Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами
Исследуется вырожденное параболическое вариационное неравенство со смешаными краевыми условиями и неоднородными начальными условиями в случае, когда связанный с ней оператор может терять свойства коэрцитивности и непрерывности на соответствующих соболевских пространствах. С помощью неравенства Харди...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177151 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами / Н.В. Задоянчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 213-225 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860209213017423872 |
|---|---|
| author | Задоянчук, Н.В. |
| author_facet | Задоянчук, Н.В. |
| citation_txt | Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами / Н.В. Задоянчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 213-225 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Исследуется вырожденное параболическое вариационное неравенство со смешаными краевыми условиями и неоднородными начальными условиями в случае, когда связанный с ней оператор может терять свойства коэрцитивности и непрерывности на соответствующих соболевских пространствах. С помощью неравенства Харди – Пуанкаре при условии, что вырожденная весовая функция является функцией потенциального типа, доказана однозначная разрешимость исходного эволюционного вариационного неравенства.
The degenerate parabolic variational inequality with mixed boundary conditions and nongomogeneous initial data is investigated in the case where the related operator can lose properties of coercivity and continuity on the corresponding Sobolev spaces. By using the Hardy –Poincare inequality it is proved that the original evolution variational inequality has a unique solution, if the degenerate weight function is a function of potential type.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:13:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО IСНУВАННЯ СИЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ НЕРIВНОСТI
З МIШАНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ
Н. В. Задоянчук
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01601, Київ, вул. Володимирська, 60
e-mail: zadoianchuk.nv@gmail.com
The degenerate parabolic variational inequality with mixed boundary conditions and nongomogeneous
initial data is investigated in the case where the related operator can lose properties of coercivity and conti-
nuity on the corresponding Sobolev spaces. By using the Hardy – Poincare inequality it is proved that
the original evolution variational inequality has a unique solution, if the degenerate weight function is a
function of potential type.
Исследуется вырожденное параболическое вариационное неравенство со смешаными краевыми
условиями и неоднородными начальными условиями в случае, когда связанный с ней оператор
может терять свойства коэрцитивности и непрерывности на соответствующих соболев-
ских пространствах. С помощью неравенства Харди – Пуанкаре при условии, что вырожден-
ная весовая функция является функцией потенциального типа, доказана однозначная разре-
шимость исходного эволюционного вариационного неравенства.
1. Вступ. У данiй роботi дослiджується проблема розв’язностi виродженої параболiчної
задачi вигляду
ρẏ − div (ρ(x)∇y) ≥ f0, y ≥ 0 м.с. в Q,
ρẏ − div(ρ(x)∇y) = f0 м.с. в [(x, t) ∈ Q : y(x, t) > 0]
з мiшаними крайовими умовами та неоднорiдними початковими умовами. Тут f0 — задана
функцiя, а ρ — невiд’ємна вагова функцiя з властивостями ρ ∈ L1(Ω), ρ−1 ∈ L1(Ω) i
ρ+ ρ−1 /∈ L∞(Ω).
Вiдповiднi задачi „без виродження” є математичними моделями, зокрема, однофазо-
вих задач Стефана та задач з вiльною межею. Один iз пiдходiв, що використовується при
вивченнi таких задач, полягає в тому, що вiдповiдна параболiчна задача зводиться до ва-
рiацiйної еволюцiйної нерiвностi, а потiм до одержаної задачi застосовуються класичнi
результати щодо розв’язностi одержаного еволюцiйного об’єкта (див., наприклад, [1, 3,
4]). У виродженому випадку, тобто коли розглядається нерiвнiсть з вагою ρ, локально iн-
тегровною разом з оберненою, ситуацiя з розв’язнiстю ускладнюється. Оскiльки функцiя
ρ може бути необмеженою на областi Ω або досягати нуля на пiдмножинах нульової мiри
Лебега, оператор, пов’язаний з нерiвнiстю, може втрачати властивостi обмеженостi та
коерцитивностi на вiдповiдному просторi Соболєва. В результатi може спостерiгатись,
наприклад, неєдинiсть постановки крайової задачi (так званий ефект Лаврентьєва).
Метою даної роботи є доведення розв’язностi виродженої параболiчної нерiвностi в
залежностi вiд властивостей функцiї ρ. Для цього вводиться поняття вагової функцiї по-
c© Н. В. Задоянчук, 2015
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2 213
214 Н. В. ЗАДОЯНЧУК
тенцiального типу, за допомогою якої вихiдна задача зводиться до еквiвалентної їй (в
певному сенсi) задачi. Далi, з використанням нерiвностi типу Хардi – Пуанкаре (див. [5])
дослiджено проблему розв’язностi отриманої варiацiйної нерiвностi з необмеженими ко-
ефiцiєнтами потенцiального типу, а вiдтак i вихiдної нерiвностi.
2. Допомiжнi означення та факти. Нехай Ω — обмежена вiдкрита пiдмножина в RN з
достатньо регулярною межею i 0 ∈ RN — внутрiшня точка множини Ω. Будемо вважати,
що межа ∂Ω складається з трьох гладких частин: Γ1, Γ2 та Γ3 , що попарно не перетина-
ються, Γ1 та Γ2 не мають спiльної межi i лебегова мiра множини Γ1 є ненульовою. Нехай
Q = (0, T ) × Ω — цилiндр в R1 × RN , де T < +∞, та Σi = (0, T ) × Γi, i = 1, 2, 3, —
вiдповiднi складовi бiчної поверхнi.
Будемо вважати, що функцiя ρ : Ω → R задовольняє такi умови: ρ > 0 м.с. на Ω i при
цьому
ρ, ρ−1 ∈ L1(Ω), ∇ ln ρ ∈ L2(Ω,RN ), ρ+ ρ−1 /∈ L∞(Ω). (1)
Отже, функцiю ρ можна ототожнити з мiрою Радона на Ω, поклавши ρ(E) =
∫
E
ρ(x)dx
для довiльної вимiрної множини E ⊂ Ω. Нагадаємо, що невiд’ємною мiрою Радона на
Ω називають невiд’ємну мiру Бореля, яка є скiнченною на кожнiй компактнiй множинi.
Далi будемо вважати, що iснує замкнена пiдмножина Ω∗ множини Ω така, що
dist (∂Ω∗, ∂Ω) = δ, ρ > σ м.с. в Ω \ Ω∗ i ρ ∈ L∞(Ω \ Ω∗) (2)
для деяких δ > 0 та σ > 0. Iнакше кажучи, припускається, що умови (1) не є характерни-
ми для примежового шару множини Ω.
Далi невiд’ємну функцiю ρ з властивостями (1), (2) будемо називати виродженою ва-
говою функцiєю i пов’язуватимемо з нею ваговi гiльбертовi простори L2(Ω, ρdx) та L2(Ω,
ρ−1dx), де, зокрема, L2(Ω, ρdx) — гiльбертiв простiр вимiрних функцiй f : Ω → R, для
яких
‖f‖L2(Ω,ρdx) = (f, f)L2(Ω,ρdx) =
∫
Ω
f2ρ dx < +∞.
Введемо до розгляду такi простори: C∞0 (RN ; Γ2) = {ϕ ∈ C∞0 (RN ) : ϕ = 0 на Γ2},
W 1,1(Ω; Γ2) та W 1,2(Ω; Γ2) — замикання C∞0 (RN ; Γ2) вiдносно норм
‖y‖W 1,1(Ω;Γ2) = ‖y‖L1(Ω) + ‖∇y‖L1(Ω)N
та
‖y‖W 1,2(Ω;Γ2) =
∫
Ω
y2dx+
∫
Ω
|∇y|2RNdx
1/2
вiдповiдно. Позначимо через W 1,2(Ω; Γ2, ρdx) замикання C∞0 (RN ; Γ2) за нормою
‖y‖2W 1,2(Ω;Γ2,ρdx) =
∫
Ω
y2ρdx+
∫
Ω
|∇y|2RNρ dx.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ СИЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ НЕРIВНОСТI . . . 215
Нехай λ∗ = (N − 2)2/4. Тодi для довiльної вiдкритої обмеженої областi Ω ⊂ RN з
достатньо регулярною межею ∂Ω знайдеться стала величина C(Ω) > 0 така, що∫
Ω
[
|∇y|2RN − λ∗
y2
|x|2RN
]
dx ≥ C(Ω)
∫
Ω
y2 dx ∀ y ∈ W 1,2(Ω,Γ2). (3)
Зазвичай спiввiдношення (3) називають нерiвнiстю типу Хардi – Пуанкаре (див. [5]). Як
випливає з (3), для довiльних y ∈ W 1,2(Ω,Γ2) та λ ∈ R+ можна записати∫
Ω
(
|∇y|2RN + y2
)
dx ≥
∫
Ω
|∇y|2RNdx ≥
∫
Ω
[
|∇y|2RN − λ
y2
|x|2RN
]
dx =
=
(
1− λ
λ∗
)∫
Ω
|∇y|2RN dx+
λ
λ∗
∫
Ω
[
|∇y|2RN − λ∗
y2
|x|2RN
]
dx ≥
≥
(
1− λ
λ∗
)∫
Ω
|∇y|2RNdx+
λC(Ω)
λ∗
∫
Ω
y2 dx. (4)
Отже, у випадку, коли 0 < λ < λ∗ вирази∫
Ω
[
|∇y|2RN − λ
y2
|x|2RN
]
dx
1/2
i
∫
Ω
y2dx+
∫
Ω
|∇y|2RNdx
1/2
є еквiвалентними нормами у просторi Соболєва W 1,2(Ω,Γ2).
3. Постановка задачi. По аналогiї з [6] розглянемо непорожню опуклу замкнену в
W 1,2(Ω; Γ2, ρdx) множину K = {v|v ∈ W 1,2(Ω; Γ2, ρdx), v ≥ 0 м.с. в Ω}, що є секвенцiйно
замкненою вiдносно збiжностi за нормою
‖y‖2ρ :=
∫
Ω
y2ρ dx+
∫
Ω
∣∣∣∇y +
y
2
∇ ln ρ
∣∣∣2
RN
ρ dx. (5)
Також розглянемо опуклу замкнену пiдмножинуK простору L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)),що
визначається таким чином:
K = {v| v ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)), v(t) ∈ K м.с.} =
= {v|v ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)), v ≥ 0 м.с. в Q}
i є також секвенцiйно замкненою вiдносно збiжностi за нормою
‖y‖2ρ(0,T )
:=
T∫
0
∫
Ω
y2ρ dxdt+
T∫
0
∫
Ω
∣∣∣∇y +
y
2
∇ ln ρ
∣∣∣2
RN
ρdxdt. (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
216 Н. В. ЗАДОЯНЧУК
Нехай f0 ∈ L2(0, T ;L2(Ω, ρ−1dx)), y0 ∈ W 1,2(Ω; Γ2), y0 ≥ 0 м.с. в Ω — заданi функцiї.
Розглянемо в цилiндрi Q параболiчну задачу з мiшаними крайовими умовами:
ρẏ − div (ρ(x)∇y) ≥ f0, y ≥ 0 м.с. в Q, (7)
ρẏ − div (ρ(x)∇y) = f0 м.с. в [(x, t) ∈ Q : y(x, t) > 0], (8)
∂y
∂nA
+ ρy = u м.с. в Σ1, (9)
y = 0 м.с. в Σ2, (10)
∂y
∂nA
= 0 м.с. в Σ3, (11)
√
ρy(x, 0) = y0(x), x ∈ Ω, (12)
де
∂y
∂nA
=
∑n
i,j=1ρ(x)
∂y
∂xj
cos(n, xi), u ∈ L2(0, T ;L2(Γ1, ρ
−1dξ)) така, що u ≥ 0 м.с. в Σ1.
Покажемо, що задачу (7) – (12) можна звести до виродженої еволюцiйної варiацiйної
нерiвностi. Для цього спочатку помножимо обидвi частини спiввiдношення (7) на функ-
цiю v ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω,Γ2, ρdx)) таку, що v ≥ 0 м.с. в Q:
T∫
0
∫
Ω
ρ(x)ẏvdxdt−
T∫
0
∫
Ω
N∑
i,j=1
∂
∂xi
(
ρ(x)
∂y
∂xj
)
dxdt ≥
T∫
0
∫
Ω
f0 v dxdt.
Застосувавши формулу Грiна, одержимо
T∫
0
∫
Ω
ρẏvdxdt+
T∫
0
∫
Ω
N∑
i,j=1
ρ
∂y
∂xi
∂v
∂xj
dxdt−
T∫
0
∫
Γ1
∂y
∂nA
vdξdt−
−
T∫
0
∫
Γ2
∂y
∂nA
vdξdt−
T∫
0
∫
Γ3
∂y
∂nA
vdξdt ≥
T∫
0
∫
Ω
f0vdxdt.
Врахувавши крайовi умови (9) – (11), будемо мати
T∫
0
∫
Ω
ρẏvdxdt+
T∫
0
∫
Ω
N∑
i,j=1
ρ
∂y
∂xi
∂v
∂xj
dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
ρyvdξdt≥
≥
T∫
0
∫
Ω
f0vdxdt+
T∫
0
∫
Γ1
uvdξdt. (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ СИЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ НЕРIВНОСТI . . . 217
Тепер помножимо спiввiдношення (8) на функцiю y ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω,Γ2, ρdx)) таку, що
y > 0 м.с. вQ. Застосувавши формулу Грiна та використавши умови (9) – (11), отримаємо
T∫
0
∫
Ω
ρẏydxdt+
T∫
0
∫
Ω
N∑
i,j=1
ρ
∂y
∂xi
∂y
∂xj
dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
ρyydξdt=
T∫
0
∫
Ω
f0ydxdt+
T∫
0
∫
Γ1
uydξdt. (14)
Згiдно з [4] (зауваження 1.6) та [1] (§ 6.2) одержимо, що спiввiдношення (15) для будь-
якого v ∈ K та (14) рiвносильнi спiввiдношенню
T∫
0
∫
Ω
ρẏ(v − y)dxdt+
T∫
0
∫
Ω
N∑
i,j=1
ρ
∂y
∂xi
∂(v − y)
∂xj
dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
ρy(v − y)dξdt ≥
≥
T∫
0
∫
Ω
f0(v − y)dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
u(v − y)dξdt. (15)
З огляду на виконанi перетворення задача (7) – (12) еквiвалентна такiй задачi:
T∫
0
∫
Ω
ρẏ(v − y) dxdt+
T∫
0
∫
Ω
N∑
i,j=1
ρ
∂y
∂xi
∂(v − y)
∂xj
dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
ρy(v − y) dξdt ≥
≥
T∫
0
∫
Ω
f0(v − y) dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
u(v − y) dξdt (16)
∀v ∈ K, ẏ ∈ L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2, ρdx))∗),
y ∈ K, (17)
√
ρy(x, 0) = y0(x), x ∈ Ω, (18)
яка є сильною постановкою задачi (див. [3], роздiл 9).
4. Попереднiй аналiз задачi (16) – (18). Для того щоб показати, що постановка задачi
(16) – (18) є коректною, перейдемо у цих спiввiдношеннях до нових змiнних, поклавши
y(x, t) =
z(x, t)
√
ρ
.
В результатi формальних перетворень будемо мати ∇y = −1/2zρ−1/2−1∇ρ + ρ−1/2∇z.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
218 Н. В. ЗАДОЯНЧУК
Отже,
−div (ρ∇y) = −div
(
−1
2
zρ−1/2∇ρ+ ρ−1/2+1∇z
)
=
1
2
ρ−1/2(∇z,∇ρ)RN+
+
1
2
ρ−1/2z4ρ−
(
−1
2
)2
ρ−1/2−1z|∇ρ|2RN−
−
(
1− 1
2
)
ρ−1/2(∇z,∇ρ)RN − ρ−1/2+14z =
= −ρ−1/2+14z +
1
2
ρ−1/2−1
(
ρ4ρ− 1
2
|∇ρ|2RN
)
z =
= −√ρ4z − 1
2
√
ρV (x)z,
де V (x) = −4 ln ρ(x)− 1
2
|∇ ln ρ(x)|2RN .
Застосувавши формальнi перетворення до
∂y
∂nA
, отримаємо
∂y
∂nA
=
N∑
i,j=1
ρ
∂
∂xj
(
z
√
ρ
)
cos(n, xi) =
N∑
i,j=1
√
ρ
∂z
∂xj
cos(n, xi)−
− 1
2
N∑
i,j=1
√
ρ
∂ ln ρ
∂xj
z cos(n, xi) =
√
ρ
∂z
∂n
− 1
2
√
ρz
∂ ln ρ
∂n
.
Взявши до уваги крайовi умови (9) та (11), одержимо
∂z
∂n
− 1
2
z
∂ ln ρ
∂n
+ z =
u
√
ρ
в Σ1, (19)
∂z
∂n
− 1
2
z
∂ ln ρ
∂n
= 0 в Σ3. (20)
Крiм того, для так введеної замiни змiнних справедливим є наступний результат.
Твердження 1 (див. [6], твердження 1). Для довiльного y ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx))
має мiсце зображення y =
z
√
ρ
, при цьому z =
√
ρy ∈ L2(0, T ;W 1,1(Ω; Γ2) ∩ L2(Ω)).
Зауважимо, що вiдображення
ϕ : L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)) → L2(0, T ;W 1,1(Ω; Γ2) ∩ L2(Ω)),
що визначається якϕ(y) = y
√
ρ, не є сюр’єктивним. Проте у просторiL2(0, T ;W 1,1(Ω; Γ2)∩
∩L2(Ω)) множина його образiв
ϕ(L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)))
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ СИЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ НЕРIВНОСТI . . . 219
є щiльною. Аналогiчно [6] можемо бачити, що для довiльного z ∈ L2(0, T ;C∞0 (RN ,Γ2)) ⊂
⊂ L2(0, T ;W 1,1(Ω; Γ2) ∩ L2(Ω)) маємо
z
√
ρ
∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)).
Таким чином, внаслiдок встановленого результату та неперервностi вкладенняL2(0, T ;
C∞0 (RN ,Γ2)) ⊂ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)) ⊂ L2(0, T ;W 1,1(Ω; Γ2) ∩ L2(Ω)) можемо стверджува-
ти, що iснує така щiльна множинаDρ ⊂ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)),що
z
√
ρ
∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2,
ρ dx)) ∀z ∈ Dρ.
Далi розглянемо лiнiйне вiдображення
F : Dρ ⊂ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)) → L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)),
де Fz =
z
√
ρ
. Оскiльки область визначення Dρ даного вiдображення є щiльною множи-
ною банахового простору L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)), то для F , як щiльно визначеного опера-
тора, iснує спряжений оператор
F∗ : D(F∗) ⊂ L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2, ρdx))∗) → L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2))∗)
такий, що
〈F∗v, z〉L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2)) = 〈v,Fz〉L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2,ρdx)) ∀ z ∈ Dρ i ∀ v ∈ D (F∗) ,
де D (F∗) — множина елементiв v ∈ L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2, ρdx))∗), для яких iснує C > 0
таке, що для всiх z ∈ Dρ має мiсце спiввiдношенння∣∣∣〈v,Fz〉L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2,ρdx))
∣∣∣ ≤ C‖z‖L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2)).
Зауважимо, що в загальному випадку спряжений оператор F∗ не є щiльно визначеним.
З огляду на отриманi результати вiдмiтимо наступну властивiсть для множини K.
ОскiлькиK є замкненою пiдмножиною просторуL2(0, T ;Wρ), деWρ утворено як замикан-
ня простору фiнiтних функцiй C∞0 (RN ; Γ2) за нормою (5), то для будь-якого y ∈ K маємо
y = Fz =
z
√
ρ
, де z ∈ L2(0, T ;W 1,1(Ω; Γ2) ∩ L2(Ω)) та ‖y‖ρ(0,T )
=
∥∥∥∥ z
√
ρ
∥∥∥∥
ρ(0,T )
< +∞ (за
вихiдними припущеннями). Звiдси отримуємо, що z ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)). Дiйсно, для
будь-якого y ∈ L2(0, T ;Wρ) маємо
‖y‖2L2(0,T ;Wρ) =
T∫
0
∫
Ω
y2(x)ρ(x) dxdt+
T∫
0
∫
Ω
∣∣∣∣∇y(x) +
y(x)
2
∇ ln ρ(x)
∣∣∣∣2
RN
ρ(x) dxdt =
=
T∫
0
∫
Ω
(y
√
ρ)2dxdt+
T∫
0
∫
Ω
∣∣∣∣√ρ∇y +
y
2
√
ρ
∇ρ
∣∣∣∣2
RN
dxdt =
=
T∫
0
∫
Ω
(y
√
ρ)2 dxdt+
T∫
0
∫
Ω
|∇(
√
ρ y)|2RN dxdt = ‖z‖2L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
220 Н. В. ЗАДОЯНЧУК
Отже, K ⊂ F(Dρ).
Введемо до розгляду вагову функцiю потенцiального типу.
Означення 1. Будемо казати, що ρ : Ω → R є ваговою функцiєю потенцiального
типу, якщо ρ > 0 м.с. на Ω, ρ ∈ L1(Ω), ρ−1 ∈ L1(Ω),∇ ln ρ ∈ L2(Ω;RN ) та iснують сталi
Ĉ(Ω) > 0, C̃ > 0 i пiдобласть Ω∗ ⊂ Ω така, що ρ ∈ C1(Ω \ Ω∗), де dist (∂Ω, ∂Ω∗) > δ при
деякому δ > 0, i при цьому виконуються нерiвностi
ρ(x) ≥ σ на Ω \ Ω∗ при деякому σ > 0, (21)
1
2
∂ ln ρ
∂n
< 1 на Γ1, (22)
∂ ln ρ
∂n
= 0 на Γ3, (23)
−Ĉ(Ω) ≤ −4 ln ρ(x)− 1
2
|∇ ln ρ|2RN <
2λ∗
|x|2RN
=
(N − 2)2
2|x|2RN
в Ω. (24)
У даному випадку функцiю V (x) = −4 ln ρ(x)− 1
2
|∇ ln ρ|2RN будемо називати потенцi-
алом Хардi для вагової функцiї ρ (детальнiше див. [2, 5]).
Утворимо множини
K1 = {η ∈ W 1,2(Ω; Γ2)|η =
√
ρy ∀y ∈ K ⊂ W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)}
та
K1 = {η ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2))|η(t) ∈ K1 м.с. на [0, T ]} =
=
{
η ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)) :
η =
√
ρy ∀y ∈ K ⊂ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)),
}
,
якi за побудовою та вихiдними припущеннями є опуклими замкненими пiдмножинами
просторiв W 1,2(Ω; Γ2) та L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)) вiдповiдно.
Поряд з вихiдною задачею (16) – (18) у випадку, коли функцiя ρ : Ω → R+ задовольняє
умови означення 1, розглянемо таку задачу:
T∫
0
∫
Ω
ż(w − z) dxdt+
T∫
0
∫
Ω
(∇z,∇w −∇z)RN dxdt− 1
2
T∫
0
∫
Ω
V (x)z(w − z) dxdt+
+
T∫
0
∫
Γ1
(
1− 1
2
∂ ln ρ
∂n
)
z(w − z) dξdt≥
T∫
0
∫
Ω
f0√
ρ
(w − z)dxdt+
+
T∫
0
∫
Γ1
p(w − z)dξdt ∀z ∈ K1, ż ∈ L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2))∗), (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ СИЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ НЕРIВНОСТI . . . 221
z ∈ K1, (26)
z(0, x) = y0(x), x ∈ Ω, (27)
де p ∈ L2(0, T ;L2(Γ1)) таке, що p =
u
√
ρ
i p ≥ 0 м.с. в Σ1, V (x) = −4 ln ρ(x)− 1
2
|∇ ln ρ|2RN .
Розв’язнiсть задачi (25) – (27). Тепер покажемо, що у випадку, коли за вагову функцiю
ρ : Ω → R взяти функцiю потенцiального типу, задача (25) – (27) матиме принаймнi один
розв’язок. Сформулюємо наступний результат.
Теорема 1. Нехай ρ : Ω → R+ є ваговою функцiєю потенцiального типу, f0 ∈
∈ L2(0, T ;L2(Ω, ρ−1dx)), p ∈ L2(0, T ;L2(Γ1)), y0 ∈ W 1,2(Ω; Γ2), y0 ≥ 0 м.с. в Ω є заданими
функцiями i при кожному ϕ ∈ C∞0 (RN ; Γ2) має мiсце рiвнiсть
lim
t→0+
〈z(t), ϕ〉L2(Ω) = 〈y0, ϕ〉L2(Ω).
Тодi множина розв’язкiв задачi (25) – (27) є одноточковою.
Доведення. Покладемо
V =
w ∈ W 1,2(Ω; Γ2) :
∫
Ω
[
|∇w|2RN −
1
2
V (x)w2
]
dx < +∞
, H = L2(Ω).
Використовуючи мiркування з доведення теореми 3.2 з [2], легко показати, що простiр V
збiгається з простором W 1,2(Ω; Γ2). Тому, поклавши
V = L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)),
згiдно з теоремою Релiха – Кондрашова отримаємо такi компактнi вкладення:
L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)) ⊂ L2(0, T ;L2(Ω)) ⊂ L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2))∗). (28)
Пов’яжемо iз нерiвнiстю (25) лiнiйний симетричний оператор B : L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)) →
→ L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2))∗), який означимо за правилом
〈Bz,w〉L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2)) =
T∫
0
∫
Ω
(∇z,∇w)RNdxdt−
1
2
T∫
0
∫
Ω
V (x)zw dxdt+
+
T∫
0
∫
Γ1
(
1− 1
2
∂ ln ρ
∂n
)
zwdξdt ∀z(t)∈W 1,2(Ω; Γ2), t∈ [0, T ]. (29)
Беручи до уваги означення вагової функцiї потенцiального типу, нерiвнiсть Хардi –
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
222 Н. В. ЗАДОЯНЧУК
Пуанкаре (3) та теорему Соболєва про слiди, отримуємо
|〈Bz,w〉L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2))| ≤
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
∫
Ω
(
(∇z,∇w)RN −
1
2
V (x)zw
)
dxdt
∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
∫
Γ1
(
1− 1
2
∂ ln ρ
∂n
)
zw dξdt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
T∫
0
∫
Ω
|∇z|2RNdx
1/2∫
Ω
|∇w|2RNdx
1/2
dt+
+ Ĉ(Ω)
T∫
0
∫
Ω
z2dx
1/2∫
Ω
w2dx
1/2
dt+
+ C
T∫
0
‖z‖W 1,2(Ω;Γ2)‖w‖W 1,2(Ω;Γ2) dt ≤
≤
T∫
0
‖z‖W 1,2(Ω;Γ2)‖w‖W 1,2(Ω;Γ2)dt+
+ Ĉ(Ω)
T∫
0
‖z‖W 1,2(Ω;Γ2)‖w‖W 1,2(Ω;Γ2)dt+
+ C
T∫
0
‖z‖W 1,2(Ω;Γ2)‖w‖W 1,2(Ω;Γ2)dt ≤
≤ (1 + C1)‖z‖L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2))‖w‖L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2)),
де C — стала з теореми про слiди, C1 = max{C, Ĉ(Ω)}.
Таким чином, маємо обмеженiсть лiнiйного оператора B. Далi розглянемо
〈Bz, z〉L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2)) =
T∫
0
∫
Ω
|∇z|2RNdxdt−
1
2
T∫
0
∫
Ω
V (x)z2dxdt+
+
T∫
0
∫
Γ1
(
1− 1
2
∂ ln ρ
∂n
)
z2dξdt ≥
T∫
0
∫
Ω
|∇z|2RNdxdt−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ СИЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ НЕРIВНОСТI . . . 223
− 1
2
T∫
0
∫
Ω
V (x)z2dxdt ≥ C2‖z‖2L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2)), (30)
де C2 — стала з умови еквiвалентностi норм у просторi L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)).
Оскiльки умова f0 ∈ L2(0, T ;L2(Ω, ρ−1dx)) гарантує належнiсть елемента
f0√
ρ
просто-
ру L2(0, T ;L2(Ω)), а умова u ∈ L2(0, T ;L2(Γ1, ρ
−1dξ)) гарантує, що
u
√
ρ
∈ L2(0, T ;L2(Γ1), а
простiр L2(0, T ;L2(Ω)) компактно вкладається у простiр L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2))∗), то f, що
задається таким чином:
〈f, v〉L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2)) =
T∫
0
∫
Ω
f0v dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
uv dξdt, v ∈ K1, (31)
визначене в L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2))∗).
При виконаннi умов (28), (30), (31) з урахуванням обмеженостi лiнiйного оператора B
для довiльного y0 ∈ W 1,2(Ω; Γ2) такого, що y0 ≥ 0 м.с. в Ω, згiдно з теоремою 4.6 з [1] за-
дача (25) – (27) має єдиний розв’язок. Бiльш того, якщо pn → p слабко в L2(0, T ;L2(Γ1)),
n → ∞, то zn → z сильно в L2(0, T ;L2(Ω)) i слабко в L2(0, T ;W 1,2(Ω,Γ2)).
Теорему 1 доведено.
5. Розв’язнiсть задачi (16) – (18).
Теорема 2. Нехай ρ : Ω → R+ є ваговою функцiєю потенцiального типу, f0 ∈
∈ L2(0, T ;L2(Ω, ρ−1dx)), u ∈ L2(0, T ;L2(Ω; Γ1, ρ
−1dξ)), y0 ∈ W 1,2(Ω; Γ2), y0 ≥ 0 м.с. в
Ω, є заданими функцiями i при кожному ϕ ∈ C∞0 (RN ; Γ2) має мiсце рiвнiсть
lim
t→0+
〈z(t), ϕ〉L2(Ω) = 〈y0, ϕ〉L2(Ω).
Тодi вихiдна задача (16) – (18) має єдиний розв’язок.
Доведення. Спочатку покажемо, що задачi (16) – (18) та (25) – (27) є еквiвалентними
в певному сенсi, тобто покажемо, що z є розв’язком задачi (25) – (27) в тому i тiльки в
тому випадку, коли y =
z
√
ρ
— розв’язок задачi (16) – (18). Пов’яжемо з нерiвнiстю (16)
оператор A : L2(0, T ;W 1,2(Ω,Γ2, ρdx)) → L2(0, T ; (W 1,2(Ω; Γ2, ρdx))∗), що визначається
за правилом
〈Ay, v〉L2(0,T ;W 1,2(Ω;Γ2ρdx)) =
T∫
0
∫
Ω
(∇y,∇v)ρ dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
ρyv dξdt.
Доведемо, що
〈A(Fz),Fw〉L2(0,T ;W 1,2(Ω,Γ2,ρdx)) = 〈Bz,w〉L2(0,T ;W 1,2(Ω,Γ2)),
де z, w ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω,Γ2)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
224 Н. В. ЗАДОЯНЧУК
Аналогiчно [7] маємо, зокрема, що для z iз Dρ, де Dρ — деяка щiльна пiдмножина у
просторi L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2)), елемент
z
√
ρ
∈L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)) та ∇y=∇
(
z
√
ρ
)
=
=
1
√
ρ
(
∇z − z
2
∇ ln ρ
)
. Беручи до уваги цi перетворення, той факт, що для v та z iз Dρ ⊂
⊂ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2))
Fz,Fv ∈ L2(0, T ;W 1,2(Ω; Γ2, ρdx)),
та враховуючи вигляд функцiї V (x), отримуємо
〈A(Fz),Fw〉L2(0,T ;W 1,2(Ω,Γ2,ρdx)) =
=
T∫
0
∫
Ω
(∇(Fz),∇(Fw))RNρ dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
FzFwρdξdt =
=
T∫
0
∫
Ω
(
∇
(
z
√
ρ
)
,∇
(
w
√
ρ
))
RN
ρ dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
z
√
ρ
w
√
ρ
ρ dξdt =
=
T∫
0
∫
Ω
(
1
√
ρ
∇z − z
2
√
ρ
∇ ln ρ,
1
√
ρ
∇w − w
2
√
ρ
∇ ln ρ
)
RN
ρ dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
z
√
ρ
w
√
ρ
ρ dξdt =
=
T∫
0
∫
Ω
(
∇z − z
2
∇ ln ρ,∇w − w
2
∇ ln ρ
)
RN
dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
z
√
ρ
w
√
ρ
ρ dξdt=
=
T∫
0
∫
Γ1
zw dξdt+
T∫
0
∫
Ω
(∇z,∇w)RNdxdt−
1
2
T∫
0
∫
Ω
(w∇z,∇ ln ρ)RN dxdt−
− 1
2
T∫
0
∫
Ω
(∇ ln ρ, z∇w)RN dxdt+
1
4
T∫
0
∫
Ω
(z∇ ln ρ, w∇ ln ρ)RN dxdt =
=
T∫
0
∫
Ω
(∇z,∇w)RNdxdt−
1
2
T∫
0
∫
Ω
(∇(z · w),∇ ln ρ)RNdxdt+
+
1
4
T∫
0
∫
Ω
(z∇ ln ρ, w∇ ln ρ)RN dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
zw dξdt =
=
T∫
0
∫
Ω
(∇z,∇w)RNdxdt−
1
2
T∫
0
∫
Ω
(
−zw4 ln ρ− 1
2
zw|∇ ln ρ|2RN
)
dxdt−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ СИЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ НЕРIВНОСТI . . . 225
− 1
2
T∫
0
∫
Γ1
∂ ln ρ
∂n
zw dξdt+
T∫
0
∫
Γ1
z w dξdt =
T∫
0
∫
Ω
(∇z,∇w)RN dxdt−
− 1
2
T∫
0
∫
Ω
V (x)zw dxdt+
T∫
0
∫
Γ1
(
1− 1
2
∂ ln ρ
∂n
)
zw dξdt = 〈Bz,w〉L2(0,T ;W 1,2(Ω,Γ2)).
Отже, оскiльки для довiльного v ∈ K iснує елемент w ∈ K1 такий, що v = Fw :=
w
√
ρ
, то
маємо
T∫
0
∫
Ω
ẏ(v − y)ρ dxdt =
T∫
0
∫
Ω
ż
√
ρ
(
w
√
ρ
− z
√
ρ
)
ρ dxdt =
T∫
0
∫
Ω
ż(w − z) dxdt,
T∫
0
∫
Ω
f0(v − y)dxdt =
T∫
0
∫
Ω
f0
(
w
√
ρ
− z
√
ρ
)
dxdt =
T∫
0
∫
Ω
f0√
ρ
(w − z)dxdt,
T∫
0
∫
Γ1
u(v − y) dξdt =
T∫
0
∫
Γ1
u
(
w
√
ρ
− z
√
ρ
)
dξdt =
T∫
0
∫
Γ1
u
√
ρ
(w − z) dξdt.
Зауважимо, що при кожному ϕ ∈ C∞0 (RN ; Γ2) має мiсце рiвнiсть
lim
t→0+
〈y(t), ϕ〉L2(Ω,
√
ρdx) = lim
t→0+
〈z(t), ϕ〉L2(Ω) = (y0, ϕ)L2(Ω).
Таким чином, використавши даний результат щодо еквiвалентностi задач (16) – (18) та
(25) – (27) та результат про iснування i єдинiсть розв’язку задачi (25) – (27) (теорема 1),
отримаємо однозначну розв’язнiсть вихiдної задачi (16) – (18).
Теорему 2 доведено.
1. Barbu V. Optimal control of variational inequalities. — London: Pitman Adv. Publ. Program, 1984. — 298 p.
2. Баланенко I. Г., Когут П. I. Про одну задачу оптимального керування для виродженого параболiчного
рiвняння // Вiсн. ДНУ. Сер. Моделювання. — 2012. — 8 (4). — С. 3 – 18.
3. Lions J.-L. Some methods of solving non-linear boundary value problems. — Paris: Dunod-Gauthier-Villars,
1969. — 580 p.
4. Lions J.-L. Optimal control of systems governed by partial differential equations. — Berlin: Springer-Verlag,
1971. — 400 p.
5. Vazquez J. L., Zuazua E. The Hardy inequality and the asymptotic behaviour of the heat equation with an
inverse-square potential // J. Funct. Anal. — 2000. — 173. — P. 103 – 153.
6. Задоянчук Н. В. Задача оптимального керування для виродженої параболiчної варiацiйної нерiвностi:
теорема iснування // Журн. обчислюв. та прикл. математики. — 2014. — 1(115). — С. 17 – 38.
7. Задоянчук Н. В., Купенко О. П. Про розв’язнiсть одного класу задач оптимального керування для ви-
роджених елiптичних варiацiйних нерiвностей // Журн. обчислюв. та прикл. математики. — 2013. —
4(114). — С. 10 – 23.
Одержано 28.11.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177151 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:13:36Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задоянчук, Н.В. 2021-02-11T07:04:20Z 2021-02-11T07:04:20Z 2015 Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами / Н.В. Задоянчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 213-225 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177151 517.9 Исследуется вырожденное параболическое вариационное неравенство со смешаными краевыми условиями и неоднородными начальными условиями в случае, когда связанный с ней оператор может терять свойства коэрцитивности и непрерывности на соответствующих соболевских пространствах. С помощью неравенства Харди – Пуанкаре при условии, что вырожденная весовая функция является функцией потенциального типа, доказана однозначная разрешимость исходного эволюционного вариационного неравенства. The degenerate parabolic variational inequality with mixed boundary conditions and nongomogeneous initial data is investigated in the case where the related operator can lose properties of coercivity and continuity on the corresponding Sobolev spaces. By using the Hardy –Poincare inequality it is proved that the original evolution variational inequality has a unique solution, if the degenerate weight function is a function of potential type. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами О существовании сильного решения для вырожденного параболического неравенства со смешанными краевыми условиями On existence of strong solution for a degenerate parabolic inequality with mixed boundary-value conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами Задоянчук, Н.В. |
| title | Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами |
| title_alt | О существовании сильного решения для вырожденного параболического неравенства со смешанными краевыми условиями On existence of strong solution for a degenerate parabolic inequality with mixed boundary-value conditions |
| title_full | Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами |
| title_fullStr | Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами |
| title_full_unstemmed | Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами |
| title_short | Про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами |
| title_sort | про існування сильного розв’язку для виродженої параболічної нерівності з мішаними крайовими умовами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177151 |
| work_keys_str_mv | AT zadoânčuknv proísnuvannâsilʹnogorozvâzkudlâvirodženoíparabolíčnoínerívnostízmíšanimikraiovimiumovami AT zadoânčuknv osuŝestvovaniisilʹnogorešeniâdlâvyroždennogoparaboličeskogoneravenstvasosmešannymikraevymiusloviâmi AT zadoânčuknv onexistenceofstrongsolutionforadegenerateparabolicinequalitywithmixedboundaryvalueconditions |