈ Z,x ∈ DK} = {SmGS−mx : m ∈ Z,x ∈ S} = {b}.
Тому оператор G : M → M є майже перiодичним у сенсi означення 3. Однак цей опера-
тор не є майже перiодичним у сенсi означення 2. Справдi, зафiксуємо довiльний елемент
z ∈ M \S. Очевидно, що
SmGS−mz = Smy (3)
для кожного m ∈ Z. Тому
ρM(Sm1y, Sm2y) = sup
n∈Z
ρM (y(n+m1),y(n+m2)) = lim
n→+∞
ρM (y(n+m1),y(n+m2)) ≥ µ,
якщо m1 6= m2.
Отже, якщо m1 6= m2 i {Smz : m ∈ Z} ⊂ B[b, r] (r — деяке додатне число), то
sup
x∈B[b,r]
ρM (Sm1HS−m1x, Sm2HS−m2x) ≥ µ > 0.
Звiдси, iз спiввiдношення (3) та означення 2 випливає, що оператор G не є майже перiо-
дичним у сенсi означення 2.
3. Функцiонал δ. Нехай Λ — обмежена пiдмножина простору M. Визначимо дiаметр
множини Λ рiвнiстю
diam Λ = sup{ρM (x, y) : x, y ∈ Λ}.
Зафiксуємо довiльну множину K ∈ K. Позначимо через N(F,K) множину всiх роз-
в’язкiв рiвняння (2), для кожного з яких R(x) ⊂ K. Вважатимемо, що
N(F,K) 6= ∅.
Розглянемо елемент x∗ ∈ N(F,K), для якого
diamR(x∗) 6= 0,
i додатне число
r(x∗,K) = sup
{
ρM (x, y) : x ∈ R(x∗), y ∈ K
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 115
Зафiксуємо довiльне число ε ∈ [0, r(x∗,K)]. Позначимо через Ω(x∗,K, ε) множину
всiх елементiв y ∈ M, для кожного з яких
R(y) ⊂ K i ρM(y,x∗) ≥ ε.
Розглянемо функцiонал
δ(x∗,K, ε) = inf
y∈Ω(x∗,K,ε)
ρM(Fy,Fx∗). (4)
Цей функцiонал будемо використовувати для дослiдження рiвняння (2).
4. Основний результат. За допомогою розглянутого функцiонала δ отримаємо умови
iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвняння (2), в яких на вiдмiну вiд вiдомої тео-
реми Амерiо про майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (див.
[6, 7]) не використовуються H-клас рiвняння (2) та вiдокремленiсть розв’язкiв рiвнянь
H-класу цього рiвняння.
Теорема 1. Нехай K ∈ K. Якщо для розв’язку x∗ ∈ N(F,K) рiзницевого рiвняння (2)
diamR(x∗) 6= 0 i виконується спiввiдношення
δ(x∗,K, ε) > 0 (5)
для кожного ε ∈ (0, r(x∗,K)), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Зауваження 1. Розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2), для якого diamR(x∗) = 0, є ста-
лим i, отже, майже перiодичним.
Доведення. Припустимо, що розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2) не є елементом про-
стору B. Тодi iснує послiдовнiсть
(
Smpx
∗)
p≥1
, для якої кожна пiдпослiдовнiсть
(
Skpx
∗)
p≥1
буде розбiжною. Отже, для деяких послiдовностей (pr)r≥1, (qr)r≥1 натуральних чисел i
числа γ ∈ (0, diamR(x∗))
ρM(Skprx
∗, Skqrx
∗) ≥ γ, r ≥ 1.
Тому
ρM(x∗, S−kprSkqrx
∗) ≥ γ, r ≥ 1,
i, отже,
S−kprSkqrx
∗ ∈ Ω(x∗,K, γ), r ≥ 1. (6)
Не обмежуючи загальностi доведення можна на пiдставi включення h ∈ B вважати, що
lim
r→∞
ρM
(
S−kprh, S−kqrh
)
= 0. (7)
Зазначимо, що diamR(x∗)) ≤ r(x∗,K)). Не зменшуючи загальностi можна вважати, що
послiдовнiсть (SkpFS−kpx)p≥1 збiгається рiвномiрно на DK . Тому
lim
p,q→∞
sup
x∈DK
ρM(SkpFS−kpx, SkqFS−kqx) = 0. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
116 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Покажемо, що
δ(x∗,K, γ) = 0. (9)
Очевидно, що завдяки (4) i (8)
δ(x∗,K, γ) = inf
y∈Ω(x∗,K,γ)
ρM(Fy,Fx∗) ≤ ρM(FS−kprSkqrx
∗,Fx∗), r ≥ 1. (10)
Оскiльки
ρM(FS−kprSkqrx
∗,Fx∗) =
= ρM
(
S−kpr
(
SkprFS−kpr
)
Skqrx
∗, S−kqr
(
SkqrFS−kqr
)
Skqrx
∗) ≤
≤ ρM
(
S−kpr
(
SkprFS−kpr
)
Skqrx
∗, S−kpr
(
SkqrFS−kqr
)
Skqrx
∗)+
+ ρM
(
S−kpr
(
SkqrFS−kqr
)
Skqrx
∗, S−kqr
(
SkqrFS−kqr
)
Skqrx
∗) =
= ρM
((
SkprFS−kpr
)
Skqrx
∗,
(
SkqrFS−kqr
)
Skqrx
∗)+
+ ρM
(
S−kprSkqrh, S−kqrSkqrh
)
≤
≤ sup
x∈DK
ρM
(
SkprFS−kprx, SkqrFS−kqrx
)
+
+ ρM
(
S−kprh, S−kqrh
)
, r ≥ 1,
то на пiдставi (7), (8) i (10) справджується рiвнiсть (9). Це суперечить (5). Отже, припущен-
ня, що розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2) не є елементом простору B, є хибним.
Теорему 1 доведено.
5. Умови перiодичностi розв’язкiв рiвняння (2). Дослiдимо рiвняння (2) у випадку, коли
множина значень розв’язку цього рiвняння є скiнченною, а отже, i компактною множи-
ною.
Теорема 2. НехайK — довiльна скiнченна пiдмножина просторуM.Якщо для розв’яз-
ку x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2), для якого diamR(x∗) 6= 0, виконується спiввiдношення
δ(x∗,K, ε) > 0 (11)
для кожного ε ∈ (0, r(x∗,K)), то цей розв’язок є перiодичним.
Зауваження 2. Розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2), для якого diamR(x∗) = 0, є ста-
лим i, отже, перiодичним.
Доведення. Розглянемо число
µ = inf
x,y∈K, x6=y
ρM (x, y),
що завдяки умовам теореми є додатним. Оскiльки за теоремою 1 розв’язок x∗ рiвняння
(2) є майже перiодичним, то
ρM(Smx
∗,x∗) < µ
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 117
для деякого числа m ∈ Z \ {0}. Тому
Smx
∗ = x∗,
що означає перiодичнiсть розв’язку x∗.
Теорему 2 доведено.
Зауваження 3. Розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2) з нескiнченною множиною зна-
чень, що задовольняє умови теореми 1, не може бути перiодичним.
6. Додатковi зауваження. Функцiонали, аналогiчнi до функцiонала δ, вперше були за-
стосованi автором у статтях [8 –12] при дослiдженнi нелiнiйних майже перiодичних рiв-
нянь
x(t+ 1) = f(t, x(t)), t ∈ R, (12)
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), t ∈ R, (13)
f(t, x(t)) = 0, t ∈ R, (14)
i
G(t, x(t), x(t−∆1), . . . , x(t−∆m)) = 0, t ∈ R, (15)
вiдповiдно. Тут f : R × E → E i G : R × Em+1 → E — неперервнi оператори, R —
множина всiх дiйсних чисел, E — банаховий простiр i ∆1, . . . ,∆m — довiльнi дiйснi числа.
Аналогiчний функцiонал при дослiдженнi нелiнiйного рiзницевого рiвняння
x(n+ 1) = g(n, x(n)), n ∈ Z, (16)
та не розв’язаного вiдносно похiдної нелiнiйного диференцiального рiвняння
F
(
t, x(t),
dx(t)
dt
)
= 0, t ∈ R, (17)
використовувався вiдповiдно у [13] i [14].
Наведенi в пунктах 4 i 5 умови iснування майже перiодичних i перiодичних розв’язкiв
рiвняння (2), що використовують функцiонал δ, є новими. На вiдмiну вiд згадуваної теоре-
ми Амерiо в теоремi 1 не використовуютьсяH-клас рiвняння (2) та умова вiдокремлення
розв’язкiв рiвняньH-класу цього рiвняння.
Дослiдженню розв’язкiв майже перiодичних рiвнянь присвячено багато публiкацiй.
Вiдмiтимо лише частину з них. Для звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь першi
теореми про майже перiодичнi розв’язки були доведенi Фаваром у роботi [15], а для не-
лiнiйних диференцiальних рiвнянь — Амерiо в роботi [6]. У цих роботах суттєво викори-
стовуються H-класи дослiджуваних рiвнянь, а в [6] використовується також вимога вiдо-
кремленостi обмежених розв’язкiв рiвнянь. Результати Фавара були покращенi Е. Муха-
мадiєвим [3, 4]. Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено роботи [16 – 18]. Важливi
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
118 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
результати в цьому напрямку також належать Б. М. Левiтану [2], Амерiо [19] та В. В. Жи-
кову [20]. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь (12) – (17)
без використанняH-класiв цих рiвнянь отримано автором у [8 – 14].
Умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь (вимога iснуван-
ня таких розв’язкiв у теоремах 1 i 2 є суттєвою) отримано у [21 – 24].
1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen // Math. Ann. — 1927. — 96, I Teil. — S. 119 – 147; II
Teil. — S. 383 – 409.
2. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1953. — 396 с.
3. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274.
4. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных
уравнений // Мат. заметки. — 1981. — 30, № 3. — С. 443 – 460.
5. Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. — Київ: Вища шк.,
1974. — 456 с.
6. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati
// Ann. mat. pura ed appl. — 1955. — 39. — P. 97 – 119.
7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c.
8. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з
неперервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 1. — С. 118 – 124.
9. Slyusarchuk V. Yu. Conditions of almost periodicity for bounded solutions of nonlinear difference equations
with continuous argument // J. Math. Sci. — 2014. — 197, № 1. — P. 122 – 128.
10. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
у банаховому просторi // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 2. — С. 307 – 312.
11. Слюсарчук В. Ю. Критерiй iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь, що не викори-
стовує H-класи цих рiвнянь // Буков. мат. журн. — 2013. — 1, № 1 – 2. — С. 136 – 138.
12. Слюсарчук В. Ю. Дослiдження майже перiодичних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом, що
не використовує H-класи цих рiвнянь // Буков. мат. журн. — 2013. — 1, № 3 – 4. — С. 137 – 143.
13. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з дис-
кретним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 3. — С. 416 – 425.
14. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв не розв’язаних вiдносно похiдної
нелiнiйних диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. — 2014. — 66, № 3. — С. 384 – 393.
15. Favard J. Sur les équations différentielles à coefficients presquepériodiques // Acta math. — 1927. — 51. —
P. 31 – 81.
16. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов //
Мат. сб. – 1981. — 116(158), № 4(12). — С. 483 – 501.
17. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат.
сб. — 1986. — 130(172), № 1(5). — C. 86 – 104.
18. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. — 1987. — 42, № 2. — С. 262 – 267.
19. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. — 1960. — 30. — P. 288 – 301.
20. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в слу-
чае произвольного банахова пространства // Мат. заметки. — 1978. — 23, № 1. — С. 121 – 126.
21. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь // Наук. вiсн.
Чернiв. ун-ту. Математика. — 2009. — Вип. 454. — С. 88 – 94.
22. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних
рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 3. — С. 368 – 378.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 119
23. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко
регулярними операторами // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 4. — С. 112 – 126.
24. Slyusarchuk V. Yu. Method of locally linear approximation of nonlinear difference operators by weakly regular
operators // J. Math. Sci. — 2012. — 187, № 4. — P. 494 – 510.
Одержано 10.03.14,
пiсля доопрацювання — 25.09.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177136 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-25T20:32:25Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Слюсарчук, В.Ю. 2021-02-10T19:33:35Z 2021-02-10T19:33:35Z 2015 Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 112-119 — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177136 517.929 Получены условия существования почти периодических и периодических решений почти периодических разностных уравнений с дискретным аргументом в метрическом пространстве, в которых не используются H-классы этих уравнений. We obtain conditions for existence of almost periodic and periodic solutions of almost periodic differenсе equations with discrete argument in metric space without using the H-classes of these equations. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі Почти периодические и периодические решения разностных уравнений в метрическом пространстве Periodic and almost periodic solutions of difference equations in metric spaces Article published earlier |
| spellingShingle | Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі Слюсарчук, В.Ю. |
| title | Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_alt | Почти периодические и периодические решения разностных уравнений в метрическом пространстве Periodic and almost periodic solutions of difference equations in metric spaces |
| title_full | Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_fullStr | Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_full_unstemmed | Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_short | Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_sort | майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177136 |
| work_keys_str_mv | AT slûsarčukvû maižeperíodičnítaperíodičnírozvâzkiríznicevihrívnânʹumetričnomuprostorí AT slûsarčukvû počtiperiodičeskieiperiodičeskierešeniâraznostnyhuravneniivmetričeskomprostranstve AT slûsarčukvû periodicandalmostperiodicsolutionsofdifferenceequationsinmetricspaces |