Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177168 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду / Ю.А. Караджов // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 496-501. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177168 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Караджов, Ю.А. 2021-02-11T07:44:35Z 2021-02-11T07:44:35Z 2013 Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду / Ю.А. Караджов // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 496-501. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177168 517.95 Автор висловлює подяку професору А. Г. Нiкiтiну за кориснi дискусiї. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду Матричные суперпотенциалы специального вида Matrix superpotentials of a special form Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду |
| spellingShingle |
Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду Караджов, Ю.А. |
| title_short |
Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду |
| title_full |
Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду |
| title_fullStr |
Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду |
| title_full_unstemmed |
Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду |
| title_sort |
матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду |
| author |
Караджов, Ю.А. |
| author_facet |
Караджов, Ю.А. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Матричные суперпотенциалы специального вида Matrix superpotentials of a special form |
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177168 |
| citation_txt |
Матричнi суперпотенцiали спецiального вигляду / Ю.А. Караджов // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 496-501. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT karadžovûa matričnisuperpotencialispecialʹnogoviglâdu AT karadžovûa matričnyesuperpotencialyspecialʹnogovida AT karadžovûa matrixsuperpotentialsofaspecialform |
| first_indexed |
2025-11-27T01:46:21Z |
| last_indexed |
2025-11-27T01:46:21Z |
| _version_ |
1850791778078162944 |
| fulltext |
УДК 517.95
МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ
Ю. А. Караджов
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: yuri.karadzhov@gmail.com
We classify matrix superpotentials that correspond to exactly solvable Schrödinger equations. We consider
potentials of a special form, Wk = kQ +
1
k
R, where k is a parameter, P and R are Hermitian matrices
depending on the variable x. A list of two-dimensional matrix potentials is explicitly given.
Приведена классификация матричных суперпотенциалов, соответствующих точно решаемым
уравнениям Шредингера. Рассмотрены суперпотенциалы специального видаWk = kQ+
1
k
R, где
k — параметр, P и R — эрмитовы матрицы, зависящие от переменной x. Список двумерных
матричных потенциалов представлен в явном виде.
На вiдмiну вiд класичної механiки у квантовiй механiцi стан системи визначається за до-
помогою хвильової функцiї, що має ймовiрнiсний характер. В нерелятивiстських гамiль-
тонових системах хвильова функцiя задовольняє рiвняння Шрьодiнгера для безспiнових
частинок або систему рiвнянь Шрьодiнгера для частинок з нетривiальним спiном.
Суперсиметрiя надає ефективний iнструмент для розв’язку таких задач. На жаль, клас
вiдомих проблем, що можуть бути розв’язанi завдяки їх суперсиметричнiй природi, є до-
сить обмеженим, тому що вони повиннi задовольняти додаткову умову форм-iнварiант-
ностi [2], яка зустрiчається не часто. В оглядi [3] наведено список вiдомих скалярних
формiнварiантних суперпотенцiалiв. Матричнi ж суперпотенцiали зустрiчались переваж-
но у виглядi окремих, хоча i досить важливих, прикладiв. Вiдомий приклад такої задачi —
задача Пронька – Строганова [4], суперсиметричнiй природi якої присвячено статтi [5, 6].
Iншi приклади суперсиметричних матричних задач можна знайти в роботах [7 – 11].
Систематичне вивчення матричних суперпотенцiалiв було розпочато в роботах [11 –
14]. В цих роботах розглянуто суперпотенцiали вигляду Wk = kQ + P +
1
k
R, де k —
параметр, P, Q та R — ермiтовi матрицi, при виконаннi однiєї з умов: або Q пропорцiй-
на одиничнiй матрицi, або R дорiвнює нулю. В статтi [15] описано бiльш широкий клас
матричних суперпотенцiалiв, але повну класифiкацiю не було проведено.
У данiй статтi будемо розглядати особливий випадок Wk = kQ +
1
k
R, що доповнює
клас суперпотенцiалiв, розглянутий у попереднiх статтях. Список двовимiрних матричних
потенцiалiв наведено в явному виглядi.
Форм-iнварiантнi спектральнi задачi. Розглянемо спектральну задачу, що описує хви-
льову функцiю
Hkψ = Ekψ, (1)
c© Ю. А. Караджов, 2013
496 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ 497
деHk — гамiльтонiан iз матричним потенцiалом,Ek таψ — вiдповiдно його власнi значен-
ня та власнi функцiї. Розв’язки ψi будемо шукати у класi квадратично-iнтегровних функ-
цiй на (−∞,∞) або (0,∞), що досить гладко прямують до нуля на кiнцях розглядуваного
промiжку.
Припустимо, що розглядуваний гамiльтонiан можна зобразити у виглядi
Hk = a†kak + ck, (2)
де ck — скалярна функцiя вiд k.
Можна обмежитись (див. доведення в [13]) операторами ak i a†k вигляду
ak =
∂
∂x
+Wk(x), a†k = − ∂
∂x
+Wk(x), (3)
де Wk — ермiтова матриця, яку називають суперпотенцiалом.
Якщо, крiм того, гамiльтонiан задовольняє умову
H+
k = Hk+1, (4)
де H+
k — суперпартнер гамiльтонiана, який визначається формулою
H+
k = aka
†
k + ck, (5)
то вiдповiдна спектральна задача називається форм-iнварiантною i може бути розв’язана
за допомогою лише алгебраїчних методiв. Метод розв’язання форм-iнварiантних спект-
ральних задач для рiвняння Шрьодiнгера можна знайти, наприклад, у [3].
Задача класифiкацiї. Сформулюємо задачу: знайти всi матричнi суперпотенцiали, що
вiдповiдають форм-iнварiантним матричним задачам i мають вигляд
Wk = kQ+
1
k
R, (6)
де матрицi Q та R не є особливими (тобто не дорiвнюють нулю та не пропорцiйнi до
одиничної матрицi).
Пiдставляючи вираз для суперпотенцiалу в рiвняння (2), (4) та розщеплюючи отрима-
не рiвняння за змiнною x та параметром k, отримуємо систему визначальних рiвнянь для
невiдомих матриць Q та R:
Q′ = Q2 + ν, (7)
R′ = 0, (8)
R2 = ω2, (9)
ck+1 − ck = (2k + 1)ν +
(2k + 1)ω2
k2(k + 1)2
. (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
498 Ю. А. КАРАДЖОВ
Бачимо, що система складається з незчеплених мiж собою рiвняння (7) для матрицi Q,
рiвнянь (8) та (9) для матрицi R та рiвняння (10) для визначення рiзницi ck+1 − ck.
Розв’язки рiвняння (7) отримано в статтi [13], де матрицю Q було зведено до дiаго-
нального вигляду
Q = diag{q1, . . . , qn} (11)
за допомогою унiтарного перетворення, що не залежить вiд змiнної x, тобто перетворен-
ня еквiвалентностi.
Рiвняння (8) та (9) для невiдомої матрицi R розглянуто у статтi [12]. Iз цих рiвнянь
випливає, що матриця R повинна бути сталою матрицею, квадрат якої пропорцiйний до
одиничної матрицi. В цiй же роботi було доведено, що за допомогою перетворень еквiва-
лентностi можна звести матрицю R до вигляду
R̃ = ω
(
Im×m 0m×s
0s×m −Is×s
)
, m+ s = n, (12)
де I та 0 — вiдповiдно одинична та нульова матрицi, розмiрнiсть яких вказано за допомо-
гою iндексiв.
Отже, спрощуючи матрицi Q та R, незалежно за допомогою перетворень еквiвалент-
ностi можна звести їх до вигляду (11) та (12) вiдповiдно. Але спрощуючи матрицю Q, ми
будемо змiнювати матрицю R i навпаки, тому одночаснi перетворення не є можливими.
Нехай спочатку за допомогою деякого перетворення еквiвалентностi ми звели ма-
трицю R до вигляду (12), при цьому матриця Q має досить загальний вигляд. Далi, нехай
унiтарна матриця U вiдповiдає перетворенню еквiвалентностi, яке дiагоналiзує матрицю
Q. Тодi найбiльш просто суперпотенцiал вигляду (6) можна задати матрицею Q вигляду
(11) та матрицею
R = UR̃U †, (13)
де матриця R̃ визначається з (12).
Зазначимо, що оскiльки ми домножуємо матрицю R на матрицю U з обох бокiв, то
замiсть унiтарної матрицi U можна використовувати спецiальну унiтарну матрицю Ũ =
= U/ detU. Крiм того, оскiльки нас цiкавлять лише незвiднi суперпотенцiали, ми повиннi
розглядати лише матрицi U , якi не мають блочно-дiагонального вигляду, iнакше розгля-
дуваний суперпотенцiал є цiлком звiдним.
Таким чином, ми звели задачу класифiкацiї матричних форм-iнварiантних суперпо-
тенцiалiв (6) до розв’язку системи звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку,
а саме, рiвнянь Рiккатi для функцiй qi, та перебору всiх спецiальних унiтарних матриць U,
якi не мають блочно-дiагонального вигляду.
Суперпотенцiали та форм-iнварiантнi потенцiали. Перейдемо до безпосереднього опи-
су суперпотенцiалiв вигляду (6). Матриця Q задається своїми дiагональними елементами
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ 499
qi, що можуть бути знайденi з рiвняння (7) i мають вигляд
qi =
− 1
x+ γi
, i = 1, . . . ,m,
0, i = m+ 1, . . . , n,
ν = 0,
qi = λ tan(λx+ γi), i = 1, . . . , n, ν = λ2 > 0, (14)
qi =
−λ tanh(λx+ γi), i = 1, . . . ,m,
−λ coth(λx+ γi), i = m+ 1, . . . , l,
±λ, i = l + 1, . . . , n,
ν = −λ2 < 0,
де γi ∈ R, i = 1, . . . , n, — сталi iнтегрування.
У випадках ν < 0 та ν = 0 матрицяQ складається з блокiв розмiруm, l−m+1, n−l+1
та m, n −m + 1 вiдповiдно. Деякi з цих блокiв можуть бути або не бути наявними, тобто
мати нульовий розмiр. У випадку, коли Q — стала матриця, потенцiал також є сталою
матрицею, тому цей випадок не розглядаємо.
Як вже зазначалося, матриця R визначається з формули (13) за допомогою спецiаль-
ної унiтарної матрицi, яка не має блочно-дiагонального вигляду.
Таким чином, ми отримали загальний вигляд матрицi Q — формулу (14) — та матрицi
R — формули (12) та (13). Вiдповiднi потенцiали можна отримати за формулою
Vk = −W ′k +W 2
k + ck. (15)
Використавши отриманi результати, наведемо список двовимiрних потенцiалiв, що
вiдповiдають суперпотенцiалам вигляду (6). Зауважимо, що для довiльної розмiрностi n
множина всiх потенцiалiв вигляду (6) рiвнопотужна множинi всiх спецiальних унiтарних
матриць розмiрностi n, якi не мають блочно-дiагонального вигляду. А тому для довiльно-
го не фiксованого n усi потенцiали не можуть бути записанi в явному виглядi, хоча для
будь-якого фiксованого значення n ця процедура є досить простою.
Домовимося, що у випадку, коли ми маємо двi сталi iнтегрування γ1 та γ2, зсунемо
незалежну змiнну x так, щоб γ1 = γ та γ2 = −γ, а у випадку, коли стала iнтегрування одна,
— так, щоб γ1 = 0. Крiм того, за допомогою додаткових перетворень еквiвалентностi
можна зробити дiйсними елементи матрицi R так, що вона буде мати вигляд
R =
(
ρ ε
ε −ρ
)
= εσ1 + ρσ3,
де ρ2 + ε2 = ω2 та ε 6= 0, а σ1 та σ3 — матрицi Паулi.
Для зручностi будемо використовувати матрицi σ+ та σ−, заданi формулами
σ+ =
(
1 0
0 0
)
=
1
2
(σ0 + σ3), σ− =
(
0 0
0 1
)
=
1
2
(σ0 − σ3).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
500 Ю. А. КАРАДЖОВ
В результатi отримаємо вiсiм нових двовимiрних потенцiалiв:
Vk =
(
ρ2
k2
− 2ρk
x+ γ
+
k(k + 1)
(x+ γ)2
)
σ+ +
(
ρ2
k2
+
2ρk
x− γ
+
k(k − 1)
(x− γ)2
)
σ− − 2εx
x2 − γ2
σ1,
Vk =
(
ρ2
k2
− 2ρk
x
+
k(k + 1)
x2
)
σ+ +
ρ2
k2
σ− − ε
x
σ1,
Vk =
((
kλ tan(λx+ γ) +
ρ
k
)2
− kλ2
cos2(λx+ γ)
)
σ++
+
((
kλ tan(λx− γ)− ρ
k
)2
− kλ2
cos2(λx− γ)
)
σ−+
+ λε (tan(λx+ γ) + tan(λx− γ))σ1,
Vk =
((ρ
k
− kλ tanh(λx+ γ)
)2
+
kλ2
cosh2(λx+ γ)
)
σ++
+
((ρ
k
+ kλ tanh(λx− γ)
)2
+
kλ2
cosh2(λx− γ)
)
σ−−
− λε (tanh(λx+ γ) + tanh(λx− γ))σ1,
Vk =
((ρ
k
− kλ coth(λx+ γ)
)2
− kλ2
sinh2(λx+ γ)
)
σ++
+
((ρ
k
+ kλ coth(λx− γ)
)2
− kλ2
sinh2(λx− γ)
)
σ−−
− λε (coth(λx+ γ) + coth(λx− γ))σ1,
Vk =
((ρ
k
− kλ tanh(λx+ γ)
)2
+
kλ2
cosh2(λx+ γ)
)
σ++
+
((ρ
k
+ kλ coth(λx− γ)
)2
− kλ2
sinh2(λx− γ)
)
σ−−
− λε (tanh(λx+ γ) + coth(λx− γ))σ1,
Vk =
((ρ
k
− kλ tanhλx
)2
+
kλ2
cosh2 λx
)
σ+ −
(ρ
k
± kλ
)
σ− − λε (tanhλx± 1)σ1,
Vk =
((ρ
k
− kλ cothλx
)2
− kλ2
sinh2 λx
)
σ+ −
(ρ
k
± kλ
)
σ− − λε (cothλx± 1)σ1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ 501
Кожен iз наведених потенцiалiв вiдповiдає рiвнянню Шрьодiнгера – Паулi, яке є iнтегров-
ним. Наскiльки вiдомо автору, цi потенцiали знайдено вперше у данiй роботi.
Висновки. У статтi дослiджуються системи рiвнянь Шрьодiнгера з матричними потен-
цiалами. Рiвняння такого типу природно виникають у задачах про взаємодiю квантово-
механiчних частинок, що мають нетривiальний дипольний момент, iз зовнiшнiм електро-
магнiтним полем. Оскiльки це є системи зчеплених рiвнянь другого порядку, знаходження
їхнiх розв’язкiв є досить складною задачею.
Проведено класифiкацiю таких систем, що можуть бути зiнтегрованi в явному виглядi
з використанням матричних перетворень Дарбу. Ця класифiкацiя обмежена спецiальним
класом суперпотенцiалiв вигляду (6), тодi як потенцiали для рiвняння Шрьодiнгера зада-
ються формулою (15). Сформульовано алгоритм побудови матричних суперпотенцiалiв
довiльної розмiрностi, а саме, задачу класифiкацiї таких суперпотенцiалiв зведено до пе-
ребору незвiдних спецiальних унiтарних матриць розмiрностi n × n. Список двовимiрних
суперпотенцiалiв наведено в явному виглядi.
Хоча клас знайдених суперпотенцiалiв є досить широким, вiн не охоплює всi форм-
iнварiантнi системи рiвнянь Шрьодiнгера. У наступних роботах буде розглянуто бiльш
загальний клас суперпотенцiалiв.
Автор висловлює подяку професору А. Г. Нiкiтiну за кориснi дискусiї.
1. Witten E. Dynamical breaking of supersymmetry // Nucl. Phys. B. — 1981. — 188, № 3. — P. 513 – 514.
2. Gendenshtein L. Derivation of exact spectra of the Schrodinger equation by means of supersymmetry // JETP
Lett. — 1983. — 38, № 6. — P. 356 – 359.
3. Cooper F., Khare A., Sukhatme U. Supersymmetry and quantum mechanics // Phys. Rep. — 1995. — 251,
№ 5 – 6. — P. 267 – 385.
4. Pron’ko G. P., Stroganov Yu. G. A new example of a quantum mechanical problem with a hidden symmetry //
Sov. Phys. JETP. — 1977. — 45, № 5. — P. 1075 – 1078.
5. Voronin A. I. Neutron in the magnetic field of a linear conductor with current as an example of the two-
dimensional supersymmetric problem // Phys. Rev. A. — 1991. — 43, № 1. — P. 29 – 34.
6. Hau L. V., Golovchenko G. A., Burns M. M. Supersymmetry and the binding of a magnetic atom to a fi-
lamentary current // Phys. Rev. Lett. — 1995. — 74, № 16. — P. 3138 – 3140.
7. Ferraro E., Messina N., Nikitin A. G. Exactly solvable relativistic model with the anomalous interaction //
Phys. Rev. A. — 2010. — 81, № 4. — 8 p.
8. Tkachuk V. M., Roy P. Motion of a spin-1/2 particle in shape invariant scalar and magnetic fields // J. Phys.
A. — 2000. — 33, № 22. — P. 4159 – 4167.
9. Andrianov A. A., Ioffe M. V., Spiridonov V. P., Vinet L. Parasupersymmetry and truncated supersymmetry in
quantum mechanics // Phys. Lett. B. — 1991. — 272, № 3 – 4. — P. 297 – 304.
10. Andrianov A. A., Cannata F., Ioffe M. V., Nishnianidze D. N. Matrix Hamiltonians: SUSY approach to hidden
symmetries // J. Phys. A. — 1997. — 30, № 14. — P. 5037 – 5050.
11. de Lima Rodrigues R., Bezerra V. B., Vaidya A. N. An application of super symmetric quantum mechanics to
a planar physical system // Phys. Lett. A. — 2001. — 287, № 1 – 2. — P. 45 – 49.
12. Nikitin A. G., Karadzhov Yu. Matrix superpotentials // J. Phys. A: Math. Theor. — 2011. — 44, № 30. — 21 p.
13. Karadzhov Yu. Matrix superpotential linear in variable parameter // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Si-
mul. — 2012. — 17, № 4. — P. 1522 – 1528.
14. Nikitin A. G., Karadzhov Yu. Enhanced classification of matrix superpotentials // J. Phys. A: Math. Theor. —
2011. — 44, № 44. — 24 p.
15. Караджов Ю. Тривимiрнi матричнi суперпотенцiали // Укр. мат. журн. — 2012. — 64, № 12. — С. 1641 –
1653.
Одержано 04.03.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
|