Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою
Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по общей стохастической мере. We find sufficient conditions for existence of a weak solution of the Neumann problem for the heat equati...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177149 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою / М.Ф. Городній, Д.М. Полюля // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 192-199 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859860692299939840 |
|---|---|
| author | Городній, М.Ф. Полюля, Д.М. |
| author_facet | Городній, М.Ф. Полюля, Д.М. |
| citation_txt | Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою / М.Ф. Городній, Д.М. Полюля // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 192-199 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по общей стохастической мере.
We find sufficient conditions for existence of a weak solution of the Neumann problem for the heat equation with stochastic action described by an integral and a general stochastic measure.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:45:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА
ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI
IЗ ЗАГАЛЬНОЮ СТОХАСТИЧНОЮ МIРОЮ
М. Ф. Городнiй, Д. М. Полюля
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
We find sufficient conditions for existence of a weak solution of the Neumann problem for the heat equation
with stochastic action described by an integral and a general stochastic measure.
Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Неймана для урав-
нения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по
общей стохастической мере.
1. Вступ. У роботi [1] встановлено iснування слабкого розв’язку задачi Кошi для рiвнян-
ня теплопровiдностi з випадковим впливом, який описується за допомогою iнтеграла за
загальною стохастичною мiрою. Для випадку n просторових змiнних такий розв’язок ви-
значається як деякий узагальнений випадковий процес Vt, t > 0, такий, що при фiксова-
ному t > 0 Vt є узагальненою випадковою функцiєю, визначеною на просторi Шварца
S(Rn) швидкоспадних основних функцiй. Аналогiчний результат щодо iснування слаб-
кого розв’язку задачi Кошi для хвильового рiвняння з випадковим впливом отримано в
[1] для n = 1 i у [2] для n = 2, 3. Про застосування хвильових рiвнянь iз стохастичними
мiрами див. [1, 3, 4] та наведенi там посилання.
Мета цiєї статтi — довести твердження про iснування слабкого розв’язку задачi Ней-
мана для рiвняння теплопровiдностi з таким випадковим впливом.
2. Необхiднi теоретичнi вiдомостi. Позначимо через L0 множину всiх випадкових ве-
личин, якi заданi на повному ймовiрнiсному просторi (Ω, F,P) i розглядаються з точнi-
стю до P -еквiвалентностi; збiжнiсть в L0 — це збiжнiсть за ймовiрнiстю. Нехай D(Rm) —
простiр дiйсних основних функцiй з компактним носiєм (див., наприклад, [5, c. 85]).
Означення 1. Узагальненою випадковою функцiєю (у.в.ф.) називається лiнiйне непе-
рервне вiдображення ξ : D(Rm) → L0.
Набiр усiх у.в.ф. позначатимемо через D′r(Rm). Дiї з у.в.ф. визначаються, як i для зви-
чайних узагальнених функцiй (див., наприклад, [5], § 5, 6).
Нехай B(Rm) — σ-алгебра борелевих множин простору Rm.
Означення 2. Стохастичною мiрою називається σ-адитивне вiдображення
µ : B(Rm) → L0.
У монографiї [6] визначено
∫
A
fdµ, в якому A ∈ B(Rm), f — дiйсна вимiрна (за Бо-
релем) функцiя, та дослiджено його властивостi. Зокрема, кожна вимiрна й обмежена
c© М. Ф. Городнiй, Д. М. Полюля, 2015
192 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА . . . 193
на A функцiя є iнтегровною по множинi A за загальною стохастичною мiрою, а також
виконуються потрiбнi для подальшого викладу твердження.
Теорема 1 (аналог теореми Лебега (див. наслiдок 1.2 [6])). Нехай функцiї g, fn, n ≥ 1,
iнтегровнi по множинi A за загальною стохастичною мiрою µ, а також виконуються
такi умови:
1) ∀n ≥ 1 ∀x ∈ A : |fn(x)| ≤ g(x);
2) fn → f поточково на A.
Тодi f є iнтегровною по множинi A за загальною стохастичною мiрою µ i
P− lim
n→∞
∫
A
fndµ =
∫
A
f dµ.
Теорема 2 (про диференцiювання iнтеграла за загальною стохастичною мiрою по па-
раметру (див. лему 5 [1])). Нехай функцiя h : Rm × (a, b) → R задовольняє такi умови:
1) для кожного фiксованого t ∈ (a; b) функцiя h(·, t) є iнтегровною по множинi Rm за
загальною стохастичною мiрою λ;
2) для кожного фiксованого x ∈ Rm iснує
∂h(x, ·)
∂t
на (a; b);
3) iснує така iнтегровна по множинi Rm за загальною стохастичною мiрою λ функ-
цiя g, що
∀(x, t) ∈ Rm × (a, b) :
∣∣∣∣∂h(x, t)
∂t
∣∣∣∣ ≤ g(x).
Тодi для випадкового процесу η(t) =
∫
Rm
h(x, t)dλ(x), t ∈ (a, b), iснує похiдна в кожнiй
точцi iнтервалу (a, b), причому
dη(t)
dt
=
∫
Rm
∂h(x, t)
∂t
dλ(x), t ∈ (a, b).
Тут i далi похiдна вiд випадкового процесу розглядається у сенсi збiжностi за ймовiр-
нiстю.
Зазначимо, що узагальнена стохастична мiра µ i вимiрна обмежена на Rm функцiя f
визначають у.в.ф. fµ̇ за правилом
(fµ̇, ϕ) =
∫
Rm
f(x)ϕ(x)dµ(x), ϕ ∈ D(Rm).
3. Формулювання основного результату. Зафiксуємо натуральне число n ≥ 2. Якщо
x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, то |x| = (x21 + . . .+ x2n)1/2, x′ = (x1, . . . , xn−1), а отже, x = (x′, xn),
Rn+ = {x ∈ Rn | xn > 0}, (x, t) = (x′, xn, t), i при цьому t iнтерпретується як часова,
а x1, . . . , xn — як просторовi координати; символом 4x =
∂2
∂x21
+ . . . +
∂2
∂x2n
позначаємо
оператор Лапласа, A — замикання множини A.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
194 М. Ф. ГОРОДНIЙ, Д. М. ПОЛЮЛЯ
Нехай µk, k = 1, 2, 3, — стохастичнi мiри на B(Rn). Розглянемо задачу Неймана для
рiвняння теплопровiдностi
∂Vt,xn
∂t
= a24xVt,xn + fµ̇1, t > 0, xn > 0, (1)
Vt,xn
∣∣
t=0
= gµ̇2, xn > 0, (2)
∂Vt,xn
∂xn
∣∣∣∣
xn=0
= hµ̇3, t > 0, (3)
вiдносно невiдомого узагальненого випадкового вiдображення Vt,xn , t > 0, xn > 0, що
набуває значень у D′r(Rn−1). Тут f(x′, t), g(x′), h(x′, t) — вимiрнi, обмеженi, фiнiтнi, дiйснi
функцiї, визначенi вiдповiдно на множинах Rn−1× (0,∞), Rn−1 та Rn−1× (0,∞) i такi, що
функцiя
∂h
∂t
є визначеною й обмеженою на Rn−1 × (0,∞).
Покладемо
G1(t, x) = − 2a2
(2a
√
πt)n
exp
{
− |x|
2
4a2t
}
, t > 0, x ∈ Rn,
G0(t, x, ξ) = (2a
√
πt)−n exp
{
−|x
′ − ξ′|2
4a2t
}(
exp
{
−(xn − ξn)2
4a2t
}
+
+ exp
{
−(xn + ξn)2
4a2t
})
, t > 0, x ∈ Rn, ξ ∈ Rn.
Означення 3. Вiдображення Vt,xn , t > 0, xn > 0, називається розв’язком задачi Ней-
мана (1) – (3), якщо для кожної ϕ ∈ D(Rn−1) виконуються такi умови:
a1) для довiльних t > 0, xn > 0
∂(Vt,xn , ϕ)
∂t
= a2
(
(Vt,xn ,4x′ϕ) +
∂2(Vt,xn , ϕ)
∂x2n
)
+
∫
Rn−1
f(x′, t)ϕ(x′)dµ1(x
′);
a2) для довiльного xn > 0
P− lim
t→0+
(Vt,xn , ϕ) =
∫
Rn−1
g(x′)ϕ(x′)dµ2(x
′);
a3) для довiльного t > 0
P− lim
xn→0+
∂(Vt,xn , ϕ)
∂xn
=
∫
Rn−1
h(x′, t)ϕ(x′)dµ3(x
′).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА . . . 195
Покладемо при ϕ ∈ D(Rn−1), x = (x′, xn) ∈ Rn+, t > 0
r1(x
′, xn, t, ϕ) =
t∫
0
dτ
∫
Rn
+
G0(t− τ, x, ξ)f(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ,
r2(x
′, xn, t, ϕ) =
∫
Rn
+
G0(t, x, ξ)g(x′)ϕ(ξ′)dξ,
r3(x
′, xn, t, ϕ) =
t∫
0
dτ
∫
Rn−1
G1(t− τ, x− ξ′)h(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ′
i при k = 1, 2, 3 визначимо узагальнене випадкове вiдображення Vt,xn,k, t > 0, xn > 0, за
правилом
(Vt,xn,k, ϕ) =
∫
Rn−1
rk(x
′, xn, t, ϕ)dµk(x
′), ϕ ∈ D(Rn−1).
Основним результатом цiєї статтi є наступна теорема.
Теорема 3. Вiдображення
(Vt,xn , ϕ) =
3∑
k=1
(Vt,xn,k, ϕ), ϕ ∈ D(Rn−1),
є розв’язком задачi Неймана (1) – (3).
4. Доведення теореми 3. Спочатку перевiримо, що вiдображення Vt,xn,1, t > 0, xn > 0,
є розв’язком задачi Неймана
∂Wt,xn
∂t
= a24x′Wt,xn + fµ̇1, t > 0, xn > 0, (4)
Wt,xn
∣∣
t=0
= 0, xn > 0, (5)
∂Wt,xn
∂xn
∣∣∣∣
xn=0
= 0, t > 0. (6)
Зафiксуємо ϕ ∈ D(Rn−1) i при кожному фiксованому x = (x′, xn) ∈ Rn+ розглянемо
задачу Неймана для класичного рiвняння теплопровiдностi
∂r(y, t)
∂t
= a24yr(y, t) + f(x′, t)ϕ(y′), (y, t) = (y′, yn, t) ∈ Rn+ × (0,∞), (7)
r(y, t)
∣∣
t=0
= 0, y ∈ Rn+, (8)
∂r(y, t)
∂yn
∣∣∣∣
yn=0
= 0, y′ ∈ Rn−1, t > 0. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
196 М. Ф. ГОРОДНIЙ, Д. М. ПОЛЮЛЯ
Оскiльки f фiнiтна по t i ϕ належить D(Rn−1), то задача Неймана (7) – (9) має класич-
ний розв’язок rx(y, t) (див., наприклад, [7, с. 67]), що належить простору Гельдера C2+α×
×(Rn+ × (0,∞),R) i зображується у виглядi
rx(y, t) =
t∫
0
dτ
∫
Rn
+
G0(t− τ, y, ξ)f(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ, (y, t) ∈ Rn+ × (0,∞).
Використавши явний вигляд G0, можна переконатися, що
rx(y, t) =
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2f(x′, τ)ϕ(y′ + 2aη′
√
t− τ)dη′, (10)
(y, t) ∈ Rn+ × (0,∞).
Тому, поклавши в (10) y = x i застосувавши теорему про диференцiювання iнтеграла вiд
числової функцiї по параметру, для кожної (x, t) ∈ Rn+ × (0,∞) матимемо
r1(x
′, xn, t, ϕ) = rx(x, t), (11)
∂r1(x
′, xn, t, ϕ)
∂t
=
∂rx(y, t)
∂t
∣∣∣∣
y=x
= a24yrx(y, t)
∣∣
y=x
+f(x′, t)ϕ(x′) =
= a2
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2f(x′, τ)(ϕ′′11(x
′ + 2aη′
√
t− τ) + . . .
. . .+ ϕ′′n−1n−1(x
′ + 2aη′
√
t− τ))dη′ = a2r1(x
′, xn, t,4x′ϕ) + f(x′, t)ϕ(x′).
(12)
Iз (10), (11) випливає, що при фiксованих t > 0, xn > 0, ϕ ∈ D(Rn−1) функцiя
r1(x
′, xn, t, ϕ) є вимiрною за змiнною x′, а також
sup
x′∈Rn−1
|r1(x′, xn, t, ϕ)| ≤ t‖f‖∞‖ϕ‖∞.
Тут i в подальшому ‖ · ‖∞ позначає sup-норму для обмеженої на своїй областi визначення
числової функцiї. Враховуючи також лiнiйнiсть r1(x′, xn, t, ϕ) по ϕ ∈ D(Rn−1) i теорему 1,
робимо висновок, що Vt,xn,1 ∈ D′r(Rn−1) для довiльних t > 0, xn > 0.
Внаслiдок (12) при фiксованих b > 0, ϕ ∈ D(Rn−1)
sup
t∈(0,b), x∈Rn
+
∣∣∣∣∂r1(x′, xn, t, ϕ)
∂t
∣∣∣∣ ≤ b‖f‖∞‖4x′ϕ‖∞ + ‖f‖∞‖ϕ‖∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА . . . 197
Тому до
∫
Rn−1
r1(x
′, xn, t, ϕ)dµ1(x
′) можна застосувати теорему 2, а отже, з урахуванням
(12) при фiксованих t > 0, xn > 0 матимемо
∂(Vt,xn,1, ϕ)
∂t
=
∫
Rn−1
∂r1(x
′, xn, t, ϕ)
∂t
dµ1(x
′) =
= a2
∫
Rn−1
r1(x
′, xn, t,4x′ϕ)dµ1(x
′) +
∫
Rn−1
f(x′, t)ϕ(x′)dµ1(x
′) =
= a2(Vt,xn ,4x′ϕ) +
∫
Rn−1
f(x′, t)ϕ(x′)dµ1(x
′). (13)
Iз фiнiтностi f за змiнною t на (0,∞) випливає, що
∃t0 > 0 ∀t ∈ (0, t0] ∀(x′, xn) ∈ Rn+ ∀ϕ ∈ D(Rn−1) : r1(x
′, xn, t, ϕ) = 0.
Тому при фiксованих xn > 0, ϕ ∈ D(Rn−1)
P− lim
t→0+
(Vt,xn,1, ϕ) = 0. (14)
Також внаслiдок (10), (11) при фiксованих t > 0, ϕ ∈ D(Rn−1) випадковий процес η(xn) :=
:= (Vt,xn,1, ϕ), xn > 0, не залежить вiд xn. Тому
P− lim
xn→0+
∂(Vt,xn,1, ϕ)
∂xn
= 0,
∂2(Vt,xn,1, ϕ)
∂x2n
= 0, xn > 0. (15)
Згiдно з (13) – (15) вiдображення Vt,xn,1 є розв’язком задачi Неймана (4) – (6).
Мiркуючи аналогiчно, можна встановити, що вiдображення Vt,xn,2, t > 0, xn > 0, є
розв’язком задачi Неймана
∂Wt,xn
∂t
= a24x′Wt,xn , t > 0, xn > 0, (16)
Wt,xn
∣∣
t=0
= gµ̇2, xn > 0, (17)
∂Wt,xn
∂xn
∣∣∣∣
xn=0
= 0, t > 0. (18)
Доведемо тепер, що узагальнене випадкове вiдображення Vt,xn,3, t > 0, xn > 0, є
розв’язком задачi Неймана
∂Wt,xn
∂t
= a24x′Wt,xn , t > 0, xn > 0, (19)
Wt,xn
∣∣
t=0
= 0, xn > 0, (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
198 М. Ф. ГОРОДНIЙ, Д. М. ПОЛЮЛЯ
∂Wt,xn
∂xn
∣∣∣∣
xn=0
= hµ̇3, t > 0. (21)
Для цього зауважимо, що при фiксованих x = (x′, xn) ∈ Rn+, ϕ ∈ D(Rn−1) задача Нейма-
на для класичного рiвняння теплопровiдностi
∂w(y, t)
∂t
= a24yw(y, t), (y, t) ∈ Rn+ × (0,∞), (22)
w(y, t)
∣∣
t=0
= 0, y ∈ Rn+, (23)
∂w(y, t)
∂yn
∣∣∣∣
yn=0
= h(x′, t)ϕ(y′), y′ ∈ Rn−1, t > 0, (24)
має єдиний розв’язок wx(y, t) у просторi Гельдера C2+α(Rn+ × (0,∞),R), i цей розв’язок
записується у виглядi
wx(y, t) =
t∫
0
dτ
∫
Rn−1
G1(t− τ, y − ξ′)h(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ′ =
=
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2v(t− τ, yn)h(x′, τ)ϕ(y′ + 2aη′
√
t− τ)dη′,
(y, t) ∈ Rn+ × (0,∞),
де v(t, yn) = − a√
πt
exp
(
− y2n
4a2t
)
, t > 0, yn ∈ R. Тому аналогiчно до (12)
4ywx(y, t) =
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2v(t− τ, yn)h(x′, τ)(ϕ′′11(y
′ + 2aη′
√
t− τ) + . . .
. . .+ ϕ′′n−1n−1(y
′ + 2aη′
√
t− τ))dη′+
+
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2 ∂
2v(t− τ, yn)
∂y2n
h(x′, τ)ϕ(y′ + 2aη′
√
t− τ) dη′,
i при y = x дiстанемо
∂r3(x
′, xn, t, ϕ)
∂t
= a2r3(x
′, xn, t,4x′ϕ)+
+ a2
t∫
0
dτ
∫
Rn−1
∂2G1(t− τ, x− ξ′)
∂x2n
h(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ′. (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА . . . 199
Використавши теорему 2, можна переконатися, що для довiльних t > 0, xn > 0, ϕ ∈
∈ D(Rn−1) iснує
∂2(Vt,xn,3, ϕ)
∂x2n
=
∫
Rn−1
dµ3(x
′)
t∫
0
dτ
∫
Rn−1
∂2G1(t− τ, x− ξ′)
∂x2n
h(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ′. (26)
З урахуванням (25), (26) той факт, що вiдображення Vt,xn,3, t > 0, xn > 0, задоволь-
няє умови a1), a2) з означення розв’язку задачi Неймана (19) – (21), перевiряється за до-
помогою мiркувань, подiбних до використаних для перевiрки рiвностей (13), (14). Для
перевiрки умови a3) досить зауважити, що для довiльних фiксованих x′ ∈ Rn−1, t > 0,
ϕ ∈ D(Rn−1)
∂r3(x
′, xn, t, ϕ)
∂xn
→ h(x′, t)ϕ(x′), xn → 0+,
i застосувати теорему 1.
Залишилось зауважити, що сума розв’язкiв задач (4) – (6), (16) – (18), (19) – (21) є розв’яз-
ком задачi Неймана (1) – (3).
Теорему 3 доведено.
1. Радченко В. Н. Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами //
Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 12. — С. 1675 – 1685.
2. Радченко В., Городня Д. Iснування розв’язкiв задач Кошi для хвильових рiвнянь iз стохастичними мi-
рами // Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Т. Шевченка. Математика. Механiка. — 2011. — 25. — С. 29 – 32.
3. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения глазами физика. — М.: Физматлит, 2001. — 528 с.
4. Sturm A. On convergence of population prosesses in random enviroments to the stochastic heat equation
with colored noise // Electron. J. Probab. — 2003. — 8, № 6. — P. 1 – 39.
5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981. — 512 с.
6. Радченко В. Н. Интегралы по общим случайным мерам // Труды Ин-та математики НАН Украины,
1999. — 196 с.
7. Ивасишен С. Д. Линейные параболические граничные задачи. — Киев: Вища шк., 1987. — 72 с.
Одержано 25.09.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177149 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:45:52Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городній, М.Ф. Полюля, Д.М. 2021-02-11T07:03:44Z 2021-02-11T07:03:44Z 2015 Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою / М.Ф. Городній, Д.М. Полюля // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 192-199 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177149 517.9 Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по общей стохастической мере. We find sufficient conditions for existence of a weak solution of the Neumann problem for the heat equation with stochastic action described by an integral and a general stochastic measure. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою Существование решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности с общей стохастической мерой Existence of a solution of the Neumann problem for the heat equation with general stochastic measure Article published earlier |
| spellingShingle | Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою Городній, М.Ф. Полюля, Д.М. |
| title | Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_alt | Существование решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности с общей стохастической мерой Existence of a solution of the Neumann problem for the heat equation with general stochastic measure |
| title_full | Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_fullStr | Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_full_unstemmed | Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_short | Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_sort | існування розв’язку задачі неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177149 |
| work_keys_str_mv | AT gorodníimf ísnuvannârozvâzkuzadačíneimanadlârívnânnâteploprovídnostíízzagalʹnoûstohastičnoûmíroû AT polûlâdm ísnuvannârozvâzkuzadačíneimanadlârívnânnâteploprovídnostíízzagalʹnoûstohastičnoûmíroû AT gorodníimf suŝestvovanierešeniâzadačineimanadlâuravneniâteploprovodnostisobŝeistohastičeskoimeroi AT polûlâdm suŝestvovanierešeniâzadačineimanadlâuravneniâteploprovodnostisobŝeistohastičeskoimeroi AT gorodníimf existenceofasolutionoftheneumannproblemfortheheatequationwithgeneralstochasticmeasure AT polûlâdm existenceofasolutionoftheneumannproblemfortheheatequationwithgeneralstochasticmeasure |