Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь
Получены необходимое и достаточное условия существования решения слабонелинейной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений. С помощью аппарата теории псевдообратных матриц получены необходимое и достаточное условия существования решений систем линейных интегро-дифференциальных ур...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177166 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь / О.А. Бойчук, I.А. Головацька // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 460-474. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859828662135685120 |
|---|---|
| author | Бойчук, О.А. Головацька, I.А. |
| author_facet | Бойчук, О.А. Головацька, I.А. |
| citation_txt | Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь / О.А. Бойчук, I.А. Головацька // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 460-474. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Получены необходимое и достаточное условия существования решения слабонелинейной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений. С помощью аппарата теории псевдообратных матриц получены необходимое и достаточное условия существования решений систем линейных интегро-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени.
We obtain a necessary and a sufficient conditions for existence of a solution of a weakly nonlinear boundaryvalue problem for an integro-differential system. Using the methods of the theory of pseudoinverse matrices we obtain a necessary and a sufficient conditions for existence of a solution of a linear integro-differential system with impulsive effects at fixed times.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:30:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ
IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
О. А. Бойчук, I. А. Головацька
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: boichuk@imath.kiev.ua
holovatska.iv@gmail.com
We obtain a necessary and a sufficient conditions for existence of a solution of a weakly nonlinear boundary-
value problem for an integro-differential system. Using the methods of the theory of pseudoinverse matrices
we obtain a necessary and a sufficient conditions for existence of a solution of a linear integro-differential
system with impulsive effects at fixed times.
Получены необходимое и достаточное условия существования решения слабонелинейной крае-
вой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений. С помощью аппарата теории
псевдообратных матриц получены необходимое и достаточное условия существования реше-
ний систем линейных интегро-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в фик-
сированные моменты времени.
1. Слабконелiнiйнi крайовi задачi для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь. Умови
iснування розв’язкiв систем лiнiйних iнтегро-диференцiальних рiвнянь та крайових задач
для них, а також слабконелiнiйних систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь вивчались
у роботах [1 – 5]. Для таких систем розвинуто загальну теорiю та розроблено ефектив-
нi методи знаходження розв’язкiв. У данiй роботi за допомогою теорiї псевдообернених
за Муром – Пенроузом матриць [1, 2, 6] дослiджено умови iснування та запропоновано
iтерацiйнi алгоритми побудови розв’язкiв крайових задач для слабконелiнiйної системи
iнтегро-диференцiальних рiвнянь та рiвнянь з iмпульсним впливом.
1.1. Постановка задачi та допомiжнi результати. Розглянемо слабконелiнiйну систему
iнтегро-диференцiальних рiвнянь
ẋ(t)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)x(s) +B(s)ẋ(s)] ds = f(t) + ε
b∫
a
K(t, s)Z(x(s, ε), s, ε) ds (1)
з крайовою умовою
`x(·) = α+ εJ(x(·, ε), ε). (2)
Будемо шукати умови iснування розв’язку x = x(t, ε) крайової задачi (1), (2) такого, що
x(·, ε) ∈ D2[a, b], ẋ(·, ε) ∈ L2[a, b], x(t, ·) ∈ C[0, ε0],
c© О. А. Бойчук, I. А. Головацька, 2013
460 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 461
i який перетворюється при ε = 0 в один iз розв’язкiв породжуючої крайової задачi
ẋ(t)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)x(s) +B(s)ẋ(s)] ds = f(t), (3)
`x(·) = α ∈ Rp. (4)
ТутA(t), B(t) — (m×n)-, Φ(t), f(t), K(t, s) — (n×m)-, (n×1)-, (n×n)-вимiрнi матрицi, ком-
поненти яких належать простору L2[a, b]; вектори-стовпчики матрицi Φ(t) є лiнiйно неза-
лежними на [a, b]; ` — обмежений лiнiйний векторний функцiонал, визначений в D2[a; b],
` = col (`1, `2, `3, . . . , `p) : D2[a; b] → Rp, α = col (α1, α2, α3, . . . , αp) ∈ Rp; Z(x(t, ε), t, ε) —
нелiнiйна по першiй компонентi n-вимiрна вектор-функцiя, неперервно диференцiйовна
по x в околi породжуючого розв’язку, iнтегровна по t i неперервна по ε:
Z(·, t, ε) ∈ C1[‖x− x0‖ ≤ q], Z(x(·, ε), ·, ε) ∈ L2[a, b], Z(x(t, ·), t, ·) ∈ C[0, ε0];
J(x(·, ε), ε) — нелiнiйний обмежений p-вимiрний векторний функцiонал, неперервно ди-
ференцiйовний по x у розумiннi Фреше [7] i неперервний по ε в околi породжуючого роз-
в’язку.
Далi x(t, 0) = x0(t, cr) будемо називати породжуючим розв’язком крайової задачi для
слабконелiнiйної системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь (1), (2), де cr ∈ Rr — невiдо-
мий вектор констант, який буде визначено нижче.
Наведемо вiдомий критерiй розв’язностi породжуючої крайової задачi (3), (4) [1].
Теорема 1. Нехай rankQ = n2 ≤ (p, r1). Тодi однорiдна крайова задача (3), (4) (f(t) =
= 0, α = 0) має r лiнiйно незалежних розв’язкiв вигляду
x(t, cr) = Ψ0(t)PDr1
PQrcr, cr ∈ Rr,
r1 = m+ n− rankD, r = r1 − rankQ.
Неоднорiдна крайова задача (3), (4) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли виконуються
умови
PD∗
d1
b̃ = 0, PQ∗
d2
(α− `F (·)) = 0, (5)
d1 = m− rankD, d2 = p− rankQ,
та має r-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
x(t, cr) = Ψ0(t)PDr1
PQrcr + Ψ0(t)PDr1
Q+(α− `F (·)) + F (t) ∀cr ∈ Rr. (6)
Тут Ψ0(t) = [Ψ(t), In], Ψ(t) =
∫ t
a
Φ(s)ds, вiдповiдно (n × (m + n))- та (n ×m)-вимiрнi
матрицi; D =
[
Im −
∫ b
a
[A(s)Ψ(s) +B(s)Φ(s)] ds,−
∫ b
a
A(s)ds
]
— (m × (m + n))-вимiрна
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
462 О. А. БОЙЧУК, I. А. ГОЛОВАЦЬКА
матриця, f̃(t) =
∫ t
a
f(s)ds, b̃ =
∫ b
a
[
A(s)f̃(s) +B(s)f(s)
]
ds, F (t) = f̃(t) + Ψ0(t)D
+b̃, Im,
In — одиничнi матрицi вiдповiдних порядкiв; PD, PD∗ — вiдповiдно ((m + n)×(m + n))-,
(m × m)-вимiрнi матрицi, ортопроектори на ядро та коядро матрицi D; PDr1
(PD∗
d1
) —
матриця, яка складається iз повної системи r1(d1) лiнiйно незалежних стовпчикiв (ряд-
кiв) матрицi-ортопроектора PD(PD∗). Матриця Q є (p× r1)-вимiрною i побудована згiдно
з [1]; D+(Q+) — псевдообернена (за Муром – Пенроузом) до D(Q) матриця. PQ, PQ∗ —
вiдповiдно (r1 × r1)-, (p × p)-вимiрнi матрицi, ортопроектори на ядро та коядро матри-
цi Q; PQr(PQ∗
d2
) — матриця, яка складається з повної системи r (d2) лiнiйно незалежних
стовпчикiв (рядкiв) матрицi PQ (PQ∗) [2].
1.2. Основний результат. Розглянемо критичний випадок, коли вiдповiдна однорiдна
породжуюча крайова задача має нетривiальнi розв’язки x(t, cr) = x0(t, cr). Спочатку
встановимо необхiдну умову розв’язностi крайової задачi (1), (2). Справедливим є наступ-
не твердження.
Теорема 2 (необхiдна умова). Нехай слабконелiнiйна крайова задача (1), (2) має роз-
в’язок x = x(t, ε):
x(·, ε) ∈ D2[a, b], ẋ(·, ε) ∈ L2[a, b], x(t, ·) ∈ C(0, ε0],
який при ε = 0 перетворюється у породжуючий розв’язок x0(t, cr) (6) з константою
cr = c0r (r = m+ n− rankD − rankQ).
Тодi вектор констант c0r обов’язково повинен бути дiйсним коренем системи рiв-
нянь
PD∗
d1
b∫
a
A(s)
s∫
a
b∫
a
K(τ, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0) ds dτ +
+ B(s)
b∫
a
K(s, τ)Z(x0(τ, c
0
r), τ, 0)dτ
ds = 0, (7)
PQ∗
d2
J(x0(·, c0r), 0)− `
·∫
a
b∫
a
K(τ, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0) ds dτ +
+ Ψ0(·)D+
b∫
a
A(t)
t∫
a
b∫
a
K(τ, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0) ds dτ +
+ B(t)
b∫
a
K(t, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0) ds
dt
= 0, (8)
d1 = m− rankD, d2 = p− rankQ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 463
Доведення аналогiчне доведенню теореми 5.4 [2, с. 119] та теореми 4.5 [7, с. 109].
У випадку перiодичних задач константа c0r має фiзичний змiст i є амплiтудою породжую-
чого розв’язку, тому у класичнiй перiодичнiй задачi вiдповiдне рiвняння для систем зви-
чайних диференцiальних рiвнянь називають рiвнянням для породжуючих амплiтуд [9, 10].
По аналогiї будемо називати рiвняння (7), (8) рiвнянням для породжуючих констант
крайової задачi для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь (1), (2).
Якщо рiвняння (7), (8) є розв’язним, то вектор cr = c0r ∈ Rr визначає той поро-
джуючий розв’язок x(t, cr) = x0(t, c
0
r) (6), якому може вiдповiдати розв’язок x(t, ε) ви-
хiдної крайової задачi (1), (2) при ε = 0. Якщо ж рiвняння (7), (8) не має розв’язку, то й
крайова задача (1), (2) не має шуканого розв’язку. Мова йде про дiйснi коренi рiвняння
для породжуючих констант (7), (8). Таким чином, необхiдна умова розв’язностi крайової
задачi (1), (2) задовольняється вимогою, щоб рiвняння (7), (8) мало хоча б один дiйсний
розв’язок cr = c0r ∈ Rr.
Для отримання достатньої умови iснування розв’язку виконаємо замiну змiнних у кра-
йовiй задачi (1), (2):
x(t, ε) = x0(t, c
0
r) + y(t, ε).
Тодi у нових змiнних будемо шукати умови iснування розв’язку y(t, ε):
y(·, ε) ∈ D2[a, b], ẏ(·, ε) ∈ L2[a, b], y(t, ·) ∈ C[0, ε0], y(t, 0) = 0,
який при ε = 0 перетворюється у нульовий розв’язок крайової задачi
ẏ(t)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)y(s) +B(s)ẏ(s)] ds = ε
b∫
a
K(t, s)Z
(
x0(s, c
0
r) + y(s, ε), s, ε
)
ds, (9)
`y(·) = εJ
(
x0(·, c0r) + y(·, ε), ε
)
. (10)
Використовуючи неперервну диференцiйовнiсть вектор-функцiї Z(x, t, ε) та диференцi-
йовнiсть за Фреше векторного функцiонала J(x(·, ε), ε) по перших компонентах в око-
лi точки ε = 0, видiляємо у вектор-функцiї Z(x0 + y, t, ε) i у векторному функцiоналi
J(x0(·, c0r) + y(·, ε), ε) лiнiйну частину по y i члени нульового порядку по ε. Тодi має мiсце
розклад
Z(x0 + y, t, ε) = Z(x0(t, c
0
r), t, 0) +A1(t)y(t, ε) +R(y(t, ε), t, ε), (11)
J
(
x0(·, c0r) + y(·, ε), ε
)
= J(x0(·, c0r)) + `1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε), (12)
де
Z(x0(t, c
0
r), t, 0) ∈ C[a, b], J(x0(·, c0r)) = J(x0(·, c0r), 0),
A1(t) = A1(t, c
0
r) =
∂Z(x, t, 0)
∂x
∣∣∣∣
x=x0(t,c0r)
∈ C[a, b],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
464 О. А. БОЙЧУК, I. А. ГОЛОВАЦЬКА
`1y(·, ε) — лiнiйна частина векторного функцiонала J
(
x0(·, c0r) + y(·, ε), ε
)
.
Згiдно з [8], лiнiйний оператор `1 = J ′(x0) є похiдною Фреше вiд векторного функцiо-
нала J (x(·, ε), ε) у точцi x = x0(t, c
0
r). Нелiнiйна вектор-функцiя R(y(t, ε), t, ε) належить
до класу C1(‖y‖ ≤ q), L2[a, b], C[0, ε0]. При цьому маємо
R(0, t, 0) = 0,
∂R(0, t, 0)
∂y
= 0, R1(0, 0) = 0,
∂R1(0, 0)
∂y
= 0.
Врахувавши розклад нелiнiйностей (11), (12) у крайовiй задачi (9), (10), отримаємо
крайову задачу
ẏ(t)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)y(s) +B(s)ẏ(s)] ds = p(t, ε), (13)
`y(·) = ε
{
J(x0(·, c0r)) + `1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)
}
, (14)
розв’язок якої будемо шукати у виглядi
y(t, ε) = Xr(t)c+ ȳ(t, ε), c = c(ε) ∈ Rr,
де c ∈ Rr — невiдома константа, яку буде визначено нижче,
ȳ(t, ε) = εΨ0(t)PDr1
Q+
{
J(x0(·, c0r)) + `1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)− `F0(·, ε)
}
+ F0(t, ε).
Згiдно з теоремою 1, неоднорiдна крайова задача (13), (14) є розв’язною тодi i тiльки тодi,
коли виконуються умови
PD∗
d1
b̃0(ε) = 0, (15)
PQ∗
d2
{
εJ
(
x0(·, c0r) + y(·, ε), ε
)
− `F0(·, ε)
}
= 0. (16)
ТутXr(t) = Ψ0(t)PDr1
PQr — (n×r)-вимiрна матриця, b̃0(ε) =
∫ b
a
[A(s)p̃(s, ε)+B(s)p(s, ε)]ds
— (n× 1)-вимiрний вектор-стовпчик, компоненти якого належать простору C[0, ε0],
p(t, ε) = ε
b∫
a
K(t, s)
[
Z(x0(s, c
0
r), s, 0) +A1(s)y(s, ε) +R(y(s, ε), s, ε)
]
ds = ε
(
p1(t) + p02(t, ε)
)
,
p1(t) =
b∫
a
K(t, s)A1(s)Xr(s) ds, p02(t, ε) =
b∫
a
K(t, s) [A1(s)ȳ(s, ε) +R(y(s, ε), s, ε)] ds,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 465
F0(t, ε) = p̃(t, ε) + Ψ0(t)D
+b̃0(ε) = F 1
0 (t) + F 2
0 (t, ε),
F 1
0 (t) = p̃1(t) + Ψ0(t)D
+
b∫
a
[A(s)p̃1(s) +B(s)p1(s)] ds,
F 2
0 (t, ε) = p̃02(t, ε) + Ψ0(t)D
+
b∫
a
[
A(s)p̃02(s, ε) +B(s)p02(s, ε)
]
ds,
p̃(t, ε) =
t∫
a
p(s, ε)ds, p̃1(t) =
t∫
a
p1(s)ds, p̃02(t, ε) =
t∫
a
p02(s, ε) ds.
Враховуючи, що y(t, ε) = Xr(t)c+ ȳ(t, ε) та виконуються умови (7), (8), iз (15), (16) отри-
муємо наступну систему для вiдшукання невiдомого вектора констант c ∈ Rr:
PD∗
d1
b∫
a
[A(s)p̃1(s) +B(s)p1(s)] ds
c=−PD∗
d1
b∫
a
[
A(s)p̃02(s, ε) +B(s)p02(s, ε)
]
ds, (17)
PQ∗
d2
{
`1Xr(·)− `F 1
0 (·)
}
c=−PQ∗
d2
{
J(x0(·, c0r)) + `1ȳ(·, ε) +R1(y(·, ε), ·, ε)− `F 2
0 (·, ε)
}
. (18)
Систему (17), (18) можна записати таким чином:
B0c = g, (19)
де ((d1 + d2)× r)-вимiрна матриця
B0 :=
PD∗
d1
∫ b
a
[A(s)p̃1(s) +B(s)p1(s)] ds
PQ∗
d2
{
`1Xr(·)− `F 1
0 (·)
}
та ((d1 + d2)× 1)-вимiрна вектор-функцiя
g :=
−PD∗
d1
∫ b
a
[
A(s)p̃02(s, ε) +B(s)p02(s, ε)
]
ds
−PQ∗
d2
{
J(x0(·, c0r)) + `1ȳ(·, ε) +R1(y(·, ε), ·, ε)− `F 2
0 (·, ε)
}
.
Система (19) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли виконується умова
PB∗
0
g = 0. (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
466 О. А. БОЙЧУК, I. А. ГОЛОВАЦЬКА
Оскiльки вектор-функцiя g мiстить невiдомi величини, то для того, щоб конструктив-
но скористатися цiєю умовою, замiсть (20) будемо вимагати, щоб виконувалась умова
PB∗
0
= 0, яка еквiвалентна такiй [2]:
rankB0 = d1 + d2. (21)
Тут PB∗
0
— ((d1 + d2) × (d1 + d2))-вимiрна матриця (ортопроектор), яка проектує простiр
Rd1+d2 на нуль-простiр N(B∗0).
Розв’язуючи систему (19), приходимо до еквiвалентної операторної системи
y(t, ε) = Xr(t)c+ ȳ(t, ε),
c = −B+
0 g, (22)
ȳ(t, ε) = εΨ0(t)PDr1
Q+
{
J(x0(·, c0r)) + `1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)− `F0(·, ε)
}
+ F0(t, ε).
Введемо u = col (y(t, ε), c(ε), ȳ(t, ε)) та запишемо систему (22) у нових змiнних:
u = L(1)u+ F̂ u, (23)
де
L(1) =
0 Xr(t) In
0 0 L1
0 0 0
,
L1ϕ = −B+
0
−PD∗
d1
∫ b
a
[
A(s)
∫ s
a
∫ b
a
K(t, τ)A1(τ)ϕ(τ) dτ dt +
+ B(s)
∫ b
a
K(s, τ)A1(τ)ϕ(τ)dτ
]
ds
−PQ∗
d2
{
`1ϕ(·)− `
(∫ ·
a
∫ b
a
K(·, τ)A1(τ)ϕ(τ)dτ +
+Ψ0(·)D+
∫ b
a
[
A(s)
∫ s
a
∫ b
a
K(t, τ)A1(τ)ϕ(τ)dτdt +
+ B(s)
∫ b
a
K(s, τ)A1(τ)ϕ(τ)dτ
]
ds
)}
,
F̂ u =
0
−B+
0 ḡ
εΨ0(t)PDr1
Q+
{
J(x0(·, c0r)) + `1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)− `F0(·, ε)
}
+ F0(t, ε)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 467
ḡ :=
−PD∗
d1
∫ b
a
[
A(s)
∫ s
a
∫ b
a
K(t, τ)R(y(τ, ε), τ, ε) dτ dt +
+ B(s)
∫ b
a
K(s, τ)R(y(τ, ε), τ, ε)dτ
]
ds
−PQ∗
d2
{
R1(y(·, ε), ·, ε)− `
(∫ ·
a
∫ b
a
K(·, τ)R(y(τ, ε), τ, ε)dτ ds +
+Ψ0(·)D+
∫ b
a
[
A(s)
∫ s
a
∫ b
a
K(t, τ)R(y(τ, ε), τ, ε)dτ dt +
+ B(s)
∫ b
a
K(s, τ)R(y(τ, ε), τ, ε)dτ
]
ds
)}
.
Систему (22) запишемо у виглядi
(I% − L(1))u = F̂ u, % = 2n+ r.
Блочно-дiагональний матричний оператор (I%−L(1)) завжди має обернений, тому систему
(22) можна записати таким чином:
u = Su, S := (I% − L(1))−1F̂ .
За рахунок вибору ε та околу породжуючого розв’язку, враховуючи структуру оператора
F̂ , як i у [9, 10], можна показати, що оператор S є оператором стиску [11], який дiє з
простору D2 ([a, b];Rn)×C ([0, ε0];R)×D2 ([a, b];Rn) в себе з вiдповiдною нормою. Отже,
операторне рiвняння u = Su буде мати єдиний розв’язок, який можна знайти як u =
= limv→∞ uv, uo = 0, uv = Suv−1, де u0 = col (y0, c0, ȳ0) = 0. Повертаючись до вихiдної
крайової задачi (1), (2), для знаходження розв’язку будемо мати наступний iтерацiйний
процес.
На першому кроцi iтерацiйного процесу отримуємо крайову задачу
ẏ1(t)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)y1(s) +B(s)ẏ1(s)] ds = ε
b∫
a
K(t, s)Z
(
x0(s, c
0
r), s, 0
)
ds, (24)
`y1(·) = εJ
(
x0(·, c0r), 0
)
, (25)
яка є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли виконуються умови
PD∗
d1
b∫
a
A(s)
s∫
a
b∫
a
K(τ, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0) ds dτ +
+ B(s)
b∫
a
K(s, τ)Z(x0(τ, c
0
r), τ, 0)dτ
ds = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
468 О. А. БОЙЧУК, I. А. ГОЛОВАЦЬКА
PQ∗
d2
J(x0(·, c0r), 0)− `
·∫
a
b∫
a
K(τ, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0) ds dτ +
+ Ψ0(·)D+
b∫
a
A(t)
t∫
a
b∫
a
K(τ, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0) ds dτ +
+ B(t)
b∫
a
K(t, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0)ds
dt
= 0.
Цi умови виконуються, оскiльки породжуючий розв’язок задовольняє умови (7), (8) вна-
слiдок вибору c0r ∈ Rr. Перше наближення y1(t, ε) до шуканого розв’язку y(t, ε) крайової
задачi (9), (10) вважаємо рiвним ȳ1(t, ε). Тодi
y1(t, ε) = ȳ1(t, ε) = εΨ0(t)PDr1
Q+
{
J(x0(·, c0r), 0)− `F1(·, ε)
}
+ F1(t, ε),
де
F1(t, ε) = ε
t∫
a
b∫
a
K(τ, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0) ds dτ+
+ εΨ0(t)D
+
b∫
a
A(s)
s∫
a
b∫
a
K(τ, s)Z(x0(s, c
0
r), s, 0) ds dτ +
+ B(s)
b∫
a
K(s, τ)Z(x0(τ, c
0
r), τ, 0) dτ
ds.
На другому кроцi iтерацiйного процесу маємо крайову задачу
ẏ2(t)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)y2(s) +B(s)ẏ2(s)] ds = ε
b∫
a
K(t, s)
[
Z(x0(s, c
0
r), s, 0) +
+ A1(s)[Xr(t)c1 + ȳ1(s, ε)] +R(y1(s, ε), s, ε)] ds, (26)
`y2(·) = ε
(
J(x0(·, c0r)) + l1[Xr(·)c1 + ȳ1(·, ε)] +R1(y1(·, ε), ε)
)
. (27)
З необхiдної та достатньої умов розв’язностi цiєї крайової задачi отримуємо алгебраїчну
вiдносно c1 ∈ Rr систему
B0c1 =
−PD∗
d1
∫ b
a
[
A(s)p̃12(s, ε) +B(s)p12(s, ε)
]
ds
−PQ∗
d2
{
J(x0(·, c0r)) + `1ȳ1(·, ε) +
+ R1(y1(·, ε), ·, ε)− `F 2
1 (·, ε)
}
, (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 469
де
F 2
1 (t, ε) = p̃12(t, ε) + Ψ0(t)D
+
b∫
a
[
A(s)p̃12(s, ε) +B(s)p12(s, ε)
]
ds,
p12(t, ε) =
b∫
a
K(t, s) [A1(s)ȳ1(s, ε) +R(y1(s, ε), s, ε)] ds, p̃12(t, ε) =
t∫
a
p12(s, ε) ds,
яка при умовi (21) буде розв’язною. Тодi перше наближення c1 до c(ε) має вигляд
c1 = −B+
0
−PD∗
d1
∫ b
a
[
A(s)p̃12(s, ε) +B(s)p12(s, ε)
]
ds
−PQ∗
d2
{
J(x0(·, c0r)) + `1ȳ1(·, ε) +
+ R1(y1(·, ε), ·, ε)− `F 2
1 (·, ε)
}
.
Друге наближення y2(t, ε) до шуканого y(t, ε) є таким:
y2(t, ε) = Xr(t)c1 + ȳ2(t, ε).
Продовжуючи iтерацiйний процес, з операторної системи (22) для знаходження розв’яз-
ку y(t, ·) ∈ C[0, ε0], y(t, 0) = 0, крайової задачi (9), (10) отримаємо наступну iтерацiйну
процедуру:
yk+1(t, ε) = Xr(t)ck + ȳk+1(t, ε),
ck = −B+
0
−PD∗
d1
∫ b
a
[
A(s)p̃k2(s, ε) +B(s)pk2(s, ε)
]
ds
−PQ∗
d2
{
J(x0(·, c0r)) + `1ȳk(·, ε) +
+ R1(yk(·, ε), ·, ε)− `F 2
k (·, ε)
}
, (29)
ȳk+1(t, ε) = εΨ0(t)PDr1
Q+
{
J(x0(·, c0r)) + `1yk(·, ε) +R1(yk(·, ε), ε)− `Fk(·, ε)
}
+ Fk(t, ε).
Тут
Fk(t, ε) = p̃k(t, ε) + Ψ0(t)D
+
b∫
a
[A(s)p̃k(s, ε) +B(s)pk(s, ε)] ds = F 1
0 (t) + F 2
k (t, ε),
F 1
0 (t) = p̃1(t) + Ψ0(t)D
+
b∫
a
[A(s)p̃1(s) +B(s)p1(s)] ds,
F 2
k (t, ε) = p̃k2(t, ε) + Ψ0(t)D
+
b∫
a
[
A(s)p̃k2(s, ε) +B(s)pk2(s, ε)
]
ds,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
470 О. А. БОЙЧУК, I. А. ГОЛОВАЦЬКА
pk(t, ε) = ε
(
p1(t) + pk2(t, ε)
)
,
p1(t) =
b∫
a
K(t, s)A1(s)Xr(s)ds,
pk2(t, ε) =
b∫
a
K(t, s) [A1(s)ȳk−1(s, ε) +R(yk−1(s, ε), s, ε)] ds,
p̃k(t, ε) =
t∫
a
pk(s, ε)ds, p̃1(t) =
t∫
a
p1(s)ds, p̃k2(t, ε) =
t∫
a
pk2(s, ε) ds.
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 3 (достатня умова). Нехай породжуюча крайова задача (3), (4) при виконаннi
умов (7), (8) має r-параметричну сiм’ю розв’язкiв (6) (r = m+ n− rankD− rankQ). Тодi
для кожного дiйсного значення вектора cr = c0r ∈ Rr, що задовольняє систему рiвнянь
(7), (8) для породжуючих констант, та при умовi (21) слабконелiнiйна крайова задача
(1), (2) має хоча б один розв’язок x = x(t, ε):
x(·, ε) ∈ D2[a, b], ẋ(·, ε) ∈ L2[a, b], x(t, ·) ∈ C[0, ε0],
який при ε = 0 перетворюється у породжуючий розв’язок x0(t, c0r) (6) i визначається за
допомогою збiжного iтерацiйного процесу (29) та формулою xk(t, ε) = x0(t, c
0
r)+yk(t, ε),
k = 0, 1, 2, . . . .
1.3. Зв’язок мiж необхiдною та достатньою умовами. Аналогiчно до [2, 12] можна по-
казати, що достатня умова (21) iснування розв’язку задачi (1), (2) означає, що константа
c0r є простим дiйсним коренем рiвняння для породжуючих констант (7), (8). Отже, має
мiсце таке твердження.
Теорема 4. Для того щоб слабконелiнiйна крайова задача для систем iнтегро-дифе-
ренцiальних рiвнянь (1), (2) мала розв’язок, який при ε = 0 перетворюється у породжу-
ючий розв’язок x0(t, c0r) (6) з константою cr = c0r ∈ Rr (r = m+n− rankD− rankQ), не-
обхiдно, щоб константа c0r була дiйсним коренем рiвняння для породжуючих констант
(7), (8), та достатньо, щоб константа c0r була простим коренем цього рiвняння.
2. Лiнiйна система iнтегро-диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом. Розгляне-
мо питання про iснування та побудову розв’язкiв неоднорiдної системи iнтегро-диферен-
цiальних рiвнянь з iмпульсним впливом у фiксованi моменти часу:
ẋ(t)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)x(s) +B(s)ẋ(s)] ds = f(t), t ∈ [a, b], (30)
∆Eix|t=τi = Six(τi − 0) + γi ∈ Rki , i = 1, . . . , p, τi ∈ (a, b). (31)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 471
Розв’язок задачi (30), (31) будемо шукати у класi вектор-функцiй x(t) таких, що
x(t) ∈ D2([a, b]\{τi}I ), ẋ(t) ∈ L2[a, b], t ∈ [a, b], τi ∈ (a, b), i = 1, 2, . . . , p.
Тут D2([a, b]\{τi}I ) — простiр функцiй x : [a, b] → Rn, якi допускають розрив I роду у точ-
ках τ1, . . . , τp ∈ (a, b) i абсолютно неперервнi на кожному iз промiжкiв [a, τ1), [τ1, τ2), . . .
. . . , [τp, b]. Припускається, що A(t), B(t) — (m×n)-, Φ(t) — (n×m)-, f(t) — (n×1)-вимiрнi
матрицi, компоненти яких належать простору L2[a, b]; вектори-стовпчики матрицi Φ(t) є
лiнiйно незалежними на [a, b]; Ei, Si — (ki × n)-вимiрнi матрицi, γi — ki-вимiрний вектор-
стовпчик констант; rank (Ei + Si) = ki < n, тобто розв’язок системи визначається одно-
значним продовженням через точку розриву:
∆Eix|t=τi := Ei(x(τi + 0)− x(τi − 0)).
Покажемо, що дослiджувати задачу з iмпульсним впливом (30), (31) можна за допо-
могою теореми 1, розглядаючи задачу (30), (31) як внутрiшню крайову задачу („interface
BVP’s” [13]). Для того щоб показати цей зв’язок, введемо `x(·) — k-вимiрний лiнiйний
обмежений векторний функцiонал:
` := col (`1, . . . , `p) : D2([a, b]\{τi}I ) → Rk, k := k1 + k2 + . . .+ kp,
`i : DS(p) → Rki , i = 1, . . . , p,
таким чином:
`1x := E1x(τ1+)− (E1 + S1)x(τ1−),
`2x := E2x(τ2+)− (E2 + S2)x(τ2−),
(32)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
`px := Epx(τp+)− (Ep + Sp)x(τp−)
та запишемо iмпульсну дiю (31) як крайову умову
`x(·) = γ ∈ Rk, (33)
де γ = col(γ1, γ2, . . . , γp) ∈ Rk, γi ∈ Rki .
Потрiбно знайти умови розв’язностi i вигляд загального розв’язку внутрiшньої кра-
йової задачi (30), (31) у припущеннi, що розв’язок системи (30) iснує, тобто виконуються
умови теореми 1 [1, с. 1577], та має вигляд
x(t, c) = Ψ0(t)PDr1
c+ F (t), c ∈ Rr1 ,
r1 = m+ n− rankD,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
472 О. А. БОЙЧУК, I. А. ГОЛОВАЦЬКА
F (t) = f̃(t) + Ψ0(t)D
+b̃, b̃ =
∫ b
a
[
A(s)f̃(t)(s) +B(s)f(s)
]
ds, матриця D+ є псевдооберне-
ною до матрицi D, яку побудовано вище.
Розв’язок системи (30) пiдставляємо у крайову умову (33) та отримуємо алгебраїчну
систему вiдносно невiдомого вектора констант c ∈ Rr1 :
Qc = γ − `F (·), (34)
де (k × r1)-вимiрна стала матриця
Q := col (−S1Xr1(τ1), . . . ,−SpXr1(τp)),
Xr1(t) = Ψ0(t)PDr1
— (n× r1)-вимiрна матриця, r1 = m+n− rankD. Матрицю в алгебра-
їчнiй системi (34) будемо позначати, як i у попередньому випадку, через Q.
Алгебраїчна система (34) розв’язна тодi i тiльки тодi, коли виконується умова
PQ∗{γ − `F (·)} = 0. (35)
Нехай rankQ = n2 ≤ min(k, r1). Оскiльки вимiрнiсть нуль-простору N(Q) дорiвнює
дефекту матрицi Q, то dimN(Q) = m+ n− rankD − rankQ = r1 − n2 = r.
Умова (35) складається iз k умов, серед яких є лише d2 лiнiйно незалежних умов,
rankPQ∗ = k − rankQ = k − n2 = d2. Тому введемо (d2 × k)-вимiрну матрицю PQ∗
d2
,
яка складається iз d2 лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-ортопроектора PQ∗ = Ik−QQ+.
Матриця PQ∗
d2
дозволяє записати d2 лiнiйно незалежних умов розв’язностi системи (34):
PQ∗
d2
{γ − `F (·)} = 0. (36)
Якщо умова (36) виконується, то система (34) має розв’язок
c = Q+{γ − `F (·)}+ PQrcr ∀cr ∈ Rr2 , (37)
r = m+ n− rankD − rankQ.
Згiдно з [1], отриманий вектор c ∈ Rr визначає r-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних
розв’язкiв крайової задачi (30), (33):
x(t) = Ψ0(t)PDr1
PQrcr + Ψ0(t)PDr1
Q+(γ − `F (·)) + F (t) ∀cr ∈ Rr. (38)
Таким чином, для iмпульсної iнтегро-диференцiальної системи справджується наступне
твердження.
Теорема 5. Нехай rankQ = n2 ≤ min(k, r1). Тодi однорiдна iмпульсна iнтегро-дифе-
ренцiальна система (30), (31) (f = 0, γ = 0) має r лiнiйно незалежних розв’язкiв вигляду
x(t) = Ψ0(t)PDr1
PQrcr, cr ∈ Rr,
r1 = m+ n− rankD, r = r1 − rankQ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 473
Неоднорiдна iмпульсна iнтегро-диференцiальна система (30), (31) є розв’язною тодi i
тiльки тодi, коли виконуються умови
PD∗
d1
b̃ = 0, PQ∗
d2
(γ − `F (·)) = 0, (39)
d1 = m− rankD, d2 = k − rankQ,
та має r-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
x(t) = Ψ0(t)PDr1
PQrcr + Ψ0(t)PDr1
Q+(γ − `F (·)) + F (t), (40)
визначених у класi вектор-функцiй
x(t) ∈ D2([a, b]\{τi}I ), ẋ(t) ∈ L2[a, b], t ∈ [a, b], τi ∈ (a, b), i = 1, . . . , p.
В залежностi вiд параметрiв матриць Q i D безпосередньо з теореми 5 випливають
наступнi твердження.
Наслiдок 1. Нехай rankQ = n2 = k, тобто PQ∗ = 0. Тодi iмпульсна iнтегро-дифе-
ренцiальна система (30), (31) є розв’язною, якщо виконується умова
PD∗
d1
b̃ = 0 (d1 = m− rankD), (41)
i має r-параметричну (r = m + n − rankD − rankQ) сiм’ю розв’язкiв (40) при будь-яких
γ = col (γ1, . . . , γp) ∈ Rk, k := k1 + . . .+ kp.
Наслiдок 2. Нехай rankQ = n2 = r1 < k,тобто PQ = 0.Тодi якщо виконується умо-
ва (39), то iснує єдиний розв’язок iмпульсної iнтегро-диференцiальної системи (30), (31)
x(t) = Ψ0(t)PDr1
Q+(γ − `F (·)) + F (t), (42)
r1 = m+ n− rankD.
Зауваження. Якщо в iмпульснiй iнтегро-диференцiальнiй системi (30), (31) розгляда-
тимемо (n× n)-вимiрну одиничну матрицю Ei := E, (n× n)-вимiрнi матрицi Si, n-вимiрнi
вектори-стовпчики γi, i = 1, . . . , p, то отримаємо:
1) стандартнi iмпульснi умови
∆x|t=τi := x(τi + 0)− x(τi − 0) = Six(τi − 0) + γi ∈ Rn,
det (E − Si) 6= 0,
якi задають розриви по всiх компонентах x(t);
2) матрицю Q, яка має розмiр np× r1, де r1 = m+ n− rankD.
Таким чином, справедливим є наступне твердження.
Наслiдок 3. Нехай rankQ = n2 = r1 < np, тобто PQ = 0. Тодi якщо виконуються
умови (39), то iснує єдиний розв’язок (42) iмпульсної iнтегро-диференцiальної систе-
ми (30), (31).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
474 О. А. БОЙЧУК, I. А. ГОЛОВАЦЬКА
1. Самойленко A. М., Бойчук О. А., Кривошея С. А. Крайовi задачi для систем лiнiйних iнтегро-диферен-
цiальних рiвнянь з виродженим ядром // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 11. — С. 1576 – 1579.
2. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
3. Головацька I. А. Слабкозбуренi системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. —
2012. — 15, № 2. — С. 151 – 164.
4. Головацька I. А. Слабконелiнiйнi системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь // Вiсн. Київ. ун-ту. Фiз.-
мат. науки. — 2013. — 1. — С. 71 – 74.
5. Golovatska I. Weakly perturbed boundaty-value problems of integro-differential equations // Tatra Mt. Math.
Publ. — 2013. — 54. — P. 61 – 71.
6. Boichuk A., Diblik J., Khusainov D., Ruzickova M. Boundary-value problems for weakly nonlinear delay
differential systems // Abstr. Appl. Anal. — 2011. — 2011. — Article ID 631412. — 19 p.
7. Люстерник Л. Ю., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа: Уч. пос. — М.: Высш. шк.,
1982. — 271 с.
8. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 с.
9. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.
10. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
11. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных
уравнений. — М.: Наука, 1968. — 455 с.
12. Бойчук О. А., Головацька I. А. Слабконелiнiйнi системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь // Нелiнiйнi
коливання. — 2013. — 16, № 3. — С. 314 – 321.
13. Anton Zettl. Adjoint and self-adjoint BVP’s with interface conditions // SIAM J. Appl. Math. — 1968. — 16,
№ 4. — P. 851 – 859.
14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 572 с.
15. Бойчук А. А, Покутний А. А. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в ба-
наховом пространстве // Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 1. — С. 3 – 14.
16. Boichuk A., Diblik J., Khusainov D., Ruzickova M. Boundary-value problems for weakly nonlinear delay
differential systems// Abstr. Appl. Anal. — 2011. — 2011. — Article ID 631412. — 19 p.
17. Самойленко А. М., Перестюк М. О. Диференцiальнi рiвняння з iмпульсною дiєю. — Київ: Вища шк.,
1987. — 287 c.
Одержано 16.05.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177166 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:30:53Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бойчук, О.А. Головацька, I.А. 2021-02-11T07:43:58Z 2021-02-11T07:43:58Z 2013 Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь / О.А. Бойчук, I.А. Головацька // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 460-474. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177166 517.929 Получены необходимое и достаточное условия существования решения слабонелинейной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений. С помощью аппарата теории псевдообратных матриц получены необходимое и достаточное условия существования решений систем линейных интегро-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени. We obtain a necessary and a sufficient conditions for existence of a solution of a weakly nonlinear boundaryvalue problem for an integro-differential system. Using the methods of the theory of pseudoinverse matrices we obtain a necessary and a sufficient conditions for existence of a solution of a linear integro-differential system with impulsive effects at fixed times. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь Краевые задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Boundary-value problems for integro-differential systems Article published earlier |
| spellingShingle | Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь Бойчук, О.А. Головацька, I.А. |
| title | Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь |
| title_alt | Краевые задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Boundary-value problems for integro-differential systems |
| title_full | Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь |
| title_fullStr | Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь |
| title_short | Крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь |
| title_sort | крайові задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177166 |
| work_keys_str_mv | AT boičukoa kraiovízadačídlâsistemíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT golovacʹkaia kraiovízadačídlâsistemíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT boičukoa kraevyezadačidlâsistemintegrodifferencialʹnyhuravnenii AT golovacʹkaia kraevyezadačidlâsistemintegrodifferencialʹnyhuravnenii AT boičukoa boundaryvalueproblemsforintegrodifferentialsystems AT golovacʹkaia boundaryvalueproblemsforintegrodifferentialsystems |