Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу
Рассматривается натуральная лагранжева система, описывающая движение твердого тела
 под действием суперпозиции двух потенциальных силовых полей. Первое поле стационарно и
 имеет квадратичный потенциал, а потенциал второго — пространственно линеен и квазипериодически зависисит от врем...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177182 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу / I.О. Парасюк // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 99-115. — Бібліогр.: 33 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860268066569453568 |
|---|---|
| author | Парасюк, I.О. |
| author_facet | Парасюк, I.О. |
| citation_txt | Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу / I.О. Парасюк // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 99-115. — Бібліогр.: 33 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Рассматривается натуральная лагранжева система, описывающая движение твердого тела
под действием суперпозиции двух потенциальных силовых полей. Первое поле стационарно и
имеет квадратичный потенциал, а потенциал второго — пространственно линеен и квазипериодически зависисит от времени. Установлены достаточные условия, при выполнении которых такая система имеет классическое гиперболическое квазипериодическое решение, локально минимизирующее усредненный по времени лагранжиан.
The paper deals with a natural Lagrangian system which governs the motion of a rigid body under the action of superposition of two potential force fields. The first one is a stationary field with quadratic potential,
and the potential of the second one is space-linear and quasiperiodically dependend on time. We find
sufficient conditions under which such a system has a classical hyperbolic quasiperiodic solution locally
minimizing the time-averaged Lagrangian.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:03:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ВИМУШЕНI КОЛИВАННЯ ТВЕРДОГО ТIЛА
В ПОЛI КВАДРАТИЧНОГО ПОТЕНЦIАЛУ*
I. О. Парасюк
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
просп. Акад. Глушкова, 4, Київ, 03680, Україна
e-mail: pio@univ.kiev.ua,
ioparasyuk@gmail.com
The paper deals with a natural Lagrangian system which governs the motion of a rigid body under the acti-
on of superposition of two potential force fields. The first one is a stationary field with quadratic potential,
and the potential of the second one is space-linear and quasiperiodically dependend on time. We find
sufficient conditions under which such a system has a classical hyperbolic quasiperiodic solution locally
minimizing the time-averaged Lagrangian.
Рассматривается натуральная лагранжева система, описывающая движение твердого тела
под действием суперпозиции двух потенциальных силовых полей. Первое поле стационарно и
имеет квадратичный потенциал, а потенциал второго — пространственно линеен и квазипе-
риодически зависисит от времени. Установлены достаточные условия, при выполнении кото-
рых такая система имеет классическое гиперболическое квазипериодическое решение, локаль-
но минимизирующее усредненный по времени лагранжиан.
1. Вступ. Квазiперiодичнi розв’язки систем диференцiальних рiвнянь є одним iз важливих
об’єктiв дослiдження нелiнiйної динамiки [1 – 3]. У цiй роботi дослiджується задача iсну-
вання квазiперiодичних розв’язкiв системи, що описує рухи твердого тiла в евклiдовому
просторi E3 пiд дiєю суперпозицiї потенцiальних полiв двох типiв. Поле першого типу
стацiонарне i визначається квадратичним „гравiтацiйним потенцiалом”
Φ1(x) =
1
2
Bx · x + g · x,
де B : E3 7→ E3 — невироджений знаковизначений оператор, g ∈ E3 — сталий вектор,
а крапкою позначено операцiю скалярного добутку в E3. Такий потенцiал виникає як
апроксимацiя ньютонiвського гравiтацiйного потенцiалу, створеного вiддаленими тiлами
[4 – 8]. Друге поле — квазiперiодичне за часом t i породжене просторово лiнiйним потен-
цiалом
Φ2(t,x) = −F(tω) · x,
де F(·) : Tk 7→ E3 — гладке вiдображення k-вимiрного тора Tk := Rk/2πZk, а ω ∈ Rk —
вектор частот з рацiонально незалежними компонентами. Це поле можна iнтерпретува-
ти як просторово однорiдне змiнне в часi електричне поле, яке дiє на заряди, розподiленi в
тiлi. Без обмеження загальностi мiркувань вважаємо, що вiдображення F(·) має нульове
∗ Виконано за пiдтримки МОН України (проект № 0116U004752).
c© I. О. Парасюк, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 99
100 I. О. ПАРАСЮК
середнє
F̄ := (2π)−k
∫
Tk
F(ϕ)dϕ = 0,
оскiльки ненульове середнє можна вважати врахованим у векторi g. Описана механiчна
система є натуральною лагранжевою системою, конфiгурацiйним простором якої є R3 ×
×SO(3).
Природно виникає питання про iснування в такiй системi вимушених квазiперiодич-
них коливань з вектором частот ω. Вiдомо [6, 7], що у випадку F ≡ 0 ця система є iнтег-
ровною, тому для розв’язання сформульованої задачi в рамках теорiї збурень (‖F‖ � 1)
можна застосувати апарат КАМ-теорiї (див., наприклад, [1, 9]). Однак при такому пiдходi
доводиться накладати жорсткi умови на мализну збурення, а також дiофантовi умови не-
сумiрностi на вектор частот. Зазначимо, що методами КАМ-теорiї квазiперiодичнi рухи
твердого тiла дослiджувалися, зокрема, в [10, 11].
Поза рамками теорiї збурень задача iснування узагальнених та класичних майже перi-
одичних (зокрема, квазiперiодичних) розв’язкiв лагранжевих систем в евклiдовому про-
сторi вивчалася багатьма авторами за допомогою варiацiйних методiв, методiв опукло-
го аналiзу та методiв теорiї монотонних операторiв. Вiдповiднi результати та посилання
можна знайти, наприклад, у [12 – 26]. У роботах [27 – 29] розглядалася натуральна лагран-
жева система на рiмановому многовидiM з рiмановою метрикою 〈·, ·〉 .Для такої системи
було встановлено достатнi умови iснування узагальнених квазiперiодичних за Безiкови-
чем розв’язкiв, якi є екстремалями усередненого лагранжiана
L̄[x(·)] := lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
[
〈ẋ(t), ẋ(t)〉
2
−Π(t, x(t))
]
dt, (1)
де Π(·, ·) : R × M 7→ R — потенцiальна енергiя, що квазiперiодично залежить вiд часу.
У [28] позитивну вiдповiдь на питання про те, чи є цi розв’язки класичними, було отри-
мано лише для систем на рiманових многовидах недодатної кривини. В [30, 31] вiд вимоги
недодатностi кривини вдалося вiдмовитися, наклавши жорсткiшi умови монотонностi до-
слiджуваної системи.
У [29] дослiджувалася, зокрема, задача про вимушенi квазiперiодичнi коливання сфе-
ричного маятника — лагранжевої натуральної механiчної системи, конфiгурацiйним про-
стором якої є сфера
S2 :=
{
x = (x1, x2, x3) : x2
1 + x2
2 + x2
3 = 1
}
,
а власна потенцiальна енергiя та потенцiальна енергiя квазiперiодичного зовнiшнього
збудження вiдповiдно мають вигляд
Π0(x) = g · (x3 − 1), Π1(t,x) = a(tω)
3∑
i=1
bixi,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ВИМУШЕНI КОЛИВАННЯ ТВЕРДОГО ТIЛА . . . 101
де g = const > 0, bi = const, b3 > 0,
a(·) : ∈ C∞
(
Tk 7→R
)
, max
ϕ∈Tk
|a(ϕ)| = 1,
∫
Tk
a(ϕ) dϕ = 0.
Було показано, що нерiвнiсть g ≥ 2, 42 max
{√
b21 + b22, b3
}
+ b3 гарантує iснування виму-
шених квазiперiодичних коливань x = x∗(tω), де вiдображення x∗(·) : C
(
Tk 7→ S2
)
набу-
ває значень у „верхнiй” пiвсферi S2∩
{
x ∈ R3 : x3 ≥ 0
}
, причому функцiя t 7→ x∗(tω) мiнi-
мiзує вiдповiдний усереднений лагранжiан вигляду (1), де Π = Π0+Π1.У [31] встановлено
умови iснування експоненцiально дихотомiчного квазiперiодичного розв’язку системи,
що описує рух зарядженої частинки по одиничнiй сферi пiд впливом суперпозицiї трьох
силових полiв: поля кулонiвського потенцiалу, квазiперiодичних у часi електричного та
магнiтного полiв.
У цiй роботi ми одержимо аналогiчнi результати щодо динамiки твердого тiла в полi
потенцiалу Φ1(x)+Φ2(tω,x). Неважко переконатися в тому (див. наведене нижче тверд-
ження 1), що рух твердого тiла в полi такого потенцiалу є суперпозицiєю двох рухiв:
руху його центра iнерцiї t 7→ r(t) ∈ R3 та обертального руху навколо центра iнерцiї
t 7→ R(t) ∈ SO(3). Ми покажемо (теорема 1), що при виконаннi низки умов iснує квазiпе-
рiодичний обертальний рух твердого тiла, що описується гiперболiчним квазiперiодич-
ним розв’язком лагранжевої системи на многовидi версорiв (кватернiонiв, модуль яких
дорiвнює 1). Цей розв’язок у класi квазiперiодичних функцiй iз частотним базисом ω є
екстремаллю усередненого лагранжiана обертальних рухiв
L̄rot[R(·)] := lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
[
Krot(Ṙ(t))−Πrot(t, R(t))
]
dt, (2)
де Krot(·) : TSO(3) 7→ R+ та Πrot(·, ·) : R×SO(3) — кiнетична та потенцiальна енергiї обер-
тального руху тiла навколо його центра iнерцiї. Гiперболiчнiсть розв’язку означає, що
система у варiацiях вiдносно нього є експоненцiально дихотомiчною на всiй часовiй осi.
Зазначимо, що умови теореми 1 пов’язують мiж собою певну характеристику опуклостi
потенцiальної енергiї, моменти iнерцiї тiла, власнi числа оператора B, рiманову секцiй-
ну кривину многовиду версорiв, надiленого лiвоiнварiантною метрикою, асоцiйованою з
Krot, та амплiтуду „електричного” поля.
2. Лагранжiан системи у кватернiонних параметрах Родрiга – Гамiльтона. Для опису
руху тiла скористаємося кватернiонними параметрами Родрiга – Гамiльтона (див., наприк-
лад, [7, 8]). Нехай H — тiло кватернiонiв, {ek}3k=0 — базис в H, елементи якого характери-
зуються рiвностями
e0ek = eke0 = ek, e2
0 = e0, e2
k = −e0, k = 1, . . . , 3,
e1e2 = e3, e2e3 = e1, e3e1 = e2.
Умовимося довiльний кватернiон q =
∑3
k=0 qkek записувати у виглядi
q = q0 + q, q :=
3∑
k=1
qkek,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
102 I. О. ПАРАСЮК
суто уявний кватернiон q називати вектором, для спряженого до q кватернiона викори-
стовувати позначення q∗ := q0 − q, а через |q| :=
√
qq∗ =
√∑3
k=0 q
2
k позначати мо-
дуль кватернiона q. Кватернiон q є вектором тодi i лише тодi, коли q∗ = −q. Вiдомо,
що |pq| = |p| |q| (див., наприклад, [32]). Домовимося також використовувати позначення
a · b := −1
2
(ab + ba), a× b :=
1
2
(ab− ba)
для скалярного та векторного добутку векторiв a,b вiдповiдно. Тодi
ab = −a · b + a× b. (3)
Простiр векторiв природно ототожнювати з евклiдовим простором E3, надiленим крiм
скалярного добутку · векторним добутком ×.
Нагадаємо, що елементи множини H1 := {q ∈ H : |q| = 1} , дифеоморфної 3-сферi S3,
називають версорами. Вони характеризуються властивiстю q−1 = q∗ i утворюють групу
вiдносно операцiї добутку, iзоморфну групi SU(2), яка є унiверсальним дволистим накрит-
тям групи SO(3). Для кожного версора q вiдповiднiсть
a 7→ Q(q)a := qaq∗
визначає ортогональне перетворення простору E3, а вiдображення
Q(·) : H1 7→ SO(3)
є гомоморфiзмом, причому Q(p) = Q(q) тодi й лише тодi, коли p = ±q (див., наприклад,
[32]). Очевидно, що
Q(q)a ·Q(q)b = a · b, Q(q)a×Q(q)b = Q(q)(a× b).
Нехай q̇ ∈ TqH1 — дотичний вектор (вектор миттєвої швидкостi) кривої на H1, випу-
щеної з точки q. З рiвностей
d
dt
∣∣∣∣
t=0
(q∗q) = q∗q̇ + q̇∗q = 0, (q∗q̇)∗ = q̇∗q = −q∗q̇ випливає,
що
Ω = Ω(q̇) := 2q∗q̇ (4)
є суто уявним кватернiоном, який називають вектором кутової швидкостi. Легко перевi-
ряються використовуванi в подальшому рiвностi
d
dt
∣∣∣∣
t=0
Q(q)a = Q(q)(Ω(q̇)× a), (5)
d
dt
∣∣∣∣
t=0
Q−1(q)a =
[
Q−1(q)a
]
×Ω(q̇). (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ВИМУШЕНI КОЛИВАННЯ ТВЕРДОГО ТIЛА . . . 103
Вiльне тверде тiло трактуємо як континуальну систему точок iз голономними в’язями,
заданими рiвнянням
x = Q(q)y + r
у нерухомому просторi E3. Тут вектори y пробiгають замкнену область D̄ рухомого про-
стору, жорстко зв’язаного з тiлом, i, отже, „нумерують” точки тiла, не змiнюючись у про-
цесi руху; вектор r ∈ E3 визначає положення центра iнерцiї тiла у нерухомому просторi;
ортогональне перетворення R = Q(q), де q ∈ H1, визначає орiєнтацiю тiла у просторi.
Таким чином, пара (q, r) вiдiграє роль параметрiв в’язi — узагальнених координат. З
урахуванням формули (5) миттєву швидкiсть точки тiла з „номером” y можна подати у
виглядi
ẋ == Q(q) (Ω× y) + ṙ.
Нехай µ(·) : D̄ 7→ R+ та ρ(·) : D̄ 7→ R+ — функцiї, якi визначають щiльнiсть розподiлiв
у тiлi вiдповiдно маси i „зарядiв”.
Початок координат у рухомому просторi, жорстко зв’язаному з тiлом, виберемо в
центрi iнерцiї. Тодi
∫
µ(y)ydy = 0, i завдяки цьому кiнетична енергiя розпадається в
суму двох незалежних доданкiв
K (Ω, ṙ) = K0(Ω) +K1(ṙ),
K0(Ω) =
1
2
∫
D̄
µ(y)
∣∣∣∣ ddtQy
∣∣∣∣2 dy =
1
2
∫
D̄
µ(y) |Ω× y|2 dy =:
1
2
IΩ ·Ω,
K1(ṙ) =
m|ṙ|2
2
,
де I : E3 7→ E3 — оператор iнерцiї, m =
∫
D̄
µ(y)dy — маса тiла.
З оператором iнерцiї пов’яжемо лiвоiнварiантний скалярний добуток (лiвоiнварiант-
ну метрику) 〈·, ·〉 на H1, який на довiльнiй парi дотичних векторiв ξ, η ∈ TqH1 набуває
значення
〈ξ, η〉 = IΩ(ξ) ·Ω(η) = 4(Iq∗ξ) · q∗η
i визначає на H1 структуру рiманова многовиду. Зокрема, для пари лiвоiнварiантних век-
торних полiв ξa(q) = qa, ξb(q) = qb маємо
〈ξa(q), ξb(q)〉 := 4 (Iq∗ξa(q)) · (q∗ξb(q)) = 4Ia · b := 〈a,b〉 .
Тепер в E3 поряд з | · | виникає ще одна норма ‖ · ‖, визначена рiвнiстю ‖a‖ =
√
‖a,a‖.
Якщо I1, I2, I3 — власнi числа оператора I, записанi в порядку спадання, то цi двi норми
задовольняють очевиднi нерiвностi
2
√
I3|a| ≤ ‖a‖ ≤ 2
√
I1|a|, 2
√
I3|a| |b| ≤ ‖a× b‖ ≤ 2
√
I1|a| |b|.
При обчисленнi силової функцiї без обмеження загальностi вважатимемо, що g = 0.
Справдi, внаслiдок перетворення x 7→ x−B−1g перший потенцiал набуде вигляду Φ1(x) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
104 I. О. ПАРАСЮК
=
1
2
Bx · x + const, а другий отримає незалежний вiд x прирiст. Обома незалежними вiд
x доданками в потенцiалах можна знехтувати, оскiльки вони не впливають на рiвняння
руху. Крiм того, без обмеження загальностi мiркувань далi вважаємо, що власним орто-
базисом симетричного оператора B вiдносно скалярного добутку · є початковий базис
{ek}3k=1, а отже, Bek = bkek, де b1, b2, b3 — власнi числа оператора B.
Введемо ще один симетричний оператор J : E3 7→ E3, асоцiйований iз квадратичною
формою
Ja · a :=
∫
D
µ(y)|a · y|2dy.
Беручи до уваги (3), отримуємо
|a|2
∫
D
µ(y)|y|2dy =
∫
D
µ(y)|ay|2dy =
∫
D
µ(y) |−a · y + a× y|2 dy = Ja · a + Ia · a.
Якщо {fk}3k=1 — власний ортобазис оператора J, то, розклавши y =
∑3
k=1 ykfk, знайдемо
власнi числа i слiд оператора J :
Jk =
∫
D
µ(y)y2
kdy, tr J =
∫
D
µ(y)|y|2dy.
Таким чином, J + I = tr J · Id, звiдки tr I = 2trJ.
Позначимо
ek(q) := Q−1(q)ek ≡ q∗ekq. (7)
Потенцiальна енергiя обертального руху тiла Πrot(·, ·) : R × SO(3) 7→ R визначає силову
функцiю на H1 вигляду
−Πrot(t, Q(q)) = V (q) + W̃ (tω, q),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ВИМУШЕНI КОЛИВАННЯ ТВЕРДОГО ТIЛА . . . 105
де
V (q) := −1
2
∫
D
[µ(y)BQ(q)y ·Q(q)y] dy =
= −1
2
∫
D
µ(y)
[
B
3∑
k=1
(Q(q)y · ek) ek
]
·
[
3∑
k=1
(Q(q)y · ek) ek
]
dy =
= −1
2
3∑
k=1
bk
∫
D
µ(y)
(
Q−1(q)ek · y
)2
dy =
= −1
2
3∑
k=1
bkJek(q) · ek(q) =
1
2
3∑
k=1
bkIek(q) · ek(q)−
[
1
4
trB · tr I
]
=
=
1
8
3∑
k=1
bk ‖ek(q)‖2 −
[
1
4
trB · tr I
]
(останнiй вираз у квадратних дужках, який не впливає на рiвняння руху, у подальшому
задля досягнення рiвностi V (1) = 0 буде замiнено на
1
2
tr(BI)),
W̃ (ϕ, q) := Q(q)z · F(ϕ), z :=
∫
D
ρ(y)ydy. (8)
Силова функцiя поступального руху має вигляд −Πtra(t, r) = Ŵ (tω, r), де
Ŵ (ϕ, r) = −m
2
Br · r + %F(ϕ) · r, % :=
∫
D
ρ(y)dy.
Отже, приходимо до висновку, що, як i у випадку F ≡ 0, розглянутому в [6], має мiсце
таке твердження.
Твердження 1. Рух вiльного твердого тiла в полi з потенцiалом Φ(t,x) = Φ1(x) +
+Φ2(t,x) є суперпозицiєю двох рухiв: поступального руху t 7→ r(t), при якому залеж-
нiсть радiуса-вектора центра iнерцiї тiла вiд часу описується розв’язком лiнiйної сис-
теми
r̈ +Br =
%
m
F(tω), (9)
та обертального руху t 7→ R(t) = Q(q(t)) навколо центра iнерцiї тiла, де вiдображення
q(·) : R 7→ H1 задовольняє лагранжеву систему на H1 з лагранжiаном
Lrot =
1
2
IΩ(q̇) ·Ω(q̇) + V (q) + W̃ (tω, q).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
106 I. О. ПАРАСЮК
Тут I — оператор iнерцiї тiла, V (q) :=
1
8
∑3
k=1 bk‖ek(q)‖2−
1
2
tr(IB), де b1, b2, b3 — власнi
числа оператора B, а Ω(q̇), ek(q) та W̃ (ϕ, q) даються формулами (4), (7) та (8).
3. Теорема iснування квазiперiодичного розв’язку. Вище ми припустили, що оператор
B є знаковизначеним. Якщо вiн вiд’ємно визначений, то, як вiдомо, система (9) має єди-
ний обмежений на всiй дiйснiй осi розв’язок, i цей розв’язок квазiперiодичний iз базисним
частотним вектором ω. Якщо ж B додатно визначений, то iснування квазiперiодичних
розв’язкiв системи (9) залежить вiд обмеженостi iнтегралiв
t∫
0
e±i
√
bksF(sω) · ekds,
а отже, вiд арифметичних властивостей чисел
√
bk та компонент вектора ω (див., наприк-
лад, [3]).
Для встановлення умов iснування квазiперiодичного розв’язку системи з лагранжiа-
номLrot ми скористаємося теоремою 2 [30] та теоремою 5 [31]. У розглядуваному випадку
рiвняння руху мають вигляд лагранжевої системи на рiмановому многовидi (H1, 〈·, ·〉):
∇q̇ q̇ = ∇V (q) +∇W̃ (tω, q) =: f(tω, q). (10)
Тут ∇ — зв’язнiсть Левi – Чивiти на H1, асоцiйована з лiвоiнварiантною метрикою 〈·, ·〉 ,
∇V (·) та∇W̃ (ϕ, ·) — градiєнти функцiй V (·) та W̃ (ϕ, ·) вiдповiдно. ЧерезHV (·) таHW̃ (ϕ, ·)
позначимо вiдповiдно гессiани зазначених функцiй. Квазiперiодичний розв’язок системи
(10) шукатимемо в певним чином визначенiй зв’язнiй компонентi пiдрiвневої множини
функцiї V (·), яка (множина) мiстить точку p локального мiнiмуму функцiї V (·). Така точ-
ка iснує внаслiдок компактностi многовиду H1. Оскiльки перетворення параметрiв ви-
гляду q 7→ pq не змiнює лiвоiнварiантну метрику 〈·, ·〉 , то далi без обмеження загальнос-
тi мiркувань вважатимемо, що p = 1. Знайдемо умови, якi гарантують, що ця точка є
невиродженою точкою локального мiнiмуму функцiї V (·), тобто гессiан HV (1) додатно
визначений. Уведемо позначення для найменшого з власних значень гессiана HV (q):
λV (q) := min {〈HV (q)qa, qa〉 : ‖a‖ = 1} .
Твердження 2. Якщо числа b1, b2, b3 попарно рiзнi, то точка q = 1 є стацiонарною
для функцiї V (·) : H1 7→ R тодi й лише тодi, коли репер {ek}3k=1 утворює власний базис
оператора I :
Iek = Ikek, k = 1, 2, 3. (11)
Якщо до того ж справджуються нерiвностi
I1 > I2 > I3, b1 < b2 < b3, (12)
то в точцi q = 1 гессiан функцiї V (·) додатно визначений, причому
λV (1) = min
1≤i<j≤3
{
(bj − bi)(Ii − Ij)
Ik
, k 6= i, j
}
> 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ВИМУШЕНI КОЛИВАННЯ ТВЕРДОГО ТIЛА . . . 107
Доведення. Формула (6) при a = ek набирає вигляду
d
dt
∣∣∣∣
t=0
ek(q) = ek(q)×Ω(q̇).
З урахуванням цiєї рiвностi маємо
〈∇V (q), q̇〉 =
3∑
k=1
bkIek(q) · [ek(q)×Ω(q̇)] ,
i умовою стацiонарностi точки q = 1 є рiвнiсть
3∑
k=1
bkIkek · (ek × a) ≡
3∑
k=1
(bkIkek × ek) · a = 0 ∀a ∈ E3 ' T1H1.
Неважко перевiрити, що звiдси й випливають рiвностi (11) за умови, що числа b1, b2, b3
попарно рiзнi.
Далi, нехай t 7→ q(t) — геодезична лiвоiнварiантної метрики 〈·, ·〉 на H1, проведена з
точки q. За означенням уздовж геодезичної справджується рiвнiсть ∇q̇ q̇ = 0, яку можна
записати у виглядi рiвняння Ейлера [1]
d
dt
Ω(q̇) = I−1 [IΩ(q̇)×Ω(q̇)] . (13)
Тодi
d
dt
〈∇V (q), q̇〉 = 〈∇q̇∇V (q), q̇〉 =
3∑
k=1
bk {I [ek(q)×Ω(q̇)] · [ek(q)×Ω(q̇)] +
+Iek(q) · [ek(q)×Ω(q̇)]×Ω(q̇) + Iek(q) · ek(q)× I−1 (IΩ(q̇)×Ω(q̇))
}
.
Поклавши тут q̇ = ξa(q) := qa та взявши до уваги, що Ω(qa) = 2a, дiстанемо
〈HV (q)ξa(q), ξa(q)〉 = 〈∇qa∇V (q), qa〉 =
3∑
k=1
bk
[
‖ek(q)× a‖2 + 〈ek(q), (ek(q)× a)× a〉+
+
〈
ek(q), ek(q)× I−1(Ia× a)
〉 ]
або, якщо скористатися рiвнiстю (ek(q)× a)× a = (ek(q) · a)a− |a|2ek(q),
〈HV (q)ξa(q), ξa(q)〉 =
3∑
k=1
bk
[
‖ek(q)× a‖2 + (ek(q) · a) 〈ek(q),a〉 − |a|2 ‖ek(q)‖2
]
+
+
3∑
k=1
bk
〈
ek(q), ek(q)× I−1(Ia× a)
〉
. (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
108 I. О. ПАРАСЮК
Далi, розклавши a =
∑3
i=1 aiei, знайдемо
3∑
k=1
bk ‖ek × a‖2 = 4
[
(b2I3 + b3I2)a2
1 + (b1I3 + b3I1)a2
2 + (b1I2 + b2I1)a2
3
]
,
3∑
k=1
bk(ek · a) 〈ek,a〉 = 4
3∑
k=1
bkIka
2
k,
3∑
k=1
bk
〈
ek, ek × I−1(a× Ia)
〉
= 0,
3∑
k=1
bk ‖ek‖2 = 4
3∑
k=1
bkIk,
а тодi з (14) одержимо
〈HV (1)ξa(1), ξa(1)〉 = 4
∑
1≤i<j≤3
k 6=i,j
(bi − bj)(Ij − Ii)a2
k =
= 4
∑
1≤i<j≤3
k 6=i,j
I−1
k (bi − bj)(Ij − Ii)
(√
Ikak
)2
. (15)
Звiдси, оскiльки виконується рiвнiсть ‖a‖2 = 4
∑3
k=1
(√
Ikak
)2
, випливає формула для
λV (1).
Твердження 2 доведено.
Зауваження 1. На пiдставi доведеного можна дiйти висновку, що при зроблених при-
пущеннях функцiя V (·) має принаймнi шiсть стацiонарних точок. Усi вони невиродже-
нi, тобто морсiвськi, i серед них є точки всiх iндексiв вiд 0 до 3. Щоб обчислити значен-
ня 〈∇qa∇V (q), qa〉 у вiдповiднiй стацiонарнiй точцi p, достатньо у формулi (15) викона-
ти замiну bi 7→ bπ(i), bj 7→ bπ(j), де π : {1, 2, 3} 7→ {1, 2, 3} — перестановка, асоцiйо-
вана зi стацiонарною точкою, а саме, ei(p) = σieπ(i), де числа σi ∈ {+1,−1} такi, що
(e1(p)× e2(p)) · e3(p) = +1.
Уведемо позначення Dv, де v > 0, для тiєї зв’язної компоненти пiдрiвневої множини
V −1([0, v)), яка мiстить точку q = 1 (нагадаємо, що V (1) = 0), i визначимо функцiю
l(v) := min {λV (q) : q ∈ ∂Dv} . (16)
Оскiльки l(0) = λV (1) > 0, то для достатньо малих додатних значень v функцiя l(v)
набуває додатних значень, однак знайдеться таке найменше значення v∗ > 0,що l(v∗) = 0
(у противному разi функцiя V (·) не мала б жодної точки максимуму, а це неможливо через
компактнiсть H1). Очевидно, що
v∗ = sup {v > 0: l(s) > 0 ∀s ∈ [0, v)} . (17)
Достатнi умови iснування гiперболiчного квазiперiодичного розв’язку лагранжевої систе-
ми на H1 з лагранжiаном Lrot встановлює така теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ВИМУШЕНI КОЛИВАННЯ ТВЕРДОГО ТIЛА . . . 109
Теорема 1. Нехай виконуються нерiвностi (12). Покладемо
L := max {〈HV (q)qa, qa〉 : q ∈ cl (Dv∗) , ‖a‖ = 1} ,
K∗ :=
(I1 − I2)2 + [2(I1 + I2)− 3I3] I3
4I1I2I3
,
J :=
[
1√
I3
+
√
I3
2
max
1≤i<j≤3
{
Ii − Ij
Ik
√
IiIj
: k 6= i, j
}]
i для кожного числа K > 0 визначимо
cK := max {c ∈ [0, v∗] : l(v) ≥ (c− v)K ∀v ∈ [0, v∗]} ,
де l(v) i v∗ взято з (16) та (17) вiдповiдно. Якщо знайдеться K ≥ K∗ таке, що
|z| |F(ϕ)|/
√
I3 < ε := min
{
cK
√
K,
2Jc2
KK
L+ 2J2cK
}
∀ϕ ∈ Tk,
то у тiй зв’язнiй компонентi множини V −1([0, cK ]), яка мiстить точку q = 1, система
(10) має єдиний квазiперiодичний розв’язок i цей розв’язок гiперболiчний.
Доведення. Для встановлення iснування квазiперiодичного розв’язку скористаємося
теоремою 5 з [31]. З цiєю метою потрiбно видiлити область D ⊂ H1 i побудувати функ-
цiю U(·) : H1 7→ R так, щоб вони задовольняли умови:
А) межа ∂D областi D є гладкою гiперповерхнею i при цьому
〈ν(q), f(ϕ, q)〉 > 0, λII(q) > 0 ∀(ϕ, q) ∈ Tk × ∂D,
де ν(q) i λII(q) вiдповiдно позначають одиничний вектор зовнiшньої нормалi та мiнiмаль-
ну головну кривину межi в точцi q ∈ ∂D, тобто
λII(q) := min {〈∇ξν(q), ξ〉 : ξ ∈ Tq∂D, ‖ξ‖ = 1} ;
B) iснує функцiя U(·) : H1 7→ R така, що
λU (q) := min {〈HU (q)ξ, ξ〉 : ξ ∈ TqH1, ‖ξ‖ = 1} > 0 ∀q ∈ cl(D),
λII(q) +
1
2
〈∇U(q), ν(q)〉 > 0 ∀q ∈ ∂D,
min
{
〈∇U(q), f(ϕ, q)〉 : (ϕ, q) ∈ Tk × cl(D)
}
< 0;
C) система (10) є U -монотонною в D в сенсi [31], тобто
λf (ϕ, q) +
〈∇U(x), f(ϕ, q)〉
2
> 0 ∀(ϕ, q) ∈ Tk × cl(D),
(18)
µU (q) ≥ 2K(q) ∀q ∈ D,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
110 I. О. ПАРАСЮК
де
λf (ϕ, q) := min
{〈
HV+W̃ (ϕ, q)ξ, ξ
〉
: ξ ∈ TqH1, ‖ξ‖ = 1
}
,
µU (q) := min
{
〈HU (q)ξ, ξ〉 − 〈∇U(x), ξ〉2
2
: ξ ∈ TqH1, ‖ξ‖ = 1
}
,
а K∗(q) — максимальна секцiйна (рiманова) кривина рiманового многовиду (H1, 〈·, ·〉) по
двовимiрних площинах дотичного простору TqH1. Обчислення кривини K∗(q) див. у до-
датку (п. 4).
Тепер перейдемо до побудови областiD та функцiї U(·). Для як завгодно малого δ > 0
вiзьмемо c ∈ (cK − δ, cK) i визначимо
D := Dc.
Зауваживши, що
∇∇V V (q) = ‖∇V (q)‖2 , ∇∇V 〈∇V (q),∇V (q)〉 ≥ 2λV (q) ‖∇V (q)‖2 ,
неважко показати, що cl(Dc) \ {1} не мiстить особливих точок векторного поля ∇V (·) i,
бiльш того,
‖∇V (q)‖2 ≥ 2
v∫
0
l(s)ds ≥ (2c− v)vK ∀q ∈ ∂Dv, v ∈ [0, c]; (19)
зокрема,
‖∇V (q)‖ ≥ c
√
K ∀q ∈ ∂Dc.
Аналогiчно
‖∇V (q)‖2 ≤ 2Lv ∀q ∈ ∂Dv. (20)
Оскiльки
ν(q) =
∇V (q)
‖∇V (q)‖
, λII(q) =
λV (q)
‖∇V (q)‖
> 0 ∀q ∈ ∂Dc,
то тепер для виконання умови A) достатньо, щоб
2
c∫
0
l(s)ds >
∥∥∥∇W̃ (ϕ, q)
∥∥∥2
∀(ϕ, q) ∈ Tk × ∂Dc. (21)
Далi, з урахуванням (8), (5) обчислюємо〈
∇W̃ (ϕ, q), q̇
〉
= Q(q) (Ω(q̇)× z) · F(ϕ). (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ВИМУШЕНI КОЛИВАННЯ ТВЕРДОГО ТIЛА . . . 111
Покладаючи тут q̇ = qa та використовуючи рiвнiсть Ω(qa) = 2a, легко переконуємося в
тому, що
max
{∥∥∥∇W̃ (ϕ, q)
∥∥∥ : (ϕ, q) ∈ Tk ×H1
}
< ε,
i тепер очевидно, що нерiвнiсть (21) є наслiдком нерiвностi
cK
√
K ≥ ε
за умови, що δ є достатньо малим.
Функцiю U(·) шукаємо у виглядi суперпозицiї y ◦ V (·). Нехай γ(·) : (−1, 1) 7→ H1 —
натурально параметризована геодезична лiвоiнварiантної метрики 〈·, ·〉 така, що γ(0) =
= q, γ′(0) = ξ. Тодi умова (18) набирає вигляду
〈HU (q)ξ, ξ〉 − 1
2
〈∇U(q), ξ〉2 =
d2
ds2
∣∣∣∣
s=0
U ◦ γ(s)− 1
2
[
d
ds
∣∣∣∣
s=0
U ◦ γ(s)
]2
=
=
[
y′(v) 〈HV (q)ξ, ξ〉+
+
(
y′′(v)− [y′(v)]2
2
)
〈∇V (q), ξ〉2
]
v=V (q)
≥ 2K∗ ∀q ∈ Dc.
Якщо покласти
y(v) := −2 ln (cK − v) ,
то остання нерiвнiсть зведеться до
l(v)
cK − v
≥ K ≥ K∗ ∀v ∈ [0, c].
Тепер зрозумiло, що функцiя
U(·) = −2 ln (cK − V (·))
коректно визначена в cl (Dc) i задовольняє на цiй множинi не лише умову (18), але й першi
двi нерiвностi в умовi B). Зазначимо, що цю функцiю з областi cl (Dc) можна розширити
до гладкої функцiї на всьому многовидi H1.
Для перевiрки третьої нерiвностi умови B) обчислимо
〈∇U(q), f(ϕ, q)〉 =
2
cK − V (q)
[
‖∇V (q)‖2 +
〈
∇V (q),∇W̃ (ϕ, q)
〉]
. (23)
Внаслiдок невиродженостi HV (1) для довiльного вектора b iснує вектор a такий, що
HV (1)a = b. З урахуванням рiвностей∇V (1) = 0 та (22) дiстанемо
∇qa
[
‖∇V (q)‖2 +
〈
∇V (q),∇W̃ (ϕ, q)
〉]
q=1
=
〈
HV (1)a,∇W̃ (ϕ, 1)
〉
= (b× z) · F(ϕ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
112 I. О. ПАРАСЮК
Оскiльки вiдображення F(·) : Tk 7→ E3 має нульове середнє й не є тотожно колiнеарним iз
вектором z, то iснує точка ϕ0 ∈ Tk, для якої в малому околi точки q = 1 знайдеться точка
q0 ∈ H1 така, що 〈∇U(q0), f(ϕ0, q0)〉 < 0. Отже, й третя нерiвнiсть умови B) виконується.
Залишилося перевiрити виконання першої нерiвностi умови C). З урахуванням (8),
(22), (5) та (13) знаходимо〈
∇q̇∇W̃ (ϕ, q), q̇
〉
= Q(q) [Ω(q̇)× (Ω(q̇)× z)] · F(ϕ)+
+Q(q)
{
I−1 [IΩ(q̇)×Ω(q̇)]× z
}
· F(ϕ).
Якщо тут покласти q̇ = qa та використати рiвнiсть Ω(qa) = 2a та нерiвнiсть
∣∣I−1 (Ia× a)
∣∣ ≤ 1
8
max
1≤i<j≤3
{
Ii − Ij
Ik
√
IiIj
: k 6= i, j
}
‖a‖2,
то легко переконатися в тому, що
max
{∣∣∣〈∇qa∇W̃ (ϕ, q), qa
〉∣∣∣ : (ϕ, q) ∈ Tk ×H1, ‖a‖ = 1
}
< Jε.
Тепер, беручи до уваги (23), (19) та (20), маємо
λf (ϕ, q) +
〈∇U(q), f(ϕ, q)〉
2
> l(v)− Jε+
1
cK − V (q)
[
‖∇V (q)‖2 +
〈
∇V (q),∇W̃ (ϕ, q)
〉]
≥
≥ (cK − v)K − Jε+
1
cK − v
[
(2cK − v)vK −
√
2Lvε
]
∀q ∈ ∂Dv.
Останнiй вираз набуватиме невiд’ємних значень при всiх v ∈ [0, c], якщо таку ж власти-
вiсть матиме функцiя
G(v) := (cK − v)2K − (cK − v)Jε+ (2cK − v) vK − ε
√
2Lv = Jεv − ε
√
2Lv + (cKK − Jε)cK .
Звiдси дiстаємо умову, яка фiгурує в твердженнi теореми:
2J(cKK − Jε)cK ≥ Lε ⇔ ε ≤
2Jc2
KK
(L+ 2J2cK)
.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 2. Як випливає з результатiв [29, 30], знайдений квазiперiодичний розв’я-
зок мiнiмiзує усереднений лагранжiан (2) в певному класi квазiперiодичних за Безiкови-
чем функцiй.
4. Додаток. Для обчислення секцiйної кривини рiманового многовиду (H1, 〈·, ·〉) скорис-
таємося результатами [33].
Твердження 3. Якщо I3 < I2 < I1, то
K∗(q) ≡ K∗ =
(I1 − I2)2 + [2(I1 + I2)− 3I3] I3
4I1I2I3
> 0. (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ВИМУШЕНI КОЛИВАННЯ ТВЕРДОГО ТIЛА . . . 113
Доведення. Для довiльної гладкої функцiї f : H1 7→ R справджується рiвнiсть
(ξaξb − ξbξa)f(q) = 〈∇f(q), q(ab− ba)〉 = 〈∇f(q), 2q(a× b)〉 ,
з якої випливає формула для комутатора
[ξa, ξb] := ξaξb − ξbξa = ξ2a×b.
Лiвоiнварiантнi векторнi поля
εk :=
qek
2
√
Ik
, k = 1, 2, 3,
утворюють ортонормальний базис вiдносно скалярного добутку 〈·, ·〉 i з урахуванням рiв-
ностi
[εi, εj ] =
q
2
√
IiIj
ei × ej
задовольняють комутацiйнi спiввiдношення
[ε1, ε2] = λ3ε3, [ε2, ε3] = λ1ε1, [ε3, ε1] = λ2ε2
зi сталими
λ1 =
√
I1
I2I3
, λ2 =
√
I2
I1I3
, λ3 =
√
I3
I1I2
.
Як i в [33], покладемо
µi :=
1
2
3∑
k=1
λk − λi.
Тодi згiдно з теоремою 4.3 [33] секцiйна кривина вздовж площини, породженої парою εi,
εj ,
K(εi, εj) = µ1µ2 + µ1µ3 + µ2µ3 − 2µiµj ,
звiдки шляхом безпосереднiх обчислень дiстаємо
K(εi, εj) =
(Ii − Ij)2 + [2(Ii + Ij)− 3Ik] Ik
4I1I2I3
, k 6= i, j.
Оскiльки K(εi, εj) − K(εi, εk) = (Ij − Ik)(Ij + Ik − Ii)/(I1I2I3) i, як вiдомо, Ij + Ik > Ii
(див., наприклад, [1, с. 125]), то за умови, що I1 > I2 > I3, маємо
max
1≤i<j≤3
K(εi, εj) = K(ε1, ε2) > 0.
Як випливає з теореми 4.3 [33], для довiльної пари векторiв
ξ =
3∑
j=1
ξjεj , η =
3∑
j=1
ηjεj
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
114 I. О. ПАРАСЮК
справджується рiвнiсть
K(ξ, η) =
∑
1≤i<j≤3
∣∣∣∣ ξi ηi
ξj ηj
∣∣∣∣2K(εi, εj).
Якщо ця пара ортонормована вiдносно скалярного добутку 〈·, ·〉 , то
∑
1≤i<j≤3
∣∣∣∣ ξi ηi
ξj ηj
∣∣∣∣2 = ‖ξ‖2 ‖η‖2 − 〈ξ, η〉2 = 1,
а отже,
K(ξ, η) = θ1K(ε1, ε2) + θ2K(ε1, ε3) + θ3K(ε2, ε3),
де числа θk ∈ [0, 1] задовольняють рiвнiсть
∑3
i=1 θj = 1. Звiдси й випливає, що саме
K(ε1, ε2) є максимальною секцiйною кривиною.
Твердження 3 доведено.
Лiтература
1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989. — 472 с.
2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нели-
нейной механике. — Киев: Наук. думка, 1969. — 248 с.
3. Samoilenko A. M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations. — Dordrecht:
Kluwer Acad. Publ., 1991. — 313 p.
4. Tisserand F. Traite de mecanique celeste. Theorie de la figure des corps celestes et de leur mouvement de
rotation. — Paris: Gauthier-Villars, 1891. — 552 p.
5. Brun F. Rotation kring fix punkt// Öfvers. Kongl. Svenska Vetensk. Akad. Förhadl. Stokholm. — 1893. — 7.
— P. 455 – 468.
6. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. — М.:
Наука, 1991. — 320 с.
7. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск: Изд-во
Удмурд. ун-та, 1995. — 432 c.
8. Борисов А. В.,Мамаев И. С. Динамика твердого тела. — Москва; Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаоти-
ческая динамика” , 2001. — 384 с.
9. Broer H. W., Sevryuk M. B. KAM theory: quasi-periodicity in dynamical systems // Handb. Dyn. Syst. —
Amsterdam: Elsevier, 2010. — Vol. 3. — P. 249 – 344.
10. Hanßmann H. Quasi-periodic motions of a rigid body I. Quadratic Hamiltonians on the sphere with a disti-
nguished parameter // Regul. Chaotic Dyn. — 1997. — 2. — P. 41 – 57.
11. Hanßmann H. Quasi-periodic motion of a rigid body under weak forces // NATO ASI Ser. — 1999. — 533. —
P. 398 – 402.
12. Cheresiz V. M. Stable and conditionally stable almost-periodic solutions of V-monotone systems // Sib. Math.
J. — 1974. — 15, № 1. — P. 116 – 125.
13. Blot J. Calculus of variations in mean and convex Lagrangians // J. Math. Anal. and Appl. — 1988. — 134,
№ 2. — P. 312 – 321.
14. Blot J. Calculus of variations in mean and convex Lagrangians II // Bull. Austral. Math. Soc. — 1989. — 40,
№ 3. — P. 457 – 463.
15. Blot J. Calculus of variations in mean and convex Lagrangians III // Isr. J. Math. — 1989. — 67, № 3. —
P. 337 – 344.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
КВАЗIПЕРIОДИЧНI ВИМУШЕНI КОЛИВАННЯ ТВЕРДОГО ТIЛА . . . 115
16. Blot J. Almost periodically forced pendulum // Funkc. Ekvacioj. — 1993. — 36. — P. 235 – 250.
17. Berger M. S., Zhang Luping. A new method for large quasiperiodic nonlinear oscillations with fixed fre-
quencies for nondissipative second order conservative systems of second type // Commun. Appl. Nonlinear
Anal. — 1996. — 3, № 1. — P. 25 – 49.
18. Blot J., Cieutat P., Mawhin J. Almost-periodic oscillations of monotone second-order systems // Adv. Di-
fferent. Equat. — 1997. — 2. — P. 693 – 714.
19. Carminati C. Forced systems with almost periodic and quasiperiodic forcing term // Nonlinear Anal. —
1998. — 32. — P. 727 – 739.
20. Mawhin J. Bounded and almost periodic solutions of nonlinear differential equations: variational vs nonvari-
ational approach // Calc. Var. and Different. Equat. Res. Notes Math. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC,
2000. — 410. — P. 167 – 184.
21. Zakharin S. F., Parasyuk I. O. Generalized and classical almost periodic solutions of Lagrangian systems //
Funkc. Ekvacioj. — 1999. — 42. — P. 325 – 338.
22. Blot J., Pennequin D. Spaces of quasi-periodic functions and oscillations in differential equations // Acta
Appl. Math. — 2001. — 65, № 1 – 3. — P. 83 – 113.
23. Cieutat P. Bounded and almost periodic solutions of convex Lagrangian systems // J. Different. Equat. —
2003. — 190. — P. 108 – 130.
24. Ayachi M., Blot J. Variational methods for almost periodic solutions of a class of neutral delay equations //
Abstr. Appl. Anal. — 2008. — 2008. — Article ID 153285. — 13 p.
25. Cheban D. N., Mammana C. Invariant manifolds, almost periodic and almost automorphic solutions of
seconde-order monotone equations // New Research on Evolution Equations / Ed. G. M. N’Guerekata. —
New York: Nova Sci. Publ., Inc., 2009. — P. 123 – 145.
26. Kuang J. Variational approach to quasi-periodic solution of nonautonomous second-order Hamiltonian
systems // Abstr. and Appl. Anal. — 2012. — 2012. — Article ID 271616. — 14 p.
27. Захарiн С. Ф., Парасюк I. О. Узагальненi квазiперiодичнi розв’язки лагранжевих систем на рiманових
многовидах недодатної кривини // Вiсн. Київ. ун-ту iм. Т. Шевченка. Математика. Механiка. — 1999. —
Вип. 3. — С. 15 – 20.
28. Захарiн С. Ф., Парасюк I. О. Про гладкiсть квазiперiодичних розв’язкiв лагранжевих систем на рiма-
нових многовидах недодатної кривини // Нелiнiйнi коливання. — 1999. — 2, №. 2. — С. 180 – 193.
29. Parasyuk I., Rustamova A. Variational approach for weak quasiperiodic solutions of quasiperiodically exci-
ted Lagrangian systems on Riemannian manifolds // Electron. J. Different. Equat. — 2012. — 2012, № 66. —
P. 1 – 22.
30. Парасюк I. О. Квазiперiодичнi екстремалi неавтономних лагранжевих систем на рiманових многови-
дах // Укр. мат. журн. — 2014. — 66, № 10. — С. 1387 – 1406.
31. Parasyuk I. O. Hyperbolic quasiperiodic solutions of U-monotone systems on Riemannian manifolds //
arXiv:1703.04109 [math.DS].
32. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. —М.:
Наука, 1986. — 760 с.
33. Milnor J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups // Adv. Math. — 1976. — 21. — P. 293 – 329.
Одержано 25.10.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177182 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:03:34Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Парасюк, I.О. 2021-02-11T08:02:26Z 2021-02-11T08:02:26Z 2018 Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу / I.О. Парасюк // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 99-115. — Бібліогр.: 33 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177182 517.9 Рассматривается натуральная лагранжева система, описывающая движение твердого тела
 под действием суперпозиции двух потенциальных силовых полей. Первое поле стационарно и
 имеет квадратичный потенциал, а потенциал второго — пространственно линеен и квазипериодически зависисит от времени. Установлены достаточные условия, при выполнении которых такая система имеет классическое гиперболическое квазипериодическое решение, локально минимизирующее усредненный по времени лагранжиан. The paper deals with a natural Lagrangian system which governs the motion of a rigid body under the action of superposition of two potential force fields. The first one is a stationary field with quadratic potential,
 and the potential of the second one is space-linear and quasiperiodically dependend on time. We find
 sufficient conditions under which such a system has a classical hyperbolic quasiperiodic solution locally
 minimizing the time-averaged Lagrangian. Виконано за пiдтримки МОН України (проект № 0116U004752). uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу Квазипериодические вынужденные колебания твёрдого тела в поле квадратичного потенциала Quasiperiodic forced oscillations of rigid body in the field of quadratic potential Article published earlier |
| spellingShingle | Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу Парасюк, I.О. |
| title | Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу |
| title_alt | Квазипериодические вынужденные колебания твёрдого тела в поле квадратичного потенциала Quasiperiodic forced oscillations of rigid body in the field of quadratic potential |
| title_full | Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу |
| title_fullStr | Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу |
| title_full_unstemmed | Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу |
| title_short | Квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу |
| title_sort | квазіперіодичні вимушені коливання твердого тіла в полі квадратичного потенцiалу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177182 |
| work_keys_str_mv | AT parasûkio kvazíperíodičnívimušeníkolivannâtverdogotílavpolíkvadratičnogopotencialu AT parasûkio kvaziperiodičeskievynuždennyekolebaniâtverdogotelavpolekvadratičnogopotenciala AT parasûkio quasiperiodicforcedoscillationsofrigidbodyinthefieldofquadraticpotential |