Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині
Найден критерий существования решений краевых задач в банаховом и гильбертовом пространствах с неограниченным оператором в линейной части. Установлены условия нормальной и обобщенной разрешимости таких задач. We find a criterion for existence of solutions of boundary-value problems in a Banach or a...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177171 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині / Є.В. Панасенко, О.О. Покутний // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 518-526. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177171 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Панасенко, Є.В. Покутний, О.О. 2021-02-11T07:45:36Z 2021-02-11T07:45:36Z 2013 Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині / Є.В. Панасенко, О.О. Покутний // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 518-526. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177171 517.9 Найден критерий существования решений краевых задач в банаховом и гильбертовом пространствах с неограниченным оператором в линейной части. Установлены условия нормальной и обобщенной разрешимости таких задач. We find a criterion for existence of solutions of boundary-value problems in a Banach or a Hilbert space, where the linear part contains an unbounded operator. We also find a condition for the problem to have a normal and a generalized solutions. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині Краевые задачи для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченным оператором в линейной части Boundary-value problems for differential equations in a Banach space with an unbounded operator in the linear part Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині |
| spellingShingle |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині Панасенко, Є.В. Покутний, О.О. |
| title_short |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині |
| title_full |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині |
| title_fullStr |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині |
| title_full_unstemmed |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині |
| title_sort |
крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині |
| author |
Панасенко, Є.В. Покутний, О.О. |
| author_facet |
Панасенко, Є.В. Покутний, О.О. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Краевые задачи для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченным оператором в линейной части Boundary-value problems for differential equations in a Banach space with an unbounded operator in the linear part |
| description |
Найден критерий существования решений краевых задач в банаховом и гильбертовом пространствах с неограниченным оператором в линейной части. Установлены условия нормальной и обобщенной разрешимости таких задач.
We find a criterion for existence of solutions of boundary-value problems in a Banach or a Hilbert space, where the linear part contains an unbounded operator. We also find a condition for the problem to have a normal and a generalized solutions.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177171 |
| citation_txt |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором у лінійній частині / Є.В. Панасенко, О.О. Покутний // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 518-526. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT panasenkoêv kraiovízadačídlâdiferencíalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorízneobmeženimoperatoromulíníiníičastiní AT pokutniioo kraiovízadačídlâdiferencíalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorízneobmeženimoperatoromulíníiníičastiní AT panasenkoêv kraevyezadačidlâdifferencialʹnyhuravneniivbanahovomprostranstvesneograničennymoperatoromvlineinoičasti AT pokutniioo kraevyezadačidlâdifferencialʹnyhuravneniivbanahovomprostranstvesneograničennymoperatoromvlineinoičasti AT panasenkoêv boundaryvalueproblemsfordifferentialequationsinabanachspacewithanunboundedoperatorinthelinearpart AT pokutniioo boundaryvalueproblemsfordifferentialequationsinabanachspacewithanunboundedoperatorinthelinearpart |
| first_indexed |
2025-11-24T19:08:27Z |
| last_indexed |
2025-11-24T19:08:27Z |
| _version_ |
1850493280068829184 |
| fulltext |
УДК 517.9
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI З НЕОБМЕЖЕНИМ ОПЕРАТОРОМ
У ЛIНIЙНIЙ ЧАСТИНI
Є. В. Панасенко
Запорiз. нац. ун-т
Україна, 69600, Запорiжжя, вул. Жуковського, 66
e-mail: innovatory@rambler.ru
О. О. Покутний
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
е-mail: lenasas@gmail.com
We find a criterion for existence of solutions of boundary-value problems in a Banach or a Hilbert space,
where the linear part contains an unbounded operator. We also find a condition for the problem to have a
normal and a generalized solutions.
Найден критерий существования решений краевых задач в банаховом и гильбертовом про-
странствах с неограниченным оператором в линейной части. Установлены условия нормаль-
ной и обобщенной разрешимости таких задач.
Крайовим задачам для диференцiальних рiвнянь як у скiнченновимiрних, так i нескiн-
ченновимiрних просторах присвячено величезну кiлькiсть робiт. Зробити повний аналiз
усiх статей неможливо. Вiдзначимо лише монографiї [1, 2], в яких розвинено теорiю ди-
ференцiальних рiвнянь у банаховому i гiльбертовому просторах як з обмеженими, так i
необмеженими операторами. Але запропонованi пiдходи застосовувались до так званих
коректних задач Кошi. Тобто встановлювались умови, за яких те чи iнше диференцiальне
рiвняння має єдиний розв’язок при довiльних неоднорiдностях. Дослiдженню некорект-
них крайових задач з обмеженими операторами у правiй частинi як у фредгольмовому,
так i нетеровому випадках присвячено монографiї [3, 4], в яких можна знайти досить де-
тальний аналiз та перелiк робiт, що стосуються крайових задач. У данiй роботi зроблено
спробу побудувати аналогiчну теорiю з необмеженими операторами у банаховому i гiль-
бертовому просторах.
1. Постановка задачi та попереднiй результат. Розглянемо у банаховому просторi B1
диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + f(t), (1)
де вектор-функцiя f(t) дiє з вiдрiзка [a; b] у банахiв простiр B1 : f(t) ∈ C ([a; b],B1) :=
:= {f(·) : [a; b] → B1, |||f ||| = supt∈[a;b] ‖f(t)‖}, C ([a; b],B1) — банахiв простiр неперерв-
них на [a; b] функцiй зi значеннями в B1; операториA(t) є замкненими з щiльною областю
визначення D(A(t)) = D ⊂ B1, яка не залежить вiд t.
c© Є. В. Панасенко, О. О. Покутний, 2013
518 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 519
Разом з операторним рiвнянням (1) розглянемо крайову умову
`x(·) = α, (2)
в якiй оператор ` є лiнiйним неперервним на [a; b], що дiє з простору C([a; b],B1) у банахiв
простiр B2 : ` : C([a; b],B1) → B2; α — елемент простору B2.
Поряд з неоднорiдною крайовою задачею (1), (2) розглянемо задачу Кошi [2, c. 237] у
трикутнику T4 : a ≤ s ≤ t ≤ b:
dx(t)
dt
= A(t)x(t), a ≤ t ≤ b, (3)
x(s, s) = x0 ∈ D, (4)
яку слiд розумiти як задачу про знаходження при кожному фiксованому s ∈ [a; b) розв’яз-
ку x(t, s) рiвняння (3) на вiдрiзку [s; b], який задовольняє задану початкову умову (4).
Наведемо означення та деякi факти з теорiї необмежених диференцiальних опера-
торiв.
Означення 1 [2]. Задача (3), (4) називається рiвномiрно коректною, якщо:
1) при кожному s ∈ [a; b] i довiльному x0 ∈ D iснує єдиний розв’язок x(t, s) рiвняння
(3) на сегментi [s; b], який задовольняє умову (4);
2) функцiя x(t, s) та її похiдна x′t(t, s) неперервнi за сукупнiстю змiнних у трикутни-
ку T4;
3) розв’язок неперервно залежить вiд початкових умов у тому сенсi, що iз збiжнос-
тi x0 ∈ D до нуля випливає рiвномiрна по t i s в T4 збiжнiсть до нуля вiдповiдних
розв’язкiв xn(t, s).
Якщо задача Кошi рiвномiрно коректна, то можна ввести лiнiйний оператор U(t, s),
a ≤ s ≤ t ≤ b, який ставить у вiдповiднiсть кожному елементу x0 ∈ D значення в точцi t
розв’язку задачi (3), (4) на вiдрiзку [s; b] :
x(t, s) = U(t, s)x0. (5)
Означення 2 [2]. Сiм’я обмежених лiнiйних операторiв {U(t, s)|t ≥ s; t, s ∈ J} у ба-
наховому просторi B1 називається сiм’єю еволюцiйних операторiв, якщо виконуються
наступнi умови:
1) U(s, s) = I, s ∈ J ;
2) U(t, τ)U(τ, s) = U(t, s), t ≥ τ ≥ s в J.
Якщо, додатково, ця сiм’я задовольняє умову
3) для будь-якого x ∈ B1 вiдображення (t, s) 7→ U(t, s)x, t ≥ s, неперервне, то гово-
рять, що U(t, s) — сiм’я сильно неперервних еволюцiйних операторiв.
Нехай задача Кошi для рiвняння (3) є рiвномiрно коректною. Тодi сiм’я лiнiйних опе-
раторiв {U(t, s), t ≥ s; t, s ∈ J}, яка визначена вище, є сильно неперервним оператором.
На областi D оператор U(t, s) сильно диференцiйовний по t i по s, причому
∂U(t, s)
∂t
= A(t)U(t, s) i
∂U(t, s)
∂s
= −U(t, s)A(s). (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
520 Є. В. ПАНАСЕНКО, О. О. ПОКУТНИЙ
При фiксованому t ≥ s оператор U(t, s) буде лiнiйним обмеженим оператором i,
оскiльки множина D є щiльною в B1, його можна розширити на весь простiр B1 за непе-
рервнiстю, що в подальшому й припускається. Розширення сiм’ї еволюцiйних операторiв
на весь простiр будемо позначати таким же чином.
Наведемо вiдому теорему Крейна, яку будемо використовувати у подальшому.
Теорема 1 [2]. Якщо задача Кошi для однорiдного рiвняння (3) рiвномiрно коректна
i оператор A(t) сильно неперервний на D(A) при a ≤ t ≤ b, то будь-який розв’язок
рiвняння (1) можна подати у виглядi
x(t, s) = U(t, s)x(s, s) +
t∫
s
U(t, τ)f(τ) dτ. (7)
Означення 3 [4]. Оператор L ∈ L(B1,B2) називається узагальнено-оборотним, як-
що iснує оператор X ∈ L(B2,B1) такий, що LXL = L. Оператор X називається уза-
гальнено-оберненим до оператора L й позначається L−.
Зауваження 1. В залежностi вiд вигляду оператора ` у крайовiй умовi (2) отримаємо
рiзнi крайовi задачi, деякi аспекти теорiї яких вивчались ранiше. Для сильно неперервної
функцiї A(t) у лiнiйнiй частинi диференцiального рiвняння (1) зi значеннями у банахово-
му просторi та нормою |||A||| = supt∈[a;b] ‖A(t)‖ < ∞ цю проблему розв’язано в роботi
[5], а задача про обмеженi розв’язки вивчалась у [6]. У випадку B1 = Rn, B2 = Rm подiб-
нi задачi розглядались у роботах [3, 4], а для злiченновимiрних нерезонансних крайових
задач — у роботi [7]. Для лiнiйних i слабконелiнiйних диференцiальних рiвнянь у банахо-
вому просторi з необмеженим оператором A(t) у лiнiйнiй частинi в роботi [10] отримано
необхiднi й достатнi умови iснування обмежених на всiй осi розв’язкiв у припущеннi, що
однорiдне рiвняння
dx(t)
dt
= A(t)x(t) є експоненцiально-дихотомiчним на обох пiвосях
R− = (−∞; 0] та R+ = [0;+∞).
2. Основний результат. Знайдемо умови iснування та структуру розв’язкiв неоднорiд-
ної крайової задачi (1), (2).
Для того щоб функцiя x(t, s) була розв’язком крайової задачi (1), (2), необхiдно, щоб
вона задовольняла крайову умову (2). Тому, пiдставивши вираз (7) у крайову умову (2),
отримаємо наступне рiвняння вiдносно елемента x(s, s) ∈ B1:
Qx(s, s) = α− `
·∫
s
U(·, τ)f(τ) dτ, (8)
де Q = `U(·, s) — оператор, отриманий пiдстановкою в крайову умову (2) вiдповiдно-
го еволюцiйного оператора U(t, s). Будемо припускати, що оператор Q : B1 → B2 є
узагальнено-оборотним [3, c. 39]. Тодi, як показано у [8], вiн є нормально розв’язним i
iснують обмеженi проектори PN(Q) : B1 → N(Q) та PY : B2 → Y, якi iндукують розбит-
тя B1 i B2 у прямi топологiчнi суми замкнених пiдпросторiв:
B1 = N(Q)⊕X,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 521
B2 = Y ⊕R(Q).
Внаслiдок нормальної розв’язностi оператора Q рiвняння (8) є розв’язним [9] тодi i
тiльки тодi, коли його права частина задовольняє умову
PN(Q∗)
α− ` ·∫
s
U(·, τ)f(τ) dτ
= 0, (9)
де PN(Q∗) — проектор на ядро оператора Q∗, спряженого до оператора Q. При виконаннi
умови (9) i тiльки при нiй операторне рiвняння (8) має множину розв’язкiв вигляду
x(s, s) = PN(Q)c+Q−
α− ` ·∫
s
U(·, τ)f(τ) dτ
. (10)
Тут c — довiльний елемент банахового простору B1; Q
− : B2 → B1 — узагальнено-
обернений оператор до оператора Q [3]. Пiдставиши x(s, s) у вираз (7), отримаємо за-
гальний розв’язок крайової задачi (1), (2) у виглядi
x(t, s, c) = U(t, s)PN(Q)c+ U(t, s)Q−α+ (G[f ])(t, s), (11)
де (G[f ])(t, s) — узагальнений оператор Грiна задачi (1), (2), який дiє на оператор-функцiю
f(t) ∈ C([a; b],B1) таким чином:
(G[f ])(t, s) :=
t∫
s
U(t, τ)f(τ) dτ − U(t, s)Q−`
·∫
s
U(·, τ)f(τ) dτ. (12)
Теорема 2. Якщо оператор Q = `U(·), що дiє з банахового простору B1 у банаховий
простiр B2, є узагальнено-оборотним, то неоднорiдна задача (1), (2) розв’язна для тих
i лише тих неоднорiдностей f(t) ∈ C([a; b],B1) та α ∈ B2, якi задовольняють умову
(9), i при цьому загальний розв’язок крайової задачi має вигляд (11).
3. Крайовi задачi у гiльбертовому просторi. В данiй частинi буде проiлюстровано ре-
зультати з попереднього пункту на крайовiй задачi у гiльбертовому просторi. За раху-
нок багатшої геометрiї основнi результати буде уточнено. Отже, будемо розглядати рiв-
няння (1), де неперервна вектор-функцiя f(t) дiє з вiдрiзка [a; b] у гiльбертовий простiр
H1 : f(t) ∈ C([a; b], H1) := {f(·) : [a; b] → H1, |||f ||| = supt∈[a;b] ‖f(t)‖}, оператори A(t)
є замкненими з щiльною областю визначення D(A(t)) = D ⊂ H1, яка не залежить вiд
t. У крайовiй умовi (2) будемо припускати, що оператор ` є лiнiйним та обмеженим на
[a; b], що дiє з простору C([a; b];H1) у гiльбертовий простiр H2, α ∈ H2. Розв’язок такого
рiвняння має також вигляд (7). Пiдставивши його у крайову умову (2), отримаємо опера-
торне рiвняння (8), яке запишемо у виглядi
Qx = g, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
522 Є. В. ПАНАСЕНКО, О. О. ПОКУТНИЙ
де x = x(s, s), g = α − `
∫ ·
s
U(·, τ)f(τ) dτ. Покажемо, що у гiльбертовому просторi рiв-
няння (13) можна зробити розв’язним у певному сенсi при довiльних неоднорiдностях у
правiй частинi. Оскiльки оператор Q є лiнiйним та обмеженим, мають мiсце такi розкла-
ди у пряму суму:
H1 = N(Q)⊕X, H2 = R(Q)⊕ Y.
Тут X = N(Q)⊥, Y = R(Q)
⊥
. Внаслiдок зображення iснують оператори ортогонального
проектування PN(Q), PX та P
R(Q)
, PY на вiдповiднi пiдпростори. Позначатимемо через H
фактор-простiр простору H1 за ядром N(Q) (H = H1/N(Q)). Тодi, як вiдомо [11], iснують
неперервна бiєкцiя p : X → H та проекцiя j : H1 → H. Трiйка (H1, H, j) є локально
тривiальним розшаруванням iз типовим шаром PN(L)H1. Визначимо тепер оператор
Q = P
R(Q)
Lj−1p : X → R(Q) ⊂ R(Q).
Легко переконатися, що визначений таким чином оператор є лiнiйним, iн’єктивним та не-
перервним. Тепер, скориставшись процесом поповнення [12] за нормою ‖x‖X = ‖Qx‖F ,
де F = R(Q), отримаємо новий простiр X i розширений оператор Q. Тодi цей оператор
Q : X → R(Q), X ⊂ X,
буде здiйснювати гомеоморфiзм мiж X та R(Q). Розглянемо розширений оператор Q =
= QPX : H1 → H2,
H1 = N(Q)⊕X, H2 = R(Q)⊕ Y.
Зрозумiло, що Qx = Qx, x ∈ H1, та оператор Q є нормально розв’язним, а отже, має
псевдообернений Q
+
, який будемо називати узагальненим псевдооберненим до операто-
ра Q.
Зауваження 2. З означення безпосередньо випливає, що узагальнений псевдообер-
нений до оператора Q є в звичайному сенсi псевдооберненим за Муром – Пенроузом до
оператора Q.
Використаємо побудований оператор при розв’язностi рiвняння (13). Будемо видiляти
такi три типи розв’язкiв.
1. Класичнi розв’язки. Якщо оператор Q є нормально розв’язним, то, як вiдомо [4],
елемент g належить R(Q) тодi й тiльки тодi, коли PN(Q∗)g = 0. В цьому випадку iснує
псевдообернений за Муром – Пенроузом оператор Q+ i множину розв’язкiв (13) можна
записати у виглядi
x = Q+g + PN(Q)c ∀c ∈ H1.
2. Сильнi узагальненi розв’язки. Розглянемо випадок, коли множина значень операто-
ра Q не є замкненою. В цьому випадку iснує розширений оператор Q й умова узагальне-
ної розв’язностi рiвняння (13) має вигляд
PN(Q
∗
)g = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 523
а вiдповiдним узагальненим розв’язком будемо називати довiльний елемент з множини
{Q+
g + PN(Q)c, c ∈ H1}.
Зауваження 3. Якщо g ∈ R(Q), то узагальнений розв’язок, визначений вище, буде
класичним узагальненим.
3. Узагальненi квазiрозв’язки. Розглянемо випадок, коли g /∈ R(Q). Для елемента
g це рiвносильно виконанню умови PN(Q
∗
)g 6= 0. В цьому випадку сильнi узагальненi
розв’язки не iснують, але iснують елементи з X такi, що є розв’язками варiацiйної задачi
inf ‖Qx − g‖H2 , де Q = QXPX та iнфiмум береться по всiх елементах x ∈ X. Множи-
на цих елементiв має вигляд {Q+
g + PN(Q)c, c ∈ H1}. Будемо називати їх узагальненими
квазiрозв’язками за аналогiєю зi звичайними квазiрозв’язками [4].
Зауваження 4. Зазначимо, що в усiх трьох випадках розв’язки мають однакове зобра-
ження, але в них вкладається рiзний сенс.
Пiдсумуємо все вищевикладене у виглядi теореми.
Теорема 3. Крайова задача (1), (2), що визначена у гiльбертових просторах, є завжди
розв’язною.
1. Iснують сильнi узагальненi розв’язки тодi й тiльки тодi, коли
PN(Q
∗
)α− PN(Q
∗
)`
·∫
s
U(·, τ)f(τ) dτ = 0;
якщо α− `
·∫
s
U(·, τ)f(τ) dτ ∈ R(Q), то розв’язки будуть класичними узагальненими.
2. Iснують узагальненi квазiрозв’язки тодi й тiльки тодi, коли
PN(Q
∗
)α− PN(Q
∗
)`
·∫
s
U(·, τ)f(τ) dτ 6= 0.
3. Узагальненi розв’язки крайової задачi (1), (2) мають вигляд
x(t, s, c) = U(t, s)PN(Q)c+ U(t, s)Q
+
α+ (G[f ])(t, s),
де
(G[f ])(t, s) =
t∫
s
U(t, τ)f(τ) dτ − U(t, s)Q
+
`
·∫
s
U(·, τ)f(τ) dτ
— узагальнений оператор Грiна крайової задачi (1), (2).
4. Приклад. Розглянемо систему (1) у просторi нескiнченних послiдовностей l2 з не-
обмеженими операторами A(t) = A, вектор-функцiєю f(t) у виглядi
A(t) = diag {2, 4, 8, 16, . . . , 2n, . . .},
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
524 Є. В. ПАНАСЕНКО, О. О. ПОКУТНИЙ
f(t) = col (f1(t), f2(t), . . . , fn(t), . . .)
i крайовою умовою (2) вигляду `x(·) = Mx(0)−Nx(1) = α, де
M = diag {3, 1, 3, 1, . . . , 3, 1, . . .},
N = diag
{
e−2, e−4, e−8, e−16, . . . , e−2
n
, . . .
}
,
α = col {α1, α2, . . . , αn, . . .} ∈ `2; αi = const, i = 1,∞.
Легко переконатися, що так визначений оператор дiйсно є необмеженим. В якостi облас-
тi визначення оператора A розглянемо множину неперервних вектор-функцiй
D(A) =
{
x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t), . . .) ∈ l2, t ∈ [0, 1] :
sup
t∈[0,1]
+∞∑
i=1
e4
i
x2i (t) < ∞
}
⊂ C([0, 1]; l2).
Ця множина є щiльною в C([0, 1]; l2) (оскiльки мiстить довiльнi вектор-функцiї, що ма-
ють скiнченну кiлькiсть ненульових координат). Розв’язок даної задачi будемо шукати
у виглядi злiченновимiрного вектора-стовпчика x(t) = col {x1(t), x2(t), . . . , xn(t), . . .} ∈
∈ C([0; 1], `2).
Еволюцiйний оператор задачi має вигляд
U(t, 0) = diag
{
e2t, e4t, e8t, e16t, . . . , e2
nt, . . .
}
.
Обернений до U(t, 0) оператор
U−1(t, 0) = diag
{
e−2t, e−4t, e−8t, e−16t, . . . , e−2
nt, . . .
}
,
Q = M −NU(1, 0) = diag {2, 0, 2, 0, . . . , 2, 0, . . .},
Q− =
1
2
diag {1, 0, 1, 0, . . . , 1, 0, . . .}.
Проектори вiдповiдно дорiвнюють
PN(Q) = I −Q−Q = diag {0, 1, 0, 1, . . . , 0, 1, . . .},
PN(Q∗) = I −QQ− = diag {0, 1, 0, 1, . . . , 0, 1, . . .}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 525
Умова розв’язностi (9) для даної задачi набирає вигляду
α2 =
1∫
0
e4f2(τ)
e4τ
dτ,
α4 =
1∫
0
e16f4(τ)
e16τ
dτ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
α2k =
1∫
0
e2kf2k(τ)
e2kτ
dτ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
При знайдених α2, α4, . . . , α2k, . . . , k ∈ N, i довiльних α1, α3, . . . , α2k−1, . . . , k ∈ N, та
f(t) ∈ C([0; 1], `2) задача має злiченну кiлькiсть лiнiйно незалежних розв’язкiв у вигля-
дi (11):
x(t, 0, c) = diag {0, e4t, 0, e16t, . . . , 0, e22kt, . . .}c+
+
1
2
diag {e2t, 0, e8t, 0, . . . , e22k−1t, 0, . . .}α+ (G[f ])(t, 0) ∀c ∈ `2,
або
x(t, 0, c) = diag {0, e4t, 0, e16t, . . . , 0, e22kt, . . .} c+
+
1
2
diag {e2t, 0, e8t, 0, . . . , e22k−1t, 0, . . .}α+
+ col
t∫
0
e2tf1(τ)dτ
e2τ
,
t∫
0
e4tf2(τ)dτ
e4τ
,
t∫
0
e8tf1(τ)dτ
e8τ
,
t∫
0
e16tf2(τ)dτ
e16τ
, . . . ,
t∫
0
e2
ktfk(τ)dτ
e2kτ
, . . .
+
+ col
1∫
0
e2tf1(τ)dτ
2e2τ
, 0,
1∫
0
e8tf1(τ)dτ
2e8τ
, 0, . . . ,
1∫
0
e2
2k−1tfk(τ)dτ
2e22k−1τ
, 0, . . .
,
де k ∈ N.
1. Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.:
Наука, 1970. — 534 с.
2. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. —
464 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
526 Є. В. ПАНАСЕНКО, О. О. ПОКУТНИЙ
3. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с.
4. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
5. Бойчук О. А., Панасенко Є. В. Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi //
Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 1. — С. 16 – 19.
6. Бойчук А. А., Покутний А. А. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в
банаховом пространстве // Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 1. — P. 3 – 14.
7. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. — Киев: Ин-т
математики НАН Украины, 1993. — 308 с.
8. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
9. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 496 с.
10. Pokutnyi A. A. Bounded solutions of linear and weakly nonline differential equations in a Banach space with
an unbounded operator in the linear part // Different. Equat. — 2012. — 48, № 6. — P. 803 – 813.
11. Антоневич А. Б. Расслоенные пространства и К-теория: первые шаги // Спектральные и эволюцион-
ные задачи. — 2010. — 20. — С. 14 – 51.
12. Klyushin D. A., Lyashko S. I., Nomirovskii D. A., Petunin Yu. I., Semenov V. V. Generalized solutions of operator
equations and extreme elements. — Springer, 2012. — 202 p.
Одержано 17.04.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
|