Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації
Построена математическая модель Cолнечной системы, учитывающая конечную скорость гравитации, уточнены законы Кеплера и приведены свойства исследуемой системы. We construct a Solar system mathematical model that accounts for finite gravitation velocity. We also specify Kepler’s laws and list propert...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177191 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 238-261. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859517005587021824 |
|---|---|
| author | Слюсарчук, В.Ю. |
| author_facet | Слюсарчук, В.Ю. |
| citation_txt | Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 238-261. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Построена математическая модель Cолнечной системы, учитывающая конечную скорость гравитации, уточнены законы Кеплера и приведены свойства исследуемой системы.
We construct a Solar system mathematical model that accounts for finite gravitation velocity. We also
specify Kepler’s laws and list properties of the studied system.
|
| first_indexed | 2025-11-25T20:42:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.958:531 – 133
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ
З УРАХУВАННЯМШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
вул. Соборна, 11, Рiвне, 33000, Україна
e-mail: V.E.Slyusarchuk@gmail.com
We construct a Solar system mathematical model that accounts for finite gravitation velocity. We also
specify Kepler’s laws and list properties of the studied system.
Построена математическая модель Cолнечной системы, учитывающая конечную скорость грави-
тации, уточнены законы Кеплера и приведены свойства исследуемой системы.
1. Вступ. Цю статтю присвячено застосуванню диференцiальних рiвнянь iз вiдхилюваль-
ним аргументом до побудови математичних моделей руху системи n матерiальних точок
(тiл) пiд дiєю закону всесвiтнього тяжiння, зокрема до побудови математичної моделi Соня-
чної системи. Для побудови таких моделей створено належнi умови: по-перше, побудовано
теорiю диференцiально-функцiональних рiвнянь (див., наприклад, [1 – 11]); по-друге, вста-
новлено, що швидкiсть гравiтацiї є скiнченною [12, 13].
Оскiльки гравiтацiйний вплив одного тiла на iнше не може вiдбуватися миттєво, а по-
трiбен час, за який гравiтацiйне поле проходить вiдстань мiж цими тiлами, то природним
є те, що математичнi моделi руху систем n матерiальних точок повиннi бути системами iз
пiслядiєю. Тому для вивчення динамiки таких систем найбiльш прийнятним є математи-
чний апарат, в основу якого покладено теорiю диференцiальних рiвнянь iз запiзнювальним
аргументом.
Iз моменту вiдкриття I. Ньютоном закону всесвiтнього тяжiння, опублiкованого в його
знаменитих „Philosophiae Naturalis Principia mathematica” в 1687 р., для математичного
формулювання задач n тiл використовувалися звичайнi диференцiальнi рiвняння, оскiль-
ки вважалося, що швидкiсть гравiтацiї є нескiнченною i гравiтацiйне поле поширюється
миттєво вiд джерела, як би далеко вiд нього не знаходитися.
Для двох окремих значень n ∈ {1, 2} задача n тiл розв’язана ще Ньютоном. Розв’язок
задачi про рух одного тiла мiститься в його першому законi (тiло рухається рiвномiрно i
прямолiнiйно). Використавши звичайнi диференцiальнi рiвняння, Ньютон знайшов загаль-
ний розв’язок задачi двох тiл i надав йому геометричної форми (траєкторiями руху одного
тiла вiдносно iншого i вiдносно центра мас є конiчнi перерiзи).
На вiдмiну вiд випадку двох тiл задача трьох тiл не допускає загального розв’язку.
Через свою важливiсть для рiзних наук про природу задача трьох тiл привернула до себе
увагу багатьох математикiв i механiкiв. Ж. Лагранж, К. Якобi, А. Пуанкаре, Дж. Бiркгоф
та iншi витратили на цю задачу багато рокiв наполегливої працi, отримали багато вагомих
результатiв i розвинули новi методи, однак побудувати загальний розв’язок так i не вдалось.
Г. Брунс i А. Пуанкаре довели, що при n = 3 для задачi n тiл не можна знайти загаль-
ний розв’язок, який би виражався через алгебраїчнi або через однозначнi трансцендентнi
функцiї координат i швидкостей тiл.
© В. Ю. Слюсарчук, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 238
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 239
Хоча загальний розв’язок задачi трьох тiл отримати не вдалося, давно вiдомi точнi
частиннi розв’язки цiєї задачi. У 1772 р. Ж. Лагранж опублiкував свiй знаменитий мемуар
„Про задачу трьох тiл”, у якому вказав на iснування двох класiв рухiв у задачi трьох
тiл, що описуються нескладними математичними формулами (iснування таких частинних
розв’язкiв було вiдмiчено Ейлером ще в 1767 р.).
Зазначимо, що важливi результати щодо задач n тiл при n ≥ 2 з’являлись протягом
XIX i XX столiть i з’являються зараз (див. [14 – 21]).
Використання в небеснiй механiцi математичного апарату загальної теорiї вiдносностi
дозволило дослiдити ряд релятивiстських ефектiв у русi небесних тiл [22 – 24].
Математичнi труднощi дослiдження задачi n тiл iз використанням звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь зростають iз збiльшенням числа тiл. Для довiльного n задача не
розв’язана до цього часу, хоча iснує ряд аналiтичних i числових методiв, орiєнтованих на
використання комп’ютерiв, що можуть дати наближений розв’язок задачi.
Математичнi моделi руху n тiл iз використанням звичайних диференцiальних рiвнянь
не є точними, оскiльки не враховують скiнченну швидкiсть гравiтацiї. Це не дозволяє
використовувати їх на великих промiжках часу, оскiльки такi моделi дають великi похибки.
Точнiшими є моделi, що враховують дiю кожного тiла на iншi тiла системи, зумовленi
запiзненнями гравiтацiйних полiв, породжених кожним тiлом. У таких моделях замiсть
звичайних диференцiальних рiвнянь потрiбно використовувати диференцiальнi рiвняння
iз запiзнювальним аргументом. Такi моделi ми наведемо у подальшому.
Зазначимо, що у математичнiй моделi Сонячної системи з використанням диференцi-
альних рiвнянь iз запiзнювальним аргументом вiдхилення аргументiв є досить великими.
Наприклад, у рiвняннях руху Землi та Плутона деякi вiдхилення аргумента бiльшi за 8
та 328 хвилин вiдповiдно. Очевидно, що не враховувати такi запiзнювання при вивченнi
динамiки Сонячної системи на великих промiжках часу не можна.
Основною метою статтi є побудова моделi Сонячної системи з використанням рiвнянь
iз запiзнювальним аргументом та встановлення деяких властивостей такої моделi.
У п. 2 наведено класичну модель Сонячної системи, в якiй використовуються звичайнi
диференцiальнi рiвняння.
У п. 3 придiлено увагу скiнченнiй швидкостi гравiтацiї, що є пiдставою використати
для побудови математичної моделi Сонячної системи не звичайнi диференцiальнi рiвнян-
ня, а диференцiальнi рiвняння iз вiдхилювальним аргументом. Побудову такої моделi (iз
вiдхиленнями аргумента) виконано в п. 4.
У п. 5 наведено оцiнки для вiдхилень аргумента в побудованiй моделi Сонячної систе-
ми. Вiдхилення аргумента в такiй моделi набувають досить великих значень. Природним
є те, що Сонячна система є системою з пiслядiєю, i тому при вивченнi її властивостей
особливо на великих промiжках часу запiзнюваннями гравiтацiйного поля не можна не-
хтувати.
Завдяки скiнченнiй швидкостi гравiтацiї при русi матерiальних точок притягувальними
для них є точки в моменти часу, що враховують запiзнювання дiй на них вiдповiдних точок.
П. 6 присвячено дослiдженню змiщень у просторi цих притягувальних точок.
Основним наслiдком побудованої моделi Сонячної системи з пiслядiєю є уточнення
перших двох законiв Кеплера, що розглядаються в п. 7. Виявилося, що фокусами елiпти-
чних орбiт планет (якщо трохи збурити гравiтацiйне поле, породжене всiма складовими
Сонячної системи) є не центр Сонця, а iншi притягувальнi точки, якi для далеких вiд Сонця
планет знаходяться за межами сонячного диску.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
240 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
П. 8 присвячено можливим застосуванням побудованої моделi Сонячної системи та її
властивостей.
2. Класична модель Сонячної системи. Розглянемо систему n + 1 матерiальних точок
M0, M1, . . . , Mn з масами m0, m1, . . . , mn вiдповiдно. Рух цих точок будемо розглядати
в прямокутнiй системi координат x, y, z з початком у точцi O. Систему координат вва-
жатимемо iнерцiальною. Потрiбно знайти рiвняння руху цих точок, якщо на кожну точку
дiють лише сили всесвiтнього тяжiння зi сторони iнших точок системи. Положення точок
Mi, i = 0, n, визначається їхнiми радiусами-векторами
ri(t) = xi(t)i+ yi(t)j + zi(t)k, i = 0, n,
де xi(t), yi(t) i zi(t) — координати точки Mi в момент часу t.
Рiвняння руху точок системи визначається за допомогою другого закону Ньютона та
закону всесвiтнього тяжiння i має вигляд
mi
d2ri(t)
dt2
=
∑
j∈{0,1,...,n}\{i}
G
mimj
|rj(t)− ri(t)|3
(rj(t)− ri(t)) , i = 0, n, (1)
де G — гравiтацiйна стала, |rj(t) − ri(t)| — евклiдова довжина вектора rj(t) − ri(t),
G
mimj
|rj(t)− ri(t)|3
(rj(t)− ri(t)) —сила, з якою точка Mj притягує точку Mi. Напрямок цiєї
сили збiгається з напрямком вектора rj(t)− ri(t) [21].
Зазначимо, що у випадку n = 9 систему рiвнянь (1) можна використовувати для ви-
вчення руху Сонця i планет, якщо не враховувати дiю на них iнших складових Сонячної
системи (астероїдiв, комет тощо) та Галактики.
Для визначення радiусiв-векторiв точок Mi, i = 0, n, потрiбно знати початковi умови
r
(0)
i = ri(t0),
dr
(0)
i
dt
=
dri(t0)
dt
, i = 0, n, (2)
тобто значення радiусiв-векторiв i векторiв швидкостi всiх точок системи в початковий
момент часу t0, або значення радiусiв-векторiв точок у моменти часу t1 i t2 :
r
(1)
i = ri(t1), r
(2)
i = ri(t2), i = 0, n. (3)
Точнiшою математичною моделлю Сонячної системи є не система рiвнянь (1) при
n = 9, а система рiвнянь
mi
d2ri(t)
dt2
=
∑
j∈{0,1,...,n}\{i}
G
mimj
|rj(t)− ri(t)|3
(rj(t)− ri(t)) + F i(t), i = 0, n, (4)
при n = 9, в якiй F i(t) — сила, що дiє на планету з номером i та породжена малими
планетами, астероїдами, кометами, пиловими супутниками планет, Галактикою тощо.
Очевидно, що при дослiдженнi системи (4) потрiбно враховувати (2) або (3).
Далi будемо вважати, що в системi (4) m0 — маса Сонця, а m1 — маса однiєї з планет
Сонячної системи, наприклад Землi. Система диференцiальних рiвнянь, що описує рух
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 241
Таблиця 1
Назва Велика Перiод Ексцен- Екваторiаль- Маса,
планети пiввiсь a, обертання триситет, ний радiус, в одиницях
в а. о. P, в роках e в км маси Землi
Меркурiй 0,387 0,241 0,206 2240 0,055
Венера 0,723 0,615 0,007 6052 0,815
Земля 1,000 1,000 0,017 6378 1,000
Марс 1,524 1,881 0,093 3397 0,107
Юпiтер 5,203 11,862 0,048 71400 318
Сатурн 9,539 29,458 0,056 60000 95,2
Уран 19,19 84,015 0,047 25400 14,6
Нептун 30,07 164,79 0,009 24300 17,2
Плутон 39,52 247,7 0,253 2000 0,002
Сонця та цiєї планети, має вигляд
m0
d2r0(t)
dt2
= G
m0m1
|r1(t)− r0(t)|3
(r1(t)− r0(t)) + F
∗
0(t),
m1
d2r1(t)
dt2
= G
m1m0
|r0(t)− r1(t)|3
(r0(t)− r1(t)) + F
∗
1(t),
(5)
де
F
∗
0(t) =
∑
j∈{0,1,...,n}\{0,1}
G
m0mj
|rj(t)− r0(t)|3
(rj(t)− r0(t)) + F 0(t),
F
∗
1(t) =
∑
j∈{0,1,...,n}\{0,1}
G
m1mj
|rj(t)− r1(t)|3
(rj(t)− r1(t)) + F 1(t).
(6)
Будемо вважати, що сили F ∗0(t) i F ∗1(t) є вiдомими.
Щоб описати рух Сонця та Землi, потрiбно крiм (5) використати (2) або (3) при n = 2.
У другому рiвняннi системи (5), як видно з (6) та табл. 1, запозиченої з [25, с. 114], сила
F
∗
1(t) є значно меншою, нiж сила, що визначається першим доданком правої частини цього
рiвняння. Це випливає з того, що маса Сонця m0 у 332958 разiв бiльша за масу Землi m1,
а маса найважчої планети Юпiтер бiльша за масу Землi у 318 разiв.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
242 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Звiдси на пiдставi методiв теорiї збурень випливає, що рух Сонця i Землi (хоча б на
деякому вiдрiзку) мало вiдрiзняється вiд руху, що описується простiшою системою
m0
d2r0(t)
dt2
= G
m0m1
|r1(t)− r0(t)|3
(r1(t)− r0(t)) + F
∗
0(t),
m1
d2r1(t)
dt2
= G
m1m0
|r0(t)− r1(t)|3
(r0(t)− r1(t)).
(7)
У цiй системi знехтувати силою F
∗
0(t) не можна, оскiльки на пiдставi табл. 1 та закону
всесвiтнього тяжiння вплив Юпiтера на Сонце бiльший, нiж вплив Землi на Сонце. Тому
систему (5) не можна замiнити ще бiльш простою системою, нiж (7), а саме, системою
m0
d2r0(t)
dt2
= G
m0m1
|r1(t)− r0(t)|3
(r1(t)− r0(t)),
m1
d2r1(t)
dt2
= G
m1m0
|r0(t)− r1(t)|3
(r0(t)− r1(t)).
(8)
Iз наведеного випливає, що навiть у випадку класичних моделей Сонячної системи, що
є простiшими за реальнi моделi, дослiдження динамiки цiєї системи не є тривiальним.
3. Принцип запiзнювання гравiтацiйного поля. У теорiї Ньютона швидкiсть гравiтацiї
дорiвнює нескiнченностi i гравiтацiйне поле поширюється миттєво вiд джерела, як би
далеко вiд нього не знаходитися. З iншого боку, теорiя вiдносностi Ейнштейна постулює,
що швидкiсть гравiтацiї повинна дорiвнювати швидкостi свiтла. Розглянуту в п. 2 модель
руху системи матерiальних точок побудовано з використанням припущення, що дiя однiєї
точки на iншу вiдбувається з нескiнченною швидкiстю. Це є недолiком розглянутої моделi
та математичних моделей, що дослiджуються у класичнiй небеснiй механiцi. Насправдi,
швидкiсть гравiтацiї є скiнченною, що пiдтверджено експериментами С. М. Копєйкiна
i Е. Фомалонта [13], i збiгається зi швидкiстю свiтла c. Використання цiєї властивостi
гравiтацiї дає змогу суттєво покращити математичну модель руху системи матерiальних
точок та математичну модель Сонячної системи, уточнити деякi закони небесної механiки
та знайти новi властивостi дослiджуваних систем.
Далi з’ясуємо вплив скiнченної швидкостi гравiтацiї на вигляд математичних моделей,
що розглядаються в небеснiй механiцi.
Щоб не ускладнювати викладення матерiалу, обмежимося розглядом системи двох ма-
терiальних точок Mi i Mj з масами mi i mj , рух яких описується радiусами-векторами
ri(t) i rj(t) вiдповiдно (ми вважаємо, що rj(t) 6= ri(t)). Цi точки рухаються зi швидкостями
vi(t) =
dri(t)
dt
i vj(t) =
drj(t)
dt
. Нагадаємо, що використовується нерухома система коор-
динат iз початком у точцi O. Наведемо систему рiвнянь, що описує рух точок Mi i Mj i
враховує швидкiсть гравiтацiї. Спочатку з’ясуємо, яка сила дiє на точку Mi в момент часу
t, вважаючи, що на точки Mi i Mj не дiють iншi сили, крiм сили, з якою притягуються
точки. Ця сила не збiгається iз силою
F ji(t) = G
mimj
|rj(t)− ri(t)|3
(rj(t)− ri(t)), (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 243
6 ¬. fi. —Àfi—¿–◊”
sA
������������*
6vj(t)
sC
⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠:
rj(t � ⌧ji(t))
sB⇥⇥
⇥
⇥� vi(t)
sD
sO
rj(t)
ri(t)
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXz
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHj
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@I
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQk
ri(t � ⌧ji(t))
–ËÒ. 1
‰Â c — ¯‚ˉÍiÒÚ¸ „‡‚iÚ‡ˆiø.
ÕÂı‡È ÚÓ˜ÍË Mj i Mi Ûı‡˛Ú¸Òˇ ÔÓ ‚i‰ÔÓ‚i‰ÌËı Ú‡∫ÍÚÓiˇı, ˜‡ÒÚËÌË ˇÍËı ÁÓ·‡ÊÂÌÓ
̇ ËÒ. 1, i ‚ ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t � ⌧ji(t), ‰Â ⌧ji(t) Á‡‰Ó‚ÓÎ¸Ìˇ∫ (11), Á̇ıÓ‰ˇÚ¸Òˇ ‚ ÚӘ͇ı C i D
‚i‰ÔÓ‚i‰ÌÓ. «‡ ÔÓÏiÊÓÍ ˜‡ÒÛ [t � ⌧ji(t), t] ÚӘ͇ Mj ÔÂÂÏiÒÚËÚ¸Òˇ Á ÚÓ˜ÍË C ‚ ÚÓ˜ÍÛ A, ‡
ÚӘ͇ Mi — Á ÚÓ˜ÍË D ‚ ÚÓ˜ÍÛ B. ÷¸Ó„Ó ÔÓÏiÊÍÛ ˜‡ÒÛ ‰ÓÒÚ‡Ú̸Ó, ˘Ó· „‡‚iÚ‡ˆiÈÌ ÔÓÎÂ
Ái ¯‚ˉÍiÒÚ˛ c ÔÓ¯ËËÎÓÒ¸ iÁ ÚÓ˜ÍË C ‚ ÚÓ˜ÍÛ B. ŒÚÊÂ, ‚ ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t ̇ ÚÓ˜ÍÛ B ‰i∫ ÌÂ
ÒË· (9), ‡ ÒË· (10).
«‡ ‰ÓÔÓÏÓ„Ó˛ ‡Ì‡ÎÓ„i˜ÌËı ÏiÍÛ‚‡Ì¸ ÔËıÓ‰ËÏÓ ‰Ó ‚ËÒÌÓ‚ÍÛ, ˘Ó ÚӘ͇ Mi ÔËÚˇ„Û∫
ÚÓ˜ÍÛ Mj iÁ ÒËÎÓ˛
F ij⌧ (t) = G
mjmi
|ri(t � ⌧ij(t)) � rj(t)|3
(ri(t � ⌧ij(t)) � rj(t)),
‰Â Á‡ÔiÁÌÂÌÌˇ ⌧ij(t) Á‡‰Ó‚ÓÎ¸Ìˇ∫ ÒÔi‚‚i‰ÌÓ¯ÂÌÌˇ
c⌧ij(t) = |ri(t � ⌧ij(t)) � rj(t)|. (12)
¬‡ıÓ‚Û˛˜Ë Á̇ȉÂÌi ÒËÎË, ˘Ó ‰i˛Ú¸ ̇ ÚÓ˜ÍË Mi i Mj ‚ ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t, ÓÚËÏÛ∫ÏÓ Ì‡
Ôi‰ÒÚ‡‚i ‰Û„Ó„Ó Á‡ÍÓÌÛ Õ¸˛ÚÓ̇ ÒËÒÚÂÏÛ i‚ÌˇÌ¸, ˘Ó ÓÔËÒÛ∫ Ûı ˆËı ÚÓ˜ÓÍ:
mi
d2ri(t)
dt2
= G
mimj
|rj(t � ⌧ji(t)) � ri(t)|3
(rj(t � ⌧ji(t)) � ri(t)),
mj
d2rj(t)
dt2
= G
mjmi
|ri(t � ⌧ij(t)) � rj(t)|3
(ri(t � ⌧ij(t)) � rj(t)).
(13)
Œ˜Â‚ˉÌÓ, ˘Ó ‚ i‚ÌˇÌÌˇı ÒËÒÚÂÏË (13) ÏÓÊ̇ ‚ËÍÓ̇ÚË ÒÍÓÓ˜ÂÌÌˇ ̇ ‚i‰ÏiÌÌi ‚i‰ 0 χÒË
mi i mj ‚i‰ÔÓ‚i‰ÌÓ.
ISSN 1562-3076. ÕÂÎiÌiÈÌi ÍÓÎË‚‡ÌÌˇ, 2018, Ú . 21, N� 1
Рис. 1
як у теорiї Ньютона, а збiгається iз силою
F jiτ (t) = G
mimj∣∣rj(t− τji(t))− ri(t)
∣∣3
(
rj(t− τji(t))− ri(t)
)
, (10)
що враховує швидкiсть гравiтацiї. Запiзнювання гравiтацiї τji(t) в (10) визначається за
допомогою спiввiдношення
cτji(t) =
∣∣rj(t− τji(t))− ri(t)
∣∣, (11)
де c —швидкiсть гравiтацiї.
Нехай точки Mj i Mi рухаються по вiдповiдних траєкторiях, частини яких зображено
на рис. 1, i в момент часу t− τji(t), де τji(t) задовольняє (11), знаходяться в точках C i D
вiдповiдно. За промiжок часу [t− τji(t), t] точка Mj перемiститься з точки C в точку A, а
точка Mi — з точки D в точку B. Цього промiжку часу достатньо, щоб гравiтацiйне поле
зi швидкiстю c поширилось iз точки C в точку B. Отже, в момент часу t на точку B дiє
не сила (9), а сила (10).
За допомогою аналогiчних мiркувань приходимо до висновку, що точка Mi притягує
точку Mj iз силою
F ijτ (t) = G
mjmi∣∣ri(t− τij(t))− rj(t)
∣∣3
(
ri(t− τij(t))− rj(t)
)
,
де запiзнення τij(t) задовольняє спiввiдношення
cτij(t) =
∣∣ri(t− τij(t))− rj(t)
∣∣. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
244 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Враховуючи знайденi сили, що дiють на точки Mi i Mj в момент часу t, отримуємо на
пiдставi другого закону Ньютона систему рiвнянь, що описує рух цих точок:
mi
d2ri(t)
dt2
= G
mimj∣∣rj(t− τji(t))− ri(t)
∣∣3
(
rj(t− τji(t))− ri(t)
)
,
mj
d2rj(t)
dt2
= G
mjmi∣∣ri(t− τij(t))− rj(t)
∣∣3
(
ri(t− τij(t))− rj(t)
)
.
(13)
Очевидно, що в рiвняннях системи (13) можна виконати скорочення на вiдмiннi вiд 0 маси
mi i mj вiдповiдно.
Побудову системи (13) можна було б вважати завершеною, якби було обґрунтовано
iснування функцiй τji(t) i τij(t), для яких виконуються спiввiдношення (11) i (12). Ця
прогалина легко усувається за допомогою наступних нескладних мiркувань.
Зафiксуємо довiльний момент часу t i розглянемо випадок, коли для швидкостей vi(t)
i vj(t) руху точок Mi i Mj виконується спiввiдношення
max
{
|vi(s)|, |vj(s)|
}
≤ v0
для всiх моментiв часу s iз вiдрiзка [t − T, t] (тут v0 i T — додатнi скалярнi величини,
причому v0 значно менше за швидкiсть гравiтацiї c) i
cT > v0T +
∣∣rj(t)− ri(t)
∣∣. (14)
Тодi для неперервної на вiдрiзку [0, T ] функцiї g(τ) = cτ − |rj(t− τ)− ri(t)| з урахуванням
(14) виконуються спiввiдношення
g(0) < 0,
g(T ) = cT − |rj(t− T )− ri(t)| ≥
≥ cT − |rj(t− T )− rj(t)| − |rj(t)− ri(t)| ≥
≥ cT − v0T − |rj(t)− ri(t)| > 0.
Тому на пiдставi теореми Больцано –Кошi (див. [26, с. 168]) iснує така точка τ∗ ∈ (0, T ),
що g(τ∗) = 0, тобто cτ∗ = |rj(t−τ∗)−ri(t)|. Така точка на промiжку (0, T ) єдина, оскiльки
на цьому промiжку g(τ)
dτ
> 0. Очевидно, що τ∗ залежить вiд t.
Отже, iснування функцiї τji(t) обґрунтовано.
Аналогiчно обґрунтовується iснування функцiї τij(t).
Зазначимо, що завдяки теоремам про неявну функцiю (див. [26, с. 449 – 453]), застосов-
ним до (11) i (12), функцiї τji(t) i τij(t) є диференцiйовними i, отже, неперервними.
4. Модель Сонячної системи, що враховує швидкiсть гравiтацiї. У подальшому будемо
враховувати скiнченну швидкiсть гравiтацiї.
Завдяки розглянутому в п. 3 принципу запiзнювання гравiтацiйного поля рух системи
матерiальних точок M0, M1, . . . , Mn з масами m0, m1, . . . , mn по вiдношенню до нерухо-
мої прямокутної системи координат буде описуватися системою диференцiальних рiвнянь
iз вiдхилювальним аргументом
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 245
mi
d2ri(t)
dt2
=
∑
j∈{0,1,...,n}\{i}
G
mimj
|rj(t− τji(t))− ri(t)|3
×
×
(
rj(t− τji(t))− ri(t)
)
+ F i(t), i = 0, n, (15)
де функцiя τji(t) задовольняє спiввiдношення (11), а F i(t) — сила, що й у системi (4).
Тут
G
mimj∣∣rj(t− τji(t))− ri(t)
∣∣3
(
rj(t− τji(t))− ri(t)
)
—сила тяжiння, зумовлена дiєю (притягуванням) точки Mi точкою Mj (на пiдставi закону
всесвiтнього тяжiння й урахування запiзнення τji(t) гравiтацiї).
Iз рiвняннями з вiдхилювальним аргументом можна ознайомитись в [1 – 11].
Система (15), очевидно, описує рух матерiальних точок M0, M1, . . . , Mn краще, нiж
система (4), оскiльки враховує швидкiсть гравiтацiї.
Для повного опису руху матерiальних точок M0, M1, . . . , Mn також потрiбно викори-
стовувати для системи (15) додатковi умови, що є складнiшими, нiж аналогiчнi умови (2)
i (3) у випадку системи (1).
Розглянемо двi задачi, використавши функцiї τj(t) = maxi=0,n,i 6=j τji(t), j = 0, n.
Задача 1. Зафiксуємо довiльнi момент часу t0 i неперервнi на вiдрiзках [t0 − τi(t0), t0],
i = 0, n, векторнi функцiї ϕ0,i(s) i ϕ1,i(s), i = 0, n, вiдповiдно. Потрiбно знайти розв’язки
ri(t), i = 0, n, системи (15), що задовольняють початковi умови
ri(s) = ϕ0,i(s),
dri(s)
ds
= ϕ1,i(s), s ∈ [t0 − τi(t0), t0], i = 0, n. (16)
Задача 2. Нехай t1 i t2 — довiльнi моменти часу, для яких t1 < t2 − τji(t2) для всiх
i = 0, n, j = 0, n i i 6= j. Розглянемо двiчi неперервно диференцiйовнi на вiдрiзках [t1 −
−τi(t1), t1] i [t2 − τi(t2), t2], i = 0, n, векторнi функцiї ψ1,i(s) i ψ2,i(s), i = 0, n, вiдповiдно.
Потрiбно знайти розв’язки ri(t), i = 0, n, системи (15), що задовольняють умови
ri(s1) = ψ1,i(s1), s1 ∈ [t1 − τi(t1), t1],
ri(s2) = ψ2,i(s2), s2 ∈ [t2 − τi(t2), t2],
(17)
i = 0, n.
Систему (15) разом з умовами (16) або (17) при n = 9 можна розглядати якматематичну
модель Сонячної системи, що враховує скiнченну швидкiсть гравiтацiї.
Задачi знаходження розв’язкiв системи (15), що задовольняють умови (16) або (17),
можна використовувати, наприклад, при виведеннi на орбiти планет Сонячної системи
штучних об’єктiв або при визначеннi орбiт небесних тiл Сонячної системи (наприклад,
астероїдiв) за даними їх позицiйних спостережень.
Очевидно, що дослiджувати систему (15) з умовами (16) або (17) важче, нiж систему (4)
з умовами (2) або (3). Не зважаючи на це, у подальшому завдяки наявностi в системi (15)
вiдхилень аргумента, причиною яких є запiзнювання гравiтацiї, ми отримаємо новi власти-
востi руху матерiальних точок цiєї системи.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
246 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
5. Оцiнки для запiзнювань τ0i(t) в системi (15) при n = 9. У системi рiвнянь (15)
залежнi вiд часу t вiдхилення аргументу τji(t), i = 0, n, j = 0, n, i 6= j, при n = 9 можуть
набувати досить великих значень. Згiдно з (11) i (12) вiдхилення τji(t) залежить як вiд
вiдстанi мiж точками Mi i Mj , так i вiд швидкостей руху цих точок.
Наведемонижнi та верхнi оцiнки для τ01(t), τ02(t), . . . , τ09(t), щовiдповiдають планетам
Сонячної системи, врахувавши данi табл. 1.
Завдяки принципу запiзнювання гравiтацiйного поля, (11) та елiптичностi траєкторiй
планет Сонячної системи для τ0i(t), i = 1, 9, виконуються спiввiдношення
(1− ei)ai − vτ0i(t) ≤ τ0i(t)c ≤ (1 + ei)ai + vτ0i(t), i = 1, 9,
де v —швидкiсть руху Сонця, ai i ei —велика пiввiсь i ексцентриситет i-ї планети (точки
Mi ) вiдповiдно (згiдно з табл. 1). Звiдси отримуємо
(1− ei)ai
c+ v
≤ τ0i(t) ≤
(1 + ei)ai
c− v , i = 1, 9.
На пiдставi цих нерiвностей, даних табл. 1, а також того, що Сонце рухається навколо
ядра Галактики зi швидкiстю близько v = 21700 м/c, c = 299792458 м/c i астрономiчна
одиниця а.о. = 1495977870691 м, отримуємо оцiнки для τ0i(t), i = 1, 9.
Аналогiчнi оцiнки для τji(t), i, j = 1, 9, i 6= j, можна було б навести й у випадку, коли
i 6= 0. Зазначимо, що, наприклад,
max
t
τ09(t) < max
t
τ39(t).
Тут τ39(t) —запiзнювання, з яким гравiтацiйне поле Плутона приходить до Землi в момент
часу t.
Iз табл. 2 видно, що запiзнювання τji(t), i, j = 0, 9, i 6= j, у системi (15) при n = 9 є
достатньо великими.
Знехтувати цими запiзнюваннями (тобто замiнити систему (15) системою (4)) при
дослiдженнi динамiки Сонячної системи на великих промiжках часу не можна.Цей висновок
випливає з властивостей розв’язкiв звичайних диференцiальних рiвнянь i диференцiальних
рiвнянь iз вiдхилювальним аргументом.
Звернемо увагу на те, що математична модель Сонячної системи, подана з допомогою
звичайних диференцiальних рiвнянь, є динамiчною системою зi скiнченновимiрним фазовим
простором, а подана з допомогою диференцiальних рiвнянь iз запiзнювальним аргументом,
є динамiчною системою з нескiнченновимiрним фазовим простором. Завдяки цьому не кожна
властивiсть другої моделi характерна для першої моделi.
6. Закон про змiщення притягувальної точки.Як i в п. 3, розглянемо двi матерiальнi точки
Mi i Mj з масами mi i mj , рух яких здiйснюється за законами Ньютона (припускаємо,
що iншi сили, крiм сил тяжiння, на цi точки не дiють). Рух точок описується радiусами-
векторами ri(t) i rj(t), що є розв’язками системи рiвнянь (13). За принципом запiзнювання
гравiтацiї (див. п. 3 i рис. 1) на точку Mi в момент часу t дiє сила, направлена з точки B
в точку C, що є притягувальною точкою для точки B в момент часу t, а не точка A, як у
теорiї Ньютона. Ця точка (точка C ) є кiнцем радiуса-вектора rj(t− τji(t)).
Покажемо, що для вектора BC = rj(t − τji(t)) − ri(t), який вказує на розмiщення
притягувальної точки для точки B в момент часу t, справджується спiввiдношення
BC ≈ BA−
∣∣BC
∣∣ c−1vj(t), (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 247
Таблиця 2
Планета Оцiнки для τ0i(t), в сек
Меркурiй 153,32 < τ01(t) < 232,92
Венера 358,22 < τ02(t) < 363,34
Земля 490,48 < τ03(t) < 507,34
Марс 689,7 < τ04(t) < 831,27
Юпiтер 2471,51 < τ05(t) < 2721,15
Сатурн 4493,12 < τ06(t) < 5026,94
Уран 9125,17 < τ07(t) < 10026,7
Нептун 14868,95 < τ08(t) < 15141,22
Плутон 14730,27 < τ09(t) < 24711,79
де BA = rj(t)− ri(t) i vj(t) =
drj(t)
dt
(див. рис. 2), яке наближено дає змiщення
∆1 = −
∣∣BC
∣∣ c−1vj(t) (19)
притягувальної точки Mj для Mi (точки B ) у момент часу t (справжнє змiщення — це
∆ = AC ). Величину похибки δ1 у спiввiдношеннi (18) наведемо пiзнiше.
Зазначимо, що притягувальнi точки, породженi рухом Сонця, для планет Сонячної
системи розмiщенi досить далеко вiд центру Сонця (див. табл. 3).
Для отримання похибки δ1 в (18) оцiнимо величину
∣∣BC −
(
BA−
∣∣BC
∣∣ c−1vj(t)
)∣∣ .
Оскiльки функцiя rj(t) є неперервно диференцiйовною, то на пiдставi теореми про
скiнченнi прирости (див. [27, с. 80 – 82])
∣∣rj(t− τji(t))− rj(t)
∣∣ ≤ τji(t) sup
s∈(t−τji(t),t)
|vj(s)|
∣∣rj(t− τji(t))− rj(t) + τji(t)vj(t)
∣∣ ≤ τji(t) sup
s∈(t−τji(t),t)
|vj(s)− vj(t)| .
Тому з урахуванням спiввiдношення (11)
∣∣BC −
(
BA−
∣∣BC
∣∣ c−1vj(t)
)∣∣ =
=
∣∣(rj(t− τji(t))− ri(t)
)
−
((
rj(t)− ri(t)
)
−
−|rj(t− τji(t))− ri(t)|c−1vj(t)
)∣∣ =
=
∣∣(rj(t− τji(t))− rj(t)
)
+ |rj(t− τji(t))− ri(t)|c−1vj(t)
∣∣ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
248 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
10 ¬. fi. —Àfi—¿–◊”
sA
������������*
6
?
vj(t)
s
C
sC⇤
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ}
⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠⇠:
rj(t � ⌧ji(t))
sB
sO
rj(t)
ri(t)
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXz@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@I
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQk
–ËÒ. 2
BC ⇡ BC⇤
BC⇤ = BA + AC⇤
AC⇤ = �
��BC
�� c�1vj(t)
Á‡ÔiÁÌ˛‚‡ÌÌˇ „‡‚iÚ‡ˆiø (‰Ë‚. Ô. 3 i ËÒ. 1) ̇ ÚÓ˜ÍÛ Mi ‚ ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t ‰i∫ ÒË·, ̇ԇ‚ÎÂ̇
Á ÚÓ˜ÍË B ‚ ÚÓ˜ÍÛ C, ˘Ó ∫ ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓ˛ ÚÓ˜ÍÓ˛ ‰Îˇ ÚÓ˜ÍË B ‚ ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t, ‡ Ì ÚӘ͇
A, ˇÍ Û ÚÂÓiø Õ¸˛ÚÓ̇. ÷ˇ ÚӘ͇ (ÚӘ͇ C) ∫ ÍïÂÏ ‡‰iÛÒ‡-‚ÂÍÚÓ‡ rj(t � ⌧ji(t)).
œÓ͇ÊÂÏÓ, ˘Ó ‰Îˇ ‚ÂÍÚÓ‡ BC = rj(t � ⌧ji(t)) � ri(t), ˇÍËÈ ‚͇ÁÛ∫ ̇ ÓÁÏi˘ÂÌÌˇ
ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË ‰Îˇ ÚÓ˜ÍË B ‚ ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t, ÒÔ‡‚‰ÊÛ∫Ú¸Òˇ ÒÔi‚‚i‰ÌÓ¯ÂÌÌˇ
BC ⇡ BA �
��BC
�� c�1vj(t), (18)
‰Â BA = rj(t) � ri(t) i vj(t) =
drj(t)
dt
(‰Ë‚. ËÒ. 2), ˇÍ ̇·ÎËÊÂÌÓ ‰‡∫ ÁÏi˘ÂÌÌˇ
�1 = �
��BC
�� c�1vj(t) (19)
ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË Mj ‰Îˇ Mi (ÚÓ˜ÍË B) Û ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t (ÒÔ‡‚ÊÌ∫ ÁÏi˘ÂÌÌˇ — ˆÂ
� = AC). ¬Â΢ËÌÛ ÔÓıË·ÍË �1 Û ÒÔi‚‚i‰ÌÓ¯ÂÌÌi (18) ̇‚‰ÂÏÓ ÔiÁÌi¯Â.
«‡Á̇˜ËÏÓ, ˘Ó ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸Ìi ÚÓ˜ÍË, ÔÓÓ‰ÊÂÌi ÛıÓÏ —Ó̈ˇ, ‰Îˇ Ô·ÌÂÚ —ÓÌˇ˜ÌÓø
ÒËÒÚÂÏË ÓÁÏi˘ÂÌi ‰ÓÒËÚ¸ ‰‡ÎÂÍÓ ‚i‰ ˆÂÌÚÛ —Ó̈ˇ (‰Ë‚. Ú‡·Î. 3).
ƒÎˇ ÓÚËχÌÌˇ ÔÓıË·ÍË �1 ‚ (18) ÓˆiÌËÏÓ ‚Â΢ËÌÛ
��BC �
�
BA �
��BC
�� c�1vj(t)
��� .
ŒÒÍiθÍË ÙÛÌ͈iˇ rj(t) ∫ ÌÂÔ‚ÌÓ ‰ËÙÂÂ̈iÈÓ‚ÌÓ˛, ÚÓ Ì‡ Ôi‰ÒÚ‡‚i ÚÂÓÂÏË ÔÓ
ÒÍi̘ÂÌÌi ÔËÓÒÚË (‰Ë‚. [27, Ò. 80 – 82])
|rj(t � ⌧ji(t)) � rj(t)| ⌧ji(t) sup
s2(t�⌧ji(t),t)
|vj(s)|
|rj(t � ⌧ji(t)) � rj(t) + ⌧ji(t)vj(t)| ⌧ji(t) sup
s2(t�⌧ji(t),t)
|vj(s) � vj(t)| .
“ÓÏÛ Á Û‡ıÛ‚‡ÌÌˇÏ ÒÔi‚‚i‰ÌÓ¯ÂÌÌˇ (11)
ISSN 1562-3076. ÕÂÎiÌiÈÌi ÍÓÎË‚‡ÌÌˇ, 2018, Ú . 21, N� 1
Рис. 2
≤
∣∣−τji(t)vj(t) + |rj(t− τji(t))− ri(t)|c−1vj(t)
∣∣+ τji(t) sup
s∈(t−τji(t),t)
|vj(s)− vj(t)| =
=
∣∣−|rj(t− τji(t))− ri(t)|c−1vj(t) + |rj(t− τji(t))− ri(t)|c−1vj(t)
∣∣+
+ τji(t) sup
s∈(t−τji(t),t)
|vj(s)− vj(t)| = τji(t) sup
s∈(t−τji(t),t)
|vj(s)− vj(t)| .
Отже, змiщення AC притягувальної точки C, зумовлене рухом точки Mj зi швидкiстю
vj(t) в момент часу t, можна наблизити вектором ∆1 (див. (19)) i для похибки δ1 такого
наближення справджується спiввiдношення
δ1 ≤ τji(t) sup
s∈(t−τji(t),t)
|vj(s)− vj(t)| . (20)
Запишемо це спiввiдношення у зручному для застосувань виглядi. Застосувавши до
правої частини (20) теорему про скiнченнi прирости, отримаємо
δ1 ≤ τ2ji(t) sup
t−τji(t)<s<t
Gmi
|ri(s− τij(s))− rj(s)|2
. (21)
Оцiнимо знизу
∣∣ri(s − τij(s)) − rj(s)
∣∣ за допомогою
∣∣rj(s − τji(s)) − ri(s)
∣∣, використавши
позначення
vi,s = sup
s−τij(s)<ν<s
|vi(ν)| i vj,s = sup
s−τji(s)<ν<s
|vj(ν)| .
Очевидно, що
∣∣ |ri(s− τij(s))− rj(s)| − |rj(s− τji(s))− ri(s)|
∣∣ ≤
≤
∣∣ (ri(s− τij(s))− rj(s)) + (rj(s− τji(s))− ri(s))
∣∣ ≤
≤
∣∣ri(s− τij(s))− ri(s)
∣∣+
∣∣rj(s− τji(s))− rj(s)
∣∣ ≤ τij(s)vi,s + τji(s)vj,s
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 249
Таблиця 3
Планета Змiщення ∆1
притягувальної
точки, в км
Меркурiй 41905,9227
Венера 78289,9227
Земля 108284,038
Марс 165024,873
Юпiтер 563401,849
Сатурн 1032921,43
Уран 2077970,68
Нептун 3256101,02
Плутон 4279385,18
i
|rj(s− τji(s))− ri(s)|+ τij(s)vi,s + τji(s)vj,s ≥ τij(s)c,
тому
|rj(s− τji(s))− ri(s)|+ τji(s)vj,s
c− vi,s
= τji(s)
c+ vj,s
c− vi,s
≥ τij(s). (22)
Оскiльки
|ri(s− τij(s))− ri(s)| ≥ |rj(s− τji(s))− ri(s)| − τij(s)vi,s − τji(s)vj,s,
то завдяки (22)
|ri(s− τij(s))− ri(s)| ≥ |rj(s− τji(s))− ri(s)| − τji(s)vj,s −
c+ vj,s
c− vi,s
vi,s =
= τji(s)
(
c− vj,s −
c+ vj,s
c− vi,s
vi,s
)
= τji(s)
c− vj,s − 2vi,s
c− vi,s
.
Звiдси на пiдставi (21) отримуємо остаточну оцiнку для δ1 :
δ1 ≤ sup
t−τji(t)<s<t
τ2ji(t)Gmi(c− vi,s)2
τ2ji(s)c
2(c− vj,s − 2vi,s)2
,
за допомогою якої можна знаходити похибку формули (19) для кожної планети, якщо не
враховувати вплив на неї та на Сонце iнших складових Сонячної системи.
Зауважимо, що в табл. 3 наведено змiщення ∆1 =
∣∣∆1
∣∣ для притягувальних точок
планет Сонячної системи (з урахуванням даних табл. 1, спiввiдношення (19), швидкостi
рухуСонця та того,що вiдстань вiдСонця до Землi наближено дорiвнює 149597870,691 км).
Порiвнюючи данi цiєї таблицi з радiусом Сонця, що наближено дорiвнює 695217,26 км,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
250 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
ÿ“≈ÿ“»◊Õ¿ ÃŒƒ≈À‹ —ŒÕfl◊ÕŒØ —»—“≈û . . . 13
«’ˇÒÛ∫ÏÓ, Ôi‰ ˇÍËÏ ÍÛÚÓÏ ‚ˉÌÓ ˆÂÈ ‚i‰iÁÓÍ iÁ ÚÓ˜ÍË ÒÔÓÒÚÂÂÊÂÌÌˇ B (ÚÓ˜ÍË Mi ‚
ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t). ÷ÂÈ ÍÛÚ ·Û‰ÂÏÓ Ì‡ÁË‚‡ÚË ÍÛÚÓ‚ËÏ ÁÏi˘ÂÌÌˇÏ ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË ‚
ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t ‡·Ó ÍÛÚÓ‚Ó˛ ‚i‰ÒÚ‡ÌÌ˛ ÏiÊ ÚÓ˜ÍÓ˛ Mj i ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓ˛ ÚÓ˜ÍÓ˛ C ‚
ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t.
sA
6
?
vj(t)
R(t)
s
C
sC⇤
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ}
@
@
@
sB@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@I
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQk
↵
�
'
a
sA
6
?
vj(t)
R(t)
s
C s
C⇤
HHHHHHHHHHHHY
@
@
@
sB@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@I
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQk
↵
�
'
·
–ËÒ. 3
IÁ ËÒ. 3 (‡ — ' > �, · ' < �,), ËÒ. 4 Ú‡ ÓÁ̇˜Â̸ ÚË„ÓÌÓÏÂÚ˘ÌËı ÙÛÌ͈iÈ ‚ËÔÎË-
‚‡∫, ˘Ó ��R(t)
�� sin� =
��AC⇤�� sin(↵+ �) =
��R(t)
�� c�1|vj(t)| sin(↵+ �),
ÚÓ·ÚÓ
sin� = c�1|vj(t)| sin(↵+ �) = c�1|vj(t)|(sin↵ cos� + cos↵ sin�).
«‚i‰ÒË ÓÚËÏÛ∫ÏÓ
� = arctg
c�1|vj(t)| sin↵
1 � c�1|vj(t)| cos↵
. (23)
«‡Á̇˜ËÏÓ, ˘Ó ↵ — ÍÛÚ ÏiÊ ‚ÂÍÚÓ‡ÏË vj(t) i R(t) = rj(t) � ri(t).
¬‡ıÓ‚Û˛˜Ë (20), ‡ Ú‡ÍÓÊ ÚÂ, ˘Ó
��BC
�� = |rj(t � ⌧ji(t)) � ri(t)| �
��BA
���
��AC⇤���
��CC⇤�� =
��R(t)
���
��AC⇤���
��CC⇤�� ,
Ú‡ ‚ËÍÓËÒÚÓ‚Û˛˜Ë ËÒ. 3, Ó‰ÂÊÛ∫ÏÓ
sin |'� �|
��CC⇤��
��R(t)
���
��AC⇤���
��CC⇤�� �2, (24)
‰Â
�2 =
⌧ji(t) sups2(t�⌧ji(t),t) |vj(s) � vj(t)|��R(t)
���
��R(t)
�� c�1|vj(t)| � ⌧ji(t) sups2(t�⌧ji(t),t) |vj(s) � vj(t)|
. (25)
ISSN 1562-3076. ÕÂÎiÌiÈÌi ÍÓÎË‚‡ÌÌˇ, 2018, Ú . 21, N� 1
ÿ“≈ÿ“»◊Õ¿ ÃŒƒ≈À‹ —ŒÕfl◊ÕŒØ —»—“≈û . . . 13
«’ˇÒÛ∫ÏÓ, Ôi‰ ˇÍËÏ ÍÛÚÓÏ ‚ˉÌÓ ˆÂÈ ‚i‰iÁÓÍ iÁ ÚÓ˜ÍË ÒÔÓÒÚÂÂÊÂÌÌˇ B (ÚÓ˜ÍË Mi ‚
ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t). ÷ÂÈ ÍÛÚ ·Û‰ÂÏÓ Ì‡ÁË‚‡ÚË ÍÛÚÓ‚ËÏ ÁÏi˘ÂÌÌˇÏ ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË ‚
ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t ‡·Ó ÍÛÚÓ‚Ó˛ ‚i‰ÒÚ‡ÌÌ˛ ÏiÊ ÚÓ˜ÍÓ˛ Mj i ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓ˛ ÚÓ˜ÍÓ˛ C ‚
ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t.
sA
6
?
vj(t)
R(t)
s
C
sC⇤
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ}
@
@
@
sB@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@I
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQk
↵
�
'
a
sA
6
?
vj(t)
R(t)
s
C s
C⇤
HHHHHHHHHHHHY
@
@
@
sB@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@I
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQk
↵
�
'
·
–ËÒ. 3
IÁ ËÒ. 3 (‡ — ' > �, · ' < �,), ËÒ. 4 Ú‡ ÓÁ̇˜Â̸ ÚË„ÓÌÓÏÂÚ˘ÌËı ÙÛÌ͈iÈ ‚ËÔÎË-
‚‡∫, ˘Ó ��R(t)
�� sin� =
��AC⇤�� sin(↵+ �) =
��R(t)
�� c�1|vj(t)| sin(↵+ �),
ÚÓ·ÚÓ
sin� = c�1|vj(t)| sin(↵+ �) = c�1|vj(t)|(sin↵ cos� + cos↵ sin�).
«‚i‰ÒË ÓÚËÏÛ∫ÏÓ
� = arctg
c�1|vj(t)| sin↵
1 � c�1|vj(t)| cos↵
. (23)
«‡Á̇˜ËÏÓ, ˘Ó ↵ — ÍÛÚ ÏiÊ ‚ÂÍÚÓ‡ÏË vj(t) i R(t) = rj(t) � ri(t).
¬‡ıÓ‚Û˛˜Ë (20), ‡ Ú‡ÍÓÊ ÚÂ, ˘Ó
��BC
�� = |rj(t � ⌧ji(t)) � ri(t)| �
��BA
���
��AC⇤���
��CC⇤�� =
��R(t)
���
��AC⇤���
��CC⇤�� ,
Ú‡ ‚ËÍÓËÒÚÓ‚Û˛˜Ë ËÒ. 3, Ó‰ÂÊÛ∫ÏÓ
sin |'� �|
��CC⇤��
��R(t)
���
��AC⇤���
��CC⇤�� �2, (24)
‰Â
�2 =
⌧ji(t) sups2(t�⌧ji(t),t) |vj(s) � vj(t)|��R(t)
���
��R(t)
�� c�1|vj(t)| � ⌧ji(t) sups2(t�⌧ji(t),t) |vj(s) � vj(t)|
. (25)
ISSN 1562-3076. ÕÂÎiÌiÈÌi ÍÓÎË‚‡ÌÌˇ, 2018, Ú . 21, N� 1
Рис. 3
приходимо до висновку, що для Сатурна, Урана, НептунатаПлутона притягувальнi точки
знаходяться за межами Сонця.
Зазначимо, що всi складовi Сонячної системи (планети, супутники планет, астероїди
тощо) впливають на розмiщення притягувальних точок планет Сонячної системи. Однак
цей вплив не є суттєвим, оскiльки маса Сонця значно бiльша за суму мас планет та iнших
складових цiєї системи.
Вiдрiзок AC, що вiдповiдає змiщенню AC притягувальної точки C в момент часу t,
будемо називати вiдрiзком змiщення притягувальної точки в момент часу t.
З’ясуємо, пiд яким кутом видно цей вiдрiзок iз точки спостереження B (точки Mi
в момент часу t). Цей кут будемо називати кутовим змiщенням притягувальної точки в
момент часу t або кутовою вiдстанню мiж точкою Mj i притягувальною точкою C в
момент часу t .
Iз рис. 3 (випадки ϕ > β i ϕ < β ) та означень тригонометричних функцiй випливає, що
∣∣R(t)
∣∣ sinβ =
∣∣AC∗
∣∣ sin(α+ β) =
∣∣R(t)
∣∣ c−1|vj(t)| sin(α+ β),
тобто
sinβ = c−1|vj(t)| sin(α+ β) = c−1|vj(t)|(sinα cosβ + cosα sinβ).
Звiдси отримуємо
β = arctg
c−1|vj(t)| sinα
1− c−1|vj(t)| cosα
. (23)
Зазначимо, що α — кут мiж векторами vj(t) i R(t) = rj(t)− ri(t).
Враховуючи (20), а також те, що
∣∣BC
∣∣ = |rj(t− τji(t))− ri(t)| ≥
∣∣BA
∣∣−
∣∣AC∗
∣∣−
∣∣CC∗
∣∣ =
∣∣R(t)
∣∣−
∣∣AC∗
∣∣−
∣∣CC∗
∣∣ ,
та використовуючи рис. 3, одержуємо
sin |ϕ− β| ≤
∣∣CC∗
∣∣
∣∣R(t)
∣∣−
∣∣AC∗
∣∣−
∣∣CC∗
∣∣ ≤ δ2, (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 251
де
δ2 =
τji(t) sups∈(t−τji(t),t) |vj(s)− vj(t)|∣∣R(t)
∣∣−
∣∣R(t)
∣∣ c−1|vj(t)| − τji(t) sups∈(t−τji(t),t) |vj(s)− vj(t)|
. (25)
Оскiльки
β − |ϕ− β| ≤ ϕ ≤ β + |ϕ− β|, (26)
то на пiдставi (23) i (24), а також того, що величина ε = sups∈(t−τji(t),t) |vj(t)| є достатньо
малою (у випадку, коли vj(t) — швидкiсть руху Сонця, ε ≈ 0,000723834), та спiввiдноше-
ння
max
{
| arcsinx− x|, |arctgx− x|
}
≤ |x|
3
3
, |x| ≤ 1
10
(див. [28, c. 103]), отримуємо
|ϕ− β| ≤ arcsin δ2, (27)
∣∣∣∣arctg
µ
1− ν − µ
∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣
µ
1− ν − µ
∣∣∣∣+
∣∣∣∣arctg
µ
1− ν −
µ
1− ν
∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣
µ
1− |ν| − µ
∣∣∣∣+
1
3
(
µ
1− |ν|
)3
≤ µ
(
|ν|+ |ν|2 + |ν|3 + . . .
)
+
+
1
3
µ3
(
|1 + ν|+ |ν|2 + |ν|3 + . . .
)3 ≤ 2ε2, (28)
де µ =
|vj(t)|
c
sinα i ν =
|vj(t)|
c
cosα.
Отже, на пiдставi спiввiдношень (23) – (28) для кутової вiдстанi ϕ мiж точкою Mj
i притягувальною точкою C в кожний момент часу t справджується спiввiдношення
ϕ =
|vj(t)|
c
sinα (29)
з похибкою, що не перевищує δ3 = arcsin δ2 +
2v2j,t
c2
, де vj,t = supt−τji(t)<ν<t |vj(ν)| .
7. Уточнення законiв Кеплера. Кiнематична картина руху планет у класичнiй небеснiй
механiцi (див. [29, с. 138]) визначається трьома законами Кеплера:
1. Кожна планета рухається по елiпсу, в одному з фокусiв якого знаходиться Сонце.
2. Площа, що описується радiусом-вектором планети, проведеним iз Сонця, зростає про-
порцiйно часу.
3. Квадрати перiодiв обертання планет навколо Сонця вiдносяться як куби великих пiв-
осей їх орбiт.
Уточнимо першi два закони з урахуванням скiнченної швидкостi гравiтацiї.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
252 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
ÿ“≈ÿ“»◊Õ¿ ÃŒƒ≈À‹ —ŒÕfl◊ÕŒØ —»—“≈û . . . 15
«‡ÏiÒÚ¸ Ô¯Ëı ‰‚Óı Á‡ÍÓÌi‚ ÂÔ· ÒÔ‡‚‰ÊÛ˛Ú¸Òˇ ̇ÒÚÛÔÌi ‰‚‡ ڂ‰ÊÂÌÌˇ.
1⇤. ÓÊ̇ Ô·ÌÂÚ‡ Ûı‡∫Ú¸Òˇ ̇‚ÍÓÎÓ ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË (ÚÓ˜ÍË C), ˘Ó Ì Á·i-
„‡∫Ú¸Òˇ Á ˆÂÌÚÓÏ —Ó̈ˇ. √‡‚iÚ‡ˆiÈÌ ÔÓÎÂ, ÔÓÓ‰ÊÂÌ —Ó̈ÂÏ i Ô·ÌÂÚÓ˛, ÏÓÊ̇
Ú‡Í Á·ÛËÚË (Á·ÛÂÌÌˇ ‰ÓÒËÚ¸ χΠ(Û ‚ËÔ‡‰ÍÛ —Ó̈ˇ i «ÂÏÎi ‚i‰ÌÓ¯ÂÌÌˇ ‚Â΢ËÌË Á·Û-
ÂÌÌˇ ‰Ó ‚Â΢ËÌË ÒËÎË ÚˇÊiÌÌˇ ∫ ‚Â΢ËÌÓ˛, ÏÂÌ¯Ó˛ 1, 44864811 · 10�3)), ˘Ó Ô·ÌÂÚ‡
‚ ÌÓ‚ÓÏÛ ÒËÎÓ‚ÓÏÛ ÔÓÎi Ûı‡ÚËÏÂÚ¸Òˇ ÔÓ ÂÎiÔÒÛ, ‚ Ó‰ÌÓÏÛ Á ÙÓÍÛÒi‚ ˇÍÓ„Ó Á̇ıÓ‰ËÚ¸Òˇ
Ì ˆÂÌÚ —Ó̈ˇ, ‡ ÚӘ͇ F2, ·ÎËÁ¸Í‡ ‰Ó ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË C (‰Ë‚. ËÒ. 4 ‡, ‰Â F1 i
F2 — ÙÓÍÛÒË ÂÎiÔÒ‡, S — ˆÂÌÚ —Ó̈ˇ, v(t) — ¯‚ˉÍiÒÚ¸ ÛıÛ —Ó̈ˇ ‚ ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t, L –
˜‡ÒÚË̇ Ó·iÚË —Ó̈ˇ, � — ‚i‰Òڇ̸ ÏiÊ ÚӘ͇ÏË F2 i S (� ⇡ �1)). «‡Û‚‡ÊËÏÓ, ˘Ó Á‡‚-
‰ˇÍË Ï‡ÎÓÏÛ Á·ÛÂÌÌ˛ „‡‚iÚ‡ˆiÈÌÓ„Ó ÔÓΡ i ‚ÂÎËÍiÈ Ï‡Òi —Ó̈ˇ Ú‡∫ÍÚÓiˇ ÛıÛ —Ó̈ˇ i
ÍÓÓ‰Ë̇ÚË ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË ‰Îˇ Ô·ÌÂÚË Ï‡ÎÓ ÁÏiÌˇÚ¸Òˇ; ÓÚÊÂ, F2 ⇡ C.
2⇤. √‡‚iÚ‡ˆiÈÌ ÔÓÎÂ, ÔÓÓ‰ÊÂÌ —Ó̈ÂÏ i Ô·ÌÂÚÓ˛, ÏÓÊ̇ Ú‡Í Á·ÛËÚË (Á·ÛÂÌÌˇ
Ú‡ÍÂ, ˇÍ i ‚ 1⇤), ˘Ó ÔÎÓ˘‡, ˇÍ‡ ÓÔËÒÛ∫Ú¸Òˇ ‡‰iÛÒÓÏ-‚ÂÍÚÓÓÏ Ô·ÌÂÚË, Ôӂ‰ÂÌËÏ Ì Á
ˆÂÌÚÛ —Ó̈ˇ, ‡ Á ÚÓ˜ÍË F2, ·ÎËÁ¸ÍÓø ‰Ó ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË C, ÁÓÒÚ‡∫ ÔÓÔÓˆiÈÌÓ
˜‡ÒÛ (‰Ë‚. ËÒ. 4 ·, ‰Â ‚ËÍÓËÒÚ‡ÌÓ Úi Ò‡Ïi ÔÓÁ̇˜ÂÌÌˇ, ˘Ó È Ì‡ ËÒ. 4 ‡).
r r
⇤
⇤
⇤
⇤
�XXXX XXy
XXXz
F1 F2 t
S
XXXXz
v(t)
L
F2 ⇡ C sœÎ‡ÌÂÚ‡
‡
r r
sœÎ‡ÌÂÚ‡
�
�
�
XXXXXXXXXXXXX
PPPPPPPPPPPP
F1 F2 t
S
XXXXz
v(t)
L
F2 ⇡ C
·
–ËÒ. 4
«‡Á̇˜ËÏÓ, ˘Ó Û ‚ËÔ‡‰ÍÛ Í·Ò˘ÌÓø ÏÓ‰ÂÎi —ÓÌˇ˜ÌÓø ÒËÒÚÂÏË ˆÂÌÚ —Ó̈ˇ ∫ ÒÔiθÌËÏ
ÙÓÍÛÒÓÏ ‰Îˇ ‚Òiı ÂÎiÔÚ˘ÌËı Ó·iÚ Ô·ÌÂÚ. Œ‰Ì‡Í Á‡ ÔË̈ËÔÓÏ Á‡ÔiÁÌ˛‚‡ÌÌˇ „‡‚iÚ‡-
ˆiÈÌÓ„Ó ÔÓΡ ÍÓÊ̇ Ô·ÌÂÚ‡ Ûı‡∫Ú¸Òˇ ̇‚ÍÓÎÓ „Ò‚Ó∫ø” ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË, ˘Ó ÌÂ
Á·i„‡∫Ú¸Òˇ Á ˆÂÌÚÓÏ —Ó̈ˇ, i ˆi ÚÓ˜ÍË ÔÓÔ‡ÌÓ Ì Á·i„‡˛Ú¸Òˇ ÏiÊ ÒÓ·Ó˛ (‰Ë‚. Ú‡·Î. 3,
‰Â ̇‚‰ÂÌÓ ÁÏi˘ÂÌÌˇ ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌËı ÚÓ˜ÓÍ Ô·ÌÂÚ ‚i‰ÌÓÒÌÓ ˆÂÌÚÛ —Ó̈ˇ).
ƒ‡Îi ̇‚‰ÂÏÓ Ó·¥ÛÌÚÛ‚‡ÌÌˇ ڂ‰ÊÂ̸ 1⇤ i 2⇤. ÷ ÁÓ·ËÏÓ Á‡ ‰ÓÔÓÏÓ„Ó˛ ̇ÒÚÛÔÌËı
˜ÓÚ˸Óı ÍÓÍi‚ (ÔÔ. 7.2 – 7.5).
7.2. œÓ·Û‰Ó‚‡ i‚ÌˇÌÌˇ ÛıÛ Ï‡ÚÂi‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË Ì‡‚ÍÓÎÓ ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË, ÔÓ-
Ó‰ÊÂÌÓø iÌ¯Ó˛ χÚÂi‡Î¸ÌÓ˛ ÚÓ˜ÍÓ˛. –ÓÁ„ΡÌÂÏÓ Á‡‰‡˜Û ÔÓ Ûı ‰‚Óı ÚÓ˜ÓÍ M0 i M1
Á χ҇ÏË m0 i m1 Á Û‡ıÛ‚‡ÌÌˇÏ ¯‚ˉÍÓÒÚi „‡‚iÚ‡ˆiø. Õ‡ Ôi‰ÒÚ‡‚i ÔË̈ËÔÛ Á‡ÔiÁÌ˛‚‡-
ÌÌˇ „‡‚iÚ‡ˆiÈÌÓ„Ó ÔÓΡ Ûı ÚÓ˜ÓÍ M0 i M1 ÓÔËÒÛ∫Ú¸Òˇ ÒËÒÚÂÏÓ˛ ‰‚Óı ‰ËÙÂÂ̈i‡Î¸ÌËı
i‚ÌˇÌ¸ iÁ ‚i‰ıËβ‚‡Î¸ÌËÏ ‡„ÛÏÂÌÚÓÏ
d2r0(t)
dt2
=
Gm1
|r1(t � ⌧10(t)) � r0(t)|3
(r1(t � ⌧10(t)) � r0(t)),
d2r1(t)
dt2
=
Gm0
|r0(t � ⌧01(t)) � r1(t)|3
(r0(t � ⌧01(t)) � r1(t)),
(30)
ISSN 1562-3076. ÕÂÎiÌiÈÌi ÍÓÎË‚‡ÌÌˇ, 2018, Ú . 21, N� 1
ÿ“≈ÿ“»◊Õ¿ ÃŒƒ≈À‹ —ŒÕfl◊ÕŒØ —»—“≈û . . . 15
«‡ÏiÒÚ¸ Ô¯Ëı ‰‚Óı Á‡ÍÓÌi‚ ÂÔ· ÒÔ‡‚‰ÊÛ˛Ú¸Òˇ ̇ÒÚÛÔÌi ‰‚‡ ڂ‰ÊÂÌÌˇ.
1⇤. ÓÊ̇ Ô·ÌÂÚ‡ Ûı‡∫Ú¸Òˇ ̇‚ÍÓÎÓ ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË (ÚÓ˜ÍË C), ˘Ó Ì Á·i-
„‡∫Ú¸Òˇ Á ˆÂÌÚÓÏ —Ó̈ˇ. √‡‚iÚ‡ˆiÈÌ ÔÓÎÂ, ÔÓÓ‰ÊÂÌ —Ó̈ÂÏ i Ô·ÌÂÚÓ˛, ÏÓÊ̇
Ú‡Í Á·ÛËÚË (Á·ÛÂÌÌˇ ‰ÓÒËÚ¸ χΠ(Û ‚ËÔ‡‰ÍÛ —Ó̈ˇ i «ÂÏÎi ‚i‰ÌÓ¯ÂÌÌˇ ‚Â΢ËÌË Á·Û-
ÂÌÌˇ ‰Ó ‚Â΢ËÌË ÒËÎË ÚˇÊiÌÌˇ ∫ ‚Â΢ËÌÓ˛, ÏÂÌ¯Ó˛ 1, 44864811 · 10�3)), ˘Ó Ô·ÌÂÚ‡
‚ ÌÓ‚ÓÏÛ ÒËÎÓ‚ÓÏÛ ÔÓÎi Ûı‡ÚËÏÂÚ¸Òˇ ÔÓ ÂÎiÔÒÛ, ‚ Ó‰ÌÓÏÛ Á ÙÓÍÛÒi‚ ˇÍÓ„Ó Á̇ıÓ‰ËÚ¸Òˇ
Ì ˆÂÌÚ —Ó̈ˇ, ‡ ÚӘ͇ F2, ·ÎËÁ¸Í‡ ‰Ó ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË C (‰Ë‚. ËÒ. 4 ‡, ‰Â F1 i
F2 — ÙÓÍÛÒË ÂÎiÔÒ‡, S — ˆÂÌÚ —Ó̈ˇ, v(t) — ¯‚ˉÍiÒÚ¸ ÛıÛ —Ó̈ˇ ‚ ÏÓÏÂÌÚ ˜‡ÒÛ t, L –
˜‡ÒÚË̇ Ó·iÚË —Ó̈ˇ, � — ‚i‰Òڇ̸ ÏiÊ ÚӘ͇ÏË F2 i S (� ⇡ �1)). «‡Û‚‡ÊËÏÓ, ˘Ó Á‡‚-
‰ˇÍË Ï‡ÎÓÏÛ Á·ÛÂÌÌ˛ „‡‚iÚ‡ˆiÈÌÓ„Ó ÔÓΡ i ‚ÂÎËÍiÈ Ï‡Òi —Ó̈ˇ Ú‡∫ÍÚÓiˇ ÛıÛ —Ó̈ˇ i
ÍÓÓ‰Ë̇ÚË ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË ‰Îˇ Ô·ÌÂÚË Ï‡ÎÓ ÁÏiÌˇÚ¸Òˇ; ÓÚÊÂ, F2 ⇡ C.
2⇤. √‡‚iÚ‡ˆiÈÌ ÔÓÎÂ, ÔÓÓ‰ÊÂÌ —Ó̈ÂÏ i Ô·ÌÂÚÓ˛, ÏÓÊ̇ Ú‡Í Á·ÛËÚË (Á·ÛÂÌÌˇ
Ú‡ÍÂ, ˇÍ i ‚ 1⇤), ˘Ó ÔÎÓ˘‡, ˇÍ‡ ÓÔËÒÛ∫Ú¸Òˇ ‡‰iÛÒÓÏ-‚ÂÍÚÓÓÏ Ô·ÌÂÚË, Ôӂ‰ÂÌËÏ Ì Á
ˆÂÌÚÛ —Ó̈ˇ, ‡ Á ÚÓ˜ÍË F2, ·ÎËÁ¸ÍÓø ‰Ó ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË C, ÁÓÒÚ‡∫ ÔÓÔÓˆiÈÌÓ
˜‡ÒÛ (‰Ë‚. ËÒ. 4 ·, ‰Â ‚ËÍÓËÒÚ‡ÌÓ Úi Ò‡Ïi ÔÓÁ̇˜ÂÌÌˇ, ˘Ó È Ì‡ ËÒ. 4 ‡).
r r
⇤
⇤
⇤
⇤
�XXXX XXy
XXXz
F1 F2 t
S
XXXXz
v(t)
L
F2 ⇡ C sœÎ‡ÌÂÚ‡
‡
r r
sœÎ‡ÌÂÚ‡
�
�
�
XXXXXXXXXXXXX
PPPPPPPPPPPP
F1 F2 t
S
XXXXz
v(t)
L
F2 ⇡ C
·
–ËÒ. 4
«‡Á̇˜ËÏÓ, ˘Ó Û ‚ËÔ‡‰ÍÛ Í·Ò˘ÌÓø ÏÓ‰ÂÎi —ÓÌˇ˜ÌÓø ÒËÒÚÂÏË ˆÂÌÚ —Ó̈ˇ ∫ ÒÔiθÌËÏ
ÙÓÍÛÒÓÏ ‰Îˇ ‚Òiı ÂÎiÔÚ˘ÌËı Ó·iÚ Ô·ÌÂÚ. Œ‰Ì‡Í Á‡ ÔË̈ËÔÓÏ Á‡ÔiÁÌ˛‚‡ÌÌˇ „‡‚iÚ‡-
ˆiÈÌÓ„Ó ÔÓΡ ÍÓÊ̇ Ô·ÌÂÚ‡ Ûı‡∫Ú¸Òˇ ̇‚ÍÓÎÓ „Ò‚Ó∫ø” ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË, ˘Ó ÌÂ
Á·i„‡∫Ú¸Òˇ Á ˆÂÌÚÓÏ —Ó̈ˇ, i ˆi ÚÓ˜ÍË ÔÓÔ‡ÌÓ Ì Á·i„‡˛Ú¸Òˇ ÏiÊ ÒÓ·Ó˛ (‰Ë‚. Ú‡·Î. 3,
‰Â ̇‚‰ÂÌÓ ÁÏi˘ÂÌÌˇ ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌËı ÚÓ˜ÓÍ Ô·ÌÂÚ ‚i‰ÌÓÒÌÓ ˆÂÌÚÛ —Ó̈ˇ).
ƒ‡Îi ̇‚‰ÂÏÓ Ó·¥ÛÌÚÛ‚‡ÌÌˇ ڂ‰ÊÂ̸ 1⇤ i 2⇤. ÷ ÁÓ·ËÏÓ Á‡ ‰ÓÔÓÏÓ„Ó˛ ̇ÒÚÛÔÌËı
˜ÓÚ˸Óı ÍÓÍi‚ (ÔÔ. 7.2 – 7.5).
7.2. œÓ·Û‰Ó‚‡ i‚ÌˇÌÌˇ ÛıÛ Ï‡ÚÂi‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË Ì‡‚ÍÓÎÓ ÔËÚˇ„Û‚‡Î¸ÌÓø ÚÓ˜ÍË, ÔÓ-
Ó‰ÊÂÌÓø iÌ¯Ó˛ χÚÂi‡Î¸ÌÓ˛ ÚÓ˜ÍÓ˛. –ÓÁ„ΡÌÂÏÓ Á‡‰‡˜Û ÔÓ Ûı ‰‚Óı ÚÓ˜ÓÍ M0 i M1
Á χ҇ÏË m0 i m1 Á Û‡ıÛ‚‡ÌÌˇÏ ¯‚ˉÍÓÒÚi „‡‚iÚ‡ˆiø. Õ‡ Ôi‰ÒÚ‡‚i ÔË̈ËÔÛ Á‡ÔiÁÌ˛‚‡-
ÌÌˇ „‡‚iÚ‡ˆiÈÌÓ„Ó ÔÓΡ Ûı ÚÓ˜ÓÍ M0 i M1 ÓÔËÒÛ∫Ú¸Òˇ ÒËÒÚÂÏÓ˛ ‰‚Óı ‰ËÙÂÂ̈i‡Î¸ÌËı
i‚ÌˇÌ¸ iÁ ‚i‰ıËβ‚‡Î¸ÌËÏ ‡„ÛÏÂÌÚÓÏ
d2r0(t)
dt2
=
Gm1
|r1(t � ⌧10(t)) � r0(t)|3
(r1(t � ⌧10(t)) � r0(t)),
d2r1(t)
dt2
=
Gm0
|r0(t � ⌧01(t)) � r1(t)|3
(r0(t � ⌧01(t)) � r1(t)),
(30)
ISSN 1562-3076. ÕÂÎiÌiÈÌi ÍÓÎË‚‡ÌÌˇ, 2018, Ú . 21, N� 1
Рис. 4
7.1. Узгодження перших двох законiв Кеплера з принципом запiзнювання гравiтацiйного
поля. Притягувальною точкою для кожної планети, згiдно з викладеним у п. 3 є не центр
Сонця, а iнша точка простору (точка C ). Також зазначимо, що вiдстань мiж центром
Сонця та точкою C не є сталою. Цi властивостi важко було помiтити експериментально
при спостереженнях за рухом планет, астероїдiв та штучних об’єктiв завдяки мализнi
кутового змiщення ϕ притягувальних точок (у випадку, коли точкою A є центром Сонця,
ϕ ≈ ϕmax sinα (за формулою (29)), де ϕmax = 0,7238340887 · 10−3 ).
Замiсть перших двох законiв Кеплера справджуються наступнi два твердження.
1∗. Кожна планета рухається навколо притягувальної точки (точки C ), що не збiгається
з центром Сонця. Гравiтацiйне поле, породжене Сонцем i планетою, можна так збурити
(збурення досить мале (у випадку Сонця i Землi вiдношення величини збурення до величи-
ни сили тяжiння є величиною, меншою 1,44864811 · 10−3 )), що планета в новому силовому
полi рухатиметься по елiпсу, в одному з фокусiв якого знаходиться не центр Сонця, а точка
F2, близька до притягувальної точки C (див. рис. 4, де F1 i F2 —фокуси елiпса, S —центр
Сонця, v(t) — швидкiсть руху Сонця в момент часу t, L – частина орбiти Сонця, ∆ —
вiдстань мiж точками F2 i S (∆ ≈ ∆1 )). Зауважимо, що завдяки малому збуренню гравi-
тацiйного поля i великiй масi Сонця траєкторiя руху Сонця i координати притягувальної
точки для планети мало змiняться; отже, F2 ≈ C.
2∗. Гравiтацiйне поле, породжене Сонцем i планетою, можна так збурити (збурення
таке, як i в 1∗ ), що площа, яка описується радiусом-вектором планети, проведеним не з
центру Сонця, а з точки F2, близької до притягувальної точки C, зростає пропорцiйно часу
(див. рис. 4).
Зазначимо, що у випадку класичної моделi Сонячної системи центр Сонця є спiльним
фокусом для всiх елiптичних орбiт планет. Однак за принципом запiзнювання гравiтацiй-
ного поля кожна планета рухається навколо „своєї” притягувальної точки, що не збiгається
з центром Сонця, i цi точки попарно не збiгаються мiж собою (див. табл. 3, де наведено
змiщення притягувальних точок планет вiдносно центру Сонця).
Далi наведемо обґрунтування тверджень 1∗ i 2∗. Це зробимо за допомогою наступних
чотирьох крокiв (пп. 7.2 – 7.5).
7.2. Побудова рiвняння руху матерiальної точки навколо притягувальної точки, породже-
ної iншою матерiальною точкою. Розглянемо задачу про рух двох точок M0 i M1 з масами
m0 i m1 з урахуванням швидкостi гравiтацiї. На пiдставi принципу запiзнювання гравiта-
цiйного поля рух точок M0 i M1 описується системою двох диференцiальних рiвнянь iз
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 253
вiдхилювальним аргументом
d2r0(t)
dt2
=
Gm1
|r1(t− τ10(t))− r0(t)|3
(r1(t− τ10(t))− r0(t)),
d2r1(t)
dt2
=
Gm0
|r0(t− τ01(t))− r1(t)|3
(r0(t− τ01(t))− r1(t)),
(30)
що аналогiчна системi (13), де запiзнювання τ10(t) i τ01(t) задовольняють спiввiдношення
cτ10(t) =
∣∣R10(t)
∣∣ i cτ01(t) =
∣∣R01(t)
∣∣ , (31)
в яких R10(t) = r0(t)− r1(t− τ10(t)) i R01(t) = r1(t)− r0(t− τ01(t)).
Перейдемо до рiвняння руху точки M1 (точки B ) вiдносно притягувальної точки C
(див. рис. 1), тобто до рiвняння вiдносно векторної функцiї R01(t).
Враховуючи очевиднi спiввiдношення
dR01(t)
dt
=
dr1(t)
dt
−
(
1− dτ01(t)
dt
)
dr0(s)
ds
∣∣∣∣
s=t−τ01(t)
i
d2R01(t)
dt2
=
d2r1(t)
dt2
+
d2τ01(t)
dt2
dr0(s)
ds
∣∣∣∣
s=t−τ01(t)
−
−
(
1− dτ01(t)
dt
)2 d2r0(s)
ds2
∣∣∣∣
s=t−τ01(t)
,
отримуємо, що на пiдставi рiвнянь системи (30) та того, що dr0(s)
ds
∣∣∣∣
s=t−τ01(t)
—швидкiсть
v0(t− τ01(t)) руху точки M0 у момент часу t− τ01(t),
d2R01(t)
dt2
= −G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣3 R01(t) + Ω01,1(t) + Ω01,2(t), (32)
де
Ω01,1(t) =
Gm1∣∣R01(t)
∣∣3 R01(t) +
(
1− dτ01(t)
dt
)2 Gm1∣∣R10(t− τ01(t))
∣∣3 R10(t− τ01(t))
i
Ω01,2 (t) =
d2τ01(t)
dt2
v0(t− τ01(t)). (33)
Спiввiдношення (32) буде рiвнянням руху точки M1 навколо притягувальної точки,
породженої точкою M0 .
7.3. Оцiнки норм значень функцiй Ω01,1(t) i Ω01,1(t). Тут i далi норма вектора — це
його евклiдова довжина. Використаємо спiввiдношення, що отримуються з (31):
c
dτ01(t)
dt
=
(
R01(t), Ṙ01(t)
)
∣∣R01(t)
∣∣ ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
254 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
c
d2τ01(t)
dt2
=
(
Ṙ01(t), Ṙ01(t)
)
+
(
R01(t), R̈01(t)
)
∣∣R01(t)
∣∣ −
(
R01(t), Ṙ01(t)
)2
∣∣R01(t)
∣∣3 ,
де
Ṙ01(t) =
dR01(t)
dt
, R̈01(t) =
d2R01(t)
dt2
i
(
a, b
)
—скалярний добуток векторiв a i b. Iз цих спiввiдношень та означення скалярного
добутку двох векторiв випливає, що
c
∣∣∣∣
dτ01(t)
dt
∣∣∣∣ ≤
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣ (34)
i
c
∣∣∣∣
d2τ01(t)
dt2
∣∣∣∣ ≤
∣∣∣R̈01(t)
∣∣∣+
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
∣∣R01(t)
∣∣ . (35)
Запишемо функцiю Ω01,1(t) у виглядi
Ω01,1(t) = Ω1(t) + Ω2(t) + Ω3(t), (36)
де
Ω1(t) =
Gm1∣∣R01(t)
∣∣3 R01(t) +
Gm1∣∣R10(t− τ01(t))
∣∣3 R10(t− τ01(t)), (37)
Ω2(t) = 2
dτ01(t)
dt
(
Gm1∣∣R01(t)
∣∣3 R01(t)− Ω1(t)
)
, (38)
Ω3(t) = −
(
dτ01(t)
dt
)2
(
Gm1∣∣R01(t)
∣∣3R01(t)− Ω1(t)
)
= −dτ01(t)
dt
Ω2(t)
2
. (39)
Оцiнимо норми значень функцiй Ωk(t), k = 1, 3, використавши зв’язок мiж функцiями
R10(t− τ01(t)) i
∣∣R10(t− τ01(t))
∣∣ та R01(t) i
∣∣R01(t)
∣∣ вiдповiдно.
Оскiльки
R01(t) +R10(t− τ01(t)) = r1(t)− r1(t− τ01(t)− τ10(t− τ01(t))), (40)
то R10(t− τ01(t)) можна записати у виглядi
R10(t− τ01(t)) = −R01(t) + r01(t),
де r01(t) = R01(t) +R10(t− τ01(t)), i на пiдставi (40) та теореми про скiнченнi прирости
|r01(t)| ≤ (τ01(t) + τ10(t− τ01(t))) sup
0≤u≤τ01(t)+τ10(t−τ01(t))
|v1(t− u)| . (41)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 255
Використавши спiввiдношення
c+ v0,t
c− v1,t
τ01(t) ≥ τ10(t),
що випливає з (22), завдяки (41) отримаємо
|r01(t)| ≤
(
τ01(t) +
c+ v0,t−τ01(t)
c− v1,t−τ01(t)
τ01(t− τ01(t))
)
sup
0≤u≤τ01(t)+τ10(t−τ01(t))
|v1(t− u)| . (42)
Тодi на пiдставi (37)
Ω1(t) =
Gm1∣∣R01(t)
∣∣3 R01(t)−
Gm1∣∣R01(t)− r01(t)
∣∣3
(
R01(t)− r01(t)
)
=
= Gm1
(
1
∣∣R01(t)
∣∣3 −
1
∣∣R01(t)− r01(t)
∣∣3
)
R01(t) +
Gm1∣∣R01(t)− r01(t)
∣∣3 r01(t).
Звiдси випливає, що
∣∣Ω1(t)
∣∣ ≤ Gm1
∣∣∣∣∣
1
∣∣R01(t)
∣∣2 −
∣∣R01(t)
∣∣
∣∣R01(t)− r01(t)
∣∣3
∣∣∣∣∣+
Gm1 |r01(t)|∣∣R01(t)− r01(t)
∣∣3 ≤
≤ Gm1
∣∣∣∣∣
1
∣∣R01(t)
∣∣2 −
∣∣R01(t)
∣∣
(∣∣R01(t)
∣∣− |r01(t)|
)3
∣∣∣∣∣+
Gm1 |r01(t)|(∣∣R01(t)
∣∣− |r01(t)|
)3 ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
1−
(
1− |r01(t)|∣∣R01(t)
∣∣
)−3∣∣∣∣∣∣
+
(
1− |r01(t)|∣∣R01(t)
∣∣
)−3
|r01(t)|∣∣R01(t)
∣∣
Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 <
<
(
4
|r01(t)|∣∣R01(t)
∣∣ + 10
|r01(t)|2∣∣R01(t)
∣∣2
)
Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 , (43)
де враховано спiввiдношення 1
a− b −
1
a
>
1
a
− 1
a+ b
(a > b > 0), використано формулу
Тейлора [26], а також те, що |r01(t)| <<
∣∣R01(t)
∣∣ (завдяки (41)).
Далi оцiнимо функцiю
∣∣Ω2(t)
∣∣ . Iз спiввiдношень (38) та (34) випливає, що
∣∣Ω2(t)
∣∣ =
∣∣∣∣∣2
dτ01(t)
dt
(
Gm1∣∣R01(t)
∣∣3 R01(t)− Ω1(t)
)∣∣∣∣∣ ≤
≤ 2
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
c
(
Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 +
∣∣Ω1(t)
∣∣
)
. (44)
Тепер оцiнимо
∣∣Ω3(t)
∣∣ . На пiдставi (34), (39) i (44) одержуємо
∣∣Ω3(t)
∣∣ =
∣∣∣∣−
dτ01(t)
dt
Ω2(t)
2
∣∣∣∣ ≤
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
c2
(
Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 +
∣∣Ω1(t)
∣∣
)
. (45)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
256 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Нарештi оцiнимо
∣∣Ω01,2(t)
∣∣ . На пiдставi (32), (33) та (35) отримуємо
∣∣Ω01,2(t)
∣∣ =
∣∣∣∣
d2τ01(t)
dt2
v0(t− τ01(t))
∣∣∣∣ ≤
≤ |v0(t− τ01(t))|
c
∣∣∣R̈01(t)
∣∣∣+
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
∣∣R01(t)
∣∣
≤
≤ |v0(t− τ01(t))|
c
∣∣∣∣∣−
G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣3 R01(t) + Ω01,1 (t) + Ω01,2 (t)
∣∣∣∣∣+
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
∣∣R01(t)
∣∣
≤
≤ |v0(t− τ01(t))|
c
G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 +
∣∣Ω01,1(t)
∣∣+
∣∣Ω01,2(t)
∣∣+
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
∣∣R01(t)
∣∣
.
Отже,
∣∣Ω01,2(t)
∣∣ ≤ |v0(t− τ01(t))|
c− |v0(t− τ01(t))|
G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 +
∣∣Ω01,1(t)
∣∣+
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
∣∣R01(t)
∣∣
. (46)
Остаточнi оцiнки для
∣∣Ωk(t)
∣∣ , k = 1, 3, та
∣∣Ω01,2(t)
∣∣ з використанням (42) наведемо
пiзнiше у випадку, коли в якостi M0 i M1 будуть використанi центри Сонця та Землi
вiдповiдно.
7.4. Порiвняння норм значень функцiї Ω01,1(t) + Ω01,1(t) з нормою першого доданка
правої частини (32). Будемо вважати, що точкаM0 є центромСонця, а точкаM1 —центром
Землi. Використаємо деяку допомiжну iнформацiю про Сонце та Землю.
Спочатку використаємо спiввiдношення (42), а також те, що довжини a i b малої i
великої пiвосей елiпса пов’язанi спiввiдношенням b = a
√
1− e2, де e — ексцентриситет
елiпса (для орбiти Землi (див. табл. 1) e = 0,0017). Тодi отримаємо, що в даному випадку
b ≈ 0,99999855 a. (47)
На пiдставi спiввiдношення (47) та спiввiдношень (19), (20) вiдстань
∣∣R01(t)
∣∣ вiд Землi
до притягувальної точки (точки C на рис. 2) в усi моменти руху Землi навколо Сон-
ця мало вiдрiзняється вiд однiєї астрономiчної одиницi (а.о. = 149597870691 м). Тому у
подальшому для спрощення отримання оцiнки для
∣∣Ω01,1(t) + Ω01,1(t)
∣∣ будемо вважати, що∣∣R01(t)
∣∣ ≈ а.о. Враховуючи, що Сонце навколо ядра Галактики рухається зi швидкiстю
|v0(t)| ≈ 2,17 · 105 м/с, а Земля навколо Сонця — зi швидкiстю близько 29783 м/с, можна
вважати, що в усi моменти часу швидкiсть |v1(t)| руху Землi навколо Сонця у спiввiдно-
шеннi (41) не бiльша нiж 2,17 · 105 м/с +29783 м/с = 2,46783 · 105 м/с.
На пiдставi цих припущень, (42) та того, що c = 299792458 м/с i гравiтацiйне поле
проходить шлях довжиною в одну астрономiчну одиницю за 8,32 хв., отримуємо
|r01(t)|∣∣R01(t)
∣∣ ≤
(
τ01(t) +
c+ v0,t−τ01(t)
c− v1,t−τ01(t)
τ01(t− τ01(t))
) sup
0≤u≤τ01(t)+τ10(t−τ01(t))
|v1(t− u)|
∣∣R01(t)
∣∣ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 257
≤
(
8,32 · 60 +
299792458 + 217000
299792458− 246783
· 8,32 · 60
)
×
× 246783
149597870691
< 1,648359933 · 10−3.
Тому завдяки (43)
∣∣Ω1(t)
∣∣ <
(
4
|r01(t)|∣∣R01(t)
∣∣ + 10
|r01(t)|2∣∣R01(t)
∣∣2
)
Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 <
<
(
4 · 1,648359933 · 10−3 + 10 ·
(
1,648359933 · 10−3
)2) Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 <
<
(
6,593439732 · 10−3 + 2,71709469 · 10−5
) Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 <
< 6,620610679 · 10−3 · Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 . (48)
Далi використаємо спiввiдношення (44). Вважаючи, що швидкiсть
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣ руху Землi
навколо Сонця в момент часу t не бiльша 29783 м/с, i враховуючи, що
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
c
≤ 29783
299792458
< 0,993453945 · 10−4, (49)
на пiдставi (44) та (48) одержуємо
∣∣Ω2(t)
∣∣ ≤ 2
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
c
(
Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 +
∣∣Ω1(t)
∣∣
)
<
< 2 · 0,993453945 · 10−4×
×
(
Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 + 6,620610679 · 10−3 · Gm1∣∣R01(t)
∣∣2
)
<
< 2,000624336 · 10−4 · Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 . (50)
Далi, використовуючи спiввiдношення (45), (48) i (49), маємо
∣∣Ω3(t)
∣∣ ≤
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
c2
(
Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 +
∣∣Ω1(t)
∣∣
)
<
<
(
0,993453945 · 10−4
)2
(
Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 + 6,620610679 · 10−3 · Gm1∣∣R01(t)
∣∣2
)
<
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
258 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
< 0,99376407 · 10−8 · Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 . (51)
Отже, на пiдставi (36), (48), (50) i (51) та того, що маса m0 Сонця в 332958 разiв бiльша
за масу m1 Землi, отримуємо
∣∣Ω01,1(t)
∣∣ <
(
6,620610679 · 10−3 + 2,000624336 · 10−4 + 0,99376407 · 10−8
) Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 <
< 6,820683051 · 10−3 · Gm1∣∣R01(t)
∣∣2 = 6,820683051 · 10−3 · m1
m0 +m1
G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 =
=
6,820683051 · 10−3
332959
G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 < 2,048505387 · 10−8 · G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 . (52)
Нарештi оцiнимо
∣∣Ω01,2(t)
∣∣ . Використаємо нерiвностi (46), (52) та те, що G = 6,67408 ·
· 10−11 кг−1 м3с−2 i m1 = 5,97219 · 1024 кг, а також спiввiдношення
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
∣∣R01(t)
∣∣ =
∣∣R01(t)
∣∣ ·
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
G(m0 +m1)
· G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 =
=
149597870691 · 297832
6,67408 · 10−11 · 332959 · 5,97219 · 1024
G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 =
= 0,999876845 · G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 .
Звiдси випливає, що
∣∣R01(t)
∣∣
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
G(m0 +m1)
= 0,999876845. (53)
У задачi двох тiл у випадку класичної механiки справджується спiввiдношення
∣∣R01(t)
∣∣
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
G(m0 +m1)
= 1− e = 1− 0,017 = 0,983
(див. [25, с. 144] i табл. 1). Розбiжнiсть мiж 0,999876845 i 0,983 зумовлена тим, що при
знаходженнi значення лiвої частини спiввiдношення (53) використовувались наближенi
значення для
∣∣R01(t)
∣∣ ,
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣ , G, m0 i m1, а також тим, що рух Землi навколо Сонця
складнiший, нiж у випадку класичної моделi, про що свiдчать наведенi вище дослiдження.
Отримаємо
∣∣Ω01,2(t)
∣∣ ≤ |v0(t− τ01(t))|
c− |v0(t− τ01(t))|
G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 +
∣∣Ω01,1(t)
∣∣+
∣∣∣Ṙ01(t)
∣∣∣
2
∣∣R01(t)
∣∣
<
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 259
<
217000
299792458− 217000
(
G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 +
+2,048505387 · 10−8 · G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 + 0,999876845 · G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2
)
<
< 1,44862762 · 10−3 · G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 . (54)
Отже, завдяки (52) i (54)
∣∣Ω01,1(t) + Ω01,2(t)
∣∣ <
(
2,048505387 · 10−8 + 1,44862762 · 10−3
) G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 <
< 1,44864811 · 10−3 · G(m0 +m1)∣∣R01(t)
∣∣2 . (55)
7.5. Заключнi висновки. Отже, для другого та третього доданкiв правої частини спiв-
вiдношення (32) виконується нерiвнiсть (55). Мализна коефiцiєнта 1,44864811 · 10−3 у цiй
нерiвностi вказує на те, що iстотне значення в правiй частинi (32) має перший доданок. Тому
замiсть (32) можна розглядати бiльш просте спiввiдношення
d2 (r1(t)− r0(t− τ01(t)))
dt2
≈ − G(m0 +m1)
|r1(t)− r0(t− τ01(t))|3
(r1(t)− r0(t− τ01(t))) , (56)
що отримується з (32) при вiдповiдному збуреннi. Використаємо дослiджену в [21] систему
диференцiальних рiвнянь
d2r(t)
dt2
= −G(m0 +m1)
|r(t)|3
r(t), (57)
аналогiчну (56). Завдяки [21] розв’язки системи (57) є параметричними рiвняннями
алгебраїчних кривих другого порядку (зокрема, елiпсiв при певних початкових умовах
для r(t)) i, отже,
r1(t)− r0(t− τ01(t)) ≈ r(t),
що вiдповiдає твердженню 1∗.
Викладемо наведенi в попередньому абзацi мiркування iнакше.
Замiсть системи (30) розглянемо систему
d2r0(t)
dt2
=
Gm1
|r1(t− τ10(t))− r0(t)|3
(r1(t− τ10(t))− r0(t)),
d2r1(t)
dt2
=
Gm0
|r0(t− τ01(t))− r1(t)|3
(r0(t− τ01(t))− r1(t)) + F 2(t)
(для простоти ми зберiгаємо попереднi позначення функцiй), де
F 2(t) = −Ω01,1(t)− Ω01,2(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
260 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Використовуючи проведенi в пп. 7.2 дослiдження, легко переконатися, що в цьому випадку
d2 (r1(t)− r0(t− τ01(t)))
dt2
=
= − G(m0 +m1)
|r1(t)− r0(t− τ01(t))|3
(r1(t)− r0(t− τ01(t))) . (58)
Завдяки [21] при виконаннi певних початкових умов розв’язки r1(t) − r0(t − τ01(t))
системи (58) є параметричними рiвняннями елiпсiв. Зазначимо, що для F 2(t) виконує-
ться спiввiдношення (55).
Iз наведених мiркувань випливає твердження 1∗ (у випадку руху Сонця i Землi).
Твердження 2∗ є наслiдком другого закону Кеплера та твердження 1∗.
8. Можливi застосування побудованої моделi руху матерiальних точок. Звернемо
увагу лише на деякi можливi застосування математичної моделi руху матерiальних
точок, що враховує швидкiсть гравiтацiї.
1. Цю модель в першу чергу можна використовувати для опису руху планет. Система
диференцiальних рiвнянь iз вiдхилювальним аргументом (15) точнiше описує динамiку
Сонячної системи, нiж система диференцiальних рiвнянь (4), що не враховує скiнченну
швидкiсть гравiтацiї. Для опису руху планет на великих промiжках часу краще використо-
вувати систему (15), нiж систему (4). При кiлькiсному описуваннi руху планет не обiйтись
без потужної обчислювальної технiки. При цьому потрiбно звертати увагу на точнiсть да-
них про розмiщення планет та їх швидкостей не в якийсь конкретний момент часу (як
у класичнiй небеснiй механiцi), а на промiжках часу (див. умови (16) i (17)), довжини
яких можуть бути достатньо великими (наприклад, у випадку дослiдження руху Землi або
Плутона навколо Сонця (без урахування дiї на них iнших планет) довжини цих промiжкiв
дорiвнюють близько 8,32 хв. i 328,68 хв. вiдповiдно).
Побудована теорiя дасть змогу точнiше описувати рух комет i передбачати такi явища,
як затемнення планет, парад планет та iн.
2. Наведенi в пп. 3 – 7 дослiдження є важливими для спостережень за рухом астероїдiв та
передбачень про траєкторiї їх руху, оскiльки зiткнення астероїдiв iз планетами призводять
до небажаних наслiдкiв.
3. Побудована теорiя полегшить розв’язання проблем перемiщення штучних об’єктiв
у межах Сонячної системи, оскiльки дасть змогу будувати точнiшi математичнi моделi їх
руху.
Лiтература
1. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – М.; Л.: Госте-
хиздат, 1951. – 255 с.
2. Мышкис А. Д., Эльсгольц Л. Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоня-
ющимся аргументом // Успехи мат. наук. – 1967. – 22, № 2. – С. 21 – 57.
3. Мышкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-
том // Успехи мат. наук. – 1977. – 32, № 2. – С. 173 – 202.
4. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. –
248 с.
5. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. – М.: Мир. 1967. – 548 с.
6. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. – М.: Наука, 1971. – 288 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СОНЯЧНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ ШВИДКОСТI ГРАВIТАЦIЇ 261
7. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргу-
ментом. – М.: Наука, 1971. – 296 с.
8. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 423 с.
9. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. – Рига: Зинатне,
1986. – 288 с.
10. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теориюфункционально-дифференциальных
уравнений. – М.: Наука, 1991. – 280 с.
11. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. – Рiвне: Вид-во Нац. ун-ту водн.
госп-ва та природокористування, 2003. – 366 с.
12. Fomalont E. B., Kopeikin S. V. The measurement of the light deflection from Jupiter: experimental results //
Astrophys. J. – 2003. – 598. – P. 704 – 711.
13. Копейкин С. М., Фомалонт Э. Фундаментальный предел скорости гравитации и его измерение // Земля и
Вселенная. – 2004. – № 3.
14. Мультон Ф. Введение в небесную механику. – М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. – 480 с.
15. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. – М.: Наука, 1965. – 572 с.
16. ШазиЖ. Теория относительности и небесная механика. Т. 1. –М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2011. –
260 с.
17. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. – М.: Наука, 1978. – 456 с.
18. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной
механике // Успехи мат. наук. – 1963. – 18, № 6. – С. 91 – 192.
19. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. – М.: Наука, 1972. – 382 с.
20. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. – М.: Наука, 1978. – 312 с.
21. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. Н. Математические аспекты классической и небесной механи-
ки. – М.: УРСС, 2002. – 414 с.
22. Зелдович Я. Б., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция звезд. – М.: Наука, 1971. – 484 с.
23. Рябушко А. П. Движение тел в общей теории относительности. – Минск: Вышэйш. шк., 1979. – 240 с.
24. Kopeikin S., Efroimsky M., Kaplan G. Relativistic celestial mechanics of the solar system. – Wiley, 2011. –
892 p.
25. Цесевич В. П. Что и как наблюдать на небе. – М.: Наука, 1984. – 304 с.
26. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. – М.: Наука, 1966. –
Т. 1. – 608 с.
27. Зорич В. А. Математический анализ. – М.: Наука, 1984. – 4. II. – 640 с.
28. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука, 1973. – 228 с.
29. Голубева О. В. Теоретическая механика. – М.: Высш. шк., 1968. – 488 с.
Одержано 19.12.16,
пiсля доопрацювання — 01.11.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177191 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-25T20:42:10Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Слюсарчук, В.Ю. 2021-02-11T08:06:13Z 2021-02-11T08:06:13Z 2018 Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 238-261. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177191 517.958:531 – 133 Построена математическая модель Cолнечной системы, учитывающая конечную скорость гравитации, уточнены законы Кеплера и приведены свойства исследуемой системы. We construct a Solar system mathematical model that accounts for finite gravitation velocity. We also specify Kepler’s laws and list properties of the studied system. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації Математическая модель солнечной системы с учётом скорости гравитации Mathematical model of the Solar system with account of gravitation velocity Article published earlier |
| spellingShingle | Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації Слюсарчук, В.Ю. |
| title | Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації |
| title_alt | Математическая модель солнечной системы с учётом скорости гравитации Mathematical model of the Solar system with account of gravitation velocity |
| title_full | Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації |
| title_fullStr | Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації |
| title_full_unstemmed | Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації |
| title_short | Математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації |
| title_sort | математична модель сонячної системи з урахуванням швидкості гравітації |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177191 |
| work_keys_str_mv | AT slûsarčukvû matematičnamodelʹsonâčnoísistemizurahuvannâmšvidkostígravítacíí AT slûsarčukvû matematičeskaâmodelʹsolnečnoisistemysučetomskorostigravitacii AT slûsarčukvû mathematicalmodelofthesolarsystemwithaccountofgravitationvelocity |