Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами
Определен один класс параболических систем уравнений с частными производными и обоснована их {p,h}-параболичность. Исследованы свойства относительно пространственной переменной фундаментального решения задачи Коши для {p,h}-параболических систем с зависимыми от времени коэффициентами, а также при...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177188 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами / В.А. Лiтовченко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 189-196. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177188 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1771882025-02-09T15:08:18Z Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами Фундаментальное решение задачи Коши для {p,h}-параболических систем с переменными коэффициентами The fundamental solution of the Cauchy problem for {p,h}-parabolic systems with variable coefficients Лiтовченко, В.А. Определен один класс параболических систем уравнений с частными производными и обоснована их {p,h}-параболичность. Исследованы свойства относительно пространственной переменной фундаментального решения задачи Коши для {p,h}-параболических систем с зависимыми от времени коэффициентами, а также приведены примеры таких систем. We define a class of parabolic systems of equations with partial derivatives and substantiate their {p,h}-parabolicity. We investigate the properties of the spacial behavior of the fundamental solution to the Cauchy problem for {p,h}-parabolic systems with time-dependent coefficients and give examples of such systems. 2018 Article Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами / В.А. Лiтовченко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 189-196. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177188 517.956 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Определен один класс параболических систем уравнений с частными производными и обоснована
их {p,h}-параболичность. Исследованы свойства относительно пространственной переменной
фундаментального решения задачи Коши для {p,h}-параболических систем с зависимыми от
времени коэффициентами, а также приведены примеры таких систем. |
| format |
Article |
| author |
Лiтовченко, В.А. |
| spellingShingle |
Лiтовченко, В.А. Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами Нелінійні коливання |
| author_facet |
Лiтовченко, В.А. |
| author_sort |
Лiтовченко, В.А. |
| title |
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами |
| title_short |
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами |
| title_full |
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами |
| title_fullStr |
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed |
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами |
| title_sort |
фундаментальний розв’язок задачі коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177188 |
| citation_txt |
Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p,h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами / В.А. Лiтовченко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 189-196. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT litovčenkova fundamentalʹnijrozvâzokzadačíkošídlâphparabolíčnihsistemzízmínnimikoefícíêntami AT litovčenkova fundamentalʹnoerešeniezadačikošidlâphparaboličeskihsistemsperemennymikoéfficientami AT litovčenkova thefundamentalsolutionofthecauchyproblemforphparabolicsystemswithvariablecoefficients |
| first_indexed |
2025-11-27T04:51:11Z |
| last_indexed |
2025-11-27T04:51:11Z |
| _version_ |
1849917782559293440 |
| fulltext |
УДК 517.956
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI
ДЛЯ
{−→p ,
−→
h
}
-ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ
ЗI ЗМIННИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
В. А. Лiтовченко
Чернiвец. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича
вул. Коцюбинського, Чернiвцi, 58012, Україна
e-mail: v.litovchenko@chnu.edu.ua
We define a class of parabolic systems of equations with partial derivatives and substantiate their
{−→p ,−→h }-
parabolicity. We investigate the properties of the spacial behavior of the fundamental solution to the
Cauchy problem for
{−→p ,−→h }-parabolic systems with time-dependent coefficients and give examples of
such systems.
Определен один класс параболических систем уравнений с частными производными и обоснована
их
{−→p ,−→h }-параболичность. Исследованы свойства относительно пространственной переменной
фундаментального решения задачи Коши для
{−→p ,−→h }-параболических систем с зависимыми от
времени коэффициентами, а также приведены примеры таких систем.
Вступ. У [1] Г. Є. Шилов сформулював нове означення параболiчностi систем рiвнянь iз
частинними похiдними, яке узагальнює поняття параболiчностi за Г. I. Петровським [2] i
приводить до iстотного розширення класу Петровського систем вигляду
∂tu(t;x) = P (t; i∂x)u(t;x), (t;x) ∈ Π(τ ;T ] := (τ ;T ]× Rn, τ ∈ [0;T ), (1)
де u —невiдома вектор-функцiя вимiрностi m, а P (t; i∂x) —матричний диференцiальний
вираз порядку p ∈ N iз залежними вiд часу t коефiцiєнтами.
У випадку, коли коефiцiєнти системи (1) сталi, тобто P (t; i∂x) ≡ P (i∂x), параболiчнiсть
заШиловим означується подiбно до параболiчностi за Петровським—шляхом накладання
умов на дiйснi частини характеристичних чисел λj(·) матричного символу P (σ), σ ∈ Cn,
диференцiального виразу системи (1):
∃h > 0 ∃δ0 > 0 ∃δ1 ≥ 0 ∀ξ ∈ Rn : max
j∈Nm
Reλj(ξ) ≤ −δ0‖ξ‖h + δ1, (2)
де h — показник параболiчностi системи (1), 0 < h ≤ p, Nm : = {1; 2; . . . ;m}, ‖ · ‖ :=
:= (·, ·)1/2, а (·, ·) — скалярний добуток у Rn.
Якщо ж коефiцiєнти системи (1) залежать вiд t (неперервно), то, на вiдмiну вiд пара-
болiчностi за Петровським, параболiчнiсть за Шиловим цiєї системи з показником пара-
болiчностi h означає виконання наступної оцiнки для матрицанта Θt
τ (·), 0 ≤ τ < t ≤ T,
вiдповiдної двоїстої за Фур’є системи [3, c. 133]:
|Θt
τ (ξ)| ≤ c(1 + (t− τ)‖ξ‖p)m−1e−δ(t−τ)‖ξ‖h , (t; ξ) ∈ Π(τ ;T ]. (3)
Зазначимо, що для параболiчних за Петровським систем (1) умова (3) — характерна
властивiсть, яка є прямим наслiдком iз вiдповiдної умови параболiчностi типу (2). Для
© В. А. Лiтовченко, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 189
190 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
параболiчних систем (1) iз залежними вiд t коефiцiєнтами при p 6= h пiдтвердити цей
факт класичними засобами теорiї параболiчних систем, взагалi кажучи, не вдається. Тому
важливою є iнформацiя про багатство класу Шилова систем iз коефiцiєнтами, залежними
вiд t, зокрема, про приклади таких систем, якi не є параболiчними за Петровським.
Специфiка означення параболiчностi як за Петровським, так i за Шиловим не перед-
бачає iндивiдуальних характеристик параболiчностi системи окремо за кожною компо-
нентою її просторової змiнної x : система характеризується за сукупнiстю компонент у
цiлому, шляхом їх урiвноваження. Таке абстрагування, з одного боку, позбавляє можливо-
стi одержати точнi результати на рiвнi кожної, окремо взятої, компоненти, а з iншого —
звужує клас систем iз характерними властивостями для класичного рiвняння теплопровiд-
ностi. У зв’язку з цим у [4] запропоновано узагальнення параболiчностi за Шиловим —
так звану
{−→p ,−→h }-параболiчнiсть. У системах з такою параболiчнiстю диференцiювання
за рiзними компонентами просторової змiнної мають, взагалi кажучи, рiзну вагу вiдносно
диференцiювання за змiнною t, при цьому кожнiй такiй компонентi вiдповiдає свiй по-
казник параболiчностi. У [4] також обґрунтовано, що клас
{−→p ,−→h }-параболiчних систем
повнiстю охоплює клас Шилова систем.
У данiй роботi наводиться один клас систем рiвнянь iз частинними похiдними, кое-
фiцiєнти яких залежать вiд t ; обґрунтовується їх
{−→p ,−→h }-параболiчнiсть та будується i
дослiджується фундаментальний розв’язок задачi Кошi (ФРЗК) для
{−→p ,−→h }-параболiчних
систем iз неперервно залежними вiд часу коефiцiєнтами. Зазначений клас систем характе-
ризує багатство як
{−→p ,−→h }-параболiчного класу, так i класу Шилова систем iз залежними
вiд t коефiцiєнтами.
Дослiдження властивостей ФРЗК для параболiчних за Шиловим систем iз сталими ко-
ефiцiєнтами проводились у працях [3 – 9], а з коефiцiєнтами, залежними вiд t —у [10, 11].
1. Основнi поняття, означення. Нехай −→p := (p1, . . . , pn) — вектор з натуральними
координатами, −→h := (h1, . . . , hn), 0 < hj ≤ pj , j ∈ Nn, i — уявна одиниця, Rn i Cn —
вiдповiдно дiйсний i комплексний простори розмiрностi n, R := R1, Zn+ — множина всiх
n-вимiрних мультиiндексiв;
|x+ iy| := (x2 + y2)1/2, {x, y} ⊂ R,
∣∣(alj)ml,j=1
∣∣ := max
{l,j}⊂Nm
|alj |;
zl := zl11 . . . z
ln
n , |z|l := |z1|l1 . . . |zn|ln ,
якщо
z := (z1; . . . ; zn) ∈ Cn, l := (l1; . . . ; ln) ∈ Zn+;
−→
0 := (0; . . . 0),
−→
1 := (1; . . . 1).
Просторовi точки та мультиiндекси, як вектори, позначатимемо традицiйно — без стрiло-
чки зверху; запис −→αf
−→
β , де f – деяке вiдношення, означатиме, що це вiдношення викону-
ється для всiх вiдповiдних координат векторiв −→α i −→β , при цьому, якщо q := (q1; . . . ; qn) ∈
∈ Zn+, {−→α ,
−→
β } ⊂ Rn, то qq
−→
β := qq1β11 . . . qqnβnn , |−→α |
−→
β
+ := |α1|β1 +. . .+|αn|βn , |−→α |+ := |−→α |
−→
1
+ —
скалярнi величини.
Розглянемо систему (1) з матричним диференцiальним виразом
P (t; i∂x) =
∑
|k/−→p |+≤1
aljk (t)i|k|+∂kx
m
l,j=1
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ
{−→p ,
−→
h
}
-ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ 191
векторного порядку −→p . У випадку, коли коефiцiєнти системи (1) сталi, говоритимемо, що
ця система є
{−→p ,−→h }-параболiчною на множинi Π(τ ;T ] [4], якщо iснують такi сталi δ0 > 0
i δ1 ≥ 0, що для всiх ξ ∈ Rn виконується оцiнка
max
j∈Nm
Reλj(ξ) ≤ −δ0|ξ|
−→
h
+ + δ1. (4)
Тут λj(·) — характеристичнi числа матричного символу P (·), тобто розв’язки рiвняння
det(P (σ)− λE) = 0, σ ∈ Cn,
де E — одинична матриця порядку m.
Якщо коефiцiєнти системи (1) залежать вiд t, то аналогiчно до означення парабо-
лiчностi за Шиловим називатимемо цю систему
{−→p ,−→h }-параболiчною на Π(τ ;T ], якщо
справджується нерiвнiсть
|Θt
τ (ξ)| ≤ c(1 + |ξ|
−→γ
+ )m−1e−δ(t−τ)|ξ|
−→
h
+ , (t; ξ) ∈ Π(τ ;T ], τ ∈ [0;T ), (5)
де c > 0 i δ > 0 не залежать вiд t i ξ, −→γ := −→p −
−→
h , а Θt
τ (·) — матрицант вiдповiдної
двоїстої за Фур’є системи, тобто [12]
Θt
τ (ξ) = E +
∞∑
r=1
t∫
τ
t1∫
τ
. . .
tr−1∫
τ
r∏
j=1
P (tj ; ξ)
dtr . . . dt2dt1. (6)
Безпосередньо з твердження теореми 1 iз [3, c. 77], умови параболiчностi (4) та структури
матрицанта Θt
τ (·) = e(t−τ)P (·) випливає виконання оцiнки (5) для системи (1) i у випадку
сталих коефiцiєнтiв.
За умови неперервностi коефiцiєнтiв системи (1) на [0;T ] дiстаємо оцiнку
|P (t;σ)| ≤ c(1 + |σ|
−→p
+ ), 0 ≤ t ≤ T, σ ∈ Cn,
завдяки якiй iз (6) знаходимо, що
|Θt
τ (σ)| ≤ c2eδ2(t−τ)|σ|
−→p
+ , 0 ≤ τ < t ≤ T, σ ∈ Cn (7)
(тут c2 i δ2 — додатнi сталi, незалежнi вiд τ, t i σ ).
Точний експоненцiальний порядок зростання матрицанта Θt
τ (·) у просторi Cn назвемо
зведеним порядком системи (1) i позначимо через −→p0. Очевидно, що −→p0 ≤ −→p .
Урахувавши тепер оцiнки (5) i (7), а також вiдповiднi твердження теорем типу Фраг-
мена –Лiндельофа з [13, c. 285] одержуємо iснування векторiв −→ν таких, що в областi
K−→ν :=
{
(ξ + iη) ∈ Cn : |ηj | ≤ cj(1 + |ξj |)νj , cj > 0, j ∈ Nn
}
виконується оцiнка
|Θt
τ (ξ + iη)| ≤ c3(1 + |ξ|
−→γ
+ )m−1e−δ3(t−τ)|ξ|
−→
h
+ , 0 ≤ τ < t ≤ T,
з оцiночними сталими c3 i δ3, незалежними вiд τ, t, ξ i η. Вектор −→µ з координатами
µj := sup νj , j ∈ Nn, назвемо родом системи (1). Iз дослiджень, проведених у [13], випливає,
що −→1 − (−→p0 −
−→
h ) ≤ −→µ ≤ −→1 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
192 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
2. Один клас параболiчних систем. Розглянемо систему рiвнянь
∂tu(t;x) = {P0(i∂x) + P1(t; i∂x)}u(t;x), (t;x) ∈ Π(τ ;T ], τ ∈ [0;T ), (8)
порядку −→p , у якiй u := col (u1, . . . , um),
P0(i∂x) :=
∑
|k/−→p |+≤1
aljk i
|k|+∂kx
m
l,j=1
, P1(t; i∂x) :=
∑
|k/−→p1|+≤1
aljk (t)i|k|+∂kx
m
l,j=1
.
Припускатимемо, що вiдповiдна система
∂tu(t;x) = P0(i∂x)u(t;x), (t;x) ∈ Π(τ ;T ], (9)
на множинi Π(τ ;T ] є
{−→p ,−→h }-параболiчною зi сталими коефiцiєнтами, а коефiцiєнти ди-
ференцiального виразу P1(t; i∂x) — неперервнi комплекснозначнi функцiї, визначенi на
[0;T ], при цьому вектори −→p = (p1, . . . pn),
−→
h = (h1, . . . hn) i −→p1 = (p11, . . . p1n) задовольня-
ють умову (А):
0 ≤ p1j + (pl − hl)(m− 1) < min{hj , hl} ∀{l, j} ⊂ Nn.
Прикладом системи (8) iз умовою (А) є система∂tu1 = −
{
a∂4x1 + b∂4x2 + c1(t)∂x1∂x2 + c2(t)
}
u1 +
{
∂5x1 + 2i∂2x1∂
2
x2 + c3(t)∂x2
}
u2,
∂tu2 =
{
∂5x1 + i∂2x1∂
2
x2 + c4(t)∂
2
x2
}
u1 −
{
a∂4x1 − i∂
2
x1∂
2
x2 + b∂4x2 + c5(t)∂
2
x1
}
u2,
при m = n = 2, a > 0 i b > 0, якщо cj(·), j ∈ N5, — неперервнi на [0;T ] функцiї.
Дiйсно, поклавши
P0(i∂x) =
(
−a∂4x1 − b∂
4
x2 ∂5x1 + 2i∂2x1∂
2
x2
∂5x1 + i∂2x1∂
2
x2 −a∂4x1 + i∂2x1∂
2
x2 + b∂4x2
)
,
P1(t; i∂x) =
(
c1(t)∂x1∂x2 + c2(t) c3(t)∂x2
c4(t)∂
2
x2 c5(t)∂
2
x1
)
,
переконуємося, що вiдповiдна система (9) є
{−→p ,−→h }-параболiчною з −→p = (5; 4) i −→h =
= (4; 4), а −→p1 = (2; 2) — порядок диференцiального виразу P1(t; i∂x). Для зазначених
векторiв −→p , −→h i −→p1, очевидно, виконується умова (А).
Теорема 1. Нехай (8) — система з неперервними коефiцiєнтами, для якої виконується
умова (А). Тодi для матрицанта Θt
τ (·) вiдповiдної двоїстої за Фур’є системи на множинi
Π(τ ;T ], τ ∈ [0;T ), справджується оцiнка (5).
Доведення. Випишемо вiдповiдну двоїсту за Фур’є систему до (8):
∂tv(t; ξ) = {P0(ξ) + P1(t; ξ)}v(t; ξ), (t; ξ) ∈ Π(τ ;T ]. (10)
За умови неперервностi коефiцiєнтiв, матрицант Θt
τ (·) є єдиним розв’язком задачi Кошi
для системи (10) iз початковою умовою
v(t; ·) |t=τ= E. (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ
{−→p ,
−→
h
}
-ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ 193
Тодi правильною є рiвнiсть
∂tΘ
t
τ (ξ) = P0(ξ)Θ
t
τ (ξ) +Q(τ, t; ξ), (12)
у якiй
Q(τ, t; ξ) := P1(t; ξ)Θ
t
τ (ξ).
Розв’язавши задачу Кошi (12), (11), одержимо таке зображення:
Θt
τ (ξ) = e(t−τ)P0(ξ) +
t∫
τ
e(t−β)P0(ξ)Q(τ, β; ξ)dβ, (t; ξ) ∈ Π(τ ;T ], τ ∈ [0;T ).
Звiдси, урахувавши виконання оцiнки (5) для e(t−τ)P0(·), оскiльки e(t−τ)P0(·) — матрицант
двоїстої за Фур’є системи до (9), а також нерiвнiсть
|Q(τ, t; ξ)| ≤ c0(1 + |ξ|
−→p 1
+ )|Θt
τ (ξ)|, (t; ξ) ∈ Π(τ ;T ], τ ∈ [0;T )
(тут додатна стала c0 не залежить вiд τ, t i ξ ), одержуємо оцiнку∣∣Θt
τ (ξ)
∣∣ ≤ c(1 + |ξ|
−→γ
+
)m−1
e−δ(t−τ)|ξ|
−→
h
+ +
+ c1
(
1 + |ξ|
−→γ
+
)m−1(
1 + |ξ|
−→p1
+
) t∫
τ
e−δ(t−β)|ξ|
−→
h
+
∣∣∣Θβ
τ (ξ)
∣∣∣ dβ,
з якої приходимо до спiввiдношення
|Θt
τ (ξ)|eδ(t−τ)|ξ|
−→
h
+(
1 + |ξ|
−→γ
+
)m−1 ≤ c+ c1
(
1 + |ξ|
−→γ
+
)m−1(
1 + |ξ|
−→p1
+
) t∫
τ
|Θβ
τ (ξ)|eδ(β−τ)|ξ|
−→
h
+(
1 + |ξ|
−→γ
+
)m−1 dβ.
Скориставшись тепер лемою Гронуолла [14, c. 39], одержимо
|Θt
τ (ξ)| ≤ c
(
1 + |ξ|
−→γ
+
)m−1
e−(t−τ)
(
δ|ξ|
−→
h
+ −c1(1+|ξ|
−→γ
+ )m−1(1+|ξ|
−→p1
+ )
)
, (t; ξ) ∈ Π(τ ;T ], τ ∈ [0;T ).
Звiдси, зваживши на умову (А), приходимо до iснування додатних сталих c i δ, з якими
для всiх (t; ξ) ∈ Π(τ ;T ], τ ∈ [0;T ), виконується оцiнка∣∣Θt
τ (ξ)
∣∣ ≤ c(1 + |ξ|
−→γ
+
)m−1
e−δ(t−τ)|ξ|
−→
h
+ .
Теорему 1 доведено.
Наслiдок. Система (8) iз умовою (А) є
{−→p ,−→h }-параболiчною системою iз коефiцiєнта-
ми, залежними вiд t.
3. ВластивостiФРКЗ. Розглядатимемо тут
{−→p ,−→h }-параболiчну систему (1) iз коефiцi-
єнтами, неперервно залежними вiд t на множинi [0;T ]. Розв’язуючи цю систему методом
перетворення Фур’є, одержуємо таке зображення фундаментального розв’язку її задачi
Кошi:
G(τ, t; ·) = F−1[Θt
τ (ξ)](τ, t; ·), 0 ≤ τ < t ≤ T
(тут F−1[·] — обернене перетворення Фур’є, а Θt
τ (·) — вiдповiдний матрицант (6)).
Правильне таке твердження.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
194 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Теорема 2. Нехай система (1) є
{−→p ,−→h }-параболiчною з неперервно залежними вiд t
коефiцiєнтами. Тодi ФРЗК для цiєї системи є нескiнченно диференцiйовною функцiєю за
просторовою змiнною на множинi Rn, причому
∃{c,B, δ} ⊂ (0; +∞) ∀k ∈ Zn+ ∀τ ∈ [0;T ) ∀t ∈ (τ ;T ] ∀x ∈ Rn :
∣∣∣∂kxG(τ, t;x)
∣∣∣ ≤ c(t− τ)
−
∣∣(−→1 +k)/
−→
h
∣∣
+
n∑
j=1
(t− τ)−γj/hj
m−1
B|k|+kk/
−→
h×
× exp
−δ
n∑
j=1
(|xj |/(t− τ)αj )
1
1−αj
,
де
−→α := −→µ /−→ν , а −→ν :=
−→p0, −→µ >
−→
0 ,
−→
h , −→µ ≤ −→0 .
Доведення. Розглянемо допомiжну матричну функцiю
ϕkτ,t(x) := (t− τ)
∣∣∣k/−→h ∣∣∣
+
n∑
j=1
(t− τ)−γj/hj
1−m xkΘt
τ (x),
k ∈ Zn+, x ∈ Rn, 0 ≤ τ < t ≤ T,
яка, очевидно, продовжується в комплексний простiр Cn до цiлої аналiтичної функцiї при
кожному фiксованому k, t i τ.
Безпосередньо з оцiнки (5) одержуємо, що
|ϕkτ,t(x)| ≤ c
n∏
j=1
(
(t− τ)|xj |hj
)kj/hj n∑
j=1
(t− τ)−γj/hj
−1 +
+
|x1|γ1 + . . .+ |xn|γn
(t− τ)−γ1/h1 + . . .+ (t− τ)−γn/hn
m−1 e−δ(t−τ)|x|−→h+ ≤
≤ c
n∏
j=1
sup
ξj≥0
{
ξ
kj/hj
j e−
δ
4
ξj
}×
×
n∑
j=1
(t− τ)−γj/hj
−1 +
n∑
j=1
sup
ξj≥0
{
ξ
γj/hj
j e−
δ
4
ξj
}m−1 e− δ2 (t−τ)|x|−→h+ .
Звiдси, врахувавши оцiнку n∑
j=1
(t− τ)−γj/hj
−1 ≤ (max{1;T}
)max
j∈Nn
{γj/hj}
, 0 ≤ τ < t ≤ T, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ
{−→p ,
−→
h
}
-ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ 195
а також рiвнiсть
sup
ξ≥0
{
ξβe−δξ
}
=
(
β
eδ
)β
, β > 0, δ > 0, (14)
приходимо до iснування таких додатних сталих c1, B1 i δ1, що для всiх x ∈ Rn, k ∈ Zn+,
τ ∈ [0;T ) i t ∈ (τ ;T ] виконується нерiвнiсть∣∣ϕkτ,t(x)
∣∣ ≤ c1B|k|+1 kk/
−→
h e−δ1(t−τ)|x|
−→
h
+ .
Подiбним способом, зважаючи на означення роду −→µ параболiчної системи (1), одер-
жимо таку оцiнку матричної функцiї ϕkτ,t(·) у вiдповiднiй областi K−→µ ⊂ Cn :∣∣ϕkτ,t(x+ iy)
∣∣ ≤ c2B|k|+2 kk/
−→
h e−δ2(t−τ)|x|
−→
h
+ , k ∈ Zn+, 0 ≤ τ < t ≤ T (15)
(тут додатнi сталi c2, B2 i δ2 не залежать вiд k, x, y, τ i t). Крiм цього, використовуючи
оцiнки (7) i (13) та рiвнiсть (14), також одержуємо нерiвнiсть∣∣ϕkτ,t(z)∣∣ ≤ c3B|k|+3 kk/
−→
h eδ3(t−τ)|z|
−→p0
+ , k ∈ Zn+, z ∈ Cn, 0 ≤ τ < t ≤ T,
з оцiночними сталими, не залежними вiд k, z, τ i t.
Отже, при −→µ >
−→
0 дляфункцiї ϕkτ,t(·) виконуються всi умови теореми2 з [13, c. 256, 284].
Тодi, згiдно з твердженням цiєї теореми,
∃{c0, B0, δ0, δ1} ⊂ (0; +∞) ∀z = x+ iy ∈ Cn ∀k ∈ Zn+ ∀τ ∈ [0;T ) ∀t ∈ (τ ;T ] :
∣∣ϕkτ,t(z)∣∣ ≤ c0B|k|+0 kk/
−→
h e
−(t−τ)
(
δ0|x|
−→
h
+ −δ1|y|
−→p0/
−→µ
+
)
.
Звiдси, розмiрковуючи так само, як i при доведеннi теореми 3 з [13, c. 259], видiляючи
при цьому скрiзь залежнiсть вiд t, τ i k, приходимо до таких оцiнок похiдних на Rn
матричної функцiї ϕkτ,t(·) при −→µ >
−→
0 :∣∣∣∂qxϕkτ,t(x)
∣∣∣ ≤ c(t− τ)|q
−→µ /−→p0|+A|q|+B|k|+kk/
−→
h q
q
(−→
1 −−→µ /−→p0
)
e−δ(t−τ)|x|
−→
h
+ , x ∈ Rn, (16)
де {k, q} ⊂ Zn+, τ ∈ [0;T ) i t ∈ (τ ;T ], а додатнi сталi c, A, B i δ не залежать вiд t, τ, x,
k i q.
Якщо при −→µ ≤ −→0 дiяти, як i при доведеннi теореми 4 з [13, c. 264], використовуючи
при цьому оцiнку (15) та видiляючи скрiзь залежнiсть вiд t, τ, x, k i q, то приходимо до
iснування додатних сталих c, A, B i δ таких, що для всiх {k, q} ⊂ Zn+, x ∈ Rn, τ ∈ [0;T ) i
t ∈ (τ ;T ] виконується оцiнка∣∣∣∂qxϕkτ,t(x)
∣∣∣ ≤ c(t− τ)|q
−→µ /
−→
h |+A|q|+B|k|+kk/
−→
h qq(
−→
1 −−→µ /
−→
h )e−δ(t−τ)|x|
−→
h
+ . (17)
Безпосередньо з оцiнок (16), (17) та означення матричної функцiї ϕkτ,t(·), а також iз
рiвностi
(ix)q∂kxG(τ, t;x) = (−i)|k|+(2π)−n(t− τ)−|k/
−→
h |+×
×
n∑
j=1
(t− τ)−γj/hj
m−1 ∫
Rn
∂qξϕ
k
τ,t(ξ)e
−i(x,ξ)dξ
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
196 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
одержуємо, що
∣∣∣∂kxG(τ, t;x)
∣∣∣ ≤ c0(t− τ)
−
∣∣∣(−→1 +k
)
/
−→
h
∣∣∣
+
n∑
j=1
(t− τ)−γj/hj
m−1B|k|+kk/−→h×
×
n∏
j=1
inf
qj
{
(t− τ)qjµj/νjAqjq
qj(1−µj/νj)
j |xj |−qj
} ≤
≤ c(t− τ)
−
∣∣∣(−→1 +k)/
−→
h
∣∣∣
+
n∑
j=1
(t− τ)−γj/hj
m−1B|k|+kk/−→h×
× exp
−δ
n∑
j=1
(|xj |/(t− τ)αj )
1
1−αj
, k ∈ Zn+, x ∈ Rn, 0 ≤ τ < t ≤ T,
при цьому оцiночнi сталi c, B i δ не залежать вiд t, τ, k i x.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Шилов Г. Е. Об условиях корректности задачи Коши для систем дифференциальных уравнений в частных
производных с постоянными коэффициентами // Успехи мат. наук. – 1955. – 10, № 4. – С. 89 – 100.
2. Petrowsky I. G. Über das Cauchyche Problem für Systeme von partiellen Differentialgleichungen // Мат. сб. –
1937. – 2, № 5. – С. 815 – 870.
3. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1958. – 274 с.
4. Литовченко В. А. Задача Коши для {−→p ;
−→
h } -параболических уравнений с коэффициентами, зависящими
от времени // Мат. заметки. – 2005. – 77, № 3. – С. 395 – 411.
5. Житомирский Я. И. Задача Коши для некоторых типов параболических по Г. Е.Шилову систем линейных
уравнений в частных производных с переменными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1959. –
23. – С. 925 – 932.
6. Эйдельман С. Д., Ивасишен С. Д., Порпер Ф. О. Теоремы Лиувилля для параболических в смысле Шилова
систем // Изв. вузов. Математика. – 1961. – № 6. – С. 169 – 179.
7. Городецкий В. В. Некоторые теоремы о стабилизации решений задачи Коши для параболических по
Шилову систем в классах обобщенных функций // Укр. мат. журн. – 1988. – 40, № 1. – С. 43 – 48.
8. Литовченко В. А. Задача Коши для параболических поШилову уравнений // Сиб. мат. журн. – 2004. – 45,
№ 4. – С. 809 – 821.
9. Litovchenko V. A., Dovzhytska I. M. The fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem for a class of
parabolic systems of the Shilov type with variable coefficients // J. Math. Sci. – 2011. – 175, № 4. – P. 450 – 476.
10. Iвасишен С. Д., Лiтовченко В. А. Задача Кошi для одного класу вироджених параболiчних рiвнянь типу
Колмогорова з додатним родом // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 8. – С. 1066 – 1087.
11. Iвасишен С. Д., Лiтовченко В. А. Задача Кошi для одного класу вироджених параболiчних рiвнянь типу
Колмогорова з недодатним родом // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 10. – С. 1330 – 1350.
12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – 4-е изд. – М.: Наука, 1988. – 552 с.
13. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. –
307 с.
14. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 443 с.
Одержано 14.02.2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
|