Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра
Вводится класс анизотропных гильбертовых пространств Хермандера на гладкой боковой поверхности цилиндра. Эти пространства не зависят от выбора специальных локальных координат на поверхности и получаются интерполяцией с функциональным параметром пар анизотропных пространств Соболева. Введенные простр...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177152 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра / В.М. Лось // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 226-237 — Бібліогр.: 28 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859861692320579584 |
|---|---|
| author | Лось, В.М. |
| author_facet | Лось, В.М. |
| citation_txt | Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра / В.М. Лось // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 226-237 — Бібліогр.: 28 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Вводится класс анизотропных гильбертовых пространств Хермандера на гладкой боковой поверхности цилиндра. Эти пространства не зависят от выбора специальных локальных координат на поверхности и получаются интерполяцией с функциональным параметром пар анизотропных пространств Соболева. Введенные пространства естественным образом возникают в теории параболических дифференциальных уравнений.
We introduce a class of anisotropic inner product Hormander spaces on a smooth cylinder surface. These spaces do not depend on the choice of special local coordinates on the surface and can be obtained by interpolation with a function parameter between anisotropic Sobolev spaces. The spaces introduced arise naturally in the theory of parabolic differential equations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:46:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.982.27+517.956.4
АНIЗОТРОПНI ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА
НА БIЧНIЙ ПОВЕРХНI ЦИЛIНДРА
В. М. Лось
Нац. техн. ун-т України "КПI"
Україна, 03056, Київ, просп. Перемоги, 37
Чернiгiв. нац. техн. ун-т
Україна, 14027, Чернiгiв, вул. Шевченка, 95
We introduce a class of anisotropic inner product Hörmander spaces on a smooth cylinder surface. These
spaces do not depend on the choice of special local coordinates on the surface and can be obtained by
interpolation with a function parameter between anisotropic Sobolev spaces. The spaces introduced arise
naturally in the theory of parabolic differential equations.
Вводится класс анизотропных гильбертовых пространств Хермандера на гладкой боковой по-
верхности цилиндра. Эти пространства не зависят от выбора специальных локальных коор-
динат на поверхности и получаются интерполяцией с функциональным параметром пар анизо-
тропных пространств Соболева. Введенные пространства естественным образом возникают
в теории параболических дифференциальных уравнений.
Вступ. Теореми про коректну розв’язнiсть початково-крайових задач для параболiчних
диференцiальних рiвнянь формулюються у термiнах належностi їх розв’язкiв певним кла-
сам анiзотропних функцiональних просторiв. Серед них, зокрема, є простори, заданi на
бiчнiй поверхнi цилiндра, в якому розглядається задача. Їх природно будувати за допомо-
гою спецiальних локальних карт на поверхнi, при цьому важливо, щоб отриманi простори
i топологiя в них не залежали вiд вибору цих карт. Для анiзотропних просторiв Соболєва
така побудова є вiдомою i дає змогу довести теореми про коректну розв’язнiсть парабо-
лiчних задач у цих просторах [1 – 7].
Широке i змiстовне узагальнення просторiв Соболєва було запропоноване Л. Херман-
дером [8]. Це простори Hµ := B2,µ. Для них показником регулярностi розподiлiв є ваго-
ва функцiя µ, що залежить вiд кiлькох дуальних змiнних. Такi простори (їх називають
просторами узагальненої гладкостi) знайшли рiзноманiтнi застосування в аналiзi i теорiї
рiвнянь з частинними похiдними [8 – 19].
Так, В. А. Михайлець i О. О. Мурач [13 – 19] побудували теорiю розв’язностi загальних
елiптичних рiвнянь i елiптичних крайових задач у гiльбертових шкалах iзотропних про-
сторiв Хермандера (коли µ є радiальною функцiєю). Це було зроблено на основi методу
iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв, зокрема собо-
лєвських. З огляду на це виглядає перспективним застосування вказаного методу i у тео-
рiї параболiчних рiвнянь [20].
Метою цiєї роботи є знаходження широкого класу анiзотропних гiльбертових просто-
рiв Хермандера, якi припускають коректне означення на бiчнiй поверхнi цилiндра. Вони
отримуються iнтерполяцiєю з функцiональним параметром пар анiзотропних просторiв
c© В. М. Лось, 2015
226 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
АНIЗОТРОПНI ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА НА БIЧНIЙ ПОВЕРХНI ЦИЛIНДРА 227
Соболєва. Для цього класу побудова теорiї розв’язностi параболiчних задач на основi ме-
тоду iнтерполяцiї є можливою.
1. Анiзотропнi простори Хермандера. Основнi результати. Нехай цiле k ≥ 1, µ : Rk →
→ (0,∞) — вимiрна за Борелем функцiя, яка задовольняє таку умову: iснують додатнi
числа c та l такi, що µ(ξ)/µ(η) ≤ c (1 + |ξ − η|)l для будь-яких ξ, η ∈ Rk.
Розглянемо гiльбертовi функцiональнi простори Hµ := B2,µ, що були введенi Л. Хер-
мандером [8] (п. 2.2) та Л. Р. Волевичем, Б. П. Панеяхом [21] (§ 2, 3). За означенням лi-
нiйний простiр Хермандера Hµ(Rk) складається з усiх повiльно зростаючих розподiлiв
w ∈ S ′(Rk), перетворення Фур’є ŵ яких є локально iнтегровними за Лебегом функцiями,
що задовольняють умову
‖w‖2Hµ(Rk) :=
∫
Rk
µ2(ξ)|ŵ(ξ)|2dξ < ∞. (1)
(У роботi усi розподiли/функцiї вважаються комплекснозначними.)
Простiр Hµ(Rk) є гiльбертовим вiдносно скалярного добутку, що визначає норму (1).
Вiн є сепарабельним, неперервно вкладеним у S ′(Rk), а множина C∞0 (Rk) є щiльною в
ньому (див. [8] (п. 2.2) або [22] (п. 10.1)).
Опишемо клас функцiональних параметрiв ϕ, якi використаємо для видiлення з мно-
жини просторiв Хермандера Hµ потрiбних нам анiзотропних просторiв.
Нехай множина OR складається з усiх вимiрних за Борелем функцiй ϕ : [1,∞) →
→ (0,∞), для яких iснують числа a > 1 та c ≥ 1 такi, що
c−1 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ c для всiх t ≥ 1, λ ∈ [1, a] (2)
(взагалi, a та c залежать вiд ϕ). Цi функцiї називаються OR-змiнними на нескiнченностi.
Множина OR-змiнних функцiй була введена В. Г. Авакумовичем та достатньо повно ви-
вчена (див., наприклад, монографiї [23] (п. 1) та [24] (пп. 2.0 – 2.2)).
Для довiльної функцiї ϕ ∈ OR умова (2) рiвносильна такiй умовi: iснують числа s0,
s1 ∈ R, s0 ≤ s1, та c ≥ 1 такi, що
c−1λs0 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ cλs1 для всiх t ≥ 1, λ ≥ 1. (3)
Позначимо
σ0(ϕ) := sup {s0 ∈ R : виконується лiва нерiвнiсть у (3)},
σ1(ϕ) := inf {s1 ∈ R : виконується права нерiвнiсть у (3)}.
Зрозумiло, що −∞ < σ0(ϕ) ≤ σ1(ϕ) < ∞. Числа σ0(ϕ) та σ1(ϕ) дорiвнюють вiдповiдно
нижньому та верхньому iндексам Матушевської функцiї ϕ [24, с. 72].
Далi будемо використовувати клас функцiональних параметрiв
{ϕ : ϕ ∈ OR, σ0(ϕ) = σ1(ϕ) = 0}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
228 В. М. ЛОСЬ
Важливим еталонним прикладом функцiй цього класу є функцiї вигляду
ϕ(r) := (log r)θ1 (log log r)θ2 . . . (log . . . log︸ ︷︷ ︸
k разiв
r )θk при r � 1,
де параметри k ∈ N та θ1, θ2, . . . , θk ∈ R є довiльними.
Нехай числа s ∈ R, γ > 0, цiле k ≥ 2 i функцiя ϕ ∈ OR така, що її верхнiй та нижнiй
iндекси Матушевської дорiвнюють нулю. За означенням анiзотропний простiр Херман-
дера Hs,sγ,ϕ(Rk) — це гiльбертовий простiр Hµ(Rk), для якого показник регулярностi µ
має вигляд
µ(ξ′, ξk) =
(
1 + |ξ′|2 + |ξk|2γ
)s/2
ϕ
(
(1 + |ξ′|2 + |ξk|2γ)1/2
)
,
де ξ′ ∈ Rk−1 та ξk ∈ R є аргументами функцiї µ. Число γ є параметром анiзотропiї.
У важливому окремому випадку ϕ(r) ≡ 1 простiр Hs,sγ,ϕ(Rk) стає анiзотропним про-
стором Соболєва порядку (s, sγ), позначимо його Hs,sγ(Rk). У загальному випадку, коли
ϕ є довiльною з означеного вище класу функцiональних параметрiв, виконуються непе-
рервнi та щiльнi вкладення
Hs1,s1γ(Rk) ↪→ Hs,sγ,ϕ(Rk) ↪→ Hs0,s0γ(Rk) при s0 < s < s1.
Нехай довiльно заданi цiле число n ≥ 2, дiйсне число τ > 0 (можливий випадок τ =
= +∞) i обмежена область G ⊂ Rn з нескiнченно гладкою межею Γ := ∂G. Крiм того,
нехай Ω := G× (0, τ) — цилiндр у Rn+1, S := Γ× (0, τ) — його бiчна поверхня.
Означимо анiзотропнi простори Хермандера на бiчнiй поверхнi S цилiндра Ω, викори-
ставши спецiальнi локальнi карти на S.Попередньо для вiдкритої смуги Π := Rn−1×(0, τ)
розглянемо гiльбертовi простори Hs,sγ,ϕ(Π). Лiнiйний простiр Hs,sγ,ϕ(Π) складається, за
означеннням, зi звужень u = w � Π всiх розподiлiв w ∈ Hs,sγ,ϕ(Rn) на множину Π. У
цьому просторi задано норму за формулою
‖u‖Hs,sγ,ϕ(Π) := inf
{
‖w‖Hs,sγ,ϕ(Rn) : w ∈ Hs,sγ,ϕ(Rn), u = w �Π
}
. (4)
Iншими словами, Hs,sγ,ϕ(Π) є фактор-простором простору Hs,sγ,ϕ(Rn) по його пiдпросто-
ру
Hs,sγ,ϕ
Q (Rn) :=
{
w ∈ Hs,sγ,ϕ(Rn) : suppw ⊆ Q := Rn−1 × (−∞, 0] ∪ [τ,∞)
}
. (5)
Тому простiр Hs,sγ,ϕ(Π) є гiльбертовим. Норма (4) породжується скалярним добутком
(u1, u2)Hs,sγ,ϕ(Π) := (w1 −Υw1, w2 −Υw2)Hs,sγ,ϕ(Rn),
де wj ∈ Hs,sγ,ϕ(Rn), wj = uj у Π для кожного j ∈ {1, 2}, Υ є ортогональним проектором
простору Hs,sγ,ϕ(Rn) на його пiдпростiр (5).
Виберемо довiльно скiнченний атлас iзC∞-структури на замкненому многовидi Γ. Не-
хай цей атлас утворений локальними картами θj : Rn−1 ↔ Γj , де j = 1, . . . , λ. Тут вiдкри-
тi множини Γ1, . . . ,Γλ складають покриття многовиду Γ. Окрiм цього довiльно виберемо
функцiї χj ∈ C∞(Γ), j = 1, . . . , λ, такi, що suppχj ⊂ Γj i
∑λ
j=1 χj ≡ 1 на Γ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
АНIЗОТРОПНI ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА НА БIЧНIЙ ПОВЕРХНI ЦИЛIНДРА 229
Означення. Нехай числа s > 0, γ > 0 i функцiя ϕ ∈ OR така, що для неї верх-
нiй та нижнiй iндекси Матушевської дорiвнюють нулю. Лiнiйний простiр Hs,sγ,ϕ(S)
складається з усiх функцiй v ∈ L2(S) на многовидi S таких, що для кожного номера
j ∈ {1, . . . , λ} функцiя vj(x, t) := χj(θj(x)) v(θj(x), t) аргументiв x ∈ Rn−1 i t ∈ (0, τ)
належить до Hs,sγ,ϕ(Π). Формула
(v, g)Hs,sγ,ϕ(S) :=
λ∑
j=1
(vj , gj)Hs,sγ,ϕ(Π), v, g ∈ Hs,sγ,ϕ(S),
задає скалярний добуток у просторi Hs,sγ,ϕ(S), який стандартним чином породжує
норму
‖v‖Hs,sγ,ϕ(S) :=
λ∑
j=1
‖vj‖2Hs,sγ,ϕ(Π)
1/2
.
Простiр Hs,sγ,ϕ(S) означено за допомогою спецiальних локальних карт на S
θ∗j : Π = Rn−1 × (0, τ) ↔ Γj × (0, τ) для всiх j ∈ {1, . . . , λ},
де θ∗j (x, t) = (θj(x), t), x ∈ Rn−1, t ∈ (0, τ).
Якщо ϕ(r) ≡ 1, то Hs,sγ,ϕ(S) стає анiзотропним гiльбертовим простором Соболєва
порядку (s, sγ), позначимо його через Hs,sγ(S). Тут s — показник регулярностi функцiї
v = v(x, t) по просторовiй змiннiй x ∈ Γ, а sγ — показник регулярностi по часовiй змiннiй
t ∈ (0, τ).
Перейдемо до формулювання основних результатiв роботи.
Теорема 1. Нехай числа s > 0, γ > 0, а функцiя ϕ ∈ OR така, що для неї верхнiй
та нижнiй iндекси Матушевської дорiвнюють нулю. Тодi простiр Hs,sγ,ϕ(S) є повним
(гiльбертовим), сепарабельним та не залежить вiд вибору локальних карт i розбиття
одиницi на Γ (з точнiстю до еквiвалентностi норм).
Нехай 0 ≤ s0 < s < s1 i функцiя ϕ ∈ OR така, що σ0(ϕ) = σ1(ϕ) = 0. Розглянемо
функцiю
ψ(r) :=
{
r(s−s0)/(s1−s0) ϕ(r1/(s1−s0)) для r ≥ 1,
ϕ(1) для 0 < r < 1.
(6)
Ця функцiя є iнтерполяцiйним параметром [19] (теорема 2.19). Далi будемо iнтерполюва-
ти пари соболєвських просторiв з функцiональним параметром ψ. Детальнiше про метод
iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв йдеться у наступ-
ному пунктi роботи.
Теорема 2. Нехай числа 0 ≤ s0 < s < s1, γ > 0, функцiя ϕ ∈ OR така, що для
неї верхнiй та нижнiй iндекси Матушевської дорiвнюють нулю, а ψ — iнтерполяцiйний
параметр, заданий формулою (6). Тодi правильною є iнтерполяцiйна формула
Hs,sγ,ϕ(S) = [Hs0,s0γ(S), Hs1,s1γ(S)]ψ (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
230 В. М. ЛОСЬ
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Тут права частина рiвностi є результатом iнтерполяцiї вказаної пари гiльбертових
просторiв iз функцiональним параметром ψ.
З iнтерполяцiйної формули (7) випливає, що множина C∞(S) є щiльною у просторi
Hs,sγ,ϕ(S) i виконуються неперервнi та щiльнi вкладення
Hs1,s1γ(S) ↪→ Hs,sγ,ϕ(S) ↪→ Hs0,s0γ(S) при 0 ≤ s0 < s < s1.
2. Iнтерполяцiя з функцiональним параметром. Нагадаємо означення iнтерполяцiї
з функцiональним параметром у випадку загальних гiльбертових просторiв [19] (п. 1.1)
(див. також [25] (п. 2)). Обмежимось розглядом випадку сепарабельних комплексних гiль-
бертових просторiв.
Нехай X := [X0, X1] є впорядкованою парою сепарабельних комплексних гiльберто-
вих просторiв, для яких має мiсце неперервне i щiльне вкладення X1 ↪→ X0. Таку пару
називають допустимою. Для неї iснує iзометричний iзоморфiзм J : X1 ↔ X0 такий, що
оператор J є самоспряженим додатно визначеним оператором уX0 з областю визначення
X1. Оператор J визначається парою X однозначно i називається породжуючим операто-
ром для X.
Нехай ψ ∈ B. Тут через B позначено множину всiх вимiрних за Борелем функцiй
ψ : (0,∞) → (0,∞), для яких ψ є обмеженою на кожному вiдрiзку [a, b], 0 < a < b < ∞, i
1/ψ є обмеженою на кожному променi [a,∞), a > 0.
Розглянемо оператор ψ(J). Вiн є додатно визначеним оператором в X0 як борелiв-
ська функцiя ψ вiд J. Позначимо через [X0, X1]ψ (або скорочено Xψ) область визначення
оператора ψ(J), надiлену скалярним добутком
(u1, u2)Xψ := (ψ(J)u1, ψ(J)u2)X0 .
Вiн породжує норму ‖u‖Xψ := ‖ψ(J)u‖X0 . Простiр Xψ є сепарабельним гiльбертовим.
Функцiю ψ ∈ B назвемо iнтерполяцiйним параметром, якщо для всiх допустимих пар
X = [X0, X1] та Y = [Y0, Y1] гiльбертових просторiв i для довiльного лiнiйного вiдобра-
ження T, заданого на X0, справджується наступне: якщо звуження вiдображення T на Xj
є обмеженим оператором T : Xj → Yj для кожного j ∈ {0, 1}, то звуження вiдображення
T на Xψ також є обмеженим оператором T : Xψ → Yψ.
Якщо ψ — iнтерполяцiйний параметр, то будемо казати, що гiльбертовий простiр Xψ
отримано в результатi iнтерполяцiї з функцiональним параметром ψ пари X = [X0, X1].
В цьому випадку виконуються неперервнi та щiльнi вкладення X1 ↪→ Xψ ↪→ X0.
Вiдомо, що функцiя ψ ∈ B є iнтерполяцiйним параметром тодi i тiльки тодi, коли ψ є
псевдовгнутою в околi∞, тобто коли iснує вгнута додатна функцiя ψ1(r) при r � 1 така,
що обидвi функцiї ψ/ψ1 та ψ1/ψ є обмеженими в деякому околi∞.Цей критерiй випливає
з опису Ж. Петре класу всiх iнтерполяцiйних функцiй для вагових просторiв типу Lp(Rn)
(див. [26], теорема 5.4.4). Вiдповiдне доведення див у [19] (п. 1.1.9).
Cформулюємо двi властивостi iнтерполяцiї, якi будуть використанi у подальших дове-
деннях. Перша з них дозволяє звести iнтерполяцiю пiдпросторiв або фактор-просторiв до
iнтерполяцiї вихiдних просторiв (див. [19] (п. 1.1.6) та [27] (п. 1.17)). Зазначимо, що пiдпрос-
тори припускаються замкненими, i ми розглядаємо взагалi неортогональнi проектори на
пiдпростори.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
АНIЗОТРОПНI ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА НА БIЧНIЙ ПОВЕРХНI ЦИЛIНДРА 231
Твердження 1. Нехай X = [X0, X1] є допустимою парою гiльбертових просторiв,
а Y0 є пiдпростором в X0. Тодi Y1 := X1 ∩ Y0 є пiдпростором в X1. Припустимо, що
iснує лiнiйне вiдображення P : X0 → X0, яке для кожного j ∈ {0, 1} є проектором
простору Xj на його пiдпростiр Yj . Тодi пари [Y0, Y1] та [X0/Y0, X1/Y1] є допустимими i
справджуються рiвностi
[Y0, Y1]ψ = Xψ ∩ Y0,
[X0/Y0, X1/Y1]ψ = Xψ/(Xψ ∩ Y0)
з точнiстю до еквiвалентностi норм. Тут ψ ∈ B — довiльний iнтерполяцiйний пара-
метр.
Друга властивiсть дозволяє звести iнтерполяцiю прямих сум гiльбертових просторiв
до iнтерполяцiї їх доданкiв.
Твердження 2. Нехай [X
(j)
0 , X
(j)
1 ], j = 1, . . . , p, є скiнченним набором допустимих пар
гiльбертових просторiв. Тодi p⊕
j=1
X
(j)
0 ,
p⊕
j=1
X
(j)
1
ψ
=
p⊕
j=1
[
X
(j)
0 , X
(j)
1
]
ψ
з точнiстю до еквiвалентностi норм. Тут ψ ∈ B — довiльний iнтерполяцiйний пара-
метр.
3. Доведення. Почнемо iз встановлення iнтерполяцiйної формули (7). Для цього отри-
маємо подiбнi до (7) iнтерполяцiйнi формули для просторiв Hs,sγ,ϕ(Rk) та Hs,sγ,ϕ(Π),
сформулювавши вiдповiднi результати у виглядi лем.
Лема 1. Нехай дiйснi числа s0 < s < s1, γ > 0, натуральне k ≥ 2, функцiя ϕ ∈
∈ OR така, що для неї верхнiй та нижнiй iндекси Матушевської дорiвнюють нулю, а
ψ — iнтерполяцiйний параметр, заданий формулою (6). Тодi справджується iнтерпо-
ляцiйна формула
Hs,sγ,ϕ(Rk) =
[
Hs0,s0γ(Rk), Hs1,s1γ(Rk)
]
ψ
(8)
з рiвнiстю норм.
Доведення. Позначимо для зручностi
rγ(ξ′, ξk) :=
(
1 + |ξ′|2 + |ξk|2γ
)1/2
для будь-яких ξ′ ∈ Rk−1, ξk ∈ R.
Пара анiзотропних просторiв СоболєваX =
[
Hs0,s0γ(Rk), Hs1,s1γ(Rk)
]
є допустимою. По-
роджуючий оператор для цiєї пари задається формулою
J : w 7→ F−1[rs1−s0γ Fw] з w ∈ Hs1,s1γ(Rk).
Це безпосередньо випливає з означення цих просторiв. Тут через F (та F−1) позначе-
но оператори прямого (та оберненого) перетворення Фур’є (за всiма змiнними) повiльно
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
232 В. М. ЛОСЬ
зростаючих розподiлiв, заданих на Rk. Оператор J за допомогою перетворення Фур’є
зводиться до оператора множення на функцiю rs1−s0γ i встановлює iзометричний iзомор-
фiзм F : Hs0,s0γ(Rk) ↔ L2
(
Rk, r2s0
γ (ξ′, ξk)dξ
′dξk
)
. Тому F зводить ψ(J) до оператора
множення на функцiю
ψ(rs1−s0γ (ξ′, ξk)) ≡ rs−s0γ (ξ′, ξk)ϕ(rγ(ξ′, ξk)).
Тепер для кожного w ∈ C∞0 (Rk) можна записати наступне:
‖w‖2Xψ = ‖ψ(J)w‖2Hs0,s0γ(Rk) =
∫
Rk
|ψ(rs1−s0γ (ξ′, ξk)) (Fw)(ξ′, ξk)|2 r2s0
γ (ξ′, ξk)dξ
′dξk =
=
∫
Rk
r2s
γ (ξ′, ξk)ϕ
2(rγ(ξ′, ξk)) |(Fw)(ξ′, ξk)|2 dξ′dξk = ‖w‖Hs,sγ,ϕ(Rk).
З цього випливає рiвнiсть просторiв (8), оскiльки в них обох є щiльною множинаC∞0 (Rk).
Зазначимо, що C∞0 (Rk) є щiльною в iншому просторi, позначеному як Xψ, тому що
C∞0 (Rk) є щiльною у просторi Hs1,s1γ(Rk), який неперервно та щiльно вкладений в Xψ.
Лему доведено.
У випадку ϕ(r) ≡ 1 простiр Hs,sγ,ϕ(Π), як i простори Hs,sγ,ϕ(Rk) та Hs,sγ,ϕ(S), стає
анiзотропним простором Соболєва, будемо його позначати Hs,sγ(Π).
Лема 2. Нехай дiйснi числа 0 ≤ s0 < s < s1, γ > 0, функцiя ϕ ∈ OR така, що для
неї верхнiй та нижнiй iндекси Матушевської дорiвнюють нулю, а ψ — iнтерполяцiйний
параметр, заданий формулою (6). Тодi справджується iнтерполяцiйна формула
Hs,sγ,ϕ(Π) = [Hs0,s0γ(Π), Hs1,s1γ(Π)]ψ (9)
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Доведення. Як зазначалось у п. 1, простiр Hs,sγ,ϕ(Π) є фактор-простором простору
Hs,sγ,ϕ(Rn) по його пiдпростору Hs,sγ,ϕ
Q (Rn) (5). Для виведення (9) з (8) побудуємо проек-
тор P кожного простору Hsj ,sjγ(Rn), j ∈ {0, 1}, на його пiдпростiр Hsj ,sjγ
Q (Rn).
Iснує лiнiйний обмежений оператор продовження (див. [28], п. 9.6) TΠ : L2(Π) →
→ L2(Rn), звуження якого на Hσ,σγ(Π) визначає обмежений оператор
TΠ : Hσ,σγ(Π) → Hσ,σγ(Rn)
для довiльних натуральних σ i σγ. Виходячи з цього, припустимо додатково, що всi s0,
s1, s0γ та s1γ є цiлими невiд’ємними числами. Розглянемо вiдображення P : w 7→ w −
−TΠ(w � Π) з w ∈ Hs0,s0γ(Rn). Оператор P є проектором. Дiйсно, P є лiнiйним обмеже-
ним оператором на Hsj ,sjγ(Rn) для кожного j ∈ {0, 1}. Бiльш того, якщо w = 0 в Π, то
TΠ(w � Π) = 0 в Rn. Тому Pw = w для кожної w ∈ Hsj ,sjγ
Q (Rn).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
АНIЗОТРОПНI ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА НА БIЧНIЙ ПОВЕРХНI ЦИЛIНДРА 233
Оскiльки проектор P задано, ми можемо використати твердження 1 та формулу (8) з
k := n i записати
[Hs0,s0γ(Π), Hs1,s1γ(Π)]ψ =
[
Hs0,s0γ(Rn)/Hs0,s0γ
Q (Rn), Hs1,s1γ(Rn)/Hs1,s1γ
Q (Rn)
]
ψ
=
= [Hs0,s0γ(Rn), Hs1,s1γ(Rn)]ψ
/(
[Hs0,s0γ(Rn), Hs1,s1γ(Rn)]ψ ∩H
s0,s0γ
Q (Rn)
)
=
= Hs,sγ,ϕ(Rn)/
(
Hs,sγ,ϕ(Rn) ∩Hs0,s0γ
Q (Rn)
)
= Hs,sγ,ϕ(Rn)/Hs,sγ,ϕ
Q (Rn) = Hs,sγ,ϕ(Π)
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Лему 2 встановлено при додатковому припущеннi, що всi s0, s1, s0γ та s1γ є цiлими
невiд’ємними числами. Для зняття цього обмеження поширимо дiю оператора TΠ на про-
стори Hσ,σγ(Π) з довiльним дiйсним 0 ≤ σ ≤ p, де довiльне p > 0.
Нехай число k1 ∈ N таке, що k1 ≥ p i k1γ ∈ N. Розглянемо оператори TΠ з σ = 0
та σ = k1. Оскiльки ψ є iнтерполяцiйним параметром, то з цього випливає обмеженiсть
оператора
TΠ :
[
L2(Π), Hk1,k1γ(Π)
]
ψ
→
[
L2(Rn), Hk1,k1γ(Rn)
]
ψ
. (10)
Покладемо у рiвностях (8) та (9) ϕ = 1, s0 = 0, s = σ, s1 = k1, k = n. Тодi з них та з (10)
маємо для довiльних дiйсних σ ∈ (0, k1) лiнiйний обмежений оператор
TΠ : Hσ,σγ(Π) → Hσ,σγ(Rn). (11)
Для завершення доведення леми достатньо повторити частину її доведення, починаючи з
побудови проектора P, i скористатися при цьому оператором продовження (11) для p ≥
≥ s1.
Лему доведено.
Доведення теореми 2. Тепер виведемо (7) iз (9) вiдомим способом „розпрямлення” та
„склеювання” многовиду S.Для зручностi позначимо χ∗j (x, t) ≡ χj(x), де x ∈ Γ, t ∈ (0, τ),
j ∈ {1, . . . , λ}. За означенням простору Hs,sγ,ϕ(S) лiнiйне вiдображення „розпрямлення”
T : v 7→ ( (χ∗1v) ◦ θ∗1, . . . , (χ∗λv) ◦ θ∗λ), v ∈ L2(S),
визначає iзометричнi оператори
T : Hsj ,sjγ(S) → (Hsj ,sjγ(Π)))λ , j ∈ {0, 1}, (12)
T : Hs,sγ,ϕ(S) → (Hs,sγ,ϕ(Π))λ . (13)
Оскiльки ψ є iнтерполяцiйним параметром, то з обмеженостi операторiв (12) випливає
iснування обмеженого оператора
T : [Hs0,s0γ(S), Hs1,s1γ(S)]ψ →
[
(Hs0,s0γ(Π))λ , (Hs1,s1γ(Π))λ
]
ψ
. (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
234 В. М. ЛОСЬ
З твердження 2 та формули (9) випливають наступнi рiвностi просторiв з еквiвалентнiстю
норм у них:
[
(Hs0,s0γ(Π))λ , (Hs1,s1γ(Π))λ
]
ψ
=
(
[Hs0,s0γ(Π), Hs1,s1γ(Π)]ψ
)λ
= (Hs,sγ,ϕ(Π))λ . (15)
Отже, обмеженiсть оператора (14) означає обмеженiсть оператора
T : [Hs0,s0γ(S), Hs1,s1γ(S)]ψ → (Hs,sγ,ϕ(Π))λ . (16)
Побудуємо далi для T лiвий обернений оператор „склеювання”K.Для кожного номе-
ра j = 1, . . . , λ вiзьмемо функцiю ηj ∈ C∞0 (Rn−1) таку, що ηj = 1 на множинi θ−1
j (suppχj).
Визначимо функцiї η∗j (x, t) ≡ ηj(x) аргументiв x ∈ Rn−1 та t ∈ (0, τ) для всiх j = 1, . . . , λ.
Розглянемо лiнiйне вiдображення
K : (h1, . . . , hλ) 7→
λ∑
j=1
Θj
(
(η∗jhj) ◦ θ∗−1
j
)
, h1, . . . , hλ ∈ L2(Π).
Тут (η∗jhj) ◦ θ
∗−1
j — такий розподiл, заданий у вiдкритiй множинi Γj × (0, τ) ⊆ S, що його
представник у локальнiй картi θ∗j має вигляд η∗jhj ; Θj — оператор продовження нулем з
Γj × (0, τ) на многовид S. Оператор Θj коректно визначений на розподiлах, носiй яких
лежить в Γj × (0, τ). Згiдно з вибором функцiй χ∗j , η
∗
j маємо
KTv=
λ∑
j=1
Θj
(
(η∗j ((χ
∗
jv) ◦ θ∗j )) ◦ θ∗−1
j
)
=
λ∑
j=1
Θj
(
(χ∗jv) ◦ θ∗j ◦ θ∗−1
j
)
=
λ∑
j=1
χ∗jv = v,
тобто
KTv = v для будь-якої v ∈ L2(S). (17)
Покажемо, що лiнiйне вiдображення K визначає обмежений оператор
K : (Hs,sγ,ϕ(Π))λ → Hs,sγ,ϕ(S). (18)
Для довiльного вектора h = (h1, . . . , hλ) ∈ (Hs,sγ,ϕ(Π))λ запишемо
‖Kh‖2Hs,sγ,ϕ(S) =
λ∑
l=1
‖(χ∗l Kh) ◦ θ∗l‖
2
Hs,sγ,ϕ(Π) =
=
λ∑
l=1
∥∥∥∥∥∥
χ∗l λ∑
j=1
Θj
(
(η∗jhj) ◦ θ∗−1
j
) ◦ θ∗l
∥∥∥∥∥∥
2
Hs,sγ,ϕ(Π)
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
АНIЗОТРОПНI ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА НА БIЧНIЙ ПОВЕРХНI ЦИЛIНДРА 235
=
λ∑
l=1
∥∥∥∥∥∥
λ∑
j=1
((
χ∗l ◦ θ∗j
)
η∗j hj
)
◦ β∗j,l
∥∥∥∥∥∥
2
Hs,sγ,ϕ(Π)
≤
≤
λ∑
l=1
λ∑
j=1
∥∥((χ∗l ◦ θ∗j ) η∗j hj) ◦ β∗j,l∥∥Hs,sγ,ϕ(Π)
2
. (19)
Тут (χ∗l ◦ θ∗j )η∗j належить класу C∞(Π) фiнiтно, а β∗j,l : Π ↔ Π є C∞ — дифеоморфiзмом,
що означений так: β∗j,l(x, t) = (βj,l(x), t), де βj,l = θ−1
j ◦ θl в околi множини supp(χl ◦ θj)ηj
i βj,l(x) = x для всiх достатньо великих за модулем x ∈ Rn−1. Як вiдомо [1] (п.1, § 4,
5), оператор замiни змiнних u 7→ u ◦ β∗j,l i оператор множення на фiнiтну функцiю класу
C∞(Π) є обмеженими у кожному просторi Hσ,σγ(Π), де σ ≥ 0. Тому лiнiйний оператор
w 7→ ((χ∗l ◦ θ∗j )η∗j w) ◦ β∗j,l є обмеженим у просторi Hσ,σγ(Π). Звiдси та з iнтерполяцiйної
формули (9) випливає його обмеженiсть у просторi Hs,sγ,ϕ(Π). Отже, з нерiвностi (19)
випливає нерiвнiсть
‖Kh‖2Hs,sγ,ϕ(S) ≤ c
λ∑
j=1
‖hj‖2Hs,sγ,ϕ(Π),
де число c > 0 не залежить вiд вектора h = (h1, . . . , hλ). Таким чином, оператор (18) є
обмеженим для всiх s > 0 та всiх визначених умовою теореми ϕ. З наведених мiркувань
випливає обмеженiсть оператора (18) i у випадку s = 0, ϕ = 1.
Отже, будуть обмеженими оператори K : (Hsj ,sjγ(Π))λ → Hsj ,sjγ(S), де j ∈ {0; 1}.
Застосувавши тут iнтерполяцiю з параметромψ, завдяки рiвностi (15) отримаємо iснуван-
ня обмеженого оператора
K : (Hs,sγ,ϕ(Π))λ → [Hs0,s0γ(S), Hs1,s1γ(S)]ψ . (20)
Тепер iз формул (13), (20) та (17) випливає, що тотожний операторKT здiйснює непе-
рервне вкладення просторуHs,sγ,ϕ(S) в iнтерполяцiйний простiр [Hs0,s0γ(S), Hs1,s1γ(S)]ψ .
А з формул (14), (15) та (18) випливає, що той же оператор KT здiйснює обернене непе-
рервне вкладення.
Теорему 2 доведено.
Доведення теореми 1. Простiр Hs,sγ,ϕ(S) є повним та сепарабельним, як результат iн-
терполяцiї (див. (7) та п. 2) гiльбертових соболєвських просторiв. Покажемо, що простiр
Hs,sγ,ϕ(S) не залежить вiд вибору локальних карт i розбиття одиницi на Γ (з точнiстю до
еквiвалентностi норм). Позначимо через A1 та A2 два способи вибору локальних карт i
розбиттiв одиницi на Γ. Побудованi за ними простори Хермандера та Соболєва позначи-
мо вiдповiдно через Hs,sγ,ϕ(S,Aj) та Hσ,σγ(S,Aj), де j ∈ {1, 2}, число σ ≥ 0. Для просто-
рiв Соболєва тотожний оператор визначає iзоморфiзм просторiв
I : Hσ,σγ(S,A1) ↔ Hσ,σγ(S,A2). (21)
Виберемо такi числа s0 i s1, що 0 ≤ s0 < s < s1. Вiзьмемо у (21) σ = s0 та σ = s1 i засто-
суємо iнтерполяцiю з функцiональним параметром (6). Отримаємо ще один iзоморфiзм
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
236 В. М. ЛОСЬ
просторiв
I : [Hs0,s0γ(S,A1), Hs1,s1γ(S,A1)]ψ ↔ [Hs0,s0γ(S,A2), Hs1,s1γ(S,A2)]ψ , (22)
який завдяки (7) набирає вигляду
I : Hs,sγ,ϕ(S,A1) ↔ Hs,sγ,ϕ(S,A2). (23)
Наявнiсть iзоморфiзму (23) гарантує незалежнiсть означення простору Hs,sγ,ϕ(S) вiд ви-
бору локальних карт i розбиття одиницi на Γ.
Теорему 1 доведено.
1. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам
для дифференциальных уравнений в частных производных // Учен. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та. —
1958. — 197. — С. 54 – 112.
2. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего
вида // Успехи мат. наук. — 1964. — 19, № 3. — С. 53 – 161.
3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. – М.: Наука, 1967. — 736 с.
4. Lions J.-L., Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems and applications. — Berlin: Springer,
1972. — Vol. II. — xi+242 p.
5. Eidel’man S. D., Zhitarashu N. V. Parabolic boundary value problems // Operator Theory: Adv. and Appl. —
1998. — 101. — xii+298 p.
6. Eidel’man S. D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63. Partial Different. Equat. VI. – Berlin: Spri-
nger, 1994. — P. 205 – 316.
7. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. — Киев: Вища шк., 1990. — 200 с.
8. Hörmander L. Linear partial differential operators. — Berlin: Springer, 1963. — 285 p. (Рус. перевод: Хер-
мандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир, 1965. —
380 с.)
9. Лизоркин П. И. Пространства обобщенной гладкости // Теория функциональных пространств / Под
ред. Х. Трибеля. — М.: Мир, 1986. — С. 381 – 415.
10. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem. — Berlin: Wiley-VCH, 2000. — 348 p.
11. Triebel H. The structure of functions. — Basel: Birkhäuser, 2001. — xii+425 p.
12. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. — Basel: Birkhäuser, 2010. —
xi+306 p.
13. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. II // Ukr.
Math. J. — 2006. — 58, № 3. — P. 398 – 417.
14. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math.
J. — 2007. — 59, № 5. — P. 744 – 765.
15. Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold // Ukr.
Math. J. — 2007. — 59, № 6. — P. 874 – 893.
16. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces //
Ukr. Math. J. — 2008. — 60, № 4. — P. 574 – 597.
17. Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. —
Kиев: Ин-т математики НАН Украины, 2010. — 372 с. (Доступно как arXiv: 1106.3214.)
18. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J.
Math. Anal. — 2012. — 6, № 2. — P. 211 – 281.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
АНIЗОТРОПНI ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА НА БIЧНIЙ ПОВЕРХНI ЦИЛIНДРА 237
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hor̈mander spaces, interpolation, and elliptic problems. — Berlin: De Gruyter,
2014. — xii+297 p.
20. Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a function parameter // Methods Funct. Anal.
and Top. — 2013. — 19, № 2. — P. 146 – 160.
21. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения //
Успехи мат. наук. — 1965. — 20, № 1. — С. 3 – 74.
22. Hörmander L. The analysis of linear partial differential operators. II: Differential operators with constant
coefficients. — Berlin: Springer, 1983. — viii+391 p. (Рус. перевод: Хермандер Л. Анализ линейных диф-
ференциальных операторов с частными производными. — М.: Мир, 1986. — Т. 2. — 456 с.)
23. Seneta E. Regularly varying functions. — Berlin: Springer, 1976. — 112 p. (Рус. перевод: Сенета Е. Пра-
вильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 144 с.)
24. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. —
512 p.
25. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Methods
Funct. Anal. and Top. — 2008. — 14, № 1. — P. 81 – 100.
26. Bergh J., Löfström J. Interpolation spaces // Grundlehren math. Wiss. — Berlin: Springer, 1976. — 223.
27. Triebel H. Interpolation theory, function spaces, differential operators. — 2-nd ed. — Heidelberg: Johann
Ambrosius Barth, 1995.
28. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложе-
ния. — М.: Наука, 1975. — 480 c.
Одержано 04.11.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177152 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:46:14Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лось, В.М. 2021-02-11T07:04:33Z 2021-02-11T07:04:33Z 2015 Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра / В.М. Лось // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 226-237 — Бібліогр.: 28 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177152 517.982.27+517.956.4 Вводится класс анизотропных гильбертовых пространств Хермандера на гладкой боковой поверхности цилиндра. Эти пространства не зависят от выбора специальных локальных координат на поверхности и получаются интерполяцией с функциональным параметром пар анизотропных пространств Соболева. Введенные пространства естественным образом возникают в теории параболических дифференциальных уравнений. We introduce a class of anisotropic inner product Hormander spaces on a smooth cylinder surface. These spaces do not depend on the choice of special local coordinates on the surface and can be obtained by interpolation with a function parameter between anisotropic Sobolev spaces. The spaces introduced arise naturally in the theory of parabolic differential equations. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра Анизотропные пространства Хермандера на боковой поверхности цилиндра Anisotropic Hörmander spaces on cylinder side surface Article published earlier |
| spellingShingle | Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра Лось, В.М. |
| title | Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра |
| title_alt | Анизотропные пространства Хермандера на боковой поверхности цилиндра Anisotropic Hörmander spaces on cylinder side surface |
| title_full | Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра |
| title_fullStr | Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра |
| title_full_unstemmed | Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра |
| title_short | Анізотропні простори Хермандера на бічній поверхні циліндра |
| title_sort | анізотропні простори хермандера на бічній поверхні циліндра |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177152 |
| work_keys_str_mv | AT losʹvm anízotropníprostorihermanderanabíčníipoverhnícilíndra AT losʹvm anizotropnyeprostranstvahermanderanabokovoipoverhnosticilindra AT losʹvm anisotropichormanderspacesoncylindersidesurface |