Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині
Рассмотрена обратная задача определения трех неизвестных функций от различных аргументов, которые входят в правую часть слабонелинейного ультрапараболического уравнения с условиями переопределения интегрального вида. Получены условия существования и единственности обобщенного решения исследуемой зад...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177154 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині / Н.П. Процах // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 245-279 — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177154 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Процах, Н.П. 2021-02-11T07:04:57Z 2021-02-11T07:04:57Z 2015 Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині / Н.П. Процах // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 245-279 — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177154 517.95 Рассмотрена обратная задача определения трех неизвестных функций от различных аргументов, которые входят в правую часть слабонелинейного ультрапараболического уравнения с условиями переопределения интегрального вида. Получены условия существования и единственности обобщенного решения исследуемой задачи. We consider an inverse problem of determining three unknown functions, in different arguments, that enter the right-hand side of a weakly nonlinear ultraparabolic equation with integral type overdetermining conditions. Necessary and sufficient conditions are found for existence and uniqueness of a generalized solution. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині Обратная задача для слабонелинейного ультрапараболичного уравнения с тремя неизвестными функциями разных аргументов в правой части An inverse problem for a weakly nonlinear ultraparabolic equation with three unknown functions of different arguments in the right-hand side Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині |
| spellingShingle |
Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині Процах, Н.П. |
| title_short |
Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині |
| title_full |
Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині |
| title_fullStr |
Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині |
| title_full_unstemmed |
Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині |
| title_sort |
обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині |
| author |
Процах, Н.П. |
| author_facet |
Процах, Н.П. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Обратная задача для слабонелинейного ультрапараболичного уравнения с тремя неизвестными функциями разных аргументов в правой части An inverse problem for a weakly nonlinear ultraparabolic equation with three unknown functions of different arguments in the right-hand side |
| description |
Рассмотрена обратная задача определения трех неизвестных функций от различных аргументов, которые входят в правую часть слабонелинейного ультрапараболического уравнения с условиями переопределения интегрального вида. Получены условия существования и единственности обобщенного решения исследуемой задачи.
We consider an inverse problem of determining three unknown functions, in different arguments, that enter the right-hand side of a weakly nonlinear ultraparabolic equation with integral type overdetermining conditions. Necessary and sufficient conditions are found for existence and uniqueness of a generalized solution.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177154 |
| citation_txt |
Обернена задача для слабконелінійного ультрапараболічного рівняння з трьома невідомими функціями різних аргументів у правій частині / Н.П. Процах // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 245-279 — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT procahnp obernenazadačadlâslabkonelíníinogoulʹtraparabolíčnogorívnânnâztrʹomanevídomimifunkcíâmiríznihargumentívupravíičastiní AT procahnp obratnaâzadačadlâslabonelineinogoulʹtraparaboličnogouravneniâstremâneizvestnymifunkciâmiraznyhargumentovvpravoičasti AT procahnp aninverseproblemforaweaklynonlinearultraparabolicequationwiththreeunknownfunctionsofdifferentargumentsintherighthandside |
| first_indexed |
2025-11-26T06:56:51Z |
| last_indexed |
2025-11-26T06:56:51Z |
| _version_ |
1850616136663564288 |
| fulltext |
УДК 517.95
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО
УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
З ТРЬОМА НЕВIДОМИМИ ФУНКЦIЯМИ
РIЗНИХ АРГУМЕНТIВ У ПРАВIЙ ЧАСТИНI
Н. П. Процах
Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України
Україна, 79060, Львiв, вул. Наукова, 3-б
e-mail: protsakh@ukr.net
We consider an inverse problem of determining three unknown functions, in different arguments, that
enter the right-hand side of a weakly nonlinear ultraparabolic equation with integral type overdetermining
conditions. Necessary and sufficient conditions are found for existence and uniqueness of a generalized
solution.
Рассмотрена обратная задача определения трех неизвестных функций от различных аргумен-
тов, которые входят в правую часть слабонелинейного ультрапараболического уравнения с
условиями переопределения интегрального вида. Получены условия существования и единствен-
ности обобщенного решения исследуемой задачи.
1. Вступ. Багато явищ механiки, бiологiї, фiзики, економiки моделюються задачами для
ультрапараболiчних рiвнянь [1, 2]. Оберненi задачi пов’язанi з пошуком причин явищ за
вiдомими їхнiми наслiдками. У математичних моделях це означає знаходження коефiцi-
єнтiв чи правої частини рiвняння за додаткових умов на розв’язок цього рiвняння.
Оберненi задачi визначення одного множника правої частини параболiчних (гiпербо-
лiчних) рiвнянь, залежного вiд часової (просторової) змiнної, дослiджено у багатьох пра-
цях (див. [3 – 10] i наведену там бiблiографiю). Оберненi задачi одночасного вiдшукання
декiлькох коефiцiєнтiв рiвняння вивченi значно менше. У статтi [11] розглянуто задачу
визначення трьох невiдомих функцiй, залежних вiд часу, що мiстяться у правiй частинi
лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку, а в [12] — задачу визначення декiль-
кох невiдомих функцiй правої частини параболiчного рiвняння, залежних вiд просторо-
вих змiнних. У монографiї [3] встановлено розв’язнiсть на малому часовому промiжку
оберненої задачi знаходження двох невiдомих функцiй правої частини параболiчного рiв-
няння, якi залежать вiд рiзних аргументiв.
У данiй статтi розглянуто обернену задачу знаходження трьох невiдомих функцiй, за-
лежних вiд рiзних аргументiв, якi мiстяться у правiй частинi слабконелiнiйного ультрапа-
раболiчного рiвняння, з мiшаними умовами та iнтегральними умовами перевизначення.
Встановлено умови iснування та єдиностi на деякому скiнченному часовому промiжку
узагальненого розв’язку розглядуваної задачi, компоненти якого належать до просторiв
Соболєва.
Прямi мiшанi задачi для нелiнiйних ультрапараболiчних рiвнянь було дослiджено у
роботах [13 – 15].
2. Основнi позначення та функцiональнi простори. Нехай Ω i D — обмеженi областi
вiдповiдно в Rn i Rl з межами ∂Ω ∈ C2 i ∂D ∈ C1; x ∈ Ω, y ∈ D, t ∈ (0, T ), де T — фiксова-
c© Н. П. Процах, 2015
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2 245
246 Н. П. ПРОЦАХ
не число з iнтервалу (0,∞), Qτ = Ω×D×(0, τ), τ ∈ (0, T ], G = Ω×D,Π1 = D×(0, T ),Π2 =
= Ω×(0, T ); ΣT = ∂Ω×D×(0, T ), ST = Ω×∂D×(0, T ), Gξ = {(x, y, t) : (x, y) ∈ G, t = ξ},
ξ ∈ [0, T ].
Будемо використовувати такi простори: L∞(QT ) := {w : QT → R;w є вимiрною та
iснує така стала C, що |w(x, y, t)| ≤ C майже скрiзь на QT }, ‖w;L∞(QT )‖ = inf{C :
|w(x, y, t)| ≤ C майже скрiзь на QT }; L∞(Ω) := {w : Ω → R;w є вимiрною та iснує така
стала C, що |w(x)| ≤ C майже скрiзь на Ω}, ‖w;L∞(Ω)‖ = inf{C : |w(x)| ≤ C майже
скрiзь на Ω}; L2(G) := {w : G → R;w є вимiрною,
∫
G
|w(x, y)|2 dxdy < ∞},
‖w;L2(G)‖=
∫
G
|w(x, y)|2 dxdy
1
2
;
L2(Ω) :=
w : Ω → R;w є вимiрною,
∫
Ω
|w(x)|2 dx<∞
,
‖w;L2(Ω)‖=
∫
Ω
|w(x)|2 dx
1
2
;
L2(D) :=
w : D → R;w є вимiрною,
∫
D
|w(y)|2 dy <∞
,
‖w;L2(D)‖ =
∫
D
|w(y)|2 dy
1
2
;
L2(0, T ) :=
w : [0, T ] → R;w є вимiрною,
T∫
0
|w(t)|2 dt < ∞
,
‖w;L2(0, T )‖=
T∫
0
|w(t)2 dt
1
2
;
L2(QT ) :=
w : QT → R;w є вимiрною,
∫
QT
|w(x, y, t)|2 dxdydt <∞
,
‖w;L2(QT )‖=
∫
QT
|w(x, y, t)|2 dxdydt
1
2
;
L2(Π1) :=
w : Π1 → R;w є вимiрною,
∫
Π1
|w(y, t)|2dydt <∞
,
‖w;L2(Π1)‖=
∫
Π1
|w(y, t)|2 dydt
1
2
;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 247
L2(Π2) :=
w : Π2 → R;w є вимiрною,
∫
Π2
|w(x, t)|2 dxdt <∞
,
‖w;L2(Π2)‖=
∫
Π2
|w(x, t)|2 dxdt
1
2
;
W k,2(·) — множина всiх розподiлiв w, якi разом зi своїми похiдними k-го порядку за всiма
змiнними належать до просторуL2(·), ‖w;W 1,2(D)‖ =
(∫
D
[
|w(y)|2 +
∑l
i=1 |wyi(y)|2
]
dy
) 1
2
;
‖w;W 2,2(D)‖ =
∫
D
[
|w(y)|2 +
l∑
i=1
|wyi(y)|2 +
l∑
i,j=1
|wyiyj (y)|2
]
dy
1
2
;
‖w;W 2,2(Ω)‖ =
∫
Ω
[
|w(x)|2 +
n∑
i=1
|wxi(x)|2 +
n∑
i,j=1
|wxixj (x)|2
]
dx
1
2
;
‖w;W 1,2(0, T )‖ =
T∫
0
[|w(t)|2 + |w′(t)|2] dt
1
2
;
Ck(O) — простiр k разiв неперервно диференцiйовних функцiй на O; V (0, T ;W (G)) :=
:= {w : [0, T ] → W (G); ‖w(·, ·, t);W (G)‖ ∈ V (0, T )} (де V, W — банаховi простори);
C(Ω;L2(Π1)) := {w : Ω → L2(Π1); ‖w(x, ·, ·);L2(Π1)‖ ∈ C(Ω)}; C(D;L2(Π2)) := {w : D →
→ L2(Π2); ‖w(·, y, ·);L2(Π2)‖ ∈ C(D)};C1(D;C1(Ω)) := {w : D → C1(Ω); ‖w(·, y);C1(Ω)‖ ∈
∈ C1(D)}; C1([0, T ];C2(Ω)) := {w : [0, T ]→C2(Ω); ‖w(·, t);C2(Ω)‖ ∈C1([0, T ])}; W k,2
0 (Ω) :=
:= {w : w ∈ W k,2(Ω), w|∂Ω = 0}, k = 1, 2.
Введемо ще простори V1(QT ) := {w : w,wxi ∈ L2(QT ), i = 1, . . . , n, w|ΣT = 0},
V2(G) := L2(D;W 1,2
0 (Ω)) = {w : D → W 1,2
0 (Ω); ‖w(·, y);W 1,2
0 (Ω)‖ ∈ L2(D)}, ‖w;V2(G)‖ =
=
(∫
G
[
|w(x, y)|2 +
n∑
i=1
|wxi(x, y)|2
]
dxdy
) 1
2
i позначимо через 〈·, ·〉 скалярний добуток мiж
просторами V ∗2 (G) i V2(G).
3. Формулювання задачi. В областi QT розглянемо задачу для рiвняння
ut +
l∑
i=1
λi(y)uyi −
n∑
i,j=1
(aij(x)uxi)xj + c(x, y, t)u+ g(x, y, t, u) =
= f1(x, y, t)q1(x) + f2(x, y, t)q2(t) + f3(x, y, t)q3(y) + f0(x, y, t) (1)
з початковою умовою
u(x, y, 0) = u0(x, y), (x, y) ∈ G, (2)
крайовими умовами
u|ΣT = 0, u|S1
T
= 0 (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
248 Н. П. ПРОЦАХ
та умовами перевизначення∫
Π1
K1(y, t)u(x, y, t) dydt = E1(x), x ∈ Ω, (4)
∫
Gt
K2(x, y)u(x, y, t) dxdy = E2(t), t ∈ [0, T ], (5)
∫
Π2
K3(x, t)u(x, y, t) dxdt = E3(y), y ∈ D, (6)
де u(x, y, t), q1(x), q2(t), q3(y) — невiдомi функцiї,
S1
T =
{
(x, y, t) ∈ ST :
l∑
i=1
λi(y) cos(ν, yi) < 0
}
,
ν — одинична зовнiшня нормаль до ST , причому виконується умова
(S) iснує така поверхня з додатною мiрою Лебега Γ1 ⊂ ∂D ⊂ Rl−1, що S1
T = Ω× Γ1 ×
×(0, T );
функцiї f0(x, y, t), f1(x, y, t), f2(x, y, t), f3(x, y, t), u0(x, y), K1(y, t), K2(x, y), K3(x, t), E1(x),
E2(t), E3(y) справджують умови
(F) f1 ∈ C(Ω;L2(Π1)), f2 ∈ C([0, T ];L2(G)), f3 ∈ C(D;L2(Π2)), f0 ∈ L2(QT );
(U) u0 ∈ V0(G), де V0(G) := {w :w,wyj ∈L2(G), j = 1, . . . , l, w|∂Ω×D = 0, w|Ω×Γ1
= 0};
(K1) K1 ∈ C1([0, T ];C1(D)), K1(y, 0) = K1(y, T ) = 0 для всiх y ∈ D, K1|Γ2×(0,T ) = 0,
де Γ2 = ∂D\Γ1;
(K2) K2 ∈ C1(D;C1(Ω)), K2|∂Ω×D = 0, K2|Ω×Γ2
= 0;
(K3) K3 ∈ C1(0, T ;C2(Ω)), K3|∂Ω×D = 0, K3(x, 0) = K3(x, T ) = 0 для всiх x ∈ Ω;
(E) E1 ∈ W 2,2
0 (Ω), E2 ∈ W 1,2(0, T ), E3 ∈ W 2,2(D),
а коефiцiєнти лiвої частини рiвняння (1) задовольняють умови
(A) aij ∈ L∞(Ω), i, j = 1, . . . , n,
∑n
i,j=1 aij(x)ξiξj ≥ a0|ξ|2 для майже всiх x ∈ Ω та для
всiх ξ ∈ Rn, a0 — додатна стала;
(C) c ∈ L∞(QT ), c(x, y, t) ≥ c0 для майже всiх (x, y, t) ∈ QT , c0 — стала;
(L) λi ∈ C(D), λiyi ∈ L∞(D) для всiх i = 1, . . . , l;
(H) g(x, y, t, ξ) вимiрна за змiнними (x, y, t) в областi QT для всiх ξ ∈ R1 i неперервна
по ξ для майже всiх (x, y, t) ∈ QT , причому iснує додатна стала g0 така, що |g(x, y, t, ξ) −
−g(x, y, t, η)| ≤ g0|ξ − η| для майже всiх (x, y, t) ∈ QT та всiх ξ, η ∈ R1.
4. Iснування та єдинiсть розв’язку прямої задачi. Припустимо спочатку, що в рiвнян-
нi (1) q1(x) = q∗1(x), q2(t) = q∗2(t), q3(y) = q∗3(y), де q∗1 ∈ L2(Ω), q∗2 ∈ L2(0, T ), q∗3 ∈ W 1,2(D),
— вiдомi функцiї. Розглянемо мiшану задачу для рiвняння (1) з початковою умовою (2)
та крайовими умовами (3).
Введемо простiр V3(QT ) := {w : w,wxi , wyj ∈ L2(QT ), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , l, w|S1
T
=
= 0, w|ΣT = 0}.
Означення 1. Функцiю u∗(x, y, t) назвемо узагальненим розв’язком задачi (1) – (3), якщо
u∗ ∈ V3(QT ) ∩ C([0, T ];L2(G)), u∗t ∈ L2(0, T ;V ∗2 (G)) + L2(QT ), справджується умова (2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 249
та для всiх функцiй v ∈ V1(QT ) виконується рiвнiсть
T∫
0
〈u∗t , v〉 dt+
∫
QT
l∑
i=1
λi(y)u∗yiv +
n∑
i,j=1
aij(x)u∗xivxi + c(x, y, t)u∗v + g(x, y, t, u∗)v
dx dy dt =
=
∫
QT
[f1(x, y, t)q∗1(x) + f2(x, y, t)q∗2(t) + f3(x, y, t)q∗3(y) + f0(x, y, t)] v dx dy dt. (7)
Iз результатiв статтi [14] випливають наступнi твердження.
Теорема 1. Нехай справджуються умови (A), (C), (H), (L), (F), (U), (S) i, крiм того:
1) aijxi ∈ L∞(Ω), cyk ∈ L∞(QT ), i, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , l, q∗1 ∈ L2(Ω), q∗2 ∈ L2(0, T ),
q∗3 ∈ W 1,2(D), fsyk ∈ L2(QT ), s = 0, 1, 2, 3, k = 1, . . . , l;
2) iснує така стала g1, що для майже всiх (x, y, t) ∈ QT та всiх ξ ∈ R1 виконуються
нерiвностi |gyi(x, y, t, ξ)| ≤ g1, i = 1, . . . , l, g(x, y, t, 0)|S1
T
= 0;
3) f0|S1
T
= 0, f1|S1
T
= 0, f2|S1
T
= 0, q∗3|Γ1 = 0.
Тодi iснує узагальнений розв’язок задачi (1) – (3).
Теорема 2. Нехай виконуються умови (A), (C), (H), (L), (F), (U), (S). Тодi задача (1) –
(3) не може мати бiльше одного узагальненого розв’язку.
Доведення обидвох теорем проводиться за схемами доведення теорем 1, 2 iз [14].
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 1 та u0,xi ∈ L2(G), i = 1, . . . , n. Тодi
узагальнений розв’язок задачi (1) – (3) належить до простору u∗ ∈ V3(QT )∩C([0, T ];L2(G)),
u∗t ∈ L2(QT ), справджується умова (2) та для всiх функцiй v ∈ V1(QT ) виконується рiв-
нiсть
∫
QT
u∗t v +
l∑
i=1
λi(y)u∗yiv +
n∑
i,j=1
aij(x)u∗xivxi + c(x, y, t)u∗v + g(x, y, t, u∗)v
dx dy dt =
=
∫
QT
[f1(x, y, t)q∗1(x) + f2(x, y, t)q∗2(t) + f3(x, y, t)q∗3(y) + f0(x, y, t)]v dx dy dt. (8)
Доведення. При доведеннi теореми 1 використано метод Фаедо – Гальоркiна [14]: не-
хай {ϕk}∞k=1 — ортогональна база простору W 1,2
0 (Ω), ортонормована в L2(Ω), де ϕk —
власнi функцiї задачi
∆xu = νu, u|∂Ω = 0,
якi вiдповiдають власним значенням νk; {ψm}∞m=1 — ортогональна база простору
H1
1,0(D) := {v : v ∈ W 1,2(D), v|Γ1
= 0}, ортонормована в L2(D), де ψm, m ≥ 1, —
власнi функцiї задачi
∆yu = µu, u|Γ1
= 0,
∂u
∂v
∣∣∣∣
Γ2
= 0, (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
250 Н. П. ПРОЦАХ
якi вiдповiдають власним значенням µm. Тут ∆x =
∂2
∂x2
1
+ . . .+
∂2
∂x2
n
; ∆y =
∂2
∂y2
1
+ . . .+
∂2
∂y2
l
.
Нехай u∗,N (x, y, t) =
∑N
k,m=1 c
N
k,m(t)ϕk(x)ψm(y), N ∈ N, де cNk,m(t), k,m = 1, . . . , N, —
розв’язки задачi
∫
G
[
u∗,Nt ϕk(x)ψm(y) +
l∑
i=1
λi(y)u∗,Nyi ϕk(x)ψm(y) +
n∑
i,j=1
aij(x)u∗,Nxi ϕ
k
xi(x)ψm(y) +
+ c(x, y, t)u∗,Nϕk(x)ψm(y) + g(x, y, t, u∗,N )ϕk(x)ψm(y)− (f1(x, y, t)q∗1(x)+
+ f2(x, y, t)q∗2(t) + f3(x, y, t)q∗3(y) + f0(x, y, t))ϕk(x)ψm(y)
]
dx dy = 0, (10)
cNk,m(0) = uN0,k,m, uN0 (x, y) =
N∑
k,m=1
uN0,k,mϕ
k(x)ψm(y), lim
N→∞
‖uN0 − u0;V0(G)‖ = 0. (11)
При доведеннi теореми 1 [14] встановлено, що розв’язок цiєї задачi iснує i належить до
простору C1([0, T ]).
Для наближень u∗,N встановлено такi оцiнки (аналогiчним чином, як (13) та (16) у
[14]):
∫
Gτ
|u∗,N |2dx dy≤M
( ∫
QT
(|f1(x, y, t)|2|q∗1(x)|2 + |f2(x, y, t)|2|q∗2(t)|2 + |f3(x, y, t)|2|q∗3(y)|2+
+ |f0(x, y, t)|2) dxdydt+
∫
G
|u0(x, y)|2 dxdy
)
, τ ∈ [0, T ], (12)
∫
Gτ
l∑
i=1
|u∗,Nyi |
2dx dy≤M
( ∫
QT
(
|f1(x, y, t)|2|q∗1(x)|2 + |f2(x, y, t)|2|q∗2(t)|2 + |f3(x, y, t)|2|q∗3(y)|2 +
+
l∑
i=1
|f1yi(x, y, t)|2|q∗1(x)|2 +
l∑
i=1
|f2yi(x, y, t)|2|q∗2(t)|2+
+
l∑
i=1
|f3yi(x, y, t)|2|q∗3(y)|2 + |f0(x, y, t)|2 +
l∑
i=1
|f0yi(x, y, t)|2
)
dxdydt+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 251
+
∫
G
(
|u0(x, y)|2 +
l∑
i=1
|u0yi(x, y)|2 dxdy
))
+
+M0
∫
QT
l∑
i=1
|f3(x, y, t)|2|q∗3yi(y)|2 dxdydt, τ ∈ [0, T ], (13)
де стала M не залежить вiд N, λ1 = maxi esssupD |λiyi(y)|, а M0 =
4
λ1 + 2c0 − 2g1
, якщо
λ1 + 2c0 − 2g1 > 0, i M0 = 4T 2e−(λ1+2c0−2g1)T+1, якщо λ1 + 2c0 − 2g1 < 0.
Встановимо оцiнку для ‖u∗,Nt ;L2(QT )‖. Домножимо (10) на (cNk,m(t))′, пiдсумуємо по k
i m вiд 1 до N та зiнтегруємо по t вiд 0 до τ, τ ∈ (0, T ]. В результатi отримаємо
∫
Qτ
[
|u∗,Nt |2 +
l∑
i=1
λi(y)u∗,Nyi u∗,Nt +
n∑
i,j=1
aij(x)u∗,Nxi u
∗,N
xit
+ c(x, y, t)u∗,Nu∗,Nt + g(x, y, t, u∗,N )u∗,Nt −
−(f1(x, y, t)q∗1(x) + f2(x, y, t)q∗2(t) + f3(x, y, t)q∗3(y) + f0(x, y, t))u∗,Nt
]
dx dy dt = 0. (14)
Позначимо λ0 = maxi esssupD |λi(y)|2, a0 = maxij esssupΩ |aij(x)|2, c0 = esssupQT |c(x, y, t)|
2.
Перетворимо та оцiнимо кожний доданок рiвностi (14) окремо, врахувавши умови теоре-
ми:
I1 :=
∫
Qτ
l∑
i=1
λi(y)u∗,Nyi u∗,Nt dx dy dt ≤ 1
2
∫
Qτ
[
4lλ0
l∑
i=1
|u∗,Nyi |
2 +
1
4
|u∗,Nt |2
]
dx dy dt,
I2 :=
∫
Qτ
n∑
i,j=1
aij(x)u∗,Nxi u
∗,N
xjt
dx dy dt ≥ a0
2
∫
Gτ
n∑
i=1
|u∗,Nxi |
2 dxdy − na0
2
∫
G
n∑
i=1
|u∗,N0,xi
|2 dxdy,
I3 :=
∫
Qτ
c(x, y, t)u∗,Nu∗,Nt dx dy dt ≤ 1
2
∫
Qτ
[
4c0|u∗,N |2 +
1
4
|u∗,Nt |2
]
dx dy dt,
I4 :=
∫
Qτ
g(x, y, t, u∗,N )u∗,Nt dx dy dt≤ 1
2
∫
Qτ
[
8L2|u∗,N |2+8|g(x, y, t, 0)|2+
1
4
|u∗,Nt |2
]
dx dy dt,
I5 :=
∫
Qτ
(f1(x, y, t)q∗1(x) + f2(x, y, t)q∗2(t) + f3(x, y, t)q∗3(y) + f0(x, y, t))u∗,Nt dx dy dt ≤
≤ 1
2
∫
Qτ
[1
4
|u∗,N |2 + 16(f1(x, y, t)q∗1(x))2 + 16(f2(x, y, t)q∗2(t))2+
+ 16(f3(x, y, t)q∗3(y))2 + 16(f0(x, y, t))2
]
dx dy dt.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
252 Н. П. ПРОЦАХ
На пiдставi оцiнок I1 – I5 з (14) одержимо
∫
Qτ
|u∗,Nt |2dx dy dt+ a0
∫
Gτ
n∑
i=1
|u∗,Nxi |
2 dx dy ≤
∫
Qτ
[
4lλ0
l∑
i=1
|u∗,Nyi |
2 + (4c0 + 8L2)|u∗,N |2 +
+ 8|g(x, y, t, 0)|2 + 16(f1(x, y, t)q∗1(x))2 + 16(f2(x, y, t)q∗2(t))2+
+ 16(f3(x, y, t)q∗3(y))2 + 16(f0(x, y, t))2)
]
dx dy dt+ na0
∫
G
n∑
i=1
|u∗,N0,xi
|2dxdy. (15)
Врахувавши (11) – (13) i (15), отримаємо∫
Qτ
|u∗,Nt |2dx dy dt ≤ C0, (16)
де стала C0 не залежить вiд N. Звiдси та з (12), (13), (16) випливає iснування такої пiд-
послiдовностi послiдовностi {u∗,N}∞N=1 (за якою збережемо те саме позначення), що при
N → ∞
u∗,N → u∗ слабко в V3(QT ),
u∗,Nt → u∗t слабко в L2(QT ).
Iз отриманих збiжностей та (10) випливає, що u∗t ∈ L2(QT ) та для всiх функцiй v ∈ V1(QT )
виконується рiвнiсть (8).
Теорему 3 доведено.
Лема 1. Якщо u∗ ∈ V3(QT ) ∩ C([0, T ];L2(G)), u∗t ∈ L2(QT ), справджується умова (2)
та для всiх функцiй v ∈ V1(QT ) виконується рiвнiсть (8), то функцiя u∗ є розв’язком
майже скрiзь задачi (1) – (3).
Доведення. Iз (8) випливає, що виконується рiвнiсть
∫
Ω
u∗t v1 +
l∑
i=1
λi(y)u∗yiv1 +
n∑
i,j=1
aij(x)u∗xiv1,xi + c(x, y, t)u∗v1 + g(x, y, t, u∗)v1
dx =
=
∫
Ω
[f1(x, y, t)q∗1(x) + f2(x, y, t)q∗2(t) + f3(x, y, t)q∗3(y) + f0(x, y, t)]v1 dx (17)
для майже всiх (y, t) ∈ Π1 та довiльної функцiї v1 ∈ W 1,2
0 (Ω). З (17) випливає, що функцiя
u∗ є узагальненим розв’язком задачi Дiрiхле для елiптичного рiвняння
n∑
i,j=1
(aij(x)u∗xi)xj = F (x, y, t), x ∈ Ω, u|Ω = 0, (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 253
деF (x, y, t) = f1(x, y, t)q∗1(x)+f2(x, y, t)q∗2(t)+f3(x, y, t)q∗3(y)+f0(x, y, t)−u∗t−
∑l
i=1 λi(y)u∗yi−
−c(x, y, t)u∗ − g(x, y, t, u∗). Оскiльки виконується умова (2), а функцiя F (x, y, t) належить
L2(Ω) для майже всiх (y, t) ∈ Π1, то iснує єдиний узагальний розв’язок задачi (18) — функ-
цiя u∗. Тодi з теореми 7.3 [16] та умови ∂Ω ∈ C2 випливає, що u∗xixj (·, y, t) належить L2(Ω).
Отже, u∗(·, y, t) належить W 2,2
0 (Ω). Використовуючи схему [16, с. 219], доводимо, що фун-
кцiя u∗(x, y, t) є розв’язком майже скрiзь задачi (1) – (3).
Лему 1 доведено.
5. Iснування та єдинiсть розв’язку оберненої задачi.
Означення 2. Четвiрку функцiй (u(x, y, t), q1(x), q2(t), q3(y)) назвемо узагальненим роз-
в’язком задачi (1) – (6), якщо u ∈ V3(QT ) ∩ C([0, T ];L2(G)), ut ∈ L2(QT ), q1 ∈ L2(Ω),
q2 ∈ L2(0, T ), q3 ∈ W 1,2(D), q3|Γ1 = 0, причому цi функцiї для всiх v ∈ V1(QT ) задоволь-
няють iнтегральну рiвнiсть
∫
QT
utv +
l∑
i=1
λi(y)uyiv +
n∑
i,j=1
aij(x)uxivxj + c(x, y, t)uv + g(x, y, t, u)v
dx dy dt =
=
∫
QT
(f1(x, y, t)q1(x) + f2(x, y, t)q2(t) + f3(x, y, t)q3(y) + f0(x, y, t))v dx dy dt (19)
i, крiм того, функцiя u(x, y, t) задовольняє умови (2) та (4) – (6).
Позначимо
K11(x) :=
∫
Π1
K1(y, t)f1(x, y, t)dydt,
K22(t) :=
∫
Gt
K2(x, y)f2(x, y, t)dxdy,
K33(y) :=
∫
Π2
K3(x, t)f3(x, y, t)dxdt,
A1(x) := −
n∑
i,j=1
(aij(x)E1xi(x))xj −
∫
Π1
K1(y, t)f0(x, y, t)dydt,
A2(t) := E′2(t)−
∫
Gt
K2(x, y)f0(x, y, t)dxdy,
A3(y) :=
l∑
i=1
λi(y)E3yi(y)−
∫
Π2
K3(x, t)f0(x, y, t)dxdt,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
254 Н. П. ПРОЦАХ
B1(x, y, t) := −
l∑
i=1
(λi(y)K1(y, t))yi −K1t(y, t) +K1(y, t)c(x, y, t),
B2(x, y, t) := −
l∑
i=1
(λi(y)K2(x, y))yi +K2(x, y)c(x, y, t),
B3(x, y, t) := −K3t(x, t) +K3(x, t)c(x, y, t)−
n∑
i,j=1
(aij(x)K3xj (x, t))xi ,
F12(x, y, t) := K1(y, t)f2(x, y, t), F13(x, y, t) := K1(y, t)f3(x, y, t),
F21(x, y, t) := K2(x, y)f1(x, y, t), F23(x, y, t) := K2(x, y)f3(x, y, t),
F31(x, y, t) := K3(x, t)f1(x, y, t), F32(x, y, t) := K3(x, y)f2(x, y, t).
Зауважимо, що з умов (4) та (6) випливають рiвностi
∫
Π1
K1(y, t)
n∑
i,j=1
(aij(x)uxi)xjdydt =
n∑
i,j=1
(aij(x)E1xi(x))xj , (20)
∫
Π2
K3(x, y)
l∑
i=1
λi(y)uyidxdt =
l∑
i=1
λi(y)E3yi(y). (21)
Iз (19) та леми 1 випливає, що четвiрка функцiй (u∗(x, y, t), q∗1(x), q∗2(t), q∗3(y)) задовольняє
рiвняння (1) для майже всiх (x, y, t) ∈ QT . Тому з (4) – (6), (19) – (21) отримуємо, що уза-
гальнений розв’язок задачi (1) – (6) задовольняє систему рiвнянь
K11(x)q1(x) =A1(x) +
∫
Π1
B1(x, y, t)udydt+
∫
Π1
K1(y, t)g(x, y, t, u)dydt−
−
∫
Π1
F12(x, y, t)q2(t)dydt−
∫
Π1
F13(x, y, t)q3(y)dydt, (22)
K22(t)q2(t) =
= A2(t)+
∫
Gt
B2(x, y, t)u+
n∑
i,j=1
K2xj (x, y)aij(x)uxi+K2(x, y)g(x, y, t, u)
dxdy−
−
∫
Gt
F21(x, y, t)q1(x)dxdy −
∫
Gt
F23(x, y, t)q3(y)dxdy, (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 255
K33(y)q3(y) =A3(y)+
∫
Π2
B3(x, y, t)u dxdt+
∫
Π2
K3(x, t)g(x, y, t, u)dxdt−
−
∫
Π2
F31(x, y, t)q1(x)dxdt−
∫
Π2
F32(x, y, t)q2(t)dxdt, (24)
причому рiвняння (22) виконується для майже всiх x ∈ Ω, рiвняння (23) — для майже всiх
t ∈ [0, T ], а рiвняння (24) — для майже всiх y ∈ D. Спосiб отримання рiвнянь (22) – (24)
наведено в ходi доведення наступної леми.
Лема 2. Нехай виконуються умови теореми 3 та умови (K1), (K2), (K3), (E), f3yk ∈
∈ C(D;L2(Π2)), k = 1, . . . , l.Для того щоб четвiрка функцiй (u(x, y, t), q1(x), q2(t), q3(y)),
де u ∈ V3(QT ) ∩ C([0, T ];L2(G)), ut ∈ L2(QT ), q1 ∈ L2(Ω), q2 ∈ L2(0, T ), q3 ∈ W 1,2(D),
q3|Γ1 = 0, була узагальненим розв’язком задачi (1) – (6), необхiдно i достатньо, щоб ця
четвiрка задовольняла рiвнiсть (19) для всiх v ∈ V1(QT ), а також (2), (22) – (24).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай (u∗(x, y, t), q∗1(x), q∗2(t), q∗3(y)) — узагальнений розв’я-
зок задачi (1) – (6). Тодi згiдно з лемою 1 вiн задовольняє рiвняння (1) майже для всiх
(x, y, t) ∈ QT . Помножимо (1) на K1(y, t) та зiнтегруємо по Π1 :
∫
Π1
K1(y, t)
u∗t +
l∑
i=1
λi(y)u∗yi −
n∑
i,j=1
(aij(x)u∗xi)xj + c(x, y, t)u∗ + g(x, y, t, u∗)
dydt =
= q∗1(x)K11(x) +
∫
Π1
F12(x, y, t)q∗2(t)dydt+
∫
Π1
F13(x, y, t)q∗3(y)dydt+
+
∫
Π1
K1(y, t)f0(x, y, t)dydt (25)
для майже всiх x ∈ Ω. Зiнтегруємо частинами в (25), врахувавши умову (K1) i (20) :∫
Π1
(B1(x, y, t)u∗ +K1(y, t)g(x, y, t, u∗)) dy dt+A1(x) =
= q∗1(x)K11(x) +
∫
Π1
F12(x, y, t)q∗2(t)dydt+
∫
Π1
F13(x, y, t)q∗3(y)dydt. (26)
З (26) випливає, що четвiрка функцiй (u∗(x, y, t), q∗1(x), q∗2(t), q∗3(y)) задовольняє (22). Зди-
ференцiюємо умову (5) один раз по t:∫
Gt
K2(x, y)u∗t (x, y, t)dxdy = E′2(t), t ∈ [0, T ]. (27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
256 Н. П. ПРОЦАХ
На пiдставi (1) i (27) отримуємо
∫
Gt
K2(x, y)
(
f1(x, y, t)q∗1(x) + f2(x, y, t)q∗2(t) + f3(x, y, t)q∗3(y) + f0(x, y, t)−
l∑
i=1
λi(y)u∗yi+
+
n∑
i,j=1
(aij(x)u∗xi)xj − c(x, y, t)u
∗ − g(x, y, t, u∗)
)
dxdy = E′2(t) (28)
для майже всiх t ∈ [0, T ]. Зiнтегруємо частинами в (28), врахувавши умову (K2):
∫
Gt
(
F21(x, y, t)q∗1(x) +K2(x, y)f2(x, y, t)q∗2(t) + F23(x, y, t)q∗3(y) +K2(x, y)f0(x, y, t)+
+B2(x, y, t)u∗ −
n∑
i,j=1
K2xj (x, y)aij(x)u∗xi −K2(x, y)g(x, y, t, u∗)
)
dxdy=E′2(t). (29)
З (29) випливає, що (u∗(x, y, t), q∗1(x), q∗2(t), q∗3(y)) задовольняє рiвнiсть (23).
Помножимо (1) на K3(x, t) та зiнтегруємо по Π2:
∫
Π2
K3(x, t)
u∗t +
l∑
i=1
λi(y)u∗yi −
n∑
i,j=1
(aij(x)u∗xi)xj + c(x, y, t)u∗ + g(x, y, t, u∗)
dxdt =
=
∫
Π2
[F31(x, y, t)q∗1(x) + F32(x, y, t)q∗2(t) +K3(x, t)f0(x, y, t)] dxdt+K33(y)q∗3(y) (30)
для майже всiх y ∈ D. Зiнтегруємо частинами в (30), врахувавши умову (K3) i (21):∫
Π2
[B3(x, y, t)u∗ +K3(x, t)g(x, y, t, u∗)]dxdt+A3(y) =
=
∫
Π2
F31(x, y, t)q∗1(x)dxdt+
∫
Π2
F32(x, y, t)q∗2(t)dxdt+K33(y)q∗3(y). (31)
З (31) випливає, що четвiрка функцiй (u∗(x, y, t), q∗1(x), q∗2(t), q∗3(y)) задовольняє (24). Крiм
того, u∗ задовольняє умову (2), а також рiвнiсть (19) для всiх v ∈ V1(QT ) при q1(x) = q∗1(x),
q2(t) = q∗2(t), q3(y) = q∗3(y).
Достатнiсть. Нехай q∗1 ∈ L2(Ω), q∗2 ∈ L2(0, T ), q∗3 ∈ W 1,2(D), q∗3|Γ1 = 0, u∗ ∈
∈ V3(QT ) ∩ C([0, T ];L2(G)), u∗t ∈ L2(QT ) i для них виконуються (2), (22) – (24) та (19)
для всiх v ∈ V1(QT ). Тодi u∗ — узагальнений розв’язок задачi (1) – (3) з правою частиною
f1(x, y, t)q∗1(x) + f2(x, y, t)q∗2(t) + f3(x, y, t)q∗3(y) + f0(x, y, t) в рiвняннi (1). За умов леми цей
розв’язок iснує та єдиний.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 257
ПокладемоE∗1(x) =
∫
Π1
K1(y, t)u∗(x, y, t) dydt, x ∈ Ω, E∗2(t) =
∫
Gt
K2(x, y)u∗(x, y, t)dxdy,
t ∈ [0, T ], E∗3(y) =
∫
Π2
K3(x, t)u∗(x, y, t)dxdt, y ∈ D.
Так само, як i при доведеннi необхiдностi, знаходимо
K11(x)q∗1(x) =−
n∑
i,j=1
(aij(x)E∗1xi(x))xj+
∫
Π1
(
−K1(y, t)f0(x, y, t)− F12(x, y, t)q∗2(t)−
− F13(x, y, t)q∗3(y) +B1(x, y, t)u∗ +K1(y, t)g(x, y, t, u∗)
)
dydt, (32)
K22(t)q∗2(t) = (E∗2(t))′+
∫
Gt
(
−K2(x, y)f0(x, y, t)− F21(x, y, t)q∗1(x)− F23(x, y, t)q∗3(y)+
+B2(x, y, t)u∗ +
n∑
i,j=1
K2xj (x, y)aij(x)u∗xi +K2(x, y)g(x, y, t, u∗)
)
dxdy, (33)
K33(y)q∗3(y) =
l∑
i=1
λi(y)E∗3yi(y)+
∫
Π2
(
−K3(x, t)f0(x, y, t)− F31(x, y, t)q∗1(x)−
− F32(x, y, t)q∗2(t) +B3(x, y, t)u∗ +K3(x, t)g(x, y, t, u∗)
)
dxdt. (34)
З iншого боку, q∗1(x), q∗2(t), q∗3(y) та u∗(x, y, t) задовольняють рiвностi
K11(x)q∗1(x) =−
n∑
i,j=1
(aij(x)E1xi(x))xj+
∫
Π1
(
−K1(y, t)f0(x, y, t)− F12(x, y, t)q∗2(t)−
− F13(x, y, t)q∗3(y) +B1(x, y, t)u∗ +K1(y, t)g(x, y, t, u∗)
)
dydt, (35)
K22(t)q∗2(t) = (E2(t))′+
∫
Gt
(
−K2(x, y)f0(x, y, t)− F21(x, y, t)q∗1(x)− F23(x, y, t)q∗3(y) +
+B2(x, y, t)u∗ +
n∑
i,j=1
K2xj (x, y)aij(x)u∗xi +K2(x, y)g(x, y, t, u∗)
)
dxdy, (36)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
258 Н. П. ПРОЦАХ
K33(y)q∗3(y) =
l∑
i=1
λi(y)E3yi(y) +
∫
Π2
(
−K3(x, t)f0(x, y, t)− F31(x, y, t)q∗1(x)−
− F32(x, y, t)q∗2(t) +B3(x, y, t)u∗ +K3(x, t)g(x, y, t, u∗)
)
dxdt. (37)
Iз (32) – (37) випливає
n∑
i,j=1
(aij(x)E∗1xi(x))xj =
n∑
i,j=1
(aij(x)E1xi(x))xj , x ∈ Ω, (38)
(E∗2(t))′ = E′2(t), t ∈ [0, T ], (39)
l∑
i=1
λi(y)E∗3yi(y) =
l∑
i=1
λi(y)E3yi(y), y ∈ D. (40)
Оскiльки u∗(x, y, t) справджує умову (3), то з (38) знаходимо E∗1(x) = E1(x) = 0, x ∈ ∂Ω.
Тому E∗1(x) = E1(x), x ∈ Ω. Зiнтегрувавши рiвнiсть (39), отримаємо
E∗2(t)− E∗2(0) = E2(t)− E2(0), t ∈ [0, T ].
Крiм того, з (5) випливає, що E2(0) =
∫
G
K2(x, y)u0(x, y)dxdy. Отже, E∗2(0) = E2(0). Тому
E∗2(t) = E2(t), t ∈ [0, T ]. З рiвностi (40) та умови (3) отримуємо E∗3(y) = E3(y), а отже,
для u∗(x, y, t) виконуються умови перевизначення (4) – (6).
Лему 2 доведено.
Позначимо
C1 :=
2 mesD
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
∫
QT
(F21(x, y, t))2dxdydt+
2T
inf
D
|K33(y)|2
∫
QT
(F31(x, y, t))2 dxdydt,
C2 :=
2 mesD
inf
Ω
|K11(x)|2
∫
QT
(F12(x, y, t))2dxdydt+
2 mes Ω
inf
D
|K33(y)|2
∫
QT
(F32(x, y, t))2dxdydt,
C3 :=
2T
inf
Ω
|K11(x)|2
∫
QT
(F13(x, y, t))2dxdydt+
2 mes Ω
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
∫
QT
(F23(x, y, t))2dxdydt,
C4 := max{C1, C2, C3}.
Лема 3. Нехай C4 < 1 i A3(y)|Γ1
= 0, виконуються умови (A), (C), (L), (U), (H),
(E), (K1) – (K3), (F) та aijxi ∈ L∞(Ω), cyk ∈ L∞(QT ), fsyk ∈ L2(QT ), s = 0, 1, 2, f3yk ∈
∈ C(D;L2(Π2)), i, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , l, fs|S1
T
= 0, s = 0, 1, 2, i, крiм того, K11(x) 6= 0
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 259
для всiх x ∈ Ω, K22(t) 6= 0 для всiх t ∈ (0, T ), K33(y) 6= 0 для всiх y ∈ D. Тодi при фiксо-
ваному u∗ ∈ V3(QT ) ∩ C([0, T ];L2(G)) система рiвнянь (22) – (24) має єдиний розв’язок
(q1(x), q2(t), q3(y)), де q1 ∈ L2(Ω), q2 ∈ L2(0, T ), q3 ∈ W 1,2(D), q3|Γ1
= 0.
Доведення. Iснування розв’язку. Використаємо метод послiдовних наближень. Побу-
дуємо наближення (qm1 (x), qm2 (t), qm3 (y)) розв’язку системи рiвнянь (22) – (24), де функцiї
qm1 (x), qm2 (t), qm3 (y), m ∈ N, визначаються так, що вони задовольняють систему рiвностей
q1
1(x) := 0, q1
2(t) := 0, q1
3(y) := 0,
qm1 (x) =
1
K11(x)
[
A1(x) +
∫
Π1
(
B1(x, y, t)u∗ +K1(y, t)g(x, y, t, u∗)−
− F12(x, y, t)qm−1
2 (t)− F13(x, y, t)qm−1
3 (y)
)
dydt
]
, x ∈ Ω, m ≥ 2, (41)
qm2 (t) =
1
K22(t)
[
A2(t) +
∫
Gt
(
B2(x, y, t)u∗+
n∑
i,j=1
K2xj (x, y)aij(x)u∗xi+K2(x, y)g(x, y, t, u∗)−
− F21(x, y, t)qm−1
1 (x)− F23(x, y, t)qm−1
3 (y)
)
dxdy
]
, t ∈ [0, T ], m ≥ 2, (42)
qm3 (y) =
1
K33(y)
[
A3(y) +
∫
Π2
(
B3(x, y, t)u∗ +K3(x, t)g(x, y, t, u∗)−
− F31(x, y, t)qm−1
1 (x)− F32(x, y, t)qm−1
2 (t)
)
dxdt
]
, y ∈ D, m ≥ 2. (43)
Iз (41) – (43) видно, що qm1 ∈ L2(Ω), qm2 ∈ L2(0, T ), qm3 ∈ W 1,2(D), m ≥ 2, qm3 |Γ1
= 0.
Покажемо, що послiдовнoстi {qm1 (x)}∞m=1, {qm2 (t)}∞m=1, {qm3 (y)}∞m=1 є фундаментальни-
ми в L2(Ω), L2(0, T ), L2(D) вiдповiдно та збiгаються до розв’язку системи рiвнянь (22) –
(24). Позначимо
q̃m1 (x) = qm1 (x)− qm−1
1 (x), q̃m2 (t) = qm2 (t)− qm−1
2 (t), q̃m3 (y) = qm3 (y)− qm−1
3 (y), m ≥ 2.
Оцiнимо значення |q̃m1 (x)|, |q̃m2 (t)|, |q̃m3 (y)|, |q̃m3yi(y)|, m ≥ 3. На пiдставi (41) – (43) отри-
муємо
q̃m1 (x) =− 1
K11(x)
∫
Π1
[
F12(x, y, t)q̃m−1
2 (t)+F13(x, y, t)q̃m−1
3 (y)
]
dydt, x ∈ Ω, m ≥ 3, (44)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
260 Н. П. ПРОЦАХ
q̃m2 (t) =− 1
K22(t)
∫
Gt
[
F21(x, y, t)q̃m−1
1 (x)+F23(x, y, t)q̃m−1
3 (y)
]
dxdy, t ∈ [0, T ], m ≥ 3, (45)
q̃m3 (y) =− 1
K33(y)
∫
Π2
[
F31(x, y, t)q̃m−1
1 (x)+F32(x, y, t)q̃m−1
2 (t)
]
dxdt, y ∈ D, m ≥ 3. (46)
Пiднесемо обидвi частини (44) – (46) до квадрата i зiнтегруємо їх по x, t, y вiдповiдно.
Тодi, використавши нерiвнiсть Гельдера, одержимо
∫
Ω
|q̃m1 (x)|2 dx ≤ 2
inf
Ω
|K11(x)|2
[
mesD
∫
QT
(F12(x, y, t))2 dxdydt
T∫
0
|q̃m−1
2 (t)2dt+
+ T
∫
QT
(F13(x, y, t))2dxdydt
∫
D
|q̃m−1
3 (y)|2dy
]
, m ≥ 3, (47)
T∫
0
|q̃m2 (t)|2 dt ≤ 2
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
[
mesD
∫
QT
(F21(x, y, t))2dxdydt
∫
Ω
|q̃m−1
1 (x)|2dx+
+ mes Ω
∫
QT
(F23(x, y, t))2dxdydt
∫
D
|q̃m−1
3 (y)|2dy
]
, m ≥ 3, (48)
∫
D
|q̃m3 (y)|2 dy ≤ 2
inf
D
|K33(y)|2
[
T
∫
QT
(F31(x, y, t))2dxdydt
∫
Ω
|q̃m−1
1 (x)|2dx+
+ mes Ω
∫
QT
(F32(x, y, t))2 dxdydt
T∫
0
|q̃m−1
2 (t)|2dt
]
, m ≥ 3. (49)
Додавши нерiвностi (47) – (49), отримаємо
∫
Ω
|q̃m1 (x)|2dx+
T∫
0
|q̃m2 (t)|2 dt+
∫
D
|q̃m3 (y)|2dy ≤
≤ C4
∫
Ω
|q̃m−1
1 (x)|2dx+
T∫
0
|q̃m−1
2 (t)|2dt+
∫
D
|q̃m−1
3 (y)|2 dy
≤
≤ (C4)m−2
∫
Ω
|q̃2
1(x)|2 dx+
T∫
0
|q̃2
2(t)|2 dt+
∫
D
|q̃2
3(y)|2 dy
, m ≥ 3. (50)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 261
Крiм того, з (46) випливає, що
q̃m3yi(y) = − 1
K33(y)
[
K33yi(y)q̃m3 (y) +
∫
Π2
K3(x, t)f1yi(x, y, t)q̃
m−1
1 (x)dxdt+
+
∫
Π2
K3(x, t)f2yi(x, y, t)q̃
m−1
2 (t)dx dt
]
, y ∈ D, i = 1, . . . , l, m ≥ 3. (51)
З (51) та нерiвностi Гельдера отримуємо
∫
D
l∑
i=1
|q̃m3yi(y)|2dy ≤ C5
∫
D
|q̃m3 (y)|2dy +
∫
Ω
|q̃m−1
1 (x)|2dx+
T∫
0
|q̃m−1
2 (t)|2dt
≤
≤ (C4)m−3(1 + C4)C5
∫
D
|q̃2
3(y)|2dy +
∫
Ω
|q̃2
1(x)|2dx +
+
T∫
0
|q̃2
2(t)|2dt
, y ∈ D, m ≥ 3, (52)
де C5 =
3
infD |K33(y)|2
max
{∑l
i=1supD|K33yi(y)|2, T
∫
QT
∑l
i=1(K3(x, t)f1yi(x, y, t))
2dxdydt,
mes Ω
∫
QT
∑l
i=1(K3(x, t)f2yi(x, y, t))
2dxdydt
}
.
Оскiльки |C4| < 1, то з (50) випливає, що для всiх k, m ∈ N, m ≥ 3 справджується
оцiнка
∫
Ω
|qm+k
1 (x)− qm1 (x)|2 dx+
T∫
0
|qm+k
2 (t)− qm2 (t)|2 dt+
∫
D
|qm+k
3 (y)− qm3 (y)|2 dy ≤
≤
m+k∑
i=m+1
∫
Ω
|q̃i1(x)|2 dx+
T∫
0
|q̃i2(t)|2 dt+
∫
D
|q̃i3(y)|2 dy
≤
≤
m+k∑
i=m+1
(C4)i−2
∫
Ω
|q̃2
1(x)|2 dx+
T∫
0
|q̃2
2(t)|2 dt+
∫
D
|q̃2
3(y)|2 dy
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
262 Н. П. ПРОЦАХ
≤ (C4)m−1(1− (C4)k)
1− C4
∫
Ω
|q̃2
1(x)|2 dx+
T∫
0
|q̃2
2(t)|2 dt+
∫
D
|q̃2
3(y)|2 dy
≤
≤ (C4)m−1
1− C4
∫
Ω
|q̃2
1(x)|2 dx+
T∫
0
|q̃2
2(t)|2 dt+
∫
D
|q̃2
3(y)|2 dy
, (53)
а врахувавши (52), отримаємо
∫
D
l∑
i=1
|qm+k
3yi
(y)− qm3yi(y)|2 dy ≤ (C4)m−2C5(1 + C4)
1− C4
×
×
∫
Ω
|q̃2
1(x)|2 dx+
T∫
0
|q̃2
2(t)2 dt+
∫
D
|q̃2
3(y)|2 dy
, m ≥ 3.
(54)
Iз (53) та (54) випливає, що для довiльного ε > 0 iснує таке m0, що для всiх k,m ∈ N,
m > m0, виконуються нерiвностi ‖qm+k
1 (x)−qm1 (x);L2(Ω)‖ ≤ ε, ‖qm+k
2 (t)−qm2 (t);L2(0, T )‖ ≤
≤ ε, ‖qm+k
3 (y)−qm3 (y);L2(D)‖ ≤ ε, ‖qm+k
3yi
(y)−qm3yi(y);L2(D)‖ ≤ ε, i = 1, . . . , l.Отже, послi-
довнiсть {qm1 }∞m=1 є фундаментальною в L2(Ω), {qm2 }∞m=1 — фундаментальною в L2(0, T ),
{qm3 }∞m=1 — фундаментальною в W 1,2(D), а отже, qm1 → q1 в L2(Ω), qm2 → q2 в L2(0, T ),
qm3 → q3 в W 1,2(D). Перейшовши в (41) – (43) до границi при m → ∞, отримаємо твер-
дження леми.
Єдинiсть розв’язку. Припустимо, що (q
(1)
1 (x), q
(1)
2 (t), q
(1)
3 (y)), (q
(2)
1 (x), q
(2)
2 (t), q
(2)
3 (y)) —
два розв’язки системи рiвнянь (22) – (24). Тодi їхня рiзниця (q̃1(x), q̃2(t), q̃3(y)), де q̃1(x) =
= q
(1)
1 (x) − q(2)
1 (x), q̃2(t) = q
(1)
2 (t) − q(2)
2 (t), q̃3(y) = q
(1)
3 (y) − q(2)
3 (y), задовольняє систему
рiвнянь
q̃1(x) = − 1
K11(x)
∫
Π1
[F12(x, y, t)q̃2(t) + F13(x, y, t)q̃3(y)] dydt, x ∈ Ω, (55)
q̃2(t) = − 1
K22(t)
∫
Gt
[F21(x, y, t)q̃1(x) + F23(x, y, t)q̃3(y)] dxdy, t ∈ [0, T ], (56)
q̃3(y) = − 1
K33(y)
∫
Π2
[F31(x, y, t)q̃1(x) + F32(x, y, t)q̃2(t)] dxdt, y ∈ D. (57)
З (55) – (57), як i при доведеннi iснування розв’язку, отримаємо
∫
Ω
|q̃1(x)|2dx+
T∫
0
|q̃2(t)|2dt+
∫
D
|q̃3(y)|2dy≤C4
∫
Ω
|q̃1(x)|2 dx+
T∫
0
|q̃2(t)|2dt+
∫
D
|q̃3(y)|2dy
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 263
Отже, (1 − C4)
[∫
Ω
|q̃1(x)|2 dx+
∫ T
0
|q̃2(t)|2 dt+
∫
D
|q̃3(y)|2 dy
]
≤ 0 i q̃1(x) ≡ 0, q̃2(t) ≡ 0,
q̃3(y) ≡ 0, а тому q(1)
1 (x) ≡ q
(2)
1 (x), q
(1)
2 (t) ≡ q
(2)
2 (t), q
(1)
3 (y) ≡ q
(2)
3 (y).
Лему 3 доведено.
Наведемо один iз прикладiв задачi (1) – (6), для якої виконується умова C4 < 1.
Приклад 1. Нехай n = l = 1, Ω = (0, x0), D = (0, y0), x ∈ Ω, y ∈ D, t ∈ (0, T ),
QT = (0, x0) × (0, y0) × (0, T ). Припустимо, що коефiцiєнти рiвняння (1) задовольняють
умови (A), (C), (L), (H) та λ1(y) > 0 для всiх y ∈ (0, y0), а функцiї Ki та fi, i ∈ {1, 2, 3}, є
такими:
K1(y, t) := (y0 − y)8(T − t)5t, K2(x, y) := (y0 − y)2(x0 − x)4x,
K3(x, y) := (T − t)t(x0 − x)x100, (58)
f1(x, y, t) :=
y3
t0,35
, f2(x, y, t) :=
y30
x0,35
, f3(x, y, t) := x5000t5000.
Зауважимо, що функцiї (58) задовольняють умови (K1) – (K3), (F) та f1(x, 0, t) =
= f2(x, 0, t) = 0, (x, t) ∈ (0, x0)× (0, T ), f1y, f2y ∈ L2(QT ). Тодi
C1 = 476769, 5146 · T 3/10
y54
0 · x
3/10
0
+ 0, 1802097096 · 1022 · y7
0
T 100007/10 · x10001
0
,
C2 = 0, 1972237446 · 10−10 · y
54
0 · x
3/10
0
T 3/10
+ 0, 1136653859 · 1021 · y61
0
T 10001 · x100007/10
0
, (59)
C3 = 0, 8956534444 · 10−33 · T
100007/10 · x10001
0
y7
0
+ 0, 1310445716 · 10−24 · x
100007/10
0 · T 10001
y61
0
.
Для трiйок чисел (x0, y0, T ), де
x0 — довiльне додатне число,
y0 = (0, 4100631820·10−30)−1/1800119·(0, 1048724771·10−7)−100007/5400357·x−200017/18001190
0 ,
T = (0, 1048724771 · 10−7)−70/5400357 · (0, 4100631820 · 10−30)−180/1800119 ·x−1800187/1800119
0 ,
сталi C1, C2, C3, визначенi формулами (59), є меншими за 1, тому C4 := max{C1, C2, C3}
також є меншою за 1 (C1 = 0, 005000000739, C2 = 0, 006325049825, C3 = 0, 005535611162,
C4 = 0, 00632504982).
Позначимо
f1 = sup
Ω
∫
Π1
(f1(x, y, t))2 dydt, f2 = sup
[0,T ]
∫
G
(f2(x, y, t))2 dxdy,
f3 = sup
D
∫
Π2
(f3(x, y, t))2 dxdt, α1 = lλ1 − 2c0 + 2g0 + 1 +
3
T
,
M1 :=
max{f1, f2, f3}eα1T
min{1; 2a0}
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
264 Н. П. ПРОЦАХ
M2 := max
3
inf
Ω
|K11(x)|2
∫
QT
(B1(x, y, t) +K1(y, t)g0)2dxdydt +
+
4
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
∫
QT
(B2(x, y, t) +K2(x, y)g0)2dxdydt+
+
3
inf
D
|K33(y)|2
∫
QT
(B3(x, y, t) +K3(x, t)g0)2dxdydt;
4
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
∫
QT
n∑
i,j=1
(K2xj (x, y)aij(x))2dxdydt
,
M3 := max
4 mesD
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
∫
QT
(F21(x, y, t))2 dxdydt+
3T
inf
D
|K33(y)|2
∫
QT
(F31(x, y, t))2dxdydt;
3 mesD
inf
Ω
|K11(x)|2
∫
QT
(F12(x, y, t))2dxdydt+
3 mes Ω
inf
D
|K33(y)|2
∫
QT
(F32(x, y, t))2dxdydt;
3T
inf
Ω
|K11(x)|2
∫
QT
(F13(x, y, t))2 dxdydt+
4 mes Ω
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
∫
QT
(F23(x, y, t))2 dxdydt
,
M4 :=
M2
1−M3
, M5 := M1M4.
Нехай число T таке, що виконуються нерiвностi
α1 > 0 та |TM5| < 1,
8M0Tf3
inf
D
|K33(y)|2
sup
D
∫
Π2
[
(B3(x, y, t))2 + (K3(x, t)g1)2
]
dxdt < 1. (60)
Теорема 4. Нехай M3 < 1 i A3(y)|Γ1
= 0, виконуються умови (A), (C), (L), (U), (H),
(E), (K1) – (K3), (F), (S) та aijxi ∈ L∞(Ω), cyk ∈ L∞(QT ), fsyk ∈ L2(QT ), s = 0, 1, 2,
f3yk ∈ C(D;L2(Π2)), u0,xi ∈ L2(G), i, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , l, fs|S1
T
= 0, s = 0, 1, 2, i, крiм
того,K11(x) 6= 0 для всiх x ∈ Ω, K22(t) 6= 0 для всiх t ∈ (0, T ), K33(y) 6= 0 для всiх y ∈ D,
а число T задовольняє умову (60). Тодi iснує узагальнений розв’язок задачi (1) – (6).
Доведення. Використаємо метод послiдовних наближень. Як у [7], побудуємо набли-
ження (um(x, y, t), qm1 (x), qm2 (t), qm3 (y)) розв’язку задачi (1) – (6), де функцiї um(x, y, t) i
qm1 (x), qm2 (t), qm3 (y), m ∈ N, визначаються так, що вони задовольняють систему рiвностей
q1
1(x) := 0, q1
2(t) := 0, q1
3(y) := 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 265
qm1 (x) =
1
K11(x)
[
A1(x) +
∫
Π1
(
B1(x, y, t)um−1 +K1(y, t)g(x, y, t, um−1)−
− F12(x, y, t)qm2 (t)− F13(x, y, t)qm3 (y)
)
dydt
]
, x ∈ Ω, m ≥ 2, (61)
qm2 (t) =
1
K22(t)
[
A2(t) +
∫
Gt
(
B2(x, y, t)um−1 +
n∑
i,j=1
K2xj (x, y)aij(x)um−1
xi +
+K2(x, y)g(x, y, t, um−1)− F21(x, y, t)qm1 (x)−
− F23(x, y, t)qm3 (y)
)
dxdy
]
, t ∈ [0, T ], m ≥ 2, (62)
qm3 (y) =
1
K33(y)
[
A3(y) +
∫
Π2
(
B3(x, y, t)um−1 +K3(x, t)g(x, y, t, um−1)−
− F31(x, y, t)qm1 (x)− F32(x, y, t)qm2 (t)
)
dxdt
]
, y ∈ D, m ≥ 2, (63)
um задовольняє рiвнiсть
∫
QT
umt v +
l∑
i=1
λi(y)umyiv +
n∑
i,j=1
aij(x)umxivxj + c(x, y, t)umv + g(x, y, t, um)v
dxdydt =
=
∫
QT
(f1(x, y, t)qm1 (x)+f2(x, y, t)qm2 (t)+f3(x, y, t)qm3 (y)+f0(x, y, t))vdxdydt, m ≥ 1, (64)
um(x, y, 0) = u0(x, y), (x, y) ∈ G, (65)
причому (64) виконується для всiх v ∈ V1(QT ).
На пiдставi теорем 2 i 3 для кожного m ∈ N iснує єдина функцiя um ∈ V3(QT ) ∩
∩C([0, T ];L2(G)) така, що umt ∈ L2(QT ), i справджуються рiвностi (64), (65), а на пiдставi
леми 2 для кожної функцiї um−1 ∈ V3(QT ) ∩ C([0, T ];L2(G)) iснує єдина трiйка функцiй
(qm1 (x), qm2 (t), qm3 (y)), яка задовольняє (61) – (63), причому qm1 ∈ L2(Ω), qm2 ∈ L2(0, T ), qm3 ∈
∈ W 1,2(D), q3|Γ1
= 0.
Покажемо, що послiдовнiсть {(um(x, y, t), qm1 (x), qm2 (t), qm3 (y))}∞m=1 збiгається до уза-
гальненого розв’язку задачi (1) – (6). Позначимо
zm := zm(x, y, t) = um(x, y, t)− um−1(x, y, t), rm1 (x) = qm1 (x)− qm−1
1 (x),
rm2 (t) = qm2 (t)− qm−1
2 (t), rm3 (y) = qm3 (y)− qm−1
3 (y), m ≥ 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
266 Н. П. ПРОЦАХ
Використовуючи (64), знаходимо, що для всiх функцiй v ∈ V1(QT ) справджуються рiвнос-
тi
∫
QT
[
zmt v +
l∑
i=1
λi(y)zmyi v +
n∑
i,j=1
aij(x)zmxivxj + c(x, y, t)zmv+
+ (g(x, y, t, um)− g(x, y, t, um−1))v
]
dxdydt =
=
∫
QT
(rm1 (x)f1(x, y, t) + rm2 (t)f2(x, y, t) + rm3 (y)f3(x, y, t))vdxdydt, m ≥ 2. (66)
Оскiльки iз (65) випливає, що zm(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ G, m ≥ 2, то, як i при доведеннi
леми 1 [14], iз (66) отримуємо
1
2
∫
Gτ
|zm|2e−ατdxdy +
∫
Qτ
[
α
2
|zm|2 +
l∑
i=1
λi(y)zmyi z
m +
n∑
i,j=1
aij(x)zmxiz
m
xj + c(x, y, t)|zm|2 +
+(g(x, y, t, um)− g(x, y, t, um−1))zm
]
e−αtdxdydt =
∫
Qτ
(rm1 (x)f1(x, y, t)+
+rm2 (t)f2(x, y, t) + rm3 (y)f3(x, y, t))zme−αtdxdydt, τ ∈ (0, T ], m ≥ 2, (67)
для довiльного α ≥ 0. Оскiльки, використовуючи нерiвнiсть |ab| ≤ δ
2
a2 +
1
2δ
b2, δ > 0,
a, b ∈ R, отримуємо
2
∫
Qτ
(rm1 (x)f1(x, y, t) + rm2 (t)f2(x, y, t) + rm3 (y)f3(x, y, t))zme−αtdxdydt ≤
≤ δf1
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+ δf2
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+
+ δf3
∫
D
|rm3 (y)|2dy +
3
δ
∫
Qτ
|zm|2e−αtdxdydt, τ ∈ (0, T ], m ≥ 2,
та на пiдставi умови (H)
∫
Qτ
(g(x, y, t, um)−g(x, y, t, um−1))zme−αtdxdydt≤ g0
∫
Qτ
|zm|2e−αtdxdydt, τ ∈ (0, T ], m ≥ 2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 267
то з (67) випливають оцiнки∫
Gτ
|zm|2e−ατdxdy +
∫
S2
τ
l∑
i=1
λi(y)|zm|2 cos(ν, yi)e
−αtdxdσdt+
+
∫
Qτ
[(
α− lλ1 + 2c0 −
3
δ
− 2g0
)
|zm|2 + 2a0
n∑
i=1
∣∣zmxi∣∣2
]
e−αtdxdydt ≤
≤ δf1
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+ δf2
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+ δf3
∫
D
|rm3 (y)|2dy, τ ∈ (0, T ], m ≥ 2. (68)
Покладемо в (68) α = α1, δ = T. Тодi з (68) для τ ∈ (0, T ], m ≥ 2 випливають такi
нерiвностi:
∫
Qτ
[
|zm|2 +
n∑
i=1
|zmxi |
2
]
dxdydt ≤ TM1
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+
∫
D
|rm3 (y)|2dy
, (69)
∫
Gτ
|zm|2dxdy ≤ T max{f1, f2, f3}eα1T
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+
∫
D
|rm3 (y)|2dy
. (70)
Оцiнимо значення |rm1 (x)|, |rm2 (t)|, |rm3 (y)|, m ≥ 3. На пiдставi (61) – (63) отримуємо
rm1 (x) =
1
K11(x)
∫
Π1
[
B1(x, y, t)zm−1 +K1(y, t)(g(x, y, t, um−1)− g(x, y, t, um−2))−
− F12(x, y, t)rm2 (t)− F13(x, y, t)rm3 (y)
]
dydt, x ∈ Ω, m ≥ 3, (71)
rm2 (t) =
1
K22(t)
∫
Gt
[
B2(x, y, t)zm−1+
n∑
i,j=1
K2xj (x, y)aij(x)zm−1
xi +K2(x, y)(g(x, y, t, um−1)−
− g(x, y, t, um−2))−F21(x, y, t)rm1 (x)−F23(x, y, t)rm3 (y)
]
dxdy, t∈ [0, T ], m≥ 3, (72)
rm3 (y) =
1
K33(y)
∫
Π2
[
B3(x, y, t)zm−1 +K3(x, t)(g(x, y, t, um−1)− g(x, y, t, um−2))−
− F31(x, y, t)rm1 (x)− F32(x, y, t)rm2 (t)
]
dxdt, y ∈ D, m ≥ 3. (73)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
268 Н. П. ПРОЦАХ
Пiднiсши обидвi частини рiвностей (71) – (73) до квадрата i зiнтегрувавши їх за змiнними
x, t, y з використанням нерiвностi Гельдера, одержимо
∫
Ω
|rm1 (x)|2 dx ≤ 3
inf
Ω
|K11(x)|2
∫
QT
(
B1(x, y, t) +K1(y, t)g0
)2
dxdydt
∫
QT
∣∣zm−1
∣∣2 dxdydt+
+ mesD
∫
QT
(F12(x, y, t))2 dxdydt
T∫
0
|rm2 (t)|2 dt+
+ T
∫
QT
(F13(x, y, t))2 dxdydt
∫
D
|rm3 (y)|2dy
, m ≥ 3, (74)
T∫
0
|rm2 (t)|2 dt ≤ 4
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
∫
QT
(
B2(x, y, t) +K2(x, y)g0
)2
dxdydt
∫
QT
|zm−1|2dxdydt +
+ n2
∫
QT
n∑
i,j=1
(K2xj (x, y)aij(x))2dxdydt
∫
QT
n∑
i=1
|zm−1
xi |
2dxdydt+
+ mesD
∫
QT
(F21(x, y, t))2 dxdydt
∫
Ω
|rm1 (x)|2 dx+
+ mes Ω
∫
QT
(F23(x, y, t))2 dxdydt
∫
D
|rm3 (y)|2 dy
, m ≥ 3, (75)
∫
D
|rm3 (y)|2 dy ≤ 3
inf
D
|K33(y)|2
∫
QT
(
B3(x, y, t) +K3(x, t)g0
)2
dxdydt
∫
QT
|zm−1|2 dxdydt +
+ T
∫
QT
(F31(x, y, t))2 dxdydt
∫
Ω
|rm1 (x)|2 dx+
+ mes Ω
∫
QT
(F32(x, y, t))2 dxdydt
T∫
0
|rm2 (t)|2 dt
, m ≥ 3. (76)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 269
Додаючи нерiвностi (74) – (76), отримуємо
∫
Ω
|rm1 (x)|2 dx+
T∫
0
|rm2 (t)|2 dt+
∫
D
|rm3 (y)|2 dy ≤
≤ M4
∫
QT
[
|zm−1|2 +
n∑
i=1
|zm−1
xi |
2
]
dxdydt, m ≥ 3. (77)
Iз (69) та (77) випливає, що
∫
Ω
|rm+1
1 (x)|2 dx+
T∫
0
|rm+1
2 (t)|2 dt+
∫
D
|rm+1
3 (y)|2 dy ≤ M4
∫
QT
[
|zm|2 +
n∑
i=1
|zmxi |
2
]
dxdydt ≤
≤ TM5
∫
Ω
|rm1 (x)|2 dx+
T∫
0
|rm2 (t)|2 dt+
∫
D
|rm3 (y)|2 dy
, m ≥ 3.
Звiдси отримуємо
∫
Ω
|rm1 (x)|2 dx+
T∫
0
|rm2 (t)|2 dt+
∫
D
|rm3 (y)|2 dy ≤
≤ TM5
∫
Ω
|rm−1
1 (x)|2 dx+
T∫
0
|rm−1
2 (t)|2 dt+
∫
D
|rm−1
3 (y)|2 dy
≤
≤ (TM5)m−2
∫
Ω
|r2
1(x)|2 dx+
T∫
0
|r2
2(t)|2 dt+
∫
D
|r2
3(y)|2 dy
, m ≥ 3. (78)
Використовуючи (78) та умову |TM5| < 1, переконуємося, що для всiх k,m ∈ N,
m ≥ 3, справджується оцiнка
∫
Ω
|qm+k
1 (x)− qm1 (x)|2 dx+
T∫
0
|qm+k
2 (t)− qm2 (t)|2 dt+
∫
D
|qm+k
3 (y)− qm3 (y)|2 dy ≤
≤
m+k∑
i=m+1
∫
Ω
|ri1(x)|2 dx+
T∫
0
|ri2(t)|2 dt+
∫
D
|ri3(y)|2 dy
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
270 Н. П. ПРОЦАХ
≤
m+k∑
i=m+1
(TM5)i−2
∫
Ω
|r2
1(x)|2 dx+ +
T∫
0
|r2
2(t)|2 dt+
∫
D
|r2
3(y)|2 dy
≤
≤ (TM5)m−1(1− (TM5)k)
1− TM5
∫
Ω
|r2
1(x)|2 dx+
T∫
0
|r2
2(t)|2 dt+
∫
D
|r2
3(y)|2 dy
≤
≤ (TM5)m−1
1− TM5
∫
Ω
|r2
1(x)|2 dx+
T∫
0
|r2
2(t)|2 dt+
∫
D
|r2
3(y)|2 dy
, m ≥ 3. (79)
Iз (79) випливає, що для довiльного ε > 0 iснує таке m0, що для всiх k,m ∈ N, m > m0,
виконуються нерiвностi ‖qm+k
1 (x) − qm1 (x);L2(Ω)‖ ≤ ε, ‖qm+k
2 (t) − qm2 (t);L2(0, T )‖ ≤ ε,
‖qm+k
3 (y)− qm3 (y);L2(D)‖ ≤ ε. Отже, послiдовнiсть {qm1 }∞m=1 є фундаментальною в L2(Ω),
{qm2 }∞m=1 — фундаментальною в L2(0, T ), а {qm3 }∞m=1 — фундаментальною в L2(D).
Тодi з (69) та (70) випливає, що {um}∞m=1 є фундаментальною вL2(QT )∩C([0, T ];L2(G)),
послiдовнiсть {umxi}
∞
m=1 — фундаментальною в L2(QT ), а тому при m → ∞
um→ u сильно в L2(QT ) ∩ C([0, T ];L2(G)), umxi→ uxi сильно в L2(QT ), i= 1, . . . , n, (80)
qm1 → qm1 сильно в L2(Ω), qm2 → qm2 сильно в L2(0, T ), qm3 → qm3 сильно в L2(D). (81)
Встановимо оцiнки для umyi , i = 1, . . . , l, та для umt . Як i при доведеннi теореми 3, бу-
дуємо послiдовнiсть {um,N}∞N=1, яка у просторi V3(QT ) збiгається слабко при N → ∞ до
розв’язку um задачi (64), (65), а послiдовнiсть {um,Nt }∞N=1 — до umt у просторi L2(QT ). Для
наближень um,N встановлено оцiнки (13) та (16) з функцiями um,N замiсть u∗,N . Зiнтегру-
вавши нерiвнiсть (13) по τ вiд 0 до T, перейдемо до границi при N → ∞, врахувавши, що
‖v;L2(QT )‖2 ≤ limN→∞ ‖vN ;L2(QT )‖2 [17, c. 20]:
∫
QT
l∑
i=1
|umyi |
2dx dy≤MT
f4
∫
Ω
|qm1 (x)|2 dx+f5
T∫
0
|qm2 (t)|2 dt+f6
∫
D
|qm3 (y)|2 dy+C6
+
+ f3M0T
∫
D
l∑
i=1
|qm3yi(y)|2 dy, (82)
де
C6 =
∫
QT
(|f0(x, y, t)|2+
l∑
i=1
|f0yi(x, y, t)|2) dxdydt+
∫
G
(
|u0(x, y)|2+
l∑
i=1
|u0yi(x, y)|2
)
dxdy,
f4 = f1 + sup
Ω
∫
Π1
l∑
i=1
|f1yi(x, y, t)|2 dy dt, f5 = f2 + sup
[0,T ]
∫
G
l∑
i=1
|f2yi(x, y, t)|2 dx dy,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 271
f6 = f3 + sup
D
∫
Π2
l∑
i=1
|f1yi(x, y, t)|2 dx dt.
З (63) випливає, що
qm3yi(y) =
1
K33(y)
[
−K33yi(y)qm3 (y) +A3yi(y) +
∫
Π2
(
B3yi(x, y, t)u
m−1 +B3(x, y, t)um−1
yi +
+K3(x, t)gyi(x, y, t, u
m−1)+K3(x, t)gum−1(x, y, t, um−1)um−1
yi −
−K3(x, t)f1yi(x, y, t)q
m
1 (x)−K3(x, t)f2yi(x, y, t)q
m
2 (t)
)
dxdt
]
, y ∈ D, m ≥ 2. (83)
Пiднесемо (83) до квадрата i зiнтегруємо по областiD.Тодi, застосувавши нерiвнiсть Гель-
дера, отримаємо
∫
D
l∑
i=1
|qm3yi(y)|2 dy≤ 8
inf
D
|K33(y)|2
[
l∑
i=1
sup
D
|K33yi(y)|2
∫
D
|qm3 (y)|2 dy +
∫
D
l∑
i=1
|A3yi(y)|2 dy+
+
∫
Π2
(
l∑
i=1
sup
D
(B3yi(x, y, t))
2 + l(K3(x, t)g0)2
)
dxdt
∫
QT
|um−1|2 dxdydt+
+
∫
Π2
(
sup
D
(B3(x, y, t))2 + (K3(x, t)g1)2
)
dxdt
∫
QT
l∑
i=1
|um−1
yi |
2 dxdydt+
+ T
∫
Ω
|qm1 (x)|2dx
∫
QT
l∑
i=1
|K3(x, t)f1yi(x, y, t)|2 dxdydt+
+ mes Ω
T∫
0
|qm2 (t)|2dt
∫
QT
l∑
i=1
|K3(x, t)f2yi(x, y, t)|2dxdydt
]
, m ≥ 2. (84)
Враховуючи (84), iз (82) отримуємо оцiнку
∫
QT
l∑
i=1
|umyi |
2dx dy ≤ C8
C7
∫
Ω
|qm1 (x)|2 dx+
T∫
0
|qm2 (t)|2 dt+
∫
D
|qm3 (y)|2 dy + 1 +
+
∫
QT
|um−1|2 dxdydt
, (85)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
272 Н. П. ПРОЦАХ
де
C7 = 1− 8M6Tf3
inf
D
|K33(y)|2
sup
D
∫
Π2
[(B3(x, y, t))2 + (K3(x, t)g1)2]dxdt,
C8 = T max
{
Mf4 +
8f3M0T
inf
D
|K33(y)|2
∫
QT
l∑
i=1
|K3(x, t)f1yi(x, y, t)|2 dxdydt;
Mf5 +
8f3M0mes Ω
inf
D
|K33(y)|2
∫
QT
l∑
i=1
|K3(x, t)f2yi(x, y, t)|2 dxdydt;
Mf6 +
8f3M0
inf
D
|K33(y)|2
l∑
i=1
sup
D
|K33yi(y)|2;
MC6 +
8f3M0
inf
D
|K33(y)|2
∫
D
l∑
i=1
|A3yi(y)|2 dy;
8f3M0
inf
D
|K33(y)|2
l∑
i=1
sup
D
∫
Π2
(B3yi(x, y, t))
2 dx dt+ l
∫
Π2
(K3(x, t)g0)2 dxdt
}.
З (80) та (81) випливає обмеженiсть правої частини нерiвностi (85). Тому
∫
Gτ
l∑
i=1
|umyi |
2dx dy ≤ C9, τ ∈ [0, T ], ‖umt ;L2(QT )‖ ≤ C10, (86)
де сталi C9, C10 не залежать вiд m. З (86) випливає, що з послiдовностi {um}∞m=1 можна
вибрати таку пiдпослiдовнiсть (збережемо для неї те саме позначення), що
umyi → uyi слабко в L2(QT ), i = 1, . . . , l, umt → ut слабко в L2(QT ). (87)
Тодi права частина (84) обмежена зверху сталою, яка не залежать вiд m, а отже,
qm3yi → q3yi слабко в L2(D), i = 1, . . . , l. (88)
Врахувавши (80), (81), (87), (88) i лему 2, з (64) та (61) – (63) отримаємо, що (u(x, y, t),
q1(x), q2(t), q3(y)) — узагальнений розв’язок задачi (1) – (6) в областi QT .
Теорему 4 доведено.
Теорема 5. Нехай виконуються умови теореми 4. Тодi задача (1) – (6) не може мати
бiльше одного узагальненого розв’язку.
Доведення. Припустимо, що (u(1)(x, y, t), q
(1)
1 (x), q
(1)
2 (t), q
(1)
3 (y)), (u(2)(x, y, t), q
(2)
1 (x),
q
(2)
2 (t), q
(2)
3 (y)) — два узагальненi розв’язки задачi (1) – (6). Тодi їхня рiзниця (ũ(x, y, t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 273
q̃1(x), q̃2(t), q̃3(y)), де ũ(x, y, t) = u(1)(x, y, t) − u(2)(x, y, t), q̃1(x) = q
(1)
1 (x) − q(2)
1 (x), q̃2(t) =
= q
(1)
2 (t)− q(2)
2 (t), q̃3(y) = q
(1)
3 (y)− q(2)
3 (y), задовольняє умову ũ(x, y, 0) ≡ 0, рiвнiсть
∫
QT
[
ũtv +
l∑
i=1
λi(y)ũyiv +
n∑
i,j=1
aij(x)ũxivxj + c(x, y, t)ũv +
+ (g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))v
]
dxdydt =
=
∫
QT
[f1(x, y, t)q̃1(x) + f2(x, y, t)q̃2(t) + f3(x, y, t)q̃3(y)]vdxdydt (89)
для всiх v ∈ V1(QT ) та систему рiвностей
q̃1(x) =
1
K11(x)
∫
Π1
[
B1(x, y, t)ũ+K1(y, t)(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))−
− F12(x, y, t)q̃2(t)− F13(x, y, t)q̃3(y)
]
dydt, x ∈ Ω, (90)
q̃2(t) =
1
K22(t)
∫
Gt
[
B2(x, y, t)ũ+
n∑
i,j=1
K2xj (x, y)aij(x)ũxi +K2(x, y)(g(x, y, t, u(1))−
− g(x, y, t, u(1)))− F21(x, y, t)q̃1(x)F23(x, y, t)q̃3(y)
]
dxdy, t ∈ [0, T ], (91)
q̃3(y) =
1
K33(y)
∫
Π2
[
B3(x, y, t)ũ+K3(x, t)(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))−
− F31(x, y, t)q̃1(x)− F32(x, y, t)q̃2(t)
]
dxdt, y ∈ D. (92)
Згiдно iз (89), для четвiрки функцiй (ũ(x, y, t), q̃1(x), q̃2(t), q̃3(y)) та α = lλ1 − 2c0 +
3
δ
+
+1− 2g0, δ > 0, виконується рiвнiсть
∫
GT
|ũ|2e−αTdxdy +
∫
QT
[
α|ũ|2 + 2
l∑
i=1
λi(y)ũyi ũ+ 2
n∑
i=1
aij(x)ũxi ũxj + 2c(x, y, t)|ũ|2+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
274 Н. П. ПРОЦАХ
+ 2(g(x, y, t, u(1))− g(x, y, t, u(2)))ũ
]
e−αtdxdydt =
= 2
∫
QT
[f1(x, y, t)q̃1(x) + f2(x, y, t)q̃2(t) + f3(x, y, t)q̃3(y)] ũe−αtdxdydt.
Звiдси, як iз (67), отримаємо оцiнку
∫
GT
|ũ|2e−ατdxdy +
∫
S2
T
l∑
i=1
λi(y)|ũ|2 cos(ν, yi)e
−αtdxdσdt+
+
∫
QT
[(
α− lλ1 + 2c0 −
3
δ
− 2g0
)
|ũ|2 + 2a0
n∑
i=1
|ũxi |2
]
e−αtdxdydt ≤
≤ δf1
∫
Ω
|q̃1(x)|2dx+ δf2
T∫
0
|q̃2(t)|2dt+ δf3
∫
D
|q̃3(y)|2dy. (93)
Покладемо у (93) δ = T, α = α1. Тодi з (93) випливає оцiнка
∫
QT
[
|ũ|2 +
n∑
i=1
|ũxi |2
]
dxdydt ≤ TM1
∫
Ω
|q̃1(x)|2dx+
T∫
0
|q̃2(t)|2dt+
∫
D
|q̃3(y)|2dy
. (94)
Використавши (90) – (92), як i при доведеннi iснування розв’язку, отримаємо
∫
Ω
|q̃1(x)|2dx+
T∫
0
|q̃2(t)|2dt+
∫
D
|q̃3(y)|2dy ≤ M4
∫
QT
[
|ũ|2 +
n∑
i=1
|ũxi |2
]
dxdydt.
Врахувавши оцiнку (94), знайдемо
(1−M5T )
∫
Ω
|q̃1(x)|2dx+
T∫
0
|q̃2(t)|2dt+
∫
D
|q̃3(y)|2dy
≤ 0. (95)
Оскiльки |TM5| < 1, то q̃1(x) ≡ 0, q̃2(t) ≡ 0, q̃3(y) ≡ 0, а тому q
(1)
1 (x) ≡ q
(2)
1 (x),
q
(1)
2 (t) ≡ q
(2)
2 (t), q
(1)
3 (y) ≡ q
(2)
3 (y).Тодi з (94) випливає
∫
QT
|ũ|2dxdydt ≤ 0, а тому u(1) = u(2)
в QT .
Теорему доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 275
Позначимо α2 = −lλ1 + 2c0− 2g0 +
a0
θ
, θ = θ(Ω) — коефiцiєнт iз нерiвностi Фрiдрiхса
∫
Ω
|v(x)|2 dx ≤ θ
∫
Ω
n∑
i=1
|vxi(x)|2dx, (96)
яка виконується для функцiй v ∈ W 1,2
0 (Ω);
M7 :=
3θmax{f1, f2, f3}
α2a0
(1− e−α2T ),
M8 :=
3
inf
Ω
|K11(x)|2
∫
QT
(B1(x, y, t) +K1(y, t)g0)2dxdydt+
+
3
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
∫
QT
B2(x, y, t) +K2(x, y)g0 −
n∑
i,j=1
(K2xj (x, y)aij(x))xi
2
dxdydt+
+
3
inf
D
|K33(y)|2
∫
QT
(B3(x, y, t) +K3(x, t)g0)2 dxdydt,
M9 :=
M8
1−M3
, M10(T ) := M10 = M7M9.
Зауваження 1. Теореми 4 i 5 є правильними i для випадку, коли число T справджує
нерiвностi
|M10(T )|< 1,
8M0Tf3
inf
D
|K33(y)|2
sup
D
∫
Π2
[
(B3(x, y, t))2 + (K3(x, t)g1)2
]
dxdt < 1, якщо α2 > 0. (97)
Покажемо це для теореми 4. Побудуємо наближення (um(x, y, t), qm1 (x), qm2 (t), qm3 (y))
розв’язку задачi (1) – (6), де функцiї um(x, y, t) i qm1 (x), qm2 (t), qm3 (y), m ∈ N, визначаються,
як i при доведеннi теореми 4.
Покладемо в нерiвностi (68) α = 0, δ = 3θ/a0, де θ — стала з нерiвностi (96). Застосу-
вавши (96) до (68), отримаємо
∫
Gτ
|zm|2dxdy +
∫
S2
τ
l∑
i=1
λi(y)|zm|2 cos(ν, yi)dxdσdt+ α2
∫
Qτ
|zm|2dxdydt ≤
≤ 3θ
a0
f1
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+ f2
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+ f3
∫
D
|rm3 (y)|2dy
, (98)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
276 Н. П. ПРОЦАХ
τ ∈ (0, T ], m ≥ 2. Оскiльки α2 > 0, то з (98) випливає
(wm(τ))′ + α2w
m(τ) ≤ 3θ
a0
f1
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+ f2
T∫
0
|rm2 (t)|2dt +
+ f3
∫
D
|rm3 (y)|2dy
, m ≥ 2, τ ∈ (0, T ],
де wm(τ) =
∫
Qτ
|zm|2 dxdydt.
Розв’яжемо отриманi нерiвностi, домноживши їх на eα2τ та зiнтегрувавши по τ вiд 0 до
T. В результатi отримаємо
wm(T )≤ 3θ
α2a0
(1− e−α2T )
f1
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+ f2
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+ f3
∫
D
|rm3 (y)|2dy
, m ≥ 2,
отже,
∫
QT
|zm|2dxdydt ≤ M7
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+
∫
D
|rm3 (y)|2dy
, m ≥ 2, (99)
∫
Gτ
|zm|2dxdy ≤ 3θ
a0
f1
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+ f2
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+
+ f3
∫
D
|rm3 (y)|2dy
, m ≥ 2, τ ∈ (0, T ], (100)
∫
Qτ
n∑
i=1
|zmxi |
2dxdydt≤
[( |lλ1 − 2c0 + a0
θ + 2g0|
2a0
M7 +
6θ
a2
0
f1
)∫
Ω
|rm1 (x)|2 dx+
+
( |lλ1 − 2c0 + a0
θ + 2g0|
2a0
M7 +
6θ
a2
0
f2
) T∫
0
|rm2 (t)|2 dt+
+
( |lλ1 − 2c0 + a0
θ + 2g0|
2a0
M7 +
6θ
a2
0
f3
)∫
D
|rm3 (y)|2dy
]
, τ ∈ (0, T ],m ≥ 2.
(101)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 277
Оцiнимо значення |rm1 (x)|, |rm2 (t)|, |rm3 (y)|, m ≥ 3. На пiдставi (61) – (63) отримуємо
rm2 (t) =
1
K22(t)
∫
Gt
[(
B2(x, y, t)−
n∑
i,j=1
(K2xj (x, y)aij(x))xi
)
zm−1+
+K2(x, y)(g(x, y, t, um−1)− g(x, y, t, um−2))− F21(x, y, t)rm1 (x)−
− F23(x, y, t)rm3 (y)
]
dxdy, t ∈ [0, T ], m ≥ 3. (102)
Пiднiсши обидвi частини (71), (102), (73) до квадрата, зiнтегрувавши за змiнними x, t, y i
використавши нерiвнiсть Гельдера, одержимо (74), (76) та
T∫
0
|rm2 (t)|2dt≤ 3
inf
[0,T ]
|K22(t)|2
[ ∫
QT
(
B2(x, y, t) +K2(x, y)g0−
−
n∑
i,j=1
(K2xj (x, y)aij(x))xi
)2
dxdydt
∫
QT
|zm−1|2dxdydt+
+ mesD
∫
QT
(F21(x, y, t))2dxdydt
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+
+ mes Ω
∫
QT
(F23(x, y, t))2dxdydt
∫
D
|rm3 (y)|2 dy
]
, m ≥ 3. (103)
Додавши нерiвностi (74), (76), (103), будемо мати
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+
∫
D
|rm3 (y)|2dy ≤ M9
∫
QT
|zm−1|2dxdydt. (104)
Iз (100) та (104) випливає, що
∫
Ω
|rm+1
1 (x)|2dx+
T∫
0
|rm+1
2 (t)|2dt+
∫
D
|rm+1
3 (y)|2dy ≤ M9
∫
QT
|zm|2dxdydt ≤
≤ M10
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+
∫
D
|rm3 (y)|2dy
, m ≥ 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
278 Н. П. ПРОЦАХ
Звiдси отримуємо
∫
Ω
|rm1 (x)|2dx+
T∫
0
|rm2 (t)|2dt+
∫
D
|rm3 (y)|2dy ≤
≤ M10
∫
Ω
|rm−1
1 (x)|2dx+
T∫
0
|rm−1
2 (t)|2dt+
∫
D
|rm−1
3 (y)|2 dy
≤
≤ (M10)m−2
∫
Ω
|r2
1(x)|2dx+
T∫
0
|r2
2(t)|2dt+
∫
D
|r2
3(y)|2 dy
, x ∈ Ω, m ≥ 3.
Оскiльки |M10| < 1, то знову переконуємося, що послiдовность {qm1 }∞m=1 є фундамен-
тальною в L2(Ω), {qm2 }∞m=1 — фундаментальною в L2(0, T ), а {qm3 }∞m=1 — фундаменталь-
ною в L2(D).
Тодi з (99) та (101) випливає, що {um}∞m=1 є фундаментальною вL2(QT )∩C([0, T ];L2(G)),
послiдовнiсть {umxi}
∞
m=1 — фундаментальною в L2(QT ), а тому виконуються (80), (81).
Доведення теореми 5 для випадку умов (97) проводиться аналогiчно.
Висновки. У статтi встановлено достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку обер-
неної задачi (1) – (6) для слабконелiнiйного ультрапараболiчного рiвняння. Накладання
умов f1|S1
T
= 0, f2|S1
T
= 0, (K1) – (K3), C4 < 1 спричинено нашою методикою дослiджен-
ня задачi (1) – (6), в якiй використовується метод Фаедо – Гальоркiна, метод послiдовних
наближень та результати статтi [14]. Наведено приклад задачi (1) – (6), для якої цi умови
виконуються. Наступним кроком у дослiдженнi задачi (1) – (6) буде вiдшукання необхiд-
них умов її однозначної розв’язностi.
1. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-
differential equations of parabolic type. — Birkhäuser, 2004. — 390 р.
2. Lanconelli E., Pascucci A., Polidoro S. Linear and nonlinear ultraparabolic equations of Kolmogorov type
arising in diffusion theory and in finance // Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics
II. In honour of Prof. O. A. Ladyzhenskaya. — New York, NY: Kluwer Acad. Publ., 2002. — P. 243 – 265.
3. Ivanchov M. I. Inverse problems for equations of parabolic type // Math. Stud. Monogr. Ser. — 2003. — 238 p.
4. Cannon J. R. Determination of an unknown heat source from overspecified boundary data // SIAM J. Numer.
Anal. — 1968. — 5, № 2. — P. 275 – 286.
5. Искендеров А. Д. Некоторые обратные задачи об определении правых частей дифференциальных
уравнений // Изв. АН АзССР. Сер. физ-тех. и мат. наук. — 1976. — № 2. — С. 58 – 63.
6. Lorenzi A., Prilepko A. I. Global existence results for first-order integrodifferential identification problems
// Rend. Semin. mat. Univ. Padova. — 1996. — 96. — P. 51 – 84.
7. Бейлина Н. В. О разрешимости обратной задачи для гиперболического уравнения с интегральным
условием переопределения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2011. — 23, № 2. —
С. 34 – 39.
8. Borukhov V. T., Vabishchevich P. N. Numerical solution of the inverse problem of recovering a distributed
right-hand side of a parabolic equation // Comput. Phys. Communs. — 2000. — 126. — P. 32 – 36.
9. Kozhanov A. I. An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation
II // J. Inverse Ill-Posed Probl. — 2003. — 11, № 5. — P. 505 – 522.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 279
10. Камынин В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с услови-
ем интегрального переопределения // Мат. заметки. — 2005. — 77, № 4. — С. 522 – 534.
11. Сафиуллова Р. Р. О разрешимости линейной обратной задачи нахождения правой части составного
вида в гиперболическом уравнении // Вестн. ЮУрГУ. Серия Мат. моделирование и программирование.
— 2009. — 170, № 37. — C. 93 – 105.
12. Кожанов А. И. Задача определения решения и правой части специального вида в параболическом
уравнении // Обратные задачи и информационные технологии. — 2002. — 1, № 3. — С. 13 – 41.
13. Lavrenyuk S., Protsakh N. Boundary value problem for nonlinear ultraparabolic equation in unbounded with
respect to time variable domain // Tatra Mt. Math. Publ. — 2007. — 38. — P. 131 – 146.
14. Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мiшана задача для нелiнiйного ультрапараболiчного рiвняння, яке уза-
гальнює рiвняння дифузiї з iнерцiєю // Укр. мат. журн. — 2006. — 58, № 9. — С. 1192 – 1210.
15. Protsakh N. Properties of solution for mixed problem for ultraparabolic equation with the memory term //
Укр. мат. вiсн. — 2012. — 9, № 1. — C. 98 – 113.
16. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — 407 с.
17. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Hелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
циальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 c.
Одержано 14.04.13,
пiсля доопрацювання — 29.01.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
|